Как найти тангенс если знаю котангенс

Прошу, очень надо!! Как найти синус, косинус и тангенс, если известен только котангенс??…

        Итак, в прошлый раз мы с вами успешно познакомились с тригонометрическими функциями — синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом. И чётко уяснили себе следующее:

        1. Синус, косинус, тангенс и котангенс — это просто какие-то безразмерные числа. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике. Для каждого конкретного угла — свои.

        2. Тригонометрические функции крепко-накрепко связаны с углом. Знаем угол — знаем и все его тригонометрические функции. И наоборот.

        Если не уяснили эти простые вещи, то добро пожаловать по ссылочке, пока не поздно. А мы продолжаем.

        То, что между этой великолепной четвёркой существует тесная связь, не вызывает никаких сомнений. Всякая связь в математике задаётся, чаще всего, формулами. В тригонометрии формул — огромное количество. Это и формулы приведения, и формулы сложения, двойного угла, понижения степени и многие-многие другие.

        В этом же уроке мы рассмотрим лишь самые главные из них. Они так и называются — основными тригонометрическими формулами. Их всего шесть.

        Вот они:

        Здесь «альфа» — какой-то угол.

        Эти шесть формул — краеугольный камень всей тригонометрии. То, чего не знать нельзя. Если вы не знаете, чему равен, скажем, косинус тройного угла — не проблема. Никто вас не осудит. Но если вы не знаете, что sin²x+cos²x = 1, то будьте готовы получить заслуженную двойку. Вот так вот.

        Сразу предупреждаю, что три последних формулы (4-6) очень часто выпадают из памяти. Почему-то… Можно, конечно, легко вывести эти формулы из первых трёх, но в тревожной боевой обстановке ЕГЭ, когда на карту поставлена ваша дальнейшая судьба… сами понимаете.) Но не переживайте, совсем скоро я вам покажу простой и наглядный способ вывести все эти формулы просто и безошибочно!

        Из этих формул сразу видно, что они неразрывно связывают между собой синус, косинус, тангенс и котангенс одного и того же угла. Именно эти формулы нам позволяют находить все тригонометрические функции одного и того же угла, если известна хотя бы одна из них. Причём (важно!) не находя сам угол! Такие задания очень популярны как сами по себе, так и могут быть промежуточным этапом в более серьёзных заданиях. В тригонометрических уравнениях, к примеру. И особенно в высшей математике, в тех же пределах, интегралах, дифференциальных уравнениях и прочих крутых темах.

        Кстати говоря, хочу обратить ваше внимание на один частый ляп в неправильном написании тригонометрических функций в степенях — в квадрате, в кубе и так далее.

        Например, выражение квадрат синуса (или синус в квадрате) в тригонометрии пишется вот так:

        sin²x

        Двойка (т.е. степень) в этом случае пишется между углом и названием функции. Эта запись как раз и говорит нам о том, что в квадрат возводится именно сама функция (т.е. в нашем случае — синус).

        А вот запись

        sin x²

        будет говорить уже о том, что в квадрат возводится, не синус угла, а только сам угол! Почувствуйте разницу, что называется.)

        Во избежание путаницы, ещё раз (и навсегда!) всё то же самое, но со скобочками:

        sin²x = (sin x)²

       sin x² = sin(x²)

        Конечно, заниматься возведением углов в квадрат мы в школьной тригонометрии вряд ли будем. За ненадобностью.) Зато возведением функций в квадрат — постоянно. Так что привыкаем, не путаемся и пишем правильно.

        Ну что, посмотрим на вывод основных формул? Чтобы всё встало на свои места. Зачем и почему? Да потому, что любая формула запоминается гораздо проще, если есть возможность её «пощупать» в реале, а не механически зазубривать и бездумно принимать на веру, как само собой разумеющееся.) Тем более что это не просто, а очень просто!

Вывод и смысл основных тригонометрических формул.

        Первым делом, я снова нарисую наш старый добрый прямоугольный треугольник. Не обязательно по линеечке, по клеточкам, а просто схематично. От руки.

        Как-то вот так:

        

        Что нам понадобится ещё для дальнейшей работы?

        1. Теорема Пифагора:

        a² + b² = c²

        2. Определения тригонометрических функций:

        sin α = a/c

        cos α = b/c

        tg α = a/b

        ctg α = b/a

        3. Тождественные преобразования уравнений.

        Всё. Вот и все инструменты.

        А вот теперь начинается самое весёлое. Сейчас я беру нашу горячо любимую теорему Пифагора a² + b² = c² и… начинаю всячески над ней издеваться, подвергая её всевозможным пыткам.) Результатами пыток станут целых три формулы из нашего списка!

        Итак, пытка №1. Берём теорему Пифагора

        a² + b² = c²

        и делим обе части на квадрат гипотенузы. На с². А чего? Имеем полное право! Любая формула — это тоже уравнение! И к любой формуле применимы все те же тождественные преобразования (перенос вправо/влево, умножение/деление), которые мы проделываем для «обычных» уравнений с иксом.

        Что получим:

        

        А вот теперь соображаем, уже из тригонометрии, что же такое a/c? Правильно, синус альфа! Противолежащий катет (a) к гипотенузе (c). А b/c? Косинус альфа! А дробь с²/с²  — это… это… единичка! Как и любое число, делённое само на себя, да. Элементарно, Ватсон!)

        Так у нас с вами рождается на свет формула №1:

        Эта формула — самая популярная во всей тригонометрии! По-другому её ещё называют основным тригонометрическим тождеством.

        Она же, но записанная слегка по-другому (в зависимости от того, что именно надо выразить):

        sin²α = 1 — cos²α

        cos²α = 1 — sin²α

        Эти две модификации формулы №1 весьма и весьма часто применяются в примерах по тригонометрии! Именно они позволяют легко перевращать синусы в косинусы (и наоборот). Имеет смысл запомнить.

        А теперь продолжаем мучить теорему Пифагора дальше.) А что если в этот раз поделить обе части не на c², а, скажем, на b²? Ну разве b² чем-то хуже?!

        Давайте поделим и посмотрим:

        

        

        И снова соображаем из тригонометрии (и нашего рисунка), что же такое a/b. Верно, тангенс альфа! А c/b? Так сразу и не скажешь… Стоп! Но ведь что такое b/c — это же нам ясно! Это косинус альфа! У нас же в формуле стоит тот же косинус, только перевёрнутый вверх ногами — c/b. Значит, справа в скобках у нас стоит величина, обратная косинусу: 1/cos α.

        Итого имеем следующее:

        

        Переписываем в привычном виде и рождаем формулу №5:

        А если поделить всё на a²? Верно! Получится шестая формула!

        Попробуйте получить самостоятельно, очень полезно.)

        Вторая, третья и четвёртая формулы выводятся совсем элементарно, исходя только из определения тригонометрических функций и элементарных действий с дробями. Теорема Пифагора здесь не нужна.

        Что, например, у нас получится, если мы просто поделим синус на косинус?

        Делим и получаем:

        

        И все дела.) С котангенсом — аналогично.

        А если перемножить тангенс и котангенс? Ну-ка, ну-ка…

        

        Вот и вся премудрость. Убедились, насколько всё просто?)

Решение простейших заданий по тригонометрии.

        Теория теорией, но нам ведь опыт наращивать надо, верно? Так что пора приступать к задачкам. Всё как всегда — от совсем простых и безобидных до вполне себе серьёзных.

        Ну что, приступим?

        1. Вычислить значение tg x, если ctg x = 1,25.

        Здесь, ясное дело, надо искать формулу, связывающую тангенс и котангенс. Это четвёртая формула. Самое главное — сообразить, что вместо «альфа» можно писать любую другую букву. Лишь бы везде одна и та же была. Для нашего задания будет:

        tg x · ctg x = 1

        Можно прямо в эту формулу подставить значение ctg x = 1,25:

        tg x · 1,25 = 1

        Осталось лишь решить это простенькое уравнение. Да-да. Ещё раз подчёркиваю, что любая формула, любое соотношение, соединённое знаком равенства («=»), — это всегда уравнение! А там, где уравнение, там автоматически и тождественные преобразования уравнений, да…

        Наше соотношение — это тоже уравнение. Где роль неизвестного играет tg x. Прошу заметить, не икс, а именно весь тангенс целиком! Вас же не смущает уравнение, скажем, y·1,25 = 1? Что вы обычно делаете в таких случаях? Правильно, делите обе части на 1,25, чтобы слева остался чистый игрек. Вот и здесь тоже делим обе части на 1,25, добиваясь слева чистого тангенса.

        Делим и получаем:

        tg x = 0,8

        И все дела. Это и есть верный ответ.

        Можно поступить иначе. Сначала выразить из общей формулы тангенс:

        tg x = 1/ctg x

        А уже теперь подставить вместо ctg x его значение 1,25. Получим то же самое. И так и эдак можно. Разницы — никакой. Но… если осознать смысл этой формулы поглубже, то можно получить очень простой и очень полезный практический приём.

        Запоминаем:

        Если единицу разделить на котангенс, то получим тангенс. И наоборот, единица, делённая на тангенс, даёт котангенс. Эти две функции взаимно обратны!

        Что? Не знаете, как разделить единичку на число? Ну, это вопрос не к тригонометрии. Вопрос к шестому классу, к дробям… Как разделить? Да просто перевернуть это самое число и все дела!

        Например:

        — если tg x = 3/4, то ctg x = 4/3;

        — если ctg x = 2, то tg x = 1/2;

        — если tg x = 0,7 = 7/10, то ctg x = 10/7;

        — если ctg x = 0,25 = 1/4, то tg x = 4.

        И так далее и тому подобное. В общем, вы поняли…)

        Продолжаем развлекаться?)

        Например, классика жанра:

        2. Известно, что β — острый угол в прямоугольном треугольнике.

        Найти sinβ, если cosβ = 0,6.

        Ищем формулу, связывающую синус и косинус. Это самая первая формула:

        sin²β+cos²β = 1

        Подставляем в неё известную нам величину 0,6 вместо косинуса:

        sin²β+0,6² = 1

        И считаем, как обычно:

        sin²β+0,36 = 1

        sin²β = 1 — 0,36

        sin²β = 0,64

        Вот, практически, и всё. У нас есть квадрат синуса. А нужен сам синус. Для этого осталось всего лишь извлечь корень и — ответ готов! Корень из 0,64 будет 0,8.

        sinβ = 0,8

        Задачка почти элементарная. Но словечко «почти» я здесь употребил не случайно. Почему? Дело всё в том, что ответ -0,8 тоже вполне себе подходит: (-0,8)² тоже будет 0,64.

        Два разных ответа получается. А нужен один. Второй — неправильный. Что делать? Да всё как обычно! Внимательно прочитать задание! Там зачем-то сказано: «… если β — острый угол…» А лишних слов в заданиях, как правило, не бывает, да… Именно эти слова — и есть дополнительная информация к решению.

        Что такое острый угол? Это угол меньше 90 градусов. А у таких углов все тригонометрические функции (в том числе и синус, да…) всегда положительные. То есть, отрицательный ответ мы здесь просто отбрасываем. Имеем полное право.

        Ответ: sinβ = 0,8

        Собственно, на данном этапе нам такие тонкости особо не нужны. Пока… Ибо сейчас мы работаем только с прямоугольными треугольниками, где углы могут быть только острые. И не знаем, счастливые, что бывают и отрицательные углы, и углы в 1000 градусов… И у всех этих жутких углов тоже есть свои тригонометрические функции! С плюсом и с минусом. Всё от конкретного угла зависит.

        А вот старшеклассникам без учёта знака — никак. К сожалению… Но не будем бежать впереди паровоза. Всему своё время.)

        Решаем следующую задачку. Покруче.

        Определить косинус острого угла β в прямоугольном треугольнике, если ctgβ = 4/3.

        На первый взгляд, всё просто. Но попробуем найти в нашем списке формулу, связывающую котангенс и косинус. Ищем и… Вы правы! Такой формулы нету.) Надо как-то выкручиваться…

        Можно работать с шестой формулой:

        

        Подставим в эту формулу значение котангенса и преобразуем:

        

        Выразим из этой пропорции (т.е. тоже уравнения!) квадрат синуса:

        sin²β = 9/25

        Итак, квадрат синуса у нас есть. Теперь его легко можно превратить в квадрат косинуса по первой формуле:

        cos²β = 1 — sin²β

        

        Извлекаем корень и определяем сам косинус:

        

        Читаем ещё раз задание и вспоминаем, что у острого угла все тригонометрические функции всегда положительны. Отбрасываем отрицательное значение и получаем окончательный ответ:

        cosβ = 4/5

        Это был один способ. Можно решать и по-другому, через пятую формулу:

        

        Для этого нам надо:

        1) Превратить котангенс в тангенс по формуле №4;

        2) Подставить значение тангенса в формулу;

        3) Преобразовать выражение и выразить из него квадрат косинуса;

        4) Извлечь корень и получить два значения косинуса;

        5) Сообразить (из условия задания), что в прямоугольном треугольнике все тригонометрические функции всегда положительны. Отбросить отрицательный ответ и получить косинус.

        Как видим, хрен редьки не слаще, да.) Но это ещё не всё. Для такого решения надо ещё вспомнить эти формулы! А если забыли? Собственно, в этом-то и кроется главная проблема в их применении. Да ещё и куча вычислений… В общем, не подарок…

        Без паники! Для таких задачек есть очень простой и, главное, наглядный способ решения! Геометрический.) Читаем, вникаем и запоминаем.

        Итак, нам дано: ctgβ = 4/3.

        Нарисуем этот котангенс!

        Да-да! Схематично. Как? Очень просто! Берём черновик и рисуем любой прямоугольный треугольник. Кривовато, от руки, даже не соблюдая пропорций. У нас не ИЗО и не черчение с вами.) Выбираем любой острый угол и обозначаем его «бета».

        Вот так:

        

        Вспоминаем теперь, что котангенс — это отношение прилежащего катета к противолежащему. И ставим на соответствующих катетах их длины. Какие? А какие в нашем котангенсе записаны! 4 и 3. Противолежащий катет a = 3, а прилежащий b = 4.

        Кстати, прошу заметить, что реальные размеры треугольника нас совершенно не интересуют! Мы говорим сами себе: «Допустим, прилежащий к углу катет будет 4, а противолежащий — 3″. Тогда котангенс нашего угла β будет как раз 4/3, как и в задании.

        

        Чего ещё нам не хватает для полного счастья? Гипотенузы нам не хватает! Не беда: Пифагор ещё никого не подводил.)

        Считаем:

        c² = a² + b²

        c² = 4² + 3² = 25

        c = 5

        Итак, гипотенуза равна пяти. Подписываем на картинке.)

        А теперь считаем косинус прямо по заклинанию: отношение прилежащего катета к гипотенузе.

        cosβ = b/c = 4/5

        Всё! Быстро, правда?) Вот такой красивый графический способ-лайт. Безо всяких формул.) Ну… почти. Ведь теорему Пифагора всяко надо знать, да.)

        Следующее задание.

        Упростите выражение:

        

        Что, внушает? В таких замороченных примерах необходимо понимать, что синусы и косинусы никоим образом не отменяют всей остальной математики. И подчиняются тем же самым общим правилам, что и обычные числа и буквы в алгебре! А именно — разложение на множители, формулы сокращённого умножения, раскрытие скобок, приведение подобных, сокращение дробей и т.п.

        Вас же никак не смущает дробь

        

        правда ведь? Хотя кого-то она, возможно, тоже смущает, да…

        Естественно, к основным правилам алгебры добавляется ещё и специфика самой тригонометрии, от этого никуда не денешься. Собственно, с этой целью и разбираем соответствующий пример, да.)

        Начнём с числителя нашей здоровенной дроби. Забудем на минутку про тригонометрию и прикинем, что там можно сделать, основываясь на обычных правилах алгебры. Да хотя бы вынести один синус за скобки! Верно, давайте вынесем:

        sin³x·cos x + sin x·cos³x = sin x (sin²x·cos x+cos³x)

        Ой, ещё и косинус вынести можно!

        sin x (sin²x·cos x+cos³x) = sin x·cos x (sin²x+cos²x)

        Вот так. Самые грамотные вообще сразу целиком вынесут произведение sin x·cos x за скобку. Знания и наблюдательность иногда очень помогают. Если они есть.)

        А вот теперь и тригонометрия в дело вступает! Что у нас в скобочках? Да! В скобочках у нас — чистая формула №1. Или основное тригонометрическое тождество:

        sin²x+cos²x = 1

        От умножения на единичку выражение не меняется. Значит, числитель нашей дроби будет не что иное, как просто sin x·cos x.

        Всё. Числитель упростили до упора. Работаем со знаменателем:

        (1–sin x)(1+sin x)

        А здесь что? Разность ква… Точно! Разность квадратов! Такая родная и знакомая формула:

        (a—b)(a+b) = a² — b²

        Под буквой «a» здесь скрывается единичка, а под буквой «b» — выражение sin x. Ну и что? Важно понимать, что под буквами в алгебраических выражениях может скрываться всё что угодно! И числа, и синусы, и логарифмы, и степени — любые сложные выражения! Алгебре все выражения по плечу. Иначе она не была бы алгеброй, да…)

        Вот и срабатываем прямо по формуле разности квадратов:

        (1–sin x)(1+sin x) = 1² — (sin x)² = 1 — sin²x

        А вот теперь соображаем, уже из тригонометрии, что

        1 — sin²x = cos²x

        Вставляем упрощённые числитель и знаменатель в нашу дробь, сокращаем что сокращается и получаем:

        

        Казалось бы, всё. В рамках алгебры 7-го класса такая дробь дальнейшему упрощению уже не поддаётся, но алгебра в этом примере и так постаралась на славу. Зато в рамках тригонометрии эта дробь вполне себе упрощается! Что же такое синус поделить на косинус? Тангенс, конечно же! Чистая формула №2.

        

        Вот теперь всё. Значит, окончательный результат упрощения вот такой:

        

        Эффект потрясающий, правда?

        Запоминаем:

        В тригонометрии очень популярны задания, где надо использовать алгебру 7-го класса. А именно — разложение на множители, формулы сокращённого умножения, раскрытие скобок, приведение подобных, сокращение дробей и т.п. Проверяем замороченные примеры на алгебру 7-го класса!

        Ещё из той же оперы:

        Докажите тождество:

        

        Напоминаю, что страшная фраза «доказать тождество» всего лишь означает, что надо упростить обе части предлагаемого равенства (или какую-то одну, более сложную) и убедиться, что слева и справа стоит одно и то же выражение.

        Вот и пробуем добраться до одинакового выражения! Начинаем с левой части. Превращаем тангенс в отношение синуса к косинусу по второй формуле:

        

        Выражение в скобках превращаем в квадрат косинуса по первой формуле:

        

        Подставляем, сокращаем косинусы и получаем:

        

        Ну вот. Левая часть упрощена по максимуму. С правой частью аналогично — формулы №1 и №3 нам в помощь:

        

        Вот и всё! Слева и справа мы получили совершенно одинаковые выражения! А именно — sinα·cosα. Что и требовалось доказать.)

        Итак, самое главное.

        Чётко уясняем: тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) одного угла неразрывно связаны между собой основными тригонометрическими формулами. Если нам известна хотя бы одна из функций — значит, можно (при наличии необходимой дополнительной информации) вычислить и все остальные!

        А теперь порешаем, как обычно.

        Простенькие задачки:

        1. Косинус острого угла равен 7/25. Найдите синус этого угла.

        2.  Известно, что β — угол в прямоугольном треугольнике. Найти tgβ, если sinβ = 15/17.

        3. Найдите косинус острого угла A, если известно, что ctg A = 2,4.

        Покруче:

        4. Найдите значение выражения 4cos²13° — 4 + 4sin²13°.

        5. Упростите выражение и найдите его значение, если sinβ = 1:

        

        И совсем круто:

        6. Известно, что tg y = 3. Найдите значение выражения:

        

        Что, страшно? Мы такого не решали? Да, не решали. Но и самим поразмышлять тоже иногда полезно, да.) Подсказка: основное свойство дроби вам в помощь! Ну и формула №2 для тангенса, само собой.)

        Ответы (в традиционном беспорядке):

        

Внимание! Эти формулы работают только если аргументы у тригонометрических функций одинаковые, т.е.

(sin^2⁡ 776^° +cos^2⁡ 776^° =1)
(tg, 3xcdot ctg, 3x=1)

Но:

(sin^2⁡x+cos^2⁡3x≠1)
(tg, xcdot ctg, y≠1)

Все формулы связи тригонометрических функций учить не надо, потому что они достаточно легко получаются друг из друга несложными преобразованиями (подробности в этих видео). Кроме того, при частом использовании они постепенно запоминаются сами.

Примеры применения формул связи

Зачем нужны формулы связи? Они позволяют найти все тригонометрические функции угла, если известна лишь одна из них, а также дают возможность упрощать выражения, доказывать тождества, решать тригонометрические уравнения, заменяя одну функцию другой и так далее.

Пример. Найдите (5sin⁡,α), если (cos,⁡α=frac{2sqrt{6}}{5}) и (α∈(frac{3π}{2};2π)). 
Решение. Нам известен косинус, найти надо синус. А что связывает синус и косинус? Основное тригонометрическое тождество:

(sin^2α+cos^2⁡α=1).

Подставим вместо косинуса его значение:

(sin^2⁡α+)((frac{2sqrt{6}}{5}))(^2=1)
(sin^2⁡α+)(frac{4cdot 6}{25})(=1)
(sin^2⁡α+)(frac{24}{25})(=1)
(sin^2⁡α=1-)(frac{24}{25})
(sin^2⁡α=)(frac{1}{25})
(sin⁡α=±)(frac{1}{5})

Внимание! Последняя строчка – место, где теряется огромное количество баллов на ЕГЭ! Это одна из самых популярных ошибок – забыть отрицательный корень. Пожалуйста, раз и навсегда запомните, что у неполного квадратного уравнения вида (x^2=a) (при (a>0)) два корня (x_1=sqrt{a})  и (x_2=-sqrt{a}). Пусть двойка над иксом (та которая «квадрат») будет вам вечным маяком, сигнализирующим: «тут ДВА корня! Два! Не забудь!»

Вернемся к задаче. Получилось, что синус может иметь значение (frac{1}{5}), а может (-)(frac{1}{5}). И какое значение нам надо выбрать — с минусом или плюсом? Тут нам на помощь приходит информация, что (α∈(frac{3π}{2};2π)). Давайте нарисуем числовую окружность и отметим отрезок ((frac{3π}{2};2π)).

Обратите внимание – в этой четверти синус принимает только отрицательные значения (можно провести перпендикуляры до оси синусов и убедиться, что это так).

Значит, в нашем случае (sin,⁡α=-frac{1}{5}) т.е. (5sin,⁡α=5cdot(-frac{1}{5})=-1).

Ответ: (-1).

Пример.Найдите (tg,α), если (cos,⁡α=)(frac{sqrt{10}}{10}) и (α∈(frac{3π}{2};2π)). 
Решение. Есть 2 пути решения этой задачи:

— напрямую вычислить тангенс через формулу (tg^2α+1=)(frac{1}{cos^2⁡α});
— сначала с помощью тождества (sin^2⁡α+cos^2⁡α=1) найти (sin⁡,α), а потом через формулу (tg,α=)(frac{sin⁡,α}{cos⁡,α}) получить тангенс.

В учебниках обычно идут первым путем, поэтому мы пойдем вторым.

Вычисляем синус:

(sin^2⁡α+)((frac{sqrt{10}}{10})^2)(=1)
(sin^2⁡α+)(frac{10}{100})(=1)
(sin^2⁡α+)(frac{1}{10})(=1)
(sin^2⁡α=1-)(frac{1}{10})
(sin^2⁡α=)(frac{9}{10});
(sin⁡,α=±)(frac{3}{sqrt{10}})

Опять (α∈(frac{3π}{2};2π)), значит в итоге синус может быть только отрицательным. То есть, (sin⁡,α=-)(frac{3}{sqrt{10}}).
А теперь вычисляем тангенс: (tg,α=-)(frac{3}{sqrt{10}})(:)(frac{sqrt{10}}{10})(=)(-frac{3}{sqrt{10}}cdotfrac{10}{sqrt{10}})(=-)(frac{30}{10})(=-3).

Ответ: (-3).

Пример. Известно, что (tg,α=-frac{3}{4}) и (frac{π}{2}<α<π). Найдите значения трех других тригонометрических функций угла (α).
Решение. Проще всего из тангенса найти котангенс:

(ctg, α=)(frac{1}{tg, α})
(ctg,α=1:(-frac{3}{4})=1cdot(-frac{4}{3})=-frac{4}{3}).

Теперь вычислим косинус по упомянутой выше формуле:

(tg^2 α+1=)(frac{1}{cos^2⁡α})
((-)(frac{3}{4}))(^2+1=)(frac{1}{cos^2⁡α})
(frac{9}{16})(+1=)(frac{1}{cos^2⁡α})
(frac{9+16}{16})(=)(frac{1}{cos^2⁡α})
(frac{25}{16})(=)(frac{1}{cos^2⁡α})
(cos^2⁡α=)(frac{16}{25})
(cos⁡α=±)(frac{4}{5})

Опять перед нами стоит выбор плюс или минус. Отметим отрезок ((frac{π}{2};π)) на тригонометрической окружности и посмотрим какие значения принимает косинус в этой четверти, чтобы определится со знаком.

Очевидно, что косинус отрицателен в этой четверти, а значит (cos,⁡α=-)(frac{4}{5}).

Осталось найти синус:

(sin^2⁡α+cos^2⁡α=1)
(sin^2⁡α+(-)(frac{4}{5})()^2=1)
(sin^2⁡α+)(frac{16}{25})(=1)
(sin^2⁡α=1-)(frac{16}{25})
(sin^2⁡α=)(frac{9}{25})
(sin,⁡α=±)(frac{3}{5})

Опять используем круг, чтобы определить знак.

Получается, что (sin,⁡α=)(frac{3}{5}).

Ответ: (ctg,α=-)(frac{4}{3});   (cos,⁡α=-)(frac{4}{5});    (sin,α=)(frac{3}{5}).

Пример (ЕГЭ). Найдите (tg^2 α), если (5 sin^2⁡α+13 cos^2⁡α=6).
Решение. Давайте пойдем от того, что известно. В равенстве (5 sin^2⁡α+13 cos^2⁡α=6) синус заменим на косинус:

(5(1-cos^2⁡α)+13 cos^2⁡α=6)
(5-5 cos^2⁡α+13 cos^2⁡α=6)
(5+8 cos^2⁡α=6)
(8 cos^2⁡α=1)
(cos^2⁡α=)(frac{1}{8})

Поняли почему именно синус заменили на косинус, а не наоборот? И почему не надо извлекать корень, досчитывая до «чистого» косинуса? Потому что для нахождения (tg^2α) хорошо подходит формула (tg^2α+1=)(frac{1}{cos^2⁡α}) :

(tg^2 α+1=1:)(frac{1}{8})
(tg^2 α+1=1cdot)(frac{8}{1})
(tg^2 α+1=8)
(tg^2 α=7)

Ответ: (7).

Теперь еще одна задача из ЕГЭ, для наглядности мы ее решение оформили картинкой.

Пример. Упростите выражение (frac{1}{sin^2 α})(-ctg^2 α-cos^2 β).
Решение.

(frac{1}{sin^2 α})(-ctg^2 α-cos^2 β)		Самое очевидное, что можно сделать – это представить котангенс как отношение косинуса к синусу.
(=)(frac{1}{sin^2 α})(-)(frac{cos^2⁡α}{sin^2 α})(-cos^2 β=)		Приводим дроби к общему знаменателю.
(=)(frac{1-cos^2⁡α}{sin^2 α})(-cos^2 β=)		(1-cos^2⁡α) можно заменить на (sin^2 α).
(=)(frac{sin^2 α}{sin^2 α})(-cos^2 β=)		Сокращаем синусы.
(=1-cos^2 β=sin^2 β).

Пример. Докажите тождество (frac{cos^4⁡α-sin^4⁡α}{(1-sin⁡α)(1+sin⁡α)})(+2tg^2 α=)(frac{1}{cos^2 α}).
Решение.

(frac{cos^4⁡α-sin^4⁡α}{(1-sin⁡α)(1+sin⁡α)})(+2tg^2 α=)(frac{1}{cos^2 α})		Чтобы доказать это тождество, будем преобразовывать левую часть, пытаясь свести ее к правой. Поехали. Разложим числитель левой дроби по формуле разности квадратов, а знаменатель, наоборот, соберем по ней же.
(frac{(cos^2⁡α-sin^2⁡α )(cos^2 α+sin^2⁡α)}{1-sin^2⁡α})(+2tg^2 α=)(frac{1}{cos^2 α})		Очевидно, что вторая скобка числителя равна (1) (по основному тригонометрическому тождеству), а знаменатель можно заменить на (cos^2 α).
(frac{cos^2⁡α-sin^2⁡α}{cos^2 α})(+2tg^2 α=)(frac{1}{cos^2 α})		Теперь разложим тангенс по формуле (tg, α=)(frac{sin⁡,α}{cos,⁡α}).
(frac{cos^2⁡α-sin^2⁡α}{cos^2 α})(+2)(frac{sin^2⁡α}{cos^2⁡α})(=)(frac{1}{cos^2 α})		Приводим дроби к общему знаменателю.
(frac{cos^2⁡α-sin^2⁡α+2 sin^2⁡α}{cos^2 α})(=)(frac{1}{cos^2 α})		Приводим подобные слагаемые.
(frac{cos^2⁡α+sin^2⁡α}{cos^2 α})(=)(frac{1}{cos^2 α})		И вновь нас выручает основное тригонометрическое тождество
(frac{1}{cos^2 α}) (=)(frac{1}{cos^2 α})

Левая часть полностью идентична правой, то есть тождество доказано.

Как доказать все формулы связи

Для удобства сразу же приведем таблицу с всеми тригонометрическими тождествами. Всегда удобно открыть формулы в одном месте, выбрать нужную и решить пример. После таблицы мы по отдельности рассмотрим каждую тригонометрическую формулу: обсудим ее вывод и порешаем примеры.

1. Основное тригонометрическое тождество:
   $$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
2. Определение тангенса и котангенса через синус и косинус:
   $$tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)};$$
   $$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};$$
3. Cвязь тангенса и котангенса:
   $$tg(alpha)=frac{1}{ctg(alpha)};$$
   $$tg(alpha)*ctg(alpha)=1;$$
4. Тангенс через косинус. Котангенс через синус:
   $$tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
   $$ctg(alpha)^2+1=frac{1}{sin(alpha)^2};$$
5. Синус суммы и разности:
   $$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
   $$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
6. Косинус суммы и разности:
   $$cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);$$
   $$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
7. Тангенс суммы и разности:
   $$tg(alpha+beta)=frac{tg(alpha)+tg(beta)}{1-tg(alpha)*tg(beta)};$$
   $$tg(alpha-beta)=frac{tg(alpha)-tg(beta)}{1+tg(alpha)*tg(beta)};$$
8. Котангенс суммы и разности:
   $$сtg(alpha+beta)=frac{-1+сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)+ctg(beta)};$$
   $$сtg(alpha-beta)=frac{-1-сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)-ctg(beta)};$$
9. Двойной угол:
   $$cos(2*alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2*sin(alpha)^2=2*cos(alpha)^2-1;$$
   $$sin(2*alpha)=2*sin(alpha)*cos(alpha);$$
   $$tg(2*alpha)=frac{2*tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
   $$ctg(2*alpha)=frac{ctg(alpha)^2-1}{2*ctg(alpha)};$$
10. Тройной угол:
    $$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3*sin(alpha)^2*cos(alpha)=-3*cos(alpha)+4*cos(alpha)^3;$$
    $$sin(3*alpha)=3*sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3;$$
    $$tg(3*alpha)=frac{3*tg(alpha)-tg(alpha)^3}{1-3*tg(alpha)^2};$$
    $$ctg(3*alpha)=frac{ctg(alpha)^3-3*ctg(alpha)}{3*ctg(alpha)^2-1};$$
11. Формулы половинного угла:
    $$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
    $$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
    $$tg(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
    $$ctg(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$
12. Понижение степени:
    $$sin(alpha)^2=frac{1-cos(2*alpha)}{2};$$
    $$cos(alpha)^2=frac{1+cos(2*alpha)}{2};$$
    $$sin(alpha)^3=frac{3*sin(alpha)-sin(3*alpha)}{4};$$
    $$cos(alpha)^3=frac{3*cos(alpha)+cos(3*alpha)}{4};$$
    $$sin(alpha)^4=frac{3-4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
    $$cos(alpha)^4=frac{3+4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
13. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций:
    $$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
    $$sin(alpha)-sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right);$$
    $$cos(alpha)+cos(beta)=2*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
    $$cos(alpha)-cos(beta)=-2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
    $$cos(alpha)-cos(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{beta-alpha}{2}right);$$
    $$tg(alpha)+tg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
    $$tg(alpha)-tg(beta)=frac{sin(alpha-beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
    $$ctg(alpha)+ctg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
    $$ctg(alpha)-ctg(beta)=frac{sin(beta-alpha)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
14. Преобразование произведения тригонометрических функций:
    $$sin(alpha)*sin(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)right);$$
    $$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)right);$$
    $$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)right);$$
15. Формулы подстановки тангенса:
    $$sin(alpha)=frac{2*tg(frac{alpha}{2})}{1+tg(frac{alpha}{2})^2};$$
    $$cos(alpha)=frac{1-tg(frac{alpha}{2})^2}{1+tg(frac{alpha}{2})^2};$$
    $$tg(alpha)=frac{2*tg(frac{alpha}{2})}{1-tg(frac{alpha}{2})^2};$$
    $$ctg(alpha)=frac{1-tg(frac{alpha}{2})^2}{2*tg(frac{alpha}{2})};$$
16. Формулы приведения можно найти в отдельной статье

Зачем нужны тригонометрические формулы?

Как видите, тригонометрических формул очень много. Тут еще и не все приведены. Но на ваше счастье, учить всю эту таблицу не нужно. Достаточно знать только основные: №1-6, 9. Остальные на ЕГЭ по профильной математике встречаются крайне редко, а если и попадутся, то, скорее всего, будут даны в справочных материалах.

Но для участия в олимпиадах или, если вы хотите поступать в сильный математический ВУЗ через вступительные экзамены, то вам может понадобиться вся таблица. По крайней мере, у вас точно должно быть представление о существовании таких формул, чтобы их вывести в случае необходимости. Да, большинство из них легко выводятся.

Тригонометрические формулы нужны, чтобы связать все тригонометрические функции между собой. Если вы знаете одну из функций, например, синус, то, используя эти формулы, можно легко найти оставшиеся три тригонометрические функции (косинус, тангенс и котангенс). Кроме этого тождества позволяют упростить выражение под тригонометрической функцией: например, выразить синус от двойного угла через комбинацию тригонометрических функций от одинарного угла, что бывает очень полезно при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Обсудим и порешаем примеры на все формулы из таблицы.

Основное тригонометрическое тождество

$$mathbf{sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;}$$

Эту формулу можно считать главной и самой часто используемой в тригонометрии. Она выводится при помощи определения синуса и косинуса через прямоугольный треугольник и теоремы Пифагора. Не буду еще раз описывать вывод, с ним можно познакомиться в самой первой главе по тригонометрии.

При помощи основного тригонометрического тождества очень удобно искать значение синуса, если известен косинус и наоборот. Разберем пример:

Пример 1
Найдите (3sqrt{2}*sin(alpha)=?), если (cos(alpha)=frac{1}{3}) и (alphain(0;frac{pi}{2})). (ЕГЭ)

Чтобы найти значение выражения (3sqrt{2}*sin(alpha)) необходимо сначала найти значение синуса.

Формула, которая связывает и синус, и косинус — это основное тригонометрическое тождество:
$$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
Просто подставим в нее известное значение косинуса
$$sin(alpha)^2+left(frac{1}{3}right)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+frac{1}{9}=1;$$
$$sin(alpha)^2=1-frac{1}{9};$$
$$sin(alpha)^2=frac{8}{9};$$
$$sin(alpha)=pmsqrt{frac{8}{9}}=pmfrac{2sqrt{2}}{3};$$
Обратите внимание на знак (pm), отрицательное значение синуса нас тоже устраивает, так как при подстановке и возведении в квадрат знак минус исчезает.

В задании указано, что это пример из ЕГЭ первой части, значит должен быть только один ответ. Какое же значение синуса нам выбрать: положительное или отрицательное?

В этом нам поможет дополнительное условие на (alphain(0;frac{pi}{2})), что соответсвует первой четверти на тригонометрической окружности. Раз (alpha) лежит в первой четверти, то синус должен быть положительный. Выбираем положительное значение синуса:
$$sin(alpha)=frac{2sqrt{2}}{3};$$
И подставим найденное значение в искомое выражение:
$$3sqrt{2}*sin(alpha)=3sqrt{2}*frac{2sqrt{2}}{3}=4.$$

Ответ: (4.)

Аналогично по основному тригонометрическому тождеству можно находить значение косинуса, если известен синус.

Основные тригонометрическое тождество это ключ к решению более половины всех тригонометрических уравнений.

Основные связи тригонометрических функций

А как найти тангенс или котангенс, если нам, например, известен косинус? Посмотрите на формулы №2, для того, чтобы найти тангенс, нужно знать и косинус, и синус:

$$mathbf{tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)};}$$
$$mathbf{ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};}$$

Но зная косинус, мы легко можем найти синус по основному тригонометрическому тождеству, а потом уже найти тангенс.

Пример 2
Найдите (tg(alpha)) и (ctg(alpha)), если (cos(alpha)=frac{sqrt{10}}{10}) и (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)).

Сначала находим значение синуса:
$$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+left(frac{sqrt{10}}{10}right)^2=1;$$
$$sin(alpha)^2+frac{1}{10}=1;$$
$$sin(alpha)^2=1-frac{1}{10};$$
$$sin(alpha)^2=frac{9}{10};$$
$$sin(alpha)=pmsqrt{frac{9}{10}}=pmfrac{3}{sqrt{10}};$$
Так как по условию задачи (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)), что соответсвует четвертой четверти на тригонометрической окружности, то (sin(alpha)<0). Выбираем отрицательное значение:
$$sin(alpha)=-frac{3}{sqrt{10}};$$
Теперь нам известны значения и косинуса, и синуса, можем найти тангенс:
$$tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}=frac{-frac{3}{sqrt{10}}}{frac{sqrt{10}}{10}}=-frac{3}{sqrt{10}}*frac{10}{sqrt{10}}=-3;$$
Котангенс можно найти аналогично по формуле:
$$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)};$$
Но поступим проще и воспользуемся тригонометрической формулой, связывающей тангенс с котангенсом:
$$mathbf{сtg(alpha)=frac{1}{tg(alpha)};}$$
$$сtg(alpha)=frac{1}{-3}=-frac{1}{3};$$

Ответ: (tg(alpha)=-3;) (ctg(alpha)=-frac{1}{3}.)

Как видите, чтобы найти тангенс или котангенс через косинус или синус, необходимо воспользоваться сразу двумя тригонометрическими формулами. Это не очень удобно, поэтому очень полезны тригонометрические формулы, связывающие тангенс с косинусом или котангенс с синусом напрямую:
$$mathbf{tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};}$$
$$mathbf{ctg(alpha)^2+1=frac{1}{sin(alpha)^2};}$$

Вывод связи тангенса с косинусом и котангенса с синусом

Полезно знать, как они выводятся. Вывод, на самом деле, элементарный, с использованием основного тригонометрического тождества и определения тангенса через синус и косинус:
$$tg(alpha)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
$$left(frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}right)^2+1=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
Приводим левую часть к общему знаменателю:
$$frac{sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}+frac{cos(alpha)^2}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
$$frac{sin(alpha)^2+cos(alpha)^2}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
В числителе у нас получилось основное тригонометрическое тождество:
$$frac{1}{cos(alpha)^2}=frac{1}{cos(alpha)^2};$$
Получилось верное равенство — формула доказана. Аналогично доказывается формула для котангенса и синуса. (В качестве упражнения докажите ее сами).

Если решать пример №2 по этим формулам, то решение заметно сокращается:
$$tg(alpha)^2+1=frac{1}{left(frac{sqrt{10}}{10}right)^2};$$
$$tg(alpha)^2+1=10;$$
$$tg(alpha)^2=9;$$
$$tg(alpha)=pm3;$$
Так как (alpha in (frac{3pi}{2};2pi)), то тангенс будет отрицательным:
$$tg(alpha)=-3;$$

Формулы суммы и разности тригонометрических функций

1. Синус суммы и разности:
   $$mathbf{sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);}$$
   $$mathbf{sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);}$$
2. Косинус суммы и разности:
   $$mathbf{cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);}$$
   $$mathbf{cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);}$$
3. Тангенс суммы и разности:
   $$mathbf{tg(alpha+beta)=frac{tg(alpha)+tg(beta)}{1-tg(alpha)*tg(beta)};}$$
   $$mathbf{tg(alpha-beta)=frac{tg(alpha)-tg(beta)}{1+tg(alpha)*tg(beta)};}$$
4. Котангенс суммы и разности:
   $$mathbf{сtg(alpha+beta)=frac{-1+сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)+ctg(beta)};}$$
   $$mathbf{сtg(alpha-beta)=frac{-1-сtg(alpha)*ctg(beta)}{ctg(alpha)-ctg(beta)};}$$

Формулы суммы разности тригонометрических функций попадаются в ЕГЭ по профильной математике в №12. В прошлые года эти формулы давались в справочные материалах и учить их было не обязательно. Тем не менее, я бы рекомендовал выучить хотя бы формулы суммы и разности для синуса и косинуса.

Это не очень удобно, но иногда формулы суммы разности используют для вывода формул приведения:

Пример 3
Упростить выражение (sin(frac{pi}{2}+alpha)).

Воспользуемся формулой синуса суммы:
$$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(frac{pi}{2}+alpha)=sin(frac{pi}{2})*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(frac{pi}{2})=$$
$$=1*cos(alpha)+sin(alpha)*0=cos(alpha);$$

Формулы суммы разности так же полезны, когда нужно посчитать значение тригонометрических функций некоторых нестандартных углов:

Пример 4
Найдите значение (sin(15^o)=?)

(15^o) нестандартный угол, вы его не найдете в тригонометрической таблице углов. Представим (15^o) в виде разности стандартных углов (15^o=45^o-30^o). И воспользуемся формулой синуса разности:
$$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(15^o)=sin(45^o-30^o)=sin(45^o)*cos(30^o)-sin(30^o)*cos(45^o)=$$
$$=frac{sqrt{2}}{2}*frac{sqrt{3}}{2}-frac{1}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=$$
$$=frac{sqrt{6}}{4}-frac{sqrt{2}}{4}=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4};$$
Вот мы наши синус (15^o). Получилось такое иррациональное некрасивое выражение, так и оставляем.

Ответ: (sin(15^o)=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}.)

Пример 5
Найдите значение (cos(75^o)=?)

(75^o) можно представить в виде суммы стандартных углов (75^o=30^o+45^o). Здесь воспользуемся формулой косинуса суммы:
$$cos(alpha+beta)=cos(30^o)*cos(45^o)-sin(30^0)*sin(45^0)=$$
$$=frac{sqrt{3}}{2}*frac{sqrt{2}}{2}-frac{1}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=$$
$$=frac{sqrt{6}}{4}-frac{sqrt{2}}{4}=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4};$$
У нас получился опять отвратительный ответ, но внимательный читатель заметит, что ответ такой же, как в предыдущем примере, это значит, что (cos(75^o)=sin(15^o)). Такой же вывод можно было бы сделать исходя из формул приведения и знания тригонометрической окружности.

Ответ: (cos(75^o)=frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}.)

Мы не будем выводить эти формулы — это не самое приятное занятие. Их проще выучить, а вывод вам вряд ли когда-либо пригодится. Но сами формулы суммы и разности служат основой для доказательства других тригонометрических формул.

Формулы двойного угла

$$cos(2*alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2*sin(alpha)^2=2*cos(alpha)^2-1;$$
$$sin(2*alpha)=2*sin(alpha)*cos(alpha);$$
$$tg(2*alpha)=frac{2*tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
$$ctg(2*alpha)=frac{ctg(alpha)^2-1}{2*ctg(alpha)};$$

Формулы двойного угла для синуса, косинуса, тангенса и котангенса дают возможность выразить двойной угол (2alpha) через (alpha). Формулы для синуса и косинуса очень часто встречаются на ЕГЭ. Их обязательно нужно знать. Все они легко выводятся из формул синуса и косинуса суммы (формулы №5 и №6) :

$$cos(2alpha)=cos(alpha+alpha)=cos(alpha)*cos(alpha)-sin(alpha)*sin(alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2;$$
Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством можно преобразовать эту формулу:
$$cos(2alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-sin(alpha)^2-sin(alpha)^2=1-2sin(alpha)^2;$$
$$cos(2alpha)=cos(alpha)^2-sin(alpha)^2=cos(alpha)^2-(1-cos(alpha)^2)=2cos(alpha)^2-1;$$

Синус двойного угла выводится аналогичным образом только с использованием формулы синуса суммы:
$$sin(2alpha)=sin(alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(alpha)=2sin(alpha)cos(alpha);$$

Для вывода формул двойного угла для тангенса нам понадобится представить тангенс в виде отношения синуса к косинуса по определению и только что выведенные формулы синуса и косинуса двойного угла:
$$tg(2alpha)=frac{sin(2alpha)}{cos(2alpha)}=frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}=frac{frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{cos(alpha)^2}}{frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}}=frac{frac{2sin(alpha)}{cos(alpha)}}{1-frac{sin(alpha)^2}{cos(alpha)^2}}=frac{2tg(alpha)}{1-tg(alpha)^2};$$
Котангенс двойного угла выводится абсолютно также:
$$сtg(2alpha)=frac{cos(2alpha)}{sin(2alpha)}=frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{2sin(alpha)cos(alpha)}=frac{frac{cos(alpha)^2-sin(alpha)^2}{sin(alpha)^2}}{frac{2sin(alpha)cos(alpha)}{sin(alpha)^2}}=frac{frac{cos(alpha)^2}{sin(alpha)^2}-1}{frac{2cos(alpha)}{sin(alpha)}}=frac{ctg(alpha)^2-1}{2ctg(alpha)};$$

В первой части на ЕГЭ попадаются номера на преобразование тригонометрических выражений, где часто содержится двойной угол:

Пример 6
Найти значение (24cos(2alpha)=?), если (sin(alpha)=-0,2.)

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:
$$cos(2alpha)=1-2sin(alpha)^2;$$
$$24cos(2alpha)=24(1-2sin(alpha)^2)=24-48sin(alpha)^2=24-48*(-0,2)^2=24-48*0,04=22,08.$$

Пример 7
Найти значение (frac{10sin(6alpha)}{3cos(3alpha)}=?), если (sin(3alpha)=0,6.)

Используем синус двойного угла, для этого представим (6alpha=2*(3alpha)):
$$sin(6alpha)=sin(2*(3alpha))=2sin(3alpha)cos(3alpha);$$
$$frac{10sin(6alpha)}{3cos(3alpha)}=frac{10*2sin(3alpha)cos(3alpha)}{3cos(3alpha)}=frac{20sin(3alpha)}{3}=frac{20*0,6}{3}=frac{12}{3}=4.$$

Пример 8
Найти значение выражения (frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{sin(22^o)}=?)

Замечаем, что (22^o=2*11^o) и воспользуемся синусом двойного угла:
$$frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{sin(22^o)}=frac{12sin(11^o)cos(11^o)}{2sin(11^o)cos(11^o)}=frac{12}{2}=6.$$

Формулы тройного угла

Формулы тройного угла обычно попадаются на математических олимпиадах или вступительных экзаменах в математические ВУЗы. Учить их необязательно, но знать о существовании полезно, тем более, что они достаточно легко выводятся.
$$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3*sin(alpha)^2*cos(alpha)=-3*cos(alpha)+4*cos(alpha)^3;$$
$$sin(3*alpha)=3*sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3*sin(alpha)-4*sin(alpha)^3;$$
$$tg(3*alpha)=frac{3*tg(alpha)-tg(alpha)^3}{1-3*tg(alpha)^2};$$
$$ctg(3*alpha)=frac{ctg(alpha)^3-3*ctg(alpha)}{3*ctg(alpha)^2-1};$$

Выведем эти формулы, использую формулы сложения. Начнем с косинуса тройного угла:
$$cos(3*alpha)=cos(2alpha+alpha)=cos(2alpha)*cos(alpha)-sin(2alpha)*sin(alpha)=$$
$$=(cos(alpha)^2-sin(alpha)^2)*cos(alpha)-2sin(alpha)*cos(alpha)*sin(alpha)=$$
$$=cos(alpha)^3-sin(alpha)^2*cos(alpha)-2sin(alpha)^2*cos(alpha)=$$
$$=cos(alpha)^3-3sin(alpha)^2*cos(alpha);$$

Если расписать (sin(alpha)^2=1-cos(alpha)^2), то получим еще один вариант формулы тройного угла:
$$cos(3*alpha)=cos(alpha)^3-3sin(alpha)^2*cos(alpha)=cos(alpha)^3-3(1-cos(alpha)^2)*cos(alpha)=$$
$$=4cos(alpha)^3-3cos(alpha);$$

Аналогично выводится формула синуса тройного угла:
$$sin(3alpha)=sin(2alpha+alpha)=sin(2alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(2alpha)=$$
$$=2sin(alpha)*cos(alpha)*cos(alpha)+sin(alpha)*(cos(alpha)^2-sin(alpha)^2)=$$
$$=2sin(alpha)*cos(alpha)^2+sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=3sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3;$$
Распишем по основному тригонометрическому тождеству (cos(alpha)^2=1-sin(alpha)^2) и подставим:
$$sin(3alpha)=3sin(alpha)*cos(alpha)^2-sin(alpha)^3=$$
$$=3sin(alpha)*(1-sin(alpha)^2)-sin(alpha)^3=3sin(alpha)-4sin(alpha)^3;$$

Для тангенса и котангенса формулы тройного угла здесь выводить не будем, так как они достаточно редки. Но в качестве упражнения можете сами выполнить вывод, представив тангенс или котангенс по определению: через отношение синуса тройного угла к косинусу тройного угла или наоборот соотвественно.

Формулы тройного угла обычно используются при преобразовании сложных тригонометрических выражений. Например, на вступительных экзаменах в МФТИ любят давать тригонометрические уравнения на тройной угол и больше.

Формулы половинного угла (двойного аргумента)

$$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
$$tg(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
$$ctg(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$

Формулы половинного угла это по сути формулы обратные формулам двойного угла. Достаточно запомнить их элементарный вывод, тогда учить совсем необязательно. Здесь важный момент, что любой угол (alpha) всегда можно представить в виде удвоенного угла (frac{alpha}{2}):
$$alpha=2*frac{alpha}{2};$$

Выведем формулу синуса половинного угла, для этого нам понадобится формула косинуса двойного угла:
$$cos(alpha)=1-2*sin(frac{alpha}{2})^2;$$
Выразим отсюда (sin(frac{alpha}{2})):
$$sin(frac{alpha}{2})^2=frac{1-cos(alpha)}{2};$$
Иногда эту формулу записывают без квадрата:
$$sin(frac{alpha}{2})=pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}};$$
Плюс минус возникает при избавлении от квадрата.
Вывод косинуса половинного угла тоже получается из формулы косинуса двойного угла:
$$cos(alpha)=2*cos(frac{alpha}{2})^2-1;$$
$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{cos(alpha)+1}{2};$$
$$cos(frac{alpha}{2})=pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}};$$

Доказательство формул половинного угла для тангенса и котангенса следует из выше доказанных формул:
$$tg(frac{alpha}{2})=frac{sin(frac{alpha}{2})}{cos(frac{alpha}{2})}=frac{pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}}}{pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}}}=sqrt{frac{frac{1-cos(alpha)}{2}}{frac{cos(alpha)+1}{2}}}=frac{1-cos(alpha)}{1+cos(alpha)};$$
Точно так же для котангенса:
$$сtg(frac{alpha}{2})=frac{cos(frac{alpha}{2})}{sin(frac{alpha}{2})}=frac{pmsqrt{frac{cos(alpha)+1}{2}}}{pmsqrt{frac{1-cos(alpha)}{2}}}=sqrt{frac{frac{cos(alpha)+1}{2}}{frac{1-cos(alpha)}{2}}}=frac{1+cos(alpha)}{1-cos(alpha)};$$

Пример 9
При помощи формул половинного угла можно, например, посчитать (cos(15^o)):

$$cos(frac{alpha}{2})^2=frac{1+cos(alpha)}{2};$$
$$cos(15^o)^2=frac{1+cos(30^o)}{2}=frac{1+frac{sqrt{3}}{2}}{2}=frac{2+sqrt{3}}{4};$$
$$cos(15^o)=sqrt{frac{2+sqrt{3}}{4}}.$$

Кстати, формулы половинного угла справедливы не только в явном виде, когда аргумент правой части формулы (alpha), а левой (frac{alpha}{2}). Но и в неявном, достаточно, чтобы аргумент правой части был больше аргумента левой в два раза:
$$sin(5alpha)=pmsqrt{frac{1-cos(10alpha)}{2}};$$

Формулы понижения степени

$$sin(alpha)^2=frac{1-cos(2*alpha)}{2};$$
$$cos(alpha)^2=frac{1+cos(2*alpha)}{2};$$
$$sin(alpha)^3=frac{3*sin(alpha)-sin(3*alpha)}{4};$$
$$cos(alpha)^3=frac{3*cos(alpha)+cos(3*alpha)}{4};$$
$$sin(alpha)^4=frac{3-4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$
$$cos(alpha)^4=frac{3+4*cos(2*alpha)+cos(4*alpha)}{8};$$

Формулы понижения второй степени на самом деле дублируют формулы половинного угла.

Формулы понижения третей степени перестановкой слагаемых дублируют формулы тройного угла.

Преобразование суммы и разности тригонометрических функций:

$$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$sin(alpha)-sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)+cos(beta)=2*cosleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)-cos(beta)=-2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$cos(alpha)-cos(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*sinleft(frac{beta-alpha}{2}right);$$
$$tg(alpha)+tg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
$$tg(alpha)-tg(beta)=frac{sin(alpha-beta)}{cos(alpha)*cos(beta)};$$
$$ctg(alpha)+ctg(beta)=frac{sin(alpha+beta)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$
$$ctg(alpha)-ctg(beta)=frac{sin(beta-alpha)}{sin(alpha)*sin(beta)};$$

Формулы для суммы и разности тригонометрических функций полезны, если необходимо превратить сумму двух функций в произведение. Они в основном используются в уравнениях и преобразованиях сложных выражений, когда необходимо слагаемые разложить на множители.

Для вывода формул суммы и разности синусов и косинусов нам понадобится пара трюков и формулы синуса и косинуса суммы и разности (тут можно запутаться, в названиях формул, будьте внимательны). Вывод получается не самый очевидный.

Обратите внимание, что любой угол (alpha) можно представить в таком странном виде:
$$alpha=frac{alpha}{2}+frac{alpha}{2}+frac{beta}{2}-frac{beta}{2}=frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2};$$
Аналогично угол (beta):
$$beta=frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2};$$
Эти странности нам понадобятся при выводе формул, просто обратите на них внимание.
А теперь перейдем непосредственно к выводу формулы суммы синусов двух углов. Для начала распишем угла (alpha) и (beta) по формулам выше:
$$sin(alpha)+sin(beta)=sin(frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2}); qquad (*)$$
Теперь воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности:

$$sin(gamma+sigma)=sin(gamma)*cos(sigma)+sin(sigma)*cos(gamma);$$
$$sin(gamma-sigma)=sin(gamma)*cos(sigma)-sin(sigma)*cos(gamma);$$

Только у нас под синусами будут стоять не (gamma) и (sigma), а целые выражения.
Пусть:
$$gamma=frac{alpha+beta}{2};$$
$$sigma=frac{alpha-beta}{2};$$
Применим формулы синуса суммы и разности в (*):
$$sin(alpha)+sin(beta)=sin(frac{alpha+beta}{2}+frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha+beta}{2}-frac{alpha-beta}{2})=$$
$$=left(sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2})+sin(frac{alpha-beta}{2})*cos(frac{alpha+beta}{2})right)+$$
$$+left(sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2})-sin(frac{alpha-beta}{2})*cos(frac{alpha+beta}{2})right)=$$
$$=2*sin(frac{alpha+beta}{2})*cos(frac{alpha-beta}{2}); $$
В самом конце мы просто раскрыли большие скобки и привели подобные слагаемые.

Аналогично выводятся все остальные формулы.

Пример 10
Вычислить (sin(165)+sin(75)=?)

(165^o) и (75^o) это не табличные углы. Значения синусов этих углов мы не знаем. Для решения этого примера воспользуемся формулой суммы синусов:
$$sin(alpha)+sin(beta)=2*sinleft(frac{alpha+beta}{2}right)*cosleft(frac{alpha-beta}{2}right);$$
$$sin(165^o)+sin(75^o)=2*sinleft(frac{165^o+75^o}{2}right)*cosleft(frac{165^o-75^o}{2}right)=$$
$$=2*sin(120^o)*cos(45^o)=2*frac{sqrt{3}}{2}*frac{sqrt{2}}{2}=frac{sqrt{6}}{2}.$$

Преобразование произведения тригонометрических функций

$$sin(alpha)*sin(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)right);$$
$$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(cos(alpha-beta)+cos(alpha+beta)right);$$
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*left(sin(alpha-beta)+sin(alpha+beta)right);$$

В некотором смысле формулы произведения синуса, косинуса, тангенса и котангенса являются обратными к тригонометрическим формулам суммы и разности тригонометрических функций. При помощи этих формул возможно перейти от произведения к сумме или разности.

Для вывода нам опять понадобятся формулы косинуса суммы и разности:
$$cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha);$$
$$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$

Сложим эти две формулы. Для этого складываем их левые части и приравниваем сумме правых частей:

$$cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*sin(alpha)+cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Приводим подобные слагаемые:
$$cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta)=2*cos(alpha)*cos(beta);$$
Отсюда получаем:
$$cos(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(cos(alpha+beta)+cos(alpha-beta));$$
Формула произведения косинусов доказана.

Произведение синусов доказывается похожим образом. Для этого домножим формулу косинуса суммы слева и справа на ((-1)):
$$-cos(alpha+beta)=-cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Косинус разности оставим без изменений:
$$cos(alpha-beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
Сложим опять эти две формулы:
$$cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)=cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha)-cos(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*sin(alpha);$$
$$cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta)=2*sin(beta)*sin(alpha);$$
$$sin(beta)*sin(alpha)=frac{1}{2}*(cos(alpha-beta)-cos(alpha+beta));$$
Произведение синусов тоже доказано.

Для того, чтобы вывести формулу произведения синуса и косинуса, нам понадобятся формулы синуса суммы и разности:
$$sin(alpha+beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
Сложим их:
$$sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)+sin(beta)*cos(alpha)+sin(alpha)*cos(beta)-sin(beta)*cos(alpha);$$
$$sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)=2*sin(alpha)*cos(beta);$$
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta));$$

Пример 11
Вычислить (sin(75^o)*cos(15^o)=?)

Воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса:
$$sin(alpha)*cos(beta)=frac{1}{2}*(sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta));$$
$$sin(75^o)*cos(15^o)=frac{1}{2}*(sin(75^o+15^o)+sin(75^o-15^o))=$$
$$=frac{1}{2}*(sin(90^o)+sin(60^o))=frac{1}{2}*(1+frac{sqrt{3}}{2})=frac{2+sqrt{3}}{4}.$$

Определение котангенса угла

Котангенс является обратно пропорциональной величиной к тангенсу. То есть, это отношение прилежащего катета к противолежащему.

Для простоты запоминания можно дать такое определение: котангенс угла — это отношение ближнего от рассматриваемого угла катета к дальнему катету.

В случае с рисунком, описанным выше: ctg⁡α=bactgalpha=frac{b}{a}

ctg⁡α=cos⁡αsin⁡αctgalpha=frac{cosalpha}{sinalpha}

Задача 1

Пусть в прямоугольном треугольнике синус угла равен 0.200.20, а косинус этого угла равен 0.980.98. Найдите котангенс данного по условию угла.

Решение

sin⁡α=0.20sinalpha=0.20
cos⁡α=0.98cosalpha=0.98

ctg⁡α=cos⁡αsin⁡α=0.980.20=4.9ctgalpha=frac{cosalpha}{sinalpha}=frac{0.98}{0.20}=4.9

Ответ

4.94.9

После того, как мы изучили и тангенс, и котангенс, можно рассмотреть еще одно тождество:

Связь тангенса с котангенсом

tg⁡α⋅ctg⁡α=1tgalphacdotctgalpha=1

Вывод его прост:

tg⁡α⋅ctg⁡α=sin⁡αcos⁡α⋅cos⁡αsin⁡α=1tgalphacdotctgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}cdotfrac{cosalpha}{sinalpha}=1

Благодаря ему можно быстро и без каких-либо трудностей вычислять одну из этих величин.

Задача 2

Каков тангенс угла, если его котангенс равен 4.54.5?

Решение

ctg⁡α=4.5ctgalpha=4.5

tg⁡α⋅ctg⁡α=1tgalphacdotctgalpha=1

tg⁡α⋅4.5=1tgalphacdot4.5=1

tg⁡α=14.5tgalpha=frac{1}{4.5}

tg⁡α≈0.22tgalphaapprox0.22

Ответ

0.220.22

Еще одно тождество помогает решить задачи, связанные с котангенсом:

1+ctg⁡2α=1sin⁡2α1+ctg^2alpha=frac{1}{sin^2alpha}

Оно появляется путем деление каждого слагаемого основного тождества тригонометрии на квадрат синуса.

Задача 3

Найдите котангенс угла, если квадрат его синуса равен 0.490.49.

Решение

sin⁡2α=0.49sin^2alpha=0.49

1+ctg⁡2α=1sin⁡2α1+ctg^2alpha=frac{1}{sin^2alpha}

1+ctg⁡2α=10.491+ctg^2alpha=frac{1}{0.49}

1+ctg⁡2α≈2.041+ctg^2alphaapprox2.04

ctg⁡2α≈1.04ctg^2alphaapprox1.04

ctg⁡α≈1.02ctgalphaapprox1.02

Ответ

1.021.02

Решение задач по математике недорого от экспертов биржи!

Тест по теме «Вычисление котангенса»