Тригонометрия – это наука, изучающая свойства тригонометрических формул (trigwnon – треугольник и метр – мера).
Тригонометрич. формулы — это элементарные функции, выражающие зависимость всех сторон прямоугольного треугольника от острых углов к гипотенузе (или зависимость хорд и высот от его центрального угла в окружности).
К прямым функциям тригонометрии относятся: sin x (синус), cos x (косинус). К производным: tg x (тангенс), ctg x (котангенс). В дополнение к другим тригонометрическим функциям: sec x (секанс) и cosec x (косеканс).
Косинус и синус в тригонометрии — бесконечно дифференцируемые и периодически непрерывные вещественные функции. Остальные, наоборот, дифференцируются в области определения, однако, как и прямые тригонометрические функции, непрерывны.
Основные тригонометрич. тождества:
Зная синус или косинус числа, можно найти его тангенс или котангенс: tg a = sin a / cos a
Вы можете найти синус числа, если известен его косинус, и наоборот: sin2 a + cos2 a = 1
Можно найти тангенс через синус с известным косинусом: 1 + tg2 a = 1 / cos2 a
Вы можете найти котангенс через синус с известным косинусом: 1 + 1 / tg2 a = 1 / sin2
sin(90o — а) = cos а
cos(90o — а) = sin а
И еще, любую формулу в математике можно применять не только слева направо, но и наоборот. В тригонометрии это же применяется при преобразовании суммы в произведение или при переходе от произведения к сумме.
Содержание:
Построим точку 
По определению тангенса острого угла получим: 
Определение тангенса угла
Определение:
Тангенсом угла 
называется отношение синуса угла 
к косинусу угла 
Например, 
Используя определение тангенса угла и значения синуса и косинуса этого угла, найдем также значения тангенсов углов 
Поскольку 
не существует.
Через точку 
проведем прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и продолжим луч 
до пересечения с этой прямой в точке 
(рис. 52). Получим треугольник 
подобный треугольнику 
Из подобия треугольников 
запишем равенство отношений их сторон: 
Поскольку 
то ордината точки 
равна тангенсу угла 
Прямая, перпендикулярная оси абсцисс, проходящая через точку 
называется осью тангенсов.
Нахождение тангенса произвольного угла
Для того чтобы найти тангенс произвольного угла а с помощью оси тангенсов, нужно:
- Построить точку
на единичной окружности. - Продолжить прямую до пересечения с осью тангенсов.
- Найти ординату точки пересечения прямой с осью тангенсов.
на единичной окружности.
до пересечения с осью тангенсов.
с осью тангенсов.Найдите тангенс угла 
Значения тангенса произвольного угла с помощью оси тангенсов можно указать только приближенно. Для нахождения значения тангенса произвольного угла используют четырехзначные таблицы значений тангенса (синуса, косинуса)* или калькулятор. Методы высшей математики позволяют вычислять значения тангенса (синуса, косинуса) с любой заданной степенью точности.
Пример №1
Определите с помощью оси тангенсов:
Решение:
Пример №2
С помощью оси тангенсов сравните значения выражений 
Решение:
Отметим на оси тангенсов точки, соответствующие углам 
(рис. 55), и сравним ординаты этих точек. Ордината точки 
больше ординаты точки 
значит, 
Для углов 
тангенс не существует, так как косинусы этих углов равны нулю. Например, 
не существуют.
Построим точку 
единичной окружности поворотом точки 
вокруг начала координат на угол 
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
, в котором гипотенуза 
равна 1 (радиусу единичной окружности), а его катеты равны: 
(рис. 56).
По определению котангенса острого угла получим: 
Определение котангенса угла
Определение:
Котангенсом угла 
называется отношение косинуса угла 
к синусу угла 
Например, 
Поскольку 
Воспользуемся полученным равенством и найдем значения котангенсов углов 
Поскольку 
не существует.
Найденные значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 
занесем в таблицу.
Нахождение котангенса произвольного угла
Для того чтобы найти котангенс произвольного угла 
с помощью оси котангенсов, нужно:
- Построить точку на единичной окружности.
- Продолжить прямую до пересечения с осью котангенсов.
- Найти абсциссу точки пересечения прямой с осью котангенсов.
на единичной окружности.
до пересечения с осью котангенсов.
с осью котангенсов.
Значения котангенса произвольного угла с помощью оси котангенсов можно указать только приближенно.
- Заказать решение задач по высшей математике
Пример №3
Найдите значение выражения
Решение:
Через точку 
проведем прямую, перпендикулярную оси ординат, и продолжим луч 
до пересечения с этой прямой в точке 
(рис. 57).
Получим треугольник 
подобный треугольнику 
Из подобия треугольников 
запишем равенство отношений их сторон: 
Поскольку 
то абсцисса точки 
равна котангенсу угла 
Прямая, перпендикулярная оси ординат, проходящая через точку 
называется осью котангенсов.
Пример №4
Определите с помощью оси котангенсов:
Решение:
Пример №5
С помощью оси котангенсов сравните значения выражений 
Решение:
Отметим на оси котангенсов точки, соответствующие углам 
(рис. 60), и сравним абсциссы этих точек. Абсцисса точки 
больше абсциссы точки 
значит, 
Для углов 
и т. д. котангенс не существует, так как синусы этих углов равны нулю. Например, 
не существуют.
Пример №6
С помощью оси:
а) тангенсов найдите один из углов, тангенс которого равен 
б) котангенсов найдите один из углов, котангенс которого равен 
Решение:
а) 1 Отметим на оси тангенсов точку 
ордината которой равна 
(рис. 61).
2 Соединим эту точку с началом координат.
3 Найдем соответствующую точку 
на единичной окружности.
4 Отметим один из углов, соответствующий этой точке (см. рис. 61).
б) 1 Отметим на оси котангенсов точку 
абсцисса которой равна 
(рис. 62).
2 Соединим эту точку с началом координат.
3 Найдем соответствующую точку 
на единичной окружности.
4 Отметим один из углов, соответствующий этой точке (см. рис. 62).
Пример №7
Точка 
единичной окружности имеет координаты 
Используя определение тангенса и котангенса произвольного угла, найдите 
Решение:
Так как точка 
единичной окружности имеет координаты 
По определению тангенса: 
По определению котангенса: 
значит, 
Пример №8
Найдите значение выражения 
Решение:
Пример №9
Найдите, если это возможно, значение выражения: 
Решение:
не существует, так как 
не существует, так как 
Пример №10
Если 
то 
может принимать значения: 
Выберите правильные ответы.
Решение:
Так как тангенсом угла 
называется отношение синуса угла 
к косинусу угла 
, то нужно найти те углы 
синус которых равен нулю. Среди предложенных углов это углы 
Можно также использовать ось тангенсов: найти точку на оси тангенсов, у которой ордината равна нулю (рис. 63), и определить соответствующие углы. Правильные ответы а) и г).
Пример №11
Расположите в порядке возрастания: 
Решение:
Отметим на оси тангенсов точки, соответствующие углам 
(рис. 64), и сравним ординаты этих точек. Поскольку ордината точки 
меньше ординаты точки 
а ордината точки 
меньше ординаты точки 
Пример №12
Верно ли, что 
Решение:
Отметим на оси котангенсов точки, соответствующие углам 
(рис. 65), и сравним абсциссы этих точек. Поскольку абсцисса точки 
больше абсциссы точки 
то неравенство 
верное.
Пример №13
Определите знак выражения: 
Решение:
а) Первый способ. По определению тангенса: 
Так как угол 
находится во второй четверти, то 
значит, 
Второй способ. Отметим на оси тангенсов точку, соответствующую углу 
(рис. 66). Ордината точки 
равна 
Поскольку точка 
имеет отрицательную ординату, то 
б) Первый способ. По определению котангенса 
Так как угол 
находится в третьей четверти, то
значит, 
Второй способ. Отметим на оси котангенсов точку, соответствующую углу 
(рис. 67). Абсцисса точки 
равна 
Поскольку точка 
имеет положительную абсциссу, то 
Пример №14
Определите знак произведения 
Решение:
Так как угол 3 радиана находится во второй четверти, а угол 4 радиана — в третьей, то 
значит, 
- Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного и того же угла (тригонометрические тождества)
- Функция y=sin x и её свойства и график
- Функция y=cos x и её свойства и график
- Функции y=tg x и y=ctg x — их свойства, графики
- Дробно-рациональные неравенства
- Прогрессии в математике — арифметическая, геометрическая
- Единичная окружность — в тригонометрии
- Определение синуса и косинуса произвольного угла
Содержание:
- Тангенс угла в треугольнике
- Тангенс произвольного угла
Тангенс угла в треугольнике
Определение
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего
этому углу катета к прилежащему катету (рис. 1):
$$operatorname{tg} alpha=frac{a}{b}$$
Замечание
Сравнивая определения для тангенса и
котангенса угла, можно заметить, что тангенс и котангенс угла связаны между собой соотношением:
$$
operatorname{tg} alpha=frac{1}{operatorname{ctg} alpha}
$$
Пример
Задание. Найти тангенс острого угла прямоугольного треугольника, если известно, что
прилежащий к этому углу катет равен 3 см, а противолежащий ему — на 2 сантиметра длиннее.
Решение. Вначале найдем длину противолежащего катета:
$a = 3 + 2 = 5$ (см)
Тогда тангенс угла
$$
operatorname{tg} alpha=frac{5}{3}
$$
Ответ.
$$
operatorname{tg} alpha=frac{5}{3}
$$
Тангенс произвольного угла
Определение
Тангенс произвольного угла
$alpha$, образованного осью
$O_x$ и произвольным радиус-вектором $overrightarrow{O A}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ (рис. 2), — отношение
проекции этого вектора на ось
$O_y$ к его проекции на ось
$O_x$:
$$operatorname{tg} alpha=frac{a_{y}}{a_{x}}$$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти тангенс угла, образованного вектором
$bar{a}=(1 ;-1)$ и осью абсцисс.
Решение. Проекция на ось абсцисс равна
$a_x=1$, а на ось ординат — $a_y=-1$, тогда
$$operatorname{tg} alpha=frac{-1}{1}=-1$$
Ответ. $operatorname{tg} alpha=-1$
Читать дальше: что такое котангенс угла.
Катетами прямоугольного треугольника называются те его стороны, которые образуют прямой угол. Каждый из катетов всегда меньше гипотенузы по значению, но в сумме они обязательно ее превосходят. Зная оба катета, можно найти не только третью сторону прямоугольного треугольника – гипотенузу, по теореме Пифагора, но и углы, находящиеся между катетами и гипотенузой. Для этого используется тригонометрическое отношение тангенса угла α, которое по определению равно отношению катета, противолежащего углу α, к катету прилежащему.
Делением катета, находящегося напротив угла, на катет, который является одной из сторон угла, получается значение тангенса, соответствующее определенной градусной мере. Краткая таблица основных значений тангенса находится внизу страницы, а полная таблица всех тангенсов расположена по ссылке.
Свойства
Тангенс угла tg(α) — есть отношение противолежащего катета a к прилежащему катету b.
Таблица тангенсов
| Тангенс угла 0° градусов | 0 | 0.000 |
| Тангенс угла 30° градусов | 1/√3 | 0.577 |
| Тангенс угла 45° градусов | 1 | 1.000 |
| Тангенс угла 60° градусов | √3 | 1.732 |
| Тангенс угла 90° градусов | ∞ | ∞ |
Что такое тангенс угла и как его найти
Живущим людям на Земле
всегда хотелось знать,
как путь найти в пустыне, море,
и можно к звёздам ли попасть.
Хотелось труд свой облегчить,
создать машины, чтоб летать.
И чтоб вопросы разрешить,
пришлось про тангенс всем узнать.
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Впервые встречаясь с тригонометрией в восьмом классе на геометрии, школьники оглядываются на свою жизнь, задавая вопрос, насколько пригодится им эта область науки в дальнейшем.
Редко кто задумывается, что раздел математики, позволяющий рассказать о заданном треугольнике всё (найти все его стороны и углы, выделить особенности), позволил в своё время сделать великие открытия.
Тригонометрия, дав возможность строить корабли и самолёты, отправлять человека в космос, создавать приборы для ориентирования на море, в лесу, в пустыне, определять расстояния, не измеряя их непосредственно линейкой, шагами или чем-то иным, помогла упростить жизнь человечества, раскрыть новые горизонты знаний.
Тангенс угла
Первые встречи с тангенсом происходят при изучении прямоугольных треугольников.
В них соотношения сторон, образующих прямой угол (катетов), и стороны, лежащей напротив угла в 90º (гипотенузы), задают важные параметры для изучения углов.
Для понимания связи между объектами рассматриваются отношения различных отрезков. Задавая связь между ними, вводят понятия синуса, косинуса (это что?), тангенса, котангенса.
Важно, что это отвлечённые понятия, не связанные с какими-либо единицами измерения.
Введя функции угла, определяют их свойства. Некоторые полученные формулы могут иметь довольно громоздкий вид. Чтобы избежать затруднённого чтения, вводятся другие объекты.
Так произошло и с тангенсом. Ему посчастливилось получить два определения. Каждое характеризует заданное отношение по-своему. С одной стороны, рассматривается связь между катетами и острыми углами прямоугольного треугольника, с другой – даётся возможность упростить формулы, содержащие синусы и косинусы.
Мало кто задумывается, изучая тангенс в школе, что первоначально он был необходим, чтобы найти касательные линии к заданной кривой. Само понятие возникло от латинского слова tangens, которое означает «трогающий», «касающийся» и является причастием настоящего времени от tangere («трогать», «касаться»).
Тангенс — это отношение…
Итак, есть два определения:
-
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. Оно даёт возможность, минуя вычисления гипотенузы, находить углы или катеты. Выделяя прямоугольные треугольники в произвольных фигурах, задача по изучению свойств исследуемых объектов становится проще.
-
Тангенс – это отношение синуса к косинусу.
Благодаря этому определению, многие тригонометрические формулы принимают более удобный вид, становятся легче воспринимаемыми.
Приняты обозначения:
Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan(α).
Как найти тангенс угла (формулы)
Первое свойство тангенса вытекает из его определения как отношения катетов.
Сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Поэтому
Так как тангенс – это отношение катетов, то
Получается, что
Учитывая особенности некоторых треугольников (равностороннего, прямоугольного, равнобедренного), а также записанное свойство, была составлена таблица значений тангенса для углов 30º, 45º, 60º.
В частности,
Задача нахождения других углов по значению тангенса была решена с помощью составления более обширных таблиц. За счёт появления современных вычислительных средств необходимость применения табулированных значений уменьшилась.
Как найти тангенс по клеточкам
Учитывая первое определение, можно определить, как найти его по клеточкам. Рисунок дополняется перпендикулярными линиями (строится высота), затем считается количество клеточек в полученном прямоугольном треугольнике на катетах, противолежащем и прилежащем искомому углу, а затем берётся их отношение.
Благодаря второму определению, задачу, как найти тангенс угла, можно решить, минуя таблицы и построение прямоугольных треугольников. Достаточно знать синус и косинус, связанные между собой основным тригонометрическим тождеством:
Из формулы тангенсов, записывающей кратко второе определение
и основного тригонометрического тождества можно понять, как найти тангенс, зная только косинус или синус угла.
Достаточно поделить основное тригонометрическое тождество на квадрат косинуса, подставить формулу тангенса. В результате получится его зависимость от косинуса:
Если выразить в последнем случае косинус, то запишется связь между тангенсом и синусом:
