Как найти температуру стенки при

В первом приближении
средняя температура стенки равна
среднему арифметическому между
температурами теплоносителей:

, (1.4)

где
– средняя температура греющего
теплоносителя, °С;

–средняя температура
нагреваемого теплоносителя, °С.

°С.

По
выбираем критерии Прандтля для жидкостей,
движущихся в ТОА.

Pr_с1
= Pr_с2
= 1760,

где Pr_с1,
Pr_с2
– критерии Прандтля для греющей и
нагреваемой воды.

Коэффициент
теплопроводности медных труб λ_с
= 388,6 Вт/(м·К).

1.4 Определение коэффициента теплоотдачи со стороны греющего теплоносителя

При
турбулентном и переходном режимах Nu
зависит от Re и Pr, а при ламинарном еще и
от длины трубок. Поэтому перед расчетом
Nu₁
зададимся некой «предполагаемой
длиной», по которой будем вести расчет
трубного пространства. Формула для
расчета среднего значения критерия
Нуссельта имеет вид:

, (1.5)

где
Pr₁
– критерий Прандтля теплоносителя при
его средней температуре;

Pr_c
– критерий Прандтля теплоносителя при
средней температуре стенки.

Т.к.
,
то можно записать формулу для определения
среднего коэффициента теплоотдачи для
греющего теплоносителя:

, (1.6)

где ₁
– коэффициент теплопроводности греющего
теплоносителя при его средней температуре,
Вт/(мК).

Вт/(м²К).

1.5 Определение коэффициента теплоотдачи со стороны нагреваемого теплоносителя

Выберем
шахматную компоновку трубного пучка.

Т.к.
в межтрубном пространстве режим течения
теплоносителя ламинарный, то формула
для расчета среднего значения критерия
Нуссельта для шахматного порядка имеет
вид:

, (1.7)

где Pr₁
– критерий Прандтля теплоносителя при
его средней температуре;

Pr_c
– критерий Прандтля теплоносителя при
средней температуре стенки;

.

Аналогично
формуле (1.6) можно записать:

, (1.8)

Вт/(м²К).

1.6 Определение
коэффициента теплопередачи

Т.к.
отношение наружного диаметра трубки к
внутреннему составляет 1,083, что меньше
1,6, то при расчете среднего коэффициента
теплопередачи можно пользоваться
формулой для плоской стенки.

Вычислим
средний коэффициент теплопередачи:

, (1.9)

где _С
– толщина стенок трубок, м;

_С
– коэффициент теплопроводности материала
стенок при средней температуре стенки;

Вт/(м²К).

1.7 Уточнение температуры стенки

Средний
температурный напор для прямоточных и
противоточных ТОА с учетом перекрестного
тока вычисляется по формуле:

,
(1.10)

где t_Б
– большая разность температур между
теплоносителями;

t_М
– меньшая разность температур между
теплоносителями;

ε_Δt
= 0,75 – поправка на перекрестный ток.

t_Б
и t_М
выбираются по разности температур
и,
и разности температури.

—= 100-60 = 40 °С,

—= 40-20 = 20 °С.

°С.

.

Температура стенки
труб со стороны греющего теплоносителя
находится по формуле:

,
(1.11)

Температура стенки
труб со стороны нагреваемого теплоносителя
находится по формуле:

, (1.12)

Найдем
уточненную среднюю температуру стенки:

. (1.13)

Определим
погрешность нахождения средней
температуры стенки:

%. (1.14)

Т.к.
t_c>5
%, то температура стенки определена с
недостаточной степенью точности.
Проведем аналогичный расчет, приняв за
среднюю температуру стенки значение,
полученное по формуле (1.13).

Теплопроводность через стенку

Под теплопередачей через стенку понимают процесс передачи теплоты между двумя средами через непроницаемую стенку любой геометрической формы в стационарном и нестационарном режимах теплообмена. Стенка может быть многослойной.

Рассмотрим стационарный режим теплопередачи через плоскую, цилиндрическую и сферическую стенки при котором теплопередача — величина постоянная и температурное поле не изменяется во времени и зависит только от координаты. В этом случае при условии постоянства теплофизических свойств тела температура в плоской стенке изменяется линейно, а в цилиндрической — по логарифмическому закону, т.е.

Q = const и T = f(x) — линейная (при плоской стенке) или логарифмическая функция (при круглой стенке).

Согласно второму закону термодинамики процесс теплопередачи идет от среды с большей температурой к среде с меньшей температурой.

Теплопередача через непроницаемую стенку включает в себя следующие процессы:

1. теплоотдачу от горячей среды к стенке;
2. теплопроводность внутри стенки;
3. теплоотдачу от стенки к холодной среде.

Теплопередача через плоскую стенку (граничные условия первого рода)

Теплопроводность — первое элементарное тепловое явление переноса теплоты посредством теплового движения микрочастиц в сплошной среде, обусловленное неоднородным распределением температуры.

Совокупность значений температуры для всех точек пространства в данный момент времени называется температурным полем.

Если температурное поле не изменяется во времени, то мы имеем дело со стационарным тепловым режимом.

Тепловой поток Q [Вт] — это количество теплоты, передаваемой в единицу времени (1 Дж/с=1 Вт).

Поверхностная плотность теплового потока рассчитывается по формуле:

где Q — тепловой поток [Вт]; F — площадь стенки [м 2 ].

На основании закона Фурье q=-λdT/dx, значение плотности теплового потока для однослойной стенки будет определяться по формуле:

где δ = dx — толщина стенки, λ

λ/δ; [Вт/м 2 *К] — коэфициент тепловой проводности стенки.

а обратная величина —

R = δ/λ; [м 2. К/Вт] — термическое сопротивление стенки.

Для теплового потока формулу так же можно представить в виде:

Общее количество теплоты проходящее через площадь стены S за время t можно представить как:

Распределение температуры в плоской стенке

Рассмотрим изменение температуры в нашей стене. Так как у нас тепловой поток постоянный, то dT/dx = const=C₁; T=C₁х+С₂ (1). Определим С₁ и С₂ через граничные условия.

При х=0 T=T₁, подставим в уравнение (1) и получим T₁=С₂.
При х=δ T=T₂, подставим в уравнение (1) и получим T₂=С₁*δ+С₂, T₂=С₁*δ+T₁, получим: С₁=(Т₂-T₁)/δ. Теперь подставим в уравнение (1) найденные С₁ и С₂, получим следующее распределение температуры в нашей стене:

Если нам нужно узнать на какой глубине стены Т=То, то формула преобразуется в следующий вид:

Теплопроводность через многослойную стенку

Если у нас есть стенка из нескольких (n) слоев с разными коэффициентами теплопроводности λ_i и разной толщиной δ_i.

Термическое сопротивление стенки считается так:

Для теплового потока формула будет иметь вид:

Температура на границе слоя вычисляется по следующей формуле:

Например, если нужно вычислить температуру между 3-м и 4-м слоем, формула будет такая:

Эквивалентная теплопроводность многослойной стенки:

Теплопередача через плоскую стенку в граничащую среду (граничные условия третьего рода)

Теплопередача — это более сложный процесс теплообмена между жидкими и газообразными средами, разделенными твердой стенкой. Теплопередача включает в себя и процесс теплопроводности, и процесс теплоотдачи.

Коэффициент теплоотдачи α, Вт/(м 2 ·К) — это количество теплоты, отдаваемое в единицу времени единицей поверхности при разности температур между поверхностью и окружающей средой, равной одному градусу.

Коэффициент теплопередачи k, Вт/(м 2 ·К), характеризует тепловой поток, проходящий через единицу площади поверхности стенки при разности температуры сред, равной одному градусу:

q = k * (T_{возд.внутри} — T_{возд.снаружи}); Вт/м 2

Коэффициент теплопередачи для n слойной стенки:

Термические сопротивления теплоотдаче на внешних поверхностях стенки будут равны:

Тогда общее термическое сопротивление теплопередаче будет равно:

Температуры на поверхности стенки можно определить по формулам:

Теплопроводность через цилиндрическую стенку (граничные условия первого рода)

Теплообменные аппараты в большинстве случаев имеют не плоские, а цилиндрические поверхности, например рекуператоры типа «труба в трубе», кожухотрубные водонагреватели и т.д. Поэтому возникает необходимость рассмотрения основных принципов расчета цилиндрических поверхностей.

Согласно закону Фурье, количество теплоты, проходящее в единицу времени через этот слой, равно:

Подставим значения граничные значение и вспомним, что разность логарифмов равна логарифму отношению аргументов, получим:

Распределение температур внутри однородной цилиндрической стенки подчиняется логарифмическому закону, и уравнение температурной кривой имеет вид:

Количество теплоты, проходящее через стенку трубы, может быть отнесено либо к единице длины трубы L, либо к единице внутренней F₁ или внешней F₂ поверхности трубы. При этом расчетные формулы принимают следующий вид:

Все материалы, представленные на сайте, носят исключительно справочный и ознакомительный характер и не могут считаться прямой инструкцией к применению. Каждая ситуация является индивидуальной и требует своих расчетов, после которых нужно выбирать нужные технологии.

Не принимайте необдуманных решений. Имейте ввиду, что то что сработало у других, в ваших условиях может не сработать.

Администрация сайта и авторы статей не несут ответственности за любые убытки и последствия, которые могут возникнуть при использовании материалов сайта.

Сайт может содержать контент, запрещенный для просмотра лицам до 18 лет.

Теплопроводность через однослойную плоскую стенку

Дифференциальное уравнение теплопроводности позволяет опре­делить температуру в зависимости от времени и координат в любой точке поля.

Для любого конкретного случая к нему надо присоединить не­обходимые краевые условия.

Рассмотрим наиболее распространенный случай — теплопровод­ность через однослойную плоскую стенку, длина и ширина которой бесконечно велики по сравнению с толщиной б (рис. 23-1). Стенка имеет во всех своих частях оди­наковую толщину, причем температуры поверхно­стей t’_cr и t_cr поддерживаются постоянными, т. е. являются изотермическими поверхностями. Темпе­ратура меняется только в направлении, перпен­дикулярном к плоскости стенки, которое прини­маем за ось х. Коэффициент теплопроводности К по­стоянен для всей стенки. При стационарном теп­ловом режиме температура в любой точке тела не­изменна и не зависит от времени, т. е. Тог­да дифференциальное уравнение теплопроводности после сокращения коэффициента температуропроводности принимает вид

Но при принятых условиях первые и вторые производные от ( по y иz также равны нулю:

поэтому уравнение теплопроводности можно написать в следующем виде:

(23-1)

Интегрируя уравнение (23-1), находим

После вторичного интегрирования получаем

При постоянном коэффициенте теплопроводности это урав­нение прямой линии. Следовательно, закон изменения температуры при прохождении теплоты через плоскую стенку будет линейным.

Найдем постоянные интегрирования А и В.

При х = 0 температура t = t’_cr — B; при х = δ температура t = t»_cr — Аδ +t_ст, откуда

Плотность теплового потока найдем из уравнения Фурье (22-7)

(23-2)

Зная удельный тепловой поток, можно вычислить общее коли­чество теплоты, которое передается через поверхность стенки F за время τ:

(23-3)

Количество теплоты, которое передается теплопроводностью через плоскую стенку, прямо пропорционально коэффициенту теп­лопроводности стенки К, ее площади F, промежутку времени т, раз­ности температур на наружных поверхностях стенки (t’_ст — t»_ст) и обратно пропорционально толщине стенки δ. Тепловой поток за­висит не от абсолютного значения температур, а от их разности

t’ст — t»ст = Δt наtзываемой температурным напором.

Полученное уравнение (23-2) является справедливым для случая, когда коэффициент теплопроводности является постоянной вели­чиной. В действительности коэффициент теплопроводности реальных тел зависит от температуры и закон изменения температур будет выражаться кривой линией. Если коэффициент теплопроводности зависит от температуры в незначительной степени, то на практике закон изменения температур считают линейным.

Уравнение (23-2) можно получить непосредственно из закона Фурье (22-6), считая, что температура изменяется только в направ­лении оси х:

Разделив переменные, получаем

Интегрируя последнее уравнение при условии Q = const, на­ходим

Постоянную интегрирования С найдем из граничных условий:

при х = 0 температура

при х = δ температура откуда

Введем в уравнение (23-2) поправки па зависимость λ от t, считая эту зависимость линейной:

(а)

В этом случае, подставив в уравнение Фурье вместо К его зна­чение из формулы (а), получаем

(б)

Разделив переменные и интегрируя в пределах от х = 0 до x = δ и в интервале температур от t’_ст до t»_ст, получаем

(23-4)

Полученное уравнение (23-4) позволяет определить плотность теплового потока при переменном коэффициенте теплопроводности. В этом уравнении множитель

является среднеинтегралыюй величиной коэффициента теплопро­водности.

В уравнении (23-2) было принято λ,=const и равным среднему значению λ_ср. Поэтому, сравнивая уравнения (23-2) и (23-4), полу­чаем

(23-5)

Следовательно, если λ_ср определяется при среднеинтегральной температуре то формулы (23-2) и (23-4) равнозначны.

При этом плотность теплового потока может определяться из уравнения

(23-6)

Интегрируя уравнение (б) в пределах от х — О до любой текущей координаты х и в интервале температур от t’_ст ДО t_x, получим урав­нение температурного поля

(23-7)

Из этого уравнения следует, что температура внутри стенки из­меняется по кривой. Если коэффициент b отрицателен, то кривая будет направлена выпуклостью вниз; если b положителен, то вы­пуклостью вверх.

Теплопроводность плоской однослойной стенки

Теплопроводность плоской однослойной стенки

• Рис. 11. 3. Плоские стены. Рассмотрим однородную стенку толщиной b, выполненную из материала, теплопроводность которого l не зависит от температуры. Поверхность левой стороны стены поддерживается при постоянной постоянной температуре l, по высоте стены, а правой-низкой, но при постоянной температуре 1 г.

Давление р определяется отношением суммы нормальных к поверхности составляющих сил образующихся вследствие ударов о стенку хаотически движущихся микрочастиц рабочего тела, к площади поверхности А. Людмила Фирмаль

Температура стены изменяется только по ее толщине, направлению оси x рис. 11. 3. То есть температурное поле является 1-мерным, а температурный градиент равен d1 dx. Найти плотность теплового потока через заданную стенку и установить характер изменения температуры вдоль толщины стенки.

• Уравнение Фурье одномерного температурного поля. Чтобы интегрировать это уравнение, разделите переменные 11 — х- После интеграции 11. 2 Чтобы найти интегральную постоянную, используйте известные температуры x-0, −6 и x-1 2. Таким образом, c f таким образом, уравнение k. 2 будет иметь следующий формат АГ.

Термодинамической системой называется совокупность макроскопических тел, которые могут взаимодействовать между собой и с другими телами, составляющими внешнюю среду, в виде обмена энергией или веществом. Людмила Фирмаль

Когда вы решаете уравнение Хорошо О Плотность теплового потока плоской стенки прямо пропорциональна теплопроводности, перепаду температур и обратно пропорциональна толщине стенки. Изменение температуры по отношению к толщине стенки выражается формулой 11. 2.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Краткие сообщения

УДК 681.52.01

ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ТЕМПЕРАТУРЫ ^СЛОЙНОЙ СТЕНКИ

В.И. Панферов, А.Е. Милов

Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск

Рассмотрена задача вычисления средней температуры п-слойной ограждающей конструкции. С использованием метода математической индукции найдена формула, позволяющая определять среднюю температуру стенки по температурам ее внутренней и внешней поверхностей, а также по толщинам ее слоев и их термическим сопротивлениям теплопроводности. Формула рекомендуется для использования при построении математических моделей теплового режима зданий.

Ключевые слова: средняя температура, п-слойная ограждающая конструкция, метод математической индукции, термическое сопротивление, тепловой режим зданий.

В работе [1] при построении математической модели теплового режима здания (ТРЗ) полагалось, что средняя температура его наружной стены в квазистационарном приближении может быть вычислена по формуле

? = (1)

где £в — температура внутреннего воздуха, £н — температура наружного воздуха.

Однако данное допущение предполагает, что выполняются следующие условия:

1) коэффициенты теплоотдачи для внутренней и внешней поверхностей стенки ав, ан ^ да [2];

2) стенка однослойная.

В реальных условиях ав и ан имеют конечные значения, кроме того, наружные стены, как правило, многослойные. Поэтому возникает задача уточнения формулы для средней температуры наружной стены здания. Для решения этой задачи рассмотрим процесс теплопроводности в п-слойной ограждающей конструкции. Для иллюстрации последующих выкладок на рис. 1 приведена схема двухслойной стенки.

Здесь и далее через обозначим толщину всей стенки, имеющей в общем случае п слоев (в случае рис. 1 слоев 2), а через 5,- — толщину /’-го слоя, £ВП — температура внутренней поверхности стены, £НП — температура наружной поверхности

стены, £(¿-1)-! — температура на границе (/’-1)-го и /-го слоев, 11 — средняя температура /-го слоя, — термическое сопротивление теплопроводности всей стенки, а — ее /-го слоя.

Нетрудно показать, что температуры на внутренних границах слоев будут равны:

^1-2 = ¿ВП ‘ ^2-3 = ^ВП ‘ ^3-4 = ^ВП ‘

ОвП ‘

ОвП

Овп

ч Й1+Й2

cHnJ •

trn) •

Re

й1+Й2+Й3; Re ‘

(2)

(3)

(4)

t(n-l)-n = ^ВП (^ВП ^НП) X й1 + й2 + йз + …+йп-1

X ■

(5)

Обобщая полученные соотношения, запишем,

Re

что

^¿-(¿+1) = £вп ОВП W • k . (6)

При этом следует иметь в виду, что температура наружной поверхности формально может быть представлена следующим выражением:

¿НП = ^ВП — ОвП — W • к. (7)

Re

Так как температура по толщине каждого слоя распределяется по прямой, то его средняя температура будет равна полусумме температур на его границах, поэтому

= ^ВП — (^ВП — ¿НП) • (8)

^2 = ^ВП — (^ВП t-n = ^ВП — (^ВП X ‘

2RE 2й1+Й2i

2RE ‘

*НП) X

2й1 + 2Й2 + 2Й3 + …+ 2Йп_2+Йп-1 2RE .

(9)

(10)

Рис. 1. Двухслойная стенка

Вестник ЮУрГУ. Серия «Строительство и архитектура». 2015. Т. 15, № 2. С. 59-61

Краткие сообщения

Следовательно, общая формула для средней температуры /-го слоя будет такой:

Ч = £вп — (^ВП — ^НП) 1с~1п к 1 . (11)

Вычисляя среднюю температуру и-слойной стенки по известной формуле

1= ± + (12) получим следующее выражение:

х £?=15г( 2££:11Дк+Дг). (13)

Таким образом, найдена формула, позволяющая вычислять среднюю температуру и-слойной стенки по температурам ее внутренней и внешней поверхностей, а также по толщинам ее слоев и их термическим сопротивлениям теплопроводности.

Выясним, как отличаются значения средней температуры многослойной ограждающей конструкции, вычисленные по разным формулам. В качестве примера рассмотрим двухслойную стенку, состоящую из керамзитобетона (5Х=300 мм, R1 = = 0,46 м2 -°С/Вт) и минеральной ваты (52=100 мм, R2 = 1,78 м2 • °С/Вт). Примем наружную температуру равной ^ = -34 °С, а внутреннюю — 4 = 21 °С.

Тогда по формуле (1) получим, что I = 21+2 34 = = -6,5 °С. Заметим, что использование формулы (1) предполагает, что коэффициенты теплоотдачи для внутренней и внешней поверхности

ав, ан ^ да, но при практических расчетах их значениях принимаются согласно [3]: ав = 8,7 Вт/ (м2 °С), а ан = 23 Вт/ (м2- °С). С учетом этого, определены температуры внешней и внутренней поверхности стенки: tBn = 18,37 °С, а tHn = -33 °С. Тогда, условно полагая, что стенка однородная, получим,

что t =-= -7,315 °С. Если же вычисле-

2

ния проведем по формуле (13), то получим, что t= 6,67 °С.

Выводы

Получена формула, позволяющая вычислять среднюю температуру многослойной плоской стенки в соответствии с физикой процесса переноса теплоты. Показано, что погрешности использования ранее предложенных в литературе формул достаточно существенные.

Литература

1. Соколов, Е.Я. Теплофикация и тепловые сети: учебник для вузов / Е.Я. Соколов — 7-е изд., стер. — М.: Изд-во МЭИ, 2001. — 472 с.

2. Лыков, А.В. Теоретические основы строительной теплофизики / А.В. Лыков. -Минск: Издательство академии наук БССР, 1961. — 520 с.

3. СП 50.13330.2012. Тепловая защита зданий. Актуализированная редакция СНиП 23-02-2003.

Панферов Владимир Иванович, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой «Теплогазо-снабжение и вентиляция», Южно-Уральский государственный университет (Челябинск), tgsiv@mail.ru.

Милов Александр Евгеньевич, студент, архитектурно-строительный факультет, Южно-Уральский государственный университет (Челябинск), milovalexandr74@gmail.com.

Поступила в редакцию 12 января 2015 г.

CALCULATION OF THE AVERAGE TEMPERATURE FOR MULTILAYER WALL

V.I. Panferov, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, tgsiv@mail.ru

A.E. Milov, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, milovalexandr74@gmail.com

Calculation of the average temperature for multilayer enclosure structure is analyzed. With the help of mathematical induction method we have found a formula to calculate the average temperature of the wall using its boundary temperatures, thickness and thermal resistance of layers. This method is recommended for use with mathematical models of thermal conditions of buildings.

Keywords: average temperature, multilayer enclosure structure, mathematical induction method, thermal resistance, thermal conditions of buildings.

Bulletin of the South Ural State University. Ser. Construction Engineering and Architecture.

2015, vol. 15, no. 2, pp. 59-61

Панферов В.И., Милов А.Е.

Вычисление средней температуры n-слойной стенки

References

1. Sokolov E.Ya. Teplofikatsiya i teplovyie seti [District heating and heat networks]. Moscow, MEI Publ., 2001. 472 p.

2. Lyikov A.V. Teoreticheskie osnovyi stroitelnoy teplofiziki [Theoretical Foundations of Building Thermal Physics]. Minsk: Akademii nauk BSSR Publ., 1961. 520 p.

3. SP 50.13330.2012. Teplovaya zaschita zdaniy. Aktualizirovannaya redaktsiya SNiP 23-02-2003 [Thermal protection of buildings. The actualized edition Construction Norms and Regulations 23-02-2003]. Moscow, 2003.

Received 12 January 2015

БИБЛИОГРАФИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СТАТЬИ

Панферов, В.И. Вычисление средней температуры п-слойной стенки / В.И. Панферов, А.Е. Милов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Строительство и архитектура». -2015. — Т. 15, № 2. — С. 59-61.

REFERENCE TO ARTICLE

Panferov V.I., Milov A.E. Calculation of the Average Temperature for Multilayer Wall. Bulletin of the South Ural State University. Ser. Construction Engineering and Architecture. 2015, vol. 15, no. 2, pp. 59-61. (in Russ.)

Вестник ЮУрГУ. Серия «Строительство и архитектура». 2015. Т. 15, № 2. С. 59-61