Как найти теоретический порядок

Порядок реакции: понятие, виды

В химической кинетике одной из важных задач является нахождение порядка реакции.

Хоть эта величина и формальная, но позволяет наилучшим образом отразить экспериментальную зависимость скорости какой-либо реакции от концентрации.

Как правило, для нахождения скорости реакции используют концентрации исходных соединений, взятых в степенях, соответствующих их стехиометрическим коэффициентам. Но это справедливо лишь для очень простых реакций.

Порядком химической реакции по веществу является значение степени n, в которой концентрация этого соединения входит в формулу для нахождения скорости реакции, полученную опытным путем.

А вот общий порядок составляет сумму всех порядков по веществам: n = n1 + n2. Значения n1 и n2 соответствуют стехиометрическим коэффициентам в уравнениях одностадийных реакций.

Фактически, они могут иметь положительные или отрицательные значения, быть целыми или дробными числами.

Например, для уравнения взаимодействия H2+ Ι2 ― > 2HΙ, которому соответствует формула для определения скорости v=kCHCI, порядки по веществам равны nH=1 и nI=1, общий порядок реакции n=nH+nI=1+1=2.

Нулевой порядок

Некоторые реакции имеют нулевой порядок реакции. Как правило, на них не влияют концентрации исходных соединений. Происходит это в следующих случаях:

• если какое-либо исходное вещество взято в существенном избытке;
• если скорость регулируется энергией активации молекул, участвующих в реакции, например, в фотосинтезе.

В качестве примера рассмотрим реакцию взаимодействия этилуксусного эфира с водой, т.е. его омыления.

СΗ3СООС2Η5 + Η2О ―> СΗ3СООΗ + С2Η5ОΗ

Поскольку взаимная растворимость исходных веществ крайне мала, то основная их масса находится в разных фазах. При расходовании эфира в химической реакции из эфирного слоя своевременно поступает новая его порция, то есть концентрация его в растворе не уменьшается.

Реакции первого порядка

Такое взаимодействие веществ можно условно записать уравнением: А―>В. Примером может послужить разложение диметилового эфира:

СΗ3ОСΗ3―>СΗ4+Η2+СО

Для которого скорость реакции определяется как v=kCС2Н6О. В данном случае порядок по веществу и общий порядок совпадают и равны единице.

Практическое значение для реакций первого порядка имеет время (τ) определения некой заданной концентрации С, если известна начальная концентрация Со, а также период полураспада τ1/2, это время, в течение которого успевает прореагировать половина исходного вещества.

Реакции второго порядка

К таким взаимодействиям можно отнести реакции типа А + В ―> продукты. Примером может послужить уже приводимая выше реакция получения йодоводорода или щелочное омыление этилацетата:

СΗ3СООС2H5 + ОΗ- ―> СН3СОО- + С2H5ОΗ, v=kCС4Н8О2СОН-.

Также (к) второй порядок имеют отдельные реакции разложения типа: 2А ―> продукты. В качестве примеров можно привести следующие:

• 2NOCl ―> 2NO + Cl2, v=kC2NOCl.
• 2О3 ―> 3O2, v=kC2О3.
• 2NO2 ―> 2NO + O2, v=kC2NO2.

Последующие реакции

Реакции третьего и последующего порядков встречаются реже, чем предыдущие варианты. Это объясняется низкой вероятностью одновременной встречи в пространстве трех и более частиц. Тем не менее, примером таких взаимодействий может послужить образование диоксидов азота и углерода из их монооксидов:

• 2NΟ+Ο2→ 2NΟ2, v=kC2NOСО2.
• 2СО+О2→ 2СО2, v=kC2СОСО2.

Для таких реакций также существует своя зависимость концентраций реагентов от времени ее протекания. Формулы для нахождения периода полупревращения и констант скоростей реакций унифицированы за счет введения индекса n, равного порядку этих самых реакций.

Молекулярность реакции

Не нужно путать порядок реакции с ее молекулярностью, которая определяется именно числом молекул, которые совершают акт химического превращения.

В отличие от порядка, который определяется экспериментально, молекулярность химической реакции имеет теоретическую основу.

Для ее определения нужно понимать суть процесса, как именно взаимодействуют молекулы между собой, через какие стадии превращения они проходят.

Сравнительная характеристика

Порядок	Молекулярность
Формальная величина	Есть физический смысл, показывает число реагирующих молекул
Может принимать различные числовые значения	Принимает только одно из трех значений: 1,2,3
Применяется к реакциям любой сложности и многостадийности	Применяется только к элементарным одностадийным реакциям

Существует несколько причин, по которым не совпадает для одной и той же реакции порядок и молекулярность:

• если один из реагентов взят в большом избытке, о чем уже говорилось выше;
• для многих гетерогенных реакций порядок может изменяться в ходе их осуществления, особенно если при этом меняются условия их протекания;
• каталитические реакции имеют многостадийный механизм, суть которого не всегда отражается стехиометрическим уравнением;
• в сложных многостадийных реакциях на суммарное значение скорости может повлиять только одна из промежуточных, которая в результате и будет определять порядок всего превращения.

К мономолекулярным относят реакции распада молекул:

I2 ―> 2I

В бимолекулярных реакциях сталкиваются две молекулы. Причем это могут быть молекулы как разных веществ, так и одного и того же:

H2+ Ι2 ―> 2HΙ

Тримолекулярными называют такие реакции, для осуществления которых нужны три молекулы исходных веществ:

2NΟ + H2 ―> N2Ο + H2О

H2 + О2 ―> 2H2О

определить [Первый ,второй,Нуль] Порядок реакции, Примеры

Много раз вопрос возникают или могут быть заданы преподавателем или в каком-то экзамене- Как определить порядок реакции, Первый, второй, Нулевой порядок реакции & Примеры. Давайте обсудим каждый член один на один.

Это определяется как число молекул концентрация которых (изменения) определяет Скорость реакции. Другими словами, это сумма степеней концентрации реагентов в уравнении скорости (закон ставка).

Как определить порядок реакции?

Рассмотрим реакцию,

Как определяется законом ставки. Rate = K [НЕТ]2 [O2]1

• Поэтому порядок реакции по отношению к NO является 2.
• порядок реакции по отношению к O 2 является 1.
• Общий порядок реакции 2 + 1 знак равно 3.

Первый порядок реакции

Реакции которых скорость определяется изменением концентрации одного термина только известно как реакции первого порядка.

Рассмотрим общую реакцию первого порядка

Скорость такой реакции в любой момент времени будет, таким образом, определяется выражением

Где CA является концентрация реагента А в момент, когда скорость реакции определяется а К константа скорости, специфическая константа скорости или постоянная скорость.

Примеры

Так как медленный (лимитирующий) шаг включает в себя только одну молекулу, реакция заказа 1 и не 2, хотя реакция обычно записывается в виде

• где а = Начальная концентрация вещества
• х = количество вещества разлагаются в момент времени Т
• таким образом (a – Икс) = Сумма осталось в момент времени т.

Экспоненциальная форма выражения для реакции первого порядка является

[ a – Икс ]знак равно[a]е-кт

Характеристики реакции первого порядка

1. Скорость реакции. Скорость реакции прямо пропорциональна концентрации реагирующего вещества.
2. константа скорости первого порядка. Это является характерной константой конкретной реакции при заданной температуре. Это не зависит от начальной концентрации реагентов, время реакции и Степень реакции. Его единица времени-1, т.е.

   . Если T выражается в секундах, К выражается в секундах-1, Если T выражается в минутах, К выражается в минутах-1. Значение K не изменяется с единицей концентрации, так как /(a – Икс) будет такой же, какова бы ни была единица концентрации.

3. Участок журнала а /(а-х) в зависимости от времени линейно, проходящее через происхождение с наклоном = – K / 2,303
4. Период полураспада (Время полураспада, T1/2). Полураспада реакции является время, необходимое для преобразования исходной концентрации реагента до половины.

Для реакции первого порядка, в перерыве т.е.

, в T1/2, х становится / 2. Следовательно, ввод т = T1/2 и А = а / 2 в уравнении. (я) мы получаем

Следует отметить, что период полураспада первого порядка реакции постоянна и не зависит от исходной концентрации реагента.

Второй порядок реакции

Реакции которых скорость определяется изменением концентрации двух слагаемых.

Например, для общей реакции

Характеристики Реакции второго порядка

(я) Скорость реакции прямо пропорциональна квадрату концентрации реагирующего вещества.

(б) Единица постоянной скорости второго порядка является л моль-1 время-1. Величина К зависит от единицы, в которой концентрация реагента(s) выражается.

(III) Полураспада реакции второго порядка обратно пропорциональна первоначальной концентрации реагентов т.е., T1/2α1 / а (сравни. Период полураспада первого порядка реакции обратно пропорциональна К и зависит от а).

(IV) Когда график строится между т и 1/(a – Икс), прямая линия получается; наклон линии дает 1 / K.

Нулевой порядок реакции

Реакции скорость которых не зависят от концентрации или в которой концентрация реагентов не изменяется со временем.Таким образом, скорость таких реакций остается постоянная.

Rate = K

Многие фотохимические реакции (например. образование HCl из H2 и Cl2) и некоторая гетерогенная реакция (например. разложение йодистого водорода и аммиака на поверхности золота и вольфрама) являются примерами реакций нулевого порядка.

Характеристики Реакции нулевого порядка

(я) Скорость реакции не зависит от концентрации реагирующего вещества.

К = х / T

Концентрация продуктов линейно возрастает со временем. График концентрации продуктов со временем представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат.

(б) Единица нулевой константы скорости порядка моль л-1 время-1.

(III) Полураспада прямо пропорциональна начальной концентрации реагентов.

T1/2 α

Это все об основах – Как определить порядок реакции, Первый, второй, Нулевой порядок реакции & Примеры.

если вы хотите чувствовать себя свободно делиться с другими.

Химическая кинетика – раздел физической химии, который изучает влияние различных факторов на скорости и механизмы химических реакций.

Под механизмом химической реакции понимают те промежуточные реакции, которые протекают при превращении исходных веществ в продукты реакции.

Основным понятием химической кинетики является понятие скорости химической реакции. В зависимости от системы, в которой протекает реакция, определение понятия «скорость реакции» несколько отличается.

Гомогенными химическими реакциями называются реакции, в которых реагирующие вещества находятся в одной фазе. Это могут быть реакции между газообразными веществами или реакции в водных растворах. Для таких реакций средняя скорость (равна изменению концентрации любого из реагирующих веществ в единицу времени)

.

Мгновенная или истинная скорость химической реакции равна

.

Знак минус в правой части говорит об уменьшении концентрации исходного вещества. Значит, скоростью гомогенной химической реакции называют производную концентрации исходного вещества по времени.

Гетерогенной реакцией называется реакция, в которой реагирующие вещества находятся в разных фазах. К гетерогенным относятся реакции между веществами, находящимися в разных агрегатных состояниях.

Скорость гетерогенной химической реакции равна изменению количества любого исходного вещества в единицу времени на единицу площади поверхности раздела фаз:

.

Кинетическим уравнением химической реакции называют математическую формулу, связывающую скорость реакции с концентрациями веществ. Это уравнение может быть установлено исключительно экспериментальным путём.

В зависимости от механизма все химические реакции классифицируют на простые (элементарные) и сложные. Простыми называются реакции, протекающие в одну стадию за счёт одновременного столкновения молекул, записанных в левой части уравнения. В простой реакции могут участвовать одна, две или, что встречается крайне редко, три молекулы.

Поэтому простые реакции классифицируют на мономолекулярные, бимолекулярные и тримолекулярные реакции. Так как с точки зрения теории вероятности одновременное столкновение четырёх и более молекул маловероятно, реакции более высокой, чем три, молекулярности не встречаются. Для простых реакций кинетические уравнения относительно просты.

Например, для реакции H2 + I2 = 2 HIкинетическое уравнение имеет вид

= k ∙ C(I2) ∙ C(H2).

Сложные реакции протекают в несколько стадий, причём все стадии связаны между собой. Поэтому кинетические уравнения сложных реакций более громоздки, чем простых реакций. Например, для сложной реакции H2 + Br2 = 2 HBrизвестно

= .

Сложность кинетического уравнения напрямую связана со сложностью механизма реакции.

Основным законом химической кинетики является постулат, вытекающий из большого числа экспериментальных данных и выражающий зависимость скорости реакции от концентрации. Этот закон называют законом действующих масс.Он утверждает, что скорость химической реакции в каждый момент времени пропорциональна концентрациям реагирующих веществ, возведённым в некоторые степени.

Если уравнение химической реакции имеет вид

a A + b B + d D → продукты,

то формулу закона действующих масс можно представить в виде

= k ∙ .

В этом уравнении k – константа скорости химической реакции – важнейшая характеристика реакции, не зависящая от концентраций, а зависящая от температуры. Константа скорости химической реакции равна скорости реакции, если концентрации всех веществ равны 1 моль/л. Показатели степеней n1, n2, n3 называют частными порядками химической реакции по веществам А, В и D.

Для простых реакций частные порядки – небольшие целые числа от нуля до трёх. Для сложных реакций частные порядки могут быть и дробными, и отрицательными числами. Сумма частных порядков называется порядком химической реакции n = n1+ n2+ n3. Таким образом, порядком химической реакции называют сумму показателей степеней концентраций в кинетическом уравнении.

Кинетическая классификация простых гомогенных химических реакций

С точки зрения химической кинетики простые химические реакции классифицируют на реакции нулевого, первого, второго и третьего порядков. Реакции нулевого порядка встречаются чрезвычайно редко.

Для того чтобы реакция протекала по нулевому порядку необходимы специфические условия её проведения.

Например, реакция разложения оксида азота (5+) N2O5 → N2O4 + ½ O2 протекает как реакция нулевого порядка только в случае твёрдого оксида азота (5+).

Если же взят газообразный оксид, то реакция протекает как реакция первого порядка.

В то же время следует сказать, что встречается большое количество реакций, в которых частный порядок по какому-либо веществу равен нулю. Обычно это реакции, в которых данное вещество взято в большом избытке по сравнению с остальными реагентами. Например, в реакции гидролиза сахарозы

С12Н22О11 + Н2О → С6Н12О6 + С6Н12О

Сахароза Глюкоза Фруктоза

частный порядок реакции по воде равен нулю.

Самыми распространёнными являются реакции первого и второго порядков. Реакций третьего порядка мало.

Рассмотрим для примера математическое описание кинетики химической реакции первого порядка. Решим кинетическое уравнение такой реакции

= kC.

Разделим переменные dC = – kdt. После интегрирования

∫ = -∫kdt.

получим

lnС = – kt + const.

Найдём постоянную интегрирования, учитывая начальное условие: в момент времени t = 0 концентрация равна начальной С = С0. Отсюда const = lnC0 и

ln С = ln С0 – kt,

ln С – ln С0 = – kt,

ln= – kt,

C = C0∙ e-kt.

Это интегральное кинетическое уравнение реакции первого порядка.

Важной кинетической характеристикой реакции любого порядка является время полупревращения τ½. Временем полупревращения называют время, в течение которого реагирует половина начального количества вещества. Найдём выражение для времени полупревращения реакции первого порядка. Для t = τ½C = C0/2. Поэтому

ln = ln = – kt,

k τ½ = ln 2.

Отсюда

τ½ = = .

Результаты решения дифференциальных кинетических уравнений для реакций всех порядков представим в виде таблицы (табл. 2). Данные этой таблицы относятся к случаю, когда все вступающие в реакцию вещества имеют одинаковые начальные концентрации.

Таблица – Кинетические характеристики простых гомогенных реакций

Способы определения порядка реакции

Для определения порядков химических реакций используют дифференциальные и интегральные способы. Дифференциальные способы используют дифференциальные кинетические уравнения. Порядок реакции с помощью этих способов рассчитывается и представляется в виде числа. При этом, так как способ базируется на кинетическом эксперименте, результат расчёта содержит в себе некоторую погрешность.

Химическая кинетика

Химическая кинетика или кинетика химических реакций — раздел физической химии, изучающий закономерности протекания химических реакций во времени, зависимости этих закономерностей от внешних условий, а также механизмы химических превращений[1].

Предметом химической кинетики является изучение всех факторов, влияющих на скорость как суммарного процесса, так и всех промежуточных стадий.

Основные понятия[ | ]

Гомогенная реакция — реакция, в которой реагирующие вещества находятся в одной фазе.

Гетерогенная реакция — реакция, происходящая на границах раздела фаз – между газообразным веществом и раствором, между раствором и твёрдым веществом, между твёрдым и газообразным веществами.

Реакция называется простой, если продукт образуется в результате непосредственного взаимодействия молекул (частиц) реагентов.

Реакция называется сложной, если конечный продукт получается в результате осуществления двух и более простых реакций (элементарных актов) с образованием промежуточных продуктов[2].

Скорость химической реакции[ | ]

Основная статья: Скорость химической реакции

Важным понятием химической кинетики является скорость химической реакции. Эта величина определяет, как изменяется концентрация компонентов реакции с течением времени.

Скорость химической реакции — величина всегда положительная, поэтому, если она определяется по исходному веществу (концентрация которого убывает в процессе реакции), то полученное значение умножается на −1.

Например, для реакции скорость можно выразить так:

A + B → C + D , {displaystyle A+B o C+D,} v = ∂ C ∂ t = − ∂ A ∂ t . {displaystyle v={frac {partial C}{partial t}}=-{frac {partial A}{partial t}}.}

В 1865 году Н. Н. Бекетовым и в 1867 году К. М. Гульдбергом и П.

Вааге был сформулирован закон действующих масс, согласно которому скорость химической реакции в каждый момент времени пропорциональна концентрациям реагентов, возведённым в некоторые степени.

Кроме концентрации на скорость химической реакции оказывают влияние следующие факторы: природа реагирующих веществ, наличие катализатора, температура (правило Вант-Гоффа) и площадь поверхности раздела фаз.

Экспериментальные методы химической кинетики[ | ]

Экспериментальные методы химической кинетики подразделяются на химические, физические, биохимические в зависимости от способа измерения количества вещества или его концентрации в ходе реакции.

К химическим относятся методы кинетики, основанные на традиционных способах количественного химического анализа — титриметрических, гравиметрических и др.

В современной экспериментальной кинетике к числу наиболее широко применяемых физических методов относятся различные спектральные методы.

Эти методы основаны на измерениях, как правило спектров поглощения реагентов или продуктов в ультрафиолетовой, видимой и инфракрасной областях.

Широко используют также спектры электронного парамагнитного резонанса (ЭПР) и ядерного магнитного резонанса (ЯМР)[3].

Порядок химической реакции[ | ]

График зависимости концентрации реагента A в реакции A → B от времени для нулевого порядка реакции График зависимости концентрации реагента A для первого порядка реакции График зависимости концентрации реагента A для второго порядка реакции

Порядок реакции по данному веществу — показатель степени при концентрации этого вещества в кинетическом уравнении реакции.

Реакция нулевого порядка[ | ]

Кинетическое уравнение имеет следующий вид:

V 0 = k 0 {displaystyle V_{0}=k_{0}}

Скорость реакции нулевого порядка постоянна во времени и не зависит от концентраций реагирующих веществ. Нулевой порядок характерен, например, для гетерогенных реакций в том случае, если скорость диффузии реагентов к поверхности раздела фаз меньше скорости их химического превращения.

Реакция первого порядка[ | ]

Кинетическое уравнение реакции первого порядка:

V 1 = k 1 ⋅ C = − d C d τ {displaystyle V_{1}=k_{1}cdot C=-{frac {dC}{d au }}}

Приведение уравнения к линейному виду даёт уравнение:

ln ⁡ C = ln ⁡ C 0 − k 1 ⋅ τ {displaystyle ln C=ln C_{0}-k_{1}cdot au }

Константа скорости реакции вычисляется как тангенс угла наклона прямой к оси времени:

k 1 = − t g α {displaystyle k_{1}=-mathrm {tg} alpha }

Период полупревращения:

τ 1 2 = ln ⁡ 2 k 1 {displaystyle au _{frac {1}{2}}={frac {ln 2}{k_{1}}}}

Реакция второго порядка[ | ]

Для реакций второго порядка кинетическое уравнение имеет следующий вид:

V = k 2 C A 2 {displaystyle V=k_{2}{C_{A}}{2}}

или

V = k 2 C A ⋅ C B {displaystyle V=k_{2}C_{A}cdot C_{B}}

В первом случае скорость реакции определяется уравнением:

V = k 2 C A 2 = − d C d τ {displaystyle V=k_{2}{C_{A}}{2}=-{frac {dC}{d au }}}

Линейная форма уравнения:

1 C = k 2 ⋅ τ + 1 C 0 {displaystyle {frac {1}{C}}=k_{2}cdot au +{frac {1}{C_{0}}}}

Константа скорости реакции равна тангенсу угла наклона прямой к оси времени:

k 2 = − t g α {displaystyle k_{2}=-mathrm {tg} alpha } k 2 = 1 τ ( 1 C − 1 C 0 ) {displaystyle k_{2}={frac {1}{ au }}left({frac {1}{C}}-{frac {1}{C_{0}}}
ight)}

Во втором случае выражение для константы скорости реакции будет выглядеть так:

k 2 = 1 τ ( C 0 , A − C 0 , B ) ln ⁡ C 0 , B ⋅ C A C 0 , A ⋅ C B {displaystyle k_{2}={frac {1}{ au (C_{0,A}-C_{0,B})}}ln {frac {C_{0,B}cdot C_{A}}{C_{0,A}cdot C_{B}}}}

Период полупревращения (для случая равных начальных концентраций!):

τ 1 2 = 1 k 2 ⋅ 1 C 0 {displaystyle au _{frac {1}{2}}={frac {1}{k_{2}}}cdot {frac {1}{C_{0}}}}

Молекулярность реакции[ | ]

Молекулярность элементарной реакции — число частиц, которые, согласно экспериментально установленному механизму реакции, участвуют в элементарном акте химического взаимодействия.

Мономолекулярные реакции — реакции, в которых происходит химическое превращение одной молекулы (изомеризация, диссоциация и т. д.):

H 2 S → H 2 + S {displaystyle {mathsf {H_{2}S
ightarrow H_{2}+S}}}

Бимолекулярные реакции — реакции, элементарный акт которых осуществляется при столкновении двух частиц (одинаковых или различных):

C H 3 B r + K O H → C H 3 O H + K B r {displaystyle {mathsf {CH_{3}Br+KOH
ightarrow CH_{3}OH+KBr}}}

Тримолекулярные реакции — реакции, элементарный акт которых осуществляется при столкновении трёх частиц:

N O + N O + O 2 → 2 N O 2 {displaystyle {mathsf {NO+NO+O_{2}
ightarrow 2NO_{2}}}}

Реакции с молекулярностью более трёх неизвестны.

Для элементарных реакций, проводимых при близких концентрациях исходных веществ, величины молекулярности и порядка реакции совпадают. Чётко определённой взаимосвязи между понятиями молекулярности и порядка реакции нет, так как порядок реакции характеризует кинетическое уравнение реакции, а молекулярность — механизм реакции.

Катализ[ | ]

Основная статья: Катализ

Катализ — процесс, заключающийся в изменении скорости химических реакций в присутствии веществ, называемых катализаторами. Каталитические реакции — реакции, протекающие в присутствии катализаторов.

Положительным называют катализ, при котором скорость реакции возрастает, отрицательным (ингибированием) — при котором она убывает.

Примером положительного катализа может служить процесс окисления аммиака на платине при получении азотной кислоты.

Примером отрицательного — снижение скорости коррозии при введении в жидкость, в которой эксплуатируется металл, нитрит натрия, хромат и дихромат калия.

Многие важнейшие химические производства, такие, как получение серной кислоты, аммиака, азотной кислоты, синтетического каучука, ряда полимеров и др., проводятся в присутствии катализаторов.

Катализ в биохимии[ | ]

Ферментативный катализ неразрывно связан с жизнедеятельностью организмов растительного и животного мира.

Многие жизненно важные химические реакции, протекающие в клетке (что-то около десяти тысяч), управляются особыми органическими катализаторами, именуемыми ферментами или энзимами.

Термину «особый» не следует уделять пристального внимания, так как уже известно, из чего построены эти ферменты. Природа избрала для этого один-единственный строительный материал — аминокислоты и соединила их в полипептидные цепи различной длины и в разной последовательности.

Это так называемая первичная структура фермента, где R — боковые остатки, или важнейшие функциональные группы белков, возможно, выступающие в качестве активных центров ферментов.

На эти боковые группы и ложится основная нагрузка при работе фермента, пептидная же цепь играет роль опорного скелета.

Согласно структурной модели Полинга — Кори, она свернута в спираль, которая в обычном состоянии стабилизирована водородными связями между кислотными и основными центрами:

Для некоторых ферментов установлены полный аминокислотный состав и последовательность расположения их в цепи, а также сложная пространственная структура. Но это всё же очень часто не может помочь нам ответить на два главных вопроса:

1) почему ферменты так избирательны и ускоряют химические превращения молекул только вполне определённой структуры (которая нам тоже известна)?

2) каким образом фермент снижает энергетический барьер, то есть выбирает энергетически более выгодный путь, благодаря чему реакции могут протекать при обычной температуре?

Строгая избирательность и высокая скорость — два основных признака ферментативного катализа, отличающие его от лабораторного и производственного катализа.

Ни один из созданных руками человека катализаторов (за исключением, пожалуй, 2-оксипиридина) не может сравниться с ферментами по силе и избирательности воздействия на органические молекулы.

Активность фермента, как и любого другого катализатора, тоже зависит от температуры: с повышением температуры возрастает и скорость ферментативной реакции. При этом обращает на себя внимание резкое снижение энергии активации Е по сравнению с некаталитической реакцией.

Правда, это происходит не всегда. Известно много случаев, когда скорость возрастает благодаря увеличению не зависящего от температуры предэкспоненциального множителя в уравнении Аррениуса.

Типы ферментативных реакций[ | ]

• Тип «пинг-понг» — фермент сначала взаимодействует с субстратом А, отбирая у него какие либо химические группы и превращая в соответствующий продукт. Затем к ферменту присоединяется субстрат В, получающий эти химические группы. Примером являются реакции переноса аминогрупп от аминокислот на кетокислоты: трансаминирование.
• Тип последовательных реакций — к ферменту последовательно присоединяются субстраты А и В, образуя «тройной комплекс», после чего осуществляется катализ. Продукты реакции также последовательно отщепляются от фермента.
• Тип случайных взаимодействий — субстраты А и В присоединяются к ферменту в любом порядке, неупорядоченно, и после катализа так же отщепляются.

Равновесие[ | ]

Константа химического равновесия

Примечания[ | ]

1. ↑ КИНЕТИКА ХИМИЧЕСКАЯ — химическая энциклопедия
2. ↑ Ершов Ю.А. Общая химия.Биофизическая химия.Химия биогенных элементов. — Москва: Высшая школа.
3. ↑ Ю.А. Ершов, В.А. Попков, А.С. Берлянд, А.З. Книжник. Общая химия: биофизическая химия, химия биогенных элементов. — Издание 8, стереотипное. — Москва: «Высшая школа», 2010.

Ссылки[ | ]

• Химическая кинетика и катализ Лекции А. А. Кубасова, к. хим. н,, доцента кафедры физической химии Химического факультета МГУ.
• Кнорре Д. Г., Эмануэль Н. М. Курс химической кинетики. 4-е издание, М.: Высшая школа, 1984. — 463 с.
• В. И. Коробова, В. Ф. Очкова «Химическая кинетика: введение с Mathcad/Maple/MCS» М.: Горячая линия-Телеком, 2009.
• Г. С. Яблонский, В. И. Быков, А. Н. Горбань, Кинетические модели каталитических реакций, Новосибирск: Наука (Сиб. отделение), 1983.- 255 c.

Раздел математики

Теория порядка — раздел математики, который исследует интуитивные понятия порядка с использованием бинарных отношений. Он обеспечивает формальную основу для описания таких утверждений, как «это меньше, чем это» или «это предшествует тому». Эта статья знакомит с полем и дает основные определения. Список терминов теории порядка можно найти в глоссарии теории порядка.

Содержание

• 1 Предпосылки и мотивация
• 2 Основные определения
  • 2.1 Частично упорядоченные множества
  • 2.2 Визуализация посета
  • 2.3 Специальные элементы внутри заказа
  • 2.4 Двойственность
  • 2.5 Создание новых заказов
• 3 Функции между заказами
• 4 Специальные типы заказов
• 5 Подмножества упорядоченных наборов
• 6 Связанные математические области
  • 6.1 Универсальная алгебра
  • 6.2 Топология
  • 6.3 Теория категорий
• 7 История
• 8 См. Также
• 9 Примечания
• 10 Ссылки
• 11 Внешние ссылки

Предпосылки и мотивация

Приказы повсюду в математике и смежных областях, таких как информатика. Первый порядок, который часто обсуждается в начальной школе, — это стандартный порядок натуральных чисел, например. «2 меньше 3», «10 больше 5» или «У Тома меньше файлов cookie, чем у Салли?». Эту интуитивно понятную концепцию можно распространить на заказы по другим наборам чисел, таким как целые числа и вещественные. Идея быть больше или меньше другого числа — одна из основных интуиций систем счисления (сравните с системами счисления ) в целом (хотя обычно также интересует фактическая разница двух чисел, не указанная в заказе). Другими известными примерами упорядочения являются алфавитный порядок слов в словаре и генеалогическое свойство линейного происхождения внутри группы людей.

Понятие порядка является очень общим, выходящим за рамки контекстов, которые имеют непосредственное интуитивное ощущение последовательности или относительной величины. В других контекстах приказы могут отражать понятия сдерживания или специализации. Абстрактно, этот тип приказа составляет отношение подмножества , например, «Педиатры — врачи » и «Круги — просто особые -case эллипсы. «

Некоторые порядки, такие как «меньше» для натуральных чисел и алфавитный порядок для слов, имеют особое свойство: каждый элемент можно сравнить с любым другим элементом, то есть он меньше (раньше), чем, больше (позже) чем, или идентично. Однако многие другие заказы этого не делают. Рассмотрим, например, порядок подмножеств в коллекции наборов : хотя набор птиц и набор собак являются подмножествами набора животных, ни птицы, ни собаки не составляют подмножество другого. Такие порядки, как отношение «подмножество», для которых существуют несравнимые элементы, называются частичными порядками ; заказы, для которых каждая пара элементов сопоставима, — это общие заказы.

Теория порядка отражает интуитивное представление о порядках, которое возникает из таких примеров в общих условиях. Это достигается путем определения свойств, которые отношение ≤ должно быть математическим порядком. Этот более абстрактный подход имеет много смысла, потому что можно вывести множество теорем в общих условиях, не сосредотачиваясь на деталях какого-либо конкретного порядка. Эти идеи могут быть легко перенесены во многие менее абстрактные приложения.

В связи с широким практическим использованием порядков были определены многочисленные особые виды упорядоченных множеств, некоторые из которых превратились в собственные математические области. Кроме того, теория порядка не ограничивается различными классами отношений упорядочения, но также рассматривает соответствующие функции между ними. Простой пример свойства теории порядка для функций взят из analysis, где часто встречаются монотонные функции.

Основные определения

В этом разделе представлены упорядоченные множества, основанные на концепциях теории множеств, арифметики и двоичных отношений.

Частично упорядоченные множества

Заказы — это особые бинарные отношения. Предположим, что P — множество и ≤ — отношение на P. Тогда ≤ — частичный порядок, или просто порядок, если предполагаемое значение ясно, если это рефлексивный, антисимметричный и транзитивный, то есть для всех a, b и c в P мы имеем, что:

a ≤ a (рефлексивность)

если a ≤ b и b ≤ a, тогда a = b (антисимметрия)

если a ≤ b и b ≤ c, то a ≤ c (транзитивность).

Набор с a частичный порядок на нем называется частично упорядоченным набором, poset или просто упорядоченным набором, если предполагаемое значение ясно. Проверяя эти свойства, сразу видно, что хорошо известные порядки натуральных чисел, целых, рациональных чисел и вещественных чисел являются заказы в указанном выше смысле. Однако эти примеры обладают дополнительным свойством быть connex, т. Е. Для всех a и b в P мы имеем следующее:

a ≤ b или b ≤ a (связность).

A Частичный заказ Connex называется полным заказом. Эти заказы также можно назвать линейными заказами или цепочками . Хотя многие классические порядки являются линейными, подмножество порядок на множествах является примером, когда это не так. Другой пример — отношение делимости (или «есть-коэффициент -из») |. Для двух натуральных чисел n и m мы пишем n | m, если n делит m без остатка. Легко видеть, что это дает частичный порядок. Отношение тождества = на любом множестве также является частичным порядком, в котором каждые два различных элемента несравнимы. Это также единственное отношение, которое одновременно является отношением частичного порядка и отношением эквивалентности . Многие расширенные свойства посетов интересны в основном для нелинейных порядков.

Визуализация poset

диаграммы Хассе множества всех делителей 60, частично упорядоченных по делимости

Диаграммы Хассе могут визуально представлять элементы и отношения частичного упорядочения. Это чертежи графа, где вершины являются элементами poset, а отношение упорядочения указывается как ребрами , так и относительным расположением вершин. Ордера рисуются снизу вверх: если элемент x меньше (предшествует) y, то существует путь от x к y, направленный вверх. Часто бывает необходимо, чтобы кромки, соединяющие элементы, пересекались друг с другом, но элементы никогда не должны располагаться внутри кромки. Поучительное упражнение — нарисовать диаграмму Хассе для набора натуральных чисел, меньших или равных 13, в порядке следования | (отношение делит ).

Даже некоторые бесконечные множества можно изобразить, наложив многоточие (…) на конечный подпорядок. Это хорошо работает для натуральных чисел, но не работает для действительных чисел, где нет непосредственного преемника выше 0; однако довольно часто можно получить интуицию, связанную с подобными диаграммами.

Специальные элементы в заказе

В частично упорядоченном наборе могут быть элементы, которые играют особую роль. Самый простой пример дается наименьшим элементом из poset. Например, 1 является наименьшим элементом положительных целых чисел, а пустой набор является наименьшим набором в порядке подмножества. Формально элемент m является наименьшим элементом, если:

m ≤ a для всех элементов a порядка.

Обозначение 0 часто встречается для наименьшего элемента, даже если числа не рассматриваются. Однако в порядках наборов чисел это обозначение может быть неуместным или двусмысленным, поскольку число 0 не всегда является наименьшим. Пример дается указанным выше порядком делимости |, где 1 — наименьший элемент, поскольку он делит все остальные числа. Напротив, 0 — это число, которое делится на все остальные числа. Следовательно, это наибольший элемент заказа. Другими частыми терминами для наименьшего и наибольшего элементов являются нижний и верхний или ноль и единица .

наименьший и наибольшие элементы может не существовать, как показывает пример реальных чисел. Но если они есть, то всегда уникальны. Напротив, рассмотрим отношение делимости | на множестве {2,3,4,5,6}. Хотя в этом наборе нет ни верха, ни низа, элементы 2, 3 и 5 не имеют элементов ниже, а элементы 4, 5 и 6 не имеют верхних частей. Такие элементы называются минимальным и максимальным соответственно. Формально элемент m является минимальным, если:

a ≤ m влечет a = m для всех элементов a порядка.

Замена ≤ на ≥ дает определение максимальности. Как показывает пример, может быть много максимальных элементов, а некоторые элементы могут быть как максимальными, так и минимальными (например, 5 выше). Однако, если есть наименьший элемент, то это единственный минимальный элемент порядка. Опять же, в бесконечных множествах максимальные элементы не всегда существуют — множество всех конечных подмножеств данного бесконечного множества, упорядоченных по включению подмножеств, дает один из многих контрпримеров. Важным инструментом для обеспечения существования максимальных элементов при определенных условиях является Лемма Цорна.

Подмножества частично упорядоченных множеств наследуют порядок. Мы уже применяли это, рассматривая подмножество {2,3,4,5,6} натуральных чисел с индуцированным порядком делимости. Теперь есть также элементы poset, которые являются специальными по отношению к некоторому подмножеству порядка. Это приводит к определению верхних границ. Для данного подмножества S некоторого ч.у. P верхняя граница S — это элемент b из P, который находится над всеми элементами S. Формально это означает, что

s ≤ b для всех s в S.

Lower границы снова определяются путем инвертирования порядка. Например, -5 — это нижняя граница натуральных чисел как подмножества целых чисел. Для данного набора наборов верхняя граница для этих наборов при упорядочении подмножеств задается их union. Фактически, эта верхняя граница довольно особенная: это наименьшее множество, которое содержит все множества. Следовательно, мы нашли наименьшую верхнюю границу набора наборов. Эта концепция также называется supremum или join, и для набора S пишут sup (S) или ⋁ S { displaystyle bigvee S}для его точной верхней границы. И наоборот, наибольшая нижняя граница известна как infimum или соответствует и обозначается inf (S) или ⋀ S { displaystyle bigwedge S}. Эти концепции играют важную роль во многих приложениях теории порядка. Для двух элементов x и y также записывается x ∨ y { displaystyle x vee y}и x ∧ y { displaystyle x wedge y}для sup ({x, y}) и inf ({x, y}) соответственно.

Например, 1 — это нижняя грань положительных целых чисел как подмножества целых чисел.

В качестве другого примера снова рассмотрим отношение | на натуральные числа. Наименьшая верхняя граница двух чисел — это наименьшее число, которое делится на оба из них, то есть наименьшее общее кратное чисел. Наибольшие нижние границы, в свою очередь, даются наибольшим общим делителем.

Двойственность

В предыдущих определениях мы часто отмечали, что понятие может быть определено путем простого изменения порядка в предыдущем определении. Это справедливо для «наименьшего» и «наибольшего», для «минимального» и «максимального», для «верхней границы» и «нижней границы» и так далее. Это общая ситуация в теории порядка: данный порядок можно инвертировать, просто поменяв его направление, наглядно перевернув диаграмму Хассе сверху вниз. Это приводит к так называемому дуальному, обратному или противоположному порядку .

. Каждое теоретическое определение порядка имеет свое двойственное определение: это понятие, которое получается, применяя определение к обратный порядок. Поскольку все понятия симметричны, эта операция сохраняет теоремы о частичных порядках. Для данного математического результата можно просто изменить порядок и заменить все определения их двойственными, и получится другая действительная теорема. Это важно и полезно, так как две теоремы можно получить по цене одной. Некоторые подробности и примеры можно найти в статье о двойственности в теории порядков.

Построение новых заказов

Есть много способов построить заказы из заданных заказов. Двойной порядок — один из примеров. Другая важная конструкция — это декартово произведение двух частично упорядоченных наборов, взятых вместе с порядком произведения на парах элементов. Порядок определяется как (a, x) ≤ (b, y), если (и только если) a ≤ b и x ≤ y. (Обратите внимание, что есть три различных значения для символа отношения ≤ в этом определении.) дизъюнктное объединение двух множеств — еще один типичный пример построения порядка, где порядок — это просто (непересекающееся) объединение оригинальные заказы.

Каждый частичный порядок ≤ порождает так называемый строгий порядок <, by defining a < b if a ≤ b and not b ≤ a. This transformation can be inverted by setting a ≤ b if a < b or a = b. The two concepts are equivalent although in some circumstances one can be more convenient to work with than the other.

Функции между порядками

Разумно рассматривать функции между частично упорядоченными множествами, обладающие некоторыми дополнительными свойствами, которые связанных с отношениями упорядочения двух наборов. Самым фундаментальным условием, возникающим в этом контексте, является монотонность. Функция f из ч.у. P в ч.у. Q является монотонной или сохраняющей порядок, если из a ≤ b в P следует f (a) ≤ f (b) в Q ( Отметим, что, строго говоря, эти два отношения здесь разные, поскольку они применяются к разным наборам.). Обратное к этому выводу приводит к функциям, которые отражают порядок, то есть функциям f, как указано выше, для которых f (a) ≤ f (b) подразумевает a ≤ b. С другой стороны, функция также может быть изменением порядка или антитоном, если a ≤ b подразумевает f (a) ≥ f (b).

order-embedding — это функция f между заказами, которая одновременно сохраняет порядок и отражает порядок. Примеры для этих определений найти легко. Например, функция, отображающая натуральное число в его преемника, явно монотонна по отношению к естественному порядку. Любая функция из дискретного порядка, то есть из набора, упорядоченного по порядку тождества «=», также является монотонной. Сопоставление каждого натурального числа с соответствующим действительным числом дает пример вложения порядка. Дополнение набора на powerset является примером функции антитонирования.

Важный вопрос — когда два порядка «по существу равны», т.е. когда они одинаковы до переименования элементов. Изоморфизмы порядка — это функции, которые определяют такое переименование. Изоморфизм порядка — это монотонная биективная функция, которая имеет монотонную обратную функцию. Это эквивалентно сюръективному встраиванию порядка. Следовательно, образ f (P) упорядоченного вложения всегда изоморфен P, что оправдывает термин «вложение».

Более сложный тип функций представлен так называемыми связями Галуа. Монотонные связи Галуа можно рассматривать как обобщение изоморфизмов порядка, поскольку они составляют пару двух функций в противоположных направлениях, которые «не совсем» обратны друг другу, но все же имеют тесные отношения.

Другим особым типом самотображений на poset являются операторы замыкания, которые не только монотонны, но также идемпотентны, т. Е. F (x) = f (f (x)) и extensive (или инфляционный), то есть x ≤ f (x). У них есть много применений во всевозможных «замыканиях», которые появляются в математике.

Помимо совместимости с простыми отношениями порядка, функции между позициями могут также хорошо вести себя в отношении специальных элементов и конструкций. Например, когда мы говорим о позах с наименьшим количеством элементов, может показаться разумным рассматривать только монотонные функции, которые сохраняют этот элемент, т.е. которые отображают наименьшее количество элементов на наименьшее количество элементов. Если двоичная infima ∧ существует, то разумным свойством может быть требование, чтобы f (x ∧ y) = f (x) ∧ f (y) для всех x и y. Все эти свойства и многие другие могут быть скомпилированы под меткой функции сохранения предела.

Наконец, можно инвертировать представление, переключаясь с функций заказов на порядки функций. В самом деле, функции между двумя позициями P и Q можно упорядочить с помощью поточечного порядка . Для двух функций f и g мы имеем f ≤ g, если f (x) ≤ g (x) для всех элементов x из P. Это происходит, например, в теории областей, где функциональные пространства играют важную роль.

Специальные типы порядков

Многие структуры, изучаемые в теории порядка, используют отношения порядка с дополнительными свойствами. На самом деле особый интерес представляют даже некоторые отношения, не являющиеся частичными порядками. В основном следует упомянуть концепцию предварительного заказа . Предварительный порядок — это отношение, которое является рефлексивным и транзитивным, но не обязательно антисимметричным. Каждый предварительный заказ индуцирует отношение эквивалентности между элементами, где a эквивалентно b, если a ≤ b и b ≤ a. Предварительные заказы можно превратить в заказы, указав все элементы, эквивалентные этому отношению.

Несколько типов заказов могут быть определены на основе числовых данных по элементам заказа: общий заказ является результатом присоединения различных действительных чисел к каждому элементу и использования числовых сравнений для упорядочивания элементов ; вместо этого, если отдельным элементам разрешено иметь равные числовые баллы, получается строгий слабый порядок. Требование, чтобы две оценки были разделены фиксированным порогом перед их сравнением, приводит к концепции полупорядка, в то время как разрешение изменять пороговое значение для каждого элемента дает интервальный порядок.

Дополнительное простое, но полезное свойство приводит к так называемому хорошо обоснованному, для которого все непустые подмножества имеют минимальный элемент. Обобщая порядки скважин от линейных до частичных порядков, набор является хорошо частично упорядоченным, если все его непустые подмножества имеют конечное число минимальных элементов.

Многие другие типы заказов возникают, когда наличие infima и suprema определенных наборов гарантировано. Сосредоточившись на этом аспекте, обычно называемом полнота порядков, получаем:

• Ограниченные позы, то есть позы с наименьшим и наибольшим элементом (которые являются только верхним и нижним пределом пустого подмножества ),
• Решетки, в котором каждое непустое конечное множество имеет верхнюю и нижнюю границу,
• Полные решетки, где каждый набор имеет верхнюю и нижнюю границу и
• Направленные полные частичные порядки (dcpos), которые гарантируют существование супремумов всех направленных подмножеств и которые изучаются в теории предметной области.
• Частичные порядки с дополнениями, или наборы poc, — это позы с уникальным нижним элементом 0, а также инволюция с изменением порядка ∗ { displaystyle *}такая, что a ≤ a ∗ ⟹ a = 0. { displaystyle a leq a ^ {*} подразумевает a = 0.}

Однако можно пойти еще дальше: если существуют все конечные непустые инфимы, то ∧ можно рассматривать как полная бинарная операция в смысле универсальной алгебры. Следовательно, в решетке ice, доступны две операции ∧ и ∨, и можно определить новые свойства, задав тождества, такие как

x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z), для всех x, y, и z.

Это состояние называется дистрибутивностью и приводит к распределительным решеткам. Есть еще несколько важных законов распределенности, которые обсуждаются в статье о распределенности в теории порядка. Некоторые дополнительные структуры порядка, которые часто задаются с помощью алгебраических операций и определяющих тождеств, — это

, которые обе вводят новую операцию ~, называемую отрицанием . Обе структуры играют роль в математической логике, и особенно булевы алгебры имеют основные приложения в информатике. Наконец, различные структуры в математике сочетают порядки с еще большим количеством алгебраических операций, как в случае Quantales, которые позволяют определять операцию сложения.

Существует много других важных свойств позет. Например, poset является локально конечным, если каждый закрытый интервал [a, b] в нем является конечным. Локально конечные множества порождают алгебры инцидентности, которые, в свою очередь, могут использоваться для определения эйлеровой характеристики конечных ограниченных множеств.

Подмножества упорядоченных наборов

В упорядоченном наборе можно определить множество типов специальных подмножеств на основе заданного порядка. Простым примером являются верхние наборы ; т.е. наборы, которые содержат все элементы, расположенные над ними в порядке. Формально верхнее замыкание множества S в ч.у.м. P задается множеством {x in P | в S есть y такой, что y ≤ x}. Множество, равное своему верхнему замыканию, называется верхним множеством. Младшие наборы определяются двойственно.

Более сложные нижние подмножества — это идеалы, которые обладают дополнительным свойством, заключающимся в том, что каждые два их элемента имеют верхнюю границу в пределах идеала. Их двойники задаются фильтрами. Связанная концепция — это концепция направленного подмножества, которое, как идеал, содержит верхние границы конечных подмножеств, но не обязательно должно быть нижним набором. Более того, его часто обобщают на предварительно упорядоченные наборы.

Подмножество, которое — как подмножество — линейно упорядочено, называется цепочкой. Противоположное понятие, антицепь, представляет собой подмножество, которое не содержит двух сопоставимых элементов; т.е. это дискретный порядок.

Связанные области математики

Хотя в большинстве областей математики порядок используется тем или иным способом, существует также несколько теорий, взаимосвязи которых выходят далеко за рамки простого применения. Некоторые из них, а также их основные точки соприкосновения с теорией порядка, будут представлены ниже.

Универсальная алгебра

Как уже упоминалось, методы и формализмы универсальной алгебры являются важным инструментом для многих теоретических рассмотрений порядка. Помимо формализации порядков в терминах алгебраических структур, удовлетворяющих определенным тождествам, можно также установить другие связи с алгеброй. Примером может служить соответствие между булевыми алгебрами и булевыми кольцами. Другие проблемы связаны с существованием свободных конструкций, таких как свободных решеток на основе заданного набора генераторов. Кроме того, операторы замыкания важны при изучении универсальной алгебры.

Топология

В топологии порядки играют очень важную роль. Фактически, набор открытых множеств представляет собой классический пример полной решетки, точнее полной алгебры Гейтинга (или «фрейм », или «языковой стандарт «). Фильтры и сети — это понятия, тесно связанные с теорией порядка, и оператор замыкания наборов может использоваться для определения топологии. Помимо этих отношений, топологию можно рассматривать исключительно в терминах открытых решеток множеств, что ведет к изучению бессмысленной топологии. Кроме того, естественный предварительный порядок элементов базового набора топологии задается так называемым порядком специализации, который на самом деле является частичным порядком, если топология T0.

. Наоборот, в теории порядка один часто использует топологические результаты. Существуют различные способы определения подмножеств порядка, которые можно рассматривать как открытые множества топологии. Рассматривая топологии на чугуре (X, ≤), которые, в свою очередь, индуцируют ≤ как порядок своей специализации, лучшая такая топология — это топология Александрова, заданная путем принятия всех верхних множеств как открытых. И наоборот, самая грубая топология , которая индуцирует порядок специализации, — это верхняя топология, имеющая дополнения к главным идеалам (т. Е. Множества вида {y in X | y ≤ x} для некоторого x) в качестве подбазы. Кроме того, топология с порядком специализации ≤ может быть согласованной по порядку, что означает, что их открытые множества «недоступны для направленной супремы» (относительно ≤). Топология согласованной топологии наилучшего порядка — это топология Скотта, которая является более грубой, чем топология Александрова. Третьей важной топологией в этом духе является топология Лоусона. Между этими топологиями и концепциями теории порядка существует тесная связь. Например, функция сохраняет направленную супрему тогда и только тогда, когда она непрерывна по отношению к топологии Скотта (по этой причине это свойство теории порядка также называется непрерывностью Скотта ).

Теория категорий

Визуализация заказов с помощью диаграмм Хассе имеет простое обобщение: вместо отображения меньших элементов под большими, также может быть изображено направление порядка указав направления к краям графа. Таким образом, каждый порядок рассматривается как эквивалентный направленному ациклическому графу, где узлы являются элементами poset, и существует направленный путь от a к b тогда и только тогда, когда a ≤ b. Отбросив требование быть ацикличным, можно также получить все предварительные заказы.

Когда они оснащены всеми транзитивными ребрами, эти графы, в свою очередь, представляют собой просто специальные категории, где элементы являются объектами, и каждый набор морфизмов между двумя элементами является не более чем одиночными. Функции между порядками становятся функторами между категориями. Многие идеи теории порядка — это всего лишь концепции теории категорий в малом. Например, инфимум — это всего лишь категориальный продукт. В более общем смысле, можно захватить инфиму и верхнюю границу с помощью абстрактного понятия категориального предела (или копредела, соответственно). Еще одно место, где возникают категориальные идеи, — это концепция (монотонной) связи Галуа, которая в точности совпадает с парой сопряженных функторов.

. Но теория категорий также оказывает влияние на теорию порядка. в большем масштабе. Классы положений с соответствующими функциями, как обсуждалось выше, образуют интересные категории. Часто также можно указать конструкции заказов, такие как заказ продукта, в терминах категорий. Дальнейшее понимание происходит, когда категории заказов оказываются категорически эквивалентными другим категориям, например топологическим пространствам. Это направление исследований приводит к различным теоремам представления, которые часто собираются под названием двойственность Стоуна.

История

Как объяснялось ранее, порядки в математике встречаются повсеместно. Однако самые ранние явные упоминания о частичных заказах, вероятно, можно найти не ранее 19 века. В этом контексте большое значение имеют работы Джорджа Буля. Более того, в работах Чарльза Сандерса Пирса, Ричарда Дедекинда и Эрнста Шредера также рассматриваются концепции теории порядка. Конечно, в этом контексте можно назвать и другие, и, конечно, есть более подробный материал по истории теории порядка.

Термин poset как аббревиатура для частично упорядоченного множества был введен Гарреттом Биркгофом во втором издании его влиятельной книги «Теория решеток».

См. Также

Примечания

Ссылки

• Биркгоф, Гаррет (1940). Теория решеток. 25 (3-е пересмотренное издание). Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1025-5. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Burris, SN; Sankappanavar, HP (1981). Курс универсальной алгебры. Springer. ISBN 978-0-387-90578-5.
• Дэви, BA; Пристли, HA (2002). Introduction to Lattices and Order (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-78451-4.
• Gierz, G.; Hofmann, KH; Keimel, K.; Mislove, M.; Scott, DS (2003). Непрерывные решетки и области. Энциклопедия математики и ее приложений. 93 . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80338-0.

Внешние ссылки

Найдите заказ в Wiktionary, бесплатном словаре.

• Заказы в ProvenMath частичный порядок, линейный порядок, порядок скважин, начальный сегмент; формальные определения и доказательства в рамках аксиом теории множеств.
• Nagel, Felix (2013). Теория множеств и топология. Введение в Основы анализа

Была ли эта статья полезной?

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .

Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.

1. Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е. .
2. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. .
3. Вероятность достоверного события равна 1, т.e. .
4. Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е. .

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные  из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

Ответ получаем по формуле .

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков – 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А – это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

   

Ответ: 0,4

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается “шесть факториал”.

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов  В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

   

В нашем случае .

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

   

В нашем случае .

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решение:

.

Ответ: 0,3.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

Ответ: 0,98.

Задача 3.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Решение:

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие “У. верно решит ровно 9 задач” входит в условие “У. верно решит больше 8 задач”, но не относится к условию “У. верно решит больше 9 задач”.

Однако, условие “У. верно решит больше 9 задач” содержится в условии “У. верно решит больше 8 задач”. Таким образом, если мы обозначим события: “У. верно решит ровно 9 задач” – через А, “У. верно решит больше 8 задач” – через B, “У. верно решит больше 9 задач” через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

.

Ответ: 0,06.

Задача 4.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме “Тригонометрия”, либо к теме “Внешние углы”. По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Ответ: 0,35.

Задача 5.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: – лампочка горит, – лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события “лампочка перегорела”, “лампочка горит”, “лампочка горит”: , где вероятность события “лампочка горит” подсчитывается как вероятность события, противоположного событию “лампочка не горит”, а именно: .

 

 

 

 

 

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: .

Ответ: 0,975608.

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.

Чтобы работать с теорией вероятностей и статистикой, нужно знать принципы комбинаторики — науки о подсчёте количества всевозможных комбинаций элементов.

• Факториал, правила суммы и произведения
• Перестановка
• Размещение
• Сочетание
• Как использовать перестановки, размещения и сочетания в анализе данных
• Совет эксперта

Самые популярные факториалы

Рекуррентная формула факториала

В этой формуле для получения следующего элемента необходимо знать предыдущий.

Правило суммы — если объект A можно выбрать способами, а объект B можно выбрать способами, то объект «A или B» можно выбрать n + m способами.

Правило произведения — если объект A можно выбрать n способами и после каждого такого выбора объект B можно выбрать m способами, то для пары «A и B» есть n ∙ m вариантов выбора.

Когда важно одно или другое — варианты выбора складываются, когда одно и другое — умножаются. Оба правила позволяют найти, сколько есть вариантов на выбор или, например, сколько есть способов различного расположения предметов.

Получить больше практики по расчёту количества комбинаций можно в модуле «Комбинаторика» тренажёра «Основы математики для цифровых профессий».

Пример. На странице интернет-магазина одежды размещены три футболки. Если поменять их расположение на странице, получится новая перестановка. Сколькими способами можно расположить футболки на странице?

Решение. Три футболки можно расположить на странице способами: P₃ = 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3.

Пример. Чтобы выполнить ежедневный квест, игроку нужно принести магу корзину с четырьмя кристаллами разного цвета. Первой необходимо найти корзину, а кристаллы можно сложить в неё в произвольном порядке. Как найти число способов выполнить задание?

Решение. Для выполнения квеста нужно 5 предметов. Корзину всегда находят первой, поэтому её позиция зафиксирована. Порядок сбора 4 оставшихся предметов равен числу перестановок 4 элементов. Всего есть 4! = 24 способа выполнить задание.

В отличие от перестановки, у размещения два параметра: из скольких элементов выбирают (n) и сколько именно выбирают (k).

Порядок выбора элементов важен, когда:

● Выбирают несколько элементов для разных целей, разных дней, разных ролей.
● В задачах на расположение, когда элементы различимы. Например, когда надо выбрать несколько человек из группы и разместить их на креслах в кинотеатре. Люди разные, поэтому имеет значение, кто где сядет.

Пример. Недалеко от пользователя есть 9 ресторанов. Из них надо выбрать 4, которые будут отображаться на главном экране. Сколько есть способов выбрать рестораны?

Решение. Порядок выбора важен, поэтому выбрать четыре ресторана поможет правило произведения: существует 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 = 3024 способа. Это как раз и есть количество размещений из 9 по 4.

Пример. Сколькими способами можно заполнить спортивный пьедестал из трёх мест, если есть 10 претендентов?

Решение. Выбрать упорядоченную тройку можно 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720 способами. По формуле для количества размещений это считается так:

Несколько частных значений для количества сочетаний:

Порядок выбора или расстановки не важен, когда:

● Выбирают несколько элементов одновременно. В учебниках по математике самый частый пример — мешок с шариками, откуда вытаскивают несколько шариков разом.
● Выбирают пару (тройку, группу) для взаимного или равноправного процесса. Например, двух человек для партии в шахматы, две команды для игры в хоккей, три бренда одежды для коллаборации, две точки для соединения отрезком, пять человек для хора.

Пример. Из 9 актёров выбирают четырёх для массовки. Порядок выбранных людей не важен. Сколько есть способов выбрать актёров?

Решение. Чтобы получить количество вариантов выбора 4 из 9 без учёта порядка, нужно

Это количество сочетаний из 9 по 4: сначала нашли количество способов выбрать 4 из 9, потом «склеили» все варианты с одним набором актёров, но разным порядком.

Пример. В сувенирном магазине продаются 6 видов кружек. Сколько есть способов выбрать 4 разные?

Решение. Общее количество перестановок для 6 элементов нужно разделить на (6 – 4)! и ещё на 4!, так как не нужно учитывать ни перестановки «невыбираемых» кружек, ни порядок среди выбираемых.

Поэтому для выбора 4 кружек из 6 есть

А если надо выбрать только 2 разные кружки?

Ответ получился такой же, потому что множители в знаменателе просто поменялись местами.

У этого есть и логическое обоснование: например, выбрать 4 кружки из 6 (и купить их) — это то же самое, что выбрать 2 кружки из 6 (и не купить их).

Аналогично получится, что

В общем виде это свойство выглядит так:

Его называют свойством симметрии для количества сочетаний.

Совет эксперта

Диана Миронидис
Выбирать приходится каждый день: сколько блюд получится сделать из продуктов в холодильнике, сколькими способами можно добраться до работы — ответы на все эти вопросы даёт комбинаторика. Это отличный фундамент для изучения анализа данных и тех областей математики, которые связаны с теорией вероятностей и статистикой. Например, чтобы работать с биномиальным распределением, нужно знать, что такое биномиальные коэффициенты и как их находить. А это как раз комбинаторные задачи.

Автор и методист курсов по математике