Как найти тангенс острого угла по рисунку

Обычно в задачах требуется найти тангенс именно острого угла, как, допустим, на этом примере:

Для этого мы строим прямоугольный треугольник, проведя линию (перпендикуляр) BD:

Далее вспоминаем определение тангенса, это отношение противолежащего катета к прилежащему.

То есть tg(BOA) = DB / DO.

Чтобы найти DO и DB достаточно будет посчитать количество клеточек.

DO = 2.

DB = 5.

Значит, tg(BOA) = 5 / 2 = 2,5.

Зная тангенс, мы можем легко найти и котангенс:

ctg(BOA) = 1 / tg(BOA) = 1 / 2,5 = 0,4.

_

А вот задача на нахождение тангенса угла по клеточкам немного другого плана (ищем тангенс угла AOB):

Если соединить точки A и B, то угол ABO будет прямым.

И тангенс можно вычислить как отношение BA к BO.

Как же нам их найти?

И BO, и BA будут гипотенузами 2 совершенно равных прямоугольных треугольников (для наглядности я их выделил красным).

Длина катетов их равна 2 и 8, а квадрат гипотенузы, как известно, равен сумме квадратов катетов.

Таким образом, у нас получится следующее:

tg(BOA) = BA / BO = √(2² + 8²) / √(2² + 8²) = 1.

И нетрудно догадаться, что треугольник этот равнобедренный с равными углами BOA и BAO по 45 градусов.

Внимание! Все решения (включая любые графические элементы), размещенные на сайте мояматематика.рф, являются результатом труда и собственностью создателей сайта. Копирование, в том числе частичное, запрещено. Использование любых материалов сайта мояматематика.рф разрешено только с письменного согласия владельцев ресурса.

№8. Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке.

Решение:

Опустим перпендикуляр AH на сторону OB.

Рассмотрим прямоугольный △ A O H :

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему.

tg ∠ A O H = A H O H = 4 2 = 2

Ответ: 2

№9. Найдите тангенс угла A треугольника ABCб изображённого на рисунке.

Решение:

Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

tg ∠ B A C = B C A C = 2 5 = 0,4

Ответ: 0,4

№10. На рисунке изображена трапеция ABCD. Используя рисунок, найдите sin ∠ B A H .

Решение:

Рассмотрим прямоугольный △ A B H :

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin ∠ A = B H A B

Найдем AB по теореме Пифагора:

A B 2 = A H 2 + B H 2

A B 2 = 3 2 + 4 2

A B 2 = 9 + 16 = 25

A B = ± 25 = [ − 5 не подходит 5 подходит

A B = 5

sin ∠ A = B H A B = 4 5 = 0,8

Ответ: 0,8

№11. На рисунке изображен ромб ABCD. Используя рисунок, найдите tg ∠ O B C .

Решение:

Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

tg ∠ O B C = O C B O = 3 4 = 0,75

Ответ: 0,75

№12. На рисунке изображена трапеция ABCD. Используя рисунок, найдите cos ∠ H B A .

Решение:

Рассмотрим прямоугольный △ A B H :

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos ∠ A B H = B H A B

Найдем A B по теореме Пифагора:

A B 2 = A H 2 + B H 2

A B 2 = 6 2 + 8 2

A B 2 = 36 + 64 = 100

A B = ± 100 = [ − 10 не подходит 10 подходит

A B = 10

cos ∠ A B H = B H A B = 8 10 = 0,8

Ответ: 0,8

№13. Найдите тангенс угла, изображенного на рисунке.

Решение:

tg β = tg ( 180 ° − α ) = − tg α

Рассмотрим прямоугольный △ B C H .

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему.

tg α = C H B H = 3 1

tg β = − tg α = − 3

Ответ: -3

№14. Найдите тангенс угла AOB.

Решение:

Опустим высоту BH на сторону OA.

Рассмотрим прямоугольный △ O B H :

tg ∠ O = B H O H

Найдем B H и O H по теореме Пифагора:

B H 2 = 2 2 + 8 2 = = 4 + 64 = 68

B H = ± 68   = ± 4 ⋅ 17 = ± 4 ⋅ 17 = ± 2 17 = [ − 2 17 не подходит 2 17 подходит

B H   =   2 17

O H 2 = 1 2 + 4 2 = 1 + 16 = 17

O H = ± 17 = [ − 17 не подходит 17 подходит

O H   =   17

tg ∠ O = B H O H = 2 17 17 = 2

Ответ: 2

Угол на клетчатой бумаге. В этой статье мы с вами рассмотрим задачу, суть которой заключается в том, чтобы найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла, построенного на листе в клетку. Такие задания входят в состав экзамена по математике. 

Способы решения существуют разные, их более трёх. Подход изложенный ниже можно было бы назвать универсальным. Если у вас найдутся задачи, которые вы таким способом решить не сможете, пришлите мне их, подберём другой. Углы могут быть построены следующим образом (примеры):

Итак, рассмотрим задание:

Найдите тангенс угла AOB. В ответе укажите значение тангенса, умноженное на 8.

Соединим точки А и В. Получили треугольник АОВ. На сторонах полученного треугольника построим прямоугольные треугольники так, чтобы эти стороны являлись гипотенузами.

Суть подхода такова: находим все стороны треугольника (это можно сделать по теореме Пифагора); далее используя теорему косинусов, мы можем найти косинус угла; зная косинус мы без труда найдём остальные тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс).

АВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 3,

ОВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 1, 

OА является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 2,

По теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус  угла между ними.

Из основного тригонометрического тождества можем найти sin AOB:

*Обратите внимание, что перед знаком корня у нас «+», так как угол острый (от 0 до 90 градусов). А синус острого угла имеет положительное значение. 

Теперь можем найти тангенс:

Умножим результат на 8 и запишем ответ:

Ответ: 11

Ещё раз повторим: как бы не был построен угол, мы всегда можем достроить его до треугольника, найти стороны этого треугольника (используя теорему Пифагора), далее используя теорему косинусов найти косинус угла (заданного в условии). Затем не составит труда, используя основное тригонометрическое тождество, найти синус. Тангенс и котангенс далее не сложно найти по их формулам.

Ниже предложено самостоятельно решить задачи. При их решении на сайте использовались и другие способы (вы решите представленным выше):

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.

Посмотреть решение

Найдите тангенс угла AOB.

Посмотреть решение

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на половину корня из пяти.

Посмотреть решение

Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на два корня из пяти.

Посмотреть решение

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на  два корня из двух.

Посмотреть решение

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2 корня из двух.

Посмотреть решение

Найдите тангенс угла AOB.

Посмотреть решение

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!

С уважением, Александр Крутицких.

*Делитесь информацией в социальных сетях )

Подготовка
к ОГЭ: нахождение тангенса угла по клеткам.

1. Источник: МА-9 ДЕМО 2017

Найдите тангенс угла АОВ треугольника,

изображённого на рисунке.

Решение:
Тангенсом
угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к
прилежащему. Воспользовавшись клеточками, нетрудно найти нужные величины: АВ=4    АО=2

 =  = 2

Ответ: 2

2. Источник: Открытый банк заданий по математике

 Прототип задания 12 (№
27450)

 

 

На клетчатой бумаге с размером клетки  

изображён угол. Найдите тангенс этого угла

Решение:
Находим прямоугольный треугольник

(как
показано  на рисунке). Далее по п1.

Ответ: 2,5

 

3. Источник: Открытый банк
заданий по математике

 Прототип задания 12 (№
27456)

На клетчатой бумаге с размером клетки  

изображён угол. Найдите тангенс этого угла

Решение:
Находим прямоугольный треугольник

(как
показано  на рисунке).

Находим по т. Пифагора
противолежащий катет

(красный треугольник),
прилежащий катет

(жёлтый треугольник).

 = 1

Замечание: обучающиеся
обычно решают это

задание следующим образом: кладут
снизу

клетчатый лист, чтобы на просвет
задача

стала аналогичной п.1.

(как показано  на рисунке).                         

   Ответ:
1