Как найти тангенс угла aob по клеткам - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Обычно в задачах требуется найти тангенс именно острого угла, как, допустим, на этом примере:

Для этого мы строим прямоугольный треугольник, проведя линию (перпендикуляр) BD:

Далее вспоминаем определение тангенса, это отношение противолежащего катета к прилежащему.

То есть tg(BOA) = DB / DO.

Чтобы найти DO и DB достаточно будет посчитать количество клеточек.

DO = 2.

DB = 5.

Значит, tg(BOA) = 5 / 2 = 2,5.

Зная тангенс, мы можем легко найти и котангенс:

ctg(BOA) = 1 / tg(BOA) = 1 / 2,5 = 0,4.

А вот задача на нахождение тангенса угла по клеточкам немного другого плана (ищем тангенс угла AOB):

Если соединить точки A и B, то угол ABO будет прямым.

И тангенс можно вычислить как отношение BA к BO.

Как же нам их найти?

И BO, и BA будут гипотенузами 2 совершенно равных прямоугольных треугольников (для наглядности я их выделил красным).

Длина катетов их равна 2 и 8, а квадрат гипотенузы, как известно, равен сумме квадратов катетов.

Таким образом, у нас получится следующее:

tg(BOA) = BA / BO = √(2² + 8²) / √(2² + 8²) = 1.

И нетрудно догадаться, что треугольник этот равнобедренный с равными углами BOA и BAO по 45 градусов.

Источник

Всего: 40 1–20 | 21–40

Добавить в вариант

Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

Найдите тангенс угла AOB

Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

Найдите тангенс угла AOB

Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

Найдите тангенс угла AOB

Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

Найдите тангенс угла AOB

Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

Всего: 40 1–20 | 21–40

Источник

Как найти тангенс угла по клеточкам

Вычисление такой величины как тангенс может потребоваться как в ходе решения тригонометрических уравнений, так и при поиске ответа задачи по геометрии. Именно во втором случае хорошим подспорьем может оказаться наличие графического изображения угла, тангенс которого необходимо найти, на разлинованной в клеточку бумаге. Как это сделать – читайте в данной статье.

1

Работа с прямоугольными треугольниками

Прежде, чем приступить к нахождению такой величины как тангенс, необходимо определиться с терминологией. Так понятие “тангенс угла” характеризует отношение противолежащего данному угла катета к прилежащему. Т. о. работа ведется в пределах прямоугольного треугольника.

Суть описанного далее алгоритма заключается в работе с прямоугольными треугольниками в рамках непосредственно определения тангенса.

Задача – определить тангенс ∠AOB.

Установите т. B на луче OB в месте его прохождения через вершину клетки.
Из т. B опускаете перпендикуляр на луч OA. Место пересечения отмечаете как т. C.
В результате получается прямоугольный ΔBOC, в котором находится угол ∠AOB (очевидно, что ∠BOC = ∠AOB), тангенс которого необходимо найти.
Исходя из определения тангенса, tg∠AOB = BC / OC. Глядя на рисунок, несложно заметить что длина катета BC складывается из трех диагоналей клеток. При этом длина катета OC соответствует диагонали одной клетки. Следовательно, BC = 3OC.
tg∠AOB = 3OC/OC = 3.

Задача – определить тангенс ∠AOB.

Расчет tg∠AOB будет основан на том, что tg(η – λ) = (tgη – tgλ) / (1 + tgη*tgλ).

В одной из точек прохождения лучами OA и OB вершин клеток-квадратов отмечаете т. A и т. B соответственно.
Опускаете из них перпендикуляры. В результате вы получаете 2 прямоугольных треугольника – ΔOMB и ΔOLA.
“Расчетный” ∠AOB является разностью углов ∠AOL и ∠BOM: ∠AOB = ∠AOL – ∠BOM.
tg∠AOB = tg(∠AOL – ∠BOM) = (tg∠AOL – tg∠BOM) / (1 + tg∠AOL*tg∠BOM). Т. о. нахождение искомой величины сводится к нахождению тангенсов углов в построенных прямоугольных треугольниках.
tg∠AOL = AL / OL. Обратившись к рисунку заметно, что AL = 2OL. Поэтому tg∠AOL= 2OL / OL = 2.
tg∠BOM = BM / OM. Обратившись к рисунку видно, что OM=6BM. Поэтому tg∠BOM = BM / 6BM = 1/6.

tg∠AOB = (2 – 1/6) / (1 + 2/6) = 11*3 / 6*4 = 11/8 ⇒ tg∠AOB = 1,375.

2

Использование теоремы косинусов

Задача – определить тангенс ∠AOB.

т. A и т. B устанавливаете в точках прохождения лучей заданного угла через вершины клеток-квадратов. Опускаете из них перпендикуляры. Также отрезком соединяете между собой т. A и т. B.
Ваша задача – вычислить длины сторон получившегося ΔAOB. Для этого обращаемся к теореме Пифагора.

AO = √OK²+ AK², установив длину стороны клетки как условную 1, получаем AO = √9 + 1=√10.
OB = √BP²+ OP², т. к. длина стороны клетки равна 1, получаем OB = √4 + 1 = √5.

Согласно теореме косинусов, AB²= AO²+ OB²– 2AO*OB*cos∠AOB ⇒ cos∠AOB = (AO²+ OB²– AB²) / 2AO*OB. Подставив числовые значения, получаем:

cos∠AOB = (10 + 5 – 25) / 2√5√10;

cos∠AOB = -10/2√5√10;

cos∠AOB = -1/√2.

Далее воспользуемся основным тождеством тригонометрии: sinβ²+ cosβ²= 1.

sin∠AOB = √1-1/2 = 1/√2.

Известно, что tg∠AOB = sin∠AOB / cos∠AOB = -√2 / √2 ⇒ tg∠AOB = -1.

В зависимости от угла, тангенс которого необходимо найти, выбирайте наиболее подходящий, а главное “рабочий” алгоритм.

Источник

Угол на клетчатой бумаге. В этой статье мы с вами рассмотрим задачу, суть которой заключается в том, чтобы найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла, построенного на листе в клетку. Такие задания входят в состав экзамена по математике.

Способы решения существуют разные, их более трёх. Подход изложенный ниже можно было бы назвать универсальным. Если у вас найдутся задачи, которые вы таким способом решить не сможете, пришлите мне их, подберём другой. Углы могут быть построены следующим образом (примеры):

Итак, рассмотрим задание:

Найдите тангенс угла AOB. В ответе укажите значение тангенса, умноженное на 8.

Соединим точки А и В. Получили треугольник АОВ. На сторонах полученного треугольника построим прямоугольные треугольники так, чтобы эти стороны являлись гипотенузами.

Суть подхода такова: находим все стороны треугольника (это можно сделать по теореме Пифагора); далее используя теорему косинусов, мы можем найти косинус угла; зная косинус мы без труда найдём остальные тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс).

АВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 3,

ОВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 1,

OА является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 2,

По теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Из основного тригонометрического тождества можем найти sin AOB:

*Обратите внимание, что перед знаком корня у нас «+», так как угол острый (от 0 до 90 градусов). А синус острого угла имеет положительное значение.

Теперь можем найти тангенс:

Умножим результат на 8 и запишем ответ:

Ответ: 11

Ещё раз повторим: как бы не был построен угол, мы всегда можем достроить его до треугольника, найти стороны этого треугольника (используя теорему Пифагора), далее используя теорему косинусов найти косинус угла (заданного в условии). Затем не составит труда, используя основное тригонометрическое тождество, найти синус. Тангенс и котангенс далее не сложно найти по их формулам.

Ниже предложено самостоятельно решить задачи. При их решении на сайте использовались и другие способы (вы решите представленным выше):

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.

Посмотреть решение

Найдите тангенс угла AOB.

Посмотреть решение

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на половину корня из пяти.

Посмотреть решение

Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на два корня из пяти.

Посмотреть решение

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.

Посмотреть решение

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2 корня из двух.

Посмотреть решение

Найдите тангенс угла AOB.

Посмотреть решение

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!

С уважением, Александр Крутицких.

*Делитесь информацией в социальных сетях )

Источник

Обычно в задачах требуется найти тангенс именно острого угла, как, допустим, на этом примере:

Для этого мы строим прямоугольный треугольник, проведя линию (перпендикуляр) BD:

Далее вспоминаем определение тангенса, это отношение противолежащего катета к прилежащему.

То есть tg(BOA) = DB / DO.

Чтобы найти DO и DB достаточно будет посчитать количество клеточек.

DO = 2.

DB = 5.

Значит, tg(BOA) = 5 / 2 = 2,5.

Зная тангенс, мы можем легко найти и котангенс:

ctg(BOA) = 1 / tg(BOA) = 1 / 2,5 = 0,4.

А вот задача на нахождение тангенса угла по клеточкам немного другого плана (ищем тангенс угла AOB):

Если соединить точки A и B, то угол ABO будет прямым.

И тангенс можно вычислить как отношение BA к BO.

Как же нам их найти?

Длина катетов их равна 2 и 8, а квадрат гипотенузы, как известно, равен сумме квадратов катетов.

Таким образом, у нас получится следующее:

tg(BOA) = BA / BO = √(2² + 8²) / √(2² + 8²) = 1.

И нетрудно догадаться, что треугольник этот равнобедренный с равными углами BOA и BAO по 45 градусов.

Каталог заданий.
Углы

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание 18 № 40

Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке.

Аналоги к заданию № 40: 348424 348519 352779 357581 369740 369808 Все

Источник: Демонстрационная версия ГИА—2013 по математике., Демонстрационная версия ГИА—2014 по математике.

Раздел кодификатора ФИПИ: 5.1 Планиметрия. Нахождение геометрических величин.

Решение

Сообщить об ошибке · Помощь

Задание 18 № 311485

На квадратной сетке изображён угол  A. Найдите  .

Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 4.(1 вар.)

Раздел кодификатора ФИПИ: 5.1 Планиметрия. Нахождение геометрических величин.

Решение

Сообщить об ошибке · Помощь

Задание 18 № 316348

Найдите тангенс угла, изображённого на рисунке.

Аналоги к заданию № 316348: 316374 323618 348622 348734 349410 349506 349517 349574 349593 340982 … Все

Раздел кодификатора ФИПИ: 5.1 Планиметрия. Нахождение геометрических величин.

Решение

Сообщить об ошибке · Помощь

Задание 18 № 316374

Найдите тангенс угла, изображённого на рисунке.

Аналоги к заданию № 316348: 316374 323618 348622 348734 349410 349506 349517 349574 349593 340982 … Все

Раздел кодификатора ФИПИ: 5.1 Планиметрия. Нахождение геометрических величин.

Решение

Сообщить об ошибке · Помощь

Задание 18 № 323618

Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

Аналоги к заданию № 316348: 316374 323618 348622 348734 349410 349506 349517 349574 349593 340982 … Все

Раздел кодификатора ФИПИ: 5.1 Планиметрия. Нахождение геометрических величин.

Решение

Сообщить об ошибке · Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе

Найдите тангенс угла, изображённого на рисунке.

Решение задачи

В данном уроке рассматривается пример решения задачи на определение значения тригонометрических функций. Решением данной задача целесообразно будет воспользоваться при подготовке к ОГЭ.

Для решения задачи на заданном рисунке проводятся дополнительные построения: проводится прямая, совпадающая с одной из сторон заданного угла, а от другой стороны заданного угла на эту прямую опускается перпендикуляр. Для наглядности заданный угол обозначается , смежный с ним угол – . Анализируя рисунок, определяется, что верно равенство и решение задачи сводится к определению . Согласно определению, тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Далее по рисунку определяется значение катетов образованного в результате построения треугольника. Таким образом, вычисляется значение и соответственно , что и является решением задачи.

Задание 18 в ОГЭ — это задачи на квадратной решётке, которые, в свою очередь, объединяют в себе очень много геометрического материала. Здесь и нахождение длин отрезков (медиан, биссектрис, средних линий, радиусов, расстояний до прямой), и вычисление площадей, и нахождение тригонометрических функций углов.

Рассмотрим задачи последнего типа. Стороны квадратных клеток равны 1
.

Задача 1. Найдите тангенс угла АОВ.

Эта задача легко решится, если увидеть прямоугольный треугольник и вспомнить, что тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Опустим из точки В перпендикуляр ВН на сторону ОА.

Из рисунка видно, что катет ВН = 4, а катет ОН = 5. Значит,

Ответ: 0,8.

Теперь решим задачу посложней.

Задача 2. Найдите тангенс угла АОВ.

Казалось бы, условие тоже, но посмотрите на расположение угла. Можно ли здесь увидеть прямоугольный треугольник? Можно и нужно.

Что мы знаем? Из любой точки к прямой можно провести перпендикуляр, и притом только один. Перпендикуляр — это кратчайшее расстояние от точки до прямой.

Вполне достаточно.

Из точки В к прямой ОА можно провести отрезки (важно: проводить надо в узлы клеток).

Однако, только один из отрезков перпендикулярен прямой ОА. На рисунке он красного цвета. Уберём с чертежа ненужные элементы.

Перед нами треугольник ОВН. Но, чтобы не было никаких сомнений, проверим, будет ли он прямоугольным. Найдём каждую из сторон треугольника, используя теорему Пифагора.

Для этого достроим наш чертёж.

Используя рисунок, получим

По теореме, обратной теореме Пифагора, если для треугольника выполняется равенство a² + b² = c², то треугольник прямоугольный.

В нашем случае,

Теперь ответим на вопрос задачи (не забыли ещё?).

Ответ: 1,5.

Эти две задачи показывают, что одинаковые условия не гарантируют ещё, что решения также будут один в один. В каждом случае нужно «нащупать» свой путь. Наверное, это самое трудное в этих задачах.

Решите самостоятельно.

1. На квадратной сетке изображён угол . Найдите .

2. Найдите тангенс угла . Размер клетки 1 × 1.

Желаю вам успешной и плодотворной работы по подготовке к экзамену!

Источник

Как найти тангенс угла по клеточкам

1 Работа с прямоугольными треугольниками

2 Использование теоремы косинусов

Решение задачи

1

Работа с прямоугольными треугольниками

2

Использование теоремы косинусов