Как найти точки производная которых равна нулю - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В №7 ЕГЭ несколько видов заданий, в который нужно по графику функции найти точки, в которых производная обращается в нуль.

Как найти, в каких точках производная равна нулю на графике функции?

В точках, в которых производная равна нулю, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.

Это могут быть точки экстремума (те из них, в которых производная существует):

Либо точки перегиба:

В окрестности точки экстремума график лежит по одну сторону от касательной, в окрестности точки перегиба — по разные стороны.

1)На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (−1; 11). Найдите корень уравнения f'(x)=0.

Решение:

Касательная к графику функции y=f(x) параллельна оси абсцисс в точке x=3.

Следовательно, корнем уравнения f'(x)=0 является x=3.

Ответ: 3.

2)На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (−4; 20). Найти количество решений уравнения f'(x)=0.

Решение:

Касательная к графику параллельна оси абсцисс в четырёх точках.

Значит, уравнение f'(x)=0 имеет четыре решения.

Ответ: 4.

3)На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−4; 10) . Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

Решение:

Касательная к графику параллельна оси Ox в трёх точках.

Таким образом, производная функции f(x) равна 0 в трёх точках.

Ответ: 3.

В этих примерах мы рассматривали график функции y=f(x)!

Задания, в которых надо определить в каких точках производная равна нулю на графике производной y=f'(x), решаются иначе!

Источник

Производная положительна только тогда, когда функция возрастает. То есть, нам необходимо найти точки, в которых функция растет. Смотрим на график нашей функции: функция растет на промежутках: от (x=-7) до (x=0) и от (x = 6) до (x=12).

Так как по условию нам нужны только ЦЕЛЫЕ точки, в которых производная положительна, то это будут: (x=—6); (x=-5), (x=-4), (x=-3), (x=-2), (x=-1), (x=7), (x=8), (x=9), (x=10), (x=11). Всего точек получилось (11). Я отметил их зеленым цветом.

Обратите внимание, что точки (x=-7), (x=0), (x=6), (x=12) мы не считаем, так как в этих точках у нас будут минимумы и максимумы функции, а в них производная равна нулю, то есть не положительна.

Ответ: (11.)

Пример 2
На рисунке 6 изображен график функции, определенной на промежутке ((-10;12)). Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю.

Источник

(схема 31)

Точка x₀ называется точкой максимума (минимума) функции y=f (x), если существует такая δ–окрестность точки x₀, что для всех из этой окрестности
выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума функции называются
точками экстремума (рис. 3.5).

Теорема 3.15 (необходимое условие существования точек экстремума функции одной переменной). Если дифференцируемая
функция y=f (x) имеет
экстремум в точке x₀,
то её производная в этой точке равна
нулю или не существует

Точки, в которых производная функции
либо равна нулю, либо не
существует, называют критическими точками 1-го рода.

Критические точки, в которых производная функции равна
нулю, называются точками стационарности.

Функция y=f (x) называется возрастающей
на некотором интервале (a;b), если на этом интервале большему значению
аргумента x соответствует большее
значение переменной y, и убывающей, если большему
значению аргумента x соответствует меньшее значение
переменной y.

Для
дальнейшего исследования критические точки помещают на числовую ось, которая
делится этими точками на интервалы, после чего
поверяют выполнение следующих достаточных условий.

Теорема 3.16 (достаточное условие возрастания и убывания
функции одной переменной). Если
на некотором интервале (a;b) функция y=f (x) дифференцируема и при этом ее производная положительна (отрицательна), то функция на данном
интервале возрастает (убывает)

Теорема 3.17 (достаточное условие существования точек экстремума функции ). Если функция y=f (x) непрерывна и
дифференцируема в некоторой δ –окрестности критической точки x₀ и при переходе через нее
производная меняет знак с плюса на минус, то точка x₀ является точкой максимума; если
с минуса на плюс, то точка x₀ является точкой минимума функции

Те критические
точки функции, для которых достаточное условие не выполняется, остаются просто
критическими точками 1-го рода.

Критические точки 1-го рода, в которых
производная не существует, делятся на классы:

– точки, в которых функция непрерывна, но при выполнении теоремы 3.17 имеет в этих точках «острый» экстремум (угловые
точки или точки излома) (рис. 3.6);

– точки, в которых функция непрерывна, но касательная в них к графику
функции параллельна оси 0y (угловой коэффициент такой касательной

, то есть не существует); например, для функции такой точкой является x₀=0;

– точки, в которых функция терпит разрыв (всегда переходят в класс
критических точек 2-го рода).

Но проведенное таким образом исследование, не дает ответ на очень важный
вопрос: как возрастает (убывает) функция – выпукло или вогнуто? Ответ на
поставленный вопрос дает дальнейшее рассмотрение функции с помощью второй
производной. Дадим ряд необходимых определений.

Функция называется выпуклой (выпуклой вверх) на некотором интервале (a;b), если касательная, проведенная к графику
функции в каждой точке этого интервала, лежит выше графика функции.

Функция называется вогнутой (выпуклой вниз) на некотором интервале (a;b), если касательная, проведенная к графику функции в каждой точке этого интервала, лежит
ниже графика функции.

Точки, отделяющие участки выпуклости от участков вогнутости функции,
называются ее точками перегиба (см. рис. 3.5).

Теорема 3.18 (необходимое
условие существования точек перегиба функции). Если дважды дифференцируемая функция y=f (x) имеет перегиб в точке x₀,
то в этой точке вторая производная
равна нулю или не существует

Точки, в которых вторая производная функции либо равна нулю, либо не
существует, называют критическими точками 2-го рода.

Для дальнейшего исследования критические точки 2-го
рода помещают на числовую ось, которая делится этими точками на интервалы,
после чего поверяют выполнение следующих
достаточных условий.

Теорема 3.19 (достаточное
условие выпуклости и вогнутости
функции). Если на некотором интервале (a;b) функция y=f(x) дважды
дифференцируема и при этом ее вторая производная положительна (отрицательна), то функция на данном интервале вогнута
(выпукла)

Примечание. Очевидно,
что на интервале выпуклости функция имеет точку максимума, а на интервале
вогнутости – точку минимума (см. рис. 3.5).

Теорема 3.20 (достаточное условие существования точек
перегиба функции). Если функция y=f(x) непрерывна и дважды дифференцируема в некоторой окрестности критической
точки 2-го рода и при переходе через нее
вторая производная меняет знак, то данная точка
является точкой перегиба функции

Те критические точки функции, для которых достаточное условие 3.19 не
выполняется, остаются просто критическими точками 2-го рода. Критические точки
2-го рода, в которых вторая производная не существует, делятся на классы:

– точки,
в которых функция непрерывна и при выполнении теоремы 3.20 имеет в этих точках
«острый» перегиб, – в них можно провести
к графику функции бесконечное множество касательных (рис.
3.7);

– угловые точки (переходят из критических точек первого рода);

– точки, в которых функция терпит разрыв (в точках разрыва 2-го рода график функции имеет вертикальную асимптоту).

Для окончательного перечисления точек экстремума и перегиба функции
необходимо найти их ординаты, после чего выписать указанные точки двумя
координатами.

Для завершения исследования функции и построения графика необходимо
проверить наличие у нее асимптот. Напомним,
что асимптотой кривой называется прямая, расстояние до
которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном
удалении от начала координат точки по кривой (рис. 3.8).

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными,
горизонтальными.

Говорят, что прямая x=a является вертикальной асимптотой графика

Например, кривая имеет вертикальную
асимптоту x=-1, так как .

Уравнение наклонной асимптоты ищем в виде
y=kx+b (рис. 3.8).

Коэффициенты
k и b находятся
по формулам:

(3.41)

и . (3.42)

Верно и
обратное: если существуют конечные пределы (3.41) и (3.42), то прямая y=kx+b является
наклонной асимптотой.

Если хотя бы
один из пределов (3.41) или (3.42) не существует или равен бесконечности, то
кривая y=f (x) наклонной
асимптоты не имеет.

В частности,
если k=0, то . Поэтому y=b
– уравнение горизонтальной асимптоты.

Примечание. Асимптоты графика функции y=f (x) при ∆x→+∞ и ∆x→–∞ могут быть разными. Поэтому при нахождении
пределов (3.41) и (3.42) следует отдельно рассматривать случай, когда ∆x→+∞ и когда ∆x→–∞.

Пример 3.16.
Исследовать методами дифференциального
исчисления и построить график функции .

Решение.

1. Область
определения: .

2. Исследуем функцию на непрерывность и классифицируем
ее точки разрыва. Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки x=4. Вычислим
односторонние пределы в этой точке:

Таким образом, точка x=4 является для заданной функции точкой разрыва второго
рода, а прямая x=4 – вертикальной асимптотой графика.

3. Проведем исследование функции методами
дифференциального вычисления. Для исследования на экстремум и промежутки
монотонности вычислим первую производную:. На основании теоремы 3.15 найдем критические точки
первого рода, в которых производная равна нулю или не существует

Результаты исследования заданной функции с помощью
первой производной занесем в таблицу 3.1,
основываясь на теоремах 3.16, 3.17.

Таблица 3.1

Исследование
функции с помощью первой производной

. Следовательно, A (–2; –4) – точка максимума, а B(10; 20) –
точка минимума функции.

4. Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость и точки
перегиба с помощью второй производной, основываясь на теоремах 3.23, 3.24:

Так как , то график заданной функции точек перегиба не имеет.
Остается выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости. Результаты
исследования занесем в следующую таблицу 3.2.

Таблица 3.2

Исследование
функции с помощью второй производной

5. Исследуем график
функции на наличие наклонных и горизонтальных асимптот, уравнение которых как
прямых линий y=kx+b.

Согласно (3.41) . Так как , то горизонтальных асимптот не существует.

Согласно (3.42) .

Таким образом, прямая y=x+4 –
наклонная асимптота графика.

Очевидно, график заданной функции пересекает ось 0y в точке (0; –5) и, на основе обобщения
результатов всех предыдущих исследований, имеет вид, представленный на рисунке 3.9

Источник

найти экстремумы функции

f(x)=x2x−1

Производная этой функции —

f′(x)=xx−2(x−1)2

, значит, критические точки функции — это (x=0) и (x=2). Точка (x=1) не принадлежит области определения функции.

Они делят реальную числовую прямую на четыре интервала:

−∞;0∪0;1∪1;2∪2;+∞

. Знак первого интервала положительный (например,

f′

((-1)=0.75)). Второго — отрицательный, третьего — отрицательный, четвёртого — положительный.

−∞;0	0;1	1;2	2;+∞
(+)	(-)	(-)	(+)

Значит, производная меняет знак только в точках (x=0) и (x=2).

В точке (x=0) она меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка локального максимума со значением функции (f(0)=0).

В точке (x=2) она меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка локального минимума со значением функции (f(2)=4).

Источник

Производная функции. Геометрический смысл производной

Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна. Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

Запомним определение:

Производная — это скорость изменения функции.

На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная, — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

Определение.

Производная – это скорость изменения функции.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку А с абсциссой x_0 . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной.

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси ОХ.

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника AMN:

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике.

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

y=kx+b .

Величина k в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой. Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси X.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции $y=f{left( x_0 right)}$ . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке A функция $f{left( x_0 right)}$ возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке A, образует острый угол alpha с положительным направлением оси X. Значит, в точке A производная положительна.

В точке B наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол beta с положительным направлением оси X. Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке B производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках C (точка максимума) и D (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка С — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке С с «плюса» на «минус».

В точке D — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

1. Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба:

В точке E касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки E функция возрастала — и после точки E продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

2. Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется таблица производных. В ней вы найдете производные всех элементарных функций и правила взятия производных, то есть дифференцирования.

Геометрический смысл производной, задачи

Покажем, что такое геометрический смысл производной, на примере нескольких задач из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. На рисунке изображен график функции y=f(x ). Найдите количество решений уравнения )=0 на отрезке [-2,5; 9,5].

Решение:

Производная функции равна нулю в точках максимума и минимума функции f(x). Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

Задача 2. На рисунке изображен график функции y= ) — производной функции y=f(x ). Сколько точек максимума имеет функция y=f(x ) на отрезке [-1; 5] ? В ответе запишите это число.

Решение:

Обратите внимание, что на этом рисунке изображен не график функции, а график ее производной.

В вариантах ЕГЭ по математике таких задач много. Пользуясь графиком производной, надо ответить на вопрос о поведении функции.

В точке максимума функции производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». Такая точка на отрезке [-1; 5] на графике одна.

Ответ: 1.

Задача 3. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Решение:

Вспомним определение.

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке (то есть угловому коэффициенту касательной).

Это геометрический смысл производной.

В точке x_0 функция y = f(x) убывает. Касательная, проведенная к ее графику в этой точке, образует тупой угол beta с положительным направлением оси Х. Найдем тангенс острого угла alpha , смежного с углом beta .

$alpha +beta =180{}^circ.$

Ответ: -0,5.

Задача 4. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке В какой точке отрезка [1; 5] f(x) принимает наименьшее значение?

Решение:

На рисунке изображен график производной. Если функция возрастает — ее производная положительна. Если функция убывает — ее производная отрицательна. В точке минимума производная равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

На рисунке есть такая точка, и это x = 1,5.

Слева от этой точки, на отрезке [1; 1,5] производная отрицательна, и функция убывает. Справа от этой точки, на интервале [1,5; 5), производная положительна, и функция возрастает.

Значит, x=1,5 — точка минимума функции f(x).

Поэтому и свое наименьшее значение функция принимает в точке 1,5.

Ответ: 1,5.

Задача 5. На рисунке изображен график {y=f} — производной функции В какой точке отрезка [1; 5] функция принимает наименьшее значение?

Решение:

На рисунке есть такая точка, и это x = 3.

Слева от этой точки производная отрицательна, и функция убывает. Справа от точки x = 3 производная положительна, и функция возрастает.

Значит, x=3 — точка минимума функции f(x).

Кстати, вид графика функции f(x) определить нетрудно. Это квадратичная парабола с ветвями вверх.

Ответ: 3.

Задача 6. На рисунке изображен график {y=f} производной непрерывной функции y=f(x). В какой точке отрезка функция y=f(x) принимает наибольшее значение?

Решение:

На отрезке расположена точка x=-2,5, в которой производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-».

Это значит, что x=-2,5 — точка максимума функции f(x) на отрезке и наибольшее значение функция f(x) принимает именно в этой точке.

Ответ: — 2,5.

Задача 7. На рисунке изображен график производной функции y=f(x) определенной на интервале (-3;7). В какой точке отрезка [-2; 4] функция y=f(x) принимает наименьшее значение?

Решение:

Точка минимума функции f(x) — это x = 0. В этой точке производная равна 0 и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Слева от точки 0 производная отрицательна, функция убывает. Справа от этой точки производная положительна, функция возрастает.

Наименьшее значение на отрезке достигается при x = 0.

Ответ: 0.

Задача 8. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

Решение:

Производная функции f(x) в точке x_0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции f(x) в этой точке.

y=kx+b — касательная к f(x).

В точке x_0 производная отрицательная, т.к. функция f(x) — убывает в этой точке.

alpha — угол, который образует касательная с положительным направлением оси Х.

Угол alpha — тупой, а смежный с ним угол varphi — острый.

$tgalpha =-tgvarphi =-displaystyle frac{3}{8}=-0,375.$

Ответ: -0,375.

Задача 9. На рисунке изображен график непрерывной функции f(x) и касательные CD и MN, проведенные к ее графику в точках А и В. Найдите отношение значений производной функции f(x) в точках А и В.

Решение:

Найдём значения производных в точках А и В с помощью графика.

где alpha — угол наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой x_0.

Для точки А:

Для точки В:

Отношение производных:

Ответ: 0,15.

Условия касания

Пусть прямая y=kx+b касается графика функции y=f(x) в точке x_0. Тогда для точки x_0 выполняются условия касания:

$left{ begin{array}{c}f(x)=kx+b \f$

Первое уравнение показывает, что значения функций y=f(x) и y=kx+b в точке x_0 равны друг другу. Это верно, поскольку эта точка лежит и на одном, и на другом графике.

Второе условие показывает, что производная функции f(x) в точке x_0 равна угловому коэффициенту касательной, то есть k.

Задача 10. Прямая y=7x+b касается графика функции причем абсцисса точки касания положительна. Найдите b.

Решение:

Запишем условие касания:

$left{ begin{array}{c}f(x)=kx+b \f$

$left{ begin{array}{c}2x^3-x^2+3x-4=7x+b \6x^2-2x+3=7 end{array}right. .$

Начнем со второго уравнения:

$D=b^2-4ac=4+4cdot 6cdot 4=4cdot 25={10}^2;$

$x_{1,2}=displaystyle frac{-bpm sqrt{D}}{2a}=displaystyle frac{2pm 10}{12};$

$x_1=1; x_2=-displaystyle frac{2}{3}.$

Т.к. то x_0=1.

Найдем подставив x_0 в первое уравнение:

отсюда

b=-7.

Ответ: -7.

Условия касания встречаются нам не только в заданиях 1 части ЕГЭ по математике, но и в задачах с параметрами. Более того, это один из приемов решения уравнений и неравенств с параметрами.

Физический смысл производной

Мы узнали, что такое геометрический смысл производной. Научились находить производную с помощью графика функции и решать задачи ЕГЭ. Производная помогает нам исследовать функции, находить их точки максимума и минимума, строить графики функций.

И оказывается, что с производной вы познакомились намного раньше — в школьном курсе физики. Вы уже пользовались этим математическим понятием, но не называли его словом «производная».

Вспомним тему «Кинематика» в физике. Это раздел физики, описывающий механическое движение. Величины, которыми описывается движение какого-либо тела, — это скорость v, время t, координата х, если тело движется вдоль прямой. Или координаты x и y, если оно движется по плоскости.

Вспомним формулу для равномерного прямолинейного движения: где x — координата.

Пусть 3 материальных точки — например, три автомобиля — одновременно выезжают с постоянными скоростями из точки А и едут по прямолинейному шоссе. На графике показано, как меняется их координата x с течением времени. У какого из автомобилей скорость больше?

Очевидно, у третьего. Считая, что x = vt, для первого автомобиля найдем v_1 = 20 км/ч. Возможно, это машина, которая поливает или чистит дорогу, и поэтому так медленно едет. Для второго автомобиля v_2 = 40 км/ч, для третьего v_3 = 75 км/ч.

Но если пройденный путь, то есть изменение координаты тела, мы разделим на время, то найдем тангенс угла наклона для каждой из этих прямых. Так и есть.

Скорость тела — это производная от его координаты по времени.

А теперь пусть тело, например, автомобиль, движется вдоль оси x, причем его скорость не является постоянной. Зависимость его координаты от времени x(t) показана на графике.

Возьмем на графике точку, соответствующую моменту времени t_0, и проведем в этой точке касательную к графику функции.

Тангенс угла наклона этой касательной численно равен мгновенной скорости тела в момент t_0.

$v_{x }(t_0) = tg alpha .$

Мы получили, что мгновенная скорость — это производная от координаты по времени.

Это физический смысл производной.

Но не только скорость в физике является производной от другой физической величины, координаты.

Ускорение — это производная от скорости по времени. Сила тока — производная от заряда по времени.

Изучая курс физики в школе и в вузе, вы увидите множество уравнений, связывающих одни физические величины с производными других физических величин. Такие уравнения называются дифференциальными. А само действие взятия производной называется дифференцированием.

Вот задача из вариантов ЕГЭ по математике, где используется физический смысл производной.

Задача 11. Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.

Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

Решение:

Производная — это скорость изменения функции. Мгновенная скорость движущегося тела (материальной точки) является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной.

Найдем на графике s(t) точки, в которых производная функции s(t) равна нулю. Таких точек 6. Это точки максимума и минимума функции s(t).

Ответ: 6.

Изучая высшую математику в вузе, вы узнаете еще одно определение производной.

Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента, стремящемся к нулю.

Это определение есть в вашем школьном учебнике алгебры. Но намного важнее не механически его запомнить, а понять его смысл. Первые шаги к этому мы сделали, определив производную как скорость изменения функции. Мы также узнали, что такое геометрический смысл производной и физический смысл производной.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Производная функции. Геометрический смысл производной» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник