Как найти тангенс в правильной шестиугольной призме

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

На сайте уже были рассмотрены некоторые типы задач по стереометрии, которые входят в единый банк заданий экзамена по математике. Например, задания про составные многогранники.

Призма называется правильной если её боковые перпендикулярны основаниям и в основаниях лежит правильный многоугольник. То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.

Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

В этой статье для вас задачи на решение призмы, в основании которой лежит правильный шестиугольник. Особенностей и сложностей в решении нет никаких. В чём суть? Дана правильная шестиугольная призма, требуется вычислить расстояние между двумя вершинами или найти заданный угол. Задачи на самом деле простые, в итоге решение сводится к нахождению элемента в прямоугольном треугольнике.

Используется теорема Пифагора и теорема косинусов. Необходимо знание определений тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике.

Известно, что в правильном шестиугольнике стороны равны. Кроме этого, углы между сторонами тоже равны.

*Противолежащие стороны параллельны.

Рассмотрим задачи:

272533. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 48. Найдите расстояние между точками A и E₁.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AA₁E₁. По теореме Пифагора:

*Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120 градусам.

Отрезок АЕ₁ является гипотенузой,  АА₁ и А₁Е₁ катеты.  Ребро АА₁ нам известно. Катет А₁Е₁ мы можем найти используя используя теорему косинусов.

Теорема: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Следовательно

По теореме Пифагора:

Ответ: 96

*Обратите внимание, что 48 возводить в квадрат совсем не обязательно.

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 35. Найдите расстояние между точками B и E.

Рассмотрим правильный шестиугольник:

Сказано, что все рёбра равны 35, то есть сторона шестиугольника лежащего в основании равна 35. А так же, как уже сказано, радиус описанной около него окружности равен этому же числу.

Таким образом,

Ответ: 70

273353. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны сорока корням из пяти. Найдите расстояние между точками B и E₁.

Рассмотрим прямоугольный треугольник  BB₁E₁. По теореме Пифагора:

Отрезок B₁E₁ равен двум радиусам описанной около правильного шестиугольника окружности, а её радиус  равен стороне шестиугольника, то есть

Таким образом,

Ответ: 200

273683. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁  все ребра равны 45. Найдите тангенс угла AD₁D.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADD₁, в котором AD равно диаметру окружности, описанной вокруг основания. Известно, что радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника равен его стороне. 

Таким образом,

Ответ: 2

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁  все ребра равны 23. Найдите угол  DAB. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим правильный шестиугольник:

В нём  углы между сторонами равны 120°. Значит,

Сама длина ребра не имеет значения, на величину угла она не влияет.

Ответ: 60

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁  все ребра равны 10. Найдите угол  AC₁C. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AC₁C:

Найдём AC. В правильном шестиугольнике углы между его сторонами равны 120 градусам, тогда по теореме косинусов для треугольника АВС :

Таким образом,

Значит, угол AC₁C равен 60 градусам.

Ответ: 60

274453. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 10. Найдите угол AC₁C. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольник AС₁С, он прямоугольный. Вычислим тангенс указанного в условии угла и определим угол. Известно, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть

Катет С₁С = 10. Отрезок АС вычислим по теореме косинусов (это мы уже делали в первой задаче, запишем ещё раз):

В правильном шестиугольнике углы при вершинах равны 120 градусам, то есть

Следовательно

Таким образом:

Ответ: 60

245364. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками А и Е₁.

Посмотреть решение

245365. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками В и Е.

Посмотреть решение

245366. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁все ребра равны корню из пяти. Найдите расстояние между точками В и Е₁.

Посмотреть решение

245367. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите тангенс угла AD₁D.

Посмотреть решение

245368. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите угол DAB. Ответ дайте в градусах. 

Посмотреть решение

245369. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите угол AC₁C. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

На этом всё! Успеха Вам!

В состав ЕГЭ включены и другие задачи по стереометрии, и они довольно разнообразны. Обязательно будем их рассматривать, не пропустите! Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Задача 46503 В правильной шестиугольной призме…

Задание

В правильной шестиугольной призме $A…F_1$ все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями $ABC$ и $DB_1F_1$.

Дано

• $A…F_1$ — правильная шестиугольная призма все ребра которой равны 1
• $ABC$ и $DB_1F_1$ — плоскости
• тангенс угла между $ABC$ и $DB_1F_1$ — ?

Решение

1) Выясняем, какой, собственно, угол нам нужно искать:

1. Нам нужно найти угол между плоскостями $ABC$ и $DB_1F_1$.
2. Обращаем внимание на плоскость $B_1C_1D_1$. Плоскость $B_1C_1D_1$ параллельна плоскости $ABC$, следовательно, угол между плоскостями $B_1C_1D_1$ и $DB_1F_1$ равен углу между плоскостями $ABC$ и $DB_1F_1$.
3. Обращаем внимание на то, что плоскости $B_1C_1D_1$ и $DB_1F_1$ пересекаются по прямой $B_1F_1$.
4. Строим плоскость $DMD_1$ так, чтобы она была перпендикулярна прямой $B_1F_1$.
5. Обращаем внимание на то, что плоскости $DB_1F_1$ и $DMD_1$ пересекаются по прямой $DM$.
6. Обращаем внимание на то, что плоскости $B_1C_1D_1$ и $DMD_1$ пересекаются по прямой $D_1M$.
7. По определению, углом между плоскостями $B_1C_1D_1$ и $DB_1F_1$ будет угол $DMD_1$.

2) Находим $operatorname{tg} DMD_1$:

По свойствам правильной шестиугольной призмы $$ DD_1=1, A_1D_1=2, A_1M=frac{1}{2}, MD_1=A_1D_1-A_1M=frac{3}{2}, angle DD_1M=90^{circ} $$ Из прямоугольного треугольника $DD_1M$ $$ operatorname{tg} DMD_1=frac{DD_1}{MD_1}=frac{2}{3} $$

Ответ: $frac{2}{3}$.

См. также

• Угол между двумя плоскостями
• Правильная шестиугольная призма

Категория: 

• С2 (стереометрия)