Тригонометрия – это наука, изучающая свойства тригонометрических формул (trigwnon – треугольник и метр – мера).
Тригонометрич. формулы — это элементарные функции, выражающие зависимость всех сторон прямоугольного треугольника от острых углов к гипотенузе (или зависимость хорд и высот от его центрального угла в окружности).
К прямым функциям тригонометрии относятся: sin x (синус), cos x (косинус). К производным: tg x (тангенс), ctg x (котангенс). В дополнение к другим тригонометрическим функциям: sec x (секанс) и cosec x (косеканс).
Косинус и синус в тригонометрии — бесконечно дифференцируемые и периодически непрерывные вещественные функции. Остальные, наоборот, дифференцируются в области определения, однако, как и прямые тригонометрические функции, непрерывны.
Основные тригонометрич. тождества:
Зная синус или косинус числа, можно найти его тангенс или котангенс: tg a = sin a / cos a
Вы можете найти синус числа, если известен его косинус, и наоборот: sin2 a + cos2 a = 1
Можно найти тангенс через синус с известным косинусом: 1 + tg2 a = 1 / cos2 a
Вы можете найти котангенс через синус с известным косинусом: 1 + 1 / tg2 a = 1 / sin2
sin(90o — а) = cos а
cos(90o — а) = sin а
И еще, любую формулу в математике можно применять не только слева направо, но и наоборот. В тригонометрии это же применяется при преобразовании суммы в произведение или при переходе от произведения к сумме.
Тригонометрия — это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции, их свойства, взаимосвязи и применение.
Слово «тригонометрия» образовано от греческих слов «trigonom» (треугольник) и «metreo» (измерять).
Возникновение и развитие тригонометрии связаны с практическими потребностями в измерении и вычислении сначала элементов треугольников на местности, а позднее — в строительстве, мореплавании и астрономии. Современная тригонометрия широко применяется в разных областях математики, в частности в геометрии, других науках, в технике. Например, тригонометрические функции используются при решении задач оптики, задач кинематического анализа и синтеза механизмов, гармонического анализа и других.
Cинус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника
Нет понятий «просто синус» или «просто косинус», не имеют смысла записи типа «sin» и «cos» сами по себе, они сами по себе никакой величины не обозначают (точно так же, как и, например, значок квадратного корня сам по себе). Те, кто этого не понимает, часто делает грубую ошибку типа: sin x /cos x = in /co
Есть понятие синуса, косинуса, тангенса, котангенса как тригонометрических функций угла. Здесь угол — аргумент функции. Он может обозначаться «х», «а», «альфа», «бета», «гамма», «фи», «дельта» или ещё какой-нибудь буквой. Суть от этого не меняется.
Для того, чтобы более наглядно представить приведенные ниже определения, начертите прямоугольный треугольник. Это треугольник, один из углов которого — прямой (т.е. один из углов равен 90 градусов). Стороны, прилежащие к прямому углу (перпендикулярные друг другу стороны) — это катеты данного прямоугольного треугольника. Противолежащая прямому углу сторона — это гипотенуза.
Теперь выберите любой из двух других (острых) углов треугольника и обозначьте его, например, альфа. Один из катетов будет примыкать к вершине этого угла (и, собственно, образовывать этот угол вместе с гипотенузой). Это — прилежащий катет. Другой катет не примыкает к вершине этого угла, он находится как бы напротив данной вершины. Это — противолежащий катет.
Кстати, почему-то не все представляют, что такое угол треугольника при данной вершине. У треугольника (обозначим его ABC) есть три вершины: А, В и С. Когда говорят об угле А треугольника, то подразумевают угол, образованный сторонами ВА и АС. Это и есть угол при вершине А.
Итак,
Синусом острого угла называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.
Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего этому углу катета к противолежащему катету.
Секансом острого угла называется отношение гипотенузы к прилежащему к этому углу катету. Обозначается: sec x.
Косекансом острого угла называется отношение гипотенузы к противолежащему этому углу катету. Обозначается: cosec x.
Как найти углы в прямоугольном треугольнике, если известны стороны?
Дан треугольник АВС, угол С — прямой.
Стороны АВ, АС и ВС известны.
Т.к. угол С — прямой, он равен 90 градусам.
Другие углы можно найти, например, так:
если известен катет и гипотенуза
sinA = BC / AB,
sinB = AC / AB,
если известны два катета
tg A = BC / AC
tg B = AC / BC
Предположим, получили, что sin A = ½. По таблице смотрим, что такому значению sin x соответствует величина угла 30 градусов.
Или, к примеру, получили, что tg B = 1. Значит, угол В равен 45 градусов.
Или, к примеру, мы получили, что sin B = 0,259. По таблице Брадиса или с помощью калькулятора находим, что угол В равен 15 градусов.
sin 15° = 0,259
arcsin0,259 = 15°
Как найти углы в прямоугольном треугольнике, если известен один угол?
Поскольку треугольник прямоугольный, то один из его углов равен 90 градусов. Величина второго угла известна (по условию задачи, обозначим её альфа). В сумме углы треугольника составляют 180 градусов. Значит, третий угол равен 180—90—альфа.
Еединичная окружность (единичный круг)
Единичный круг — это круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице (R = 1).
Единичная окружность — это окружность единичного круга (т.е. окружность с центром в начале координат и с радиусом, равным единице).
Единичный радиус-вектор — это вектор, начало которого совпадает с началом координат, а его длина равна единице.
Углы отсчитывают от начального положения подвижного радиуса-вектора (совпадает с положением Ох).
Координатные четверти отсчитываются так:
y
|
|
(II четверть) | (I четверть)
|
________________________ x
|0
|
(III четверть) | (IV четверть)
|
|
Угол первой четверти — от 0 до 90 градусов (от 0 до пи/2).
Угол второй четверти — от 90 до 180 градусов (от пи/2 до пи).
Угол третьей четверти — от 180 до 270 градусов (от пи до 2пи/3).
Угол четвертой четверти — от 270 до 360 градусов (от 2пи/3 до 2пи).
Например:
- углы первой четверти: 30 градусов, 85 градусов, пи/4;
- углы второй четверти: 120 градусов, 178 градусов;
- углы третьей четверти: 205 градусов, 260 градусов;
- углы четвертой четверти: 272 градуса, 305 градусов.
Тригонометрические функции
К тригонометрическим функциям относятся функции:
y = sin x;
y = cos x;
y = tg x;
y = ctg x;
y = sec x;
y = cosec x.
Синусом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Оу к его длине.
Косинусом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Ох к его длине.
Тангенсом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Оу к его проекции на ось Ох.
Котангенсом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Ох к его проекции на ось Оу.
Секансом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение длины этого вектора к его проекции на ось Ох.
Косекансом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение длины этого вектора к его проекции на ось Оу.
Тригонометрические функции связаны между собой, и этим можно воспользоваться для нахождения синуса угла по его косинусу или котангенсу или косинуса угла по его синусу или тангенсу.
Как найти синус угла, если известен косинус?
Нужно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:
sin2a + cos2a = 1
sin2a = 1 − cos2a
|sin a| = КОРЕНЬ(1 − cos2a)
sin a = ± КОРЕНЬ(1 − cos2a)
знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (синус положительный в I и II четвертях, косинус положительный в I и IV четвертях)
Как найти косинус угла, если известен синус?
Нужно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:
sin2a + cos2a = 1
cos2a = 1 − sin2a
|cos a| = КОРЕНЬ(1 − sin2a)
cos a = ± КОРЕНЬ(1 − sin2a)
знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (синус положительный в I и II четвертях, косинус положительный в I и IV четвертях)
Как найти синус угла, если известен котангенс?
Нужно воспользоваться тригонометрическим тождеством
1 + ctg2 a = 1/sin2 a
sin2 a = 1 / (1 + ctg2 a)
|sin a| = 1/ КОРЕНЬ(1 + ctg2 a)
sin a = ±1/ КОРЕНЬ(1 + ctg2 a)
знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (синус положительный в I и II четвертях, котангенс положительный в I и III четвертях)
Как найти косинус угла, если известен тангенс?
Нужно воспользоваться тригонометрическим тождеством
1 + tg2 a = 1/cos2 a
cos2 a = 1 / (1 + tg2 a)
|cos a| = 1/ КОРЕНЬ(1 + tg2 a)
cos a = ±1/ КОРЕНЬ(1 + tg2 a)
знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (косинус положительный в I и IV четвертях, тангенс положительный в I и III четвертях)
Тригонометрическое тождество
Тригонометрическим тождеством называется равенство, в которое входят тригонометрические функции и которое удовлетворяется произвольным допустимым значением угла — аргумента тригонометрических функций, но не удовлетворяется, если каждую в отдельности тригонометрическую функцию заменить произвольной величиной.
Основные тригонометрические тождества:
sin2a + cos2a = 1
tg a = sin a / cos a
ctg a = cos a / sin a
sec a = 1 / cos a
cosec a = 1 / sin a
Arcsin, arcos, arctg, arcctg (обратные тригонометрические функции)
- arcsin — читается: арксинус;
- arcos — читается: арккосинус;
- arctg — читается: арктангенс;
- arcctg — читается: арккотангенс.
arcsin, arcos, arctg, arcctg — это обратные тригонометрические функции.
Обратной тригонометрической функцией y = arcsin x называют угол у, взятый на отрезке от –пи/2 до +пи/2, синус которого равен х:
y = arcsin x sin y = x
Обратной тригонометрической функцией y = arccos x называют угол у, взятый на отрезке от –пи до +пи, косинус которого равен х:
y = arccos x cos y = x
Обратной тригонометрической функцией y = arctg x называют угол у, взятый на промежутке от –пи/2 до +пи/2 (исключая концы), тангенс которого равен х:
y = arctg x tg y = x
Обратной тригонометрической функцией y = arcctg x называют угол у, взятый на промежутке от 0 до пи (исключая концы), котангенс которого равен х:
y = arctg x tg y = x
Например,
sin 30° = 0,5
arcsin0,5 = 30°
Синусоида и косинусоида
График функции y = sin x называется синусоидой.
График функции y = cos x называется косинусоидой.
Источники информации:
- Справочник по элементарной математике. Геометрия, тригонометрия, векторная алгебра. Под редакцией П.Ф. Фильчакова. —К.: Наукова думка, 1967. — 442 с.
- В.Д. Гетманцев, О.Ф. Саушкiн. Математика: Тригонометрiя: Посiбник для слухачiв пiдотовчих вiддiлень, вступникiв до вищих навчальних закладiв, студентiв педагогiчних iнститутiв (на укр.). —К.: Либiдь, 1994. — 144 с.
- docme.ru — зачем нужна тригонометрия?
- ru.wikipedia.org — Википедия — тригонометрия;
- ru.wikihow.com — как изучать тригонометрию?
Тригонометрический круг
Углы в радианах
Для математических вычислений тригонометрических функций используются углы не в градусах, а в радианах. Что такое радиан? Угол в радианах равен отношению длины дуги окружности к радиусу. Полный круг в 360° соответствует длине окружности 2πr. Следовательно 360° в радианах равно 2π, а 180° равно π радиан.
Как преобразовывать градусы в радианы? Нужно значение в градусах разделить на 180° и умножить на π.
Например, для угла 90° будет 90°180°· π = 12π
Чтобы закрепить свои знания и проверить себя, воспользуйтесь онлайн-тренажером для запоминания значений тригонометрических функций.
Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус
[ tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha},enspace ctg alpha=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ]
Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой ( dfrac{y}{x}=dfrac{sin alpha}{cos alpha} ), а отношение ( dfrac{x}{y}=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ) — будет являться котангенсом.
Добавим, что только для таких углов ( alpha ), при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества ( tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha} ), ( ctg alpha=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ).
Например: ( tg alpha = dfrac{sin alpha}{cos alpha} ) является справедливой для углов ( alpha ), которые отличны от ( dfrac{pi}{2}+pi z ), а ( ctg alpha=dfrac{cos alpha}{sin alpha} ) — для угла ( alpha ), отличного от ( pi z ), ( z ) — является целым числом.
Видео
Связь между тангенсом и котангенсом
Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.
- Тождество записывается в следующем виде: tg α * ctg α = 1.
Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.
Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.
tg α * ctg α = 1.
- По определению: tg α = y/x ctg α = x/y
- Отсюда следует, что tg α * ctg α = y/x * x/y = 1
- Преобразовываем выражение, подставляем
и , получаем:
и 
, получаем: 
Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.
Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.
Какие, какие числа?🤯
Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно 1.
Тангенс и косинус, котангенс и синус
Преобразовав основные тождества, приходим к выводу, что тангенс связан через косинус, а котангенс через синус. Это видно по формулам tg2α+1=1cos2α, 1+ctg2α=1sin2α.
Определение звучит так: сумма квадрата тангенса угла и 1 приравнивается к дроби , где в числителе имеем 1, а в знаменателе квадрат косинуса данного угла, а сумма квадрата котангенса угла наоборот. Благодаря тригонометрическому тождеству sin2α+cos2α=1, можно разделить соответствующие стороны на cos2α и получить tg2α+1=1cos2α, где значение cos2α не должно равняться нулю. При делении на sin2α получим тождество 1+ctg2α=1sin2α, где значение sin2α не должно равняться нулю.
Из приведенных выражений получили, что тождество tg2α+1=1cos2α верно при всех значениях угла α, не принадлежащих π2+π·z, а 1+ctg2α=1sin2α при значениях α, не принадлежащих промежутку π·z.
Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться Все услуги
Теги
В данной статье мы с вами разберём некоторые задачи связанные с выражениями. Задания данной группы довольно разнообразны. Если вы запомнили свойства степеней, корней и логарифмов, знаете основные формулы тригонометрии, и постоянно практикуетесь, то большинство задач для вас никакого труда не представят.
Относительную сложность могут вызывать следующие:
— преобразования буквенных иррациональных выражений
— вычисление значений тригонометрических выражений
— преобразования тригонометрических выражений
Если перечислить все группы задач, то они довольно разнообразны.
Они включают в себя: ПОКАЗАТЬ/СКРЫТЬ
Здесь мы с вами разберём задачи на вычисление значений тригонометрических выражений. Конечно, все их в одной статье разобрать невозможно. Но мы обязательно разберём и другие примеры, не пропустите!
Итак, что обязательно вы должны знать и всегда помнить? Это знаки тригонометрических функций в четвертях. ЭТО ВАЖНО!!!
Как осознать эту информацию и понять следствием чего она является – об этом будет отдельная статья (если вы это знаете, то прекрасно). Пока предлагаю пока просто запомнить:
Основное тригонометрическое тождество:
Формулы тангенса и котангенса:
Выполняются элементарные алгебраические преобразования:
1. Числитель и знаменатель дроби можем умножать и делить на одно и тоже число.
2. Левую и правую часть уравнения можем умножать и делить на одно и тоже число.
В представленных ниже заданиях используется основное тригонометрическое тождество и формула тангенса.
Найдите тангенс альфа, если
В этом и подобных примерах необходимо знать основное тригонометрическое тождество (его вообще нужно помнить всегда), а также формулу тангенса:
Косинус угла нам известен. Из формулы основного тригонометрического тождества мы можем найти значение синуса. Затем подставить их в формулу тангенса.
Теперь ВАЖНЫЙ момент: необходимо определить знак синуса для интервала (3Пи/2;2Пи). Это интервал от 270 до 360 градусов (четвёртая четверть). Как переводить радианы в градусы можно посмотреть здесь. Значение синуса в этой четверти отрицательное, поэтому:
Таким образом:
Ответ: – 0,5
Найдите tg α, если
В этом и подобных примерах необходимо знать основное тригонометрическое тождество (его вообще нужно помнить всегда), а также формулу тангенса:
Cинус угла нам известен. Из формулы основного тригонометрического тождества мы можем найти значение косинуса. Затем подставить их в формулу тангенса.
Определяем знак косинуса для интервала (Пи/2;Пи). Это интервал от 90 до 180 градусов (вторая четверть). Значение косинуса в этой четверти отрицательное (смотрите эскиз). Поэтому
Таким образом:
Ответ: – 0,25
Найдите 5·cos α, если синус альфа
Необходимо найти косинус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что cos2x = 1– sin2x и
Определим знак косинуса. Угол принадлежит интервалу (3Пи/2;2Пи).
Это интервал от 270 до 360 градусов (четвёртая четверть). Значение косинуса в этой четверти положительное, поэтому:
Таким образом, 5·cos α = 5∙0,7 = 3,5
Ответ: 3,5
Найдите 0,1·sin α, если
Необходимо найти синус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что sin2x = 1– cos2x и
Определим знак синуса. Угол принадлежит интервалу (0; Пи/2).
Это интервал от 0 до 90 градусов (первая четверть). Значение синуса в этой четверти положительное, поэтому:
Таким образом 0,1·sin α = 0,1∙0,3 = 0,03
Ответ: 0,03
Общая рекомендация для следующих данных примеров! Если требуется найти тангенс аргумента (квадрат тангенса), то осуществляем деление на косинус (квадрат косинуса). Если требуется найти котангенс аргумента (квадрат котангенса), то осуществляем деление на синус (квадрат синуса). Примеры:
65217. Найдите tg2 α, если 3sin2 α + 8 cos2 α = 7
Требуется найти квадрат тангенса. Разделим обе части уравнения на cos2 α, получим:
Второй способ:
Далее по формуле основного тригонометрического тождества можно найти квадрат синуса и используя формулу тангенса вычислить уже его квадрат:
Ответ: 0, 25
65269. Найдите
Преобразуем данное выражение так, чтобы в числителе и знаменателе был тангенс. Разделим числитель и знаменатель на cos α, получим:
Ответ: – 0,5
65273. Найдите
Здесь дано значение тангенса. Необходимо сделать так, чтобы в выражении у нас был тангенс. Вынесем cosα за скобки в числителе и знаменателе (или разделим числитель и знаменатель на cosα), получим:
Подставим значение тангенса данное в условии, получим:
*Косинус у нас сократился.
Ответ: 4
65363. Найдите tg α, если
В левой части в числителе и знаменателе вынесем cosα за скобки, получим:
Ответ: 0,4
65423. Найдите tg α, если
Умножим обе части уравнения на 4 (2sinα+cosα+1)
Ответ: –1,9
26775. Найдите tg α, если
Посмотреть решение
26776. Найдите tg α, если
Посмотреть решение
26777. Найдите 3cos α, если
Посмотреть решение
26778. Найдите 5sin α, если
Посмотреть решение
26787. Найдите tg2 α, если
Посмотреть решение
26788. Найдите
Посмотреть решение
26789. Найдите
Посмотреть решение
26790. Найдите tg α, если
Посмотреть решение
26791. Найдите tg α, если
Посмотреть решение
Подведём итог, для решения подобных примеров вы:
1. Должны знать на зубок основные формулы тригонометрии.
2. Не забывать определять знак (+ или -) для тригонометрических функций в четвертях. Потерянный знак на экзамене – это ошибка и потерянный бал, будьте внимательны!!!
Надеюсь, что материал был для вас полезен.
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Как найти котангенс если известен синус?
Как найти котангенс если известен синус?
Тангенс это отношение синуса к косинусу: Tg(a)=Sin(a)/Cos(a). Котангенс это отношение косинуса к синусу: Ctg(a)=Cos(a)/Sin(a).
Как найти тангенс и котангенс?
Определения для числа: Тангенсом числа t называют отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t, то есть, tg(t)=y/x. Котангенсом числа t называют отношение абсциссы к ординате точки единичной окружности, соответствующей числу t, то есть, ctg(t)=x/y.
Как найти тангенс и котангенс на окружности?
Знаки тангенса и котангенса в квадрантах определяются с использованием уже известных знаков синуса и косинуса и основных тригонометрических тождеств: tg α = sin α cos α ; ctg α = cos α sin α .
Как найти тангенс на числовой окружности?
Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t и обозначают tg t. Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают ctg t. Получим, что: tg t = sin t cos t ; ctg t = cos t sin t .
Как найти тангенс по кругу?
п. Ось тангенсов это вертикальная касательная к числовой окружности в точке (1;0), на которой расположены тангенсы соответствующих углов. Построим горизонтальную касательную к числовой окружности в точке B(0;0). Продолжим луч OM до пересечения с касательной, обозначим точку пересечения E.
Как определить в какой четверти находится угол?
Углы отсчитывают от начального положения подвижного радиуса-вектора (совпадает с положением Ох). Угол первой четверти — от 0 до 90 градусов (от 0 до пи/2). Угол второй четверти — от 90 до 180 градусов (от пи/2 до пи). Угол третьей четверти — от 180 до 270 градусов (от пи до 2пи/3).
Как определить в какой четверти находится график функции?
В первую четверть попадают точки, у которых обе координаты (x и y) больше нуля.
Во вторую: x 0; третью: x 0, y функции и соображаете в каких четвертях находится график.
Какой координатной четверти принадлежит угол 10 Радиан?
Ответ, проверенный экспертом Третья четверть. Darmaidayxx и 7 других пользователей посчитали ответ полезным!
Какой координатной четверти принадлежит угол Радиан?
α ∈ (180°; 270°) ⇒ III координатная четверть; α ∈ (270°; 360°) ⇒ IV координатная четверть.
Чем отличаются градусы в радианы?
360 градусов соответствует 2Пи радианам. 180 градусов – Пи радиан, 90 градусов – это Пи/2 радиан. Теперь вы знаете, что же такое написано на Тригонометрическом круге, что такое радианы и почему в круге 360 градусов. Если у вас есть другие версии, почему именно 360, пишите в комментариях.
Как переводить из градусов в радианы?
То есть, если известна величина угла в градусах, то умножив ее на пи и разделив на 180, получим величину этого угла в радианах.
Рассмотрим решение примера. Переведите 47 градусов в радианы. Согласно формуле перевода градусов в радианы, нам следует 47 умножить на пи и разделить на 180, получаем .
Как переводить числа из градусной меры в Радианную?
Если по условию известна градусная мера угла, то чтобы перевести ее в радианную, нужно сделать следующие действия: умножить ее на π и разделить на 180. x x x x — значение угла в градусах; y — значение того же угла в радианах.
тригонометрия — Как вычислить синус косинус или тангенс угла (простое объяснение)
Я думаю, что здесь действительно два вопроса:
- Как Архимед нашел длину стороны прямоугольного треугольника, противоположной заданному углу ?
- Как калькулятор вычисляет триггерные функции?
Для №1: Честно говоря, я думаю, что он просто нарисовал и измерил. Это приводит к вопросу: «Как вообще они измеряли длину?» и, может быть, это на самом деле то, что вы спрашивали.
В те дни измерения длины часто основывались на частях тела. См. здесь для получения дополнительной информации, включая другие методы/устройства.
Для № 2: Подробный ответ довольно технический и сложный, поэтому я постараюсь максимально упростить.
Как указано в другом ответе, калькуляторы используют ряды Тейлора для оценки триггерных функций. По сути, ряд Тейлора — это способ выражения функции с помощью четырех основных операций сложения, вычитания, умножения и деления.
Каждый компьютер и каждый калькулятор (с электроприводом) имеет центральный процессор, для краткости называемый ЦП. Процессор состоит из пучка крошечных проводов, по которым проходит электрический ток. Когда мы отдаем компьютеру или калькулятору команды (например, открываем или сохраняем файл, нажимаем кнопки на клавиатуре или калькуляторе), электричество проходит по проводам таким образом, что эти команды действительно выполняются.
Самые основные операции, которые мы можем выполнять с этой электрической разводкой, — это сложение и вычитание.
Умножение и деление должны выполняться с соответствующими комбинациями сложения и вычитания. Иными словами, мы можем выполнять операции сложения и вычитания по одному электрическому маршруту. Но для чего-то более сложного потребуется не один маршрут. Например, когда вы говорите своему калькулятору сделать $4 + 5$, для этого требуется только один маршрут. Но если вы скажете своему калькулятору сделать 4 доллара умножить на 5 долларов, электричество, проходящее по проводам, на самом деле составит 4 доллара + 4 + 4 + 4 + 4 доллара, что занимает четыре маршрута (по одному на каждое добавление, а у нас есть четыре добавления). ).
То же самое относится и к более сложным операциям и функциям. Им также требуется более одного электрического маршрута, где каждый электрический маршрут в основном представляет собой сложение или вычитание. В этом нам поможет ряд Тейлора. Ряд Тейлора говорит нам, как вычислять эти функции с помощью сложения, вычитания, умножения и деления. И помните, что умножение и деление сами по себе «определяются» (в электрической схеме ЦП) с помощью сложения и вычитания.
Поэтому, когда вы говорите своему калькулятору вычислить синус некоторого числа, электричество проходит по проводам, так что он фактически вычисляет выражение, данное рядом Тейлора.
Обратите внимание, что ряд Тейлора — это бесконечный ряд, который, конечно, не может для процессора вычислить в точности как в общем случае, но калькуляторы и компьютеры имеют фиксированное количество цифр, которые они могут отображать в любом случае. Поэтому достаточно просто использовать первые несколько членов ряда Тейлора.
Это заметает много деталей под ковер, но я надеюсь, что это хоть немного проясняет ситуацию. Если вам нужна дополнительная информация, Coursera в настоящее время проводит действительно хороший курс по этому вопросу. Это бесплатно. Есть еще один на EdX, но я думаю, что он немного более продвинутый. Я изучал этот материал в школе 12 лет назад, и в настоящее время я использую оба из них для освежения знаний, прежде чем перейти к более продвинутым исследованиям.
Курс Coursera был действительно полезен для освоения основ, поэтому я определенно рекомендую хотя бы взглянуть на него.
Удачи и поддерживайте интеллектуальное любопытство!
поиск периода и амплитуды функции — Googlesuche
AlleBilderVideosBücherMapsNewsShopping
suchoptionen
Нахождение амплитуды, периода и фазового сдвига функции вида A × sin(Bx — C ) + D или A × cos(Bx — C) + D выглядит следующим образом: Амплитуда равна A ; Период равен 2π/B; и. Фазовый сдвиг равен C/B.
11. Окт. 2022
Калькулятор фазового сдвига
www.omnicalculator.com › math › фазовый сдвиг
Hervorgehobene Snippets
Ähnliche Fragen
Как найти период функции?
Как вычислить амплитуду функции?
Каковы период и амплитуда периода функции?
Что такое амплитуда функции?
Амплитуда, период, фазовый сдвиг и частота — Math is Fun
www.mathsisfun.
com › алгебра › амплитуда-период-…
Амплитуда — это высота от центральной линии до пика (или впадины). Или мы можем измерить высоту от самой высокой до самой низкой точки и разделить ее на 2 …
Нахождение периода и амплитуды графика — YouTube
www.youtube.com › смотреть
09.02.2012 · Узнайте, как построить график синусоидальной функции. Чтобы построить график синусоидальной функции, мы сначала определяем амплитуду…
Dauer: 1:59
Прислан: 09.02.2012
Как найти амплитуду, период и фазовый сдвиг синуса — YouTube
www.youtube.com › смотреть
25.01.2017 · Узнайте, как построить график синусоидальной функции. Чтобы построить график функции синуса, мы сначала определяем амплитуду…
Dauer: 3:03
Прислан: 25.01.2017
Примеры тригонометрии | Амплитуда, период и фазовый сдвиг — Mathway
www.mathway.com › примеры › тригонометрия › a…
Используйте форму acos(bx−c)+d a cos ( b x — c ) + d, чтобы найти используемые переменные найти амплитуду, период, фазовый сдвиг и вертикальный сдвиг.
Амплитуда и период функций синуса и косинуса — Varsity Tutors
www.varsitytutors.com › hotmath_help › темы › a…
Амплитуда y=asin(x) и y=acos(x) представляет половина расстояния между максимальным и минимальным значениями функции. … Пример: Найдите период и …
Амплитуда и период синусоидальных функций из уравнения (видео)
www.khanacademy.org › x2ec2f6f830c9fb89:period период y=-0,5cos(3x). Создано Сал Хан и Монтерей …
Dauer: 8:21
Прислан: 06.01.2016
Обзор средней линии, амплитуды и периода (статья) — Khan Academy
www.khanacademy.org › математика › алгебра2 › средняя линия…
график. Имея график синусоидальной функции, мы можем проанализировать его, чтобы найти среднюю линию, амплитуду и период. Рассмотрим, например …
Как определить амплитуду и период синусоидальной функции по…
0003
Амплитуда и период из уравнения: Уравнение f(x)=asin(b(x+c))+d f(x) = a sin (b(x+c)) + d имеет амплитуду a a и период 2πb 2 π б .