Как найти точки нули функции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Прежде чем перейти к изучению темы «Нули функции»
внимательно изучите уроки
«Что такое функция в математике»
и
«Как решать задачи на функцию».

Запомните!

Нули функции — это
значения « x »
(аргумента функции),

при которых « y = 0 ».

В заданиях «Найдите нули функции» чаще всего сама функция задана через формулу

(аналитически). Разберем алгоритм решения

подобных задач.

Как найти нули функции, заданной формулой

Важно!

Чтобы найти нули функции, нужно:

в формулу функции вместо

« у » (или « f(x) »,
« g(x) » и т.п.)
подставить «0»;
решить полученное уравнение
относительно « x »;
записать полученные решения уравнения для « x » в ответ.

По традиции разберемся на примере.

Разбор примера

Найдите нули функции:

Подставим вместо значения функции « f(x) » ноль.

0 = 0,2x + 3

Решаем полученное линейное уравнение
и записываем полученный ответ
для « x ».

Перенесем неизвестное « 0,2x » из правой части уравнения в левую с
противоположным
знаком.

−0,2x = 3 | · (−1)

0,2x = −3

Переведем десятичную дробь «0,2» в
обыкновненную для упрощения дальнейших расчетов.

0,2x = −3

· x = −3 | · 10

· x · 10 = −3 · 10

· x = −30

2x = −30

x =

x = −15

Ответ: x = −15 является нулем
функции f(x) = 0,2x + 3

Разбор примера

Найдите нули функции:

Вместо « f(x) » подставим ноль.

0 = x ³ − 4x

−x ³ + 4x = 0 | · (−1)

(−1) · (−x ³ + 4x) = 0 · (−1)

x ³ − 4x = 0

Вынесем общий множитель
« x » за скобки.

В левой части полученного уравнения у нас два множителя:
« x »
и «(x ² − 4)». Результат их умножения равен нулю.

Это возможно, когда любой
из множителей равен нулю. Поэтому рассмотрим оба варианта: когда множитель
« x » равен нулю и когда множитель «(x ² − 4)»
равен нулю.

Решаем квадратное уравнение
«x ² − 4 = 0».
Используем формулу
для решения квадратного уравнения с дискриминантом.

a · x ² + b · x + c = 0

x_1;2 =

x ² − 4 = 0

x_1;2 =

0 ±
√0² − 4 · 1 · (−4)

2 · 1

x_1;2 =

Запишем все полученные корни уравнений в ответ в порядке возрастания. Они будут являться нулями функции.

Ответ: x = −2; x = 0; x = 2 являются нулями функции
f(x) = x ³ − 4x

Разбор примера

Найдите нули функции:

Подставим вместо « h(x) » ноль.

Перенесем правую часть

в левую, изменив ее знак на минус.

Единственный вариант, когда дробь будет равна нулю, только если
ее числитель
«x ² − x − 6» будет равен нулю. Знаменатель
«x + 3» не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Решим полученное квадратное уравнение через формулу с дискриминантом.

a · x ² + b · x + c = 0

x_1;2 =

x ² − x − 6 = 0

x_1;2 =

−(−1) ±
√(−1)² − 4 · 1 · (−6)

2 · 1

x_1;2 =

x₁ =	x₂ =
x₁ =	x₂ =
x₁ = 3	x₂ = −2

Ответ: x = −2; x = 3 являются нулями функции

h(x) =

Разбор примера

Найдите нули функции:

Заменим «f(x)» на ноль.

Единственное число, квадратный корень которого равен нулю — это сам ноль.
Поэтому, квадратный корень
«√ x ² − 4 = 0 »

будет равен нулю, когда его подкоренное выражение
« x ² − 4 »
будет равно нулю.

Осталось решить полученное квадратное уравнение, чтобы найти нули функции
«f(x) = √x ² − 4».

x_1;2 =

x ² − 4 = 0

x_1;2 =

−(−0) ±
√(−0)² − 4 · 1 · (−4)

2 · 1

x_1;2 =

Ответ: x = −2; x = 2 являются нулями
функции f(x) = √x ² − 4

Как найти нули функции на графике функции

Важно!

Графически нули функции — это точки пересечения графика функции
с осью «Ox»
(осью абсцисс).

По определению
нули функции — это значения « x »,
при которых
« y = 0 ». Другими словами, у точек
графика функции, которые являются нулями функции,
координата « x » равна нулю.

Чтобы найти нули функции на графике
нам остается, только найти, какая у них
координата
по оси « Ox ».

Рассмотрим на примере.

Разбор примера

На рисунке ниже изображен график функции « y = f(x) », определенной на множестве действительных чисел. Используя график,
найдите нули функции.

Отметим на графике функции его точки пересечения с осью « Ox ».

Назовем полученные точки «(·)А» и «(·)B».
В точках «(·)А» и «(·)B» график функции пересекает
ось

« Ox » , то есть координаты точки «(·)А» и «(·)B»
по оси « Oy »
равны нулю.

Точки «(·)А» и «(·)B»
— нули функции. Теперь определим, чему равны их координаты по оси « Ox ».

На графике видно, что у точки «(·)А» координата « x » равна
« 0 », а у точки «(·)B» координата « x » равна
« 2 ».

Запишем полученные значения координат « x » в ответ.

Ответ: x = 0; x = 2 являются нулями функции.

Как найти нули функции, заданной таблицей

В некоторых заданиях, где требуется найти нули функции, сама функция задана не вполне привычно с помощью формулы,
а с помощью таблицы. Поиск нулей в таких примерах является легкой задачей.

Разбор примера

Найдите нули функции, заданной таблицей.

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−3	−1,5	0	2	1	0

Вспомним определение нулей функции.

Запомните!

Нули функции — это
значения « x » в функции,
при которых « y = 0 ».

Согласно определению нулей функции нам достаточно найти значения « x » в таблице,
где
« y = 0 ». Выделим их цветом.

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−3	−1,5	0	2	1	0

Остаётся только записать в ответ значения « x » из таблицы.

Ответ: x = 0; x = 3 являются нулями функции, заданной таблицей.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

Источник

Каждый из нас встречался с разными графиками, как на уроках, так и в жизни. Например, рассматривали, как изменяется температура воздуха в определенный период времени.

На рисунке видно, что температура воздуха была отрицательной с 0 часов до 6 часов, а также с 20 до 24 часов. Еще можем сказать, что температура повышалась до 14 часов, а затем понижалась. То есть по данному графику мы смогли определить некоторые свойства зависимости температуры воздуха от времени суток.

Свойства функции. Возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, нули, промежутки знакопостоянства

Остановимся подробнее на свойствах функций.

Нули функции

Определение

Нули функции – это значение аргумента, при которых функция обращается в нуль. Если смотреть нули функции на графике, то берем точки, где график пересекает ось х.

На рисунке он пересекает ось х при х=-1; х=4; х=6. Эти точки пересечения выделены красным цветом.Внимание!

Существует функция, которая не будет иметь нули функции. Это гипербола. Вспомним, что функция имеет вид у=k/x, где х не равное 0 число.

График функции у=k/x выглядит следующим образом: По данному рисунку видно, что нулей функции не существует.Как найти нули функции?

Для того чтобы найти нули функции, которая задана формулой, надо подставить вместо у число нуль и решить полученное уравнение.
Если график функции дан на рисунке, то ищем точки пересечения графика с осью х.

Рассмотрим примеры нахождения нулей функции. Пример №1. Найти нули функции (если они существуют):

а) у= –11х +22
б) у= (х + 76)(х – 95)
в) у= – 46/х

а) Для нахождения нулей функции необходимо в данную формулу вместо у подставить число 0, так как координаты точки пересечения графика с осью х (х;0). Нам нужно найти значение х. Получаем 0 = –11х +12. Решаем уравнение. Переносим слагаемое, содержащее переменную, в левую часть, меняя знак на противоположный: 11х=22

Находим х, разделив 22 на 11: х=22:11
Получим х=2.
Таким образом, мы нашли нуль функции: х=2

б) Аналогично во втором случае. Подставляем вместо у число 0 и решаем уравнение вида 0=(х + 76)(х – 95). Вспомним, что произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0.

Таким образом, так как у нас два множителя, составляем два уравнения: х + 76 = 0 и х – 95 = 0. Решаем каждое, перенося числа 76 и -95 в правую часть, меняя знаки на противоположные. Получаем х = – 76 и х = 95.

Значит, нули функции это числа (-76) и 95.

в) в третьем случае: если вместо у подставить 0, то получится 0 = – 46/х, где для нахождения значения х нужно будет -46 разделить на нуль, что сделать невозможно. Значит, нулей функции в этом случае нет.

Пример №2. Найти нули функции у=f(x) по заданному графику.

Находим точки пересечения графика с осью х и выписываем значения х в этих точках. Это (-4,9); (-1,2); 2,2 и 5,7. У нас на рисунке точки пересечения выделены красным цветом.

Промежутки знакопостоянства

Определение

Промежутки, где функция сохраняет знак (то есть значение y либо положительное на этом промежутке, либо отрицательное), называется промежутками знакопостоянства.

Рассмотрим по нашему рисунку, на какие промежутки разбивается область определения данной функции [-3; 7] ее нулями. По графику видно, что это 4 промежутка: [-3; -1), (-1;4), (4; 6) и (6; 7]. Помним, что значения из области определения смотрим по оси х.

На рисунке синим цветом выделены части графика в промежутках [-3; -1) и (4; 6), которые расположены ниже оси х. Зеленым цветом выделены части графика в промежутках (-1;4) и (6; 7], которые расположены выше оси х.

Значит, что в промежутках [-3; -1) и (4; 6) функция принимает отрицательные значения, а в промежутках (-1;4) и (6; 7] она принимает положительные значения. Это и есть промежутки знакопостоянства.

Пример №3. Найдем промежутки знакопостоянства по заданному на промежутке [-2; 10] графику функции у=f(x).

Функция принимает положительные значения в промежутках [-2; -1) и (3; 8). Обратите внимание, что эти части на рисунке выделены зеленым цветом.

Функция принимает отрицательные значения в промежутках (-1; 3) и (8; 10]. Обратите внимание на линии синего цвета.

Возрастание и убывание функции

Значения функции могут уменьшаться или увеличиваться. Это зависит от того, как изменяются значения х. Рассмотрим это свойство по рисунку.

На графике видно, что с увеличением значения х от -3 до 2 значения у тоже увеличиваются. Также с увеличением значения х от 5 до 7 значения у опять увеличиваются. Проще говоря, слева направо график идет вверх (синие линии). То есть в промежутках [-3; 2] и [5; 7] функция у=f(x) является возрастающей.

Посмотрим на значения х, которые увеличиваются от 2 до 5. В этом случае значения у уменьшаются. На графике эта часть выделена зеленым цветом. Слева направо эта часть графика идет вниз. То есть в промежутке [2;5] функция у=f(x) является убывающей.

Определение

Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Метод интервалов: примеры, решения

Метод интервалов принято считать универсальным для решения неравенств. Иногда этот метод также называют методом промежутков. Применим он как для решения рациональных неравенств с одной переменной, так и для неравенств других видов. В нашем материале мы постарались уделить внимание всем аспектам вопроса.

Что ждет вас в данном разделе? Мы разберем метод промежутков и рассмотрим алгоритмы решения неравенств с его помощью. Затронем теоретические аспекты, на которых основано применение метода.

Особое внимание мы уделяем нюансам темы, которые обычно не затрагиваются в рамках школьной программы. Например, рассмотрим правила расстановки знаков на интервалах и сам метод интервалов в общем виде без его привязки к рациональным неравенствам.

Алгоритм

Кто помнит, как происходит знакомство с методом промежутков в школьном курсе алгебры? Обычно все начинается с решения неравенств вида f(x) или ≥). Здесь f(x) может быть многочленом или отношением многочленов. Многочлен, в свою очередь, может быть представлен как:

произведение линейных двучленов с коэффициентом 1 при переменной х;

произведение квадратных трехчленов со старшим коэффициентом 1 и с отрицательным дискриминантом их корней.

Приведем несколько примеров таких неравенств:

(x+3)·(x2−x+1)·(x+2)3≥0,
(x-2)·(x+5)x+3>0 ,
(x−5)·(x+5)≤0,
(x2+2·x+7)·(x-1)2(x2-7)5·(x-1)·(x-3)7≤0 .

Запишем алгоритм решения неравенств такого вида, как мы привели в примерах, методом промежутков:

находим нули числителя и знаменателя, для этого числитель и знаменатель выражения в левой части неравенства приравниваем к нулю и решаем полученные уравнения;
определяем точки, которые соответствуют найденным нулям и отмечаем их черточками на оси координат;
определяем знаки выражения f(x) из левой части решаемого неравенства на каждом промежутке и проставляем их на графике;
наносим штриховку над нужными участками графика, руководствуясь следующим правилом: в случае, если неравенство имеет знаки или ≥, то выделяем штриховкой участки, отмеченные знаком «+».

Четреж, с которым мы будем работать, может иметь схематический вид. Излишние подробности могут перегружать рисунок и затруднять решение. Нас будет мало интересовать маштаб. Достаточно будет придерживаться правильного расположения точек по мере роста значений их координат.

При работе со строгими неравенствами мы будем использовать обозначение точки в виде круга с незакрашенным (пустым) центром. В случае нестрогих неравенств точки, которые соответствуют нулям знаменателя, мы будем изображать пустыми, а все остальные обычными черными.

Отмеченные точки разбивают координатную прямую на несколько числовых промежутков. Это позволяет нам получить геометрическое представление числового множества, которое фактически является решением данного неравенства.

Научные основы метода промежутков

Основан подход, положенный в основу метода промежутков, основан на следующем свойстве непрерывной функции: функция сохраняет постоянный знак на интервале (a, b), на котором эта функция непрерывна и не обращается в нуль. Это же свойство характерно для числовых лучей (−∞, a) и (a, +∞).

Приведенное свойство функции подтверждается теоремой Больцано-Коши, которая приведена во многих пособиях для подготовки к вступительным испытаниям.

Обосновать постоянство знака на промежутках также можно на основе свойств числовых неравенств. Например, возьмем неравенство x-5x+1>0 . Если мы найдем нули числителя и знаменателя и нанесем их на числовую прямую, то получим ряд промежутков: (−∞, −1), (−1, 5) и (5, +∞).

Возьмем любой из промежутков и покажем на нем, что на всем промежутке выражение из левой части неравенства будет иметь постоянный знак. Пусть это будет промежуток (−∞, −1). Возьмем любое число t из этого промежутка. Оно будет удовлетворять условиям t

Источник

Нули функции

Что такое нули функции? Как определить нули функции аналитически и по графику?

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Чтобы найти нули функции, заданной формулой y=f(x), надо решить уравнение f(x)=0.

Если уравнение не имеет корней, нулей у функции нет.

1) Найти нули линейной функции y=3x+15.

Чтобы найти нули функции, решим уравнение 3x+15 =0.

Таким образом, нуль функции y=3x+15 — x= -5 .

2) Найти нули квадратичной функции f(x)=x²-7x+12.

Для нахождения нулей функции решим квадратное уравнение

Его корни x1=3 и x2=4 являются нулями данной функции.

3)Найти нули функции

Дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля. Следовательно, x²-1≠0, x² ≠ 1,x ≠±1. То есть область определения данной функции (ОДЗ)

Из корней уравнения x²+5x+4=0 x1=-1 x2=-4 в область определения входит только x=-4.

Чтобы найти нули функции, заданной графически, надо найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

Если график не пересекает ось Ox, функция не имеет нулей.

функция, график которой изображен на рисунке,имеет четыре нуля —

В алгебре задача нахождения нулей функции встречается как в виде самостоятельного задания, так и при решения других задач, например, при исследовании функции, решении неравенств и т.д.

Нули функции онлайн

Одной из задач, возникающих при исследовании функции, является нахождение её нулей — т.е. точек пересения с осью абсцисс. Рассмотрим график некоторой функции :

Нулями функции являются точки в которых, как было сказано выше, график функции пересекает ось абсцисс. Чтобы найти нули функции необходимо и достаточно решить уравнение:

Нулями функции будут корни этого уравнения. Таким образом, нули функции находятся в точках .

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha способен найти нули практически любой, даже очень сложной функции.

Что такое нули функции и как их определить

Что такое нули функции? Ответит довольно прост — это математический термин, под которым подразумевают область определения заданной функции, на котором ее значение нулевое. Нули функции также называют корнями уравнения. Проще всего пояснить, что такое нули функции, на нескольких простых примерах.

Примеры

Рассмотрим несложное уравнение у=х+3. Поскольку нуль функции — это значение аргумента, при котором у приобрел нулевое значение, подставим 0 в левую часть уравнения:

В данном случае -3 и есть искомый нуль. Для данной функции существует только один корень уравнения, но так бывает далеко не всегда.

Рассмотрим другой пример:

Подставим 0 в левую часть уравнения, как и в предыдущем примере:

Очевидно, что в данном случае нулей функции будет два: х=3 и х=-3. Если бы в уравнении был аргумент третьей степени, нулей было бы три. Можно сделать простой вывод, что количество корней многочлена соответствует максимальной степени агрумента в уравнении. Однако многие функции, например у=х 3 , на первый взгляд противоречат этому утверждению. Логика и здравый смысл подсказывают, что у этой функции только один нуль — в точке х=0. Но на самом деле корней три, просто все они совпадают. Если решать уравнение в комплексной форме, это становится очевидным. х=0 в данном случае, корень, кратность которого 3. В предыдущем примере нули не совпадали, потому имели кратность 1.

Алгоритм определения

Из представленных примеров видно, как определить нули функции. Алгоритм всегда один и тот же:

Записать функцию.
Подставить у или f(x)=0.
Решить получившееся уравнение.

Сложность последнего пункта зависит от степени аргумента уравнения. При решении уравнений высоких степеней особенно важно помнить, что количество корней уравнения равно максимальной степени аргумента. Особенно это актуально для тригонометрических уравнений, где деление обоих частей на синус или косинус приводит к потере корней.

Уравнения произвольной степени проще всего решать методом Горнера, который был разработан специально для нахождения нулей произвольного многочлена.

Значение нулей функций может быть как отрицательным, так и положительным, действительным или лежащим в комплексной плоскости, единичным или множественным. Или же корней уравнения может и не быть. Например, функция у=8 не приобретет нулевого значения ни при каком х, потому что она не зависит от этой переменной.

Уравнение у=х 2 -16 имеет два корня, и оба лежат в комплексной плоскости: х₁=4і, х₂=-4і.

Типичные ошибки

Частая ошибка, которую допускают школьники, еще не разобравшиеся толком в том, что такое нули функции, — это замена на ноль аргумента (х), а не значения (у) функции. Они уверенно подставляют в уравнение х=0 и, исходя из этого, находят у. Но это неправильный подход.

Другая ошибка, как уже упоминалось, сокращение на синус или косинус в тригонометрическом уравнении, из-за чего и теряется один или несколько нулей функции. Это не означает, что в таких уравнениях нельзя ничего сокращать, просто при дальнейших подсчетах необходимо учитывать эти «потерянные» сомножители.

Графическое представление

Понять, что такое нули функции, можно с помощью математических программ, таких как Maple. В ней можно построить график, указав желаемое количество точек и нужный масштаб. Те точки, в которых график пересечет ось ОХ, и есть искомые нули. Это один из самых быстрых способов нахождения корней многочлена, особенно если его порядок выше третьего. Так что если есть необходимость регулярно выполнять математические расчеты, находить корни многочленов произвольных степеней, строить графики, Maple или аналогичная программа будет просто незаменима для осуществления и проверки расчетов.

источники:

http://mathforyou.net/online/calculus/zeros/

http://fb.ru/article/271350/chto-takoe-nuli-funktsii-i-kak-ih-opredelit

Источник

6.1 Нули аналитической функции

Определение.
Точка

называется нулем
аналитической функции

порядка (или кратности)

,
если

.
В случае

точка

называется простым
нулем.

Теорема.
Для того, чтобы точка

была
нулем

-гo
порядка функции

,
аналитической
в точке

,
необходимо и достаточно, чтобы в некоторой
окрестности этой точки имело место
равенство

,
где

аналитична в точке

и

.

Пример
1. Найти нули
функции

и определить их порядки.

Из
уравнения

находим точки

,

– нули данной функции. Имеем:

,

,
т.е. точки

– нули второго порядка данной функции.

Пример
2. Найти нули
функции

и определить их порядки.

Полагая

,
получаем, что

или

.
Решая
эти уравнения, находим нули функции

.
Пусть

;
тогда

можно представить в виде

,
где функция

является аналитической
в точке

,
причем

.
Это означает, что точка

есть нуль
третьего порядка.
Аналогично
доказывается, что и точка

является нулем третьего порядка.
Исследуем нули

.
Производная

в точках

отлична от
нуля. Следовательно,

– простые нули функции

6.2 Изолированные особые точки

Определение
1. Точка

называется особой
точкой
аналитической функции

,
если в этой точке аналитичность функции
нарушается.

Определение
2. Точка

называется изолированной
особой точкой
функции

,
если существует окрестность

этой точки с
исключенной точкой

,
в которой

аналитична,
кроме
самой точки

Существует
три типа изолированных особых точек.
Приведем их
определения.

Определение
3. Точка

называется
устранимой
особой точкой
функции

,
если разложение этой функции в ряд
Лорана в окрестности точки

не содержит главной части.

Определение
4. Точка

называется
полюсом
кратности

функции

,
если в разложении функции в ряд Лорана
в окрестности точки

главная
часть разложения содержит конечное
число членов, причем младшим отличным
от нуля коэффициентом является

.

Определение
5. Точка

называется
существенно
особой точкой
функции

,
если главная часть разложения функции
в ряд Лорана в окрестности
точки

содержит бесконечное число членов.

Приведем критерии
типа изолированных особых точек.

1)
для того чтобы точка

была
устранимой особой точкой функции

,
необходимо
и достаточно, чтобы существовал

;

2)
для того чтобы точка

была полюсом
кратности

функции

,
необходимо и достаточно, чтобы

,

3)
для того чтобы точка

была существенно особой точкой функции

,
необходимо и достаточно, чтобы

не существовал.

Полезна следующая
теорема.

Теорема
(связь
между нулями и полюсами).
Для того чтобы точка

была полюсом
порядка

функции

,
нужно, чтобы она была нулем

—го
порядка функции

.

Пример
1. Для функции

особой
точкой является

.

;

значит

есть устранимая особая точка.

Пример
2. Для
функции

,

является
особой точкой. Так как

,

– это полюс. Рассмотрим функцию

,
так как

,

;

,

;

,

;

,

;

,

,
значит

– нуль
пятого порядка функции

и по теореме о связи между нулями и
полюсами, точка

является полюсом пятого порядка для
функции

Пример
3. Для
функции

является особой точкой. Разложение

в ряд Лорана:

в главной
части содержит бесконечное число членов;
это существенно особая
точка.

Пример
4.
Найти все особые точки функции

и определить их тип.

Особыми
точками являются точка

и точки, в которых знаменатель обращается
в нуль. Имеем

,
откуда

,
причем эти точки являются нулями первого
порядка. Следовательно, в точках

функция

имеет простые полюса. Точка

не является изолированной особой точкой,
так как она является пределом полюсов:

,
это означает, что любая окрестность
точки

содержит бесконечное число особых точек

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Нули аналитических функций

Пусть функция f(z) является аналитической в точке z_0 .

Точка z_0 называется нулем функции f(z) , если ее значение в этой точке равно нулю, т.е. f(z_0)=0 .

В разложении функции в ряд Тейлора в окрестности нуля этой функции отсутствует свободный член: c_0=f(z_0)=0 . Если при этом в разложении отсутствуют и слагаемые, содержащие степени разности (z-z_0) до n-й степени, т.е. разложение имеет вид

$f(z)= sum_{k=n}^{infty}c_k(z-z_0)^k,quad f(z)=c_n(z-z_0)^n+ c_{n+1}(z-z_0)^{n+1}+ ldots,quad c_nne0,$

(3.20)

то точка z_0 называется нулем порядка функции f(z) . Нуль первого порядка называется простым нулем.

Правую часть равенства (3.20) можно записать в виде произведения:

$f(z)=(z-z_0)^ncdot bigl[c_n+c_{n+1}(z-z_0)+ldotsbigr]$ , или f(z)= (z-z_0)^ncdot bigl[b_0+b_1(z-z_0)+ldotsbigr] ,

где второй множитель можно рассматривать как степенной ряд, сходящийся в точке z_0 , поэтому его сумма — функция, аналитическая в точке z_0 ; обозначим ее varphi(z) . Таким образом, из (3.20) получаем представление функции f(z) в виде

f(z)=(z-z_0)^ncdot varphi(z),qquad varphi(z_0)=c_nne0.

(3.21)

Кроме того, используя формулу коэффициентов ряда Тейлора $c_n=frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$ , находим, что для нуля порядка функции f(z) в точке z_0 справедливо условие

$f^{(n)}(z_0)ne0,qquad f^{(k)}(z_0)=0,quad k=0,1,2,ldots,(n-1),$

(3.22)

т.е. порядок нуля функции определяется порядком первой отличной от нуля в этой точке производной.

Пусть функция f(z) задана в виде произведения f(z)=f_1(z)cdot f_2(z) и точка z_0 является нулем порядка для f_1(z) и нулем порядка для f_2(z) . Тогда, используя условие (3.21) для этих функций, можно записать

f(z)= (z-z_0)^kcdot varphi_1(z)cdot (z-z_0)^mcdot varphi_2(z),

или

$f(z)= (z-z_0)^{m+k}cdot varphi(z),qquad varphi(z)= varphi_1(z)cdot varphi_2(z),quad varphi(z_0)ne0.$

(3.23)

Это означает, что порядок нуля в точке z_0 функции, полученной в результате перемножения аналитических функций, равен сумме порядков нуля в этой точке функций-сомножителей.

Сформулируем вывод в виде следующего утверждения.
Утверждение 3.5

1. Точка z_0 является нулем функции f(z) , если f(z_0)=0 ; нулем порядка -если для коэффициентов ряда Тейлора ее разложения по степеням (z-z_0) справедливы равенства

c_k=0,quad k=0,1,2,ldots,(n-1),quad c_nne0.

2. Следующие условия являются необходимыми и достаточными условиями пуля порядка п функции f(z) в точке z_0colon

а) условие (3.22): $f^{(n)}(z_0)ne0,~~ f^{(k)}(z_0)=0,~ k=0,1,1,ldots,(n-1)$ ;
б) представление функции в виде произведения (3.21): f(z)=(z-z_0)^ncdot varphi(z),~~ varphi(z_0)=c_nne0 .

Замечания 3.3

1. Если функция не определена в точке z_0 , но $limlimits_{zto z_0}f(z)=0$ , то после доопределения функции в точке $z_0colon, f(z_0)= limlimits_{zto z_0}f(z)$ , точку z_0 тоже называют нулем функции. Например, для функции $f(z)=frac{sin^2z}{z}$ , доопределенной в точке $z_0=0colon, f(z)= begin{cases}dfrac{sin^2z}{z},& zne0,\ 0,& z=0,end{cases}$ точка z_0=0 является нулем.

2. Пусть f(z) представлена в виде отношения $frac{f_1(z)}{f_2(z)}$ аналитических в точке z_0 функций и точка z_0 является нулем порядка для числителя и нулем порядка — для знаменателя. При условии k>m , доопределив функцию f(z) , выше, получим, z_0 — нуль функции f(z) .

Используя условие (3.21) для функций f_1(z) и f_2(z) , получаем равенство $f(z)= frac{(z-z_0)^k varphi_1(z)}{(z-z_0)^m varphi_2(z)}$ , или $f(z)= (z-z_0)^{k-m} varphi(z)$ . Здесь — аналитическая в точке z_0 , так как и — аналитические в этой точке и varphi_2(z_0)ne0 . Кроме того, varphi(z_0)ne0 , так как varphi_1(z_0)ne0 . Поэтому для функции f(z) точка z_0 является нулем порядка (k-m) (см. (3.21)). Порядок нуля частного равен разности — из порядка нуля числителя вычитается порядок нуля знаменателя.

Алгоритм нахождения нулей аналитических функций и определения их порядков

1. Найти нули аналитической функции f(z) , решая уравнение f(z)=0 .

2. Определить порядок каждого полученного нуля z_0 . Для этого выполнить одно из следующих действий:

а) разложить f(z) в ряд по степеням (z-z_0) . Младшая степень разности (z-z_0) , присутствующая в разложении (3.20), определяет порядок нуля z_0 ;

б) найти производные $f^{(k)}(z)$ и их значения в нуле функции, т.е. $f^{(k)}(z_0)$ . Порядок нуля z_0 функции f(z) определяется порядком первой, не равной нулю в точке производной;

в) записать функцию в виде произведения (3.21); степень разности (z-z_0) в этом произведении определяет порядок нуля z_0 ;

г) записать функцию в виде произведения более простых функций и для каждой из них определить порядок нуля z_0 по одному из изложенных в предыдущих пунктах правилу. Порядок нуля го произведения равен сумме порядков нуля сомножителей.

3. Для функции f(z) , не определенной в точке z_0 , но удовлетворяющей в этой точке условию $limlimits_{zto z_0}f(z)=0$ , порядок нуля го определить по правилам, изложенным в п. 2 или в соответствии с замечанием 3.3.

Пример 3.26. Найти все нули функции f(z)=z^5-z^4+4z^3-4z^2 , определить их порядок.

Решение. Воспользуемся алгоритмом.

1. Раскладываем многочлен на множители: f(z)=z^4(z-1)+4z^2(z-1)= z^2(z-1)(z^2+4) . Находим нули функции: $z_1=0,~ z_2=1,~z_{3,4}=pm2i$ . Разложение многочлена на линейные множители имеет вид f(z)=z^2(z-1)(z-2i)(z+2i) .

2. Определяем порядок каждого нуля. Удобнее использовать для этого формулу (3.21). Для точки z_1=0 из равенства f(z)= z^2cdot varphi(z),~ varphi(0)ne0 , получаем, что z=0 — нуль второго порядка; для точки z_2=1 из равенства f(z)= (z-1)cdot varphi(z),~ varphi(1)ne0 , получаем, что z=1 — нуль первого порядка (простой нуль); для точек $z_{3,4}=pm2i$ аналогично находим, что это нули первого порядка (простые нули) данной функции.

Пример 3.27. Определить порядок нуля z_0=0 для функций:

а) $f(z)=e^{z^2}-1-z^2$ ; б) f(z)=sin^3z-1+cos z .

Решение. а) Для определения порядка нуля z_0=0 удобно использовать определение, т.е. разложить функцию по степеням (п. 2″а» алгоритма). Получаем

$e^{z^2}-1-z^2= left(1+z^2+frac{z^4}{2!}+ldotsright)-1-z^2= frac{z^4}{2!}+ frac{z^6}{3!}+ldots$

Так как в полученном разложении коэффициент $c_4=frac{1}{2}$ , т.е. не равен нулю, а предыдущие равны нулю (c_0=c_1=c_2=c_3=0) , то заключаем, что точка z_0=0 является нулем порядка n=4 для данной функции.

б) В данном случае используем формулу (3.22), т.е. п. 2″б» алгоритма. Находим значения производных функции в точке z_0=0colon

$begin{gathered} f'(z)= 3sin^2zcdotcos z-sin z,quad f'(0)=0;\ f''(z)= 6sin zcdot cos^2z-3sin^3z-cos z,quad f''(0)=-1ne0.end{gathered}$

Следовательно, точка z_0=0 является нулем второго порядка (n=2) данной функции.

Пример 3.28. Определить порядок нуля функции $f(z)=bigl(e^{z^2}-1-z^2bigr)sin^3z$ в точке z_0=0 .

Решение. Функция записана в виде произведения двух функций. Для первого множителя $f_1(z)=e^{z^2}-1-z^2$ порядок нуля в точке z_0=0 определен в предыдущем примере: k=4 . Для функции sin z точка z_0=0 — нуль первого порядка, так как согласно п. 2″б» алгоритма f'(0)=cos0=1ne0 . Поэтому, учитывая, что f_2(z)=sin^3z= (sin z)^3=sin zsin zsin z и пользуясь п. 2″г» алгоритма, получаем, что z_0=0 — нуль третьего порядка (m=3) . Поскольку f(z)=f_1(z)cdot f_2(z) , то по правилу 2″г» алгоритма получаем результат — точка z_0=0 является нулем седьмого порядка заданной функции, так как n=k+m=7 .

Пример 3.29. Найти нули функций а) $frac{sin^3z}{z}$ и б) $frac{e^{2z}-1}{sin z}$ ; определить их порядок.

Решение. а) Равенство f(z)=0 в области определения функции выполняется для точек , таких, что

sin^3z=0,~~ zne0 , то есть z_k=kpi,~~ k=pm1,pm2,ldots .

Эти точки, очевидно, простые нули функции sin z , а потому нули третьего порядка для функции sin^3z . Поэтому для каждого нуля z_k , используя необходимое условие (см. п. 2 утверждения 3.5), можно записать sin^3z= (z-z_k)^3 varphi_1(z),~ varphi_1(z_k)ne0 и, следовательно, $frac{sin^3z}{z}= (z-z_k)^3 varphi(z),~ varphi(z_k)ne0$ . Из этого, в силу достаточного условия (3.21) (см. п. 2 утверждения 3.5), заключаем, что точки z_k=kpi,~ k=pm1,pm2,ldots являются нулями третьего порядка данной функции. Кроме того, так как выполняется условие $limlimits_{zto0} frac{sin^3z}{z}= limlimits_{zto0} frac{sin z}{z}cdotsin^2z=0$ , то, после доопределения функции (см. п.1 замечаний 3.3 ), получаем, что z_0=0 является нулем функции. Чтобы определить порядок нуля, используем результат, полученный в п.2 замечаний 3.3. А именно, для функции, стоящей в числителе, точка z=0 — нуль третьего порядка (k=3) , а для знаменателя, очевидно, простой нуль (m=1) . Поэтому z=0 — нуль второго порядка данной функции.

б) Нулями функции в области определения zne kpi,~ kinmathbb{Z} являются точки z_k=kpi i,~ k=pm1,pm2,ldots — корни уравнения $e^{2z}=1,~ zne0$ . Эти точки — простые нули числителя и $e^{2z}-1= (z-z_k)varphi_1(z),~ varphi_1(z_k)ne0$ . Поэтому из равенства $f(z)=frac{z-z_k}{sin z}varphi_1(z)$ или f(z)=(z-z_k)varphi(z),~ varphi(z_k)ne0 заключаем, что z_k=kpi i,~ k=pm1,pm2,ldots — простые нули данной функции.

В точке z=0 , которая также является нулем числителя, функция не определена. Найдем предел функции в этой точке. Для раскрытия неопределенности $limlimits_{zto0} frac{e^{2z}-1}{sin z}$ можно использовать свойства пределов, или разложить по степеням числитель и знаменатель:

$limlimits_{zto0} frac{e^{2z}-1}{sin z}= limlimits_{zto0} frac{left(1+2z+ frac{(2z)^2}{2!}+ldotsright)-1}{z-frac{z^3}{3!}+ldots}= limlimits_{zto0} frac{z left(2+ frac{4z}{2!}+ldotsright)}{z left(1-frac{z^2}{3!}+ldotsright)}= 2.$

Так как $limlimits_{zto0}f(z)ne0$ , то точка z=0 не является нулем данной функции.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник