Как найти точки на шестиугольной пирамиды

Скачать материал

Скачать материал

I. Основные формулы:

1. Расстояние между точками А (, ), В , ) равно =.

2. Угол между плоскостями. Если β – угол между плоскостями, заданными уравнениями  х+z+ =0 и  х+z+ =0, то

.

3. Расстояние от точки до плоскости. Если ρ – расстояние от точки (, ), до плоскости  х+z+D =0, то

ρ=.

4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки (, ),(, ),(, ), в координатной форме:

=0;

5. Если отрезок, концами которого служат точки А (, ), В , ) разделен точкой С (х, у,) в отношении λ, то координаты точки С определяются по формулам

Х =  ; у= ; z=. 

II. Координаты вершин многогранников.

Определите координаты вершин многогранников:

1. Единичный куб A…D₁

Решение: координаты вершин А (0, 0, 0), А₁ (0, 0, 1), В (1, 0, 0), В₁ (1, 0, 1), D (0, 1, 0), D₁ (0, 1, 1), С (1, 1, 0), С₁ (1, 1, 1).

2. Правильная треугольная призма A…C₁ , все ребра, которой равны 1.

Решение: координаты вершин: А (0, 0, 0), А₁ (0, 0, 1), В (1, 0, 0), В₁ (1, 0, 1), С (0,5; , 0), С₁ (0,5; , 1).

3. Правильная шестиугольная призма A…F₁, все ребра которой равны 1.

Решение: координаты вершин: А (0, 0, 0), А₁ (0, 0, 1), В (1, 0, 0), В₁ (1, 0, 1), С (1,5; , 0), С₁ (1,5; , 1), D (1, (1,  Е (0, , (0, ,

F(-0,5 ,  0), (-0,5, 1).

4. Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) ABCD все ребра которой равны 1.

Решение: координаты вершин: А (0, 0, 0), В (1, 0, 0), С (0,5; , 0), D (0,5,

5. Правильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны 1.

Решение: координаты вершин: А (0, 0, 0), В (1, 0, 0), С (1, 1, 0), D (0, 1, 0 S (0,5; 0,5; ).

6. Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2.

III. Решение задач.

Решение: координаты вершин: А (0, 0, 0), В (1, 0, 0), С (1,5; , 0), D (1, Е (0, , F (-05,  0), S (0,5; ). 

Решение:

1. А (0, 0, 0), А₁ (0, 0, 1), В (1, 0, 0), В₁ (1, 0, 1), D (0, 1, 0), D₁ (0, 1, 1), С (1, 1, 0), С₁ (1, 1, 1).
2. Найдем координаты векторов (1, 0, 1) и = (0, 1, 1)
3. Найдем косинус угла между векторами = =; α=60.

Ответ: 60.

Решение:

1. координаты вершин А (0, 0, 0), D₁ (, , 1), С (0,5; , 0), Е₁ (; , 1).
2. Найдем координаты векторов: и  (, , 1)
3. Найдем косинус угла между векторами  = =0,7;

Ответ: 0,7.

Полностью текст работы приведен в Приложении.

Правильная шестиугольная пирамида — пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник.

Обозначения

• $SABCDEF$ — правильная шестиугольная пирамида
• $O$ — центр основания пирамиды
• $a$ — длина стороны основания пирамиды
• $h$ — длина бокового ребра пирамиды
• $S_{text{осн.}}$ — площадь основания пирамиды
• $V_{text{пирамиды}}$ — объем пирамиды

Площадь основания пирамиды

В основаниях пирамиды находится правильный шестиугольник со стороной $a$. По свойствам правильного шестиугольника, площадь основания пирамиды равна $$ S_{text{осн.}}=frac{3sqrt{3}}{2}cdot a^2 $$

Правильный шестиугольник в основании пирамиды

По свойствам правильного шестиугольника, треугольники AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA являются правильными треугольниками. Отсюда следует, что $$ AO=OD=EO=OB=CO=OF=a $$ Проводим отрезок AE, пересекающийся с отрезком CF в точке M. Треугольник AEO равнобедренный, в нём $AO=OE=a, angle EOA=120^{circ}$. По свойствам равнобедренного треугольника $$ AE=acdotsqrt{2(1-cos EOA)}=sqrt{3}cdot a $$ Аналогичным образом приходим к заключению, что $ AC=CE=sqrt{3}cdot a $, $FM=MO=frac{1}{2}cdot a$.

Находим $SO$

Прямая $SO$ является высотой пирамиды, поэтому $angle SOF=90^{circ}$. Треугольник $SOF$ прямоугольный, в нем $FO=a, FS=h$. По свойствам прямоугольного треугольника $$ SO=sqrt{FS^2-FO^2}=sqrt{h^2-a^2} $$

Объем пирамиды

Объем пирамиды вычисляется как треть произведения площади ее основания на ее высоту. Высотой правильной пирамиды является отрезок $SO$. В основании правильной шестиугольной призмы находится правильный шестиугольник, площадь которого нам известна. Получаем $$ V_{text{пирамиды}}=frac{1}{3}cdot S_{text{осн.}}cdot SO=frac{sqrt{3}}{2}cdot a^2 cdot sqrt{h^2-a^2} $$

Находим $ST$ и $TO$

Пусть точка $T$ является серединой ребра $AF$. Треугольник $AOF$ правильный, поэтому, по свойствам правильного треугольника $$ TO=frac{sqrt{3}}{2}cdot a $$ Треугольник $STO$ прямоугольный, высота $SO$ равна $sqrt{h^2-a^2}$. По теореме Пифагора $$ ST=sqrt{SO^2+TO^2}=sqrt{h^2-frac{1}{4}cdot a^2} $$

Построение сечения шестиугольной пирамиды

Здравствуйте, друзья! В этой статье предложено рассмотреть два случая построения сечения шестиугольной пирамиды. Пирамида всегда «рассекается» сложнее, чем призма, а чем больше у нее углов в основании, тем труднее. В первой задаче я постаралась пользоваться методом следов, а во второй  — преимущественно использован метод внутреннего проецирования. Так как чертежи насыщены построениями, я использовала разные цвета, и не всегда соблюдала правило «невидимое — пунктиром». Постараюсь сопроводить картинки подробным описанием.

Задача 1. Построить сечение правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через заданные точки.

Шаг 1. Точки и лежат в плоскости основания пирамиды, что для нас очень удобно. Проведем прямую , она пересечется с лучом плоскости основания. За счет принадлежности обеим прямым — и точка принадлежит как плоскости грани , так и секущей плоскости.

Шаг 2. Через точки и можем проводить прямую, она пересечет ребро в точке .

Шаг 3. Так как прямая , также принадлежащая плоскости основания, не параллельна , то она пересечет эту прямую, и таким образом, можно было бы получить точку плоскости грани . Но пересечение этих прямых — за границами чертежа. Где невозможно применение метода следов, на помощь приходит метод внутреннего проецирования. Проведем прямую и ее проекцию в плоскости основания — .

Шаг 4. Проведем проекцию будущей прямой секущей плоскости — (просто соединим вершины). пересечет в точке , — в точке . Из точки поднимемся вверх до секущей плоскости  — построим перпендикуляр к плоскости основания . — точка прокола перпендикуляром секущей плоскости.

Шаг 5. Точка принадлежит секущей плоскости, точка — также. Проводим прямую . Прямая пересечет ребро в точке (поздно было переделывать картинку, пусть уж будет вторая точка ). Она принадлежит обеим плоскостям — и , и .

Шаг 6. Вернемся к методу следов. Проводим прямую , и ищем ее пересечение с . Это точка . Она лежит в плоскости грани .

Шаг 7. Проводим , эта прямая пересечет ребро в точке .

Шаг 8. Соединим полученные точки отрезками.

Окончательный вид сечения с противоположной стороны.

Задача 2. Построить сечение правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через заданные точки.

Задача 2. Шаг 1. Проводим диагонали основания пирамиды , , . Из точек и секущей плоскости опускаем перпендикуляры к основанию, определяем точки и , в которых эти перпендикуляры достигнут основания пирамиды.

Шаг 2. Проводим прямые и секущей плоскости и их проекции и . Проекцией прямой будет прямая . Определяем точку пересечения и , и из этой точки поднимаем перпендикуляр до пересечения с — получили точку .

Шаг 3. Из точки , которая является пересечением диагонали и проекции , поднимаем перпендикуляр до пересечения с — получаем точку . Из точки , которая является пересечением диагонали и проекции , поднимаем перпендикуляр до пересечения с — получаем точку . Через точки и проведем прямую, которая пересечет ребро пирамиды в точке .

Шаг 4. Через точки и также проведем прямую. Определим место пересечения ею ребра — точку . Осталось найти две точки — на ребре  и на ребре .

Шаг 5. Проведем прямую — продолжение ребра основания. Также через точки и проведем прямую, принадлежащую грани . Найдем место пересечения прямых и — точку .

Шаг 6. Через точки и секущей плоскости, лежащие в основании, проводим прямую, которая пересечет ребро в точке .

Шаг 7. Прямая   пересечет продолжение диагональ  в точке . Проведем прямую через точки и , чтобы определить точку пересечения этой прямой с ребром — точку .

Шаг 8. Соединяем все точки отрезками.

Окончательный вид сечения:

Построение
фронтальной проекции пирамиды:

1)
Из вершин шестиугольника – точек 1,
2, 3, 4,
5 и
6 (рис. 4.4,
а) –
проводим вверх вертикальные линии связи
и чертим фронтальную проекцию основания
пирамиды –
отрезок 1′–
4′.

2)
Из горизонтальной проекции вершины
пирамиды –
точки s
–
проводим вертикальную линию связи и
от отрезка
1′–
4′
откладываем высоту пирамиды, получаем
точку s‘
–
фронтальную проекцию вершины.

3)
Строим фронталь­ные проекции ребер
пирамиды –
соеди­няем
точку s‘
с точками 1′,
6′(2′), 5(3‘),
4′.

Построение
профильной проекции пирамиды;

1)
Координаты
y
точек 1, 2,
3, 4,
5, 6 (рис.
4.4, а) и вершины – точки
s
– переносим с помощью линий связи с
горизонтальной проекции на профильную
проекцию.

2)
Координаты z
основания и вершины пирамиды —
точки s’
— переносим
с помощью линии связи с фронтальной
проекции на профильную проекцию.

3)
Чертим профильные проекции основания
пирамиды отрезок 2»—
6»
и вершины – точку s».

4)
Строим профильные
проекции ребер пирамиды –
соеди­няем
точку s»
с точками
2»(3»),
1′‘(4»),
6»(5»).

а)

б)

Рисунок
4.4 Комплексный чертеж и изометрия
шестигранной пирамиды

Построение
проекций точек на поверхности пирамиды:

На
рисунке 4.4, а фронтальная проекция
точки А
– точка
а‘–
находится на ребре
s’-1‘, поэтому
для построения горизонтальной проекции
– точки а
– надо опустить линию связи из точки
а‘
на
горизонтальную проекцию этого ребра –
отрезок s-1.
Чтобы
построить профильную проекцию – точку
а»
– надо из точки
а‘
провести
линию связи на профильную проекцию
ребра – отрезок
s‘‘-1‘‘.

Точка
В расположена
не на ребре, поэтому для построения ее
проекций надо сначала провести через
точку в‘
(она задана) отрезок, соединяющий вершину
с основанием (s’-f
‘).
Затем найти горизонтальную проекцию
этого отрезка (s-f
) и, опустив на него из точки а‘
линию
связи, построить точку а..
Профильная
проекция — точка
а»
– строится на пересечении линий связи,
проведенных из точек а
и
а‘.

Построение
изометрии

В

пирамиды:

1)
На горизонтальной плоскости строим
изометрию многоугольника основания
пирамиды. На рисунке 4.4, б это шестиугольник.

2)
Из точки О
откладываем вверх высоту пирамиды и
по­лучаем точку s
–
вершину
пирамиды.

3)
Соединяем точку s
с точками 1,
2, 3, 4, 5, 6 и
получаем изометрическую проекцию
пирамиды.

Построение
изометрии точек на поверхности пирамиды:

Изометрию
точек А
и В
строим по их координатам, взятым из
комплексного
чертежа (рис. 4.4, б).

1)
От точки О
отложим на оси х
расстояние n
(координата
y
точки А,
взятая с комплексного чертежа, рис.
3.5), получим точку
а.

2)
От точки
а
отложим
вверх высоту h
(координата z
точки А,
взятая также с комплексного чертежа,
рис. 3.5) и получим
точку А.

3)
От точки О
отложим на оси х
расстояние n₁,
а на оси у
расстояние n₂,
взятые с комплексного чертежа, рис. 3.5,
получим точку
в.

4)
От точки
в
отложим вверх высоту h₁
и получим
точку В.

4.3 Цилиндр

Построение
фронтальной проекции цилиндра:

От
горизонтальной проекции проводим вверх
вертикальные линии связи и чертим
фронтальную проекцию нижнего основания
цилиндра –
горизонтальный отрезок, равный диаметру
D
(рис. 4.5).
От концов этого отрезка откладываем
вверх два вертикальных отрезка, равных
высоте цилиндра и чертим фронтальную
проекцию верхнего основания цилиндра
– еще один отрезок, равный диаметру
D.

Рис.
4.5 Проекции цилиндра Рис. 4.6 Изометрия
окружности Рис. 4.7 Изометрия цилиндра

Построение
профильной проекции цилиндра:

1)
Координаты
y
переносим на профильную проекцию с
помощью линий связи с горизонтальной
проекции.

2)
Координаты z
нижнего и верхнего оснований переносим
с помощью линий связи с фронтальной
проекции. Профильная проекция цилиндра
является повторением его фронтальной
проекции

Построение
проекций точек на поверхности цилиндра:

Горизонталь­ные
проекции точек А
и В
можно найти, проводя из данных точек
а’
и b‘
вертикальные
линии связи до их пересечения с окружностью
в точках а
и b.
Профильная
проекция точки А
— точка
а»
– строится на пересечении линий связи,
проведенных из точек а.
и
а‘.
Профильная проекция точки В
— точка
b»
– строится на пересечении линий связи,
проведенных из точек.
b
и
b‘.

Построение
изометрии

А

окружности:

Изометрическая
проекция окружности заменяется овалом.
У овала две оси – большая и малая. В
плоскости хОz
малой осью овала является ось Оу,
в плоскости
хОу
малой осью овала является ось Оz,
в плоскости
zОу
малой осью
овала является ось Ох.
Большие оси
овалов перпендикулярны малым осям.

1. Проводим
   малую ось овала (рис. 4.6).

2. Проводим
   перпендикулярно малой оси большую ось
   и обозначаем точку пересечения малой
   и большой оси – О₁
   — центр овала.

3. Через
   центр овала О₁
   проводим две осевые штрих-пунктирные
   линии, параллельные осям — Ох
   и Oz
   для плоскости хОz;
   Оz
   и Оу
   для плоскости
   zОу;
   Ох
   и Оу
   для плоскости хОу.

4. Из
   центра О₁
   проводим
   вспомогательную окружность радиусом,
   равным радиусу изображаемой окружности.

5. Из
   точек 1
   и 2 –
   проводим
   большие дуги овала радиусом 1А
   = 1В = 2С = 2D.
   

6. Из
   точек 1
   или 2
   проводим отрезки 1А
   и 1В
   или 2С
   и 2D
   и получаем на большой оси овала точки
   3 и 4. (рис. 4.4, плоскость z
   О у).

7. Из
   точек 3
   и 4
   проводим
   малые дуги радиусом 3А
   = 3C
   = 4В = 4D.

Построение
изометрии цилиндра:

1)
Строим овал — изометрию нижнего основания
в горизонтальной плоскости (рис 4.7).

2)
Из точки О
поднимаем высоту цилиндра и получаем
точку О₁,
относительно которой строим второй
такой же овал – изометрию верхнего
основания.

3)
Соединяем два основания образующими
вертикальными линиями.

Построение
изометрии точек на поверхности цилиндра:

Изометрию
точек А
и В
строим по их координатам, взятым из
комплексного
чертежа (рис. 4.7).

1)
От точки пересечения оси х
с овалом нижнего основания откладываем
вверх расстояние h
(координата z
точки А),
получаем точку А.

2)
Проводим прямую, параллельную оси у
на расстоянии n
от нее, получаем точку 1.

3)
От точки 1 откладываем вверх расстояние
h₁
(координата z
точки В)
получаем точку В.
(Расстояния
n,
h,
h₁
взяты
с комплексного чертежа).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #