Как найти теорему пифагора в прямоугольнике - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

План урока:

Теорема Пифагора

Задачи на применение теоремы Пифагора

Пифагоровы тройки

Обратная теорема Пифагора

Формула Герона

Теорема Пифагора

Попытаемся установить связь между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Пусть в некотором прямоугольном треуг-ке катеты имеют длины а и b, а гипотенуза равна с. Пусть один из острых углов треуг-ка составляет α, тогда другой острый угол должен равняться 90 – α:

Далее возьмем 4 таких треуг-ка и расположим их следующим образом:

Здесь мы прикладываем треуг-ки так, чтобы их разные катеты образовали одну сторону четырехугольника. В результате получается большой квадрат со стороной a + b. Квадратом он является по определению, ведь все его стороны одинаковы, а углы – прямые.

Изучим центральную фигуру, чью площадь мы обозначили как S₂. Это четырехуг-к, причем все его стороны равны с, то есть длине гипотенузы треугольника. С другой стороны, каждый его угол можно найти, вычтя из 180° величины α и 90° – α:

Получается, что всего его углы прямые, то есть он является квадратом. Найдем его площадь:

Вернемся к большому квадрату. С одной стороны, его площадь можно записать как сумму площадей фигур, его составляющих:

Cдругой стороны, эту же площадь можно найти, просто возведя в квадрат его сторону:

Получили формулу, в которой и заключен смысл теоремы Пифагора:

Изучим несколько простейших примеров использования теоремы Пифагора.

Задание. Длины катетов прямоугольного треугольника составляют 5 и 12. Определите длину гипотенузы.

Решение. Запишем теорему Пифагора:

Задание. Длина катета треугольника составляет 3, а гипотенузы – 5. Какова длина другого катета?

Решение: На это раз нам известен один из катетов а = 3 и гипотенуза с = 5. Подставим в теорему Пифагора эти числа:

Теорема Пифагора имеет огромное значение для геометрии и смежных дисциплин. Приведенное здесь ее доказательство является одним из простейших, но отнюдь не единственным. Сегодня человечеству известно 367 различных доказательств теоремы Пифагора, что лишь показывает ее огромную значимость.

На самом деле Пифагор, известный древнегреческий математик, не был первым, кто обнаружил это равенство. Пифагор родился примерно в 570 г. до н. э., однако ещё египтяне знали про прямоугольный треуг-к со сторонами 3, 4 и 5. Поэтому его часто именуют египетским треугольником.

Также вычислять стороны прямоугольного треуг-ка умели и в Вавилоне уже за 1000 лет до рождения Пифагора. Вероятно, Пифагор узнал о формуле от вавилонян, а сам лишь вывел ее доказательство (вавилоняне не утруждали себя необходимостью доказывать теоремы геометрии). Утверждается, что Пифагор принес сделал жертвоприношение в размере 100 быков после того, как смог доказать теорему.

Задание. Вычислите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треуг-ка, чьи катеты имеют единичную длину.

Решение. В теорему Пифагора вместо букв a и b подставим единицу:

Обратите внимание, что в данной задаче в качестве длины гипотенузы прямоугольного треугольника получилось иррациональное число. Исторически именно при решении подобной задачи люди (это были ученики Пифагора) впервые столкнулись с иррациональными числами. Перед дальнейшим изучением темы есть смысл вспомнить основные правила вычислений с квадратными корнями.

Задание. На рисунке построен произвольный квадрат. Предложите способ, как построить квадрат с вдвое большей площадью.

Решение. Проведем в исходном квадрате диагональ. Далее построим новый квадрат со стороной, равной этой гипотенузе:

Докажем, что получившийся квадрат (его стороны отмечены синим цветом) вдвое больше исходного квадрата. Пусть сторона изначального квадрата равна х.Тогда его площадь составляет х². Диагональ разбивает квадрат на два прямоугольных треуг-ка, в которых она является гипотенузой.

Запишем для одного из них теорему Пифагора:

Но площадь квадрата равна его стороне, возведенной во вторую степень, поэтому величина с²– это площадь большого (на рисунке – синего)квадрата, а х² – площадь маленького:

Подставим эти выражения в формулу, выведенную из теоремы Пифагора, и получим, что площадь большего квадрата ровно вдвое больше:

Задание. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треуг-ка, гипотенуза которого имеет длину 10.

Решение. Обозначим катеты переменной х, тогда теорема Пифагора будет выглядеть как уравнение:

Задание. Один из острых углов прямоугольного треугольника составляет 30°, а его гипотенуза равна 10. Найдите оба катета.

Решение. Мы знаем, что в прямоугольном треуг-ке с острым углом 30° гипотенуза вдвое длиннее меньшего катета (он как раз лежит против угла 30°), мы можем найти этот катет:

10:2 = 5

Другой катет находим с помощью теоремы Пифагора:

Задачи на применение теоремы Пифагора

Теорема Пифагора используется в огромном количестве геометрических задач. С ее помощью можно находить диагонали некоторых четырехуг-ков, длины высот, вычислять площади.

Задание. Стороны прямоуг-ка имеют длину 8 и 15 см. Найдите длину его диагонали.

Решение. Рассмотрим произвольный прямоугольник АВСD. Если в нем провести диагональ ВD, то получится прямоугольный треуг-к АВD. Пусть АВ = 15, АD = 8. Запишем теорему Пифагора для ∆АВD:

Задание. В равнобедренном треуг-ке основание имеет длину 16 см, а боковые стороны составляют 17 см. Найдите длину высоты, проведенной к основанию этого треуг-ка, а также площадь треуг-ка.

Решение. Напомним, что высота, опущенная к основанию равнобедренного треуг-ка, одновременно является и медианой, и биссектрисой. Это значит, что Н – середина АВ. Тогда можно найти длину отрезков АН и НВ:

Теперь можно рассмотреть ∆АСН. Он прямоугольный, и нам известно его гипотенуза (она является боковой стороной ∆АВС и по условию равна 17 см) и катет АН. Тогда можно найти и второй катет, то есть высоту СН:

Задание. Высота равностороннего треуг-ка составляет 4 см. Найдите его сторону.

Решение. Напомним, что в равностороннем треуг-ке все углы равны 60°. Также учтем, что высота в равностороннем треуг-ке является также и биссектрисой и медианой:

Рассмотрим ∆АСН. Он прямоугольный, и один из его углов составляет 60°. Значит, другой угол составляет 30°. Но в таком треуг-ке гипотенуза вдвое больше катета, лежащего против ∠30°:

Обратите внимание, мы специально домножили дробь на корень из 3, чтобы корень оказался в числителе, а не знаменателе. Т.к. в таком виде проще работать с квадратными корнями.

Итак, мы нашли АН. Теперь можно найти сторону АС, которая вдвое длиннее:

Задание. Составьте формулу для нахождения площади равностороннего треуг-ка, если известна только его сторона.

Решение. Обозначим сторону треуг-ка буквой а. Для вычисления площади необходимо найти высоту:

Как и в предыдущей задаче, отрезок АС вдвое длиннее АН:

Высоту мы нашли. Осталось найти площадь:

Задание. В прямоугольном треуг-ке, катеты которого имеют длину 60 и 80, проведена высота к гипотенузе. Найдите высоту гипотенузы, а также длину отрезков, на которые эта высота разбивает гипотенузу.

Решение. Найдем длину гипотенузы ВС:

Осталось найти длины отрезков СН и НВ. Для этого необходимо записать теорему Пифагора для ∆АСН и ∆АНВ, которые являются прямоугольными. Начнем с ∆АСН:

Аналогично работаем и с ∆АНВ:

Можно проверить себя. Отрезки НВ и СН вместе составляют отрезок СВ, поэтому должно выполняться равенство:

Задание. Диагонали ромба равны 10 и 24 см. Чему равна его сторона?

Пусть в ромбе АВСD диагонали пересекаются в точке О, причем АС = 24 см, а ВD = 10 см.Напомним, что диагонали ромба пересекаются под углом 90° и делятся при этом на одинаковые отрезки. Следовательно, ∆АВО прямоугольный. Найдем его катеты:

Задание. Основания равнобедренной трапеции имеют длину 20 и 10, а боковая сторона имеет длину 13. Найдите площадь трапеции.

Решение. Опустим на большее основание две высоты:

В итоге получили прямоуг-к АВКН. Его противоположные стороны одинаковы, поэтому

∆АНD и ∆ВКС равны друг другу, ведь это прямоугольные треуг-ки с одинаковой гипотенузой (АD = ВС, ведь это равнобедренная трапеция) и равным катетом (АН = ВК как стороны прямоуг-ка). Это значит, что DH = КС. Но эти отрезки вместе с НК составляют CD. Это позволяет найти DH и KC:

Зная высоту трапеции и ее основания, легко найдем и ее площадь:

Пифагоровы тройки

Возможно, вы уже заметили, что в большинстве школьных задач на применение теоремы Пифагора используются треуг-ки с одними и теми же сторонами. Это треуг-к, чьи стороны имеют длины

Их использование обусловлено тем, что все их стороны выражаются целыми числами. В задачах же, например, с равнобедренным прямоугольным треуг-ком хотя бы одна из сторон обязательно оказывается иррациональным числом.

Прямоугольные треуг-ки, у которых все стороны являются целыми, называют пифагоровыми треугольниками, а длины их сторон именуются пифагоровыми тройками. Получается, что пифагоровыми называются такие тройки натуральных чисел а, b и с, которые при подстановке в уравнение

обращают его в справедливое равенство.

Для удобства такие тройки иногда записывают в скобках.

Например, тройка чисел (3; 4; 5)– пифагорова, так как

Задание. Определите, какие из следующих троек чисел являются пифагоровыми:

Несложно догадаться, что пифагоровых троек существует бесконечно много. Действительно, возьмем тройку (3; 4; 5). Далее умножим все числа, составляющие ее, на два, и получим новую тройку (6; 8; 10), которая также пифагорова. Умножив исходную тройку на 3, получим тройку (9; 12; 15), и она снова пифагорова. Вообще, умножая числа пифагоровой тройки на любое натуральное число, всегда будем получать новую пифагорову тройку. А так как натуральных чисел бесконечно много, то и троек Пифагора также бесконечное количество.

Отдельно выделяют понятие примитивной пифагоровой тройки. Эта такая тройка, числа которой являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей. Другими словами, примитивная тройка НЕ может быть получена из другой тройки простым умножением ее чисел на натуральное число. В частности, тройка (3; 4; 5)является примитивной, а «производные» от нее тройки (6; 8; 10) и (9; 12; 15) уже не примитивные.

Интересно, что примитивных троек также бесконечно много. Ещё Евклид предложил алгоритм для их поиска, который, однако, не изучается в рамках школьного курса геометрии.

Задание. Докажите, что у любого прямоугольного треуг-ка с целыми длинами сторон все эти длины не могут быть нечетными числами.

Предположим, что такой треуг-к существует. Пусть его стороны равны a, b и c, и эти числа нечетны. Тогда должно выполняться уравнение:

Заметим, что квадрат нечетного числа также является нечетным числом. Поэтому числа а², b²и с² – нечетные. Однако сумма нечетных чисел является уже четной. Поэтому выражение а² + b²четное. Таким образом, получается, что равенство

не может быть верным, ведь его левая часть четна, а правая – нечетна. Поэтому пифагоров треуг-к с тремя нечетными сторонами существовать не может.

Обратная теорема Пифагора

По теореме Пифагора из того факта, что в треуг-ке есть прямой угол, следует следующее соотношение между длинами его сторон:

Оказывается, верно и обратное: если в произвольном треуг-ке одна сторона (очевидно, большая из них) равна сумме квадратов двух других сторон, то из этого следует, что такой треуг-к является прямоугольным.

Это утверждение называют обратной теоремой Пифагора. Докажем её. Пусть есть некоторый ∆АВС, для сторон которого выполняется равенство

Так как ∆А₁В₁С₁ прямоугольный, то для него справедлива теорема Пифагора. Найдем с ее помощью гипотенузу:

а именно это мы и доказываем.

Уточним разницу между собственно теоремой Пифагора и только что доказанной обратной ей теореме. В каждой теореме есть две ключевые части:

1) некоторое условие, которое описывает какое-то геометрическое построение;

2) вывод (или заключение), который делается для условия.

В самой теореме Пифагора в качестве условия описывается прямоугольный треугольник. Для него делается вывод – катеты, возведенные в квадрат, в сумме дадут квадрат гипотенузы.

В обратной же теореме условие и вывод меняются местами. В роли условия описывается треугольник, у которого большая сторона, возведенная во 2-ую степень, равна сумме двух других сторон, также возведенная в квадрат. Для этого описания делается вывод – такой треугольник обязательно должен быть прямоугольным.

Заметим, что не всякая обратная теорема является справедливой. Например, одна из простейших теорем гласит – если углы вертикальные, то они равны. Сформулируем обратную теорему – если углы равны, то они вертикальные. Понятно, что это неверное утверждение.

Задание. Выясните, является ли треуг-к прямоугольным, если его стороны имеют длины:

Решение. Здесь надо просто проверить, являются ли эти числа пифагоровыми тройками. Если являются, то соответствующий треуг-к окажется прямоугольным.

Задание. В ∆КМР проведена биссектриса МН. Её длина 12. КМ = 13 и КН = 5. Найдите МР.

Решение. Рассмотрим ∆МНК. Его стороны равны 5, 12 и 13. Но это одна из пифагоровых троек:

Отсюда следует, что треуг-к прямоугольный, причем МК – гипотенуза (гипотенуза – это длиннейшая сторона). Тогда ∠Н = 90°. Но это означает, что биссектриса МН ещё и высота. Но если в треугольнике одна линия одновременно и медиана, и высота, то это равнобедренный треуг-к, причем КР – его основание. Тогда

Формула Герона

Невозможно построить два треугольника с тремя одинаковыми сторонами. Это значит, что теоретически знания трех сторон треугольника достаточно, чтобы найти его площадь. Но как это сделать? Здесь может помочь формула Герона, которая выводится с помощью теоремы Пифагора.

Пусть стороны треуг-ка равны а, b и с, причем с не меньше, чем а и b. В любом треуг-ке есть хотя бы два острых угла, а тупой угол, если он есть, лежит против большей стороны. Это значит, что оба прилегающих кс угла – острые. Отсюда следует, что высота, опущенная нас, будет лежать внутри треуг-ка. Обозначим длину этой высоты как h. Пусть она разобьет сторону сна два отрезка длиной х и у:

По рисунку можно записать три уравнения:

Левая часть одинакова в обоих уравнениях, значит, равны и правые:

С учетом этого выразим h²:

Мы уже выразили высоту (точнее, ее квадрат) через длины сторон. Однако обычно в этой формуле производят замену и вводят число р, равное полупериметру треуг-ка, то есть

Площадь треуг-ка вычисляется по формуле:

Запоминать вывод формулы Герона не надо. Саму формулу всегда можно найти в любом справочнике по геометрии или в Интернете. Достаточно запомнить, что площадь любого треуг-ка можно вычислить, если известны все его стороны.

Задание. Стороны треуг-ка имеют длину 9, 7 и 8 см. Какова его площадь?

Решение. Пусть а = 9; b = 8; с = 7. Для использования формулы Герона сначала вычислим половину периметра треуг-ка:

Итак, сегодня мы узнали о теореме Пифагора. Она представляет собой соотношение, которое связывает катеты и гипотенузу в прямоугольном треуг-ке. Это соотношение помогает в исследованиях других фигур – квадратов, параллелограммов, трапеций. Также с его помощью выведена формула Герона, которая позволяет вычислять площадь треуг-ка, зная только длины его сторон.

Источник

Все статьи из цикла «В чем прелесть предмета»
Другие статьи из цикла «В чем прелесть математики»:
Визуальные доказательства
Теорема Байеса
Красота рассуждений
Режем провода
Прятки с геометрией
Бесконечность

Математика не только формулы. Математика – это все, что нас окружает. В ней важно не только знать теоремы и аксиомы, но и понимать, чувствовать ее фундаментальные принципы. К одному из таких фундаментальных знаний можно отнести теорему Пифагора, с которой мы знакомимся еще в школе на уроках геометрии. Однако, как порой это бывает, учебная программа упускает красоту и изящество самой теоремы, чья роль намного важнее, чем нахождение сторон треугольника; теорема Пифагора находит неисчисляемое множество применений в науке и технике – невозможно переоценить ее значимость.

В этой статье мы познакомимся с историей теоремы Пифагора, узнаем, как чертили прямые углы в Древнем Египте, что такое пифагоровы тройки и какой магией обладает математика, спрятанная в простой теореме о сумме квадратов катетов.

История теоремы Пифагора

Теорема Пифагора:

В любом прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. [c^2=a^2+b^2 ]

Несмотря на то, что сейчас имя Пифагора навсегда связано с теоремой о квадратах катетов и гипотенузы, мы не имеем никаких сохранившихся письменных свидетельств того, что сам Пифагор открыл и доказал эту теорему. И хотя некоторые авторы античных времен в лице Плутарха и Цицерона считали, что теорему вывел именно Пифагор, первооткрывателем его не назовешь. Что мы знаем наверняка – теорема принадлежит древнейшему периоду пифагорейской математики между VI веком до н. э. и V веком н. э.

Одна скромная глиняная дощечка, найденная археологами XX века в Месопотамии, также выступает против первенства древнегреческого математика. Она наглядно показывает, что теорема могла быть открыта вавилонскими математиками за (1000) лет до рождения самого Пифагора.

Вавилонская глиняная табличка была написана около 1800 г. до н.э., что свидетельствует об открытии теоремы за тысячелетие до Пифагора. Источник

Эта глиняная табличка, известная как Plimpton 322, датируется примерно XIX-XVI веком до нашей эры. На ней перечислены пятнадцать троек с длинами отрезков, образующих прямоугольный треугольник: ((3, 4, 5)), ((28, 45, 53)) и (65, 72, 97)), но не ((5, 12, 13)) или ((8, 15, 17)), хотя присутствует даже тройка ((12 709, 13 500, 18 541))! Получить подобные тройки простым подбором практически невозможно, поэтому ученые предполагают, что автор дощечки знал, как получить больше подобных троек из формулы Пифагора, которая была открыта спустя 1000 лет. Кроме того, Plimpton 322 была написана в том же формате, что и другие административные (не математические) документы того периода. Упоминание пифагоровых троек в подобном “общественном” документе показывает, что теорема Пифагора не являлась математическим открытием для жителей Междуречья, а активно применялась в жизни вавилонян.

На сегодняшний день известно, что задачи и факты, связанные теоремой Пифагора, встречаются и в древнеиндийском трактате VII–V вв. до н.э. «Сульва Сутра», и древнекитайском сочинении «Чжоу-би Суань Цзинь» III–I вв. до н. э., а также в египетских источниках времен фараона Аменемхета I (2300 г. до н.э). Удивительно, как теорема Пифагора занимала умы математиков с древнейших времен. Чего же стоят около 370 разнообразных доказательств, существующих в наши дни!

Доказательство теоремы

В количестве доказательств с теоремой Пифагора не может соревноваться ни одно из существующих математических утверждений. Первоначально, в 1927 году, все эти доказательства были собраны в одну большую книгу по математике и включали доказательство 12-летнего Альберта Эйнштейна, который воспользуется этой теоремой два десятилетия спустя для теории относительности, доказательства Леонардо да Винчи и двадцатого президента США Джеймса Абрам Гарфилда.

С одним из самых простых и красивых доказательств известной теоремы вы могли познакомиться в статье Визуальные доказательства из цикла “В чем прелесть математики”. Здесь же мы представим алгебраическое доказательство этой теоремы, используя один и тот же рисунок.

Доказательство теоремы Пифагора

Нарисуем квадрат со стороной (a+b), а внутри – (4) прямоугольных треугольника с катетами (a), (b) и гипотенузой (c), расположенных так, как изображено на рисунке слева. Давайте посмотрим на площадь большого квадрата с разных точек зрения: с одной стороны, она равна ( (a+b)^2 ), а с другой, сумме площадей этих пяти частей. Площадь белого квадрата равна ( c^2 ), а каждая из четырех серых прямоугольных треугольников по ( frac{a cdot b}{2} ). Тогда [c^2+4 cdotfrac{a cdot b}{2} = (a+b)^2 =a^2+b^2 + 2ab.] [c^2+ 2ab = (a+b)^2 =a^2+b^2 + 2ab.] Таким образом, [c^2=a^2+b^2.] Теорема доказана!

Теорема работает и в обратную сторону: если для сторон треугольников выполняется известное (a^2+b^2 = c^2), то это непременно прямоугольный треугольник!

Пифагоровы тройки

Как начертить прямой угол? Сейчас ответ на этот вопрос кажется предельно очевидным: либо с помощью транспортира и линейки, либо достаточно тетради в клетку. А что делать строителю из Древнего Египта, не знающему ни о тетрадях, ни о транспортире? Он несомненно использовал бы теорему Пифагора (хотя и не называл бы ее именно так).

Чтобы начертить прямые углы, древние египтяне использовали треугольник (3-4-5), который по теореме Пифагора является прямоугольным. Сначала они брали веревку и делали на ней отметки, разбивающие веревку на (12) ((3+4+5=12)) равных частей, затем концы веревки связывались. После этого веревку растягивали в виде треугольника со сторонами (3-4-5). Получившийся угол между сторонами (3) и (4) оказывался прямым – то, что надо! Впоследствии именно этот треугольник со сторонами (3-4-5) был назван египетским треугольником – в честь своих первых пользователей.

Однако прямые углы можно чертить с помощью не только египетского, но и любого прямоугольного треугольника, чьи стороны удовлетворяют теореме Пифагора. Если стороны такого треугольника являются целыми числами, то их называют пифагоровыми тройками. Представим несколько таких троек:[3^2+4^2=5^2, 5^2+12^2=13^2, ] [8^2+15^2=17^2, , 9^2+12^2=15^2]Вы наверняка встречали их в жизни, особенно на контрольных по математике, когда учителя стараются составлять задачи с удобными целочисленными ответами.

Любопытно, что все пифагоровы тройки похожи друг на друга как братья. Давайте посмотрим, как получаются Пифагоровы тройки из одноименной теоремы. Вернемся к нашему уравнению и возьмем некую пифагорову тройку (a,b,c):[c^2=a^2+b^2]А теперь рассмотрим точно такой же треугольник, но со сторонами в два раза больше(2a,2b,2c). Тогда получим:[(2c)^2=(2a)^2+(2b)^2 Rightarrow 4c^2=4a^2+4b^2 Rightarrow c^2 = a^2+b^2.]Выходит, что эта бóльшая тройка, получившаяся из предыдущей поменьше, так же будет пифагоровой. Например, линейные величины треугольника (6-8-10) в (2) раза больше, чем у египетского треугольника (3-4-5). Умножив стороны на любое другое число, мы получим другие значения, которые образуют новые пифагоровы тройки. Так, треугольник (9-12-15) получается при увеличении египетского в (3) раза, а (150-200-250) – при увеличении в (50) раз. Такие тройки называются подобными, потому что они не отличаются по своим свойствам, за исключением масштаба, а исходная тройка, являющаяся основой для ряда пифагоровых троек, называется примитивной.

Обобщения теоремы Пифагора

В теоремах часто есть ограничения или условия, в рамках которых известная математикам формула будет выполняться. Сама теорема Пифагора верна только для прямоугольных треугольников и работает только на плоскости, то есть в двухмерном пространстве. А можно ли обойти эти условия? Как придумать более общие теоремы? На самом деле, эти вопросы являются основной заботой многих математиков-исследователей на протяжении столетий, ведь каждый раз нам приходится разрешать все новые ограничения. Чтобы помочь математикам вписать теоремы и формулы в новые отдаленные от конкретного примера условия, на помощь приходит один из методов математического творчества – обобщение. Так, у теоремы Пифагора, выполняющейся строго в прямоугольных треугольниках на плоскости, есть по крайней мере (2) обобщения.

Теорема косинусов

Теорема косинусов гласит, что (c^2= a^ 2 +b^2 — 2ab cdot cos{ theta} )

Первым естественным шагом при обобщении теоремы Пифагора является получение утверждения не только для прямоугольных треугольников, но и для всех других – тупоугольных и остроугольных. Как можно выразить одну сторону треугольника, когда мы знаем два другие стороны и угол между ними? Поможет теорема косинусов!

Мы можем выразить сторону (c), имея стороны ( a, b) и угол ( theta ) между ними, получив уравнение вида: [c^2= a^ 2 +b^2 — 2ab cdot cos{ theta} ]

Действительно, для прямоугольного треугольника, в котором угол ( theta = 90^{circ}), это утверждение приводит к теореме Пифагора, так как (cos{(90^{circ})} = 0), а значит [c^2= a^ 2 +b^2 — 2ab cdot cos{90^{circ} } = a^ 2 +b^2 — 2ab cdot 0 = a^ 2 +b^2 ]

Диагональ параллелепипеда

Когда прямоугольник расположен на плоскости, легко понять, как использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину его диагонали: нужно провести диагональ, делящую прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника, и затем найти длину диагонали (гипотенузу) по теореме Пифагора. Это обобщение действует в двухмерном пространстве. А можно ли перейти в наше трехмерное пространство?

Длина диагонали параллелепипеда (l) связана с длинами длинами его ребер следующим образом: ( l^2=a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 )

Возьмем диагональ параллелепипеда. Как можно найти ее длину? Оказывается, теорема Пифагора помогает и тут: чтобы найти диагональ, нам достаточно применить теорему два раза. Искомая диагональ параллелепипеда – красный отрезок, представленный на рисунке. Обозначим его длину как (l), а длину синего отрезка как (d). Можно заметить, что синий отрезок – это диагональ обычного прямоугольника в основании, у которого длины сторон равны (a) и (c). По теореме Пифагора мы получаем: [d^2 = a ^ 2 + c ^ 2 ] Теперь же мы можем рассмотреть треугольник, для которого красная диагональ является гипотенузой, а стороны – катетами (d) и (b). Тогда по теореме Пифагора мы получаем: [ l^2 = d ^ 2 + b^2] Вспомнив первое уравнение, полученное из треугольника в основании, мы можем переписать выражение как [ l^2 = d ^ 2 + b^2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2.] В итоге получается сумма трех квадратов, что является теоремой Пифагора для трехмерного пространства.

Любопытно, что теорему Пифагора можно обобщить даже для (n-)мерного пространства, где получится сумма (n) – квадратов.[d^2 = d^2_1 + d^2_2 + d^2_3 + cdots + d^2_n]

Теорема в реальной жизни

Строительство

При известных сторонах прямоугольника, теорема Пифагора позволяет найти длину диагонали. Это применение теоремы часто используется в строительстве, деревообработке или других архитектурных проектах. Рассмотрим один маленький пример: предположим, что вам надо построить двухскатную крышу на уже построенное здание (см. изображение ниже). Если вам известна высота и ширина крыши, которую нужно покрыть, вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину крыши. Например, если высота крыши была бы (2880) миллиметров, а ширина (3300) миллиметров, то по теореме Пифагора: [c^2=a^2+b^2 =19184400 = 4380^2] Значит длина крыши должна быть (4380) миллиметров, что можно использовать для покупки необходимого количества строительных материалов.

Длина крыши может быть найдена через теорему Пифагора: (4380^2 = 2380^2 + 3300^2)

Короткий путь

Множество приключений начинается с небезызвестной фразы “Я знаю короткий путь”. Но кто же знал, что теорема Пифагора вдруг может положить конец этим внезапным путаницам, когда короткий путь оказывается куда длиннее. Представим: чтобы попасть домой у вас есть готовый маршрут – сначала (120) метров на юг, а затем (50) метров на запад. Общее расстояние, пройденное по этому маршруту, составит (170) метров. Другой способ добраться к дому – пойти на юго-запад по третьей стороне треугольника. Если применить теорему Пифагора для вычисления расстояния, получится: [ 120^2 + 50^2 = 14400 + 2500 = 16900 = c^2 Rightarrow c = sqrt{250000} = 130.] Тогда прогулка по гипотенузе этого треугольного маршрута будет на (170-130 = 40) метров короче, чем прогулка по катетам.

Подобные расчеты будут верны для всех треугольников (вспомните неравенство треугольника), даже не прямоугольных, однако именно в случае прямоугольных треугольников благодаря теореме Пифагора мы можем легко вычислить путь и время, которое можно сэкономить.

Данным фактом пользуются студенты в Education City в Катаре: по теореме Пифагора, путь за столбом длиннее почти на 1 метр, чем путь с рядом растущим алоэ.

Социальные сети

С помощью теоремы Пифагора мы можем разделить любую гипотенузу (c^2) на два меньших катета (a^2 + b^2). В действительности «гипотенуза» может быть чем угодно: длиной, энергией, работой, отрезком времени или даже количеством людей в социальной сети.

Чтобы увидеть теорему Пифагора в социальных сетях, для начала разберемся что значит “ценность сети” для каждого индивидуального пользователя: чем больше пользователей находятся в какой-то социальной сети, тем полезнее считается сеть для каждого участника. Эта ценность прямо зависит от количества пользователей, ведь подключение нового пользователя означает возможность связаться с большим количеством людей. Роберт Меткалф, со-изобретатель сети Ethernet, сформулировал более формальный закон о математических единицах ценности сети, который затем переименовали в его честь. Закон Меткалфа гласит:

Математическая единица полезности сети пропорциональна квадрату численности пользователей этой сети.

Согласно этому закону, сеть из (50) миллионов человек равноценна сумме социальных сетей из (40) и (30) миллионов человек. Ничего не напоминает? Египетский треугольник со сторонами (3-4-5) – примитивная пифагорова тройка. Довольно удивительно: во (2)-й и (3)-й социальных сетях всего насчитывается (70) миллионов человек, но эти сети не являются единым целым. Следовательно, сеть из (50) миллионов человек оказывается столь же ценна, как две другие сети вместе взятые.

Так теорема Пифагора разбирается в запутанных социальных сетях и их ценности.

Сортируем книги

Книги в библиотеке или книжных магазинах, как правило, расставляются в алфавитном порядке. И каждый раз, когда библиотека или магазин получают новую партию книг, им необходимо отсортировать эти книги и расставить их в правильном порядке от А до Я. Существует огромное множество способов с разным числом промежуточных операций, с помощью которых можно отсортировать книги. Один из самых простых способов – просмотреть название всех книг и найти ту, что в правильном алфавитном порядке должна быть первой, а затем поставить ее первой по счету на полку. После этого найти книгу, которая должна быть второй, и поставить ее после первой книги на ту полку. Так же третью, четвертую, и наконец (n)-ую книгу. Закончив раскладывать все книги, мы получим правильный ряд, расставленный в алфавитном порядке. В итоге получится, что количество действий, сделанных при расстановке, для очень большого количества книг будет примерно пропорционально квадрату количества книг. Именно это свойство помогает нам воспользоваться теоремой Пифагора и известными примитивными тройками:[text{Время для } 50 text{ книг}= text{Время для } 40 text{ книг}+ text{Время для } 30 text{ книг}.]Примечательно, что это будет работать с любыми объектами при их сортировки. Если рассмотреть общее количество операций и воспользоваться теоремой Пифагора, то обнаружиться что-то удивительное: количество операций для (50) объектов равно количеству операций для (40) и (30) объектов вместе взятых. Иначе говоря, (70) объектов, распределенные между двумя группами, могут быть отсортированы так же быстро, как (50) объектов в одной группе. Учитывая эту взаимосвязь, мы можем эффективнее разделить элементы на отдельные группы, а затем отсортировать эти подгруппы. Действительно, именно такой подход используется в быстрой сортировке – одном из лучших методов сортировки общего назначения.

Заключение

Теорема Пифагора – это не просто формула. Теорема Пифагора – сумма квадратов катетов, равная квадрату гипотенузе, изменившая мир. Простое равенство, берущее начало со времен пифагорейской математики, выведенное то ли вавилонскими учеными, то ли действительно Пифагором, смогло создать что-то большое и великое – человеческую цивилизацию. Древний Египет и Месопотамия, строительство домов и архитектура романских и готических соборов, современные социальные сети, радары и навигаторы – все, что связано с человеком, так же связано с теоремой Пифагора. В математике же теорема Пифагора занимает особенное место, и в ее кратком равенстве открывается простор для размышлений ученых всех времен, уверенных, что настоящая математика очаровательна, красива и увлекательна, как сама теорема Пифагора.

Данной статьей мы завершаем цикл «В чем прелесть математики». Мы надеемся, что наши публикации про изящество визуальных доказательств, вероятности и их связь с теоремой Байеса, разрезающих (2000) проводов Вовку и Азамата, а также таинственные бесконечности помогли вам взглянуть на математику под другим углом и стали очередным шагом в мире этой прелестной науки.

Фонд «Beyond Curriculum» публикует цикл материалов «В чем прелесть предмета» в партнерстве с проектом «Караван знаний» при поддержке компании «Шеврон». Караван знаний – инициатива по исследованию и обсуждению передовых образовательных практик с участием ведущих казахстанских и международных экспертов.

Редактор статьи: Дарина Мухамеджанова

Источник

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора

Прямоугольный треугольник – это треугольник, один из углов которого равен (90^circ) (прямой).
Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой ((AB)), а две другие стороны — катетами ((AC) и (BC)).

(bullet) Катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы.
Следовательно, если, например, (angle A=30^circ), то (BC=dfrac12AB).

(bullet) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна (90^circ): (angle A+angle B=90^circ).
Следовательно, если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен (45^circ), то такой треугольник является равнобедренным.

(bullet) Если в прямоугольном треугольнике (ABC) провести высоту (CH) из прямого угла, то (angle BAC=angle BCH) и (angle
ABC=angle
ACH):

(bullet) Теорема Пифагора: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: [AB^2=AC^2+BC^2]

(bullet) (triangle ABCsim triangle AHCsim triangle BHC)

(bullet) Высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой: [CH=sqrt{AHcdot HB}]

Задание
1

#3770

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC) угол (C) равен (90^circ), угол (A) равен (30^circ), (AB=2sqrt3). Найдите высоту (CH).

Так как катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы, то (BC=0,5AB=sqrt3).
По свойству прямоугольного треугольника (angle BCH=angle
A=30^circ), следовательно, из (triangle BCH): (HB=0,5
BC=sqrt3:2).
Тогда по теореме Пифагора из (triangle BCH): [CH=sqrt{BC^2-BH^2}=sqrt{dfrac94}=1,5]

Ответ: 1,5

Задание
2

#3771

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC) угол (C) равен (90^circ), (CH) – высота, угол (A) равен (30^circ). Найдите (AH), если (AB=2).

Так как катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы, то (BC=0,5AB=1).
Тогда по теореме Пифагора из (triangle ABC): [AC=sqrt{AB^2-BC^2}=sqrt3] Из прямоугольного (triangle AHC): (HC=0,5AC=sqrt3:2). Тогда по теореме Пифагора [AH=sqrt{AC^2-HC^2}=1,5]

Ответ: 1,5

Задание
3

#3772

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC) угол (C) равен (90^circ), (CH) – высота, угол (A) равен (30^circ). Найдите (BH), если (AB=4).

Так как катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы, то (BC=0,5AB=2).
По свойству прямоугольного треугольника (angle BCH=angle
A=30^circ), следовательно, из (triangle BCH): (HB=0,5
BC=1).

Ответ: 1

Задание
4

#3773

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC) ( AB=BC=AC=2sqrt3). Найдите высоту (CH).

Так как (AC=BC), то (CH) также является медианой, следовательно, (AH=0,5 AB=sqrt3). Тогда по теореме Пифагора из (triangle ACH): [CH=sqrt{AC^2-AH^2}=3]

Ответ: 3

Задание
5

#3774

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В равностороннем треугольнике (ABC) высота (CH) равна (2sqrt3). Найдите (AB).

Так как (AC=BC), то (CH) также является медианой. Следовательно, если (AH=a), то (AB=AC=2a). Тогда по теореме Пифагора из (triangle
ACH): [AC^2=AH^2+CH^2quadRightarrowquad 4a^2=a^2+12quadRightarrowquad
a=2quadRightarrowquad AB=2a=4]

Ответ: 4

Задание
6

#3775

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC) (AC=BC=4), (angle C=30^circ). Найдите высоту (AH).

Рассмотрим прямоугольный (triangle ACH). Катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы, следовательно, (AH=0,5AC=2).

Заметим, что условие (BC=4) в данной задаче является лишним.

Ответ: 2

Задание
7

#3776

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В треугольнике (ABC) (AC=BC), высота (AH) равна (4), угол (C) равен (30^circ). Найдите (BC).

Рассмотрим прямоугольный (triangle ACH). Катет, лежащий против угла (30^circ), равен половине гипотенузы, следовательно, (4=AH=0,5AC), откуда (8=AC=BC).

Ответ: 8

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник

Download Article

Pythagoras’s Theorem is a formula you can use to find an unknown side length of a right triangle. It is one of the most basic geometric tools in mathematics.^[1] You will likely come across many problems in school and in real life that require using the theorem to solve. In these problems you might need to directly calculate the side length of a triangle, or use right triangles to calculate measurements of other types of polygons.

1
Find the right, or 90-degree, angle. Because this theorem only applies to right triangles, you need to determine which angle is the right angle. If the triangle does not have a right angle, you cannot use the theorem.
- Usually the right angle is denoted by a small box.
2

Determine that the missing length is the hypotenuse. The hypotenuse is the longest side of a right triangle, and will be opposite the right angle.^[2]

Advertisement
3

Write the formula for Pythagoras’s Theorem. The formula is $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , where is the length of the hypotenuse, and and are the lengths of the other sides of the triangle.^[3]
4
5

Square the length of the sides. Plug these new values into the formula.
6

Add the squared length of the sides. This sum is equal to the length of the hypotenuse squared ( $c^{{2}}$ ).
7

Find the square root of both sides of the equation. This will give you the length of your hypotenuse.
8

Use the theorem to find the sides of triangles. If you know the hypotenuse and one side of the triangle, you can still use the theorem by substituting for the appropriate values.

1
Ensure that you have the measurements for all three sides of the triangle. If you do not have all three side lengths, you cannot use the Pythagorean Theorem to determine whether the triangle is right.
- For example, you might be given a triangle with side lengths of 8, 9, and 12 cm, and you need to determine whether the triangle is right.
2

Write the formula for Pythagoras’s Theorem. The formula is $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , where is the length of the hypotenuse, and and are the lengths of the other sides of the triangle.^[4]
3
Plug the length of the potential hypotenuse into the formula. The hypotenuse is the longest side of a right triangle, so whatever measurement is largest will stand for the variable .
- For example, if the side lengths of a triangle are 8, 9, and 12 cm, you would use the measurement of 12 for the potential hypotenuse, because it’s the longest side. So, your formula will look like this: $a^{{2}}+b^{{2}}=12^{{2}}$ .
4
5

Square all of the numbers. Remember that squaring a number means to multiply it by itself.
6

Add the square of the two sides. If this sum is equal to the square of the hypotenuse, the triangle is right. If the two sides of the equation are not equal, the triangle is not right.^[5]

1

Ensure the polygon is a rectangle. A rectangle is a four-sided shape with four 90-degree angles.^[6]
2
Make sure you have the length and width of the rectangle. If you do not have these measurements, you cannot use this method.
- For example, you might be asked to use the Pythagorean Theorem to find the length of the diagonal of a 6-inch by 4-inch rectangle.
3
Locate or draw the diagonal of the rectangle. Since the diagonal of a rectangle divides the shape into two congruent right triangles, you can use Pythagoras’s Theorem to find its length.
- The length of the diagonal will equal the length of the hypotenuse of the right triangles.
4

Set up the formula for Pythagoras’s Theorem. The formula is $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , where is the length of the hypotenuse, and and are the lengths of the other sides of the triangle.^[7]
5
6

Square the length and width. Remember that squaring means to multiply a number by itself.
7

Add the squared side lengths. This sum will give you the value of the hypotenuse, or diagonal, squared.
8

Find the square root of both sides. This will give you the value of , which is the length of the right triangle’s hypotenuse, and also the length of the rectangle’s diagonal.

1

Find the shortest distance between two points. For instance, Luis walks through a park. He starts at the fountain and walks 80 feet south and 60 feet west. What is the shortest distance back to the fountain?
2

Find a missing length. For instance, find the length of , given a right triangle with a hypotenuse measuring 10 cm and one side measuring 6 cm.
3

Identify a right triangle. For instance, determine whether the triangle is right, given side lengths of 9, 12, and 15 cm.
4

Use the diagonal of a rectangle as the hypotenuse of a right triangle. For instance, Sherrie is buying a new computer screen. It needs to be less than 12 inches high to be able to fit under the shelf over her desk. She finds a computer screen with a 27-inch diagonal, and a width of 24 inches. Will this screen fit on her desk?

Add New Question

Question

How do I prove that angle A is equal to angle B?

There are many ways to prove two angles equal. Among them are: show that corresponding sides of the angles are parallel to each other; show that they are opposite angles in a rectangle, parallelogram, isosceles triangle or isosceles trapezoid; show that they are formed by two perpendicular lines; or show that they are corresponding angles of congruent or similar triangles. There are also several other ways to prove angles equal.
Question

What if I only know one side?

To use the Pythagorian Theorem you MUST know two sides. This may mean you have to use trigonometry to find another side. If you are still confused, ask your teacher.

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

To find the square root of a number, use a scientific calculator. Type in the number, then hit the square root button.
When doing word problems about traveling, if you are meant to find the shortest distance you will likely use the Pythagorean Theorem. The shortest distance will be the length of the hypotenuse of a triangle superimposed over the area.
Learn the most common Pythagorean triples by heart. Since they will occur in a lot of basic Pythagorean theorem problems, being able to instantly recognise them will save you a whole lot of time.
- The most common Pythagorean triples are (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) and (7, 24, 25).

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Thanks to all authors for creating a page that has been read 40,453 times.

Did this article help you?

Get all the best how-tos!

You’re all set!

Источник

Теорема Пифагора – в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Вы узнаете, как доказать теорему, формула Пифагора и как решать задачи.

История теоремы

Однако название получено в честь учёного только по той причине, что он первый и, даже единственный человек, который смог доказать теорему.

Немецкий историк математики Кантор утверждал, что о теореме было известно ещё египтянами приблизительно в 2300 году до н. э. Он считал, раньше строили прямые углы благодаря прямоугольным треугольникам со сторонами 3, 4 и 5.

Известный учёный Кеплер говорил, что у геометрии есть незаменимое сокровище – это теорема Пифагора, благодаря которой можно вывести большинство теорем в геометрии.

Раньше теорему Пифагора называли “теоремой невесты” или “теоремой нимфы”. А всё дело в том, что её чертёж был очень похож на бабочку или нимфу. Арабы же, когда переводили текст теоремы, решили, что нимфа означает невеста. Так и появилось интересное название у теоремы.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Теорема Пифагора, формула

Теорема Пифагора – в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов () равна квадрату гипотенузы (). Это одна из основополагающих теорем эвклидовой геометрии.

Формула:

Как уже говорилось, есть много разнообразных доказательств теоремы с разносторонними математическими подходами. Однако, более часто используют теоремы, связанные с площадями.

Построим на треугольнике квадраты (синий, зеленый, красный)

То есть сумма площадей квадратов, построенных на катетах равняется площади квадрата, построенном на гипотенузе. Соответственно, площади этих квадратов равны – . Это и есть геометрическое объяснение Пифагора.

Доказательство теоремы методом площадей: 1 способ

Докажем, что .

Рассмотрим всё тот же треугольник с катетами a, b и гипотенузой c.

Достраиваем прямоугольный треугольник до квадрата. От катета “а” продолжаем линию вверх на расстояние катета “b” (красная линия).
Далее ведём линию нового катета “а” вправо (зелёная линия).
Два катета соединяем гипотенузой “с”.

Получается такой же треугольник, только перевёрнутый.

Аналогично строим и с другой стороны: от катета “а” проводим линию катета “b” и вниз “а” и “b” А снизу от катета “b” проводим линию катета “а”. В центре от каждого катета провели гипотенузы “с”. Таким образом гипотенузы образовали квадрат в центре.

Этот квадрат состоит из 4-х одинаковых треугольников. А площадь каждого прямоугольного треугольника = половина произведения его катетов. Соответственно, . А площадь квадрата в центре = , так как все 4 гипотенузы со стороной . Стороны четырёхугольника равны, а углы прямые. Как нам доказать, что углы прямые? Очень просто. Возьмём всё тот же квадрат:

Мы знаем, что эти два угла, показаны на рисунке, являются 90 градусам. Так как треугольники равны, значит следующий угол катета “b” равен предыдущему катету “b”:

Сумма этих двух углов = 90 градусов. Соответственно, предыдущий угол тоже 90 градусов. Конечно же, аналогично и с другой стороны. Соответственно, у нас действительно квадрат с прямыми углами.

Так как острые углы прямоугольного треугольника в общей сложности равняются 90 градусам, то угол четырёхугольника так же будет равен 90 градусов, ведь 3 угла в сумме = 180 градусов.

Соответственно, площадь квадрата складывается из четырёх площадей одинаковых прямоугольных треугольников и площади квадрата, который образован гипотенузами.

Таким образом, получили квадрат со стороной . Мы знаем, что площадь квадрата со стороной – это будет квадрат его стороны. То есть . Этот квадрат состоит из четырёх одинаковых треугольников.

Запишем: .
Далее смотрим, что площадь прямоугольного треугольника – это половина произведения его катетов. Поэтому дальше записываем:т $(a + b)^2 = 4 * {1over{2}}$
Также надо прибавить площадь квадрата, который находится в центре между треугольниками со стороной “с”. И теперь получим: $(a + b)^2 = 4 * {1over{2}} + c^2$

Раскрываем скобки и получаем:
Сокращаем . Получается:

И это значит, что мы доказали теорему Пифагора.

ВАЖНО!!! Если находим гипотенузу, тогда складываем два катета, а затем ответ выводим из корня. При нахождении одного из катетов: из квадрата длины второго катета вычитаем квадрат длины гипотенузы и находим квадратный корень.