Как найти точки с одинаковыми потенциалами

В литературе описано несколько методов преобразования электрических цепей [1; 2; 3]. В этих статьях описаны и методы упрощения схем, имеющих точки равного потенциала. Но при решении подобных задач авторы обычно пишут так: «Из симметрии ветвей цепи видно, что точки В и D имеют равные потенциалы» [2], хотя эта видимость не совсем очевидна.

Рассмотрим способы нахождения точек одинакового потенциала более подробно. Пусть нам дана электрическая цепь, состоящая из сопротивлений R₁, R₂, …, R₈ (рис. 1 а). Проведем через точки подключения цепи прямую АВ (рис. 1 б).

1 способ. Если схема содержит проводники с одинаковым сопротивлением, расположенные симметрично относительно определенной оси или плоскости, то концы этих проводников имеют одинаковый потенциал. При этом точки будут симметричными относительно прямой АВ, если равны сопротивления участков цепи между данными точками и любыми точками этой прямой.

Используя этой признак, можно сделать вывод, что точки С₁ и С₂ (рис. 1 б) будут симметричны относительно прямой АВ, если R₁ = R₂ (сопротивления между точкой А и С₁ и между точкой А и С₂ равны) и R₅ = R₆ (сопротивления между точкой В и С₁ и между точкой В и С₂ равны). Аналогично, точки С₃ и С₄ будут симметричны относительно прямой АВ, если R₃ = R₄ и R₇ = R₈.

а.

б.
Рис. 1.

2 способ. Точки имеют одинаковый потенциал, если равны отношения сопротивлений между данными точками и точками подключения.

Например, точки С₁ и С₂ (рис. 1 а) имеют одинаковый потенциал, если . Аналогично, точки С₃ и С₄ имеют одинаковый потенциал, если .

Покажем на примерах, как можно использовать эти способы для преобразования электрических цепей.

Метод объединения равнопотенциальных узлов:точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы.

Пример 1. Определите сопротивление электрической цепи (рис. 2), если: а) R₁ = R₃ = 2R, R₂ = R₄ = R, R₅ = 3R; б) R₁ = R₄ = 2R, R₂ = 4R, R₃ = R, R₅ = 5R.

Рис. 2.

а) Если провести через точки подключения прямую АВ (рис. 3 а), то равны сопротивления участков АС₁ и АС₂ (R₁ = R₃), и равны сопротивления участков ВС₁ и ВС₂ (R₂ = R₄). Следовательно, точки С₁ и С₂ симметричны относительно прямой АВ и имеют равные потенциалы.

Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 3, б). Резисторы R₁ и R₃ соединены параллельно, и резисторы R₂ и R₄ – параллельно, участки 1/3 и 2/4 последовательно. Следовательно,

б) Если провести прямую АВ (рис. 3 а), то сопротивления участков АС₁ и АС₂ не равны , следовательно, точки С₁ и С₂ не симметричны относительно прямой АВ. НО точки С₁ и С₂имеют равные потенциалы, т.к. .

Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 3 б). Резисторы R₁ и R₃ соединены параллельно, и резисторы R₂ и R₄ – параллельно, участки 1/3 и 2/4 последовательно. Следовательно,

а

б
Рис. 3.

Пример 2. Найдите сопротивление проволочного куба между точками А₁ и В₃ (рис. 4). Сопротивление каждого ребра R₀.

Рис. 4.

Рис. 5.

Проведем через точки подключения прямую А₁В₃ (рис. 5). Равны сопротивления (равны длины – ребра) участков А₁В₁, А₁А₂ и А₁А₄, и равны сопротивления (равны длины – диагонали) участков В₃В₁, В₃А₂ и В₃А₄. Следовательно точки В₁, А₂ и А₄ симметричны относительно прямой А₁В₃ и имеют равные потенциалы. Равны сопротивления участков А₁А₃, А₁В₂ и А₁В₄, и равны сопротивления участков В₃А₃, В₃В₂ и В₃В₄. Следовательно точки А₃, В₂ и В₄ симметричны относительно прямой А₁В₃ и имеют равные потенциалы.

Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 6). Три резистора R₀ соединены параллельно между точками А₁ и А₂ (В₁, А₄), шесть резисторов R₀ – параллельно между точками А₂ (В₁, А₄) и А₃ (В₂, В₄), три резистора R₀ – параллельно между точками А₃ (В₂, В₄) и В₃, участки между этими точками соединены последовательно. Следовательно,

.

Рис. 6.

Пример 3. Найдите сопротивление проволочного куба между точками А₁ и В₂ (рис. 4). Сопротивление каждого ребра R₀.

Проведем через точки подключения прямую А₁В₂ (рис. 7 а). Равны сопротивления (равны длины – ребра) участков А₁В₁, А₁А₂, и равны сопротивления (равны длины – ребра) участков В₂В₁, В₂А₂. Следовательно точки В₁ и А₂ симметричны относительно прямой А₁В₂ и имеют равные потенциалы. Равны сопротивления участков А₁А₃ и А₁В₄, и равны сопротивления участков В₂А₃ и В₂В₄. Следовательно, точки А₃ и В₄А₁  симметричны относительно прямой В₂ и имеют равные потенциалы.

Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 7 б). Используя рекуррентный метод, схему можно упростить (рис. 7 в или г).

Точки А₂ и В₄имеют равные потенциалы, т.к. . Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 7 д). Резисторы на участке А₁А₂ соединены параллельно, и резисторы на участке А₂В₂ – параллельно, а эти участки соединены последовательно. Следовательно,

а

б

в

г

д
Рис. 7.

Если возможно объединение двух равнопотенциальных узлов, то возможен и обратный переход.

Метод разделения узлов: узел схемы можно разделить на два или несколько узлов, если получившиеся при этом узлы имеют одинаковые потенциалы.

Обязательным условием при этом является проверка получившихся при разделении узлов на равенство потенциалов (симметричность или пропорциональность сопротивлений).

Пример 4. Найдите сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. сопротивлением R₀ каждый.

Рис. 8.

Разделим узел в середине каркаса на два узла О₁ и О₂ так, как показано на рис. 9 а. Это можно сделать, так как точки О₁ и О₂ имеют равные потенциалы: равны сопротивления участков AO₁, AO₂, и равны сопротивления участков BO₁, BO₂. Перерисуем схему в стандартный вид (рис. 9 б). Используя рекуррентный метод, схему можно упростить (рис. 9 в), т.к. сопротивление участка C₁F₁ равно , аналогично . Тогда общее сопротивление цепи равно .

Обратите внимание. С точки зрения геометрии точки О₃ и О₄ симметричны относительно прямой а (рис. 9 г), но потенциалы этих точек не равны, т.к. сопротивления участков АО₃ и АО₄ не равны, а отношения сопротивлений участков АО₃ и АО₄ не равны отношению сопротивлений участков ВО₃ и ВО₄.

а

б

в

г
Рис. 9.

Пример 5. Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. 10) сопротивлением R₀ каждый.

Разделим узел в середине каркаса на три узла О₁, О₂ и О₃ так, как показано на рис. 11 а. Это можно сделать, так как точки О₁, О₂ и О₃ имеют равные потенциалы: равны сопротивления участков AO₁ и BO₁, участков AO₂ и BO₂, и участков AO₃ и BO₃, следовательно, отношения сопротивления этих участков равны.

Перерисуем схему в стандартный вид (рис. 11, б). Используя рекуррентный метод, схему можно упростить (рис. 11 в), т.к. сопротивление участка C₁F₁ равно , аналогично , сопротивление . Тогда общее сопротивление цепи равно

а

б

в
Рис. 11.

Литература

1. Зильберман А. Расчет электрических цепей // Квант. – 1988. – № 8. – С. 30-34.
2. Петросян В.Г., Долгополова Л.В., Лихицкая И.В. Методы расчета резисторных схем постоянного тока // Физика. – 2002. – № 14, 18, 22.
3. Хацет А. Методы расчета эквивалентных сопротивлений // Квант. – 1972. – № 2. – С. 54-59.

Электрический ток

Электрический ток непосредственно не наблюдается, о существовании тока в проводнике судят по его действиям. Различают следующие действия тока:

• тепловое – проводник с током нагревается;
• химическое – на электродах, опущенных в жидкость, выделяется вещество;
• магнитное – проводник с током притягивает стальные предметы;
• механическое – проводник с током, помещенный вблизи магнита, приходит в движение.

За направление тока принято направление движения по проводнику положительно заряженной частицы.

Электрическая цепь

Для изображения электрической цепи используются стандартные условные обозначения.

Условное обозначение	Название
	1. Гальванический элемент, аккумулятор. 2. Батарея элементов. 3. Источник переменного тока.
	4. Лампа накаливания. 5. Резистор. 6. Реостат с двумя клеммами. 7. Реостат с тремя клеммами. 8. Выключатель (ключ).
	9. Провод. 10. Соединение проводов при ответвлении. 11. Пересечение проводов без соединения. 12. Соединение проводов при пересечении.

Сила тока

(~I = frac{Delta q}{Delta t}) ,

где I – сила тока в проводнике (А), Δq – заряд, прошедший через поперечное сечение проводника (Кл), Δt – время прохождения тока (с).

• Эта формула верна только для постоянного тока, т.е. I = const .

(~j = frac{I}{S}) ,

где j – плотность тока в проводнике (А/м²), I – сила тока в проводнике (А), S – площадь поперечного сечения проводника (м²).

(~I = q cdot n cdot S cdot < upsilon_d > , j = q cdot n cdot < upsilon_d >) ,

где I – сила тока в проводнике (А), q – заряд свободной частицы, создающей ток (заряд проводимости) (Кл) (для металлов q = е ≈ 1,6·10^-19 Кл), n – концентрация свободных заряженных частиц (м^-3), S – площадь поперечного сечения проводника (м²), <υ_d> – средняя скорость упорядоченного движения (скорость дрейфа) зарядов проводимости (м/с), j – плотность тока (А/м²).

Электрическое сопротивление

(~R = rho cdot frac{l}{S}) ,

где R – электрическое сопротивление проводника (Ом), ρ – удельное сопротивление проводника, табличная величина (Ом·м или Ом·мм²/м), l – длина проводника (м), S – площадь поперечного сечения проводника (м² или мм²).

В задачах данной темы единица измерения удельного сопротивления проводника зависит от единицы измерения его площади поперечного сечения:

• если [S] = м², то [ρ] = Ом∙м,
• если [S] = мм², то [ρ] = Ом·мм²/м.

(~G = frac{1}{R}) ,

где G – электрическая проводимость проводника (Ом^-1), R – электрическое сопротивление проводника (Ом).

Зависимость электрического сопротивления от температуры

(~rho = rho_0 cdot (1 + alpha cdot Delta t)) ,

где ρ – удельное сопротивление вещества при некоторой температуре t (Ом·м или Ом·мм²/м), ρ₀ – удельное сопротивление вещества при температуре t₀ = 0 °С (Ом·м или Ом·мм²/м), α – температурный коэффициент сопротивления вещества, табличная величина(°С^-1 или град^-1), Δt = t — t₀ – изменение температуры (°С).

(~R = R_0 cdot (1 + alpha cdot Delta t)) ,

где R – сопротивление проводника при некоторой температуре t (Ом), R₀ – сопротивление проводника при температуре t₀ = 0 °С (Ом), α – температурный коэффициент сопротивления вещества, табличная величина(°С^-1 или град^-1), Δt = t — t₀ – изменение температуры (°С).

Закон Ома

(~I = frac{U}{R}) ,

где I – сила тока, проходящая через проводник (А), R – сопротивление проводника (Ом), U –напряжение на проводнике (В).

Уравнение (~j = frac{E}{rho}) или (~vec j = frac{vec E}{rho}) – это математическая запись закона Ома в дифференциальной форме.

Измерительные приборы

Для измерения в проводнике R₁ силы тока применяют амперметр, который включают последовательно с этим проводником (рис. 1).

Для измерения на проводнике R₁ напряжения применяют вольтметр, который включают параллельно этому проводнику (рис. 2).

• При включении этих приборов необходимо соблюдать полярность.

Прибор можно включать в сеть, т.е. он не сгорит, если

• или напряжение (U_max), на которое рассчитан прибор, не меньше напряжения (U_пр), которое будет на приборе, т.е. U_max ≥ U_пр ;
• или сила тока (I_max), на которую рассчитан прибор, не меньше силы тока (I_пр), который будет проходить через прибор, т.е. I_max ≥ I_пр .

НО наилучший (оптимальный) режим работы прибора, если эти параметры совпадают, т.е. U_max = U_пр , I_max = I_пр .

Каждый измерительный прибор (амперметр и вольтметр) рассчитан на определенные максимальные значения силы тока I_max и напряжение U_max.

Шунт и добавочное сопротивление

Если амперметр необходимо включить в сеть с силой тока I > I_{A max} , то параллельно прибору включают такой резистор сопротивлением R_ш (рис. 3), что через амперметр I_A = I_{A max} . Этот резистор называют шунт.

Если вольтметр необходимо включить в сеть с напряжением U > U_{V max} , то последовательно прибору включают такой резистор сопротивлением R_д (рис. 4), что на вольтметре U_V = U_{V max} . Этот резистор называют добавочным сопротивлением.

Соединение проводников

соединение	формулы	схема
Последовательное	(~R = R_1 + R_2 + ldots + R_N) . Если R1 = R2 = … = RN , то (~R = N cdot R_1)
Параллельное	(~frac{1}{R} = frac{1}{R_1} + frac{1}{R_2} + ldots + frac{1}{R_N}) . Если R1 = R2 = … = RN , то (~R = frac{R_1}{N})

Признаки последовательного и параллельного соединения элементов

Для последовательного соединения элементов:

1. электрический ток проходит через данные элементы, не разветвляясь.

Для параллельного соединения элементов:

1. элементы соединены между собой с двух сторон только проводниками с нулевым сопротивлением;
2. электрический ток разветвляется на несколько частей (по числу параллельных элементов), а потом, пройдя эти элементы, вновь соединяется.

• Если не выполняются признаки ни последовательного, ни параллельного соединения, то такое соединение будем называть смешанным.

соединение	формулы	схема
Последовательное	(~I = I_1 = I_2 = ldots = I_N) , (~U = U_1 + U_2 + ldots + U_N) . Если R1 = R2 = … = RN , то (~U = N cdot U_1)
Параллельное	(~I = I_1 + I_2 + ldots + I_N) , (~U = U_1 = U_2 = ldots = U_N) . Если R1 = R2 = … = RN , то (~I = N cdot I_1)

При решении задач на определение силы тока, напряжения и сопротивления на различных участках цепи рекомендуется:

1. Сделать схематический рисунок электрической цепи, указать на нем все величины, которые даны или которые надо найти.
   • Величины, характеризующие один и тот же элемент цепи, обозначайте одинаковыми индексами.
   • Следите за тем, чтобы одна и та же величина обозначалась одним и тем же индексом в условии, на схеме и в решении.
2. Для применения закона Ома, выделяйте участки цепи, для которых известны (или их можно определить) две величины из трех: I, U, R.
   • Не забывайте про принцип соответствия, т.е.

   (~I_1 = frac{U_1}{R_1} , I_{1/2} = frac{U_{1/2}}{R_{1/2}} , I_0 = frac{U_0}{R_0}) .

3. Выделите участки цепи, соединенные последовательно или параллельно. Учтите, что сила тока равна на всех последовательно соединенных участках, напряжение – на параллельных участках. Используйте другие законы последовательного и параллельного соединения. При необходимости замените рассматриваемую схему эквивалентной.

Смешанное соединение

Для нахождения сопротивления цепи при смешанном соединении используют различные методы преобразования цепей.

Рассмотрим один из таких методов – шаговый (рекуррентный). Этот метод удобно применять в том случае, когда схема состоит из повторяющихся элементов (резисторов). Шаговый метод основан на том, что результат первого действия (шага) используется во втором, второй – в третьем и т.д. Число шагов зависит от числа повторяющихся структурных элементов.

Например, часть схемы состоит из двух резисторов R₁ и R₂, соединенных последовательно. Заменяем эти два резистора одним, с сопротивлением R_1/2 = R₁ + R₂ (последовательное соединение) и в дальнейшем рассматриваем уже цепь с резистором R_1/2.

Если в схеме смешанное соединение проводников, то применять только правила последовательного и параллельного соединения для нахождения общего сопротивления такой схемы нельзя. В таком случае нужно попытаться, если возможно, такую схему упростить, заменив ее эквивалентной, общее сопротивление которой равно общему сопротивлению схемы, приведенной в задаче.

В литературе описано несколько методов преобразования электрических цепей. В этих статьях описаны и методы упрощения схем, имеющих точки равного потенциала. Но при решении подобных задач авторы обычно пишут так: «Из симметрии ветвей цепи видно, что точки В и D имеют равные потенциалы», хотя это видимость не совсем очевидна.

Рассмотрим способы нахождения точек одинакового потенциала более подробно. Пусть нам дана электрическая цепь, состоящая из сопротивлений R₁, R₂, …, R₈. (рис. 5).

Проведем через точки подключения цепи прямую АВ (рис. 6).

1 способ. Если схема содержит проводники с одинаковым сопротивлением, расположенные симметрично относительно определенной оси или плоскости, то концы этих проводников имеют одинаковый потенциал. При этом точки будут симметричными относительно прямой АВ, если равны сопротивления участков цепи между данными точками и любыми точками этой прямой.

Используя этой признак, можно сделать вывод, что точки C₁ и C₂ (рис. 6) будут симметричны относительно прямой АВ, если R₁ = R₂ (сопротивления между точкой А и C₁ и между точкой А и C₂ равны) и R₅ = R₆ (сопротивления между точкой В и C₁ и между точкой В и C₂ равны). Аналогично, точки C₃ и C₄ будут симметричны относительно прямой АВ, если R₃ = R₄ и R₇ = R₈.

2 способ. Точки имеют одинаковый потенциал, если равны отношения сопротивлений между данными точками и точками подключения.

Например, точки C₁ и C₂ (рис. 5) имеют одинаковый потенциал, если (~frac{R_1}{R_2} = frac{R_5}{R_6}) . Аналогично, точки C₃ и C₄ имеют одинаковый потенциал, если (~frac{R_3}{R_4} = frac{R_7}{R_8}) .

Метод объединения равнопотенциальных узлов: точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы.

Если возможно объединение двух равнопотенциальных узлов, то возможен и обратный переход:

• узел схемы можно разделить на два или несколько узлов, если получившиеся при этом узлы имеют одинаковые потенциалы – метод разделения узлов.

Обязательным условием при этом является проверка получившихся при разделении узлов на равенство потенциалов (симметричность или пропорциональность сопротивлений).

Работа и мощность тока для участка цепи

(~A = U cdot I cdot Delta t) ,

где A – работа электрического тока или израсходованная электроэнергия на участке цепи (Дж); I – сила тока (А); U – напряжение на участке (В); Δt – время прохождения тока (с).

С учетом закона Ома для участка цепи (~I = frac{U}{R}) , работу тока можно найти, если известны время Δt и любые две величины из трех: I, U, R.

(~A = I^2 cdot R cdot Delta t) или (~A = frac{U^2}{R} cdot Delta t) ,

где R – сопротивление участка (Ом).

Если на участке цепи не совершается механическая работа и ток не производит химического или иного действия, то

(~A = Q) ,

где Q – количество теплоты, выделяемое проводником с током (Дж).

(~P = frac{A}{Delta t}) ,

где P – мощность тока (Вт); A – работа электрического тока или израсходованная электроэнергия на участке цепи (Дж); Δt – время прохождения тока (с).

Так как (~A = U cdot I cdot Delta t) , а (~I = frac{U}{R}) , то мощность тока можно также найти, если известны любые две величины из трех: I, U, R.

(~P = U cdot I) , (~P = I^2 cdot R) или (~P = frac{U^2}{R}) ,

где U – напряжение на участке (В); I – сила тока (А); R – сопротивление участка (Ом).

Определение точек, равноотстоящих по значению потенциала

Эквипотенциальные
линии принято проводить так, чтобы между
любыми соседними линиями разность
потенциалов была одна и та же. Поэтому
вначале необходимо на одной горизонтальной
линии в середине ванны отметить точки,
равноотстоящие друг от друга по
потенциалу. Соседние эквипотенциальные
линии тогда будут проходить через
соседние отмеченные точки.

Проведем
следующие простые манипуляции. Погружаем
в ванну электроды – аналоги заряженных
тел. Подаем на них напряжение. Погружаем
теперь зонды в ванну – один зонд вблизи
левого электрода, другой – вблизи
правого (зонды
следует ставить строго вертикально и
не касаться ими электродов).
При этом цифровой вольтметр покажет
значение U,
несколько отличающееся от величины
.
Положение зондов отмечаем на миллиметровой
бумаге. Приписываем левой точке значение
потенциала 0 вольт, правой точке –
значениеU
вольт.

Теперь
правый зонд приставляем к левому и,
перемещая его от левого зонда по выбранной
горизонтальной линии в середине ванны,
отмечаем точки, соответствующие
напряжениям в 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6 от значения
U.
В итоге мы получаем семь точек,
равноотстоящих по потенциалу.

Примечание.
При погружении электродов в проводящую
среду (воду) вследствие ограниченности
размера ванны и различия в уровнях воды
в разных ее местах картина электрического
поля в ней может отличаться от картины
в отсутствие ванны. Это следует учесть
при сопоставлении теоретических и
экспериментальных схем силовых и
эквипотенциальных линий.

Определение эквипотенциальных линий

Для
заданной пары электродов мы будем
определять пять эквипотенциальных
линий, соответствующих значениям
U/6…5U/6
в.
Для построения каждой из этих пяти линий
найдем не менее 10 точек равного потенциала
вдоль ожидаемой эквипотенциальной
линии.

Определим,
к примеру, эквипотенциальную линию,
соответствующую значению потенциала
U/6
в.
Для этого один зонд (например, левый)
ставим в уже отмеченную точку этого
потенциала и в дальнейшем все время
удерживаем в данном месте, не перемещая
и не вынимая его из ванны. Вторым зондом
будем вести поиск других точек того же
потенциала, т.е. точек, напряжение между
которыми равно нулю. Для этого удобно
вторым (правым) зондом водить поперек
ожидаемой эквипотенциальной линии
вблизи второй, третьей и т. д. ожидаемой
точки того же потенциала. В искомых
точках вольтметр должен показывать
минимально
возможное значение
напряжения (нулевого значения напряжения
иногда невозможно добиться из-за наличия
наводок и других несовершенств методики
эксперимента).

После
того как первая эквипотенциальная линия
вычерчена, переходим к нахождению второй
эквипотенциальной линии. Для этого
первый (левый) зонд помещаем в точку
потенциала 2/6U
в
и вторым зондом ведем поиск других точек
того же потенциала и т. д. Зонды следует
ставить строго
вертикально.
Особенно следите за неподвижностью
левого, неперемещаемого зонда.

Возможен,
конечно, и иной способ определения
эквипотенциальных точек. Например,
левый зонд ставим в точку, которой
приписан потенциал 0 в,
а вторым зондом по всей ванне ищем точки
потенциала U/6
в.
Так мы находим эквипотенциальную линию
с данным значением потенциала. Затем
аналогично ищем эквипотенциальную
линию со значением потенциала 2/6U
в
и т. д. Однако точность определения
эквипотенциальных точек этим способом
несколько ниже, чем первым способом.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #