Как найти точки пересечения прямой с поверхностью

Пересечение прямой линии с поверхностью:

Для построения точки пересечения прямой с поверхностью через прямую следует провести вспомогательную плоскость и найти линию пересечения этой плоскости с поверхностью. Точка пересечения (или точка встречи заданной прямой и построенной линии или фигуры сечения) на поверхности и будет искомой точкой пересечения прямой с поверхностью. Сложность решения задачи зависит от трудоемкости нахождения линии пересечения, которая определяется следами поверхности и расположением прямой относительно как поверхности, так и плоскости проекций. Чтобы получить рациональное решение, следует пользоваться наиболее простым способом определения линии пересечения. Этого можно достичь двумя путями:

• выбором положения вспомогательной секущей плоскости;
• переводом секущей прямой в частное положение.

Вспомогательная секущая плоскость -проецирующая

Задание: определить точки пересечения прямой m с поверхностью пирамиды SABC (рис. 12.1).

Решение: для решения задачи прямую m заключают во фронтально проецирующую плоскость Σ (

Задание: определить точки пересечения прямой m с поверхностью прямого кругового цилиндра (рис. 12.2).

 

Решение: при решении задачи выделим проекции точек пересечения М и N прямой m с поверхностью цилиндра на горизонтальной проекции — точки . Так как образующие прямого кругового цилиндра являются горизонтально проецирующими прямыми, фронтальные проекции точек пересечения прямой m с поверхностью цилиндра и находят с помощью линий проекционной связи, как это показано на рисунке.

Вспомогательная секущая плоскость общего положения

Вспомогательную секущую плоскость, проводимую через прямую, при пересечении ею какой-либо поверхности, следует выбирать так, чтобы в результате получилось простейшее сечение. Например, при пересечении конической поверхности прямой линией такой плоскостью является плоскость, проходящая через вершину и пересекающая эту поверхность по прямым линиям (образующим).

При пересечении цилиндрической поверхности прямой линией вспомогательную плоскость целесообразно проводить через заданную прямую параллельно образующим цилиндра.  

Задание: определить точки пересечения прямой m с поверхностью прямого кругового конуса (рис. 12.3).

 

Решение: прямую m заключают в плоскость Р, проходящую через вершину конической поверхности S. Плоскость Р задана пересекающимися прямыми m и n, проходящими через точку А, которая выбирается произвольно на заданной прямой m.

Для определения горизонтального следа плоскости Р находят горизонтальные следы прямых m и n. Следы отмечают точками, например, , в которых горизонтальный след плоскости Р пересекает основание конической поверхности. Проекции — образующие поверхности конуса, по которым она пересекается плоскостью Р.

Точки — горизонтальные проекции искомых точек пересечения. Зная положение определяют фронтальные проекции .

Перевод прямой общего положения, пересекающей заданную поверхность в частное положение

При пересечении поверхности сферы плоскостью в сечении получается окружность, которая проецируется на плоскости проекции в виде эллипсов или прямой и эллипса (если секущая плоскость — проецирующая). В случае, когда секущая плоскость параллельна плоскости проекции, окружность проецируется на эту плоскость проекции без искажения. Поэтому для упрощения решения задачи следует произвольно расположенную прямую перевести в положение, параллельное какой-либо плоскости проекции. Тогда прямую можно заключить в плоскость, параллельную плоскости проекции.  

• Заказать чертежи

Задание: определить точки встречи прямой m, заданной отрезком АВ, с поверхностью сферы (рис. 12.4).  

Решение: при решении этой задачи переводят прямую m общего положения в положение, параллельное плоскости проекции. Для этого вводят новую систему плоскостей в которой , и переходят от системы к системе. Новую ось проекций проводят параллельно горизонтальной проекции прямой .

Далее от концов горизонтальной проекции прямой, точек и проводят линии проекционной связи, перпендикулярные к новой оси проекций, и на них на плоскости откладывают координаты и т.е. расстояния от оси проекций х до фронтальных проекций точек . Новая проекция будет натуральной длиной отрезка прямой АВ.

Аналогично находят и центр сферы

В новой системе горизонтально проецирующая плоскость Р  пересечет поверхность сферы по окружности радиусом R, которая спроецируется на плоскость в отрезок (1-2), а на плоскость в окружность тем же радиусом R. Точки — вспомогательные проекции точек пересечения, по которым определяют проекции точек а затем .

Плоскость, касательная к поверхности

Плоскость, касательная к поверхности в заданной на поверхности точке, есть множество всех прямых — касательных, проведенных к поверхности через заданную точку.

Для задания плоскости, касательной к поверхности в заданной точке, достаточно провести через эту точку две произвольные линии, принадлежащие поверхности (желательно простые по форме) и к каждой их них построить касательные в точке пересечения этих линий. Построенные прямые (касательные) определяют касательную плоскость.  

Задание: построить плоскость Р, касательную к поверхности сферы и проходящую через точку К (рис. 12.5).  

Решение: плоскость, касательная к сфере, перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому, проведя радиус ОК, строят плоскость, задавая ее горизонталью КВ и фронталью КС.

При этом горизонтальная проекция  перпендикулярна к , а фронтальная проекция перпендикулярна к .

Возможны три варианта расположения
прямой относительно поверхности. Прямая
может:

1. пересекать поверхность;

2. касаться поверхности;

3. не пересекать поверхность.

Частные случаи:

Пример 1.
Пересекаются прямая общего положения
l
с проецируюей поверхностью .

Если задана проецирующая поверхность,
то одна из проекций искомых точек
пересечения определяется сразу, исходя
из принадлежности их этой проецирующей
поверхности.

В данном примере призма является
горизонтально-проецирующей поверхностью,
следовательно, горизонтальные проекции
точек пересечения лежат на пересечении
горизонтальной проекции прямой lи горизонтального очерка призмы.

.

Рис. 6.10

Вторая проекция точек определяется
исходя из принадлежности их непроецирующей
прямой l.

.

Пример 2. Пересекаются проецирующая
прямая i с
поверхностью конуса .

Рис. 6.11

В этом случае одна
из проекций искомой точки также
изначально определена на чертеже. Она
совпадает с вырожденной проекцией
прямой.

.

Вторая
проекция точки определяется из условия
принадлежности ее образующей поверхности.

.

Общий случай:

Пересекаются
непроецирующая поверхность и прямая
общего положения.

В
этом случае, чтобы найти точки пересечения
прямой с поверхностью, необходимо:

1. Заключить
   прямую в дополнительную (вспомогательную)
   плоскость.

2. Построить
   линию пересечения вспомогательной
   плоскости с поверхностью.

3. Определить
   точки пересечения полученного сечения
   с заданной прямой.

Эти точки являются
искомыми.

В
качестве вспомогательной плоскости
выбирают плоскость общего или частного
положения, дающую наиболее простую
линию сечения поверхности (ломаную или
окружность).

Пример:
Построить точки пересечения прямой l
с трехгранной пирамидой SABC.
Определить видимость прямой относительно
поверхности.

Рис. 6.12

Видимость
прямой определяется по принадлежности
точек пересечения граням пирамиды.
Видима та часть прямой, которая исходит
из точки, лежащей на видимой грани
многогранника.

Пример:
Построить
точки пересечения прямой l
с конусом.

В
данном примере в качестве дополнительной
плоскости выбирается плоскость общего
положения, проходящая через вершину
конуса и пересекающая его боковую
поверхность по образующим.

Видимость
прямой определяется по принадлежности
точек пересечения той или иной образующей.
Видна та часть прямой, которая исходит
из точки, принадлежащей видимой
образующей.

Рис. 6.13

Лекция 10

6.7. Пересечение поверхности вращения плоскостью

Форма сечения
поверхности вращения плоскостью зависит
от угла наклона секущей плоскости к
оси вращения поверхности.

Если секущая
плоскость:

1. перпендикулярна оси вращения, сечение
   – окружность;

2. наклонена к оси и пересекает все
   образующие – эллипс;

3. параллельна одной образующей –
   парабола;

4. параллельна двум образующим – гипербола;

5. проходит через вершину – две
   пересекающиеся прямые;

6. касается поверхности – прямая.

Вся совокупность этих линий может быть
получена при пересечении конуса
плоскостью. Поэтому их называют
коническими сечениями, или
кониками.

Рис. 6.14

Для
построения линии пересечения необходимо
найти общие точки поверхности и заданной
плоскости. Для определения этих точек
необходимо ввести дополнительные
секущие плоскости, которые дают наиболее
простые линии сечения – окружности
или ломаные прямые.

Построение
линии сечения начинают с нахожденияхарактерных
точек сечения,
к которым относятся:

1. высшая и низшая
   точки;

2. крайняя левая и
   крайняя правая точки, в которых проекции
   линии сечения касаются очерковых
   образующих (точки, лежащие на границе
   видимости);

3. ближайшая и
   наиболее удаленная точки сечения.

Пример:
Определить
линию сечения конуса плоскостью общего
положения (hf).
Построить развертку нижней отсеченной
поверхности конуса.

Анализ формы линии пересечения

Заданная плоскость пересекает только
боковую поверхность конуса, следовательно,
линией сечения qявляется эллипс.

Характерные
точки линии пересечения:

1. Высшая
   и низшая точки сечения
   (А, В)
   определяют большую ось эллипса и лежат
   на линии наибольшего наклона плоскости
   к плоскости основания конуса. Эти точки
   определяются с помощью дополнительной
   плоскости.

О
– центр
эллипса

1. Малая
   ось эллипса
   (С, D)
   перпендикулярна к линии наибольшего
   наклона (большой оси), т.е. лежит на
   горизонтали плоскости
   .

1. Точки
   границы видимости
   (E,
   F)
   сечения на
   лежат в плоскости,
   делящей конус на видимую и невидимую
   части по отношению к фронтальной
   плоскости проекций.

Рис. 6.15

Развертка

Полная развертка
боковой поверхности конуса представляет
собой угол кругового сектора. Ее можно
построить двумя способами:

1. Нахождение
   угла кругового сектора.

Рис. 6.16

где
d
– диаметр окружности основания конуса,

l
– длина образующей.

1. Способ
   малых хорд.

Графическое
построение величины
осуществляется способом малых хорд,
при котором окружность основания конуса
делится на 8 или 12 равных частей и
полученная длина дуги приравнивается
ее хорде.

Разрывать
отсеченную боковую поверхность следует
по наиболее короткой или длинной
образующей, так чтобы развертка
представляла собой симметричную фигуру
и была единым целым.

Рис. 6.17

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

8.1. Взаимное положение прямой и поверхности. Пересечение поверхности прямой линией

Одной из позиционных задач является определение взаимного положения прямой и поверхности.

Прямая может принадлежать поверхности и в этом случае все точки этой прямой принадлежат поверхности, а в другом случае прямая может пересекать поверхность и иметь точки входа и выхода (рис. 8.1).

а б

Рис. 8.1. Примеры пересечения прямой линией поверхностей:
а – втулки; б – диска

Для определения этих точек на комплексном чертеже можно использовать плоскости – посредники и использовать метод вспомогательных секущих плоскостей, сущность которого заключается в том, что через прямую ℓ проводится вспомогательная плоскость ∑ и на линииm пересечения этой плоскости с поверхностью λ находятся и точки входа и выхода А и В (рис. 8.2), принадлежащие прямой и поверхности.

Чтобы получить рациональное решение, следует использовать наиболее простой способ получения линии пересечения m. В качестве линии пересечения желательно получить либо прямую линию, либо окружность.

Рассмотрим некоторые примеры пересечения прямой линии с поверхностями.

m

Рис. 8.2. Пример определения точек входа прямой ℓ в поверхность λ
и выхода из неё

Задача 1. Найти точки входа и выхода прямой ℓ при её пересечении поверхности пирамиды SАВС (рис. 8.3).

Рис. 8.3. Графическое условие задачи на определение
точек пересечения поверхности пирамиды прямой линией

Для решения предложенной задачи (рис. 8.3), нужно поступить так же, как при нахождении точки пересечения прямой с плоскостью (рис. 3.9): через фронтальную (горизонтальную) проекцию прямой ℓ2 провести вспомогательную проецирующую плоскость ∑, определить во фронтальной (горизонтальной) плоскости проекций точки пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью пирамиды 12223242. Затем, по принадлежности, найти горизонтальную (фронтальную) проекцию линии пересечения 11213141 плоскости с поверхностью (рис. 8.4.а).

а б

Рис.8.4. Пример определения:
а – проекции линии пересечения поверхности плоскостью; б – точек входа
и выхода прямой при пересечении поверхности пирамиды

Для определения точек входа и выхода прямой при пересечении поверхности (рис. 8.4. б) необходимо в горизонтальной плоскости проекций найти горизонтальные проекции точек пересечения (К1 и М1) горизонтальной проекции прямой ℓ1 с горизонтальной проекцией линии пересечения поверхности с плоскостью 11213141. Затем по принадлежности определить фронтальные проекции (К2 и М2)точек входа и выхода. Часть линии, находящейся в поверхности будет невидимой.

Задача 2. Найти точки входа и выхода прямой АВ при её пересечении поверхности конуса (рис. 8.5).

Рис. 8.5. Графическое условие задачи на определение точек входа и выхода
при пересечении поверхности конуса прямой линией

Для решения задачи нужно:

1) Во фронтальной плоскости проекций через прямую АВ и вершину конуса S провести вспомогательную произвольную плоскость, заданную двумя пересекающимися прямыми (SA, SB);

2) найти горизонтальный след h0 этой плоскости, для чего нужно построить два горизонтальных следа H и H’ прямых SA и SB вспомогательной плоскости (рис. 8.6).

3) Определить линию сечения поверхности вспомогательной плоскостью.

Горизонтальный след плоскости h0, пересекая основание поверхности конуса в точках 11 и 21, укажет границы проекции линии сечения (S11 21) поверхности вспомогательной плоскостью.

Рис. 8.6. Пример определения точек входа и выхода прямой
при пересечении поверхности конуса

4) Найти горизонтальные проекции точек входа и выхода.

Для определения точек входа и выхода прямой при пересечении поверхности конуса необходимо отметить горизонтальные проекции точек пересечения C1 и D1 горизонтальной проекции линии сечения поверхности конуса S11 21 с горизонтальной проекцией заданной прямой А1В1.

5) Определить фронтальные проекции точек входа и выхода.

Фронтальные проекции C2D2 точек входа и выхода прямой при пересечении поверхности конуса определяются по принадлежности. В соответствии с расположением прямой относительно поверхности определяется видимость элементов прямой.

Задача 3. Построить точки пересечения цилиндрической поверхности с прямой (рис. 8.7).

Рис. 8.7. Графическое условие задачи на пересечение поверхности цилиндра прямой линией

Для решения задачи нужно:

1) Во фронтальной плоскости проекций через прямую АВ провести произвольную вспомогательную плоскость, заданную двумя прямыми, параллельными образующим цилиндра;

2) Найти горизонтальный след h0 этой плоскости, для чего нужно построить два горизонтальных следа H и H’ параллельных прямых вспомогательной плоскости (рис. 8.8).

3) Определить проекции линии сечения.

Горизонтальный след плоскости h0, пересекая основание поверхности конуса в точках 11 и 21, укажет границы проекции линии сечения (111’1212’1) поверхности цилиндра вспомогательной плоскостью.

4) Найти горизонтальные проекции точек входа и выхода.

Для определения проекций точек входа и выхода прямой при пересечении поверхности цилиндра необходимо отметить горизонтальные проекции точек пересечения M1 и N1 горизонтальной проекции линии сечения поверхности цилиндра 111’1212’1 с горизонтальной проекцией заданной прямой А1В1.

5) Найти фронтальные проекции точек входа и выхода.

Фронтальные проекции N2M2 точек входа и выхода прямой при пересечении поверхности цилиндра определяются по принадлежности. В соответствии с расположением прямой относительно поверхности и плоскостей проекций необходимо определить видимость элементов прямой. В рассматриваемом случае фронтальная проекция точки N2 оказывается видимой, а проекция точки М2 – невидимой. Полное решение задачи представлено на рис. 8.8.

Рис. 8.8. Пример определения точек входа и выхода прямой
при пересечении поверхности цилиндра

Задача 4. Построить точки пересечения сферической поверхности с прямой (рис. 8.9).

Для решения такой задачи можно использовать способ замены плоскостей проекций. Через А1В1 провести вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость, которая позволит найти линию пересечения поверхность сферы.

Рис. 8.9. Пример определения точек пересечения прямой
с поверхностью сферы на комплексном чертеже

Линия пересечения пройдёт по окружности радиуса R1. Натуральную величину линии сечения можно получить на плоскости проекций П4, параллельной вспомогательной плоскости сечения. Проекции точек входа и выхода прямой С4D4 в поверхности сферы окажутся на пересечении проекций линии сечения и прямой А4В4. По принадлежности находятся горизонтальные и фронтальные проекции точек С и D. Затем определяется видимость элементов прямой.

а б

Рис. 8.10. Примеры пересечения кривых поверхностей с прямыми линиями:
а – конуса; б – сферы

   При пересечении прямой с поверхностью получаются две точки, одновременно принадлежащие как прямой, так и поверхности. Эти точки называются точками входа и выхода.
   Следовательно, такие задачи сводятся к поиску этих двух точек. Для их нахождения в общем случае поступают так:
      a) проводят через данную прямую вспомогательную проецирующую плоскость;
      b) находят фигуру сечения данной плоскостью;
      c) определяют точки пересечения с контуром сечения.

Примеры задач:

Задача 1: Построить точки пересечения прямой l с поверхностью конуса и определить видимость прямой.

рис.2

Задача 2. Построить точки пересечения прямой l с поверхностью цилиндра. Определить видимость прямой.

рис.3

Решение:

   Проведем произвольную прямую m», параллельную образующей цилиндра. Отметим точку 1» — точку пересечения прямых l» и m» и спроецируем ее на l’. Проведем прямую m’, параллельную образующей цилиндра и пересекающей прямую l’ в точке 1′.

    Спроецируем точку пересечения m’ с горизонтальной плоскостью на прямую m», обозначив ее как A». Точка A» — след прямой m на П».

    Аналогично точку пересечения l’ с горизонтальной плоскостью спроецируем на l». Обозначим ее как B». Это фронтальный след прямой l на П».

    Соединяем точки A» и B», проводим вспомогательную секущую плоскость I и находим точки пересечения прямой AB с поверхностью цилиндра. Через эти точки проводим прямые k» и n», параллельные образующим цилиндра. Точки пересечения этих прямых и прямой l’ — C» и D» — искомые точки. Спроецируем их на прямую l». Отмечаем видимость прямой l’, которая невидима на отрезке CD.

В общем случае для графического решения задачи по определению положения точек пересечения (встречи) линий с поверхностью необходимо выполнить ряд геометрических построений в приведенной ниже последовательности: заключить данную линию во вспомогательную поверхность; определить линию пересечения этой вспомогательной поверхности с заданной поверхностью; отметить точки, в которых пересекаются полученная линия с заданной (рис. 238).

* Эта теорема известна также как «теорема Монжа», по имени основоположника начертательной геометрии Гаспара Монжа, доказавшего эту теорему.

Запишем указанную последовательность решения в виде табл. 9 (как это сделано в § 43 при составлении алгоритма для решения задачи по определению линии пересечения двух поверхностей). В правой части таблицы приведена символическая запись, соответствующая смысловому содержанию отмеченных этапов решения.

Таблица 9

Алгоритм для решения задачи определения точек пересечения линии с поверхностью в символической форме можно записать:

{K,…} = (γ ∩ α) ∩ a.

Здесь, как и у алгоритма определения линии пересечения двух поверхностей, в зависимости от порядка и взаимного расположения заданных кривой и поверхности множество искомых точек {К, …} может состоять из одной, двух и более точек.

Полученный алгоритм является универсальным, пригодным для решения задачи с любым вариантом задания исходных данных. Рассмотрим различные варианты решения задачи:

1. Пересечение кривой с поверхностью.

2. Пересечение кривой с плоскостью.

3. Пересечение прямой с поверхностью.

4. Пересечение прямой с плоскостью.

При решении всех этих задач, как правило, целесообразно для уменьшения графических построений и их упрощения пользоваться в качестве вспомогательной секущей поверхности γ — проецирующей цилиндричес-

кой поверхностью, в частности, если определяется точка пересечения прямой с поверхностью, — плоскостью. Упрощение решения достигается благодаря тому, что одна из проекций линии пересечения l автоматически определяется положением и формой следа проецирующей поверхности γ. Поэтому задача по определению точек встречи линии с поверхностью сводится к построению второй проекции линии, принадлежащей поверхности, если известна одна ее проекция, т. е. к задаче, которую мы неоднократно решали.

1. Пересечение кривой с поверхностью.

При определении содержания и последовательности выполнения геометрических операций, входящих в состав алгоритма для решения задачи по определению точек пересечения кривой с поверхностью, мы пользовались наглядным чертежом, изображенным на рис. 238. Теперь проследим, как решается эта задача на эпюре Монжа.

ПРИМЕР. Определить точки пересечения кривой а с произвольной цилиндрической поверхностью α (рис. 239) .

РЕШЕНИЕ.

1. Заключаем кривую а во фронтально проецирующую цилиндрическую поверхность γ.

2. Определяем линию пересечения поверхностей γ и α. Для этого отмечаем на а» ≡ f_0γ ≡ l» произвольные точки 1″, 2″, 3″, 4″, 5″; зная фронтальные проекции точек, находим их горизонтальные проекции 1′, 2′, 3′, 4′, 5′. Соединив эти точки плавной кривой, получим горизонтальную проекцию l’ кривой l, по которой вспомогательная цилиндрическая поверхность γ пересекает данную поверхность α.

3. Отмечаем точки К’₁ и К’₂ пересечения кривых l’ и а’. По горизонтальным проекциям определяем их фронтальные проекции К»₁ и К»₂.

2. Пересечение кривой с плоскостью.

Решение этой задачи аналогично только что рассмотренной, если и есть какое-либо отличие, то оно состоит лишь в том, что приходится определять вторую проекцию линии, принадлежащую не цилиндрической поверхности, как это было в приведенном выше примере, а плоскости.

ПРИМЕР. Определить точку встречи линии а с плоскостью α (рис. 240).

РЕШЕНИЕ.

1. Заключаем линию а в проецирующую цилиндрическую поверхность γ, безразлично какую γ ⊥ π₁ или γ ⊥ π₂ (на рис. 240γ ⊥ π )

2. Обозначим линию пересечения γ ∩ α = l, тогда l» ⊂ f_0γ.

3. Определяем горизонтальную проекцию Для этого отмечаем на l» ряд точек 1″, 2″, 3″, …, с помощью горизонталей (h₁, h₂, h₃, …) плоскости α находим точки 1′, 2 , 3′,…. принадлежащие l’

4. Отмечаем точку К’ = l’ ∩ α’, по К’ находим К».

3. Пересечение прямой с поверхностью.

В алгоритме решения задачи для определения точек встречи прямой с поверхностью в качестве вспомогательной секущей поверхности следует брать плоскость.

Сложность решения рассматриваемой группы задач зависит от трудоемкости нахождения линии пересечения γ ∩ α, которая определяется видом поверхности α и расположением прямой а как относительно поверхности α, так и по отношению к плоскостям проекций.

Чтобы получить рациональное решение, следует пользоваться наиболее простым способом определения линии l(l = γ ∩ α). Этого можно достигнуть двумя путями: 1) соответствующим выбором положения вспомогательной секущей плоскости γ или 2) переводом секущей прямой а в частное положение. Рассмотрим каждый из этих вариантов решения.

Вариант 1.
а) Вспомогательная секущая плоскость — проецирующая.

ПРИМЕР. Определить точку пересечения прямой а с поверхностью торса (рис. 241).

РЕШЕНИЕ. Заключаем прямую а во фронтально проецирующую плоскость γ. Фронтальная проекция линии пересечения l» совпадает с f_0γ ≡ а». Отмечаем точку 1″, в которой проекция l» пересекает проекцию d» ребра возврата d. Зная положение 1″, определяем горизонтальную проекцию 1′. Проводим ряд прямолинейных образующих торсовой поверхности (касательных к кривой d) и фиксируем точки 2″, 3″, в которых l» пересекает фронтальные проекции этих образующих.

На горизонтальных проекциях соответствующих образующих определяем горизонтальные проекции 2′, 3′. Соединив эти точки плавной кривой, получим горизонтальную проекцию l’.l’ ∩ а’ = К’- горизонтальная проекция искомой точки встречи. По К’ определяем К».

б) Вспомогательная секущая плоскость — общего положения.

Использование вспомогательной проецирующей плоскости не всегда упрощает решение, возможны случаи, когда целесообразно применять плоскость общего положения.

В качестве иллюстрации, подтверждающей эту мысль, может служить задача по определению точек пересечения прямой общего положения с конической поверхностью.

Плоскость пересекает коническую поверхность по кривой. Исключение составляет только плоскость, проходящая через вершину кони-

ческой поверхности. В этом случае кривая второго порядка распадается на две прямые — образующие конической поверхности (см. § 45) *

ПРИМЕР. Определить точки пересечения прямой а с поверхностью прямого кругового конуса α (рис. 242).

РЕШЕНИЕ. Заключаем прямую а в плоскость γ, проходящую через вершину конической поверхности S. На рис. 242 плоскость γ задана пересекающимися прямыми а и h , при этом h — горизонталь.

Определяем горизонтальный след плоскости γ; для этого находим горизонтальный след прямой Н_a и через него проводим h_0γ параллельно горизонтальной проекции горизонтали h’. Отмечаем точки 2′ и 3′, в которых h_0γ ∩ h_0α. (S’2′) и (S’3′) — образующие поверхности α, по которым она пересекается плоскостью γ.

Точки К’₁ и К’₂ (К’₁ = а’ ∩ (S’2′) и К’₂ = а’ ∩ (S’3′)) — горизонтальные проекции искомых точек пересечения. Зная положение К’₁ и К’₂, определяем К»₁ и К»₂.

Вариант 2. Перевод секущей прямой в частное положение.

При пересечении поверхности сферы плоскостью в сечении получается окружность, которая проецируется на плоскости проекции в общем случае в виде эллипсов или прямой и эллипса (если секущая плоскость проецирующая). В частном случае, когда секущая плоскость параллельна плоскости проекции, окружность проецируется на эту плоскость проекции без искажения. Поэтому, чтобы упростить решение задачи, следует произвольно расположенную прямую перевести в положение, параллельное какой-либо плоскости проекции. Тогда представляется возможность заключить прямую в плоскость, параллельную плоскости проекции.

ПРИМЕР 1. Определить точки встречи прямой а, заданной отрезком [АВ] с поверхностью сферы α (рис. 243).

РЕШЕНИЕ. Переводим прямую, произвольно расположенную в пространстве, в положение, параллельное плоскости проекции. Для этого переходим от системы xπ₂/π₁ к системе x₁π₃/π₁ в которой π₃ || а .

В этом случае горизонтально проецирующая плоскость γ ⊃ a пересечет поверхность сферы по окружности с радиуса R (см. рис. 243) , которая спроецируется на плоскость π₁ в [ 1’2′], а на плоскость π₃ в окружность с»₁ того же радиуса R. Точки K»₁ и К»₂ пересечения с»₁ с [А»₁В»₁] — вспомогательные проекции искомых точек, по ним определяем вначале К’₁ и К’₂, а затем и К»₁ и К»₂.

Если прямая а , пересекающая поверхность вращения, проходит через ось i этой поверхности, то перевод прямой а в частное положение целесообразно осуществить путем вращения прямой вокруг оси i.

ПРИМЕР 2. Определить точки встречи прямой а с поверхностью вращения α (рис. 244).

* Если секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности и составляет с ее осью угол больший, чем угол наклона к этой оси образующей конической поверхности, то сечение распадается на две мнимые прямые.

РЕШЕНИЕ. Горизонтально проецирующая плоскость γ, в которую заключаем прямую а , пересечет поверхность вращения по меридиану g₁.

Чтобы не строить искаженной фронтальной проекции меридионального сечения, поворачиваем плоскость γ и находящуюся в ней прямую а вокруг оси i до положения, параллельного π₂, тогда g’₁ совпадает g’ — горизонтальной проекцией главного меридиана, a h_0γ с h_0γ1. После поворота прямая а займет положение a₁(а’₁, а»₁). С помощью точек К»₁₁ и К»₁₂ , в которых a»₁ ∩ g»₁, определяем положение К»₁ и К»₂, а затем К’₁ и К’₂.

4. Пересечение прямой с плоскостью.

Определение точки встречи прямой с плоскостью относится к элементарной задаче, но ее значение для решения самых различных, более сложных задач, трудно переоценить. Задача по нахождению точки встречи прямой с плоскостью входит как составная часть (фрагмент) в алгоритм решения широкого круга как позиционных, так и метрических задач.

Решение этой задачи даже в самом общем случае, когда и плоскость и прямая занимают произвольное положение в пространстве, легко сводится к простейшей задаче по определению линии пересечения двух плоскостей, из которых одна — проецирующая (см. § 44, рис. 187, 188), с последующим определением второй проекции точки, принадлежащей плоскости, если известна одна из ее проекций (см. § 40, примеры 1 … 3, рис. 169… …171). Для этого достаточно прямую заключить во вспомогательную проецирующую плоскость.

ПРИМЕР 1. Определить точку встречи прямой а с плоскостью α (рис. 245).

РЕШЕНИЕ. Так как а — прямая, то в алгоритме К = (γ ∩ α) ∩ a в качестве

секущей поверхности следует выбирать плоскость. Эта плоскость пересечет заданную α по прямой l . Поэтому в рассматриваемом случае предписываемая алго-

ритмом последовательность выполнения геометрических построений будет иметь следующее содержание:

1) проводим через а’ (или а») горизонтальный (фронтальный) след горизонтально проецирующей (фронтально проецирующей) плоскости γ;

2) определяем фронтальную (горизонтальную) проекцию линии пересечения плоскости γ с данной плоскостью α l» = γ» ∩ α» (или l’ = γ’ ∩ α’);

3) определяем К» = а» ∩ l» (или К’ = а’ ∩ l’); зная К», находим К’ (или зная К’, находим К»).

Алгоритм решения не меняется, если мы будем иметь дело с другим вариантом задания плоскости — параллельными прямыми или прямыми, по которым плоскость пересекает плоскости проекций (следами плоскости).

ПРИМЕР 2. Определить точку пересечения прямой а с плоскостью α (рис. 246).

РЕШЕНИЕ. Так же, как и в предыдущем примере, заключаем прямую а в проецирующую плоскость γ ⊃ a (h _0γ ≡ а’). Строим линию пересечения плоскостей γ ∩ α = l . Отмечаем К» = l» ∩ α». По К» находим К’.

Решение задачи упрощается, если одна из заданных фигур (прямая или плоскость) занимает проецирующее положение. Рис. 247,а и б иллюстрирует решение таких задач:

а) плоскость α — проецирующая, а прямая a -общего положения (рис. 247 а);

б) плоскость α — общего положения, а прямая а — проецирующая (рис. 247,6).

Решения задач настолько просты, что они ясны из чертежей и не требуют каких-либо пояснений.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Изложите общий принцип построения обобщенного алгоритма для решения задачи по определению линии пересечения поверхностей.
2. Сформулируйте возможные варианты решения задачи по определению линии пересечения многогранника плоскостью.
3. В каких случаях для определения линии пересечения двух поверхностей можно применять способ:

а) вращающихся плоскостей;

б) пучка плоскостей с несобственной прямой;

в) концентрических сфер;

г) эксцентрических сфер?

4. Какие точки линии пересечения поверхностей называются опорными?
5. Напишите и дайте пояснение алгоритма решения задачи по определению точки встречи прямой с плоскостью.
6. В чем заключается решение задач по определению сечения поверхности плоскостью с помощью способа граней и способа ребер?
7. В каких случаях плоскость пересекает поверхность прямого кругового конуса: по двум пересекающимся прямым, по окружности, эллипсу, параболе, гиперболе?
8. Что представляют собой фронтальные проекции линии пересечения двух поверхностей вращения второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии, параллельную плоскости π₂ ?
9. Какая зависимость существует между порядком пересекающихся поверхностей и порядком линии, полученной в результате их пересечения?
10. Сформулируйте условия (теоремы) , при которых кривая — линия пересечения поверхностей — распадается на две кривые второго порядка?
11. Приведите примеры, когда кривая — линия пересечения двух цилиндрических поверхностей — распадается на одну, две, три, четыре прямых.
12. В чем состоит содержание алгоритма решения задачи для определения точек пересечения линии с поверхностью?
13. Чем следует руководствоваться при выборе вспомогательной секущей поверхности при определении точек пересечения линии с поверхностью?
14. В каком случае можно для упрощения решения задачи по определению точек встречи прямой с поверхностью применять способ вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции?