Всего: 15 1–15
Добавить в вариант
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
Найдите тангенс угла AOB.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
Найдите тангенс угла AOB. Сторона одной клетки равна 1.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с центром O. Найдите высоту трапеции, если её средняя линия равна 3 и
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён острый угол. Найдите тангенс этого угла.
Всего: 15 1–15
Обычно в задачах требуется найти тангенс именно острого угла, как, допустим, на этом примере:
Для этого мы строим прямоугольный треугольник, проведя линию (перпендикуляр) BD:
Далее вспоминаем определение тангенса, это отношение противолежащего катета к прилежащему.
То есть tg(BOA) = DB / DO.
Чтобы найти DO и DB достаточно будет посчитать количество клеточек.
DO = 2.
DB = 5.
Значит, tg(BOA) = 5 / 2 = 2,5.
Зная тангенс, мы можем легко найти и котангенс:
ctg(BOA) = 1 / tg(BOA) = 1 / 2,5 = 0,4.
_
А вот задача на нахождение тангенса угла по клеточкам немного другого плана (ищем тангенс угла AOB):
Если соединить точки A и B, то угол ABO будет прямым.
И тангенс можно вычислить как отношение BA к BO.
Как же нам их найти?
И BO, и BA будут гипотенузами 2 совершенно равных прямоугольных треугольников (для наглядности я их выделил красным).
Длина катетов их равна 2 и 8, а квадрат гипотенузы, как известно, равен сумме квадратов катетов.
Таким образом, у нас получится следующее:
tg(BOA) = BA / BO = √(2² + 8²) / √(2² + 8²) = 1.
И нетрудно догадаться, что треугольник этот равнобедренный с равными углами BOA и BAO по 45 градусов.
№8. Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке.
Решение:
Опустим перпендикуляр AH на сторону OB.
Рассмотрим прямоугольный △ A O H :
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему.
tg ∠ A O H = A H O H = 4 2 = 2
Ответ: 2
№9. Найдите тангенс угла A треугольника ABCб изображённого на рисунке.
Решение:
Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему.
tg ∠ B A C = B C A C = 2 5 = 0,4
Ответ: 0,4
№10. На рисунке изображена трапеция ABCD. Используя рисунок, найдите sin ∠ B A H .
Решение:
Рассмотрим прямоугольный △ A B H :
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin ∠ A = B H A B
Найдем AB по теореме Пифагора:
A B 2 = A H 2 + B H 2
A B 2 = 3 2 + 4 2
A B 2 = 9 + 16 = 25
A B = ± 25 = [ − 5 не подходит 5 подходит
A B = 5
sin ∠ A = B H A B = 4 5 = 0,8
Ответ: 0,8
№11. На рисунке изображен ромб ABCD. Используя рисунок, найдите tg ∠ O B C .
Решение:
Тангенс угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему.
tg ∠ O B C = O C B O = 3 4 = 0,75
Ответ: 0,75
№12. На рисунке изображена трапеция ABCD. Используя рисунок, найдите cos ∠ H B A .
Решение:
Рассмотрим прямоугольный △ A B H :
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos ∠ A B H = B H A B
Найдем A B по теореме Пифагора:
A B 2 = A H 2 + B H 2
A B 2 = 6 2 + 8 2
A B 2 = 36 + 64 = 100
A B = ± 100 = [ − 10 не подходит 10 подходит
A B = 10
cos ∠ A B H = B H A B = 8 10 = 0,8
Ответ: 0,8
№13. Найдите тангенс угла, изображенного на рисунке.
Решение:
tg β = tg ( 180 ° − α ) = − tg α
Рассмотрим прямоугольный △ B C H .
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему.
tg α = C H B H = 3 1
tg β = − tg α = − 3
Ответ: -3
№14. Найдите тангенс угла AOB.
Решение:
Опустим высоту BH на сторону OA.
Рассмотрим прямоугольный △ O B H :
tg ∠ O = B H O H
Найдем B H и O H по теореме Пифагора:
B H 2 = 2 2 + 8 2 = = 4 + 64 = 68
B H = ± 68 = ± 4 ⋅ 17 = ± 4 ⋅ 17 = ± 2 17 = [ − 2 17 не подходит 2 17 подходит
B H = 2 17
O H 2 = 1 2 + 4 2 = 1 + 16 = 17
O H = ± 17 = [ − 17 не подходит 17 подходит
O H = 17
tg ∠ O = B H O H = 2 17 17 = 2
Ответ: 2
Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ. Решение задачи: найти тангенс угла (на клетках).
несколько способов решения одной задачи.pptx
Несколько способов решения одной задачи
Несколько способов
решения одной задачи
Шишкина Л. В.
учитель математики
МБОУ СОШ №24
хутора Болгов
Усть-Лабинского района
Краснодарского края
Задача: Найдите тангенс угла АОВ
Задача: Найдите тангенс угла АОВ.
Размер клетки 11.
Используем систему координат х y
Используем систему координат
х
y
Несколько способов решения одной задачи
Несколько способов решения одной задачи
Используем определения и формулы тригонометрии
Используем определения и формулы тригонометрии
Используем теорему Пифагора и обратную ей теорему
Используем теорему Пифагора и обратную ей теорему
Используем понятие площади и формулы площади треугольника
Используем понятие площади и формулы площади треугольника
Несколько способов решения одной задачи
Аналогичные задачи.
Аналогичные задачи.
Несколько способов решения одной задачи
х y
х
y
Несколько способов решения одной задачи
Несколько способов решения одной задачи
Несколько способов решения одной задачи
Порешаем сами?
Порешаем сами?
Несколько способов решения одной задачи
Несколько способов решения одной задачи
Несколько способов решения одной задачи
Несколько способов решения одной задачи
Несколько способов решения одной задачи
Несколько способов решения одной задачи
Несколько способов решения одной задачи
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
Введите ваш emailВаш email
За третьим заданием негласно закрепилось название «фигура на бумаге в клетку». В задании представлена какая-либо фигура (круг, четырехугольник, треугольник или угол) на клетчатой бумаге.
Проверяется знание основ планиметрии: определений, наиболее известных теорем и формул.
Тип задания: с кратким ответом
Уровень сложности: базовый
Количество баллов: 1
Примерное время на выполнение: 2 минуты
В заданиях встречаются фигуры: угол, все виды треугольников, произвольный выпуклый четырехугольник, трапеция (в том числе равнобедренная и прямоугольная), параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, круг.
При решении надо учитывать, что размер клетки 1*1см. В заданиях это указано. Очень редко попадаются другие размеры клетки — надо внимательно читать задание.
По умолчанию считается, что ученик легко находит на бумаге в клетку углы в 180, 135, 90 и 45 градусов.
Вершины многоугольников и центры окружностей во всех заданиях лежат в вершинах клеток (имеют целые координаты). Однако концы искомых отрезков, например, средней линии трапеции, могут иметь произвольные координаты. Но всё очень легко вычисляется по формулам.
При подготовке полезно пользоваться прилагающимися к билету справочными материалами, даже если вам все это давно и отлично знакомо. В самый ответственный момент эта привычка может оказаться полезной. Во время решения третьего задания на экзамене большинство сдающих еще находятся в состоянии стресса от процедуры начала экзамена. Поэтому навык использования справочных материалов снижает риск ошибки и даже оказывает некоторую психологическую поддержку.
Определения, а также свойства фигур и их элементов, в справочных материалах не даются. Их надо знать. Все они изучаются в курсе геометрии за 7-8 класс. При подготовке к экзамену полезно выписать из учебника теоремы и время от времени перечитывать их.
Сложных вычислений в третьем задании нет. Бываю задания, где достаточно знать определение, а искомую величину можно отсчитать по клеточкам. Если решение получается в несколько действий – ищите способ проще.
Большинство задач можно решить несколькими способами.
Пример №1
Найдите большую диагональ ромба.
Решение: Собственно, все, что нужно знать – определение диагонали и понятие больше-меньше.
Ответ: 4 см.
Удивительно, что в профильной математике встречаются такие задания. И в них тоже допускают ошибки. Видимо, от неожиданности уровня сложности.
Далее для разбора выбраны наиболее сложные задачи, встречавшиеся в третьем задании на экзаменах прошлых лет.
Пример №2
Найдите площадь треугольника.
Решение:
1) Достроим фигуру до прямоугольника. Его площадь равна 6*4=24
2) Найдем площади «лишних» прямоугольных треугольников
(4*4)/2=8 (зеленый)
(2*2)/2=2 (синий)
(6*2)/2=6 (красный)
3) Вычтем из площади прямоугольника лишние площади треугольников: 24-8-2-6=8
Ответ: 8.
Эту же задачу можно решить другим способом.
1) Треугольник является прямоугольным, так как его катеты расположены под углом 45 градусов к вертикальной линии.
2) Катеты найдем из прямоугольных треугольников
Sqrt(4^2+4^2)=4sqrt2 (четыре корня из двух)
Sqrt(2^2+2^2)=2sqrt2 (два корня из двух)
3) Площадь искомого треугольника равна половине произведения катетов: (4sqrt2*2sqrt2)/2=(4*2*2)/2=8
Ответ: 8.
Пример №3
Найдите площадь многоугольника
Решение: Разобьем многоугольник на удобные фигуры и найдем их площади.
Площадь зеленого треугольника 1*3/2=1,5
Площадь синего треугольника 2*1/2=1
Площадь красного треугольника 1*2/2=1
Площадь квадрата 2*2=4
Площадь многоугольника равна их сумме: 1,5+1+1+4=7,5
Ответ: 7,5.
Эту задачу можно решить и вычитанием из площади прямоугольника.
Ответ: 7,5.
Пример №4
Найти площадь многоугольника.
Решение: Можно найти площадь вычитанием, как и в предыдущих заданиях.
Но быстрее можно получить результат с помощью формулы Пика. Для этого нужно сосчитать точки с целыми координатами внутри фигуры (синие) и точки с целыми координатами на контуре фигуры (красные).
Далее к числу точек внутри многоугольника прибавить половину точек на контуре и вычесть единицу.
7+9/2-1=10,5
Ответ: 10,5
Формула Пика не указана в кодификаторе, применять ее при решении заданий с развернутым ответом нельзя. Но в заданиях с кратким ответом она позволяет сэкономить время. Проверьте справедливость формулы на предыдущих примерах.
Пример № 5
Найдите градусную меру угла АВС.
Решение: Точка А имеет нецелые координаты, однако теорема о вписанном и центральном углах позволяет легко решить задачу.
Проведем радиусы в точки А и С.
По рисунку видно, что центральный угол АОС равен 135 градусам. Вписанный угол АВС опирается на те же точки окружности А и С. Согласно теореме, он в два раза меньше центрального.
135/2=67,5
Ответ: 67,5.
Пример №6
Найдите тангенс угла.
Решение: Выделим смежный острый угол.
Выделим прямоугольный треугольник с целочисленными координатами вершин, содержащий этот угол. Найдем тангенс острого угла как отношение противолежащего (зеленого) катета к прилежащему (синему).
tgA=4/1=4
Тангенс смежного тупого угла противоположен по знаку.
Ответ: -4.
В завершении хочется еще раз напомнить: листы с заданиями не проверяются. Можно все необходимые построения и вычисления делать прямо на рисунке. Это позволяет избежать ошибок по невнимательности.
Профессиональный преподаватель также сделал подробный разбор 1 и 2 задания, с которыми можно ознакомиться по ссылкам.