Как найти точки пятиугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как построить и нарисовать правильный пятиугольник по окружности

Правильный пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру, которая образовывается пересечением пяти прямых, создающих пять одинаковых углов. Такая фигура носит название — пентагон. С пятиугольником тесно связана работа художников — их рисунки строятся на основе правильных геометрических фигур. Для этого необходимо знать то, как быстро построить пентагон.

Чем интересна эта фигура? Форму пентагона имеет здание Министерства обороны Соединенных Штатов Америки. Это можно увидеть на фото, сделанных с высоты полета. В природе не существует кристаллов и камней, форма которых напоминала бы пентагон. Только в этой фигуре количество граней совпадает с числом диагоналей.

Параметры правильного пятиугольника

Прямоугольный пятиугольник, как и каждая фигура в геометрии, имеет свои параметры. Зная необходимые формулы, можно рассчитать эти параметры, что облегчит процесс построения пентагона. Способы и формулы расчетов:

сумма всех углов в многоугольниках равна 360 градусам. В правильном пятиугольнике все углы равны, соответственно, центральный угол находится таким способом: 360/5 = 72 градуса;
внутренний угол находится таким образом: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 градусов. Сумма всех внутренних углов: 108*5 = 540 градусов.

Сторона пентагона находится с помощью параметров, которые уже даны в условии задачи:

если вокруг пятиугольника описана окружность и известен ее радиус, сторона находится по такой формуле: a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin (72/2) = 1,1756*R.
Если известен радиус вписанной в пентагон окружности, то формула расчета стороны многоугольника: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r.
При известной величине диагонали пентагона его сторона рассчитывается таким образом: а = D/1,618.

Площадь пентагона так же, как и его сторона, зависит от уже найденных параметров:

с помощью известного радиуса вписанной окружности площадь находится так: S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r.
описанная вокруг пятиугольника окружность позволяет найти площадь по такой формуле: S = (n*R2*sin α)/2 = 2,3776*R2.
в зависимости от стороны пентагона: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Построение пентагона

Построить правильный пятиугольник можно с помощью линейки и циркуля, на основе вписанной в него окружности или одной из сторон.

Как начертить пятиугольник на основе вписанной окружности? Для этого необходимо запастись циркулем и линейкой и сделать такие шаги:

Сначала необходимо начертить окружность с центром О, после чего на ней выбрать точку, А — вершину пентагона. От центра к вершине проводится отрезок.
Затем строится перпендикулярная прямой ОА отрезок, который также проходит через О — центр окружности. Его пересечение с окружностью обозначается точкой В. Отрезок О. В. делится пополам точкой С.
Точка С станет центром новой окружности, проходящей через А. Точка D — это ее пересечение с прямой ОВ в границах первой фигуры.
После этого проводится третья окружность через D, центром которой является точка А. Она пересекается с первой фигурой в двух точках, их необходимо обозначить буквами Е и F.
Следующая окружность имеет центр в точке Е и проходит через А, а ее пересечение с первоначальной находится в новой точке G.
Последняя окружность в этом рисунке проводится через точку, А с центром F. На ее пересечении с начальной ставится точка Н.
На первой окружности после всех проделанных шагов появились пять точек, которые необходимо соединить отрезками. Таким образом получился правильный пятиугольник АЕ G Н F.

Как построить правильный пятиугольник иным способом? С помощью линейки и циркуля пентагон можно построить немного быстрее. Для этого необходимо:

Cначала необходимо с помощью циркуля нарисовать окружность, центр которой — точка О.
Чертится радиус ОА — отрезок, который откладывается на окружность. Его делят пополам точкой В.
Перпендикулярно радиусу ОА начерчивается отрезок ОС, точки В и С соединяются прямой.
Следующим шагом является отложение длины отрезка ВС с помощью циркуля на диаметральной линии. Перпендикулярно отрезку ОА появляется точка D. Точки В и D соединяются, образуя новый отрезок.
Для того, чтобы получить величину стороны пентагона, необходимо соединить точки С и D.
D с помощью циркуля переносится на окружность и обозначается точкой Е. Соединив Е и С, можно получить первую сторону правильного пятиугольника. Следуя этой инструкции можно узнать о том, как быстро построить пятиугольник с равными сторонами, продолжая построение остальных его сторон подобно первой.

Интересные факты

В пятиугольнике с одинаковыми сторонами диагонали равны и образуют пятиконечную звезду, которая называется пентаграммой. Золотое сечение — это отношение величины диагонали к стороне пентагона.

Пентагон непригоден для полного заполнения плоскости. Использование любого материала в этой форме оставляет промежутки или образует наложения. Хотя природных кристаллов этой формы не существует в природе, но при образовании льда на поверхности гладких медных изделий возникают молекулы в виде пентагона, которые соединены в цепочки.

Наиболее простой способ получить правильный пятиугольник из полоски бумаги — завязать ее узлом и немного придавить. Этот способ полезен для родителей детей-дошкольников, которые хотят научить своих малышей распознавать геометрические фигуры.

Правильный пятиугольник

По теореме о сумме углов выпуклого многоугольника, сумма углов правильного пятиугольника равна 180º(5-2)=540º.

Так как все углы правильного n-угольника равны между собой, каждый внутренний угол правильного пятиугольника равен 540º:5=108º (в частности, ∠A₂A₁A₅=108º).

Сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360º. Поскольку все внешние углы правильного пятиугольника равны между собой, градусная мера каждого, например, угла 1, равна

∠1=360º:5=72º (можно было внешний угол искать как смежный с внутренним).

Каждый центральный угол правильного пятиугольника, например, угол A₁O A₂, равен

Как и любой другой правильный многоугольник, правильный пятиугольник вписан в окружность и описан около окружности.

Соединив центр правильного многоугольника с его вершинами, получим пять равных равнобедренных треугольников.

Основанием каждого такого треугольника равно стороне 5-угольника, боковые стороны равны радиусу описанной окружности, угол при вершине — центральному углу 5-угольника.

$[{A_1}{A_5} = a,]$

$[{A_1}O = {A_5}O = R,]$

$[angle {A_1}O{A_5} = {72^o}.]$

Проведём из вершины высоту OF.

По свойству равнобедренного треугольника, OF является также медианой и биссектрисой треугольника A₁OA₅, то есть

$[{A_1}F = frac{1}{2}{A_1}{A_5} = frac{a}{2},]$

$[angle {A_1}OF = frac{1}{2}angle {A_1}O{A_2} = {36^o}.]$

Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁OF.

$[sin angle {A_1}OF = frac{{{A_1}F}}{{{A_1}O}},]$

$[{A_1}O = frac{{{A_1}F}}{{sin angle {A_1}OF}},]$

$[R = frac{{frac{a}{2}}}{{sin {{36}^o}}} = frac{a}{{2sin {{36}^o}}}.]$

$[sin {36^o} = sqrt {frac{{5 - sqrt 5 }}{8}} ,]$

$[R = frac{a}{{2sqrt {frac{{5 - sqrt 5 }}{8}} }} = frac{{asqrt 8 }}{{2sqrt {5 - sqrt 5 } }} = frac{{a cdot 2sqrt 2 }}{{2sqrt {5 - sqrt 5 } }} = ]$

$[ = frac{{asqrt 2 }}{{sqrt {5 - sqrt 5 } }} = frac{{asqrt 2 cdot sqrt {5 + sqrt 5 } }}{{sqrt {5 - sqrt 5 } cdot sqrt {5 + sqrt 5 } }} = frac{{asqrt 2 cdot sqrt {5 + sqrt 5 } }}{{sqrt {{5^2} - {{(sqrt 5 )}^2}} }} = ]$

$[ = frac{{asqrt 2 cdot sqrt {5 + sqrt 5 } }}{{sqrt {20} }} = frac{{asqrt 2 cdot sqrt {5 + sqrt 5 } }}{{2sqrt 5 }} = ]$

$[ = frac{{asqrt 2 cdotsqrt {5 + sqrt 5 } cdotsqrt 5 }}{{2sqrt 5 cdotsqrt 5 }} = frac{{asqrt {50 + 10sqrt 5 } }}{{10}}.]$

Таким образом, формула радиуса описанной около правильного пятиугольника окружности —

Сколько горизонтальных линий у правильного Пентагона?

У правильного пятиугольника есть 5 стороны и 5 линии симметрии. Количество линий симметрии в правильном многоугольнике равно количеству сторон.

Кроме того, как найти центр пятиугольника?

к найдите что собой представляет центр регулярного пятиугольник/ шестиугольник: разделите сторону пополам, поместив точку циркуля на каждую из точек и нарисовав дугу с радиусом чуть более половины длины стороны.

Таким образом, что такое прямоугольный Пентагон? Мы определяем «прямоугольный пятиугольник”Как домообразную целочисленную выпуклую плоскую фигуру, состоящую из треугольника с основанием B и сторонами u и v, выходящего на прямоугольник ширины B и высоты d: Таким образом, если треугольник тупой или прямой, то основанием может быть только его самая длинная сторона.

Сколько горизонтальных линий у правильного Пентагона?

Каковы углы пятиугольника?

Все стороны одинаковой длины (конгруэнтны), и весь интерьер углов одинакового размера (конгруэнтные). Чтобы найти меру интерьера углов, мы знаем, что сумма всех углов 540 градусов (сверху) А их пять углов Итак, мера интерьера угол регулярного пятиугольник это 108 градусов.

Все стороны пятиугольника равны?

Обычный пятиугольник один с все равно и углов. Его интерьер углов 108 градусов и его внешний вид углов 72 градуса. Нерегулярныйпятиугольник это форма, которая не имеет равные стороныи / или углов и поэтому не указалиуглов.

Как нарисовать пятиконечную звезду?

Нарисуйте перевернутую букву «V». Начните с левой нижней части вашего рисунка, подойдите к точке и опустите карандаш вниз и вправо.
Проведите влево прямую линию под углом вверх.
Нарисуйте прямую горизонтальную линию поперек вашего рисунка, заканчивающуюся справа.

Есть ли у Пентагона равные стороны?

Пентагоны могут быть правильными или неправильными, а также выпуклыми или вогнутыми. Обычный пятиугольник едино со всеми равные стороны и углы. Его внутренние углы составляют 108 градусов, а внешние — 72 градуса. Нерегулярный пятиугольник это форма, которая делает не иметь равные стороны и / или углы и поэтому не иметь указанные углы.

Сколько углов у пятиугольника?

Что в форме пятиугольника?

Треугольник	Квадратный
Пятиугольник	Икосагон

Сколько треугольников в пятиугольнике?

Сколько углов у круга?

Все части круг находятся на равном расстоянии от центра круг. Сторона должна состоять из линии и двух углов, по одному с каждой стороны линии. Квадрат состоит из четырех сторон: четырех линий и четырех сторон. углов. Шестиугольник, состоящий из шести сторон и шестиуглов.

Является ли шестиугольник правильным многоугольником?

A шестиугольник это пример многоугольник, или многогранной формы. А правильный шестиугольник имеет шесть сторон, которые все равны или равны по размеру. А правильный шестиугольник выпуклый, что означает, что точкишестиугольник все указывают наружу. Все углы правильный шестиугольник совпадают и измеряют 120 градусов.

Что такое многоугольник?

A многоугольник любое двумерное формировать формируется прямыми линиями. Треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники — все это примеры полигонов. Название говорит вам, сколько сторон формировать имеет. Например, треугольник имеет три стороны, а четырехугольник — четыре стороны. Это то, что делает многоугольник.

Что такое фигура с четырьмя вершинами?

Четырехугольник — это замкнутая фигура с 4 стороны. некоторые формы которые классифицируются как четырехугольники: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб и трапеция. Это квадрат. Оно имеет 4 прямые углы и 4 равные стороны. Оно имеет 4 стороны и Вершины 4.

Как нарисовать шестиугольник внутри круга?

к рисовать a шестиугольникначните с обводки чего-нибудь круглого, чтобы получился круг. Затем с помощью линейки рисовать горизонтальная линия через центр круг. Далее берем линейку и рисовать «x» над круг поэтому он разделен на 6 равных частей.

Сколько существует типов шестиугольников?

In геометрия, а шестиугольник можно определить как многоугольник с шестью сторонами. Двумерная форма имеет 6 сторон, 6 вершин и 6 углов. Мы можем найти форму шестиугольник ввокруг нас соты и футбольный мяч.

Как нарисовать ромб?

Шаг 1: Начните с рисования клюва пингвина.
Шаг 2: Нарисуйте голову.
Шаг 3: Нарисуйте тело и основание ступней.
Шаг 4: Нарисуйте перья на спине и хвосте.
Шаг 5: Нарисуйте крыло и лапы пингвина.

Как нарисовать ромб?

пятиугольник имеет 5 сторон. К найдите ценность интерьера угол в А пятиугольник, используйте следующее формула, чтобы найти сумма всего интерьерауглов. Разделите это число на 5, чтобы определять ценность каждого интерьера угол. Каждый интерьер угол составляет 108 градусов.

Является ли треугольник правильным многоугольником?

A правильный многоугольник — это многоугольник где все стороны и углы одинаковы. Равносторонний треугольник — это правильный многоугольник. У него все одинаковые стороны и одинаковые углы. Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равных угла.

Что такое четырехугольник?

четырехугольник. В геометрии евклидовой плоскости aчетырехугольник многоугольник с четырьмя ребрами (или сторонами) и четырьмя вершинами или углами. Иногда термин четырехугольник используется по аналогии с треугольником, а иногда четырехугольник для согласованности с пятиугольником (5-гранный), шестиугольником (6-гранный) и так далее.

Что такое многоугольник?

A многоугольник любое двумерное формироватьформируется прямыми линиями. Треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники — все это примеры полигонов. Название говорит вам, сколько сторон формировать имеет. Например, треугольник имеет три стороны, а четырехугольник — четыре стороны. Это то, что делает многоугольник.

Что такое 6-сторонний многоугольник?

В геометрии шестиугольник (от греческого? Ξ hex, «шесть» и γωνία, gonía, «угол, угол») — это шесть–двусторонний многоугольник or 6-гон. Сумма внутренних углов любого простого (несамопересекающегося) шестиугольника составляет 720 °.

Как называется 9-сторонняя форма?

Как нарисовать восьмиугольник?

Шаг 1. Разделите на три части. Разделите длину на три части.
Шаг 2: Разделите на 9 квадратов. Нарисуйте по разметке 9 маленьких квадратов.
Шаг 3: сделайте восьмиугольник из 9 квадратов. Нарисуйте линии так, чтобы восьмиугольник был виден в 9 квадратах.
Шаг 4: Сотрите форму восьмиугольника.

Как называется девятиугольная форма?

В геометрии девятиугольник (/ ˈn? N? G? N /) или enneagon (/ ˈ? Ni? G? N /) является 9–односторонняя многоугольник или 9-угольник. Название нонагон — это префиксная гибридная формация, от латинского (nonus, «девятый» + гонон), используемая эквивалентно, засвидетельствованная уже в 16 веке во французском nonogone и в английском языке с 17 века.

Как называется девятиугольная форма?

Шаг 1: Проведите прямую AB длиной 6 см.
Шаг 2: Используя транспортир, нарисуйте угол 57 ° от точки A. Отметьте точку D так, чтобы AD = 6 см.
Шаг 3: Используя линейку и установленный квадрат, проведите линию BC так, чтобы она была параллельна AD. Отметьте точку C так, чтобы BC = 6 см.
Шаг 4: Соедините точку D с точкой C.

Как нарисовать параллелограмм?

Собери свои инструменты.
Ознакомьтесь с инструкциями по решению вашей математической задачи.
Проведите линию с помощью линейки.
Обозначьте длину одной стороны.
Установите транспортир.
Измерьте угол.
Нарисуйте следующую сторону параллелограмма.
Повторите для следующей стороны.

Как называется 7-сторонняя форма?

В геометрии семиугольник — это семиугольник.односторонняя многоугольник 7-гон. Гептагон иногда называют семиугольником, используя «sept-» (элизия septua-, числового префикса латинского происхождения, а не hepta-, числового префикса греческого происхождения; оба являются родственными) вместе с греческим суффиксом «-agon Означает угол.

Как называется 3-сторонняя форма?

A 3–двусторонняя форма is под названием треугольник. Треугольники — это многоугольники с тремя сторонами, поэтому любыемногоугольник с трех сторон под названием треугольник. Есть

Источник

Точное построение фигуры

Специалисты рекомендуют некоторую последовательность действий, по которым построить правильный пятиугольник очень просто. Для операции необходимы обыкновенная тетрадь в клеточку, циркуль, карандаш, резинка и линейка. Следует выполнить некоторые шаги:

Построить окружность с центром в некоторой точке О.
Провести два диаметра. Они должны пересекаться под прямым углом.
Поставить точку V (пересечение окружности с одним из диаметров), которая является вершиной фигуры.
По левой стороне поставить точку D. Это пересечение диаметра (оси симметрии) с окружностью.
Отметить на отрезке OD точку А, которая делит его пополам.
Выполнить построение вспомогательной окружности, центром которой является точка, полученная в 5 пункте. Кроме того, круг с радиусом CV должен проходить через V.
Точку, полученную при пересечении диаметра и окружности, нужно обозначить литерой B.
Нарисовать окружность с радиусом, равным CV, из точки V.
Отметить пересечение круга с первой окружностью, центром которой является точка О. Искомое место пересечения обозначить литерой F (вторая вершина пентагона).
Поставить иглу циркуля в точку F и провести окружность через Е.
Обозначить пересечение окружностей с центрами в F и O точкой G, которая будет вершиной пентагона.
Аналогичным образом проделать шаг 11, только центр выбрать не в F, а в G. Полученную точку следует обозначить литерой H (последняя вершина фигуры).
Соединить пять точек (СVEFG) между собой с помощью линейки.

Если все пункты алгоритма выполнены правильно, то должен получиться пентагон, изображенный на рисунке 1:

Этот способ следует применять для точных построений и чертежей деталей. Однако для решения задач, в которых необходимо схематически изобразить пятиугольник, этот вариант не подойдет.

Алгоритм Биона

Прием Биона является менее точным методом, чем первый. Он позволяет построить любой правильный многоугольник, вписанный в произвольный круг. Для операции необходимо воспользоваться алгоритмом (шаблоном) Биона, имеющим такой вид:

Начертить окружность с центром в точке О и радиусом R.
Провести в ней диаметр АD.
Построить правильный (равносторонний) треугольник с одной из сторон, равной диаметру.
Поделить диаметр на несколько равных частей (АС = СE = ED), количество которых вычисляется по формуле: (n — 2). Переменная «n» эквивалентна количеству граней правильного многоугольника, то есть n = 3. Соотношение можно записать следующей зависимостью: АС = [1 / (n — 2)] * AD = AD / 3.
Провести из точек С и Е прямые, перпендикулярные диаметру.
Точки пересечения прямых с окружностью обозначить F и G.
Если соединить точки, то получится пентагон ABDFG.

Погрешность построения многоугольника с 5, 7, 9 и 10 сторонами при использовании алгоритма довольно маленькая. Ее значения равно 3,2%. Однако при n>10 погрешность составляет не более 11%.

Приближенные методы

Существует несколько методов, позволяющих приближенно изобразить фигуру. Однако оптимальным является построение пентагона (рис. 2), используя две окружности (описанную и вписанную).

Метод известного математика А. Дюрера является оптимальным среди остальных, поскольку на построение затрачивается минимальное количество времени. Для его реализации следует выполнить определенные шаги алгоритма Дюрера:

Начертить произвольную окружность с центром в точке О.
Не вынимая иглу циркуля из точки О, выполнить построение другой окружности. Ее радиус нужно уменьшить таким образом, чтобы общий радиус R был равен стороне пятиугольника.
Отметить на окружности с большим радиусом две произвольные точки. При этом следует руководствоваться правилом: прямая, проходящая через них, должна касаться малой окружности в одной точке (касательная).
Отметить следующую точку, чтобы можно было соединить ее с предыдущей. Правило при этом должно соблюдаться.
Аналогично проделать операции с другими сторонами пентагона.

Существует еще один метод — построение пятиугольника из десятиугольника, который вписан в окружность. Для этого следует соединить его вершины через одну. Однако способ рекомендуется применять только в том случае, когда исходная фигура уже имеется. Кстати, его следует строить также методом А. Дюрера.

Математики рекомендуют еще один простой способ. Для его реализации необходимо начертить окружность с диаметром АD. После этого его нужно поделить на 3 равные части, то есть AB = BC = CD. Затем из точки С следует опустить перпендикуляры на окружность. Обозначить места пересечения точками E и F. Проделать такую же процедуру с точкой B, обозначив пересечения точками G и H. Остается лишь соединить все точки отрезками.

Признаки и свойства

Не всегда получается верно идентифицировать пятиугольник. Для этого математики предлагают признаки, которые применимы только к правильной фигуре. К ним можно отнести следующие:

Стороны равны между собой.
Любой угол правильного пятиугольника равен остальным его углам.

Следует отметить, что признаки справедливы для любого правильного многогранника. Пять осей симметрии имеет правильный пятиугольник (сколько сторон, столько и осей). Пентагон обладает некоторыми свойствами, которые будут очень полезны при решении задач. К ним можно отнести следующие:

Равенство сторон.
Углы равны по 108 градусов.
Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Сумма внутренних углов равна 180 * (5 — 2) = 540 (градусов), а внешних — 360.
Количество диагоналей соответствует 5.
Значение площади кольца, которое образуется между вписанным и описанным кругами, эквивалентно произведению квадрата длины стороны на константу Pi / 4.
Биссектрисы, проведенные через центр, равны.
Диагонали — трисектрисы внутренних углов. Одна диагональ делит его на 1/3 и 2/3 части.
Отношение диагонали к стороне эквивалентно «золотому сечению» и равно [1 + 5^(1/2)] / 2.

Однако свойств недостаточно при решении задач, поскольку существуют некоторые формулы и соотношения для нахождения основных параметров пентагона.

Расчет параметров

С помощью соотношений можно легко найти необходимые характеристики любой фигуры. Однако в некоторых источниках не указаны условные обозначения известного параметра пентагона. Это существенно затрудняет понимание формулы, а также ее дальнейшее использование. Перед изучением следует нарисовать фигуру и обозначить некоторые величины, которыми могут быть диагонали, стороны, апофемы и радиусы.

Рекомендуется использовать различные литеры или буквенные обозначения. Недопустимо пронумеровывать вершины, поскольку при вычислениях можно ошибиться. Нельзя использовать вместо букв цифры при обозначениях. Например, пентагон ABCDE является правильной записью. Допускается применение чисел в индексах, а именно, в пятиугольнике правильного типа ABCDE при пересечении его диагоналей образовался пентагон A1B1C1D1E1.

Математики рекомендуют обозначать только промежуточные фигуры или их проекции литерами с индексами. Для каждой новой фигуры следует вводить другие обозначения. Не следует использовать зарезервированные переменные. Например, центр окружности в точке P является недопустимой записью, поскольку такой буквой обозначается периметр.

Условные обозначения

Для нахождения основных величин пентагона следует обозначить некоторые его параметры. Фигура имеет следующие обозначения:

Сторона: a.
Радиус вписанной и описанной окружностей: r и R соответственно.
Площадь: S.
Периметр и полупериметр: P и p соответственно.
Диагональ: d.
Отношение золотого сечения: Ф.

Значения сторон равны между собой. Площадь правильного пятиугольника — характеристика двумерной фигуры, которая показывает ее размерность. Периметром называется сумма всех 5 сторон. Полупериметр вычисляется по следующему соотношению: p = P / 2. Диагонали — отрезки, проведенные из одной вершины к противоположной (несмежной).

Соотношения и формулы

После обозначений следует переходить к рассмотрению основных формул, при помощи которых можно вычислять параметры фигуры. Сторону можно найти, воспользовавшись такими соотношениями:

a = 2r * tg(36).
a = 2R * sin(36).
a = R * [(5 — (5)^(1/2)) / 2]^(1/2).

Радиус вписанной окружности в пентагон можно найти, используя тригонометрические функции. Однако существует также формула, позволяющая вычислить приближенное значение. Это необходимо в том случае, когда под рукой нет специального онлайн-калькулятора, компьютера или таблиц Брадиса. Формулы для нахождения радиуса вписанной окружности:

r = a / (2tg(36)).
r = a * [5^(1/2) * [5 + 2 * 5^(1/2)]^(1/2) / 10].

Математики также рекомендуют описать вокруг пентагона окружность. Это расширит возможности по поиску его основных характеристик. Однако ее радиус следует вычислить. Формулы для его нахождения выглядят таким образом:

R = a / (2sin(36)).
R = a * [10^(1/2) * [5 + 5^(1/2)]^(1/2) / 10] = (5^(1/2) — 1) * r.

Периметр определяется просто: Р = 5а. Значение полупериметра эквивалентно половине периметра, то есть p = P / 2 = 5a / 2 = 2,5a. Площадь можно найти, используя такие формулы:

S = (5a^2 / 4) * ctg(36).
S = 5r^2 * tg(36).
S = 2,5 * R^2 * sin(72).
S = (5/12) * R * d.

Высота правильного пятиугольника (h) — отрезок, проведенный из центра на любую из сторон. Она делит ее на две равные части, поскольку является биссектрисой и медианой равнобедренного треугольника. У последнего две стороны — радиусы описанной окружности, а третья — сторона пентагона. Высота называется также апофемой и проекцией на «а». Вычисляется ее значение по формуле h = a * tg(72) / 2.

Величина Ф является отношением площади пентагона (S) к площади (S1) правильного пятиугольника, полученного при пересечении диагоналей первого: S / S1 = Ф^4 = 3Ф + 2 = (3 * 5^(1/2) + 7) / 2. Длина диагонали находится по такому соотношению: d = [Ф * 5^(1/2) * R]^(1/2).

Таким образом, при решении задач необходимо знать основные признаки, свойства, соотношения и формулы для нахождения основных характеристик пентагона. Практика обязательна, поскольку теоретические знания без практического применения бесполезны.

Источник

$begingroup$

I am attempting to follow this tutorial here: http://www.mathopenref.com/polygonradius.html

My goal is to find the coordinates of vertices of a pentagon, given some radius. For example, if I know that the center is at $(0,0)$, and my radius is $8.1$, what formula can I use to get the coordinates of points A, E, B, D, C, if I know the center point between D, C (i.e $(0,5)$

asked Oct 29, 2016 at 17:50

angryipangryip

1371 gold badge1 silver badge9 bronze badges

$endgroup$

$begingroup$

Let us start from vertex $b=(0 ; 8.1)$.

Turning clockwise by $72°$ (recall: $72°=360°/5$), one meets vertex $a$. It means that if one materiallizes the $x$ axis, the angle between $Oa$ and the horizontal axis is $90°-72°=18°$. Thus the coordinates of $a$ are $(8.1 cos(18°) ; 8.1 sin(18°))$.

Doing once again the same thing (turning clockwise by $72°$), one meets vertex $C$, with angle cOa $= 72°$, thus line segment makes an angle $72°-18°=54°$ below the horizontal axis, thus considered as $-54°$.

Therefore, the coordinates of $c$ are $(8.1 cos(-54°) ; 8.1 sin(-54°))$.

The coordinates of $e$ and $d$ are easily deduced from the coordinates of $a$ and $c$ by symmetry.

answered Oct 29, 2016 at 18:27

Jean MarieJean Marie

74.7k7 gold badges43 silver badges105 bronze badges

$endgroup$

$begingroup$

Assuming starting with b on $y$ axis,

$$(x,y)= ( 8.1 cos ( t + k , 2 pi/5) , 8.1 sin( t + k, 2 pi/5)) $$

where $t$ is polar coordinate angle at (0,0) and $k$ is varied between 0 to 5 to arrive at all vertex coordinates of the regular pentagon.

answered Oct 29, 2016 at 22:28

NarasimhamNarasimham

39k7 gold badges36 silver badges98 bronze badges

$endgroup$

$begingroup$

To find the coordinates of the vertices of a pentagon centered at the origin:

answered Oct 29, 2016 at 22:05

SeyedSeyed

8,8084 gold badges20 silver badges30 bronze badges

$endgroup$

You must log in to answer this question.

Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged

.

Источник

Правильный пятиугольник

Правильный пятиугольник — это такой пятиугольник у которого все пять сторон равны и его пять углов равны.

Правильный пятиугольник

Центр правильного пятиугольника — на рисунке точка O равноудалена от вершин.

Светлая линия обозначающая высоту треугольника AOB : h называется — апофемой.

Отрезки OA, OB — радиусы правильного пятиугольника.

Обозначения на рисунке для правильного пятиугольника

n=5	число сторон и вершин правильного пятиугольника,	шт
α	центральный угол правильного пятиугольника,	радианы, °
β	половина внутреннего угла правильного пятиугольника,	радианы, °
γ	внутренний угол правильного пятиугольника,	радианы, °
a	сторона правильного пятиугольника,	м
R	радиусы правильного пятиугольника,	м
p	полупериметр правильного пятиугольника,	м
L	периметр правильного пятиугольника,	м
h	апофемы правильного пятиугольника,	м

Основные формулы для правильного пятиугольника

Периметр правильного пятиугольника

[ L = 5a ]

Полупериметр правильного пятиугольника

[ p = frac{5}{2}a ]

Центральный угол правильного пятиугольника в радианах

[ α = frac{2}{5}π ]

Центральный угол правильного пятиугольника в градусах

[ α = frac{360°}{5} = 72° ]

Половина внутреннего угла правильного пятиугольника в радианах

[ β = frac{3}{10}π ]

Половина внутреннего угла правильного пятиугольника в градусах

[ β = frac{3}{10}180° = 54° ]

Внутренний угол правильного пятиугольника в радианах

[ γ = 2β = frac{3}{5}π ]

Внутренний угол правильного пятиугольника в градусах

[ γ = frac{3}{5}180° = 108° ]

Площадь правильного пятиугольника

[ S = ph = frac{5}{2}ha ]

Или учитывая формулу Площади правильного пятиугольника получим

[ S = frac{5}{2} a sqrt{Big(frac{a}{2 sin(π/5)}Big)^2-frac{a^2}{4}} ]

Отсюда получим апофему правильного пятиугольника

[ h = sqrt{Big(frac{a}{2 sin(π/5)}Big)^2-frac{a^2}{4}} ]

Правильный пятиугольник	стр. 269

Источник

Бывают задачи на построение и нахождение некоторых геометрических параметров правильного пятиугольника. Построить фигуру непросто. Для этого математики рекомендуют несколько методик, позволяющих выполнить операцию более точно или за короткий промежуток времени. У фигуры есть свойства, а также формулы, позволяющие найти ее геометрические характеристики.

S = (5/12) * R * d.

Окружность, вписанная в правильный многоугольник

На этом занятии мы рассмотрим следующую тему – «Окружность, вписанная в правильный многоугольник». В первую очередь дадим определение правильному многоугольнику. После чего докажем теорему о том, что внутри любого правильного многоугольника можно вписать окружность, и притом только одну. Кроме того, рассмотрим следствия из этой теоремы.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Правильные многоугольники

Многоугольник — замкнутая ломаная линия. В школьной планиметрии изучают плоские линии, без самопересечений. Часть плоскости, ограниченная этой линией, также называется многоугольником. В этом смысле многоугольник имеет площадь. Многоугольник с n вершинами, а значит и с n сторонами, называется n-угольником.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону.

На этом рисунке

1 — простая (без самопересечений) ломаная линия, имеет 6 звеньев и 7 вершин;
2 — шестизвенная ломаная, имеющая одно самопересечение;
3 — выпуклый многоугольник, пятиугольник;
4 — невыпуклый многоугольник, десятиугольник.

Итак, слово «правильный» в условии задачи сразу говорит нам о том, что все стороны и все углы многоугольника одинаковые. Количество углов (вершин) и количество сторон определяем по названию многоугольника. Далее в формулах и задачах будем обозначать это количество символом n.

и так далее.

правильный пятиугольник.

Чтобы построить другие правильные многоугольники, задайте количество сторон n (от 3-ёх до 12-ти).

Многоугольники можно вписывать в окружность или описывать вокруг неё. Однако, это получается не для всех и не всегда. Говоря математическим языком, не всегда существует окружность, которая удовлетворяет определению.

Если многоугольник вписан в окружность, то можно сказать, что окружность описана около многоугольника, или, наобррот, если многоугольник описан около окружности, то окружность вписана в него. Такие формулировки тоже встречаются в условиях геометрических задач. Чтобы не путаться запомним — вписанная фигура находится внутри описанной около неё.

Четырехугольник вписан в окружность.

Четырехугольник описан около окружности.

Рассмотрим другие примеры.

Произвольный прямоугольник всегда можно вписать в окружность, но описать нельзя. Описать получится только тогда, когда прямоугольник — это квадрат.

Параллелограмм нельзя вписать в окружность. Описать можно только ромб.

В окружность можно вписать только равнобочную трапецию, описать около окружности тоже можно не всякую трапецию.

Существование вписанной и описанной окружности для произвольных многоугольников связано с величинами их углов и сторон. Есть специальные теоремы, позволяющие определить будет ли многоугольник являться вписанным и/или описанным. Сейчас мы на них останавливаться не будем. Сейчас важно отметить следующее:

Треугольник вписан в зеленую окружность, описан вокруг синей.

Пятиугольник вписан в зеленую окружность, описан вокруг синей.

Правильные многоугольники имеют центр, точнее совпадающие в одной точке центр симметрии, центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей. Если соединить с центром правильного n-угольника его вершины, то многоугольник разобьется на n равных равнобедренных треугольников.

Боковые стороны этих треугольников (на рисунке — зелёные отрезки) будут равны радиусу описанной окружности (R), а их основания (на рисунке — красные отрезки) равны стороне многоугольника (a).

Пользуясь таким чертежом, можно вычислять различные отрезки и углы в многоугольнике на основе знаний о равнобедренных треугольниках.
Например, угол AOB в пятиугольнике равен 360/5 = 72° (360° — полный круг). Угол OAB равен углу OBA и равен (180 − 72)/2 = 54°. Угол CAB = 2×54 = 108°. Сумма всех углов при вершинах пятиугольника 5×108 = 540°.

При решении задач на правильный многоугольник, часто бывает удобно дорисовать внешнюю (описанную) или внутреннюю (вписанную) окружность даже, если они не упоминаются в условии, и соединить вершины и точки касания с центром. Получатся равнобедренные или прямоугольные треугольники, о которых много известно, поэтому задачу будет решать легко.

Синие треугольники равнобедренные потому, что их боковые стороны это радиусы одной и той же окруюности.

Оранжевые треугольники прямоугольные потому, что касательная к окружности перпендикулярна её радиусу.

На ОГЭ по математике в 9-ом классе и на ЕГЭ в 11-ом встречаются задачи с правильными многоугольниками, часто они включают в себя и вписанную или описанную окружность.

Задачи на правильные многоугольники

Внимание: задачи с решениями, но они временно скрыты. Сначала сделайте попытку решить задачу самостоятельно, и только после этого нажимайте кнопки «Посмотреть ответ» и «Посмотреть решение». Cовпадать обязан только ответ. Способ решения может отличаться.

Доказать, что площадь правильного n-угольника можно вычислить по формуле S = pr, где p — полупериметр многоугольника, r — радиус вписанной окружности.

Ответ: S = pr

Середины сторон правильного восьмиугольника ABCDEFGH последовательно соединили. Какую часть площади исходного многоугольника занимает получившийся многоугольник KLMNPQRS ?
Ответ дайте в процентах, округлив до целых.

Примечание: Отношение сторон многоугольников можно найти иначе, например, достроить другие внутренние отрезки и рассмотреть прямоугольные треугольники.

Ответ: 85

В круг вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Найти площадь круга, если радиус окружности, вписанной в треугольник ADE, равен r.

Определим площадь треугольника ADE двумя способами:
через произведение катетов [S = frac<cdot> <2>= frac><2>cdotfrac<2>cdotfrac<1> <2>= frac><8>; ] и через полупериметр и заданный радиус вписанной окружности [S = frac<2>cdot r = frac<2>cdot big(frac><2>+frac<2>+ xbig) = frac + 3) > <4>]

Теперь можно составить уравнение и решить его относительно х.
[ frac> <8>= frac + 3)> <4>] [ frac> <2>= frac + 3)> <1>] [x = frac <2r(sqrt<3>+ 3)><sqrt<3>> = 2r(1 + sqrt<3>)] Так как AD = x — диаметр окружности, то её площадь можно найти по формуле [S = frac <pi d^2> <4>= frac <pi (2r)^2 (1 + sqrt<3>)^2> <4>= pi r^2(1 +2 sqrt <3>+ 3) = pi r^2(4 + 2sqrt<3>) = 2pi r^2(2 + sqrt<3>)]

Ответ: 2πr 2 (2 + √3 _ )

Найти отношение площади правильного двадцатичетырёхугольника, вписанного в некоторую окружность, к площади правильного двенадцатиугольника, вписанного в ту же окружность.

Ответ: 4sin15° ≈ 1,04

Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF, в котором AC = 10,5. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF.

Примечание: Если Вы не догадались использовать свойство медиан треугольника, то можно рассматривать треугольники AOC, AOH и т.п., теорему косинусов или теорему Пифагора. Ответ будет получен с чуть большим объёмом вычислений.

Ответ: 7

Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников BOD, DOF и BOF.

источники:

http://interneturok.ru/lesson/geometry/9-klass/dlina-okruzhnosti-i-ploschad-kruga/okruzhnost-vpisannaya-v-pravilnyy-mnogougolnik

http://mathematichka.ru/school/geom_figures/Regular_polygon_1.html

Источник

Как построить и нарисовать правильный пятиугольник по окружности

Параметры правильного пятиугольника

Построение пентагона

Интересные факты

Правильный пятиугольник

Сколько горизонтальных линий у правильного Пентагона?

Сколько горизонтальных линий у правильного Пентагона?

Каковы углы пятиугольника?

Все стороны пятиугольника равны?

Как нарисовать пятиконечную звезду?

Есть ли у Пентагона равные стороны?

Сколько углов у пятиугольника?

Что в форме пятиугольника?

Сколько треугольников в пятиугольнике?

Сколько углов у круга?

Является ли шестиугольник правильным многоугольником?

Что такое многоугольник?

Что такое фигура с четырьмя вершинами?

Как нарисовать шестиугольник внутри круга?

Сколько существует типов шестиугольников?

Как нарисовать ромб?

Как нарисовать ромб?

Является ли треугольник правильным многоугольником?

Что такое четырехугольник?

Что такое многоугольник?

Что такое 6-сторонний многоугольник?

Как называется 9-сторонняя форма?

Как нарисовать восьмиугольник?

Как называется девятиугольная форма?

Как называется девятиугольная форма?

Как нарисовать параллелограмм?

Как называется 7-сторонняя форма?

Как называется 3-сторонняя форма?

Точное построение фигуры

Алгоритм Биона

Приближенные методы

Признаки и свойства

Расчет параметров

Условные обозначения

Соотношения и формулы

You must log in to answer this question.

Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged .

Правильный пятиугольник

Обозначения на рисунке для правильного пятиугольника

Основные формулы для правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник

Окружность, вписанная в правильный многоугольник

Правильные многоугольники

Задачи на правильные многоугольники

Not the answer you’re looking for? Browse other questions tagged

.