Катетами прямоугольного треугольника называются те его стороны, которые образуют прямой угол. Каждый из катетов всегда меньше гипотенузы по значению, но в сумме они обязательно ее превосходят. Зная оба катета, можно найти не только третью сторону прямоугольного треугольника – гипотенузу, по теореме Пифагора, но и углы, находящиеся между катетами и гипотенузой. Для этого используется тригонометрическое отношение тангенса угла α, которое по определению равно отношению катета, противолежащего углу α, к катету прилежащему.
Делением катета, находящегося напротив угла, на катет, который является одной из сторон угла, получается значение тангенса, соответствующее определенной градусной мере. Краткая таблица основных значений тангенса находится внизу страницы, а полная таблица всех тангенсов расположена по ссылке.
Свойства
Тангенс угла tg(α) — есть отношение противолежащего катета a к прилежащему катету b.
Таблица тангенсов
| Тангенс угла 0° градусов | 0 | 0.000 |
| Тангенс угла 30° градусов | 1/√3 | 0.577 |
| Тангенс угла 45° градусов | 1 | 1.000 |
| Тангенс угла 60° градусов | √3 | 1.732 |
| Тангенс угла 90° градусов | ∞ | ∞ |
Тангенс в прямоугольном треугольнике
Что такое тангенс в прямоугольном треугольнике? Как найти тангенс? От чего зависит значение тангенса?
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Например, для угла A треугольника ABC
Поэтому тангенс угла A в треугольнике ABC — это
Для угла B треугольника ABC
противолежащим является катет AC,
Соответственно, тангенс угла B в треугольнике ABC
равен отношению AC к BC:
Таким образом, тангенс острого угла прямоугольного треугольника — это некоторое число, получаемое при делении длины противолежащего катета на длину прилежащего катета.
Так как длины катетов — положительные числа, то и тангенс острого угла прямоугольного треугольника является положительным числом.
Тангенс угла треугольника зависит от величины угла, но не зависит от катетов (важно лишь их отношение).
Если в треугольнике изменить длины катетов, не меняя угол, то величина тангенса не изменится.
Тангенс в прямоугольном треугольнике — свойства, формула и примеры нахождения
Геометрические фигуры завораживают количеством своих свойств и функций, таких как тангенс в прямоугольном треугольнике. Это происходит в основном из-за двух факторов.
Во-первых, нам уже известен один из углов, который равен 90 градусам. Во-вторых, есть много свойств с применением прямоугольников. А из двух прямоугольных треугольников как раз получается именно такая фигура.
Из этого вытекает многое, но сегодня мы поговорим об одном очень интересном свойстве такого треугольника, как тангенс. В данной статье мы подробно рассмотрим определение тангенса, узнаем, как его можно найти и как его можно использовать.
Если вы уже что-то слышали про отношения одной из сторон к гипотенузе, то здесь все просто. Если же нет — то ниже дано краткое объяснение.
Что такое тангенс в прямоугольном треугольнике
Синусом угла в треугольнике называют отношение противолежащей данному углу стороны к гипотенузе треугольника, а косинусом — прилежащего к гипотенузе.
И если мы поделим синус угла на косинус, то получим тангенс (обозначается как tg), а если косинус на синус — то котангенс. Здесь все очень просто, главное знать катеты и гипотенузу треугольника.
Также бывают и тригонометрические тангенсы на окружности со своими графиками, разностью показателей числа π, но в данной статье мы их не рассматриваем, так как к треугольнику они имеют лишь косвенное отношение.
Таблица тангенсов углов от 0° до 360°
Ниже представлена таблица значений, которая пригодится для быстрого нахождения необходимых значений.
В качестве альтернативы предлагаем либо искать значения онлайн, либо запоминать их. Самым же эффективным способом математики считают вывод этих значений, но это будет удобно далеко не для всех.
Примеры вычислений тангенса в прямоугольном треугольнике
Существует довольно много способов и несложных формул для нахождения тангенса в прямоугольном треугольнике. Мы же рассмотрим только некоторые из них.
Все способы упираются в нахождение сторон, поэтому здесь секрет прост — если вы знаете значения всех сторон, то тангенс угла A в треугольнике находится по следующему правилу: tgA = BC : AC, что означает, что tg A равен отношению противолежащей стороны углу к прилежайщей.
Легче всего найти тангенс именно острого угла. Если даже это не угол прямоугольного треугольника, то дополнить его до прямоугольного не составит труда.
Это то, на чем построена сама сущность тангенса, но если нужно найти стороны, то это уже точно задача не про тангенсы.
Что такое тангенс угла и как его найти
Живущим людям на Земле
всегда хотелось знать,
как путь найти в пустыне, море,
и можно к звёздам ли попасть.
Хотелось труд свой облегчить,
создать машины, чтоб летать.
И чтоб вопросы разрешить,
пришлось про тангенс всем узнать.
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Впервые встречаясь с тригонометрией в восьмом классе на геометрии, школьники оглядываются на свою жизнь, задавая вопрос, насколько пригодится им эта область науки в дальнейшем.
Редко кто задумывается, что раздел математики, позволяющий рассказать о заданном треугольнике всё (найти все его стороны и углы, выделить особенности), позволил в своё время сделать великие открытия.
Тригонометрия, дав возможность строить корабли и самолёты, отправлять человека в космос, создавать приборы для ориентирования на море, в лесу, в пустыне, определять расстояния, не измеряя их непосредственно линейкой, шагами или чем-то иным, помогла упростить жизнь человечества, раскрыть новые горизонты знаний.
Тангенс угла
Первые встречи с тангенсом происходят при изучении прямоугольных треугольников.
В них соотношения сторон, образующих прямой угол (катетов), и стороны, лежащей напротив угла в 90º (гипотенузы), задают важные параметры для изучения углов.
Для понимания связи между объектами рассматриваются отношения различных отрезков. Задавая связь между ними, вводят понятия синуса, косинуса (это что?), тангенса, котангенса.
Важно, что это отвлечённые понятия, не связанные с какими-либо единицами измерения.
Введя функции угла, определяют их свойства. Некоторые полученные формулы могут иметь довольно громоздкий вид. Чтобы избежать затруднённого чтения, вводятся другие объекты.
Так произошло и с тангенсом. Ему посчастливилось получить два определения. Каждое характеризует заданное отношение по-своему. С одной стороны, рассматривается связь между катетами и острыми углами прямоугольного треугольника, с другой – даётся возможность упростить формулы, содержащие синусы и косинусы.
Мало кто задумывается, изучая тангенс в школе, что первоначально он был необходим, чтобы найти касательные линии к заданной кривой. Само понятие возникло от латинского слова tangens, которое означает «трогающий», «касающийся» и является причастием настоящего времени от tangere («трогать», «касаться»).
Тангенс — это отношение.
Итак, есть два определения:
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. Оно даёт возможность, минуя вычисления гипотенузы, находить углы или катеты. Выделяя прямоугольные треугольники в произвольных фигурах, задача по изучению свойств исследуемых объектов становится проще.
Тангенс – это отношение синуса к косинусу.
Благодаря этому определению, многие тригонометрические формулы принимают более удобный вид, становятся легче воспринимаемыми.
» alt=»»>
Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan(α).
Как найти тангенс угла (формулы)
Первое свойство тангенса вытекает из его определения как отношения катетов.
Сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Поэтому
Так как тангенс – это отношение катетов, то
Учитывая особенности некоторых треугольников (равностороннего, прямоугольного, равнобедренного), а также записанное свойство, была составлена таблица значений тангенса для углов 30º, 45º, 60º.
Задача нахождения других углов по значению тангенса была решена с помощью составления более обширных таблиц. За счёт появления современных вычислительных средств необходимость применения табулированных значений уменьшилась.
Как найти тангенс по клеточкам
Учитывая первое определение, можно определить, как найти тангенс угла по клеточкам. Рисунок дополняется перпендикулярными линиями (строится высота), затем считается количество клеточек в полученном прямоугольном треугольнике на катетах, противолежащем и прилежащем искомому углу, а затем берётся их отношение.
Благодаря второму определению, задачу, как найти тангенс угла, можно решить, минуя таблицы и построение прямоугольных треугольников. Достаточно знать синус и косинус, связанные между собой основным тригонометрическим тождеством:
Из формулы тангенсов, записывающей кратко второе определение
и основного тригонометрического тождества можно понять, как найти тангенс, зная только косинус или синус угла.
Достаточно поделить основное тригонометрическое тождество на квадрат косинуса, подставить формулу тангенса. В результате получится зависимость тангенса и косинуса:
Если выразить в последнем случае косинус, то запишется связь между тангенсом и синусом:
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Эта статья относится к рубрикам:
Комментарии и отзывы (5)
Я Очень Люблю Правила, Теоремы, Формулы по Предмету «Математика», «Алгебра».
Прочитал статью и остался один главный вопрос, а собственно без вспомогательных таблиц найти угол В ГРАДУСАХ вообще возможно и есть ли у вас статья, где рассказыввается как это сделать? Спасибо.
Я ни разу не математик, но почему у вас сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов. А так все хорошо начиналось. Объясняете хорошо, но после таких ошибок у меня сомнения что информация верная.
Спасибо. Уточнил в тексте, что это сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника.
Пишу стихи. Востребован тангенс для решения жизненных ситуаций поскольку состоит из тех же функций,как-то, касающийся,прилежащий, трогающий. Куда без них денешься.
http://nauka.club/matematika/geometriya/tangens.html
http://ktonanovenkogo.ru/voprosy-i-otvety/tangens-chto-ehto-takoe-otnoshenie-najti-formulam-kletochkam.html
Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называют отношение противолежащего катета к прилежащему.
Катетами являются стороны, которые образуют прямой угол в треугольнике, соответственно, гипотенузой является третья (самая длинная) сторона.
Для простоты запоминания можно дать такое определение: тангенс угла — это отношение дальнего от рассматриваемого угла катета к ближнему катету.
В случае с рисунком, описанным выше: tgα=abtgalpha=frac{a}{b}
Тангенс можно найти напрямую пользуясь данной формулой, а можно и через тригонометрические тождества. Разберем подробнее задачи.
В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см6text{ см} и 8 см8text{ см}. Найдите тангенс угла, близлежащего к меньшей стороне.
Решение
a=8a=8
b=6b=6
tgα=ab=86≈1.33tgalpha=frac{a}{b}=frac{8}{6}approx1.33
Ответ
1.331.33
Формулу:
tgα=abtgalpha=frac{a}{b}
Можно записать в следующем виде:
tgα=sinαcosαtgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}
Проверим истинность данного выражения. Подставим вместо синуса и косинуса их определения:
tgα=sinαcosα=acbc=abtgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}=frac{frac{a}{c}}{frac{b}{c}}=frac{a}{b}
Получили первичное равенство, значит выражение для тангенса через отношение синуса к косинусу верно.
Решим задачу, пользуясь этой формулой.
По условию задачи известен косинус угла, равный 32frac{sqrt{3}}{2} и синус того же угла, равный 12frac{1}{2}. Найдите тангенс данного угла.
Решение
cosα=32cosalpha=frac{sqrt{3}}{2}
sinα=12sinalpha=frac{1}{2}
tgα=sinαcosα=1232=13tgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}=frac{frac{1}{2}}{frac{sqrt{3}}{2}}=frac{1}{sqrt{3}}
Ответ
13frac{1}{sqrt{3}}
Еще одно тождество помогает решить задачи, связанные с тангенсом:
1+tg2α=1cos2α1+tg^2alpha=frac{1}{cos^2alpha}
Оно появляется путем деление каждого слагаемого основного тождества тригонометрии на квадрат косинуса.
Известен квадрат косинуса угла в прямоугольном треугольнике, равный 0.80.8. Нужно найти тангенс этого угла.
Решение
cos2α=0.8cos^2alpha=0.8
1+tg2α=1cos2α1+tg^2alpha=frac{1}{cos^2alpha}
1+tg2α=10.81+tg^2alpha=frac{1}{0.8}
1+tg2α=1.251+tg^2alpha=1.25
tg2α=0.25tg^2alpha=0.25
tgα=0.25tgalpha=sqrt{0.25}
tgα=0.5tgalpha=0.5
Ответ
0.50.5
У вас есть трудности с вычислением тангенса? Можете заказать задачу по математике у наших экспертов!
Тест по теме “Вычисление тангенса”
Тригонометрия — это раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции, их свойства, взаимосвязи и применение.
Слово «тригонометрия» образовано от греческих слов «trigonom» (треугольник) и «metreo» (измерять).
Возникновение и развитие тригонометрии связаны с практическими потребностями в измерении и вычислении сначала элементов треугольников на местности, а позднее — в строительстве, мореплавании и астрономии. Современная тригонометрия широко применяется в разных областях математики, в частности в геометрии, других науках, в технике. Например, тригонометрические функции используются при решении задач оптики, задач кинематического анализа и синтеза механизмов, гармонического анализа и других.
Cинус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника
Нет понятий «просто синус» или «просто косинус», не имеют смысла записи типа «sin» и «cos» сами по себе, они сами по себе никакой величины не обозначают (точно так же, как и, например, значок квадратного корня сам по себе). Те, кто этого не понимает, часто делает грубую ошибку типа: sin x /cos x = in /co
Есть понятие синуса, косинуса, тангенса, котангенса как тригонометрических функций угла. Здесь угол — аргумент функции. Он может обозначаться «х», «а», «альфа», «бета», «гамма», «фи», «дельта» или ещё какой-нибудь буквой. Суть от этого не меняется.
Для того, чтобы более наглядно представить приведенные ниже определения, начертите прямоугольный треугольник. Это треугольник, один из углов которого — прямой (т.е. один из углов равен 90 градусов). Стороны, прилежащие к прямому углу (перпендикулярные друг другу стороны) — это катеты данного прямоугольного треугольника. Противолежащая прямому углу сторона — это гипотенуза.
Теперь выберите любой из двух других (острых) углов треугольника и обозначьте его, например, альфа. Один из катетов будет примыкать к вершине этого угла (и, собственно, образовывать этот угол вместе с гипотенузой). Это — прилежащий катет. Другой катет не примыкает к вершине этого угла, он находится как бы напротив данной вершины. Это — противолежащий катет.
Кстати, почему-то не все представляют, что такое угол треугольника при данной вершине. У треугольника (обозначим его ABC) есть три вершины: А, В и С. Когда говорят об угле А треугольника, то подразумевают угол, образованный сторонами ВА и АС. Это и есть угол при вершине А.
Итак,
Синусом острого угла называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.
Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего этому углу катета к противолежащему катету.
Секансом острого угла называется отношение гипотенузы к прилежащему к этому углу катету. Обозначается: sec x.
Косекансом острого угла называется отношение гипотенузы к противолежащему этому углу катету. Обозначается: cosec x.
Как найти углы в прямоугольном треугольнике, если известны стороны?
Дан треугольник АВС, угол С — прямой.
Стороны АВ, АС и ВС известны.
Т.к. угол С — прямой, он равен 90 градусам.
Другие углы можно найти, например, так:
если известен катет и гипотенуза
sinA = BC / AB,
sinB = AC / AB,
если известны два катета
tg A = BC / AC
tg B = AC / BC
Предположим, получили, что sin A = ½. По таблице смотрим, что такому значению sin x соответствует величина угла 30 градусов.
Или, к примеру, получили, что tg B = 1. Значит, угол В равен 45 градусов.
Или, к примеру, мы получили, что sin B = 0,259. По таблице Брадиса или с помощью калькулятора находим, что угол В равен 15 градусов.
sin 15° = 0,259
arcsin0,259 = 15°
Как найти углы в прямоугольном треугольнике, если известен один угол?
Поскольку треугольник прямоугольный, то один из его углов равен 90 градусов. Величина второго угла известна (по условию задачи, обозначим её альфа). В сумме углы треугольника составляют 180 градусов. Значит, третий угол равен 180—90—альфа.
Еединичная окружность (единичный круг)
Единичный круг — это круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице (R = 1).
Единичная окружность — это окружность единичного круга (т.е. окружность с центром в начале координат и с радиусом, равным единице).
Единичный радиус-вектор — это вектор, начало которого совпадает с началом координат, а его длина равна единице.
Углы отсчитывают от начального положения подвижного радиуса-вектора (совпадает с положением Ох).
Координатные четверти отсчитываются так:
y
|
|
(II четверть) | (I четверть)
|
________________________ x
|0
|
(III четверть) | (IV четверть)
|
|
Угол первой четверти — от 0 до 90 градусов (от 0 до пи/2).
Угол второй четверти — от 90 до 180 градусов (от пи/2 до пи).
Угол третьей четверти — от 180 до 270 градусов (от пи до 2пи/3).
Угол четвертой четверти — от 270 до 360 градусов (от 2пи/3 до 2пи).
Например:
- углы первой четверти: 30 градусов, 85 градусов, пи/4;
- углы второй четверти: 120 градусов, 178 градусов;
- углы третьей четверти: 205 градусов, 260 градусов;
- углы четвертой четверти: 272 градуса, 305 градусов.
Тригонометрические функции
К тригонометрическим функциям относятся функции:
y = sin x;
y = cos x;
y = tg x;
y = ctg x;
y = sec x;
y = cosec x.
Синусом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Оу к его длине.
Косинусом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Ох к его длине.
Тангенсом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Оу к его проекции на ось Ох.
Котангенсом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение проекции этого вектора на ось Ох к его проекции на ось Оу.
Секансом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение длины этого вектора к его проекции на ось Ох.
Косекансом угла, образованного осью Ох и произвольным радиусом-вектором ОА, называется отношение длины этого вектора к его проекции на ось Оу.
Тригонометрические функции связаны между собой, и этим можно воспользоваться для нахождения синуса угла по его косинусу или котангенсу или косинуса угла по его синусу или тангенсу.
Как найти синус угла, если известен косинус?
Нужно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:
sin2a + cos2a = 1
sin2a = 1 − cos2a
|sin a| = КОРЕНЬ(1 − cos2a)
sin a = ± КОРЕНЬ(1 − cos2a)
знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (синус положительный в I и II четвертях, косинус положительный в I и IV четвертях)
Как найти косинус угла, если известен синус?
Нужно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством:
sin2a + cos2a = 1
cos2a = 1 − sin2a
|cos a| = КОРЕНЬ(1 − sin2a)
cos a = ± КОРЕНЬ(1 − sin2a)
знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (синус положительный в I и II четвертях, косинус положительный в I и IV четвертях)
Как найти синус угла, если известен котангенс?
Нужно воспользоваться тригонометрическим тождеством
1 + ctg2 a = 1/sin2 a
sin2 a = 1 / (1 + ctg2 a)
|sin a| = 1/ КОРЕНЬ(1 + ctg2 a)
sin a = ±1/ КОРЕНЬ(1 + ctg2 a)
знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (синус положительный в I и II четвертях, котангенс положительный в I и III четвертях)
Как найти косинус угла, если известен тангенс?
Нужно воспользоваться тригонометрическим тождеством
1 + tg2 a = 1/cos2 a
cos2 a = 1 / (1 + tg2 a)
|cos a| = 1/ КОРЕНЬ(1 + tg2 a)
cos a = ±1/ КОРЕНЬ(1 + tg2 a)
знак перед корнем нужно выбрать в соответствии с четвертью данного угла (косинус положительный в I и IV четвертях, тангенс положительный в I и III четвертях)
Тригонометрическое тождество
Тригонометрическим тождеством называется равенство, в которое входят тригонометрические функции и которое удовлетворяется произвольным допустимым значением угла — аргумента тригонометрических функций, но не удовлетворяется, если каждую в отдельности тригонометрическую функцию заменить произвольной величиной.
Основные тригонометрические тождества:
sin2a + cos2a = 1
tg a = sin a / cos a
ctg a = cos a / sin a
sec a = 1 / cos a
cosec a = 1 / sin a
Arcsin, arcos, arctg, arcctg (обратные тригонометрические функции)
- arcsin — читается: арксинус;
- arcos — читается: арккосинус;
- arctg — читается: арктангенс;
- arcctg — читается: арккотангенс.
arcsin, arcos, arctg, arcctg — это обратные тригонометрические функции.
Обратной тригонометрической функцией y = arcsin x называют угол у, взятый на отрезке от –пи/2 до +пи/2, синус которого равен х:
y = arcsin x sin y = x
Обратной тригонометрической функцией y = arccos x называют угол у, взятый на отрезке от –пи до +пи, косинус которого равен х:
y = arccos x cos y = x
Обратной тригонометрической функцией y = arctg x называют угол у, взятый на промежутке от –пи/2 до +пи/2 (исключая концы), тангенс которого равен х:
y = arctg x tg y = x
Обратной тригонометрической функцией y = arcctg x называют угол у, взятый на промежутке от 0 до пи (исключая концы), котангенс которого равен х:
y = arctg x tg y = x
Например,
sin 30° = 0,5
arcsin0,5 = 30°
Синусоида и косинусоида
График функции y = sin x называется синусоидой.
График функции y = cos x называется косинусоидой.
Источники информации:
- Справочник по элементарной математике. Геометрия, тригонометрия, векторная алгебра. Под редакцией П.Ф. Фильчакова. —К.: Наукова думка, 1967. — 442 с.
- В.Д. Гетманцев, О.Ф. Саушкiн. Математика: Тригонометрiя: Посiбник для слухачiв пiдотовчих вiддiлень, вступникiв до вищих навчальних закладiв, студентiв педагогiчних iнститутiв (на укр.). —К.: Либiдь, 1994. — 144 с.
- docme.ru — зачем нужна тригонометрия?
- ru.wikipedia.org — Википедия — тригонометрия;
- ru.wikihow.com — как изучать тригонометрию?
Нам задан прямоугольный треугольник, длиной своей гипотенузы равной 29 дм и длинами катетов 20 дм, 21 дм.
Так как треугольник прямоугольный, то один из его углов равен 90°.
Нам нужно найти тангенс двух острых углов треугольника.
Давайте вспомним чем равен тангенс острого угла прямоугольного треугольника.
Итак, тангенс угла это отношение противолежащего катета к углу и прилежащему катету.
Запишем тангенсы углов треугольника как:
tg одного острого угла = 20/21.
tg другого острого угла = 21/20.