Как найти tgx на окружности - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

29
Июн 2013

Категория: Справочные материалы

Значения тангенса и котангенса на тригонометрическом круге

2013-06-29
2016-08-04

В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.

Как же быть с тангенсом и котангенсом? Об этом и поговорим сегодня.

Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?

Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).

Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).

На каждой из осей располагается вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: $-sqrt3,;;-1,;frac{-sqrt3}{3},;0,;frac{sqrt3}{3},;1,;sqrt3.$ Почему так?

Я думаю, вы легко сообразите и сами. Можно по-разному рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что $tgalpha=frac{sinalpha}{cosalpha}$ и $ctgalpha=frac{cosalpha}{sinalpha}.$

Изучаем картинку:

Собственно, картинка за себя сама говорит.

Если не очень все же понятно, разберем примеры:

Пример 1.

Вычислить $tg :300^{circ}$

Решение:

Находим на круге $300^{circ}$ . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что $tg :300^{circ}=-sqrt3.$

Ответ:

Пример 2.

Вычислить $tg :90^{circ}$

Решение:

Находим на круге $90^{circ}$ . Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.

$tg :90^{circ}$ не существует.

Ответ: не существует

Пример 3.

Вычислить $tg:frac{11pi}{4}$

Решение:

$frac{11pi}{4}=frac{12pi}{4}-frac{pi}{4}=3pi-frac{pi}{4}.$

Находим на круге точку (это та же точка, что и ) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем $frac{pi}{4}$ ( $45^{circ}$ ). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как $135^{circ}$ . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение .

Так значит, $tg:frac{11pi}{4}=-1.$

Ответ:

Пример 4.

Вычислить $ctg:840^{circ}$

Решение:

$840^{circ}=2cdot 360^{circ}+120^{circ}.$

Поэтому от точки $0^{circ}$ (именно там будет $2cdot 360^{circ}$ ) откладываем против часовой стрелки $120^{circ}$ .

Выходим на ось котангенсов, получаем, что $ctg:840^{circ}=-frac{sqrt3}{3}.$

Ответ: $-frac{sqrt3}{3}.$

Пример 5.

Вычислить $ctg:270^{circ}$

Решение:

Находим на круге $270^{circ}$ . Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что $ctg:270^{circ}=0.$

Ответ:

Теперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройти тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».

Автор: egeMax |

комментариев 6

Печать страницы

Источник

Развертка тангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла
Свойства функции y=tgx
Примеры

п.1. Развертка тангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла

При движении точки по числовой окружности на вертикальной касательной, проведенной через точку (1;0), отображаются значения тангенсов соответствующих углов (см. §3 данного справочника).

Рассмотрим, как изменяется тангенс, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=tgx на этом отрезке.

Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривые продолжатся вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x<0, кривые продолжатся влево.

В результате получаем график y=tgx для для всех x из области допустимых значений.

График y=tgx называют тангенцоидой.
Часть тангенцоиды c (-fracpi2lt xlt fracpi2) называют главной ветвью тангенцоиды.

п.2. Свойства функции y=tgx⁡

1. Область определения (xnefracpi2+pi k) — множество действительных чисел, кроме точек, в которых (cosx=0).

2. Функция не ограничена сверху и снизу. Область значений (yinmathbb{R})

3. Функция нечётная $$ tg(-x)=-tgx $$

4. Функция периодическая с периодом π $$ tg(x+pi k)=tgx $$

5. Функция стремится к (+infty) при приближении слева к точкам (x=fracpi2+pi k).
Приближение к точке a слева записывается как (xrightarrow a-0) $$ lim_{xrightarrowfracpi2+pi k-0} tgx=+infty $$ Функция стремится к (-infty) при приближении справа к точкам (x=fracpi2+pi k).
Приближение к точке a справа записывается как (xrightarrow a+0) $$ lim_{xrightarrowfracpi2+pi k+0} tgx=-infty $$ Нули функции (y_{0}=0) достигаются в точках (x_0=pi k)

6. Функция возрастает на всей области определения.

7. Функция имеет разрывы в точках (x=fracpi2+pi k), через эти точки проходят вертикальные асимптоты. На интервалах между асимптотами (left(-fracpi2+pi k; fracpi2+pi kright)) функция непрерывна.

п.3. Примеры

Пример 1.Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=tgx на заданном промежутке:

a) (left[frac{2pi}{3}; frac{3pi}{2}right)) $$ y_{min}=tgleft(frac{2pi}{3}right)=-sqrt{3}, y_{max}=lim_{xrightarrowfrac{3pi}{2}-0}tgx=+infty $$ б) (left(frac{pi}{2}; piright]) $$ y_{min}=lim_{xrightarrowfrac{pi}{2}+0}tgx=-infty, y_{max}=tg(pi)=0 $$ в) (left[frac{3pi}{4}; frac{7pi}{6}right]) $$ y_{min}=tgleft(frac{3pi}{4}right)=-1, y_{max}=tgleft(frac{7pi}{6}right)=frac{1}{sqrt{3}} $$

Пример 2. Решите уравнение:
a) (tgx=-sqrt{3})
Бесконечное множество решений: (x=frac{2pi}{3}+pi k, kinmathbb{Z})

б) (tgleft(x-fracpi2right)=0)
(x-fracpi2=pi k)
Бесконечное множество решений: (x=frac{pi}{2}+pi k, kinmathbb{Z})

в) (tg(2x)=1)
(2x=fracpi4+pi k)
Бесконечное множество решений: (x=frac{pi}{8}+frac{pi k}{2}, kinmathbb{Z})

г) (tgleft(frac{x}{3}-1right)=-1)
(frac{x}{3}-1=-frac{pi}{4}+pi k)
(frac{x}{3}=1-frac{pi}{4}+pi k)
Бесконечное множество решений: (x=3-frac{3pi}{4}+3pi k, kinmathbb{Z})

Пример 3. Определите чётность функции: a) (y(x)=4tgx+5sinx)
$$ y(-x)=4tg(-x)+5sin(-x)=-4tgx-5sinx=-(4tgx+5sinx)=-y(x) $$ Функция нечётная.

б) (y(x)=tgx-2cosx)
$$ y(-x)=tg(-x)-2cos(-x)=-tgx-2cosx=-(tgx+2cosx)ne left[ begin{array} -y(x)\ y(x) end{array} right. $$ Функция ни чётная, ни нечётная.

в) (y(x)=tg^2x+cos5x)
$$ y(-x)=tg^2(-x)+cos(-5x)=(-tgx)^2+cos5x=tg^2x+cos5x)=y(x) $$ Функция чётная.

г) (y(x)=x^2-tgx)
$$ y(-x)=(-x)^2-tg(-x)=x^2+tgxne left[ begin{array} -y(x)\ y(x) end{array} right. $$ Функция ни чётная, ни нечётная.

Пример 4. Если (tg(7pi-x)=frac34), то чему равны (tgx, ctgx)?
Т.к. период тангенса равен π, получаем: begin{gather*} tg(7pi-x)=tg(-x)=-tgx=frac34Rightarrow tgx=-frac34\ ctgx=frac{1}{tgx}=-frac43 end{gather*} Ответ: (-frac34, -frac43)

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №5. Свойства и график функции y=tgx и y=ctg x

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Изучение и объяснение свойств функций y=tgx и y=ctgx с помощью графика;
Определение свойств и положения графика тригонометрических функций вида y=|tg(k|x|+b)| y=|ctg(k|x|+b|;
Объяснение зависимости свойств и положения графика функции вида y=|tg(k|x|+b)| и y=|ctg(k|x|+b| от значения коэффициентов k,b.

Глоссарий по теме

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.

Тангенсоида –график функции у = tgx; плоская кривая, изображающая изменение тангенса в зависимости от изменения его аргумента (угла).

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].–Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. ;

Ответ:

Объяснение нового материала

Изучение свойств функции y=tgx начнем с построения графика. Обратимся к единичной окружности:

рис.1 Тригонометрический круг

Переносим основные значения углов на координатную плоскость. По оси абсцисс откладываем угол в радианах, по оси ординат – значения тангенса угла.

рис.2 График y=tgx на промежутке

Как любая тригонометрическая функции, функция тангенса периодическая, делая параллельный перенос получаем:

рис.3 График y=tgx

Заметим, что график симметричен относительно начала координат, следовательно функция тангенса нечётная. Используя построенный нами график, выведем основные свойства y=tgx:

1. Область определения функции y = tgx все действительные числа, кроме чисел вида

2. Функция периодическая с периодом , т.к.

3. Функция нечётная, т.к. . График нечётной функции симметричен относительно начала координат;

4. Функция возрастает на всём интервале;

5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

7. Функция принимает:

значение, равное 0, при ;
положительные значения на интервале
отрицательные значения на интервале

Для построения графика можно придерживаться алгоритму рассмотренному при построении графика , однако (формула приведения). Т.е. смещая тангенсоиду на единиц влево и делаем симметрию относительно оси Ох за счёт коэффициента –1, получаем:

рис.3 График y=сtgx

Основные свойства y=сtgx:

1. Область определения функции y = сtgx все действительные числа, кроме чисел вида

2. Функция периодическая с периодом ;

3. Функция нечётная. График нечётной функции симметричен относительно начала координат;

4. Функция убывает на всём интервале;

5. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6. .

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

Найдем все корни уравнения , принадлежащие отрезку .

Построим графики функций и (рис. 6)

Рис. 4 – графики функций и .

Графики пересекаются в трёх точках, абсциссы которых являются корнями уравнения .

Ответ:

Пример 2. Найти все решения неравенства , принадлежащие отрезку .

рис.5 графики функций и

Графики пересекаются в трёх точках, абсциссы которых являются корнями уравнения .

Ответ:

Объяснение и обоснование

Напомним, что . Таким образом, областью определения функции y=будут все значения аргумента, при которых , то есть все значения x, kZ. Получаем

Этот результат можно получить и геометрически. Значения тангенса – это ордината соответствующей точки на линии тангенсов (рис.91). Поскольку точки Aи B единичной окружности лежат на прямых ОА и ОВ, параллельных линии тангенсов, мы не сможем найти значение тангенса дляx, kZ.

Для всех других значений аргумента мы можем найти соответствующую точку на линии тангенсов и ее ординату — тангенс. Следовательно, все

Значенияx входят в область определения функции y=tgx.

Для точек единичной окружности (которые не совпадают с точками А и В) ординаты соответствующих т

очек на линии тангенсов принимают

все значения до +, поскольку для любого действительного числа

мы можем указать соответствующую точку на оси ординат, а значит, и соответствующую точку на оси тангенсов. Учитывая, что точка О лежит

внутри окружности, а точка вне ее (или на самой окружности), получаем, что прямая имеет с окружностью хотя бы одну общую точку

(на самом деле их две). Следовательно, для любого действительного числа

найдется аргумент х, такой, что tan x равен данному действительному числу.

Поэтому область значений функции y= tg x — все действительные числа,

то есть R. Это можно записать так: E (=tgx) = R. Отсюда следует, что наибольшего и наименьшего значений функция tan x не имеет.

Как было показано в § 13, тангенс — нечетная функция:tg(-x)=tg x, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

Тангенс — периодическая функция с наименьшим положительным периодом

Поэтому при построении графика

этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной π,

а потом полученную линию перенести параллельно вправо и влево вдоль оси

Ox на расстоянияkT = πk, где k — любое натуральное число.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат,

напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда соответствующее значение

y = tg 0 = 0, то есть график функции y = tg x проходит через начало координат.

На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x,

при которых tg x, то есть ордината соответствующей точки линии тангенсов, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при x = πk, k ∈ Z.

Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения

функции тангенс положительны (то есть ордината соответствующей точкилинии тангенсов положительна) в І и ІІІ четвертях. Следовательно, tgx > 0 при

а также, учитывая период, при всех

Значения функции тангенс отрицательны (то есть ордината соответствующей точки линии тангенсов отрицательна) во ІІ и ІV четвертях. Такимобразом,

Промежутки возрастания и убывания.

Учитывая периодичность функции tgx (период T = π), достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной π,

например на промежутке . Если x (рис. 92), то при увеличении аргумента x (x2>x1) ордината соответствующей точки линии

тангенсов увеличивается (то есть tgx2>tgx1). Таким образом, на этом

промежутке функция tgx возрастает. Учитывая периодичность функции

tgx, делаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график

функции y = tg x. Учитывая периодичность этой функции (с периодом π),

сначала построим график на любом промежутке длиной π, например на промежутке . Для более точного построения точек графика воспользуемся также тем, что значение тангенса — это ордината соответствующей точки

линии тангенсов. На рисунке 93 показано построение графика функции

y = tg x на промежутке.

Далее, учитывая периодичность тангенса (с периодом π), повторяем вид

графика на каждом промежутке длиной π (то есть параллельно переносим

график вдоль оси Ох на πk, где k — целое число).

Получаем график, приведенный на рисунке 94, который называется тангенсоидой.

14.4. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = ctg x И ЕЕ ГРАФИК

Объяснение и обоснование

Так как =, то областью определения котангенса будут все значения аргумента, при которых sin х ≠ 0, то есть x ≠ πk, k ∈ Z. Такимобразом,

D (ctg x): x ≠ πk, k ∈ Z.

Тот же результат можно получить, используя геометрическую иллюстрацию. Значение котангенса — это абсцисса соответствующей точки на линии

котангенсов (рис. 95).

Поскольку точки А и В единичной окружности лежат на прямых ОА

и ОВ, параллельных линии котангенсов, мы не можем найти значение котангенса для x = πk, k ∈ Z. Длядругихзначенийаргументамыможемнайтисоответствующуюточкуна линии котангенсов и ее абсциссу — котангенс. Поэтому все значения x ≠ πk входят в область определения функции у = ctg х.

Для точек единичной окружности (которые не совпадают с точками А и В) абсциссы соответствующих точек на линии котангенсов принимают все значения от –× до +×, поскольку для любого действительного числа мы можем указать соответствующую точку на оси абсцисс, а значит, и соответствующую точку Qх на оси котангенсов. Учитывая, что точка О лежит внутри окружности, а точка Qх — вне ее (или на самой окружности), получаем, что прямая ОQх имеет с окружностью хотя бы одну общую точку (на самом деле их две). Следовательно, для любого действительного числа найдется аргумент х, такой, что сtg x равен данному действительному числу. Таким образом, область значений функции y = ctg x — все действительные числа, то есть R.

Это можно записать так: E (ctgx) = R.Из приведенных рассуждений также вытекает, что наибольшего и наименьшего значений функция ctgxне имеет.

Как было показано в § 13, котангенс — нечетная функция: ctg (-x) = -ctgx, поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Там же было обосновано, что котангенс — периодическая функция с наименьшим положительным периодом T= : ctg (x+ ) = ctg x, поэтому через промежутки длиной п вид графика функции ctgxповторяется.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси Oyзначение x= 0. Но ctg0 не существует, значит, график функции y= ctg x не пересекает ось Oy.

На оси Оx значение y= 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при которых ctgx, то есть абсцисса соответствующей точки линии котангенсов, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D(рис. 95), то есть при

Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения функции котангенс положительны (то есть абсцисса соответствующей точки линии котангенсов положительна) в I и III четвертях (рис. 96). Тогда ctgx> 0 при всех . Учитывая период, получаем, что ctgx> 0 при всех

Значения функции котангенс отрицательны (то есть абсцисса соответствующей точки линии котангенсов отрицательна) во II и IV четвертях, таким образом, ctgx x₁) абсцисса соответствующей точки линии котангенсов уменьшается (то есть ctgx₂

Функция y=tgx, ее свойства и график

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы рассмотрим функцию у = tg t, ее свойства и график. В начале урока вспомним определение функции как закона соответствия и определение графика функции. Далее дадим определение функции у = tg t на числовой окружности и рассмотрим линию тангенсов — касательную к окружности. Найдем область значений функции и обсудим два важных свойства функции — нечетность и периодичность. Построим график функции тангенс с учетом ее свойств. Рассмотрим все свойства функции у = tg t.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть урок «Тригонометрия»

источники:

http://ya-znau.ru/znaniya/zn/273

http://interneturok.ru/lesson/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/funktsiya-y-tgx-ee-svoystva-i-grafik

Источник

Чаще всего единичная окружность используется для определения знака тригонометрической функции, числовые значения находятся в таблицах или вычисляются с помощью калькулятора.

Важно уметь считывать с единичной окружности следующие значения тангенса и котангенса:

(tg) (0^{circ}=0);

(tg) (90^{circ}) не существует;

(tg) (180 ^{circ}=0);

(tg) (270^{circ}) не существует;

(tg) (360^{circ}=0)

(ctg) (0 ^{circ}) не существует;

(ctg) (90^{circ}=0);

(ctg) (180^{circ}) не существует;

(ctg) (270^{circ}=0);

(ctg) (360 ^{circ}) не существует

Источник

Построение тригонометрической окружности

А теперь сделай вот что: возьми-ка в руки циркуль и нарисуй любую (самую любую, но лучше достаточно немаленькую) окружность.

Получилось?

Ну да ладно, задачка не самая сложная. Так, ты не потерял ту точку, в которой у тебя был центр (куда ты прикладывал острую ножку циркуля)? Я вот у себя потерял, растяпа! Ну ладно, найду!

А что пока делать тебе?

А вот что: проведи через эту точку две линии, которые пересекаются «прямым крестиком», то есть под прямым углом. И пусть их точка пересечения – это центр (который ты не потерял!) окружности.

Нарисовал? У меня получилось что-то вроде вот этого.

Правда я чуть-чуть поторопился и сразу «обозвал» эти прямые ( displaystyle x) и ( displaystyle y) и точку пересечения через ( displaystyle O).

А что такое в таком случае ( displaystyle R)?

Это радиус нашей окружности.

Как называлась наша тема? Единичная окружность.

Тогда будем считать ( но не будем так рисовать!), что ( displaystyle R=1 ).

А рисовать мы так не будем, потому что на такой крошечной картинке ты ничего не разберешь! Ты же понимаешь, что когда инженеры проектируют самолеты, скажем, они не рисуют его в натуральную величину?

Так и мы не будем рисовать единичную окружность в самом деле единичной. Это нам нужно исключительно для удобства.

Теперь отмечаем: ( displaystyle OR=1). Что же мы с тобой на самом деле сделали? А вот что:

Мы поместили нашу окружность в систему координат ( displaystyle mathbf{X0Y}), сделав центр окружности началом координат!

Это позволит изучать свойства такой окружности уже не с геометрической, а с математической точки зрения. Этот подход был придуман хитрым математиком и философом Рене Декартом еще в 17 веке!

Перегнать фигуру в цифры, каково, а?

Но допустим, мы поместили нашу окружность в координаты. В скольких точках она пересекается с осями системы координат?

В четырех. Вот они:

koordinaty na trigonometricheskoj okruzhnosti

Эти точки ( displaystyle left( A; B; C; D right)) имеют координаты:

( displaystyle Aleft( 1,0 right)); ( displaystyle Bleft( 0,1 right)); ( displaystyle Cleft( -1;0 right)); ( displaystyle Dleft( 0;-1 right)).

Теперь вспомни, как называются области, на которые этот «координатный крестик» делит всю плоскость?

Они называются координатные четверти.

Тогда посмотри на рисунок. Наша окружность тоже оказалась разрезанной на 4 равные дольки. Давай пронумеруем каждую из этих долек против часовой стрелки:

chetverti (chasti) trigonometricheskoj okruzhnosti

Ты уже можешь догадаться, как называются эти самые дольки:

1 четверть, 2 четверть, 3 четверть, 4 четверть

(Прямо как четверти в школе!)

Углы на тригонометрической окружности

Теперь давай сделаем еще вот что. Снова посмотрим на предыдущую картинку.

Чему на ней равен ( displaystyle angle AOB)?

Он равен ( displaystyle 90{}^circ ).

Также, как и ( displaystyle angle BOC), как и угол ( displaystyle angle COD), и угол ( displaystyle angle DOA).

( displaystyle angle text{AOB}=angle text{BOC}=angle text{COD}=angle text{DOA}=90{}^circ )

Тогда чему равна их сумма?

Она равна ( displaystyle 360{}^circ ).

Вместе же эти 4 угла составляют всю окружность целиком!

Градусная мера окружности равна ( displaystyle 360{}^circ )!

( displaystyle angle Atext{OC}=angle text{AOB}+angle text{BOC}=180{}^circ )

Что еще можно вытянуть? А вот что:

( displaystyle angle Atext{OD}=angle text{AOB}+angle text{BOC}+angle text{COD}=270{}^circ )

Отметим эти значения также на нашей окружности:

gradusnaya mera trigonometricheskoj okruzhnosti

Однако, ты нередко можешь увидеть и вот такую картинку:

gradusnaya mera trigonometricheskoj okruzhnosti cherez radiany i chislo pi

где вместо привычных нам градусов появляются некие буковки «пи» ( displaystyle pi ) с цифрами.

В чем же тут дело, кто прав и кто виноват?

Ну так вот, кто прав, кто виноват, решать, увы, не нам. Но чтобы «воз не был поныне там», нам нужно уделить этому моменту пару минут времени.

В самом деле, есть два способа измерять углы:

Через градусы
Через радианы

Как измерять углы через градусы мы все знаем. Это нам привычно. Однако в некоторых случаях их измеряют по-другому (как в градуснике есть несколько шкал: цельсий, кельвин, фаренгейт и т. д.), а именно: через радианы.

Для того, чтобы перейти от одной формы записи к другой, используется вот такое основное соотношение:

( displaystyle 180{}^circ =pi ~рад.)

И все, больше знать ничего не надо!

По пропорции ты легко получишь, что для того, чтобы пересчитать угол из градусов в радианы, нужно применить вот такую незамысловатую формулу:

( displaystyle P~рад.=frac{alpha {}^circ cdot pi }{180})

И наоборот: от радиан к градусам:

( displaystyle alpha {}^circ =frac{P~рад.cdot 180}{pi })

Ты должен уметь ориентироваться и в той, и в другой форме записи.

Потренируйся на следующих примерах:

Перевести угол в ( displaystyle 30) градусов в радианы;
Перевести угол ( displaystyle frac{pi }{4}) радиан в градусы;
Перевести угол в ( displaystyle 60) градусов в радианы;
Перевести угол в ( displaystyle frac{pi }{2}) радиан в градусы;
Перевести угол в ( displaystyle 120) градусов в радианы;
Перевести угол в ( displaystyle frac{3pi }{4}) радиан в градусы;
Перевести угол в ( displaystyle 150) градусов в радианы.

Я сделаю только первые два, а остальные реши сам!

( P~рад.=frac{30cdot pi }{180}=frac{pi }{6}), тогда угол в ( displaystyle 30) градусов равен углу в ( displaystyle frac{pi }{6}) радиан;
( alpha {}^circ =frac{frac{pi }{4}cdot 180}{pi }=frac{45pi }{pi }=45{}^circ ), тогда угол в ( displaystyle frac{pi }{4}) радиан равен углу в ( displaystyle 45) градусов.

Все очень просто, не так ли? Остальные значения ты можешь найти в следующей таблице:

( displaystyle 0{}^circ )	( displaystyle 30{}^circ )	( displaystyle 45{}^circ )	( displaystyle 60{}^circ )	( displaystyle 90{}^circ )	( displaystyle 120{}^circ )	( displaystyle 135{}^circ )	( displaystyle 150{}^circ )	( displaystyle 180{}^circ )
( displaystyle 0)	( displaystyle frac{pi }{6})	( displaystyle frac{pi }{4})	( displaystyle frac{pi }{3})	( displaystyle frac{pi }{2})	( displaystyle frac{2pi }{3})	( displaystyle frac{3pi }{4})	( displaystyle frac{5pi }{6})	( displaystyle pi )

( displaystyle 210{}^circ )	( displaystyle 225{}^circ )	( displaystyle 240{}^circ )	( displaystyle 270{}^circ )	( displaystyle 300{}^circ )	( displaystyle 315{}^circ )	( displaystyle 330{}^circ )	( displaystyle 360{}^circ )
( displaystyle frac{7pi }{6})	( displaystyle frac{5pi }{4})	( displaystyle frac{4pi }{3})	( displaystyle frac{3pi }{2})	( displaystyle frac{5pi }{3})	( displaystyle frac{7pi }{4})	( displaystyle frac{11pi }{6})	( displaystyle 2pi )

Так что впредь не удивляйся, когда ты увидишь вместо привычных градусов углы в радианах. Теперь ты знаешь, что это такое, и с чем его едят!

Синус, косинус, тангенс и котангенс на тригонометрической окружности

Но мы с тобой и так слишком увлеклись. Ты давно уже, наверное, заждался обещанных синусов и косинусов на тригонометрической окружности. Не смею более отвлекаться!

Давай сделаем вот что: совместим два знакомых нам объекта: тригонометрическую окружность (пока в том виде, в котором она у нас есть) и прямоугольный треугольник.

Что нам нужно, чтобы наш треугольник «целиком влез» в окружность?

Его гипотенуза должна быть не более единицы. Пусть же она у нас в точности будет равна единице.

Совместим мы их вот так:

treugolnik na trigonometricheskoj okruzhnosti

Я нарисовал прямоугольный треугольник с центром в начале координат и гипотенузой равной ( 1). Это так потому, что окружность-то у меня единичная!

Тогда по определению синуса и косинуса:

( sin alpha =frac{AB}{OB}=frac{AB}{1}=AB)
( cos alpha =frac{OA}{OB}=frac{OA}{1}=OA)

А что же такое отрезки ( OA) и ( OB)? Чему равны их длины?

Смотри, сейчас будет самое главное: мы взяли угол ( alpha ) и провели луч, соединяющий этот угол с точкой на окружности.

Обозначим эту точку через ( B). Пусть ( B) имеет координаты ( Bleft( x,y right)).

Тогда длина отрезка ( OA) равна ( x), а длина отрезка ( AB)–равна ( y).

Но мы с тобой помним, что ( sin alpha =AB), ( cos alpha =OA), тогда:

( y=sin alpha )
( x=cos alpha )

sinus i kosinus na trigonometricheskoj okruzhnosti

Ух ты! Это надо еще раз обдумать, что же мы такое получили.

Давай проговорим еще раз: мы выбрали некоторый угол ( alpha ) и хотим найти его синус и косинус.

Что мы делаем?

Проводим единичную окружность с центром, совпадающим с вершиной угла;
Ищем точку пересечения нашего угла с окружностью;
Её «иксовая» координата – это косинус нашего угла;
Её «игрековая» координата – это синус нашего угла.

Вот и все! Теперь синус и косинус искать стало намного проще! Допустим, мы хотим найти синус, косинус ( 30) градусов.

Отмечаем ( 30) градусов на окружности и «достраиваем» этот угол до треугольника (как показано на рисунке выше).

Как найти ( x) и ( y)?

Да очень просто: в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в ( 30) градусов равен половине гипотенузы (это известный факт из геометрии 7 класса).

Так как гипотенуза равна ( 1), то противолежащий ей катет равен ( 0,5), откуда:

( sin 30{}^circ =0,5)

Что касается косинуса: для этого нам потребуется заметить, что выполняется тривиальное утверждение (основное тригонометрическое тождество):

( si{{n}^{2}}alpha +co{{s}^{2}}alpha =1)

Как ты думаешь, откуда оно берется? Да это же пресловутая теорема Пифагора!

Наши катеты в треугольничке равны ( x) и ( y), которые в свою очередь совпадают с ( cos alpha ) и ( sin alpha ). Гипотенуза в треугольнике равна ( 1).

Тогда:

( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1) или, что то же самое,

( si{{n}^{2}}alpha +co{{s}^{2}}alpha =1)

Эта формула позволит по известному синусу вычислить неизвестный косинус и наоборот.

В частности, если:

( si{{n}^{2}}30{}^circ +co{{s}^{2}}30{}^circ =1) и ( sin 30{}^circ =0,5), то

( frac{1}{4}+co{{s}^{2}}30{}^circ =1)

( displaystyle co{{s}^{2}}30{}^circ =frac{3}{4})

( displaystyle cos 30{}^circ =pm sqrt{frac{3}{4}}=pm frac{sqrt{3}}{2})

Определение знака синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Вообще, этот вопрос заслуживает особого внимания, но здесь все просто: у угла ( displaystyle 30) градусов и синус и косинус положительны (смотри рисунок), тогда берем знак «плюс».

( displaystyle cos 30{}^circ =frac{sqrt{3}}{2})

Теперь попробуй на основе вышеизложенного найти синус и косинус углов: ( displaystyle 60{}^circ ) и ( displaystyle 45{}^circ )

Можно схитрить: в частности для угла в ( displaystyle 60{}^circ ) градусов. Так как если один угол прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 60{}^circ ) градусам, то второй – ( displaystyle 30{}^circ ) градусам. Теперь вступают в силу знакомые тебе формулы:

( displaystyle sin 30{}^circ =cos 60{}^circ )

( displaystyle sin 60{}^circ =cos 30{}^circ )

Тогда так как ( displaystyle sin 30{}^circ =0,5), то и ( displaystyle cos 60{}^circ =0,5). Так как ( displaystyle cos 30{}^circ =frac{sqrt{3}}{2}), то и ( displaystyle sin 60{}^circ =frac{sqrt{3}}{2}).

C ( displaystyle 45) градусами все еще проще: так если один из углов прямоугольного треугольника равен ( displaystyle 45) градусам, то и другой тоже равен ( displaystyle 45) градусам, а значит такой треугольник равнобедренный.

Значит, его катеты равны. А значит равны его синус и косинус.

Тогда:

( displaystyle si{{n}^{2}}45{}^circ +co{{s}^{2}}45{}^circ =2si{{n}^{2}}45{}^circ =1)

( displaystyle si{{n}^{2}}45{}^circ =co{{s}^{2}}45{}^circ =1/2)

Откуда: ( displaystyle sin 45{}^circ =cos 45{}^circ =sqrt{1/2}=frac{sqrt{2}}{2})

Теперь найди сам по новому определению (через икс и игрек!) синус и косинус углов в ( displaystyle 0) градусов и ( displaystyle 90) градусов. Здесь уже никакие треугольники нарисовать не получится! Уж слишком они будут плоские!

У тебя должно было получиться:

( displaystyle sin 0{}^circ =0), ( displaystyle cos 0{}^circ =1), ( displaystyle sin 90{}^circ =1), ( displaystyle cos 90{}^circ =0).

Тангенс и котангенс ты можешь отыскать самостоятельно по формулам:

( displaystyle text{t}g alpha =frac{sin alpha }{cos alpha }), ( displaystyle ctg alpha =frac{cos alpha }{sin alpha })

Обрати внимание, что на ноль делить нельзя!!

Теперь все полученные числа можно свести в таблицу:

tablitsa znachenij trigonometricheskih funktsij

Здесь приведены значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.

Для удобства углы приведены как в градусах, так и в радианах (но ты-то теперь знаешь связь между ними!). Обрати внимание на 2 прочерка в таблице: а именно у котангенса нуля и тангенса ( displaystyle 90) градусов. Это неспроста!

В частности:

( displaystyle ctg 0=frac{cos 0}{sin 0}=frac{1}{0}=?????)

Поэтому мы с тобой будем считать, что тангенс ( displaystyle 90) градусов и котангенс нуля просто-напросто не определены!

Теперь давай обобщим понятие синус и косинус на совсем произвольный угол. Я рассмотрю здесь два случая:

Угол лежит в пределах от ( displaystyle 0) до ( displaystyle 360) градусов;
Угол больше ( displaystyle 360) градусов.

Честно говоря, я скривил немного душой, говоря про «совсем все» углы. Они бывают также и отрицательными! Но этот случай мы с тобой рассмотрим чуть позже. Вначале остановимся на первом случае.

Если угол лежит в 1 четверти – то тут все понятно, мы этот случай уже рассмотрели и даже таблицы нарисовали.

Теперь же пусть наш угол больше ( displaystyle 90) градусов и не больше чем ( displaystyle 360).

Это значит, что он расположен либо во 2, либо в 3 или же в 4 четверти.

Как мы поступаем? Да точно так же!

Давай рассмотрим вместо вот такого случая…

ugol na trigonometricheskoj okruzhnosti 1

…вот такой:

ugol na trigonometricheskoj okruzhnosti 2

То есть рассмотрим угол ( displaystyle alpha ), лежащий во второй четверти. Что мы можем сказать про него?

У точки ( displaystyle {{M}_{1}}), которая является точкой пересечения луча и окружности по-прежнему имеет 2 координаты (ничего сверхъестественного, правда?). Это координаты ( displaystyle {{x}_{1}}) и ( displaystyle {{y}_{1}}).

Причем первая координата отрицательная, а вторая – положительная! Это значит, что у углов второй четверти косинус отрицателен, а синус – положителен!

Удивительно, правда? До этого мы еще ни разу не сталкивались с отрицательным косинусом.

Да и в принципе этого не могло быть, когда мы рассматривали тригонометрические функции как отношения сторон треугольника.

Кстати, подумай, у каких углов косинус равен ( displaystyle -1)? А у каких ( displaystyle -1) равен синус?

Аналогично можно рассмотреть углы во всех остальных четвертях. Я лишь напомню, что угол отсчитывается против часовой стрелки! (так, как это показано на последнем рисунке!).

Конечно, можно и отсчитывать в другую сторону, но вот подход к таким углам будет уже несколько другой.

Исходя из приведенных выше рассуждений, можно расставить знаки у синуса, косинуса, тангенса (как синус деленный на косинус) и котангенса (как косинус деленный на синус) для всех четырех четвертей.

trigonometricheskaya okruzhnost znaki raznyh chetvertej

Но еще раз повторюсь, нет смысла запоминать этот рисунок. Все, что тебе нужно знать:

Синус – это игрек. Косинус – это икс. Тангенс – это синус деленный на косинус. Котангенс – это косинус деленный на синус.

Углы больше 360 градусов

А как быть с углами, большими чем ( displaystyle 360) градусов?

Возьму я, скажем, угол в ( displaystyle 30) градусов (( displaystyle frac{pi }{6}) радиан) и пойду от него против часовой стрелки…

trigonometricheskaya okruzhnost ugly bolshe 360 gradusov

На рисунке я нарисовал спираль, но ты-то понимаешь, что на самом деле у нас нет никакой спирали: у нас есть только окружность.

Так куда же мы попадем, если стартуем от определенного угла и пройдем полностью весь круг (( displaystyle 360) градусов или ( displaystyle 2pi ) радиан)?

Куда мы придем? А придем мы в тот же самый угол!

Это же, конечно, справедливо и для любого другого угла:

Взяв произвольный угол ( displaystyle alpha ) и пройдя полностью всю окружность, мы вернемся в тот же самый угол ( displaystyle alpha ).

Что же нам это даст? А вот что: если ( displaystyle sin alpha =y,~cos alpha =x), то

( displaystyle sin left( alpha +2pi k right)=y), ( displaystyle cos left( alpha +2pi k right)=x), откуда окончательно получим:

( displaystyle sin left( alpha +2pi k right)=sinalpha )

( displaystyle cos left( alpha +2pi k right)=cosalpha )

Для любого целого ( displaystyle k). Это значит, что синус и косинус являются периодическими функциями с периодом ( displaystyle 2pi ).

Таким образом, нет никакой проблемы в том, чтобы найти знак теперь уже произвольного угла: нам достаточно отбросить все «целые круги», которые умещаются в нашем угле и выяснить, в какой четверти лежит оставшийся угол.

Например, найти знак:

( displaystyle text{sin}1000{}^circ ),
( displaystyle text{cos} 605{}^circ ),
( displaystyle text{cos}frac{16pi }{7}),
( displaystyle text{sin}frac{19pi }{4}).

Проверяем:

Отрицательные углы

Отрицательные углы в тригонометрии откладываются на тригонометрическом круге вниз от начала, по направлению движения часовой стрелки:

trigonometriya otritsatelnye ugly okruzhnost

Давай вспомним, как мы до этого откладывали углы на тригонометрической окружности.

Мы шли от положительного направления оси ( displaystyle Ox) против часовой стрелки:

trigonometricheskaya okruzhnost otritsatelnye ugly cherez polozhitelnye

Тогда на нашем рисунке построен угол, равный ( displaystyle 180+45=225{}^circ ). Аналогичным образом мы строили все углы.

Однако ничего нам не запрещает идти от положительного направления оси ( displaystyle Ox) по часовой стрелке.

Мы будем тоже получать различные углы, но они будут уже отрицательными:

trigonometricheskaya okruzhnost otritsatelnye ugly

А следующей картинке изображено два угла, равные по абсолютной величине (если не знаешь, что это такое, читай здесь про «Модуль числа»), но противоположные по знаку:

trigonometricheskaya okruzhnost polozhitelnye i otritsatelnye ugly

В целом правило можно сформулировать вот так:

Идем против часовой стрелки – получаем положительные углы
Идем по часовой стрелке – получаем отрицательные углы

Схематично правило изображено вот на этом рисунке:

Ты мог бы задать мне вполне резонный вопрос: ну углы нам нужны для того, чтобы измерять у них значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Так есть ли разница, когда у нас угол положительный, а когда – отрицательный? Я отвечу тебе: как правило есть.

Однако ты всегда можешь свести вычисление тригонометрической функции от отрицательного угла к вычислению функции в угле положительном.

Посмотри на следующую картинку:

sinus ot otritsatelnogo kosinus ot otritsatelnogo na okruzhnosti

Я построил два угла, они равны по абсолютному значению, но имеют противоположный знак. Отметим для каждого из углов его синус и косинус на осях.

Что мы с тобой видим? А вот что:

Синусы у углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle -alpha ) противоположны по знаку!

Тогда если ( displaystyle text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }=text{y}),

то ( displaystyle sin left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{y})

( displaystyle sin left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{sin} text{ }!!alpha!!text{ }).

Косинусы у углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle -alpha ) совпадают!

Тогда если ( displaystyle text{cos} text{ }!!alpha!!text{ }=text{x}),

то и ( displaystyle cos left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=text{x})

( displaystyle cos left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=text{cos} text{ }!!alpha!!text{ })

Так как ( displaystyle text{tg}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=frac{text{sin}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)}{text{cos}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)}=frac{-text{sin}left( text{ }!!alpha!!text{ } right)}{text{cos}left( text{ }!!alpha!!text{ } right)}), то:

( displaystyle text{tg}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{tg }!!alpha!!text{ })

Так как ( displaystyle text{ctg}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=frac{text{cos}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)}{text{sin}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)}=frac{text{cos}left( text{ }!!alpha!!text{ } right)}{-text{sin}left( text{ }!!alpha!!text{ } right)}), то:

( displaystyle text{ctg}left( -text{ }!!alpha!!text{ } right)=-text{ctg} text{ }!!alpha!!text{ })

Таким образом, мы всегда можем избавиться от отрицательного знака внутри любой тригонометрической функции: либо просто уничтожив его, как у косинуса, либо поставив его перед функцией, как у синуса, тангенса и котангенса.

Кстати, вспомни-ка, как называется функция ( displaystyle f(x)), у которой для любого допустимого ( displaystyle x) выполняется:( displaystyle f(-x)=-f(x))?

Такая функция называется нечетной.

А если же для любого допустимого ( displaystyle x) выполняется: ( displaystyle f(-x)=f(x))? То в таком случае функция называется четной.

Таким образом, мы с тобой только что показали, что:

Синус, тангенс и котангенс – нечетные функции, а косинус – четная.

Таким образом, как ты понимаешь, нет никакой разницы, ищем ли мы синус от положительного угла или отрицательного: справиться с минусом очень просто. Так что нам не нужны таблицы отдельно для отрицательных углов.

С другой стороны, согласись, было бы очень удобно зная только тригонометрические функции углов первой четверти, уметь вычислять аналогичные функции и для остальных четвертей.

Можно ли это сделать? Конечно, можно!

У тебя есть по крайней мере 2 пути: первый – строить треугольник и применять теорему Пифагора (так мы с тобой и отыскали значения тригонометрических функций для основных углов первой четверти)

Второй – запомнив значения функций для углов в первой четверти и некое несложное правило, уметь вычислять тригонометрические функции для всех остальных четвертей.

Второй способ избавит тебя от долгой возни с треугольниками и с Пифагором, поэтому мне он видится более перспективным:

Итак, данный способ (или правило) называется формулами приведения.

Формулы приведения

Грубо говоря, эти формулы помогут тебе не запоминать вот такую таблицу (она между прочим содержит 98 чисел!):

bolshaya tablitsa trigonometriya znacheniya

…если ты помнишь вот эту (всего на 20 чисел):

То есть ты сможешь не забивать себе голову совершенно ненужными 78 числами! Пусть, например, нам нужно вычислить ( displaystyle text{sin} 855{}^circ ). Ясно, что в маленькой таблице такого нет. Что же нам делать? А вот что:

Во-первых, нам понадобятся следующие знания:

Синус и косинус имеют период ( displaystyle 2pi ) (( displaystyle 360) градусов)

То есть

( displaystyle sinleft( 2pi k+x right)=sin x)
( displaystyle cosleft( 2pi k+x right)=cos x)

Тангенс (котангенс) имеют период ( displaystyle pi ) (( displaystyle 180) градусов)

( displaystyle tgleft( pi k+x right)=tg x)

( displaystyle ctgleft( pi k+x right)=ctg x)
( displaystyle k) – любое целое число

Синус и тангенс – функции нечетные, а косинус – четная:

( displaystyle sinleft( -x right)=-sin x)
( displaystyle tgleft( -x right)=-tgleft( x right))
( displaystyle cosleft( -x right)=cosleft( x right))

Первое утверждение мы уже доказали с тобой, а справедливость второго установили совсем недавно.

Непосредственно правило приведения выглядит вот так:

Если мы вычисляем значение тригонометрической функции от отрицательного угла – делаем его положительным при помощи группы формул о четности.

Например:

( displaystyle sinleft( -855{}^circ right)=-sin855{}^circ),

( displaystyle cosleft( -855{}^circ right)=cos855{}^circ).

Отбрасываем для синуса и косинуса его периоды: ( displaystyle 2pi k) (по ( displaystyle 360) градусов), а для тангенса – ( displaystyle pi k) (( displaystyle 180) градусов).

Например:

( displaystyle sin 855{}^circ =sinleft( 2cdot 360{}^circ +135{}^circ right)=sin 135{}^circ )( displaystyle tg 225{}^circ =tgleft( 180{}^circ +45{}^circ right)=tg 45{}^circ )

Если оставшийся «уголок» меньше ( displaystyle 90) градусов, то задача решена: ищем его в «малой таблице».

Иначе ищем, в какой четверти лежит наш угол ( displaystyle alpha ): это будет 2, 3 или 4 четверть. Смотрим, какой знак имеет искомая функция в четверти. Запомнили этот знак!!!

Представляем угол ( displaystyle alpha )в одной из следующих форм:

( displaystyle alpha =90+beta ) (если во второй четверти)
( displaystyle alpha =180-beta ) (если во второй четверти)
( displaystyle alpha =180+beta ) (если в третьей четверти)
( displaystyle alpha =270-beta ) (если в третьей четверти)
( displaystyle alpha =270+beta ) (если в четвертой четверти)
( displaystyle alpha =360-beta ) (если в четвертой четверти)

…так, чтобы оставшийся угол ( displaystyle beta ) был больше нуля и меньше ( displaystyle 90) градусов.

Например:

( displaystyle 135{}^circ =180{}^circ -45{}^circ )
( displaystyle 135{}^circ =90{}^circ +45{}^circ )
( displaystyle 315{}^circ =270{}^circ+45{}^circ )
( displaystyle 240{}^circ =180{}^circ +60{}^circ )
( displaystyle 240{}^circ =270{}^circ -30{}^circ )…

В принципе не важно, в какой из двух альтернативных форм для каждой четверти ты представишь угол. На конечном результате это не скажется.

Теперь смотрим, что у нас получилось: если ты выбрал запись через ( displaystyle 180) или ( displaystyle 360) градусов плюс минус что-либо, то знак функции меняться не будет: ты просто убираешь ( displaystyle 180) или ( displaystyle 360) и записываешь синус, косинус или тангенс оставшегося угла.

Если же ты выбрал запись через ( displaystyle 90) или ( displaystyle 270) градусов, то синус меняем на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс – на тангенс.

Ставим перед получившимся выражением знак, который мы запомнили.

Источник