Как найти точки экстемума

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

на графике функции отмечены локальные минимумы и максимумы

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

найдите количество точек экстремумов функции

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

на графике функции отмечены локальные минимумы и максимумы         график производной и отмеченные на ней точки минимумов и максимумов функции

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

найдите количество точек экстремумов функции

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

по графику производной определить минимумы и максимумы функции

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

(-7): минимум.

(3): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

  1. Найдите производную функции (f'(x)). 
  2. Найдите корни уравнения (f'(x)=0). 
  3. Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
  4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
  5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
  6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
    — если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
    — если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
    — если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

нахождение минимума и максимума

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

схематичное изображение функции

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

(15x^4-60x^2=0)      (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0)       (x^2-4=0)
               (x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

поиск минимумов и максимумов

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью

Источник

Как найти точки минимума и максимума функции

Содержание:

  • Минимум и максимум функции

    • Точка минимума, минимум функции
    • Точка максимума, максимум функции
  • Исследование функций на экстремумы
  • Примеры задач

Минимум и максимум функции

Минимумом и максимумом функции, другими словами экстремумами, называют точки, в которых функция меняет характер монотонности (с возрастания на убывание и наоборот). Важно понимать, что экстремумы это не максимальные и минимальные значения функции. Обозначаются следующим образом: 

  • (y_{min}, y_{max}) — минимум, максимум функции или экстремумы;
  • (x_{min}, x_{max}) — точки минимума, максимума функции;
  • (y_{наиб}, y_{наим}) — наибольшее (максимальное), наименьшее (минимальное) значение функции.

Точка минимума, минимум функции

Точка минимума — такая точка (x_0), если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (f(x)geq f(x_0))

Минимум функции — значение функции в точке минимума (x_0)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Простыми словами, точка минимума — это та, где убывание функции меняется на возрастание.

Точка максимума, максимум функции

Точка максимума — такая точка (x_0), если у неё существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство (f(x)leq f(x_0))

Максимум функции — значение функции в точке максимума (x_0)

Простыми словами, точка максимума — это та, где возрастание функции меняется на убывание.

Точки максимума и минимума на графике:

Точка экстремума

Источник: school-collection.edu.ru

Исследование функций на экстремумы

Теорема. Если функция f(x) имеет экстремум в точке (x=x_0,) то в ней производная либо равна 0, либо не существует.

Алгоритм нахождения экстремумов с помощью производной:

  1. Найти область определения функции — D(y).

  2. Определить производную — f ‘(x).

  3. Определить стационарные точки y = f(x), т.е. те, которые принадлежат D(y), f ‘(x) в них обращается в ноль, отыскать критические точки, в которых производной не существует (пример: (f^,(x)=frac1{2sqrt x}), производной не существует при x = 0).

  4. Исследовать характер изменения функции f (x) и знак f ‘(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения (при отрицательном знаке производной функция убывает, при положительном — возрастает).

  5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума  (возрастание меняется на убывание — точка максимума, убывание на возрастание — минимума) или не является точкой экстремума (то есть, меняется ли знак производной при переходе через исследуемую точку).

  6. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Примеры задач

Задача 1

Исследовать на экстремумы функцию (f(x)=x^3-3x^2.)

Решение задачи по алгоритму:

1) (D(y): xin(-infty;+infty)), т.е. x — любое число.

2) Производная: (f'(x)=3x^2-6x) .

3) Из пункта 1 следует, что критических точек нет. Найдем стационарные:

Приравниваем f ‘(x) к 0, решаем квадратное уравнение (3x^2-6x=0), получаем (x_1=0),(;x_2=2.)

4) Отметим на горизонтальной оси координат точки 0 и 2. Подставим любое x из интервала ((-infty;0)) в f'(x), например, пусть x = -1, тогда (f'(x)=3{(-1)}^2-6(-1)=3+6=9). Получаем f ‘(x)>0, значит на исследуемом интервале f(x) возрастает. Аналогично рассмотрим оставшиеся интервалы. Итого, на отрезке (0;2) производная отрицательна, функция убывает, а на интервале ((2;+infty)) производная положительна, возрастает. Из этого следует, что x=0 — точка максимума, а x=2 — минимума.

5) Найдем значение экстремумов функции.

(f(0)=0-3times0=0)

(f(2)=2^3-3times2^2=8-12=-4)

Ответ: (x_{min}=2,;y_{min}=-4;;x_{max}=0,;y_{max}=0) или (0;0) — минимум функции, (2;-4) — максимум.

Задача 2

Найти промежутки монотонности функции (f(x)=frac x{x^2-4}).

1) (D(y): xinmathbb{R},;)кроме(;pm2)

2) (f'(x)=frac{1(x^2-4)-xtimes2x}{{(x^2-4)}^2}=-frac{x^2+4}{{(x^2-4)}^2})

3) Итак, как выяснилось в пункте 1, критические точки 2 и -2. Если мы приравняем f ‘(x) к 0, чтобы найти стационарные точки, то увидим, что уравнение не будет иметь корней. Значит, стационарных точек нет. Из этого следует, что функция монотонна на всей области определения. Проверим, возрастает она или убывает. Для этого решаем неравенство (-frac{x^2+4}{{(x^2-4)}^2}leq0) и получим, что неравенство верно при любом x, значит функция убывает.

Не забываем, что в ответе, указывая промежуток, обязательно нужно исключить критические точки -2 и 2 т.к. в них функция не определена.

Ответ: f(x) убывает на промежутке ((-infty;-2)cup(-2;2)cup(2;+infty)).

Задача 3

Докажите, что функция (f(x)=x^5+2x^3-4) возрастает на всех числовой прямой.

1) (D(y): xinmathbb{R}), значит критических точек нет.

2) (f'(x)=5x^4+6x)

3) Приравняем f'(x) к 0 и найдем корень: x = 0. Отметим 0 на числовой прямой и определим знак производной на промежутках ((-infty;0)) и ((0;+infty)). Получим, что производная положительна на обоих промежутках, следовательно функция возрастает на всей числовой прямой.

Утверждение доказано

Источник

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок № 16. Экстремумы функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Определение точек максимума и минимума функции

2) Определение точки экстремума функции

3) Условия достаточные для нахождения точек экстремума функции

Глоссарий по теме

Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х1 и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции 

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции 

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Точка максимума функции. Точку  х0 называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точка минимума функции. Точку  х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  .

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Убывание функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых х1 и х2, из этого промежутка выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:

1) Найти область определения функции D(f)

2) Найти f’ (x).

3) Найти стационарные (f'(x) = 0) и критические (f'(x) не

существует) точки функции y = f(x).

4) Отметить стационарные и критические точки на числовой

прямой и определить знаки производной на получившихся

промежутках.

5) Сделать выводы о монотонности функции и точках ее

экстремума.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Точки, в которых происходит изменение характера монотонности функции – это ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА.

  • Точку х = х0 называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≥ f(x0).
  • Точку х = х0 называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0).

Точки максимума и минимума – точки экстремума.

Функция может иметь неограниченное количество экстремумов.

Критическая точка – это точка, производная в которой равна 0 или не существует.

Важно помнить, что любая точка экстремума является критической точкой, но не всякая критическая является экстремальной.

Алгоритм нахождения максимума/минимума функции на отрезке:

  1. найти экстремальные точки функции, принадлежащие отрезку,
  2. найти значение функции в экстремальных точках из пункта 1 и в концах отрезка,
  3. выбрать из полученных значений максимальное и минимальное.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Определите промежуток монотонности функции у=х2 -8х +5

Решение: Найдем производную заданной функции: у’=2x-8

2x-8=0

х=4

Определяем знак производной функции и изобразим на рисунке, следовательно, функция возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

Ответ: возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)

№2. Найдите точку минимума функции у= 2х-ln(х+3)+9

Решение: Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

х=-2,5

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Ответ: -2,5 точка min

№3. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 10t2 − 48t + 15, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.

Решение: Если нас интересует движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной мы получим зависимость скорости от времени. 

V=х'(t)= 20t – 48. Подставляем вместо t 3c и получаем ответ. V=12 мc

Ответ: V=12 мc

№4. На рисунке изображен график функции. На оси абсцисс отмечены семь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение: Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает. В данном случае это точки х3,х5,х7. Следовательно, таких точек 3

Ответ: 3

Источник

Содержание:

  • Необходимое условие экстремума
  • Первое достаточное условие экстремума
  • Второе достаточное условие экстремума

Определение

Точка $x_{0}$ называется точкой локального максимума
функции $f(x)$, если существует такая окрестность
этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности
выполняется неравенство: $f(x) leq fleft(x_{0}right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой локального минимума
функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой
точки, что для всех $x$ из этой окрестности
$f(x) geq fleft(x_{0}right)$.

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума —
локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального
максимума функции $y=f(x)$, если для всех
$x$ из окрестности этой точки будет справедливо
строгое неравенство $f(x) lt fleft(x_{0}right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального
минимума функции $y=f(x)$, если для всех
$x$ из окрестности этой точки будет
справедливо строгое неравенство $f(x)>fleft(x_{0}right)$.

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Замечание

Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума

Теорема

(Необходимое условие экстремума)

Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке
$x_{0}$, то ее производная
$f^{prime}left(x_{0}right)$ либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: $f^{prime}(x)=0$,
называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются
критическими точками этой функции. То есть критические точки — это либо стационарные точки (решения
уравнения $f^{prime}(x)=0$), либо это точки, в которых производная
$f^{prime}(x)$ не существует.

Замечание

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Первое достаточное условие экстремума

Теорема

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:

  1. функция непрерывна в окрестности точки $x_{0}$;
  2. $f^{prime}left(x_{0}right)=0$ или $f^{prime}left(x_{0}right)$ не существует;
  3. производная $f^{prime}(x)$ при переходе через точку $x_{0}$ меняет свой знак.

Тогда в точке $x=x_{0}$ функция
$y=f(x)$ имеет экстремум, причем это минимум, если
при переходе через точку $x_{0}$ производная меняет свой
знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку $x_{0}$
производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная $f^{prime}(x)$ при переходе через точку
$x_{0}$ не меняет знак, то экстремума в точке
$x=x_{0}$ нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию $y=f(x)$
на экстремум, необходимо:

  1. найти производную $f^{prime}(x)$;
  2. найти критические точки, то есть такие значения $x$,
    в которых $f^{prime}(x)=0$ или
    $f^{prime}(x)$ не существует;
  3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
  4. найти значение функции в экстремальных точках.

Пример

Задание. Исследовать функцию $y(x)=x^{4}-1$ на экстремум.

Решение. Находим производную заданной функции:

$y^{prime}=left(x^{4}-1right)^{prime}=4 x^{3}$

Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение $y^{prime}(x)=0$:

$y^{prime}=4 x^{3}=0 Rightarrow x=0$

Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку
$x=0$. Наносим эту точку на координатную прямую и
исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное
значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):

Так как при переходе через точку $x=0$ производная
сменила свой знак с «-» на «+», то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем
$y_{min }=y(0)=0^{4}-1=-1$.

Замечание. Также можно определить интервалы
монотонности функции: так как на интервале
$(-infty ; 0)$ производная
$y^{prime}(x) lt 0$, то на этом интервале функция
$y(x)=x^{4}-1$ является убывающей; на интервале
$(0 ;+infty)$ производная
$y^{prime}(x)>0$, значит заданная функция возрастает на нем.

Ответ. $y_{min }=y(0)=-1$

Второе достаточное условие экстремума

Теорема

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:

  1. она непрерывна в окрестности точки $x_{0}$;
  2. первая производная $f^{prime}(x)=0$ в точке $x_{0}$;
  3. $f^{prime prime}(x) neq 0$ в точке $x_{0}$ .

Тогда в точке $x_{0}$ достигается экстремум,
причем, если $f^{prime prime}left(x_{0}right)>0$, то в точке
$x=x_{0}$ функция
$y=f(x)$ имеет минимум; если
$f^{prime prime}left(x_{0}right) lt 0$, то в точке
$x=x_{0}$ функция
$y=f(x)$ достигает максимум.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Исследовать функцию $y(x)=frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$ на экстремум с помощью второй производной.

Решение. Находим первую производную заданной функции:

$y^{prime}(x)=left(frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}right)^{prime}=frac{2 xleft(x^{2}+1right)-left(x^{2}-1right) cdot 2 x}{left(x^{2}+1right)^{2}}=frac{4 x}{left(x^{2}+1right)^{2}}$

Находим точки, в которых первая производная равна нулю:

$y^{prime}(x)=0 Rightarrow frac{4 x}{left(x^{2}+1right)^{2}}=0 Rightarrow x=0$

Вторая производная заданной функции:

$y^{prime prime}(x)=left(frac{4 x}{left(x^{2}+1right)^{2}}right)^{prime}=frac{4left(x^{2}+1right)^{2}-4 x cdot 2left(x^{2}+1right) cdot 2 x}{left(x^{2}+1right)^{4}}=$

$=-frac{4left(3 x^{2}-1right)}{left(x^{2}+1right)^{3}}$

В стационарной точке $x=0$ вторая производная
$y^{prime prime}(0)=-frac{4 cdot(-1)}{1^{3}}=4>0$, а значит, в этой точке функция достигает
минимум, причем $y_{min }=y(0)=frac{0^{2}-1}{0^{2}+1}=-1$.

Ответ. $y_{min }=y(0)=-1$

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Что подразумевается под понятием «экстремум»?

Экстремум представляет собой значение функции на определенном интервале в
момент достижения им минимального или максимального показания. Под
понятием «экстремумы» или по-другому минимумы/максимумы подразумевается
значение функции (у).

Точка экстремума – что это такое?

Если в определенной точке достигается экстремум или, иными словами,
максимальное/минимальное значение функции на заданном интервале, то эта
точка носит название точки экстремума. Из этого следует, что при
достижении минимума, точка экстремума будет названа точкой минимума, и,
наоборот, при достижении максимума эта точка будет называться точкой
максимума. В случае, когда указываются точки экстремумов (или
минимумов/максимумов) подразумеваются иксы, в которых достигаются
минимальные или максимальные значения.

Что имеется в виду под понятием «точка минимума функции»?

Любая точка x₀ будет определена в качестве точки минимума функции y = f(x)
при соблюдении условия о том, что имеется такая V, представляющая собой
окрестность (x₀ — V; x₀+V) упомянутой ранее точки, из которой для каждого
значения x <> x₀ действительно следующее неравенство:

f(x)>f(x₀).

Как описать точку минимума функции?

Под понятием «минимум функции» имеется в виду та точка на ней, в которой
функция имеет значение, являющееся наименьшим среди всех значений,
приобретаемых ею в любой из других соседних точек. Другими словами, это
означает, что в случае, когда функция, достигнув определенной точки,
прекращает падать, а, наоборот, наблюдается ее рост, то данная точка и
представляет собой точку ее минимума.

Каким образом можно вычислить значение функции y=x⁴-4x³+6x²-4x, которого она
достигает в точке своего минимума?

Для ответа на поставленный вопрос нужно отыскать точку минимума указанной
функции, в которой ее значение перестает падать. Это можно сделать
следующим образом:

y’ = 4x³ — 12x² + 12x – 4

Предположив, что минимальное значение данной функции равно 0, можно
переписать равенство в следующем виде:

4x³ — 12x² + 12x — 4 = 0

Сократим данное уравнение на 4:

x³ — 3x² + 3x — 1 = 0

Получившееся равенство также может быть записано в следующем виде после
перемены местами слагаемых:

(x³ — 1) + (-3x² + 3x) = 0

Распишем слагаемые в ином виде, чтобы избавиться от третьей степени:

(x — 1)(x² + x + 1) -3x(x — 1) = 0

Это же уравнение может выглядеть так:

(x -1)(x² + x + 1- 3x) = 0

Произведем сложение слагаемых х и -3х:

(x — 1) (x² -2x + 1) = 0

Теперь для упрощения можно переписать уравнение в таком виде:

(x — 1)(x-1)² = 0

Получившееся равенство:

(x — 1)³ = 0

В этом случае х = 1

-∞ 1 +∞

Знаками «+» и «-» обозначены значения производной.

После проведенных вычислений было установлено, что х = 1, что является
точкой минимума функции:

у = 1⁴- 4*1³ + 6*1² — 4*1 = 1 — 4 +6 — 4 = -1

Какие расчеты нужно произвести, для того чтобы вычислить точку максимума для
функции y = -x/x²+484?

Точкой максимума называется то значение х, достигнув которого, производная
начинает менять свой знак с плюса на минус. Зная это, можно перейти к
поиску точки максимума для функции, указанной в задании.

Для этого нужно начать с поиска производной, используя следующую формулу:

(U/V)’ = (U’V — UV’)/V²

Подставляем приведенные в задании значения и получаем:

y’ = (-(x² + 484) — 2x)/(x² + 484)² = (-x²-484 -2x)/(x² +484)²

Теперь следует приравнять производную к 0 и начать решать получившееся
уравнение:

(-x²-484 -2x)/(x² +484)² = 0

Упростим уравнение и получим:

(-x²-484 -2x) = 0

(x² +484)² ≠ 0

-x²-484 -2x = 0

Избавимся от минусов в уравнении:

x² + 2x +484 = 0

D < 0

В результате вычислений стало ясно, что корней нет. Это значит, что
невозможно поставить их на числовой прямой, для того чтобы проверить знаки
производной по соседству с этими точками. На основании этого можно сделать
вывод о том, что указанная в задании функция не имеет точек экстремума.

Что представляет собой точка максимума функции?

Под точкой максимума функции понимается та точка, в которой она достигает
значения, являющегося наибольшим среди тех значений, что достигаются ею в
соседних точках. Это означает, что в точке, при пересечении которой
функция прекращает расти, и наблюдается ее падение, и достигается ее
максимум.

Имеется график производной функции. Каким образом можно вычислить точки ее
максимума и минимума?

В случае, если имеется график производной функции, и при этом требуется
определить ее экстремумы, то необходимо вычислить точки пересечения этого
графика производной с осью Ох. По-другому они называются «нулями»
производной. В случае, когда, пересекая конкретную точку, график
производной восходит из области со знаком «-» в область со знаком «+», и в
это время производная меняет свой знак на противоположный, функция также
изменяется с убывания на рост. В этом случае данная точка, которая
пересекается графиком производной, представляет собой точку минимума. Если
же при пересечении графиком производной какой-либо точки он идет из
положительной в отрицательную область, а функция из возрастания меняется
на убывание, то речь идет о точке ее максимума.

Как можно вычислить экстремумы и точки экстремума функции y=4x⁴+2x²+1?

Для того чтобы найти ответ на поставленный вопрос, сначала нужно
приравнять функцию к 0:

у = 0

Это же означает, что:

4X⁴ + 2X² + 1 = 0

Введем обозначения:

Х2 = А, при этом А больше 0.

С учетом введенных обозначений равенство будет иметь следующий вид:

4A² + 2A + 1 = 0

D = 4 — 4 = 0 ; √ D = 0

A = (- 2) : 4 = (- 0,5) (< 0) 1

Очевидно, что корней нет.

Ответ: х = 0, у = 1.

Дана функция y = x² -3x+2. Как можно вычислить экстремум этой функции?

Имеется функция y = x² -3x+2, которую также можно переписать в следующем
виде:

у = -0,25+ (x-1,5)²

Отсюда следует, что:

miny = — 0,25 при условии, что х-1,5 = 0

Можно сделать вывод о том, что х = 1,5.

Запишем производную данной функции:

y ‘= (x² -3x+2)’ =2x -3

А затем приравняем ее к 0:

y ‘ = 0, значит:

2x -3 = 0.

Это позволяет сделать вывод о том, что:

x = 3/2.

Получается, что, если x < 3/2, то производная y’ < 0, и при этом функция убывает.

Если же x >3/2, то производная y’ > 0, и в этом случае функция возрастает.

x =3/2=1,5 – это единственная точка экстремума, которая является точкой
минимума.

miny =(1,5)² -3*1,5+2 = -0,25.

Как раскрыть понятие «критическая точка функции»?

Критическая точка функции представляет собой ту точку, при пересечении с
которой производная данной функции становится равной 0, либо она вовсе не
существует.

Возможно ли привести доказательства того, что функция f(x) =2x — 3/x не
может иметь критической точки?

Для начала нужно определить, что под критической точкой функции
подразумевается та точка, при пересечении с которой производная
приобретает нулевое значение, либо же эта производная просто не существует
в этой точке, что означает, что функцию в данной точке невозможно
дифференцировать.

Проверим, применимо ли это утверждение к упомянутой в задании функции:

f ‘(x) =(sin2x — 3x)’ = 2sin2x-3

Приравняем производную функции к 0:

f ‘(x) = 0, это значит, что 2sin2x-3 = 0.

Следовательно:

sin2x= 3 2 не имеет решения

Ответ: заданная функция не имеет критических точек и существует при любых
х.

Каким способом можно определить критические точки функции y=|x|/1+x²?

Под критическими точками функции понимаются те точки, в которых ее
производная равна 0 или вовсе не существует.

В задании дана функция:

y=|x|/(1+x²)

Предположим, что x<0, тогда:

y=-x/(1+x²)

Запишем производную функции и приравняем ее к 0:

y`=(-1-x²+2x²)/(1+x²)²=(x²-1)/(1+x²)²=(x-1)(x+1)/(1+x²)²=0

х = 1 не соответствует условию, значит х = -1.

Теперь предположим, что x≥0.

Снова записываем производную имеющейся функции и приравниваем ее к 0:

y`=(1+x²-2x²)/(1+x²)²=(1-x²)/(1+x²)²=(1-x)(x+1)/(1+x²)²=0

х = — 1 не отвечает условию, значит х = 1.

Ответ: х = 1, х = -1.

Читать дальше: наибольшее и наименьшее значение функции.

Источник

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции displaystyle y=-{{x^2+289}over{x}}.

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

x^2=289Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=17, hfill \ x=-17. end{array} right.

Исследуем знаки производной.

В точке x = 17 производная y меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= 17 — точка максимума функции y(x).

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции y=2x^2-5x+lnx-3.

Найдем производную функции.

y{

Приравняем производную к нулю.

4x-5+{{1}over{x}}=0Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=1, \ x={{1}over{4}}. end{array} right.

Определим знаки производной.

В точке x = 1 производная y меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, x= 1 — точка минимума функции y(x).

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции y=2^{5-8x-x^2}.

Перед нами сложная функция y=2^{5-8x-x^2}. Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция y=2^t монотонно возрастает, точка максимума функции y=2^{5-8x-x^2} будет при том же x_0, что и точка максимума функции tleft(xright)=5-8x-x^2. А ее найти легко.

t^{

t^{ при x=-4. В точке x = -4 производная {{ t}}^{{ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= - 4 — точка максимума функции { t}left({ x}right).

Заметим, что точку максимума функции tleft(xright)=5-8x-x^2 можно найти и без производной.

Графиком функции tleft(xright) является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение tleft(xright) достигается в вершине параболы, то есть при x=-frac{8}{2}=-4.

Ответ: — 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции y=sqrt{4-4x-x^2}.

Напомним, что абсцисса — это координата по X.

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция y=sqrt{z} монотонно возрастает, точка максимума функции y=sqrt{4-4x-x^2} является и точкой максимума функции tleft(xright)=4-4x-x^2.

Это вершина квадратичной параболы tleft(xright)=4-4x-x^2;x_0=frac{-4}{2}=-2.

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции y=x^3+2x^2-4x+4 на отрезке [-2;0].

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции y=x^3+2x^2-4x+4 с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

y

y

{3x}^2+4x-4=0;

D=64;x=frac{-4pm 8}{6};x_1=frac{2}{3},x_2=-2.

Найдем знаки производной.

В точке x = - 2 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции y(x). Поскольку при xin [-2;0] функция y(x) убывает, y_{max}left(xright)=yleft(-2right)=12. В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12.

6. Найдите наименьшее значение функции y={4x}^2-10x+2lnx-5 на отрезке [0,3;3].

Найдем производную функции y={4x}^2-10x+2lnx-5 и приравняем ее к нулю.

y при x_1=1,x_2=frac{1}{4}.

Найдем знаки производной.

Точка x_1=1 — точка минимума функции yleft(xright). Точка x_2=frac{1}{4} не лежит на отрезке [0,3;1]. Поэтому

 и  Значит, наименьшее значение функции на отрезке left[0,3;1right] достигается при x=1. Найдем это значение.

y_{min}left(xright)=yleft(1right)=4-10-5=-11.

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции y=9x-{ln left(9xright)}+3 на отрезке left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

y=9x-{ln left(9xright)}+3=9x-{ln 9-{ln x}}+3.

Мы применили формулу для логарифма произведения. y при x=frac{1}{9}.

Если  то  Если , то 

Значит, x=frac{1}{9} — точка минимума функции y(x). В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].

y_{min}left(xright)=yleft(frac{1}{2}right)=1+3=4.

Ответ: 4.

8. Найдите наибольшее значение функции y(x)=14x-7tgx-3,5pi +11 на отрезке left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].

Найдем производную функции y(x)=14x-7tgx-3,5pi +11. y

Приравняем производную к нулю: 14-frac{7}{{cos}^2x}=0.

{cos}^2x=frac{1}{2}.

{cos}^2x=pm frac{1}{sqrt{2}}=pm frac{sqrt{2}}{2}. Поскольку xin left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right], y если x=pm frac{pi }{4}.

Найдем знаки производной на отрезке left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].

При x=frac{pi }{4} знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, x=frac{pi }{4} — точка максимума функции y(x).

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при x=-frac{pi }{3} и x =frac{pi }{4}.

yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4;

Мы нашли, что y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4.

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при -frac{pi }{3} не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4.

9. Найдите наименьшее значение функции y=e^{2x}-{8e}^x+9 на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

{{(e}^{-x})}^{

{left(e^{cx}right)}^{

{(e}^{x+a})

Найдем производную функции y=e^{2x}-{8e}^x+9.

y

y если e^x=4. Тогда x=ln4.

 При x=ln4 знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, x=ln4 — точка минимума функции y(x). yleft(ln4right)=4^2-8cdot 4+9=16-32+9=-7.

Ответ: -7.

10. Найдите наибольшее значение функции y=12cosx+6sqrt{3}x-2sqrt{3}pi +6 на отрезке left[0;frac{pi }{2}.right]

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

y

y 12sinx=6sqrt{3};

sinx=frac{sqrt{3}}{2}.

По условию, xin left[0;frac{pi }{2}right]. На этом отрезке условие sinx=frac{sqrt{3}}{2} выполняется только для x=frac{pi }{3}. Найдем знаки производной слева и справа от точки x=frac{pi }{3}.

В точке x_0=frac{pi }{3} производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка x_0=frac{pi }{3} — точка максимума функции y(x). Других точек экстремума на отрезке left[0;frac{pi }{2}right] функция не имеет, и наибольшее значение функции { y=12cosx+6}sqrt{{ 3}}{ }{ x}{ -}{ 2}sqrt{{ 3}}{ }pi { +6} на отрезке left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right] достигается при { x=}frac{pi }{{ 3}}.

y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{3}right)=12.

Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции y=16x-6sinx+6 на отрезке left[0;frac{pi }{2}right].

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.  — нет решений.

Что это значит? Производная функции y=16x-6sinx+6 не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку cosxle 1, получим, что  для всех x, и функция yleft(xright)=16x-6sinx+6 монотонно возрастает при xin left[0;frac{pi }{2}right].

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right], то есть при x=0.

y_{min}left(xright)=yleft(0right)=6.

Ответ: 6

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как составить диалог гостиница
  • Как найти девушку если ты необщительный
  • Как составить генетический ряд алюминия
  • Как найти среднегодовую сумму амортизационных отчислений
  • Java net sockettimeoutexception connect timed out как исправить