Как найти tg2 альфа

На странице вы найдете все формулы тригонометрии в удобном для использования оформлении. Формулы структурированы в блоки по количеству аргументов, степеням, арифметическим операциям над ними.

Все формулы тригонометрии

Основные тригонометрические тождества

tg alpha = dfrac {sin alpha}{ cos alpha} = dfrac{1}{ctg alpha}

---

ctg alpha = dfrac {cos alpha}{ sin alpha} = dfrac{1}{tg alpha}

---

sin ^2 alpha + cos ^2 alpha = 1

---

1+tg^2alpha=dfrac{1}{cos^2alpha}

---

1+ctg^2alpha=dfrac{1}{sin^2alpha}

---

tgalpha cdot ctgalpha=1

Формулы двойного угла (аргумента)

sin(2alpha)=2 cdot cos alpha cdot sin alpha

---

sin(2alpha)=dfrac{2 cdot tg alpha}{1+tg ^2 alpha}=dfrac{2 cdot ctg alpha}{1+ctg ^2 alpha}=dfrac{2}{tg alpha + ctg alpha}

---

cos(2alpha)=cos ^2 alpha- sin ^2 alpha = 2 cdot cos ^2 alpha- 1 = 1- 2 cdot sin ^2 alpha

---

cos(2alpha)=dfrac{1 -tg ^2 alpha}{1+tg ^2 alpha}=dfrac{ctg ^2 alpha- 1}{ctg ^2 alpha +1}=dfrac{ctg alpha-tg alpha}{ctg alpha + tg alpha}

---

tg(2alpha) = dfrac{2 cdot tg alpha}{1-tg ^2 alpha}=dfrac{2 cdot ctg alpha}{ctg ^2 alpha- 1}=dfrac{2}{ctg alpha- tg alpha}

---

ctg(2alpha) = dfrac{ctg ^2 alpha-1}{2 cdot ctg alpha}=dfrac{ctg alpha- tg alpha}{2}

Формулы тройного угла (аргумента)

sin(3alpha)=3 cdot sin alpha- 4 cdot sin ^3 alpha

---

cos(3alpha)= 4 cdot cos ^3 alpha- 3 cdot cos alpha

---

tg(3alpha)= dfrac{3 cdot tg alpha- tg ^3 alpha}{1-3 cdot tg ^2 alpha}

---

ctg(3alpha)= dfrac{ctg ^3 alpha- 3 cdot ctg alpha}{3 cdot ctg ^2 alpha -1}

Формулы понижения степени тригонометрических функций

Вторая степень

sin ^2 alpha = dfrac{1-cos(2alpha)}{2}

---

cos ^2 alpha = dfrac{1+cos(2alpha)}{2}

---

tg ^2 alpha = dfrac{1-cos(2alpha)}{1+cos(2alpha)}

---

ctg ^2 alpha = dfrac{1+cos(2alpha)}{1-cos(2alpha)}

---

(sin alpha- cos alpha)^2=1-sin(2 alpha)

---

(sin alpha+ cos alpha)^2=1+sin(2 alpha)

Третья степень

sin ^3 alpha = dfrac{3 cdot sin(alpha)-sin(3 alpha)}{4}

---

cos ^3 alpha = dfrac{3 cdot cos(alpha)+cos(3 alpha)}{4}

---

tg ^3 alpha = dfrac{3 cdot sin (alpha)-sin(3 alpha)}{3 cdot cos (alpha)+cos(3 alpha)}

---

ctg ^3 alpha = dfrac{3 cdot cos (alpha)+cos(3 alpha)}{3 cdot sin (alpha)-sin(3 alpha)}

Четвёртая степень

sin ^4 alpha = dfrac{3-4 cdot cos(2 alpha)+cos(4 alpha)}{8}

---

cos ^4 alpha = dfrac{3+4 cdot cos(2 alpha)+cos(4 alpha)}{8}

---

Пятая степень

sin ^5 alpha = dfrac{10 cdot sin(alpha)-5 cdot sin(3 alpha)+sin(5 alpha)}{16}

---

cos ^5 alpha = dfrac{10 cdot cos(alpha)+5 cdot cos(3 alpha)+cos(5 alpha)}{16}

Формулы половинного угла (аргумента)

sin Big( dfrac{alpha}{2} Big)=pm sqrt{dfrac{1-cos alpha}{2}}

---

cos Big( dfrac{alpha}{2} Big)=pm sqrt{dfrac{1+cos alpha}{2}}

---

tg Big( dfrac{alpha}{2} Big)= dfrac{1-cos alpha}{sin alpha}= dfrac{sin alpha}{1+cos alpha}

---

ctg Big( dfrac{alpha}{2} Big)= dfrac{1+cos alpha}{sin alpha}= dfrac{sin alpha}{1-cos alpha}

Формулы понижения степени половинного угла (аргумента)

sin ^2 Big( dfrac{alpha}{2} Big)=dfrac{1-cos alpha}{2}

---

cos ^2 Big( dfrac{alpha}{2} Big)=dfrac{1+cos alpha}{2}

---

tg ^2 Big( dfrac{alpha}{2} Big)=dfrac{1-cos alpha}{1+cos alpha}

---

ctg ^2 Big( dfrac{alpha}{2} Big)=dfrac{1+cos alpha}{1-cos alpha}

Формулы сложения аргументов

sin(alpha + beta)=sin alpha cdot cos beta + cos alpha cdot sin beta

---

cos(alpha + beta)=cos alpha cdot cos beta- sin alpha cdot sin beta

---

tg(alpha + beta)= dfrac{tg alpha + tg beta}{1-tg alpha cdot tg beta}

---

ctg(alpha + beta)= dfrac{ctg alpha cdot ctg beta-1}{ctg alpha + ctg beta}

Формулы вычитания аргументов

sin(alpha- beta)=sin alpha cdot cos beta- cos alpha cdot sin beta

---

cos(alpha- beta)=cos alpha cdot cos beta+ sin alpha cdot sin beta

---

tg(alpha- beta)= dfrac{tg alpha- tg beta}{1+tg alpha cdot tg beta}

---

ctg(alpha- beta)= dfrac{ctg alpha cdot ctg beta+1}{ctg beta — ctg alpha}

Формулы суммы тригонометрических функций

sin alpha+ sin beta=2 cdot sin big( dfrac{alpha + beta}{2} big) cdot cos big( dfrac{alpha- beta}{2} big)

---

cos alpha+ cos beta=2 cdot cos big( dfrac{alpha + beta}{2} big) cdot cos big( dfrac{alpha- beta}{2} big)

---

tg alpha + tg beta = dfrac{sin(alpha + beta)}{cos alpha cdot cos beta}

---

ctg alpha + ctg beta = dfrac{sin(alpha + beta)}{cos alpha cdot cos beta}

---

sin (alpha)+cos(alpha)=sqrt{2} cdot sin Big( alpha+ dfrac{pi}{4} Big)

Формулы разности тригонометрических функций

sin alpha- sin beta=2 cdot sin big( dfrac{alpha- beta}{2} big) cdot cos big( dfrac{alpha+ beta}{2} big)

---

cos alpha- cos beta=-2 cdot sin big( dfrac{alpha + beta}{2} big) cdot sin big( dfrac{alpha- beta}{2} big)

---

tg alpha- tg beta = dfrac{sin(alpha- beta)}{cos alpha cdot cos beta}

---

ctg alpha- ctg beta = dfrac{sin(alpha + beta)}{sin alpha cdot sin beta}

---

sin (alpha)-cos(alpha)=sqrt{2} cdot sin Big( alpha- dfrac{pi}{4} Big)

Формулы произведения тригонометрических функций

sin alpha cdot sin beta = dfrac{cos (alpha- beta)-cos(alpha + beta)}{2}

---

sin alpha cdot cos beta = dfrac{sin (alpha- beta)+sin(alpha + beta)}{2}

---

cos alpha cdot cos beta = dfrac{cos (alpha- beta)+cos(alpha + beta)}{2}

---

tg alpha cdot tg beta = dfrac{cos(alpha- beta)- cos(alpha+beta)}{cos(alpha- beta)+ cos(alpha+beta)}=dfrac{tg alpha + tg beta}{ctg alpha + ctg beta}

---

ctg alpha cdot ctg beta = dfrac{cos(alpha- beta)+ cos(alpha+beta)}{cos(alpha- beta)- cos(alpha+beta)}=dfrac{ctg alpha + ctg beta}{tg alpha + tg beta}

---

tg alpha cdot ctg beta = dfrac{sin(alpha- beta)+ sin(alpha+beta)}{sin(alpha+ beta)- sin(alpha-beta)}

Формулы произведения тригонометрических функций в степени

sin ^2 (alpha) cdot cos ^2 (alpha) = dfrac{1-cos(4 alpha)}{8}

---

sin ^3 (alpha) cdot cos ^3 (alpha) = dfrac{3 cdot sin(2 alpha)- sin(6 alpha)}{32}

---

sin ^4 (alpha) cdot cos ^4 (alpha) = dfrac{3-4 cdot cos(4 alpha)+ cos(8 alpha)}{128}

---

sin ^5 (alpha) cdot cos ^5 (alpha) = dfrac{10 cdot sin (2 alpha)-5 cdot sin(6 alpha)+sin (10 alpha)}{512}

Все формулы тригонометрии на одном листе

На этой картинке собраны все формулы тригонометрии для печати. Лист можно распечатать и использовать при решении задач ЕГЭ или вырезать таблицы и использовать как шпаргалку. Распечатанный лист можно применять как справочный материал при решении задач по тригонометрии в 10 и 11 классе.

В данной статье мы с вами разберём некоторые задачи связанные с выражениями. Задания данной группы довольно разнообразны. Если вы запомнили свойства степеней, корней и логарифмов, знаете основные формулы тригонометрии, и постоянно практикуетесь, то большинство задач для вас никакого труда не представят.

Относительную сложность могут вызывать следующие:

— преобразования буквенных иррациональных выражений
— вычисление значений тригонометрических выражений
— преобразования тригонометрических выражений

Если перечислить все группы задач, то они довольно разнообразны.

Здесь мы с вами разберём задачи на вычисление значений тригонометрических выражений. Конечно, все их в одной статье разобрать невозможно. Но мы обязательно разберём и другие примеры, не пропустите!

Итак, что обязательно вы должны знать и всегда помнить? Это знаки тригонометрических функций в четвертях. ЭТО ВАЖНО!!!

Как  осознать эту  информацию и понять  следствием чего она является –  об этом будет отдельная статья (если вы это знаете, то прекрасно). Пока предлагаю пока просто запомнить:

Основное тригонометрическое тождество:

Формулы тангенса и котангенса:

Выполняются элементарные алгебраические преобразования:

1. Числитель и знаменатель дроби можем умножать и делить на одно и тоже число.
2. Левую и правую часть уравнения можем умножать и делить на одно и тоже число.

В представленных ниже заданиях используется основное тригонометрическое тождество и формула тангенса.

Найдите тангенс альфа, если

В этом и подобных примерах необходимо знать основное тригонометрическое тождество (его вообще нужно помнить всегда), а также формулу тангенса:

Косинус угла нам известен. Из формулы основного тригонометрического тождества  мы можем найти значение синуса. Затем подставить их в формулу тангенса.

Теперь ВАЖНЫЙ момент: необходимо определить знак синуса для интервала (3Пи/2;2Пи). Это интервал от 270 до 360 градусов (четвёртая четверть).  Как переводить радианы в градусы можно посмотреть здесь. Значение синуса в этой четверти отрицательное, поэтому:

Таким образом:

Ответ: – 0,5

Найдите tg α, если

В этом и подобных примерах необходимо знать основное тригонометрическое тождество (его вообще нужно помнить всегда), а также формулу тангенса:

Cинус угла нам известен. Из формулы основного тригонометрического тождества  мы можем найти значение косинуса. Затем подставить их в формулу тангенса.

Определяем знак косинуса для интервала (Пи/2;Пи). Это интервал  от 90 до 180 градусов (вторая четверть). Значение косинуса в этой четверти отрицательное (смотрите эскиз). Поэтому

Таким образом:

Ответ: – 0,25

Найдите 5·cos α, если синус альфа

Необходимо найти косинус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что cos²x = 1– sin²x и

Определим знак косинуса. Угол принадлежит интервалу (3Пи/2;2Пи).

Это интервал от 270 до 360 градусов  (четвёртая четверть).  Значение косинуса в этой четверти  положительное, поэтому:

Таким образом, 5·cos α = 5∙0,7 = 3,5

Ответ: 3,5

Найдите 0,1·sin α, если

Необходимо найти синус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что sin²x = 1– cos²x  и

Определим знак синуса. Угол принадлежит интервалу (0; Пи/2).

Это интервал от 0 до 90 градусов  (первая четверть).  Значение синуса в этой четверти  положительное, поэтому:

Таким образом 0,1·sin α = 0,1∙0,3 = 0,03

Ответ: 0,03

Общая рекомендация для следующих данных примеров! Если требуется найти тангенс аргумента (квадрат  тангенса), то осуществляем деление на косинус (квадрат косинуса). Если требуется найти котангенс аргумента (квадрат  котангенса), то осуществляем деление на синус (квадрат синуса). Примеры:

65217. Найдите tg² α, если  3sin² α + 8 cos² α = 7

Требуется найти квадрат тангенса. Разделим обе части уравнения на cos² α, получим:

Второй способ:

Далее по формуле основного тригонометрического тождества можно найти квадрат синуса и используя формулу тангенса вычислить уже его квадрат:

Ответ: 0, 25

65269. Найдите

Преобразуем данное выражение так, чтобы в числителе и знаменателе был тангенс. Разделим числитель и знаменатель на cos α, получим:

Ответ: – 0,5

65273. Найдите

Здесь дано значение тангенса. Необходимо сделать так, чтобы в выражении у нас был тангенс. Вынесем cosα за скобки в числителе и знаменателе (или разделим числитель и знаменатель на  cosα), получим:

Подставим значение тангенса данное в условии, получим:

*Косинус у нас сократился.

Ответ: 4

65363. Найдите tg α, если

В левой части в числителе и знаменателе вынесем cosα за скобки, получим:

Ответ: 0,4

65423. Найдите tg α, если

Умножим обе части уравнения на  4 (2sinα+cosα+1)

Ответ: –1,9

26775. Найдите tg α, если

Посмотреть решение

26776. Найдите tg α, если

Посмотреть решение

26777. Найдите 3cos α, если

Посмотреть решение

26778. Найдите 5sin α, если

Посмотреть решение

26787. Найдите  tg² α, если

Посмотреть решение

26788. Найдите

Посмотреть решение

26789. Найдите

Посмотреть решение

26790. Найдите tg α, если

Посмотреть решение

26791. Найдите tg α, если

Посмотреть решение

Подведём итог, для решения подобных примеров вы:

1. Должны знать на зубок основные формулы тригонометрии.
2. Не забывать определять знак (+ или -) для тригонометрических функций в четвертях. Потерянный знак на экзамене – это ошибка и потерянный бал, будьте внимательны!!!

Надеюсь, что материал был для вас полезен.

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

(1)  Основное тригонометрическое тождество sin²(α) + cos²(α) = 1

(2)  Основное тождество через тангенс и косинус (3)  Основное тождество через котангенс и синус

(4)  Соотношение между тангенсом и котангенсом tg(α)ctg(α) = 1 (5)  Синус двойного угла sin(2α) = 2sin(α)cos(α) (6)  Косинус двойного угла cos(2α) = cos²(α) – sin²(α) = 2cos²(α) – 1 = 1 – 2sin²(α) (7)  Тангенс двойного угла

tg(2α) =

2tg(α) 1 – tg2(α)

(8)  Котангенс двойного угла

ctg(2α) =

ctg2(α) – 1   2ctg(α)

(9)  Синус тройного угла sin(3α) = 3sin(α)cos²(α) – sin³(α) (10)  Косинус тройного угла cos(3α) = cos³(α) – 3cos(α)sin²(α) (11)  Косинус суммы/разности cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) (12)  Синус суммы/разности sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)

(13)  Тангенс суммы/разности (14)  Котангенс суммы/разности (15)  Произведение синусов sin(α)sin(β) = ½(cos(α–β) – cos(α+β)) (16)  Произведение косинусов cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α–β)) (17)  Произведение синуса на косинус sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α–β)) (18)  Сумма/разность синусов sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19)  Сумма косинусов cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α–β)) (20)  Разность косинусов cos(α) – cos(β) = –2sin(½(α+β))sin(½(α–β))

(21)  Сумма/разность тангенсов

(22)  Формула понижения степени синуса sin²(α) = ½(1 – cos(2α)) (23)  Формула понижения степени косинуса cos²(α) = ½(1 + cos(2α))

(24)

 Сумма/разность синуса и косинуса (25)  Сумма/разность синуса и косинуса с коэффициентами (26)  Основное соотношение арксинуса и арккосинуса arcsin(x) + arccos(x) = π/2 (27)  Основное соотношение арктангенса и арккотангенса arctg(x) + arcctg(x) = π/2

Определение тангенса угла

Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Катетами являются стороны, которые образуют прямой угол в треугольнике, соответственно, гипотенузой является третья (самая длинная) сторона.

Для простоты запоминания можно дать такое определение: тангенс угла — это отношение дальнего от рассматриваемого угла катета к ближнему катету.

В случае с рисунком, описанным выше: tg⁡α=abtgalpha=frac{a}{b}

Тангенс можно найти напрямую пользуясь данной формулой, а можно и через тригонометрические тождества. Разберем подробнее задачи.

Задача 1

В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см6text{ см} и 8 см8text{ см}. Найдите тангенс угла, близлежащего к меньшей стороне.

Решение

a=8a=8
b=6b=6

tg⁡α=ab=86≈1.33tgalpha=frac{a}{b}=frac{8}{6}approx1.33

Ответ

1.331.33

Формулу:

tg⁡α=abtgalpha=frac{a}{b}

Можно записать в следующем виде:

tg⁡α=sin⁡αcos⁡αtgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}

Проверим истинность данного выражения. Подставим вместо синуса и косинуса их определения:

tg⁡α=sin⁡αcos⁡α=acbc=abtgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}=frac{frac{a}{c}}{frac{b}{c}}=frac{a}{b}

Получили первичное равенство, значит выражение для тангенса через отношение синуса к косинусу верно.

Решим задачу, пользуясь этой формулой.

Задача 2

По условию задачи известен косинус угла, равный 32frac{sqrt{3}}{2} и синус того же угла, равный 12frac{1}{2}. Найдите тангенс данного угла.

Решение

cos⁡α=32cosalpha=frac{sqrt{3}}{2}

sin⁡α=12sinalpha=frac{1}{2}

tg⁡α=sin⁡αcos⁡α=1232=13tgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}=frac{frac{1}{2}}{frac{sqrt{3}}{2}}=frac{1}{sqrt{3}}

Ответ

13frac{1}{sqrt{3}}

Еще одно тождество помогает решить задачи, связанные с тангенсом:

1+tg⁡2α=1cos⁡2α1+tg^2alpha=frac{1}{cos^2alpha}

Оно появляется путем деление каждого слагаемого основного тождества тригонометрии на квадрат косинуса.

Задача 3

Известен квадрат косинуса угла в прямоугольном треугольнике, равный 0.80.8. Нужно найти тангенс этого угла.

Решение

cos⁡2α=0.8cos^2alpha=0.8

1+tg⁡2α=1cos⁡2α1+tg^2alpha=frac{1}{cos^2alpha}

1+tg⁡2α=10.81+tg^2alpha=frac{1}{0.8}

1+tg⁡2α=1.251+tg^2alpha=1.25

tg⁡2α=0.25tg^2alpha=0.25

tg⁡α=0.25tgalpha=sqrt{0.25}

tg⁡α=0.5tgalpha=0.5

Ответ

0.50.5

У вас есть трудности с вычислением тангенса? Можете заказать задачу по математике у наших экспертов!

Тест по теме “Вычисление тангенса”