Как найти тангенс угла по клеточкам 1х1

Обычно в задачах требуется найти тангенс именно острого угла, как, допустим, на этом примере:

Для этого мы строим прямоугольный треугольник, проведя линию (перпендикуляр) BD:

Далее вспоминаем определение тангенса, это отношение противолежащего катета к прилежащему.

То есть tg(BOA) = DB / DO.

Чтобы найти DO и DB достаточно будет посчитать количество клеточек.

DO = 2.

DB = 5.

Значит, tg(BOA) = 5 / 2 = 2,5.

Зная тангенс, мы можем легко найти и котангенс:

ctg(BOA) = 1 / tg(BOA) = 1 / 2,5 = 0,4.

_

А вот задача на нахождение тангенса угла по клеточкам немного другого плана (ищем тангенс угла AOB):

Если соединить точки A и B, то угол ABO будет прямым.

И тангенс можно вычислить как отношение BA к BO.

Как же нам их найти?

И BO, и BA будут гипотенузами 2 совершенно равных прямоугольных треугольников (для наглядности я их выделил красным).

Длина катетов их равна 2 и 8, а квадрат гипотенузы, как известно, равен сумме квадратов катетов.

Таким образом, у нас получится следующее:

tg(BOA) = BA / BO = √(2² + 8²) / √(2² + 8²) = 1.

И нетрудно догадаться, что треугольник этот равнобедренный с равными углами BOA и BAO по 45 градусов.

Источник

Как найти тангенс угла по клеточкам

Как найти тангенс угла по клеточкам

Вычисление такой величины как тангенс может потребоваться как в ходе решения тригонометрических уравнений, так и при поиске ответа задачи по геометрии. Именно во втором случае хорошим подспорьем может оказаться наличие графического изображения угла, тангенс которого необходимо найти, на разлинованной в клеточку бумаге. Как это сделать – читайте в данной статье.

1

Работа с прямоугольными треугольниками

Прежде, чем приступить к нахождению такой величины как тангенс, необходимо определиться с терминологией. Так понятие “тангенс угла” характеризует отношение противолежащего данному угла катета к прилежащему. Т. о. работа ведется в пределах прямоугольного треугольника.

Суть описанного далее алгоритма заключается в работе с прямоугольными треугольниками в рамках непосредственно определения тангенса.

Задача – определить тангенс ∠AOB.

  • Установите т. B на луче OB в месте его прохождения через вершину клетки.
  • Из т. B опускаете перпендикуляр на луч OA. Место пересечения отмечаете как т. C.
  • В результате получается прямоугольный ΔBOC, в котором находится угол ∠AOB (очевидно, что ∠BOC = ∠AOB), тангенс которого необходимо найти.
  • Исходя из определения тангенса, tg∠AOB = BC / OC. Глядя на рисунок, несложно заметить что длина катета BC складывается из трех диагоналей клеток. При этом длина катета OC соответствует диагонали одной клетки. Следовательно, BC = 3OC.
  • tg∠AOB = 3OC/OC = 3.

Задача – определить тангенс ∠AOB.

Расчет tg∠AOB будет основан на том, что tg(η – λ) = (tgη – tgλ) / (1 + tgη*tgλ).

  • В одной из точек прохождения лучами OA и OB вершин клеток-квадратов отмечаете т. A и т. B соответственно.
  • Опускаете из них перпендикуляры. В результате вы получаете 2 прямоугольных треугольника – ΔOMB и ΔOLA.
  • “Расчетный” ∠AOB является разностью углов ∠AOL и ∠BOM: ∠AOB = ∠AOL – ∠BOM.
  • tg∠AOB = tg(∠AOL – ∠BOM) = (tg∠AOL – tg∠BOM) / (1 + tg∠AOL*tg∠BOM). Т. о. нахождение искомой величины сводится к нахождению тангенсов углов в построенных прямоугольных треугольниках.
  • tg∠AOL = AL / OL. Обратившись к рисунку заметно, что AL = 2OL. Поэтому tg∠AOL= 2OL / OL = 2.
  • tg∠BOM = BM / OM. Обратившись к рисунку видно, что OM=6BM. Поэтому tg∠BOM = BM / 6BM = 1/6.

tg∠AOB = (2 – 1/6) / (1 + 2/6) = 11*3 / 6*4 = 11/8 ⇒ tg∠AOB = 1,375.

2

Использование теоремы косинусов

Задача – определить тангенс ∠AOB.

  • т. A и т. B устанавливаете в точках прохождения лучей заданного угла через вершины клеток-квадратов. Опускаете из них перпендикуляры. Также отрезком соединяете между собой т. A и т. B.
  • Ваша задача – вычислить длины сторон получившегося ΔAOB. Для этого обращаемся к теореме Пифагора.
  1. AO = √OK2 + AK2, установив длину стороны клетки как условную 1, получаем AO = √9 + 1=√10.
  2. OB = √BP2 + OP2, т. к. длина стороны клетки равна 1, получаем OB = √4 + 1 = √5.
  • Согласно теореме косинусов, AB2 = AO2 + OB2 – 2AO*OB*cos∠AOB ⇒ cos∠AOB = (AO2 + OB2 – AB2) / 2AO*OB. Подставив числовые значения, получаем:

cos∠AOB = (10 + 5 – 25) / 2√5√10;

cos∠AOB = -10/2√5√10;

cos∠AOB = -1/√2.

  • Далее воспользуемся основным тождеством тригонометрии: sinβ2 + cosβ2 = 1.

sin∠AOB = √1-1/2 = 1/√2.

  • Известно, что tg∠AOB = sin∠AOB / cos∠AOB = -√2 / √2 ⇒ tg∠AOB = -1.

В зависимости от угла, тангенс которого необходимо найти, выбирайте наиболее подходящий, а главное “рабочий” алгоритм.

Источник

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ. Решение задачи: найти тангенс угла (на клетках).

несколько способов решения одной задачи.pptx

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов
решения одной задачи

Шишкина Л. В.
учитель математики
МБОУ СОШ №24
хутора Болгов
Усть-Лабинского района
Краснодарского края

Задача: Найдите тангенс угла АОВ

Задача: Найдите тангенс угла АОВ

Задача: Найдите тангенс угла АОВ.
Размер клетки 11.

Используем систему координат х y

Используем систему координат х y

Используем систему координат

х

y

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Используем определения и формулы тригонометрии

Используем определения и формулы тригонометрии

Используем определения и формулы тригонометрии

Используем теорему Пифагора и обратную ей теорему

Используем теорему Пифагора и обратную ей теорему

Используем теорему Пифагора и обратную ей теорему

Используем понятие площади и формулы площади треугольника

Используем понятие площади и формулы площади треугольника

Используем понятие площади и формулы площади треугольника

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Аналогичные задачи.

Аналогичные задачи.

Аналогичные задачи.

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

х y

х y

х

y

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Порешаем сами?

Порешаем сами?

Порешаем сами?

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Несколько способов решения одной задачи

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

Введите ваш emailВаш email

Источник

Угол на клетчатой бумаге. В этой статье мы с вами рассмотрим задачу, суть которой заключается в том, чтобы найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла, построенного на листе в клетку. Такие задания входят в состав экзамена по математике. 

Способы решения существуют разные, их более трёх. Подход изложенный ниже можно было бы назвать универсальным. Если у вас найдутся задачи, которые вы таким способом решить не сможете, пришлите мне их, подберём другой. Углы могут быть построены следующим образом (примеры):

Углы построенные на листке в клетку

Итак, рассмотрим задание:

Найдите тангенс угла AOB. В ответе укажите значение тангенса, умноженное на 8.

Найти тангенс угла!

Соединим точки А и В. Получили треугольник АОВ. На сторонах полученного треугольника построим прямоугольные треугольники так, чтобы эти стороны являлись гипотенузами.

Суть подхода такова: находим все стороны треугольника (это можно сделать по теореме Пифагора); далее используя теорему косинусов, мы можем найти косинус угла; зная косинус мы без труда найдём остальные тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс).

АВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 3,

ОВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 1, 

OА является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 2,

По теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус  угла между ними.

Из основного тригонометрического тождества можем найти sin AOB:

*Обратите внимание, что перед знаком корня у нас «+», так как угол острый (от 0 до 90 градусов). А синус острого угла имеет положительное значение. 

Теперь можем найти тангенс:

Умножим результат на 8 и запишем ответ:

Ответ: 11

Ещё раз повторим: как бы не был построен угол, мы всегда можем достроить его до треугольника, найти стороны этого треугольника (используя теорему Пифагора), далее используя теорему косинусов найти косинус угла (заданного в условии). Затем не составит труда, используя основное тригонометрическое тождество, найти синус. Тангенс и котангенс далее не сложно найти по их формулам.

Ниже предложено самостоятельно решить задачи. При их решении на сайте использовались и другие способы (вы решите представленным выше):

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.

Посмотреть решение

Найдите тангенс угла AOB.

Посмотреть решение

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на половину корня из пяти.

Посмотреть решение

Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на два корня из пяти.

Посмотреть решение

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на  два корня из двух.

Посмотреть решение

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2 корня из двух.

Посмотреть решение

Найдите тангенс угла AOB.

Посмотреть решение

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!

С уважением, Александр Крутицких.

*Делитесь информацией в социальных сетях )

Источник

1212.jpgПодготовка
к ОГЭ: нахождение тангенса угла по клеткам.

1. Источник: МА-9 ДЕМО 2017

Найдите тангенс угла АОВ треугольника,

изображённого на рисунке.

Решение:
Тангенсом
угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к
прилежащему. Воспользовавшись клеточками, нетрудно найти нужные величины: АВ=4    АО=2

 =  = 2

Ответ: 2

2. Источник: Открытый банк заданий по математике

 Прототип задания 12 (№
27450)

27450_x2_y5.eps

 

 

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 times 1 

изображён угол. Найдите тангенс этого угла

1212.jpg

Решение:
Находим прямоугольный треугольник

(как
показано  на рисунке). Далее по п1.

Ответ: 2,5

 

3. Источник: Открытый банк
заданий по математике

 Прототип задания 12 (№
27456)

MA.OB10.B4.104/innerimg0.jpg

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 times 1 

изображён угол. Найдите тангенс этого угла

1212.jpg

Решение:
Находим прямоугольный треугольник

(как
показано  на рисунке).

1212.jpg

Находим по т. Пифагора
противолежащий катет

(красный треугольник),
прилежащий катет

(жёлтый треугольник).

 = 1

1212.jpg

Замечание: обучающиеся
обычно решают это

задание следующим образом: кладут
снизу

клетчатый лист, чтобы на просвет
задача

стала аналогичной п.1.

(как показано  на рисунке).                         

   Ответ:
1

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти работу без опыта в курске
  • Как найти телеканал на спутнике
  • Как составить медицинский стандарт
  • Как найти премию от зарплаты
  • Microsoft office 2016 сбой активации продукта как исправить