Как найти точки линии пересечения двух плоскостей

Построение линии пересечения плоскостей, заданных различными способами

Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей. Рассмотрим, как это делается, на следующих примерах.

Задача

Найдем линию пересечения плоскостей общего положения α и β для случая, когда пл. α задана проекциями треугольника ABC, а пл. β – параллельными прямыми d и e. Решение этой задачи осуществляется путем построения точек L₁ и L₂, принадлежащих линии пересечения.

Решение

1. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ₁. Она пересекает α и β по прямым. Фронтальные проекции этих прямых, 1»C» и 2»3», совпадают с фронтальным следом пл. γ₁. Он обозначен на рисунке как f_0γ1 и расположен параллельно оси x.
2. Определяем горизонтальные проекции 1’C’ и 2’3′ по линиям связи.
3. Находим горизонтальную проекцию точки L₁ на пересечении прямых 1’C’ и 2’3′. Фронтальная проекция точки L₁ лежит на фронтальном следе плоскости γ.
4. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ₂. С помощью построений, аналогичных описанным в пунктах 1, 2, 3, находим проекции точки L₂.
5. Через L₁ и L₂ проводим искомую прямую l.

Стоит отметить, что в качестве пл. γ удобно использовать как плоскости уровня, так и проецирующие плоскости.

Пересечение плоскостей, заданных следами

Найдем линию пересечения плоскостей α и β, заданных следами. Эта задача значительно проще предыдущей. Она не требует введения вспомогательных плоскостей. Их роль выполняют плоскости проекций П₁ и П₂.

Алгоритм построения

1. Находим точку L’₁, расположенную на пересечении горизонтальных следов h_0α и h_0β. Точка L»₁ лежит на оси x. Её положение определяется при помощи линии связи, проведенной из L’₁.
2. Находим точку L»₂ на пересечении фронтальных следов пл. α и β. Точка L’₂ лежит на оси x. Её положение определяется по линии связи, проведенной из L»₂.
3. Проводим прямые l’ и l» через соответствующие проекции точек L₁ и L₂, как это показано на рисунке.

Таким образом, прямая l, проходящая через точки пересечения следов плоскостей, является искомой.

Пересечение плоскостей треугольников

Рассмотрим построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF, и определение их видимости методом конкурирующих точек.

Алгоритм построения

1. Через прямую DE проводим фронтально-проецирующую плоскость σ: на чертеже обозначен ее след f_0σ. Плоскость σ пересекает треугольник ABC по прямой 35. Отметив точки 3»=A»B»∩f_0σ и 5»=A»С»∩f_0σ, определяем положение (∙)3′ и (∙)5′ по линиям связи на ΔA’B’C’.
2. Находим горизонтальную проекцию N’=D’E’∩3’5′ точки N пересечения прямых DE и 35, которые лежат во вспомогательной плоскости σ. Проекция N» расположена на фронтальном следе f_0σ на одной линии связи с N’.

3. Через прямую BC проводим фронтально-проецирующую плоскость τ: на чертеже обозначен ее след f_0τ. С помощью построений, аналогичных тем, что описаны в пунктах 1 и 2 алгоритма, находим проекции точки K.

4. Через N и K проводим искомую прямую NK – линию пересечения ΔABC и ΔDEF.

Определение видимости

Фронтально-конкурирующие точки 4 и 5, принадлежащие ΔDEF и ΔABC соответственно, находятся на одной фронтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₂. Так как (∙)5′ находится ближе к наблюдателю, чем (∙)4′, то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)5 является видимым в проекции на пл. π₂. С противоположной стороны от линии N»K» видимость треугольников меняется.

Горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7, принадлежащие ΔABC и ΔDEF соответственно, находятся на одной горизонтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₁. Так как (∙)6» находится выше, чем (∙)7», то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)6 является видимым в проекции на пл. π₁. С противоположной стороны от линии N’K’ видимость треугольников меняется.

Дополнительные материалы:

Прямая линия, получаемая при взаимном пересечении двух плоскостей, вполне определяется двумя точками, из которых каждая принадлежит обеим плоскостям. Так, прямая K₁К₂ (рис. 163), по которой пересекаются между собой плоскость, заданная треугольником АВС, и пл. β, заданная прямыми DE и DF, проходит через точки K₁ и K₂; но в этих точках прямые АВ и АС первой плоскости пересекают пл. β т. е. точки К₁ и К₂ принадлежат обеим плоскостям.

Следовательно, в общем случае для построения линии пересечения двух плоскостей надо найти какие-либо две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям; эти точки определяют линию пересечения плоскостей.

Для нахождения каждой из таких двух точек обычно приходится выполнять специальные построения. Но если хотя бы одна из пересекающихся плоскостей перпендикулярна к плоскости проекций, то построение проекций линии пересечения упрощается. Начнем с такого случая.

На рис. 164 показано пересечение двух плоскостей, из которых одна (заданная треугольником DEF) расположена перпендикулярно к пл. π₂. Так как треугольник DEF проецируется на пл.π₂ в виде прямой линии (D»F»), то фронтальная проекция отрезка прямой, по которому пересекаются оба треугольника, представляет собой отрезок К»₁К»₂ на проекции D»F». Дальнейшее построение ясно из чертежа.

Другой пример дан на рис. 165. Горизонтально-проецирующая плоскость α пересекает плоскость треугольника АВС. Горизонтальная проекция линии пересечения этих плоскостей — отрезок M’N’ — определяется на следе α’.

Теперь рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух плоскостей. Пусть одна из плоскостей, β, задана двумя пересекающимися прямыми, а другая, γ,— двумя параллельными прямыми. Построение показано на рис. 166. В результате взаимного пересечения плоскостей β и γ получена прямая K₁K₂. Выразим это записью: β × γ = К₁K₂.

Для определения положения точек K₁ и К₂ возьмем две вспомогательные фронтально-проецирующие плоскости (α₁, и α₂), пересекающие каждую из плоскостей β и γ. При пересечении плоскостей β и γ плоскостью α₁. получаем прямые с проекциями 1″2″, 1’2′ и 3″4″, 3’4′. Эти прямые, расположенные в пл. α₁, в своем пересечении определяют первую точку, К₁, линии пересечения плоскостей β и γ.

Введя, далее, ил. α₂, получаем в ее пересечении с β и γ прямые с проекциями 5″6″, 5’6′ и 7″8″, 7’8′. Эти прямые, расположенные в пл. α₂, в своем пересечении определяют вторую точку, К₂, общую для β и γ.

Получив проекции К’₁ и К’₂ находим на следах и α»₁ и α»₂ проекции К»₁ и К»₂. Этим определяются проекции К’₁К’₂ и К»₁К»₂ искомой прямой пересечения плоскостей β и γ(проекции проведены штрихпунктирной линией).

При построении можно иметь в виду следующее: так как вспомогательные секущие плоскости α₁ и α₂ взаимно параллельны, то, построив проекции 1’2′ и 3’4′ следует для проекций 5’6′ и 7’8′ взять по одной точке, хотя бы 5 и 8, так как 5’6’||1’2′ и 7’8’||3’4′.

В рассмотренном построении были взяты в качестве вспомогательных две фронгально- проецирующие плоскости. Конечно, можно было взять и иные плоскости, например две горизонтальные или одну горизонтальную, другую фронтальную и т. д. Сущность построений от этого не меняется. Однако может встретиться такой случай. Положим, что были взяты в качестве вспомогательных две горизонтальные плоскости и полученные при пересечении ими

плоскостей β и γ горизонтали оказались взаимно параллельными. Но рис. 167 показывает, что β и γ пересекаются между собой, хотя их горизонтали параллельны. Следовательно, получив взаимно параллельные горизонтальные проекции горизонталей АВ и CD и зная, что плоскости при этом не обязательно параллельны, а могут пересекаться (по общей для них горизонтали), надо испытать плоскости β и γ при помощи хотя бы, горизонгально-проецирующей плоскости (см. рис. 167); если прямые, по которым эта вспомогательная плоскость σ, пересечет β и γ, также оказались бы параллельны одна другой, то плоскости β и γ не пересекаются, а параллельны одна другой. На рис. 167 эти прямые пересекаются в точке К, через которую и проходит линия пересечения плоскостей β и γ параллельно прямым ВА и CD.

Если плоскости заданы их следами на плоскостях проекций, то естественно искать точки, определяющие прямую пересечения плоскостей, в точках пересечения одноименных следов плоскостей (рис. 168): прямая, проходящая через эти точки, является общей для обеих плоскостей, т. е. их линией пересечения.

Схему построения линии пересечения двух плоскостей (см. рис. 166) можно, конечно, распространить и на случай задания плоскостей их следами. Здесь роль вспомогательных секущих плоскостей исполняют сами плоскости проекций:

α × π₁=h’_0α; β× π₁=h’_0β; h’_0α × h’_0β=M;

α × π₂=f»_0α; β× π₂=f»_0β; f»_0α × f»_0β=N.

Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии пересечения этих плоскостей. Поэтому для построения проекций линии пересечения плоскостей α и β (рис. 168) надо: 1) найти точку М’ в пересечении следов h’_0α и h’_0β

и точку N» в пересечении f»_0α и f»_0β, а по ним — проекции М» и N’; 2) провести прямые линии M»N» и M’N’,

На рис. 169—171 показаны случаи, когда известно направление линии пересечения. Поэтому достаточно иметь лйшь одну точку от пересечения следов и далее провести через эту точку прямую, исходя из положения плоскостей и их следов.

Вопросы к §§ 22-24

1. Какое взаимное положение могут занимать две плоскости?
2. Каков признак параллельности двух плоскостей?
3. Как взаимно располагаются фронтальные следы двух параллельных между собой фронтально-проецирующих плоскостей?
4. Как взаимно располагаются горизонтальные следы двух параллельных между собой горизонтально-проецирующих плоскостей?
5. Как взаимно располагаются одноименные следы двух параллельных между собой плоскостей?
6. Служит ли признаком взаимного пересечения двух плоскостей пересечение хотя бы одной пары их одноименных следов?
7. Как установить взаимное положение прямой и Плоскости?
8. Как строится точка пересечения прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной или к двум плоскостям проекций?
9. Какая точка из числа расположенных на общем перпендикуляре к а) пл. π₁ б) пл. π₂ считается видимой соответственно на π₁, на π₂?
10. Как строится линия пересечения двух плоскостей, из которых хотя бы одна перпендикулярна к пл. π₁ или к пл. π₂?
11. В чем заключается общий способ построения линии пересечения двух плоскостей?

Одной
из основополагающих задач начертательной
геометрии является задача на на построение
линии пересечения двух плоскостей
общего положения. Случаи задания
плоскостей бывают разные, но в любом
случае вам встретится задача, в которой
будет необходимо построить линию
пересечения двух плоскостей заданных
треугольниками (или другими плоскими
геометрическими фигурами). Алгоритм
решения такой задачи я и предлагаю
рассмотреть сейчас.

Итак,
даны две плоскости, заданные треугольниками
АВС и DEF. Метод сводится к тому, что бы
поочередно найти две точки пересечения
двух ребер одного треугольника с
плоскостью другого. Соединив эти точки
мы получим линию пересечения двух
плоскостей. Построение точки пересечения
прямой с плоскостью более подробно было
рассмотрено в предыдущем уроке, напомню
только механические действия:

—
Заключим прямую АС во фронтально-проецирующую
плоскость и перенесем по линиям связи
на горизонтальную проекцию точки
пересечения этой плоскости с прямыми
DE и DF — точки 1 и 2

—
На горизонтальной проекции соединим
проекции точек 1 и 2 и найдем точку
пересечения получившейся линии с
горизонтальной проекцией той прямой,
которую мы заключали во фронтально-проецирующую
плоскость, в этом случае — с прямой AC. Мы
получили точку M.

—
Заключим прямую BС во фронтально-проецирующую
плоскость и перенесем по линиям связи
на горизонтальную проекцию точки
пересечения этой плоскости с прямыми
EF и DF — точки 3 и 4

Соединим
их горизонтальные проекции и получим
точку пересечения этой прямой с прямой
ВС — точку N.

—
Соединив точки M и N мы получим линию
пересечения плоскостей заданных
треугольниками. По сути линия пересечения
уже найдена. — Осталось лишь определить
видимость ребер треугольников. Это
делается методом конкурирующих точек.

При
помощи наиболее внимательных посетителей
сайта удалось найти неточность при
определении видимости плоскостей. Ниже
приведен чертеж, на котором исправлена
видимость линий, ограничивающих плоскости
на горизонтальной плоскости

17. Метод замены плоскостей проекций.

Изменение
взаимного положения изучаемого объекта
и плоскостей проекций достигается путем
замены одной из плоскостей П₁ или П₂ новой
плоскостями П₄ (рис. 148). Новая
плоскость всегда выбирается перпендикулярно
оставшейся плоскости проекций.

Для
решения некоторых задач может потребоваться
двойная замены плоскостей проекций
(рис. 149).
Последовательный  переход от одной
системы плоскостей проекций к другой
необходимо осуществлять, выполняя
следующее правило: расстояние
от новой проекции точки до новой
оси должно равняться расстоянию от
заменяемой проекции точки до заменяемой оси.

Задача
1:
Определить натуральную величину
отрезка АВ прямой
общего положений (рис. 148).
Из свойства параллельного проецирования
известно, что отрезок проецируется на
плоскость в натуральную величину, если
он параллелен этой плоскости.

Выберем
новую плоскость проекций П₄,
параллельно отрезку АВ и
перпендикулярно плоскости П₁.
Введением новой плоскости, переходим
из системы плоскостей П₁П₂ в
систему П₁П₄ ,
причем в новой системе плоскостей
проекция отрезка  А₄ В₄ будет
натуральной величиной отрезка АВ.

Задача
2:
Определить расстояние от точки А до
прямой общего положения, заданной
отрезком ВС (рис._149).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Пересечение двух плоскостей

Пересечение двух плоскостей общего положения представляет собой прямую линию, поэтому для ее определения достаточно найти две
точки, принадлежащие одновременно каждой из двух заданных плоскостей — так называемые общие точки.

Чтобы найти общие точки, достаточно ввести одну или две вспомогательные секущие плоскости γ₁
и γ₂.

Найти пересечение двух плоскостей общего положения линию l, если плоскости заданны пересекающимися прямыми b c и
параллельными прямыми d e.

Вспомогательная плоскость γ₁ пересекает заданные плоскости по прямым n1 и n2, которые пересекаясь между собой дают первую точку искомой линии.

Вспомогательная плоскость γ₂ пересекает заданные плоскости по прямым m1 и m2, которые пересекаясь между собой дают вторую точку искомой линии.
Проведя через найденные точки L1 и L2 прямую линию получаем искомое, пересечение двух плоскостей — линию l.

Определить линию пересечения l плоскостей заданных следами α_H,
α_V и β_H, β_V.

Задача на пересечение плоскостей заданных следами α_H,
α_V и β_H, β_V.

Задача на пересечение плоскостей заданных следами α_H,
α_V и β_H, β_V причем α_V ║ β_V.

Пересечение двух плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF.

Вспомогательная плоскость γ1 пересекает заданные плоскости по прямым 1-2 и DE, которые пересекаясь между собой дают первую точку искомой линии — точка M.

Вспомогательная плоскость γ2 пересекает заданные плоскости по прямым 3-4 и AC, которые пересекаясь между собой дают вторую точку искомой линии — точка N.

Соединяем точки MN прямой линией получаем искомую линию l пересечения двух плоскостей.

Определение видимости пересекающихся плоскостей на плоскостях проекций выполняем, используя Конкурирующие точки:
на фронтальной плоскости проекций — 1″≡6″; 1`, 6` и 5″≡ 7″; 5`, 7` — будет видна вершина D с прилегающими сторонами до линии пересечения.
на горизонтальной плоскости проекций — 8`≡9`; 8″, 9″ и 10`≡ 11`; 10″, 11″ — будет видна вершина C с прилегающими сторонами до линии пересечения.

Построить линию пересечения двух плоскостей треугольник ABC и α(αH, αV)

Графическая работа 1 представляет задачу на пересечение двух плоскостей заданных треугольником и ромбом

+

В задаче необходимо найти линию пересечения двух плоскостей и определить натуральную величину одной из них методом плоскопараллельного перемещения.

Для решения такой классической задачи по начертательной геометрии  необходимо знать следующий теоретический материал:

—   нанесение проекций точек пространства на комплексный чертеж по заданным координатам;

— способы задания плоскости на комплексном чертеже, плоскости общего и частного положения;

— главные линии плоскости;

— определение точки пересечения прямой линии с плоскостью (нахождение «точки встречи»);

— метод плоскопараллельного перемещения для определения натуральной величины плоской фигуры;

— определение видимости на чертеже прямых линий и плоскостей с помощью конкурирующих точек.

Порядок решения Задачи

1. Согласно варианту Задания по координатам точек наносим на комплексный чертеж две плоскости, заданные в виде треугольников ABC (A’, B’, C’; A, B, C) и DKE (D’, K’, E’; D, K, Е) (рис.1.1).

Рис.1.1

2. Для нахождения линии пересечения воспользуемся методом проецирующей плоскости. Суть его в том, что берется одна сторона (линия) первой плоскости (треугольника) и заключается в проецирующую плоскость. Определяется точка пересечения этой линии с плоскостью второго треугольника. Повторив эту задачу еще раз, но для прямой второго треугольника и плоскости первого треугольника, определим вторую точку пересечения. Так как полученные точки одновременно принадлежат обеим плоскостям, они должны находиться на линии пересечения этих плоскостей. Соединив эти точки прямой, будем иметь искомую линию пересечения плоскостей.

3. Задача решается следующим образом:

а) заключаем в проецирующую плоскость Ф(Ф’) сторону AB(A’B’) первого треугольника во фронтальной плоскости проекций V. Отмечаем точки пересечения проецирующей плоскости со сторонами DK и DE второго треугольника, получая точки 1(1’) и 2 (2’). Переносим их по линиям связи на горизонтальную плоскость проекций H на соответствующие стороны треугольника, точка 1(1) на стороне DE и точка 2(2) на стороне DK.

Рис.1.2

б) соединив проекции точек 1 и 2, будем иметь проекцию проецирующей плоскости Ф. Тогда точка пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника DKE определится (согласно правилу) вместе пересечения проекции проецирующей плоскости 1-2 и одноименной проекции прямой AB. Таким образом, получили горизонтальную проекцию первой точки пересечения плоскостей – M, по которой определяем (проецируем по линиям связи) её фронтальную проекцию – M’ на прямой A’B’(рис.1.2.а);

в) аналогичным путем находим вторую точку. Заключаем в проецирующую плоскость Г(Г) сторону второго треугольника DK(DK). Отмечаем точки пересечения проецирующей плоскости со сторонами первого треугольника AC и BC во горизонтальной проекции, получая проекции точек 3 и 4. Проецируем их на соответствующие стороны в фронтальной плоскости, получаем 3’ и 4’. Соединив их прямой, имеем проекцию проецирующей плоскости. Тогда вторая точка пересечения плоскостей будет в месте пересечения линии 3’-4’ со стороной треугольника D’K’, которую заключали в проецирующую плоскость. Таким образом, получили фронтальную проекцию второй точки пересечения – N’, по линии связи находим горизонтальную проекцию – N (рис.1.2.б).

г) соединив полученные точки MN(MN) и (M’N’) на горизонтальной и фронтальной плоскостях, имеем искомую линию пересечения заданных плоскостей.

4. С помощью конкурирующих точек определяем видимость плоскостей. Возьмем пару конкурирующих точек, например, 1’=5’ во фронтальной проекции. Спроецируем их на соответствующие стороны в горизонтальную плоскость, получим 1 и 5. Видим, что точка 1, лежащая на стороне DЕ имеет большую координату до оси x, чем точка 5, лежащая на стороне AВ. Следовательно, согласно правилу, большей координаты, точка 1 и сторона треугольника D’Е’ во фронтальной плоскости будут видимые. Таким образом, определяется видимость каждой стороны треугольника в горизонтальной и фронтальной плоскостях. Видимые линии на чертежах проводятся сплошной контурной линией, а не видимые — штриховой линией. Напомним, что в точках пересечения плоскостей (M—N и M’-N’) будет происходить смена видимости.

Рис.1.3

Рис.1.4.

На эпюре дополнительно показано определение видимости в горизонтальной плоскости с использованием конкурирующих точек 3 и 6 на прямых DK и АВ.

5. Методом плоскопараллельного перемещения определяем натуральную величину плоскости треугольника ABC, для чего:

а) в указанной плоскости через точку С(С) проводим фронталь C—F (С-F и C’-F’);

б) на свободном поле чертежа во горизонтальной проекции берем (отмечаем) произвольную точку С₁, считая, что это одна из вершин треугольника (конкретно вершина C). Из нее восстанавливаем перпендикуляр к фронтальной плоскости (через ось х);

Рис.1.5

в) плоскопараллельным перемещением переводим горизонтальную проекцию треугольника ABC, в новое положение A₁B₁C₁ таким образом, чтобы в фронтальной проекции он занял проецирующее положение (преобразовался в прямую линию). Для этого: на перпендикуляре от точки С₁, откладываем фронтальную проекцию горизонтали C₁—F₁ (длина l_CF) получаем точку F₁. Раствором циркуля из точки  F₁ величиною F-A делаем дуговую засечку, а из точки C₁ — засечку величиной CA, тогда в пересечении дуговых линий получаем точку A₁ (вторая вершина треугольника);

— аналогично получаем точку B₁ (из точки C₁ делаем засечку величиной C—B (57мм), а из точки F₁ величиной F—B (90мм).Заметим, что при правильном решении три точки A₁ F’₁ и B’₁ должны лежать на одной прямой (сторона треугольника A₁—B₁)две другие стороны С₁—A₁ и C₁—B₁ получаются путем соединения их вершин;

г)  из метода вращения следует, что при перемещении или вращении точки в какой-то плоскости проекций — на сопряженной плоскости проекция этой точки должна двигаться по прямой линии, в нашем конкретном случае по прямой параллельной оси х. Тогда проводим из точек A’B’C’ фронтальной проекции эти прямые (их называют плоскостями вращения точек), а из фронтальных проекций перемещенных точек A₁ В₁ C₁  восстановим перпендикуляры (линии связи) (рис.1.6).

Рис.1.6

Пересечения указанных линий с соответствующими перпендикулярами дает новые положения фронтальной проекции треугольника ABC, конкретно A’₁В’₁C’₁  который должен стать проецирующим (прямой линией), поскольку горизонталь h₁ мы провели перпендикулярно фронтальной плоскости проекций (рис.1.6);

5) тогда для получения натуральной величины треугольника достаточно его фронтальную проекцию развернуть до параллельности с горизонтальной плоскостью. Разворот осуществляем с помощью циркуля через точку А’₁, считая ее как центр вращения, ставим треугольник A’₁В’₁C’₁ параллельно оси х, получаем A’₂В’₂C’₂. Как было сказано выше, при вращении точки, на сопряженной (теперь на горизонтальной) проекции они двигаются по прямым параллельным оси х. Опуская перпендикуляры (линии связи) из фронтальных проекций точек A’₂ В’₂ C’₂ пересечения их с соответствующими линиями находим горизонтальную проекцию треугольника ABC (A₂В₂C₂) в натуральную величину (рис.1.7).

Рис. 1.7

У меня есть все готовые решения задач с такими координатами, купить можно  >>здесь<<

Цена 55 руб, чертежи по начертательной геометрии из книжки Фролова Вы легко можете скачать сразу после оплаты или я вышлю Вам на почту. Они находятся в ZIP архиве в различных форматах:
*.jpg – обычный цветной рисунок чертежа в масштабе 1 к 1 в хорошем разрешении 300 dpi;
*.cdw – формат программы Компас 12 и выше или версии LT;
*.dwg и .dxf — формат программы AUTOCAD, nanoCAD;

Раздел: Начертательная геометрия /