Как найти теорию вероятности формулы

Формулы по теории вероятности онлайн

В данном разделе вы найдете формулы по теории вероятностей в онлайн-варианте. Версию в pdf можно скачать на странице Таблицы и формулы по теории вероятностей.

Для вашего удобства к формулам по теории вероятностей мы добавили ссылки на примеры, теорию, калькуляторы, видеоуроки и статьи по подходящим разделам. Используйте эти возможности!

Каталог формул по теории вероятности онлайн

Случайные события. Основные формулы онлайн

Основные формулы комбинаторики

Число перестановок

$$P_n = n! = 1cdot 2 cdot 3 cdot … cdot (n-1) cdot n$$

Число размещений

$$A_m^n = n cdot (n-1) cdot … cdot (n-m+1)$$

Число сочетаний

$$C_n^m =frac{A_n^m}{P_m}=frac{n!}{m! cdot (n-m)!}$$

Число перестановок с повторениями

$$ P_n (n_1,n_2,…,n_k)=frac{n!}{n_1! cdot n_2!cdot … cdot n_k!}. $$

Число размещений с повторениями

$$overline{A}_n^k=ncdot ncdot … cdot n = n^k. $$

Число сочетаний с повторениями

$$overline{C}_n^k=C_{k+n-1}^k=frac{(k+n-1)!}{(n-1)!cdot k!}$$

Как выбрать формулу комбинаторики?, калькуляторы по комбинаторике и примеры решений

Классическое определение вероятности

$$P(A) = frac{m}{n},$$
где $m$ — число благоприятствующих событию $A$ исходов, $n$ — число всех элементарных равновозможных исходов в испытании.

Подробнее: онлайн-учебник, решенные примеры и калькулятор.

Вероятность суммы событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

$$
P(A+B) = P(A)+P(B)
$$

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

$$
P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB)
$$

Подробнее: примеры решений и теория, разбор задачи про выстрелы

Вероятность произведения событий

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

$$
P(Acdot B) =P(A)cdot P(B)
$$

Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

$$
P(Acdot B) =P(A)cdot P(B|A),\
P(Acdot B) =P(B)cdot P(A|B).
$$

$P(A|B)$ — условная вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $B$,

$P(B|A)$ — условная вероятность события $B$ при условии, что произошло событие $A$.

Подробнее об условной вероятности.

Формула полной вероятности

$$
P(A)=sum_{k=1}^{n} P(H_k)cdot P(A|H_k),
$$

где $H_1, H_2, …, H_n$ — полная группа гипотез.

Формула Байеса. Вычисление апостериорных вероятностей гипотез

$$
P(H_m|A) =frac{P(H_m)cdot P(A|H_m)}{P(A)} = frac{P(H_m)cdot P(A|H_m)}{sumlimits_{k=1}^{n} P(H_k)cdot P(A|H_k)},
$$

где $H_1, H_2, …, H_n$ — полная группа гипотез.

Примеры решений и теория в учебнике.

Формула Бернулли

$$
P_n(k)=C_n^k cdot p^k cdot (1-p)^{n-k} = frac{n!}{k! cdot (n-k)!}cdot p^k cdot (1-p)^{n-k}
$$
вероятность появления события ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность появления события при одном испытании.

Примеры решений, теория в учебнике, онлайн-калькуляторы.

Наивероятнейшее число наступления события

Наивероятнейшее число $k_0$ появления события при $n$ независимых испытаниях (где $p$ — вероятность появления события при одном испытании):

$$
np-(1-p) le k_0 le np+p.
$$

Как вычислить наивероятнейшее значение онлайн.

Приближенная формула Пуассона

Если число испытаний $n$ велико, и при этом вероятность $p$ наступления события в каждом испытании крайне мала, так что выполняется условие $np lt 10$, можно применять формулу Пуассона:

$$
P_n(k)=frac{lambda^k}{k!}cdot e^{-lambda}.
$$

Здесь $lambda=n cdot p$ обозначает среднее число появлений события.

Еще: онлайн калькулятор, примеры решений.

Локальная формула Лапласа

$$
P_n(k) = frac{1}{sqrt{npq}} varphileft( frac{k-np}{sqrt{npq}} right)
$$

вероятность появления события ровно $k$ раз при $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность появления события при одном испытании, $q=1-p$.
Значения функции $varphi(x)$ берутся из таблицы.

Интегральная формула Лапласа

$$
P_n(m_1, m_2) = Phileft( frac{m_2-np}{sqrt{npq}} right)-Phileft( frac{m_1-np}{sqrt{npq}} right)
$$

вероятность появления события не менее $m_1$ и не более $m_2$ раз при $n$ независимых испытаниях, $p$ — вероятность появления события при одном испытании, $q=1-p$.
Значения функции $Phi(x)$ берутся из таблицы.

Глава из учебника и решенные примеры на обе формулы.

Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности

$$
Pleft( left| frac{m}{n} -pright| le varepsilonright) = 2 Phileft( varepsiloncdot frac{sqrt{n}}{sqrt{p(1-p)}} right)
$$

$varepsilon$ — величина отклонения, $p$ — вероятность появления события.

Готовые примеры решений.

Решенные задачи по теории вероятностей

Нужна готовая задача по терверу? Найдите на сайте-решебнике:

Полезные ссылки

А также для изучения тервера у нас есть:

• Онлайн калькуляторы по разным темам теории вероятностей
• Супер-статья об основных формулах комбинаторики
• Инструкции и решения к задачам по ТВ
• Более 200 готовых примеров по теории вероятностей

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .

Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.

1. Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е. .
2. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. .
3. Вероятность достоверного события равна 1, т.e. .
4. Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е. .

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные  из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

Ответ получаем по формуле .

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков – 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А – это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

   

Ответ: 0,4

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается “шесть факториал”.

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов  В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

   

В нашем случае .

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

   

В нашем случае .

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решение:

.

Ответ: 0,3.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

Ответ: 0,98.

Задача 3.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Решение:

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие “У. верно решит ровно 9 задач” входит в условие “У. верно решит больше 8 задач”, но не относится к условию “У. верно решит больше 9 задач”.

Однако, условие “У. верно решит больше 9 задач” содержится в условии “У. верно решит больше 8 задач”. Таким образом, если мы обозначим события: “У. верно решит ровно 9 задач” – через А, “У. верно решит больше 8 задач” – через B, “У. верно решит больше 9 задач” через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

.

Ответ: 0,06.

Задача 4.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме “Тригонометрия”, либо к теме “Внешние углы”. По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Ответ: 0,35.

Задача 5.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: – лампочка горит, – лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события “лампочка перегорела”, “лампочка горит”, “лампочка горит”: , где вероятность события “лампочка горит” подсчитывается как вероятность события, противоположного событию “лампочка не горит”, а именно: .

 

 

 

 

 

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: .

Ответ: 0,975608.

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.

❓ Что такое теория вероятностей?

Теория вероятностей использует случайные величины и распределения вероятностей для математической оценки неопределенных ситуаций. Понятие вероятности используется для присвоения числового описания вероятности наступления события. Вероятность можно определить как число благоприятных исходов, деленное на общее число возможных исходов события.

Определение теории вероятностей

Теория вероятностей – это область математики и статистики, которая занимается определением вероятностей, связанных со случайными событиями. Существует два основных подхода к изучению теории вероятностей: теоретический и экспериментальный. Теоретическая вероятность определяется на основе логических рассуждений без проведения экспериментов. В отличие от нее, экспериментальная вероятность определяется на основе исторических данных путем проведения повторных экспериментов.

Пример теории вероятностей

Предположим, нам необходимо определить вероятность выпадения числа 4 при бросании игральной кости. Число благоприятных исходов равно 1. Возможные исходы игральной кости – {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Из этого следует, что всего существует 6 исходов. Таким образом, вероятность выпадения 4 при бросании игральной кости, используя теорию вероятности, можно вычислить как 1 / 6 ≈ 0,167.

🎲 Основы теории вероятностей

Мы можем понять эту область математики с помощью нескольких основных терминов, напрямую связанных с теорией вероятностей.

Случайный эксперимент

Случайный эксперимент в теории вероятностей – это испытание, которое повторяется несколько раз для получения четко определенного набора возможных результатов. Подбрасывание монеты является примером случайного эксперимента.

Пространство выборки

Пространство выборки можно определить как множество всех возможных исходов, полученных в результате проведения случайного эксперимента. Например, пространство выборки при подбрасывании симметричной монеты (fair coin), стороны которой – это орел и решка.

Событие

Теория вероятностей определяет событие как набор исходов эксперимента, который образует подмножество пространства выборки.

Примеры событий:

1. Независимые – те, на которые не влияют другие события, являются независимыми.
2. Зависимые – те, на которые влияют другие события.
3. Взаимоисключающие – события, которые не могут произойти в одно и то же время.
4. Равновероятные – два или более события, которые имеют одинаковые шансы произойти.
5. Исчерпывающие – это события, которые равны выборочному пространству эксперимента.

Случайная величина

В теории вероятностей случайную переменную можно определить как величину, которая принимает значение при всех возможных исходах эксперимента.

Существует два типа случайных величин:

1. Дискретная случайная величина – принимает точные значения, такие как 0, 1, 2…. Описывается кумулятивной функцией распределения и функцией массы вероятности.
2. Непрерывная случайная величина – переменная, которая может принимать бесконечное число значений. Для определения характеристик этой переменной используются кумулятивная функция распределения и функция плотности вероятности.

Вероятность

Вероятность мы можем определить как численную вероятность наступления события. Вероятность того, что событие произойдет, всегда лежит между 0 и 1. Это связано с тем, что число желаемых исходов никогда не может превысить общее число исходов события. Теоретическая вероятность и эмпирическая вероятность используются в теории вероятностей для измерения шанса наступления события.

Условная вероятность

Ситуация, когда необходимо определить вероятность наступления события, притом что другое событие уже произошло.

Обозначается как P(A | B).

Если хочешь подтянуть свои знания по математике, загляни на наш курс «Математика для Data Science», на котором ты:

• Усвоишь специальную терминологию и сможешь читать статьи по Data Science без постоянных обращений к поисковику.
• Подготовишься к успешной сдачи вступительных экзаменов в Школу анализа данных Яндекс.
• Овладеешь математическим аппаратом, который необходим, чтобы стать специалистом в Data Science.

Ожидание

Ожидание случайной величины X можно определить как среднее значение результатов эксперимента, проводимого многократно. Ожидание обозначается как E[X]. Также известно как среднее значение случайной величины.

Дисперсия

Дисперсия – это мера, которая показывает, как распределение случайной величины изменяется относительно среднего значения. Дисперсия определяется как среднее квадратичное отклонение от среднего значения случайной величины. Обозначается как Var[X].

Функция распределения теории вероятностей

Распределение вероятностей или кумулятивная функция распределения – это функция, которая моделирует все возможные значения эксперимента, используя случайную переменную. Распределение Бернулли и биномиальное распределение – это примеры дискретных распределений вероятностей. Например, нормальное распределение представляет собой пример непрерывного распределения.

Массовая функция вероятности

Массовая функция вероятности определяется как вероятность того, что дискретная случайная величина будет в точности равна определенному значению.

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности – это вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает множество возможных значений.

Формулы теории вероятностей

В теории вероятностей существует множество формул, которые помогают рассчитать различные вероятности, связанные с событиями.

Наиболее важные формулы:

1. Теоретическая вероятность: Число благоприятных исходов / Число возможных исходов.
2. Эмпирическая вероятность: Число случаев, когда событие происходит / Общее число испытаний.
3. Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B), где A и B – события.
4. Правило комплементарности: P(A’) = 1 – P(A). P(A’) означает вероятность того, что событие не произойдет.
5. Независимые события: P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B).
6. Условная вероятность: P(A | B) = P(A∩B) / P(B).
7. Теорема Байеса: P(A | B) = P(B | A) ⋅ P(A) / P(B).
8. Массовая функция вероятности: f(x) = P(X = x).
9. Функция плотности вероятности: p(x) = p(x) = dF(x) / dx, где F(x) – кумулятивная функция распределения.
10. Ожидание непрерывной случайной величины: ∫xf(x)dx, где f(x) является МФВ (Массовой функцией вероятности).
11. Ожидание дискретной случайной величины: ∑xp(x), где p(x) – это ФПВ (Функцией плотности вероятности).
12. Дисперсия: Var(X) = E[X2] – (E[X])2.

Применение теории вероятностей

Теория вероятностей используется во многих областях и помогает оценить риски, которые связаны с теми или иными решениями. Некоторые из направлений, где применяют теорию вероятностей:

• В финансовой отрасли теория вероятностей используется для создания математических моделей фондового рынка с целью прогнозирования будущих тенденций. Это помогает инвесторам вкладывать средства в наименее рискованные активы, которые дают наилучший доход.

• В потребительской индустрии теория вероятностей используется для снижения вероятности неудачи при разработке продукта.

• Казино использует теорию вероятностей для разработки азартных игр с максимизацией своей прибыли.

🏋️ Практические задания

Задача 1: При бросании двух игральных костей, какова вероятность того, что выпадет комбинация, сумма которой будет равна 8?

Задача 2: Какова вероятность вытащить карту королеву из колоды?

Задача 3: Из 10 человек 3 купили карандаши, 5 купили тетради, а 2 купили и карандаши, и тетради. Если покупатель купил тетрадь, какова вероятность того, что он также купил карандаш?

В заключение

Подведем итоги:

• Теория вероятностей – это раздел математики, в котором рассматриваются вероятности случайных событий.
• Понятие вероятности объясняет возможность наступления того или иного события.
• Значение вероятности всегда лежит между 0 и 1.
• В теории вероятностей все возможные исходы случайного эксперимента составляют пространство выборки.
• Теория вероятностей использует такие важные понятия, как случайные величины и кумулятивные функции распределения для моделирования случайного события. Сюда же относится определение различных вероятностей, связанных с этим.

Если хочешь подтянуть свои знания по математике, загляни на наш курс «Математика для Data Science», который включает в себя:

• 47 видеолекций и 150 практических заданий.
• Консультации с преподавателями курса.

На этой странице вы узнаете

• Как кот может быть одновременно жив и мертв? 
• Можно ли всегда выигрывать спор с монеткой? 
• Если рандомно ответить на вопрос теста, какой шанс угадать ответ?

Какова вероятность выиграть в лотерею? Исследователи подсчитали: один на восемь миллионов. «Или выиграю, или проиграю», — решаю я, покупая лотерейный билет. Так понятие вероятности преследует нас в обычной жизни. И не только в лотерее. Давайте разберемся подробнее.

Вероятность

Выходя утром из дома, мы задумываемся: брать ли с собой зонт? Проверяем прогноз погоды — вероятность выпадения осадков 2%. Зонтик нам сегодня вряд ли понадобится. В пути нас настигает ливень…

Прогноз погоды — самый яркий пример вероятности. Он не всегда бывает точный, не всегда сбывается. Мы не можем с уверенностью сказать, что будет завтра. Зато можем по совокупности факторов определить, на какую погоду стоит ориентироваться. 

Теория вероятности — один из разделов математики, в котором изучаются модели случайных экспериментов. 

Случайными экспериментами называются такие, результаты которых неизвестны заранее. Подбрасывая монетку, мы не знаем, что выпадет — орел или решка. Только поймав монетку, мы узнаем результат. 

Рассмотрим чуть подробнее пример с монеткой. Есть всего два варианта, какое событие может произойти:

• выпадет орел;
• выпадет решка. 

Эти два события образуют множество элементарных событий. 

Множество элементарных событий — множество всех возможных результатов случайного эксперимента. 

В случае выше их всего два. А если мы будем подбрасывать игральную кость, то их будет уже 6. Множество элементарных событий будет менять в зависимости от ситуации. 

Допустим, мы поспорили с друзьями, что выпадет орел. Для нас это событие будет благоприятным, поскольку мы выиграем спор. Второе событие будет неблагоприятным, потому что спор будет проигран. 

Как найти вероятность, что мы выиграем спор? Нужно разделить число благоприятных событий на общее число событий. Таким образом, мы получили классическое определение вероятности. 

Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий. 

Пусть m — количество благоприятных исходов, а n — количество всех событий. Получаем следующую формулу. 

(P = frac{m}{n})

Вероятность можно обозначить, как P(x), где х — некоторое событие. 

Заметим, что количество благоприятных исходов должно быть либо меньше, либо равно количеству всех исходов. Если благоприятных событий больше, чем всех, значит, мы нашли не все множество элементарных событий.

Когда вероятность равна 1, то такое событие точно наступит. Иначе говоря, мы можем быть уверены на 100% — оно произойдет.

Вероятность всегда будет меньше или равна 1. Но ее можно выразить и через проценты. Для этого достаточно умножить полученный результат на 100%. 

Пример 1. На ресепшене одного из отелей стоит ваза с конфетами. В вазе 56 яблочных конфет, 49 апельсиновых и 35 малиновых. Гость отеля наугад тянет конфету. Какова вероятность, что ему попадется апельсиновая конфета?

Решение. Найдем, сколько всего конфет в вазе: 56 + 49 + 35 = 140. Вероятность вытащить апельсиновую конфету будет равна 
(frac{49}{140} = 0,35)

Выразим в процентах:  
0,35 * 100% = 35%

Задача решена. Обычно в ответе пишут значение вероятности через дробное число, а не проценты. Поэтому получаем следующий ответ. 

Ответ: 0,35

Чтобы выразить вероятность через проценты в одно действие, достаточно воспользоваться следующей формулой. 

(P = frac{m}{n} * 100%)

Но что, если нам нужно найти вероятность для более сложных экспериментов? Первым делом нужно определить, какие события перед нами.

Равновозможные и противоположные события

Когда мы бросаем игральную кость, вероятность выпадения любого из чисел равна 16. То есть вероятности выпадения чисел равны между собой. Такие события называются равновозможными. 

Равновозможные события — такие события, что по условиям опыта ни одно из них не является более возможным, чем другие. 

Вероятности появления событий равны. 

Для игрального кубика существует всего шесть событий, которые могут произойти: выпадет число 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Все эти события образуют полную группу событий. 

Полная группа событий — такая группа событий, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. 

В результате подбрасывания монеты выпадет либо орел, либо решка. То есть полная группа событий состоит из двух событий. 

Мы подбросили монету и выпал орел. Следовательно, не выпала решка. 

А если не выпадет орел? Обязательно выпадет решка. Эти события будут называться противоположными. 

Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе. 

Обозначим событие “выпала решка” как A. Противоположное ему событие “выпал орел” обозначим как (overline{A}). 

Заметим, что вероятность события A равняется 12, как и вероятность события (overline{A}). Чему равна их сумма?

)frac{1}{2} + frac{1}{2} = 1) 

Так мы вывели связь между противоположными событиями. Поскольку они всегда образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей будет равна 1. 

(P(A) + P(overline{A}) = 1)

Какие еще примеры противоположных событий можно назвать? Ясная и дождливая погода. Если наступает одно из этих событий, то второе уже не может наступить. 

Объединение и пересечение событий 

Допустим, у нас есть два события: сегодня пойдет снег и сегодня пойдет дождь. Что будет, если мы их объединим? 

Объединение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий. 

В этом случае мы получим событие, которое будет выполняться при любом из исходов: и если пойдет снег, и если не пойдет снег. 

Объединение событий обозначается знаком (cup). Объединение событий А и В можно записать как (A cup B). 

Рассмотрим немного другой пример. В первое событие входит, что Илья получит пятерку по физике, а второе событие — Антон получит пятерку по физике. А как можно назвать событие, если оба мальчика получат пятерку по физике?

Пересечение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям. 

Пересечение событий обозначается знаком (cap). Пересечение событий А и В можно записать как (A cap B). 

Несовместные и совместные события

Рассмотрим два события: “чайник исправно работает” и “чайник сломался”. Могут ли эти события существовать одновременно? Нет, поскольку появление одного из них исключает появление другого.

Такие события называются несовместными. Название само говорит, что события не могут существовать одновременно. 

Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. 

Решим небольшую задачу. На экзамене есть несколько билетов. С вероятностью 0,5 попадется билет по планиметрии. С вероятностью 0,3 попадется билет по экономике. При этом не существует билетов, которые включают обе эти темы. С какой вероятностью на контрольной попадется билет по одной из этих тем?

Представим билеты в виде схемы. Заметим, что нам нужно объединить два из трех кругов, то есть сложить их вероятности. 

Следовательно, вероятность будет равна 0,5 + 0,3 = 0,8.

Сформулируем определение суммы вероятностей двух несовместных событий. 

Если существуют несовместные события, то существуют и совместные. 

Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. 

В магазине работают два консультанта. Один из них занят общением с клиентом. Означает ли это, что второй консультант тоже занят?  Нет, поскольку они работают независимо друг от друга. Если занят первый консультант, второй может быть как занят, так и нет. 

Подбросим игральный кубик и рассмотрим два вида событий. Пусть событие А — это “выпадет число 2”, событие В — “выпадет четное число”. 

Найдем вероятность события А: (frac{1}{6}). 

Для события В всего три благоприятных исхода из шести: выпадет число 2, 4 или 6. Тогда вероятность наступления события В равна (frac{3}{6} = frac{1}{2})

Исключают ли события А и В друг друга? Нет, поскольку если произойдет событие А, произойдет и событие В. Когда произойдет событие В, есть вероятность, что произойдет и событие А. 

Найдем объединение совместных событий на примере кругов. Если мы наложим их друг на друга, то в середине получится как бы два слоя. Проверить это можно, если наложить друг на друга два листа бумаги. 

А нужно получить вот такую картину:

Поэтому для объединения двух кругов нам нужно будет исключить одну из серединок. 

В каких случаях нужно пользоваться формулой со сложением? Достаточно, чтобы задачу можно было сформулировать с помощью “или”. Например, нужно, чтобы выпали темы по планиметрии или по экономике. 

Независимые и зависимые события 

Прогуляемся в магазин за булочками. В упаковке две булочки, а сама упаковка непрозрачная, то есть увидеть булочки до вскрытия упаковки мы не можем. 

Известно, что на заводе, где изготавливаются булочки, 5 из 100 булочек подгорают. Значит, 95 из 100 булочек не подгорают. По классическому определению вероятности находим, что вероятность каждой булочки не подгореть равна (frac{95}{100} = 0,95). 

Какова вероятность, что в упаковке попадутся только не подгорелые булочки? Как найти вероятность сразу для двух булочек?

Ответим на вопрос: зависят ли булочки друг от друга? 

Если подгорит одна из булочек в упаковке, не обязательно подгорит другая. Следовательно, булочки не зависят друг от друга. Такие события называются независимыми. 

Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. 

Определим вероятность независимых событий. 

Пусть вероятность, что подгорела первая булочка, будет равна Р(А) = 0,95, а вероятность для второй булочки будет равна Р(В) = 0,95. 

А чтобы найти вероятность независимых событий, нужно воспользоваться следующей формулой:

(P(A cap B) = P(A) * P(B))

Тогда вероятность, что булочки в одной упаковке не подгорят, равняется P = 0,95 * 0,95 = 0,9025. 

В каком случае нужно пользоваться этой формулой? Нужно подставить союз “и”. 

Мы хотим, чтобы в упаковке первая булочка была не подгорелой и вторая булочка была не подгорелой. 

Приведем еще один пример. В здании два автомата с кофе на разных этажах. Даже если сломается один из них, работа второго не будет зависеть от первого. 

Но если автоматы стоят  рядом и включены в одну розетку, то при поломке одного из них есть вероятность выхода из строя розетки, а значит, и второй автомат тоже сломается. Такие события будут зависимыми: появление одного из них зависит от появления другого. 

Предположим, что в мешке лежит семь кубиков: два из них оранжевые, а пять — фиолетовые. Из мешка дважды вытаскивают кубики. Какова вероятность, достать во второй раз именно фиолетовый кубик?

Нужная последовательность может быть в двух случаях:

• сначала вытащат фиолетовый кубик и потом снова фиолетовый;
• сначала вытащат оранжевый кубик, а потом фиолетовый. 

Разберем первый случай. Вероятность в первый раз вытащить фиолетовый кубик равна (frac{5}{7}). После этого в мешке останется шесть кубиков, четыре из которых будут фиолетовые. 

Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик равна (frac{5}{7} * frac{4}{6} = frac{20}{42} = frac{10}{21}). 

Теперь рассмотрим второй случай. Вероятность в первый раз достать оранжевый кубик равна (frac{2}{7}). В мешке останется шесть кубиков, пять из которых будут фиолетовыми. 

Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик будет уже равна (frac{2}{7} * frac{5}{6} = frac{10}{42} = frac{5}{21}). 

В этом примере очень наглядно видно, что вероятность напрямую зависит от того, какой кубик попался первым. Следовательно, эти события зависимы. 

Как отличить зависимые и независимые события? Если после наступления первого события меняется количество благоприятных и всех исходов, то такие события — зависимые. Если количество благоприятных и всех исходов не меняется, то события независимые.

Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А. 

Условная вероятность обозначается P(B|A). В нашем примере условной вероятностью будет вычисление, что во второй раз попадется именно фиолетовый кубик.   

Найдем вероятность двух зависимых событий. Формула похожа на ту, что используется для независимых событий. Но в этот раз нам нужно применить условную вероятность. 

Формула Бернулли

Рассмотрим случаи, когда испытание повторяется многократно. Для этого еще раз обратимся к игральному кубику. Подбросим кубик 8 раз. Какова вероятность, что цифра 5 выпала ровно три раза?

Пусть p — вероятность, что выпадет цифра 5. Тогда (p = frac{1}{6}). 

Теперь возьмем q — противоположное р событие — вероятность, что цифра 5 не выпадет. (q = frac{5}{6}). 

Обозначим количество всех бросков за n, а количество выпадения цифры 5 за k. 

Чтобы решить задачу, нужно воспользоваться формулой Бернулли. 

(P_n(k) = C_n^k * p^k * q^{n — k}) 

Множитель (C_n^k) — это число сочетаний. Подробнее узнать про сочетания можно в статье «Основы комбинаторики». 

Решим задачу, подставив значения в формулу:

(P_8(3) = C_8^3 * (frac{1}{6})^3 * (frac{5}{6})^5 = frac{8!}{5!3!} * frac{1}{6^3} * frac{5^5}{6^5} = frac{6 * 7 * 8}{1 * 2 * 3} * frac{5^5}{6^8} approx 0,1) 

Фактчек

• Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий. 
• События могут быть противоположными. Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе. 
• События можно разделить на совместные и несовместные. Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей: P(A (cup) B) = P(A) + P(B). Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения: P(A cup B) = P(A) + P(B) — P(A cap B).
• События также можно разделить на независимые и зависимые. Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. Вероятность независимых событий можно найти по формуле P(A cap B) = P(A) * P(B). Зависимые события — это события, появление одного из которых зависит от появления другого. Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило. P(A cap B) = P(A) * P(B | A). 
• Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А. 

Проверь себя

Задание 1. 
Какие события являются несовместными?

1. Подбрасывание монетки.
2. Брак батареек в одной упаковке.
3. “Миша идет” и “Миша стоит”.
4. Случайное вытаскивание конфет из вазы. 

Задание 2. 
Алена делает ошибку при решении задач по математике с вероятностью 0,17. С какой вероятностью она не сделает ошибку при решении задачи?

1. 0,17
2. 1
3. 0,83
4. 1,17 

Задание 3. 
Артем решал задачи на вероятность. Ниже приведены его ответы. В какой из задач он точно совершил ошибку?

1. 1
2. 0,216
3. 0,45
4. 1,5 

Задание 4. 
В упаковке три шариковые ручки. С вероятностью 0,1 такая ручка не будет писать. Найдите вероятность, что все три ручки в упаковке пишут. 

1. 0,3
2. 0,001
3. 2,7
4. 0,729 

Задание 5. 
Перед Дашей лежит несколько карточек. Она случайно переворачивает одну из них. С вероятностью 0,5 на карточке окажется рисунок природы. С вероятностью 0,27 на карточке окажется мотивационная цитата. Карточек и с рисунком, и с цитатой нет. Найдите вероятность, что Дана перевернет карточку или с рисунком, или с цитатой. 

1. 0,77
2. 0,135
3. 0,23
4. -0,23

Ответы: 1. — 3 2. — 3 3. — 4 4. — 4 5. — 1

План урока:

Частота и вероятность

Элементарные события

Противоположные события

Сложение вероятностей

Умножение вероятностей

Условная вероятность

Вероятность и геометрия

Частота и вероятность

В мире происходят события, которые можно предсказать. Например, можно предсказать приезд лифта после того, как человек нажмет кнопку его вызова. Астрономы могут заранее предсказывать солнечные и лунные затмения.

Однако нередко нам приходится иметь дело с событиями, результат которых заранее предсказать невозможно. Не получается заранее сказать, упадет ли монетка при подбрасывании орлом вверх, также как нельзя заранее предсказать поломку прибора. Такие события называются случайными.

Случайные события обычно могут произойти только в определенной ситуации. Так, событие «выпадение решки» может произойти только при броске монеты. В математике подбрасывание монетки будет называться испытанием или экспериментом.

Здесь не следует воспринимать термин «эксперимент» как некое научное исследование. Испытанием может оказаться любая жизненная ситуация. Приведем несколько примеров опытов и соответствующих им случайных событий:

• Бросок кубика с 6 гранями – это эксперимент, а выпадение или невыпадение шестерки на нем – это случайное событие.
• Полет самолета – испытание, а отказ двигателя в полете – это случайное событие.
• Ожидание автобуса на остановке в течение 10 минут – эксперимент, а появление или непоявление автобуса в этот промежуток времени – случайное событие.
• Футбольный матч – опыт, а победа в нем команды хозяев или травма одного из игроков – случайное событие.
• Выстрел из винтовки – испытание, а попадание в мишень – случайное событие.
• Изготовление рабочим детали – эксперимент, а получение бракованной детали – случайное событие.

Здесь важно отметить, что для математики не важно, является ли событие по-настоящему случайным. Возможно, что автобус ходит строго по расписанию, и человек, знающий его, точно может определить, через сколько минут он приедет. Но если рядом стоит другой человек, не знающий этой информации, то для него приезд автобуса будет случайным событием.

Предположим, что есть возможность провести какой-то эксперимент множество раз. Например, кубик можно бросить 500 раз. Обозначим это число, количество экспериментов, как n. В ходе серии этих бросков шестерка выпала, например, 85 раз. Обозначим эту величину, количество произошедших случайных событий, как m. Само событие «выпадение шестерки» обозначим как А. Тогда отношение m/n будет называться частотой случайного события А. В данном случае частота события А равна

85/500 = 0,17

Наблюдения показывают, что если условия экспериментов примерно одинаковы, а их число велико, то частота одного и того же события будет примерно одинаковой. Чем больше число испытаний, тем обычно ближе частота события к некоторому постоянному числу. Это число и называют вероятностью случайного события А.

Грубо говоря, частота и вероятность событий – это примерно одно и то же. Частоту определяют на практике, входе эксперимента, а вероятность можно рассчитать аналитически.

Вероятность – это величина, которая характеризует возможность события произойти. Если она близка к единице, то событие, скорее всего, произойдет. Если она близка к нулю, то событие, скорее всего, не случится. Для обозначения вероятности используется буква Р. Если надо указать вероятность конкретного события А, то его записывают как Р(А).

Вероятность – это безразмерная величина, то есть для нее нет никакой единицы измерения. Она может принимать значение от 0 до 1. Иногда на практике ее указывают в процентах. Например, вероятность 0,5 означает 50%. Чтобы перевести вероятность в проценты, ее надо просто умножить на 100.

Элементарные события

Часто одно случайное событие можно представить как результат нескольких случайных событий. Например, событие «выпадение на кубике четного числа» произойдет в том случае, если случится хотя бы одно из следующих событий:

• выпадет двойка;
• выпадет четверка;
• выпадет шестерка.

Если событие нельзя «разбить» на более простые события, то его называют элементарным событием. Считается, что в ходе испытания может произойти только одно элементарное событие. Так, при броске кубика произойдет одно из 6 элементарных событий:

• выпадет единица;
• выпадет двойка;
• выпадет тройка;
• выпадет четверка;
• выпадет пятерка;
• выпадет шестерка.

В большинстве случаев вероятность элементарных событий одинакова. Действительно, нет причин полагать, что при броске кубика шестерка будет выпадать чаще двойки. Если у двух элементарных событий одинаковая вероятность, то их называют равновозможными событиями.

Если в результате эксперимента происходит одно из равновозможных событий, число которых равно n, то вероятность каждого из них принимается равной дроби 1/n.

Например, при броске кубика может произойти 6 равновозможных событий. Значит, вероятность каждого из них равна 1/6. При броске монетки она может выпасть либо орел, либо решка. Этих событий два, и они равновозможны, поэтому их вероятность равна 1/2, то есть 0,5.

Пример. В урне 20 шариков, один из которых окрашен в желтый цвет. Какова вероятность, что человек, вытаскивающий вслепую один из шариков, вынет именно желтый шар?

Решение. Так как шаров 20, то возможны 20 равновозможных событий, одно из которых – вытаскивание желтого шара. Его вероятность равна 1/20 = 0,05

Ответ: 0,05

Пример. Вася составил произвольную последовательность из букв А, Б, В, Г, Д, и записал ее на бумаге. Каждую букву Вася использовал один раз. Аналогично свою последовательность записал и Петя. Какова вероятность, что они оба загадали одну и ту же последовательность.

Решение. Вася записал перестановку 5 букв. Общее количество таких перестановок равно 5! = 1•2•3•4•5 = 120. Все последовательности равновероятны. Значит, вероятность того, что они совпали, равна 1/120.

Ответ: 1/120

Противоположные события

Заметим, что если сложить вероятности всех элементарных событий, которые возможны в ходе эксперимента, то получится единица. Действительно, при броске монеты возможны два события с вероятностью 1/2. Сумма их вероятностей составляет 1/2 + 1/2 = 1.

Это правило действует и в том случае, когда речь идет о не равновозможных событиях. Так, при выстреле по мишени возможны два варианта развития событий – попадание в цель или промах. Пусть вероятность попадания в цель равна 0,3. Это значит, что вероятность промаха составляет 0,7, так как только в этом случае сумма этих вероятностей будет равна единице:

0,7 + 0,3 = 1

Заметим, что при стрельбе стрелок либо попадет в цель, либо промажет. То есть одно из двух этих событий обязательно произойдет, но только оно одно. Подобные события называют противоположными.

Противоположными являются такие события, как:

• падение монеты либо одной стороной вверх (орлом), либо другой (решкой);
• выпадение четного или нечетного числа на шестигранном кубике;
• изготовление рабочим годной или получение бракованной детали.

Стоит отметить, что победа одной и победа другой команды в футбольном матче – это не противоположные события, так как возможен третий исход – ничья. Однако в ряде спортивных состязаний ничья невозможна, и тогда победы команд – это противоположные события.

Очевидно, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Пример. Вероятность того, что рабочий изготовит годную деталь, оценивается в 0,97. Чему равна вероятность изготовления бракованной детали?

Решение. Изготовление бракованной детали (обозначим это событие как А) и получение годного изделие (событие Б) – это два противоположных события. Их сумма равна единице

Р(А) + Р(B) = 1

По условию Р(А) = 0,97. Тогда

0,97 + Р(В) = 1

Перенесем в равенстве слагаемое 0,97 в правую часть и получим:

Р(B) = 1 – 0,97

Р(В) = 0,03

Ответ: 0,03

Сложение вероятностей

До этого мы рассматривали элементарные события. Однако значительно чаще нас интересуют более сложные события, которые состоят из элементарных. Как рассчитать их вероятность?

Введем понятие несовместных событий.

Так, при броске кубика не может сразу выпасть пятерка и четное число (потому что 5 – это нечетное число). Хоккейный матч не может одновременно окончиться и ничьей, и победой одной из команд.

Заметим, что любые два элементарных события несовместны, также как и любые два противоположных события.

Для несовместных событий справедлива теорема сложения вероятностей.

Пример. В забеге на 1500 метров участвуют два китайца. Эксперты полагают, что вероятность победы Мао Луня составляет 0,16, а шансы Ван Юнпо оцениваются в 0,14. Если эти оценки справедливы, то каковы шансы того, что чемпионом станет китаец?

Решение. Обозначим победу Мао Луня как событие А, а победу Ван Юнпо – как Б. Очевидно, что события несовместны, так как победитель будет лишь один. По Условию Р(А) = 0,16, а Р(В) = 0,14.

Событие «победа китайца» произойдет, если выиграет хоть один из этих спортсменов, поэтому произведем сложение вероятностей:

Р(А или В) = Р(А) + Р(В) = 0,16 + 0,14 = 0,3

Ответ: 0,3

Заметим, что выполнять сложение вероятностей событий можно и в случае, когда несовместных событий больше двух.

Пример. При стрельбе по мишени стрелок выбьет 10 баллов (максимальный результат) с вероятностью 0,2, 9 баллов с вероятностью 0,25, 8 баллов с вероятностью 0,15. Какова вероятность, что стрелок НЕ наберет даже 8 баллов одним выстрелом?

Решение. Здесь несовместные события – это выбивание 10 (событие А), 9 (В) и 8 (С) баллов. Действительно, в ходе одного выстрела стрелок покажет только один результат. Если одно из этих событий случится, то спортсмен получит не менее 8 баллов. Вероятность этого события равна:

Р(А или В или С) = 0,2 + 0,25 + 0,15 = 0,6

Но нас спрашивают о другом, о вероятности того, что стрелок НЕ наберет 8 очков. Очевидно, что он их либо наберет, либо нет. Значит, это противоположные события, поэтому сумма равняется 1. Мы посчитали, что стрелок наберет 8 баллов с вероятностью 0,6. Значит, он не наберет их с вероятностью

1 – 0,6 = 0,4

Ответ: 0,4

Пример. В урне лежит 500 шариков, из которых 120 являются черными. Человек вслепую вытаскивает из урны один шар. Какова вероятность, что он будет черным.

Решение. Присвоим каждому шару номер от 1 до 500, причем первые 120 номеров получат черные шары. Обозначим вероятность того, что вытащат шар с номером n, как Р(n). Очевидно, что события «выбран шар 1», «выбран шар 2», … «выбран шар 500» – это элементарные и равновозможные события. Их вероятность равна 1/500:

Р(1) = Р(2) = Р(3) =…..=Р(500) = 1/500

Эти события несовместны, как и любые элементарные события. Значит, вероятность того, что вытащат черный шар, равна сумме вероятностей:

Р(выбран черный шар) = Р(1) + Р(2) + … + Р(120)

В этой сумме 120 слагаемых, каждое из которых равно 1/500. Следовательно, вся сумма равна произведению 120 и 500

Р(выбран черный шар) = 120•(1/500) = 120/500 = 0,24

Ответ: 0,24

В этом примере рассматривался особый случай, когда все элементарные события (вытаскивание конкретного шарика) равновозможны, и несколько из них приводили к одному событию (вытаскиванию черного шара). В итоге мы получили, что вероятность этого события равна отношению числа «благоприятных» для него равновозможных событий (120) к общему числу этих событий (500). Такой же результат мы получим при рассмотрении любой схожей задачи.

В результате мы получили одну из основных формул теории вероятности.

Пример. Компьютер случайным образом генерирует число от 1 до 200. Вероятность появления каждого числа одинакова. Какова вероятность того, что он сгенерирует число от 51 до 75 (включительно)?

Решение. Задача предполагает 200 равновозможных исходов события. Из них 25 (между 51 и 75 находится 25 чисел) являются «благоприятными». Тогда вероятность описанного события равна отношению 25 к 200:

Р = 25/200 = 1/8 = 0,125

Ответ: 0,125

Ещё раз напомним принципиальный момент. Такой метод решения задач может быть применен только в том случае, когда все элементарные события равновероятны!

Пример. Изготовлено 10 велосипедов, но из них 3 – с дефектом. Необходимо выбрать 4 велосипеда. Каков шанс, что они все будут без дефекта?

Решение. Выбирая 4 велосипеда из 10, мы составляем, с точки зрения комбинаторики сочетание из 10 по 4. Подсчитаем количество возможных сочетаний:

Теперь подсчитаем, сколько можно составить сочетаний, не содержащих дефектный велосипед. Годных велосипедов 10 – 3 = 7, из них надо выбрать 4. Имеем сочетания из 7 по 4:

Вероятность выбора качественных велосипедов равна отношению количества «благоприятных» исходов (их 35) к общему числу возможных исходов:

Р = 35/210 = 1/6

Ответ: 1/6

Пример. В турнире по футболу участвуют команды «Барселона», «Реал», «Атлетико» и «Валенсия». Эксперты полагают, что:

1. шансы «Атлетико» выиграть чемпионат 1,5 раза выше шансов «Валенсии»;
2. шансы «Реала» и «Атлетико» равны;
3. шансы «Барселоны» на победу в 4 раз больше шансов «Реала».

Определите вероятность победы каждой команды в турнире.

Решение.

Обозначим за х вероятность победы «Валенсии». Шансы «Реала» и «Атлетико» в 1,5 раза выше, а потому составляют по 1,5х. Вероятность триумфа «Барселоны» в 4 раза выше, чем у «Реала», а потому составляют 4•1,5х = 6х.

Ясно, что турнир выиграет лишь одна команда, то есть речь идет о несовместных событиях. С другой стороны, какая-то команда обязательно его выиграет, а потому в вероятности побед команд дадут единицу. В результате, используя формулу сложения вероятностей, можно записать уравнение:

х + 1,5х + 1,5х + 6х = 1

10х = 1

х = 0,1

Решив уравнение, мы нашли, что шансы триумфа «Валенсии» составляют всего 0,1. Шансы «Реала» и «Атлетико» равны

1,5х = 1,5•0,1 = 0,15

Вероятность успеха «Барселоны» составляет

6х = 6•0,1 = 0,6

Ответ. «Барселона» – 0,6, «Реал» и «Атлетико» – по 0,15, «Валенсия» – 0,1.

Умножение вероятностей

До этого мы рассматривали сложные события, которые происходили тогда, когда происходило одно из элементарных событий. Например, в забеге, где участвовали два китайца, представитель Поднебесной побеждал, если выигрывал ИЛИ 1-ый китаец, ИЛИ 2-ой. Ключевое слово здесь – ИЛИ.

Однако в некоторых случаях событие происходит лишь тогда, когда происходят одновременно сразу два более простых события. Пусть надо вычислить вероятность того, что при двух подбрасываниях монеты они оба раза упадет на орлом вверх. Возможны 4 случая:

• сначала выпадет орел, потом еще раз орел (назовем этот случай ОО);
• сначала падает орел, а потом решка (ОР);
• первым выпадет решка, а потом орел (РО);
• оба раза выпадет решка (РР).

Все 4 исхода удобно представить в виде таблицы. По вертикали запишем результат 1-ого броска монеты, а по горизонтали – второго:

Видно, что лишь в одном из 4 случаев орел выпадет оба раза. Поэтому вероятность будет равна 1/4, или 0,25.

Этот результат можно было получить иначе. Событие ОО случится, только если случатся два события: Орел выпадет при первом броске,и он же выпадет во второй раз. Вероятность каждого из них равна 1/2, или 0,5. Если перемножить эти две вероятности, то снова получим 0,5•0,5.

Рассмотрим более сложный случай с броском двух шестигранных кубиков. Какова вероятность, что в сумме выпадет ровно 12 очков. Снова построим таблицу, по вертикали укажем результат первого броска, по горизонтали – второго, а в ячейках – выпавшую сумму:

Всего получилась табличка с 36 ячейками. Лишь в одной из них стоит число 12. Эта сумма на кубиках будет лишь тогда, когда на обоих кубиках выпадет по шестерке. Так как ячеек 36, а каждая комбинация равновозможна, то вероятность выпадения 12 равна 1/36. Обратите особое внимание, что, например, семерка записана сразу в 6 ячейках (по диагонали, начиная с нижнего левого угла). Значит, вероятность выпадения семерки за 2 броска равна 6/36 = 1/6. И действительно, на практике 7 очков выпадет у игроков в 6 раз чаще, чем 12. Посчитайте с помощью таблицы самостоятельно, какого вероятность выпадения 10 очков.

Как и в случае с монеткой, число вероятность 1/36 можно получив, перемножив вероятность того, что в первой кости выпадет шестерка (1/6), и того, что на второй кости выпадет она же (1/6):

(1/6)•(1/6) = 1/36

Введем одно важное понятие – независимые события.

Так, какое бы число не выпало на 1-ой кости, вероятность выпадения на второй, например, четверки останется равной 1/6. Как бы ни падала монетка при первом броске, при 2-ом шанс выпадения орла останется равным 1/2.

Для наглядности приведем пример зависимых событий. Пусть А – вероятность победы в забеге одного бегуна, и Р(А) = 0,1. В – вероятность победы второго бегуна, и Р(В) = 0,1. Но очевидно, что победить может лишь один спортсмен. Поэтому, если случится событие А, то вероятность события В изменится – она опустится до нуля.

Таблички, которые мы строили для игры в кости, не всегда удобно использовать, поэтому на практике используют теорему умножения вероятностей.

Ещё раз обратим внимание, что оно действует только для независимых случайных событий.

Пример. Рабочий изготавливает две детали. Вероятность изготовления первой детали с браком составляет 0,05, а второй детали – 0,02. Рабочего оштрафуют, если обе детали будут сделаны с браком. Какова вероятность штрафа для рабочего?

Решение. Штраф выпишут, если одновременно произойдет два независимых события – будет допущен брак при изготовлении И 1-ой, И 2-ой детали. Ключевое слово – И, а не ИЛИ, как в случае со сложением вероятностей. Вероятность такого развития событий найдем, произведя умножение вероятностей:

0,05•0,02 = 0,001

Ответ: 0,001

Умножение вероятностей событий возможно и тогда, когда их больше двух.

Пример. Для победы команды в турнире ей надо выиграть все 4 оставшиеся встречи. Вероятность победы в каждой игре составляет 80%. Какова вероятность победы в турнире?

Решение. Обозначим вероятности победы в отдельных матчах как Р₁, Р₂, Р₃, Р₄. По условию они все равны 0,8. Команда станет чемпионом, только если случатся все события. Вероятность этого можно найти, применив формулу умножения вероятностей:

Р₁ • Р₂ • Р₃ • Р₄ = (0,8)⁴ = 0,4096

Ответ: 0,4096

Пример. В первой партии 4% лампочек бракованы, а во второй – 5%. Из каждой партии берут по лампочке. Какова вероятность того, что обе выбранных лампочки окажутся бракованными? Какова вероятность, что они обе окажутся исправными? Какова вероятность, что ровно одна лампа будет бракованной?

Решение. Обозначим выбор бракованной детали из 1-ой партии как событие «брак-1», а выбор годной детали (годная-1). Эти события противоположны, то есть сумма их вероятностей равна единице.

Р(брак-1) + Р(годная-1) = 1

Р(годная-1) = 1 – Р(брак-1)

По условию Р(брак-1) = 0,04. Следовательно, Р(годная-1) = 1 – 0,04 = 0,96.

Аналогично для второй партии можно записать, что Р(брак-2) = 0,05, Р(годная-2) = 0,95.

Будут выбраны две бракованные детали только в том случае, когда произойдут события Р(брак-1) и Р(брак-2). Вероятность этого, по правилу умножения вероятностей, равна:

0,05•0,04 = 0,002

Две годные детали бут выбраны, если одновременно случатся события Р(годная-1) и Р(годная-2). Это случится с вероятностью

0,95•0,96 = 0,912

Ответ: 0,002; 0,912

Пример. По мишени стреляют из двух орудий. Вероятность попадания из первого орудия составляет 0,3, а из второго – 0,4. С какой вероятностью по мишени попадет ровно одно орудие?

Решение. Пусть событие «попал-1» означает попадание из 1-ого орудия, а «попал-2» – попадание из 2-ого орудия. Казалось бы, нам надо найти вероятность попадания ИЛИ 1-ого, ИЛИ 2-ого орудия. Однако слово ИЛИ здесь не означает, что вероятности можно просто сложить! Вспомним, что закон сложения вероятностей действует только для несовместных событий. Но выстрелы из орудий таковыми не являются, так как возможно одновременное попадание двух снарядов в мишень.

Введем события «промах-1» и «промах-2», означающие промах из 1-ого или второго орудия. Их вероятности составляют

Р(«промах-1») = 1 – Р(«попал-1») = 1 – 0,3 = 0,7

Р(«промах-2») = 1 – Р(«попал-2») = 1 – 0,4 = 0,6

Одно попадание случится в случае, если произойдет одно из двух «сложных» событий:

• событие А – первая пушка стреляет точно, а вторая мажет;
• событие Б – первая пушка мажет, а вторая попадает в цель.

Вероятность события А можно рассчитать так:

Р(А) = Р(«попал-1») •Р(«промах-2») = 0,3•0,6 = 0,18

Аналогично рассчитаем и вероятность Б:

Р(Б) = Р(«попал-2») •Р(«промах-1») = 0,4•0,7 = 0,28

События А и Б несовместны, а потому их вероятности можно сложить

Р(А) + Р(Б) = 0,18 + 0,28 = 0,46

Ответ: 0,46

Условная вероятность

Иногда можно перемножать вероятности событий, не являющихся в полном смысле слова независимыми. Пусть для того, чтобы произошло событие А, необходимо, чтобы последовательно произошли В и С. В зависимости от того, произошло ли В, вероятность С может отличаться. Например, в урне лежат 4 шарика – 2 красных и 2 желтых. Предположим, что произошло событие В – был вытащен красный шар. Его вероятность равна 0,5. Чему тогда равна вероятность события С – вытаскивания желтого шарика? В урне осталось 3 шара, из них 2 желтых, поэтому Р(С) = 2/3.

С другой стороны, пусть В не произошло, то есть первым был вынут желтый шар. Чему тогда равна вероятность С? В урне снова 3 шарика, но лишь 1 из них желтый. Следовательно, Р(С) = 1/3. Получается, что в зависимости от того, случилось ли В, вероятность Р(С) принимает разные значения. В математике такую вероятность называют условной.

Обозначается она так:

Р(С|B).

Первая буква в скобках соответствует событию, для которого указываем вероятность, а вторая буква – событию, которое является условием для С.

Если событие А произойдет тогда, когда свершится сначала В, а потом С, то вероятность А также можно найти с помощью умножения

Р(А) = Р(В)•Р(С|B)

Пример. В урне находится 52 шара, из них на 4 написана буква Т. Из урны последовательно вынимаются два шара. Какова вероятность, что на обоих вытащенных шарах будет буква Т?

Решение. Так как в урне 52 шара, и лишь на 4 есть буква Т, то шанс на то, что первым вытащат именно шар с буквой Т, равен 4/52 = 1/13. Если это событие произошло, то в урне остался 51 шар, и лишь на трех будет находиться нужный символ. Тогда вероятность появления шара с буквой Т составит 3/51 = 1/17. Общая же вероятность появления 2 таких шаров подряд найдется как произведение этих вероятностей:

Р = (1/13)•(1/17) = 1/221 ≈ 0,004525

Эту вероятность можно рассчитать и иначе, по аналогии с задачей про бракованные велосипеды, которая приведена выше. Подсчитаем, сколькими способами можно выбрать 2 шара из 52:

Но всего 6 способами можно выбрать 2 шара из 4:

Поделив число благоприятных исходов на их общее количество, получим искомую вероятность:

Р = 6/1326 = 1/221.

Ответ: 1/221

Пример. Известно, что вероятность мужчины дожить до 90 лет составляет 5,126%, а до 95 лет – 1,326%. С какой вероятностью мужчина, которому уже сейчас 90 лет, доживет до 95 лет?

Решение. Пусть А – это дожитие до 95 лет, С – дожитие 90-летнего мужчины до 95 лет, В – дожитие до 90 лет. Чтобы отпраздновать 95-летие, человек сначала должен отметить 90-летний юбилей, а потом ещё прожить 5 лет. Другими словами, чтобы случилось А, сначала должно случиться В, а потом событие С при условии В. То есть можно записать

Р(А) = Р(В)•Р(С|B)

По условию Р(А) = 0,01326, а Р(В) = 0,05126. Зная это, легко найдем Р(С|B):

Р(А) = Р(В)•Р(С|B)

0,01326 = 0,05126•Р(С|B)

Р(С|B) = 0,01326/0,05126 ≈ 0,2587

Это и есть вероятность мужчины, отметившего 90-ый день рождения, дожить до 95 лет.

Ответ: 0,2587

Вероятность и геометрия

Теория вероятности затрагивает и геометрию. Пусть есть отрезок АВ, в середине которого располагается точка С.

Теперь мы ставим на отрезке АВ случайную точку D. С какой вероятностью она попадет наАС, а с какой на ВС? Так как эти отрезки ничем не отличаются, то можно предположить, что события «попадание точки на АС» и «попадание точки на ВС» являются равновероятными событиями. Так и есть. Их вероятность обоих событий составляет 0,5.

Теперь предположим, что точка С выбрана так, что отрезок АС вдвое короче, чем ВС, то есть ВС = 2 АС:

Чему в этом случае равны вероятности попадания случайной точки D на отрезки АС и ВС? Для ответа на этот вопрос раздели ВС надвое с помощью ещё одной точки K:

Получили три одинаковых отрезка АС, СК и КВ. Раз они одинаковы, то и вероятности случайной точки оказаться на каждом из этих отрезков равны:

Р(АС) = Р(СК) = Р(КВ) = 1/3

Отсюда вероятность попадания точки на ВС равна 2/3:

Р(ВС) = Р(СК) + Р(КВ) = 1/3 + 1/3 =2/3

Получили, что вероятность попадания точки на ВС вдвое выше, чем на АС. И при этом ВС вдвое длиннее. И это не случайно. В общем случае верно следующее правило:

Данное свойство может пригодиться не только в геометрии, но и при решении задач.

Пример. Прохожий пришел на остановку автобуса в случайный момент времени. Он знает, что автобус ходит с интервалом в 40 минут, но не знает, когда отъехал предыдущий автобус. С какой вероятностью автобус придется ждать менее 10 минут?

Решение. Построим схему. На ней время будем откладывать по горизонтальной оси. Отметим точки, соответствующие приезду автобуса (А₁, А₂, А₃, А₄), и точку, соответствующую приходу прохожего (D):

Ясно, что точка D окажется между какими-то двумя точками, которым соответствуют последовательные прибытия поезда.На рисунке это А₂ и А₃. В каком случае время ожидания составить менее 10 минут? В том случае, если точка D окажется на «расстоянии» менее 10 минут от точки А₃, то есть попадет в отрезок ВА₃:

Отрезок ВА₃ вчетверо короче отрезка А₂А₃, поэтому вероятность точку D попасть на него составляет 1/4. Именно такова вероятность, что прохожему придется ждать автобус менее 10 минут.

Ответ: 1/4

В случае, когда точка случайным образом ставится не на отрезке, а на плоской фигуре, то справедливо следующее правило:

Пример. В треугольнике АВС проведена средняя линия NM. С какой вероятностью случайная точка, отмеченная на треугольнике АВС, попадет и на треугольник ANM?

Решение. Средняя линия NM параллельна стороне ВС (это свойство средней линии), а потому равны углы АNM и АВС (соответственные углы при параллельных прямых). Это значит, что треугольники АВС и ANM подобны по двум равным углам. Коэффициент подобия равен 1/2, так как AN/АВ = 1/2. Известно, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия, поэтому площадь АMN в 4 раза меньше площади АВМ. По условию точка гарантированно попадает в АВС, то есть вероятность этого события равна 1. Тогда вероятность попадания точки в АNM будет в 4 раза меньше и составит 1/4 .

Ответ:1/4.