Как найти точки на синусоиде

Основные понятия

Кривая получается из синусоидальной дуги путём смещения к пи/2 в сторону со знаком минус. Кривая представляет график функции у=sin x. В формуле синусоиды y=a+b cos (cx+d) присутствуют следующие аргументы:

• a: показывает сдвиг графика синусоиды по оси Oy (чем больше значение, тем выше прямая);
• b: описывает растяжения функции по оси Oy (чем выше постоянная, тем сильнее колебания);
• c: определяет растяжение по оси Ох (если постоянная увеличивается, наступает период колебаний);
• d: описывает сдвиг по оси Ох (если d увеличивается, тогда при построении синусоиды учитывается сдвиг в область со знаком минус по оси абсцисс).

Сжатие, растяжение либо сдвиг кривой приводит к изменению величины. Явления называются гармоническими колебаниями. Примеры синусоиды: экспонент или показательная функция в виде винтовой линии, проведённой на плоскости, скрученный провод, развёрнутый рулон бумаги.

Особенности построения

Чтобы выявить свойства синусоиды, необходимо построить её график, провести исследование синуса. В алгебре под функцией представлена плоская кривая, которая выражает закон колебания sin с учётом изменения центрального угла. Сама синусоида строится в схематической последовательности:

• проводится горизонтальная ось, на которой откладывается заданная длина волны;
• отрезок делится на равные части;
• слева чертится окружность с радиусом, равным величине амплитуды;
• окружность делится на 12 одинаковых частей;
• через полученные точки проводятся прямые;
• из точек проводятся перпендикуляры к оси.

График можно построить на онлайн ресурсе либо с помощью специальных программ (Excel). Для расчёта используется калькулятор, основная формула y=sin х. При решении задач учитывается длина волны, которая равна 2 пи. Такое преобразование объясняется тем, что значение функции при любом икс совпадает с её периодичностью x+2π.

Пересечение оси Ох происходит в точках перегиба πK. Максимум достигается при положительном π/2+2πK, а обратное — -π/2+2πK. Свойства кривой проявляются в частном либо комплексном виде:

• размах;
• растяжение/сжатие;
• фазовые колебания;
• круговая частота.

При сдвиге графика влево к значению пи/2 образуется косинусоида. Любое изменение величины характерно для квадрата с гармоническими колебаниями. Примеры подобных явлений: движение маятника, сбои с напряжением в электросети. Другой случай с синусоидальными колебаниями — звук. Он редко бывает чистым, соответствуя y=A sin wt, где:

• А (а) — модуль неизвестной (расстояние от начала координат до точки А);
• w — угловая частота;
• t — время.

Чаще издаются обертоны, для которых характерны низкие амплитуды. Подобные явления изучаются в школе на уроках физики в старших классах.

Свойства и доказательства

К главным свойствам синусоиды относятся область значений (включая нуль) и определений, чётность/нечётность, периодичность, точки пересечения с осью координат, промежуточности постоянства, убывания и возрастания, минимум и максимум. При пересечении графика функции (ГФ) с осью Ох результат равняется нулю. Под значением синуса подразумевается ордината соответствующей точки единичной окружности.

Так как через круг в одной области можно провести только одну прямую, перпендикулярную оси, поэтому для области определения функции подходят все числа. Такое свойство записывается следующим образом: D (sin x) = R.

Значения ординаты единичной окружности (ЕД) расположены на отрезке [—1; 1]. Они принимают значения от -1 до 1. Через любую точку указанного промежутка оси ординат, равного диаметром ЕД, проводится прямая, перпендикулярная оси ординат. Таким способом получается точка с рассматриваемой ординатой.

Из свойства вытекает следующее: функция y= sin x имеет область значений (-1; 1). Утверждение записывается так: E (sin x)=(-1; 1). Максимальное значение функции равняется единице. Подобное возможно, если соответствующей точкой ЕД является точка А. Минимальное число y равно -1 в случае, когда точкой ЕД является В (х=пи/2 +2пиk, где k принадлежит области Z.

Нечётность и постоянство

Функция считается нечётной, если sin (-x)=- sin x. Её график симметричен по отношению к началу координат. Сам синус является периодической величиной, у которой наименьший положительный период. Через отрезок 2пи вид кривой повторяется. Это свойство учитывается при построении графика.

Предварительно чертится кривая на любом отрезке соответствующей длины. При переносе линии влево и вправо соблюдается шаг в kT=2 πk, где k — любая натуральная цифра. Для вычисления точек пересечения линии с осями координат используется равенство х=0. Если значение подставить в функцию, получится следующее: y=sin 0=0. В таком случае график проходит через начало координат.

Так как y равен нулю, поэтому можно рассчитать х, воспользовавшись формулой y= sin x. Координата подходящей точки ЕД равняется нулю. Такое явление будет наблюдаться только в случае, если на ЕД будут выбраны точки D либо C, при x=πk, k принадлежит Z.

Функция имеет положительное значение в первой и во второй четвертях. На этих промежутках sin x больше нуля, а любое значение х находится в пределах 0-π. При решении задач учитывается период при всех x, принадлежащих отрезку (2πk; π+2πk), где k принадлежит Z. Функция считается отрицательной в третьем и четвёртом квадрате. При этом sin меньше нуля, а иск находится в пределах (пи+2пиk; 2пи+2пиk), k принадлежит области Z.

Больше и меньше

С учётом периодичности y с периодом T=2π исследуется функция на возрастание и убывание на любом отрезке длиной в 2пи. Если T= (-π/2;3π/2), а х принадлежит данному промежутку, тогда при увеличении аргумента изменится в большую сторону и ордината. Следовательно, на указанном отрезке синусоида возрастает.

Если учитывать её периодичность, можно прийти к выводу, что она возрастает на каждом интервале (-π/2+2πk; π/2+2πk), k принадлежит Z. Если х находится на отрезке (-π/2;3π/2), тогда при увеличении аргумента ордината ЕД уменьшается, а функция убывает. С учётом периодичности синусоиды можно сделать вывод, что она бывает на каждом отрезке (π/2+2πk;3π/2+2πk), k находится в области Z.

Основываясь на проведённом исследовании, строится график y=sin x. С учётом периодичности 2π предварительно строится график на любом отрезке соответствующей длины. Чтобы точно построить точки, рекомендуется придерживаться значения синуса (ордината ЕД). На основе нечётности проводится кривая, симметричная началу координат. При этом необходимо придерживаться интервала (-π;0). Так как линия строится на отрезке длиной 2π, поэтому учитывается периодичность величины.

Вид графика повторяется на каждом отрезке с аналогичной длиной. Таким способом получается синусоида. Рассматриваемая тригонометрическая функция получила широкое применение в технике, физике и математике. Большинство процессов, включая колебания струн, напряжения в цепи, описываются с помощью функции, задаваемой формулой y= A sin (wx + f). Подобные явления считаются гармоническими колебаниями.

Кривая получается из синусоиды за счёт разных колебаний и путём параллельного переноса вдоль оси Ох. Чаще изменения результата связаны с функцией времени t. В таком случае используется формула y= A sin (wx + f), где через А обозначается амплитуда колебания, через w — частота, f — начальная фаза, 2пи/f — период колебания.

Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

Свойства функции y=sin(x) и ее график. 

График функции (синусоида)

Свойства функции

1.  Область определения: R (x — любое действительное число) т.е. 
2. Область значений:

3. Функция нечетная:

   (график симметричен относительно начала координат).

4. Функция периодическая с периодом 
5. Точки пересечения с осями координат:  
6. Промежутки знакопостоянства: 
7. Промежутки возрастания и убывания:   
   
8. 

Объяснение и обоснование

Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики: 1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями координат; 6)   промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания;  наибольшее и наименьшее значения функции.

Замечание. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох (то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.

Напомним, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности (рис. 1).

 Рис.1.

Поскольку ординату можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси ординат), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:

Для точек единичной окружности ординаты находятся в промежутке [—1; 1] и принимают все значения от —1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [—1; 1] оси ординат (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди­нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди­нату. Таким образом, для функции область значений: . Это можно записать так:.Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при Наименьшее значение функции равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при.

Синус — нечетная функция: , поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : , таким образом, через промежутки длиной вид графика функции повторя­ется. Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной , а потом полученную линию парал­лельно перенести вправо и влево вдоль оси Ox на расстояние , где k — любое натуральное число.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение , то есть график функции проходит через начало координат.

На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть ордината соответствующей точки единичной окруж­ности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж­ности будут выбраны точки C или D, то есть при (см. рис. 1).

Промежутки знакопостоянства. Значения функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 2). Таким образом, при всех , а также, учитывая период, при всех .

Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую­щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто­му при .

Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции с периодом , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке . 

Если (рис. 3, а), то при увеличении аргумента  ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть , следовательно, на этом промежутке функция возрас­тает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также возрастает на каждом из промежутков 

Рис.2                                                                            Рис.3

Если  (рис.3,б), то при увеличении аргумента  ордината соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция убыва­ет. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков 

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции . Учитывая периодичность этой функции (с периодом ), достаточно сначала построить график на любом промежутке длиной , на­пример на промежутке . Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 4 показано построение графика функции на промежутке . Учитывая нечетность функции  (ее график симметричен относительно начала координат), для построения графика на промежутке отображаем полученную кривую симметрич­но относительно начала координат (рис. 5).

Рис.4

Рис.5

Поскольку мы построили график на промежутке длиной , то, учитывая периодичность синуса (с периодом ), повторяем вид графика на каждом промежутке длиной (то есть переносим параллельно график вдоль оси на , где k — целое число). Получаем график, который называется синусоидой .(Рис.6)

Рис.6

Замечание. Тригонометрические функции широко применяются в ма­тематике, физике и технике. Например, множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п., описываются функцией, которая задается формулой . Та­кие процессы называют гармоническими колебаниями.

График функции можно получить из синусоиды сжатием или растяжением ее вдоль координатных осей и параллельным пере­носом вдоль оси . Чаще всего гармоническое колебание является функцией времени t. Тогда оно задается формулой , где А — амплитуда

колебания, — частота, — начальная фаза, — период колебания.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК

График функции  (косинусоида).

Свойства функции 

1. Область определения: R (x — любое действительное число).
2. Область значений: 

3. Функция четная:

   (график симметричен относительно оси ).

4. Функция периодическая с периодом  : 
5. Точки пересечения с осями координат 
6. Промежутки знакопостоянства: 
7. Промежутки возрастания и убывания: 
   
8. 

Объяснение и обоснование

Напомним, что значение косинуса — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности (рис.7). Поскольку абсциссу можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности, всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси абсцисс), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:
.

Рис.7

Для точек единичной окружности абсциссы находятся в промежутке и принимают все значения от -1 до 1, поскольку через любую точку отрезка оси абсцисс (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить
точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следовательно, область значений функции . Это можно записать так: .

Как видим, наибольшее значение функции равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при .

Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при .

Косинус — четная функция: , поэтому ее график симметричен относительно оси .

Косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : . Таким об­разом, через промежутки длиной вид графика функции повторяется.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение . На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при .

Промежутки знакопостоянства. Значения функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 8). Следова­тельно, 0 при , а также, учитывая период, при всех .

Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству­ющей точки единичной окружности отрицательна) во II и III четвертях, поэтому  при 

Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке .

Если (рис. 9, а), то при увеличении аргумента  абсцис­са соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), следовательно, на этом промежутке функция убывает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков .

Если (рис. 9, б), то при увеличении аргумента  аб­сцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция  возрастает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков . 

Рис.8                                                                                                                          Рис.9

Проведенное исследование позволяет построить график функции аналогично тому, как был построен график функции . Но график функции можно также получить с помощью геометрических преобразований графика функции , используя формулу

Рис.10

Эту формулу можно обосновать, например, так. Рассмотрим единичную окружность (рис. 10), отметим на ней точки а также

абсциссы и ординаты этих точек. Так как , то при повороте

прямоугольника  около точки на угол — против часовой стрел­ки он перейдет в прямоугольник . Но тогда . Следовательно, 00.

Укажем также формулы, которые нам понадобятся далее:.

Тогда,

Таким образом, .

Учитывая, что , график функции можно полу­чить из графика функции его параллельным переносом вдоль оси на  (рис. 11). Полученный график называется косинусоидой (рис. 12).

Рис.11

Рис.12

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ  И ЕЕ ГРАФИК

График функции  (тангенсоида) 

Свойства функции :

1. Область определения: 

2. Область значений: 

3. Функция нечетная: 

4. Функция периодическая с периодом 

5. Точки пересечения с осями координат:   

6. Промежутки знакопостоянства:

7. Промежутки возрастания и убывания:

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

СВОЙСТВО ФУНКЦИИ  И ЕЕ ГРАФИК

График функции  (котангенсоида)

Свойства функции :

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Функция нечетная: 

4. Функция переодическая с периодом 
5. Точки пересечения с осями координат: 

6. Промежутки знакопостоянства: 

7. Промежутки возрастания и убывания:

 

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

Как построить синусоиду

Синусоида представляет собой график функции y=sin(x). Синус – ограниченная периодическая функция. Перед построением графика необходимо провести аналитическое исследование и расставить точки.

Инструкция

На единичной тригонометрической окружности синус угла определяется отношением ординаты “y” к радиусу R. Поскольку R=1, можно рассматривать просто ординату “y”. Она соответствует двум точкам на этой окружности.

Для будущей синусоиды постройте координатные оси Ox и Oy. На оси ординат отметьте точки 1 и -1. Отрезок для единицы выберите большой, так как за его пределы функция синуса не зайдет. На оси абсцисс выберите масштаб, равный π/2. π/2 примерно равно 1,5, число π примерно равно трем.

Найдите ключевые точки синусоиды. Посчитайте значение функции для аргумента, равного нулю, п/2, п, 3п/2. Так, sin0=0, sin(п/2)=1, sin(п)=0, sin(3п/2)=-1, sin(2п)=0. Легко видеть, что функция синуса имеет период, равный 2п. То есть через числовой промежуток в 2п значения функции повторяются. Поэтому для исследования свойств синуса достаточно построить график на одном из таких отрезков.

В качестве дополнительных точек можно взять п/6, 2п/3, п/4, 3п/4. Значения синусов в этих точках можно посмотреть в таблице. Чтобы не запутаться, полезно мысленно представлять тригонометрическую окружность. Итак, sin(п/6)=1/2, sin(2п/3)= √3/2≈0,9, sin(п/4)=√2/2≈0,7, sin(3п/4)=√2/2≈0,7.

Осталось лишь плавно соединить полученные точки на графике. Выше оси Ox синусоида будет выпуклая, ниже – вогнутая. Точки, в которых синусоида пересекает ось абсцисс, являются точками перегиба функции. Вторая производная в этих точках равна нулю. Имейте в виду, что в концах отрезка синусоида не заканчивается, она бесконечна.

Нередко встречаются задачи, в которых аргумент находится под знаком модуля: y=sin|x|. В этом случае постройте сначала график для положительных значений x. Для отрицательных значений x отобразите график симметрично относительно оси Oy.

Полезный совет

Из графика синуса легко можно получить график функции косинуса. Для этого сместите синусоиду на п/2 влево. Смещать можно не саму синусоиду, а координатные оси, только уже вправо.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Печать страницы

Содержание:

Рассматривая произвольное действительное число

Таким образом, мы установим соответствие между множеством действительных чисел и множеством значений синусов углов. Каждому действительному числу соответствует единственное значение синуса. Такое соответствие определяет тригонометрическую функцию 

Определение функция y=sin x

Определение:

Зависимость, при которой каждому действительному числу  соответствует значение  называется функцией 

Рассмотрим свойства функции  и построим ее график:

Область определения функции y=sin x

Областью определения функции  является множество всех действительных чисел, так как для любого  существует 

Графически это означает, что для любой абсциссы найдется точка графика функции 

Множеством значений функции y=sin x

Множеством значений функции  является промежуток  так как ординаты точек единичной окружности (значения синусов чисел) изменяются от -1 до 1.

Графически это означает, что график функции  расположен в полосе между прямыми  (рис. 74).

 

Периодичность функции y=sin x

Периодичность функции Точки единичной окружности  совпадают для любого  (рис. 75), значит, значения синусов этих углов также совпадают, т. е. 

Говорят, что число  является периодом функции 

Определение:

Функция  называется периодической функцией с периодом  если для любого значения  из области определения функции числа  также принадлежат области определения и при этом верно равенство

Чтобы определить, является ли функция периодической с периодом  необходимо проверить:

1. принадлежат ли области определения функции числа  если  принадлежит области определения функции;
2. выполняется ли равенство 

Определим, верно ли, что число  является периодом функции 

1. Числа  принадлежат области определения функции, так как 
2. Проверим, выполняется ли равенство  для всех 

Пусть 

Значит, число  не является периодом функции 

Периодом функции  являются числа вида  Число  является наименьшим положительным периодом функции 

Функция  является периодической с наименьшим положительным периодом  (рис. 76). Это означает, что ее график состоит из повторяющихся частей, поэтому достаточно его построить на отрезке длиной  (например,  а затем повторить построение на каждом следующем отрезке длиной 

Четность (нечетность) функции y=sin x

Четность (нечетность) функции y=sin x  — симметрична относительно нуля. Так как точки  единичной окружности симметричны относительно оси абсцисс для любого  то ординаты этих точек противоположны, т. е.  (рис. 77). Значит, функция  нечетная.

Для построения ее графика достаточно построить его часть для неотрицательных значений аргумента и отобразить эту часть симметрично относительно начала координат.

Нули функции y=sin x

Нули функции. Ординаты точек  и  равны нулю. Значит,  в точка  (рис. 78), т. е. график функции пересекает ось абсцисс в точках с абсциссами 

Промежутки знакопостоянства функции y=sin x

На промежутках  функция  принимает положительные значения, так как ординаты точек единичной окружности положительны в первой и во второй четвертях (рис. 79, а).

На промежутках функция  принимает отрицательные значения, так как ординаты точек единичной окружности отрицательны в третьей и четвертой четвертях (рис. 79, б).

Монотонность функции y=sin x

Монотонность функции. Так как ординаты точек единичной окружности увеличиваются от -1 до 1 при изменении угла от  (рис. 80, а) и уменьшаются от 1 до -1 при изменении угла от  (рис. 80, б), то с учетом периодичности определим промежутки возрастания функции  и промежутки убывания функции 

Функции  возрастает на промежутках  и убывает на промежутках 
Наибольшее значение функции  равно 1 и достигается в точках 

Наименьшее значение функции  равно  и достигается в точках 

На основании проведенного исследования построим график функции  на отрезке от  длина которого равна  т. е. длине периода функции 

На этом периоде функция 

На рисунке 81 изображена часть графика функции  на промежутке от 

Перенесем эту часть на другие периоды и получим график функции (рис. 82). График функции  называется синусоидой.

Примеры заданий и их решения

Пример №1

Определите, принадлежит ли графику функции  точка: 

Решение:

а) Подставим в формулу  значение аргумента  найдем соответствующее значение функции 

Полученное значение функции равно ординате точки  значит, точка  принадлежит графику функции 

б)    При  получим  Точка  не принадлежит графику функции 

в)    При  получим  Точка  принадлежит графику функции 

г)    При  получим  Точка  не принадлежит графику функции 

Пример №2

Найдите область определения и множество значений функции:

Решение:

а) Так как область определения функции  все действительные числа, т.е значит,    Таким образом, 

Множеством значений функции  является отрезок  значит,  Тогда по свойству неравенств  Таким образом, 

б)  Поскольку  то по свойству неравенств

 т.е. 

Пример №3

Найдите наибольшее значение функции 

Решение:

Так как  значит,  тогда  Таким образом, имеем:  Наибольшее значение функции  равно 7.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №4

Найдите значение выражения, используя свойство периодичности функции 

Решение:

Так как число  является наименьшим положительным периодом функции  Тогда:

Пример №5

Найдите значение выражения, используя свойство нечетности функции 

Решение:

Так как функция  нечетная, то

 Тогда:

Пример №6

Исследуйте функцию на четность (нечетность):

Решение:

a)  — область определения симметрична относительно нуля;

 значит, функция является нечетной.

 область определения симметрична относительно нуля; 

значит, функция является четной.

Пример №7

Найдите нули функции:

Решение:

а) Пусть  Нулями функции  являются числа Тогда  значит,  Таким тобразом, числа  являются нулями функции 

б) Пусть    Нулями функции  являются числа  Тогда  значит, 

Таким образом, числа  являются нулями функции 

Пример №8

Определите знак произведения 

Решение:

Так как  то  т. е. угол 4 радиана принадлежит промежутку  на котором функция  принимает отрицательные значения, значит, 

Углы 2 радиана и 1 радиан принадлежат промежутку  на котором функция  принимает положительные значения, т. е.  Значит, 

Пример №9

Что больше:  или 

Решение. Так как функция  возрастает на промежутке то из того, что следует, что 

Пример №10

Постройте график функции:

Решение:

а) График функции  получаем из графика функции  сдвигом его вдоль оси абсцисс на  влево (рис. 84).

б)    График функции  получаем из графика функции  сдвигом его вдоль оси ординат на 2 единицы вверх (рис. 85).