Как найти точки в инженерной графике

Точка – это геометрический абстрактный объект, который имеет координаты. Точки также участвуют в создании чертежа.

Комплексный чертеж и координаты точки

Комплексным называется чертеж, который был получен на фронтальной и горизонтальной плоскости проекции. Комплексный чертеж получается путем совмещения трех плоскостей проекций в одну.

Существует строгий порядок расположения проекций на чертеже, горизонтальная проекция должна располагаться под фронтальной, профильная проекция должна располагаться справа от фронтальной.

Как найти точки на чертеже

Рассматривая предмет как сочетание граней, вершин и ребер мы можем находить проекции отдельных точек. Для начала нужно определить, какой плоскости или грани точка принадлежит. Затем находят горизонтальные проекции точки, для этого проводят вертикальную прямую линию связи из проекции точек. Видимость проекций определяется исходя из направления взгляда.

Как правильно расставлять точки

Чтобы правильно вычертить вид детали, необходимо уметь строить проекции. С помощью проекций можно определить местоположение точки. Вспомогательные линии позволяют определить место, где ее можно поставить и используются в качестве опорных. Вспомогательные линии двух проекций пересекаются под углом в 45 градусов. В местах пересечения линий связи с проекциями поверхности расставляют точки.

Видимые и невидимые точки

Видимые проекции изображают на чертеже без скобок, а невидимые в скобках, например, А’’ относится к видимой проекции, а (B’’) к невидимой.

Точки сопряжения

В месте, где сопрягаются две линии образуется точка перехода или точка сопряжения. Для нахождения точки сопряжения линий прямого угла используется циркуль, его ставят в вершину угла и проводят дугу R до пересечения со сторонами. Чтобы найти центр сопряжения из найденных точек снова проводят окружности радиусом R, в месте их пересечения находится точка центра сопряжения, установив в нее циркуль проводят радиус сопряжения.

Опорные точки на чертеже

Опорные точки на схеме обозначают условными знакам согласно ГОСТ 21495-76, эти точки символизируют одну из связей заготовки иди изделия с выбранной системой координат. Нумерация опорных точек расставляется, начиная с базы, на которой расположено наибольшее число точек. Также опорные точки называют характерными, их число конечно, они выделяются своим особым положением относительно плоскости проекции и поверхности.

Сварные точки

Если детали соединяются сваркой, то ее также условно изображают на чертеже. В зависимости от расположения сварки можно увидеть шов или одиночную точку. Видимую одиночную точку обозначают знаком «+», невидимые одиночные точки на чертеже не обозначают. Видимый сварной шов обозначают основной сплошной линией, а невидимый штриховой линией.

Трехкартинный чертеж точки

Трехкартинный чертеж или чертеж Монка представляет собой прямоугольник, сторонами которого являются линии связи, которые расположены перпендикулярно соответствующим осям проекции. При этом три вершины – проекции точки, а четвертая это точка перелома линии связи.

Конкурирующие точки на чертеже

Конкурирующие точки располагаются на одном проецирующем луче, таким образом для наблюдателя одна точка будет видимой, явной, а другая нет, что отразится и на чертеже.

Что такое явная точка на чертеже

Одним из важных понятий чертежа является база. Под базой понимается поверхность (точка, ось или сочетание поверхностей), принадлежащие заготовке, которая предназначена для придания изделию требуемого положения. Поверхность, используемая для базирования, может быть установочной ( лишает изделие возможностей перемещения), опорной (лишает одной степени свободы) или направляющей (лишает изделие или заготовку двух степеней свободы). По характеру базы могут быть скрытые и явные. Скрытые находятся в воображаемой плоскости или точке, а явные — в реальной поверхности или точке пересечения рисок.

Как построить комплексный чертеж точки: инструкция

Чтобы построить комплексный чертеж точки используется метод ортогональных или прямоугольных проекций, часто применяемый в инженерной графике. Проекция находится на пересечении проецирующего луча и плоскости.

Построение комплексного чертежа точки А состоит следующих этапов:

• возьмем две плоскости, которые перпендикулярны друг другу и назовем их П1 и П2;
• в результате пересечения проецирующих лучей, перпендикулярных каждой из плоскостей получаем горизонтальную и вертикальную проекцию точки А;
• координаты точки описываются с помощью расстояния до плоскостей;
• для построения плоского чертежа плоскость П1 разворачивают так, чтобы она совпадал с плоскостью П2, а прямая соединяющая А1 и А2 называется линией связи;
• третья плоскость вводится для построения профильной проекции.

Как поставить точку на чертеже в Компасе

В меню программы Компас есть специальный инструмент «Точка», который позволяет сделать нужное действие за несколько шагов. Точку можно разместить, указав координаты, либо кликнув в месте рабочей области. Помимо основной функции команды, можно использовать расширенный список команд.

Как убрать точки на чертеже в Компасе

Убрать точки можно выделив их и нажав на клавишу «Delete», либо с помощью команды «Удалить вспомогательные кривые и точки».

Ответы на вопросы

Как правильно показать невидимую сварную точку?

Невидимые сварные точки не имеют обозначения, в отличие от швов.

Как на чертеже показать характерные точки отрезка?

Характерные точки зависят от объекта, у отрезка они находятся в начале и в конце прямой. Если какая-либо точка принадлежит прямой, то ее проекция принадлежит проекции прямой. При этом длина проекции отрезка прямой общего положения меньше длины самого отрезка.

Чем отличается двухкартинный чертеж точки от трехкартинного?

Разница состоит в количестве проекций на поверхности. В двухкартинном чертеже используются горизонтальная и фронтальная плоскости, такой чертеж вполне позволяет описать форму и размеры фигуры. В трехкартинном чертеже используется еще и третья плоскость.

Чертеж — важный конструкторский документ. Это проекционное изображения предмета. При создании чертежей в начертательной геометрии нужно следовать особым правилам. Все элементы должны находиться в строгой зависимости от положения в пространстве. Простым геометрическим образом пространства является точка. Что такое точки на чертеже? Как их использовать при создании чертежа? Разбираемся в нашем материале.

Что такое точка на чертеже?

Изображение предмета на чертеже состоит из двух или более геометрических фигур, только так можно передать форму изделия. В инженерной графике используются разные элементы графического языка. Одним из них является точка.

Точка — геометрический элемент, не имеющий размеров. Другими словами, все параметры точки равны нулю.

Чтобы изобразить изделие на чертеже, его необходимо перенести на плоскость. В построении любого изображения в инженерной графике применяется метод прямоугольного проецирования, который определяет расположение предмета на области за счет точек.

Проекция точки

Проекция точки

Это точка пересечения прямой линии с плоскостью (рисунок 1).

Проецируемая точка на плоскости обозначается как точка проекции. Это позволяет определить ее местоположение на плоскости. Каждая точка на чертеже имеет определенные координаты. Их используют для определения положения других элементов на комплексном чертеже (рисунок 2).

Как определить координаты по проекциям точки?

Для определения координат по проекциям точки используются две ортогональные проекции. Например, фронтальная и профильная. Они позволяют узнать конкретное значение координат точки, а также определить ее октант.

Как определить положение точки в пространстве?

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами. Они показывают расстояние точки от плоскостей проекции. Пример представлен на рисунке рисунок 2.1.

Комплексный чертеж точки

Чтобы изображение предмета было понятным, отражающим форму, размер и положение изделия в пространстве, необходимо использовать комплексный чертеж. Он представляет собой изображение предмета на совмещенных плоскостях проекции (рисунок 3).

Построение комплексного чертежа состоит из нескольких этапов (рисунок 4).

Важно

На таких чертежах объемный предмет проецируется ортогонально на две взаимно перпендикулярные плоскости. Одна из них — вертикальная, другая — горизонтальная. Прямая пересечения этих плоскостей называется осью проекции

.

Изображение точки на комплексном чертеже

На комплексном чертеже точка — пара координат. Для изображения точки на чертеже нужно провести две перпендикулярные оси: горизонтальную и вертикальную ось. В зависимости от положения точки относительно плоскостей проекции, точки пространства могут быть нескольких видов (рисунок 4.1).

Обозначение точек на чертеже

Обозначение точек на чертеже осуществляется разными способами. Все параметры точек равны нулю, поэтому для их изображения используют условные обозначения (рис. 3.1).

Точка обозначаются буквами (например, точка A, B, C) или цифрами (например, точка 1, 2, 3). Кроме того, она может быть обозначена геометрическими символами кружочком или пересечением двух линий (рисунок 3).

Конкурирующие точки на чертеже

Точки на чертеже с двумя одинаковыми координатами называются конкурирующими (рисунок 4). Это точки, которые лежат на одном проецирующем луче.

Они могут быть нескольких видов, название которых определяет плоскость совпадающих проекций:

• Горизонтально конкурирующие — лежат на одном перпендикуляре к горизонтальной плоскости;
• Фронтально конкурирующие — лежат на одном луче к фронтальной плоскости;
• Профильно конкурирующие — лежат на одном перпендикуляре к профильной плоскости.

Видимые и невидимые конкурирующие точки на чертеже

Видимостью называют изображение близких к наблюдателю точек. Этот параметр помогает улучшить понимание геометрической формы и расположения предмета в пространстве.

Для определения видимости, нужно найти точки предмета на одном луче и обозначить только те, которые расположены ближе к вам (рисунок 5). Без видимости определить положение объекта сложно.

Как обозначить видимость точек на чертеже

Видимость точек обозначается буквами (например, точка C”), невидимость — буквами с круглыми скобками (например, точка (С”)).

Типы точек на чертеже

Точки на чертеже по ГОСТу могут быть следующих типов:

Не хотите тратить время на чертежи? Вы можете заказать готовый чертеж у экспертов Студворк!

Проекции точек на поверхностях геометрических тел

Вы уже знаете, как построить проекции предмета или объекта. Часто при изготовлении изделий необходимо по заданным проекциям определить геометрическую форму предметов и их частей. Предмет можно рассматривать как комбинацию различных геометрических элементов: вершин, ребер, граней и т. д.

Укажите количество вершин, ребер и граней изображенного предмета.

Для точного построения изображений ряда деталей необходимо уметь находить проекции отдельных точек. Чтобы построить проекции точки, принадлежащей поверхности геометрического тела, необходимо понять, на какой поверхности или на каком элементе поверхности (ребре, вершине, грани) находится эта точка. Представив любую деталь как совокупность геометрических тел, можно легко найти проекцию точки.

Рассмотрим проекции точки на геометрических телах. Проецирование точек на поверхности цилиндра  Последовательность проецирования точек Заданы фронтальные проекции а″ и b″ точек А и В, лежащие на боковой поверхности цилиндра. Проекция а″ находится на видимой части поверхности цилиндра (на плоскости V показана без скобок), b″ находится на невидимой части поверхности цилиндра (на плоскости V показана в скобках). 1. Находят горизонтальные проекции точек а′ и b′. Так как горизонтальная проекция боковой проекции цилиндра отображается в виде круга, то проекции точек а′ и b′ будут находиться на нем. Для их нахождения проводят вертикальные линии связи из проекций точек а″ и b″ до пересечения с окружностью. 2. Проекции точек а′″ и b′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Направление взгляда на плоскости проекций H, W помогает определить видимость проекций точек на горизонтальной и профильной плоскости проекций. Например, проекции а′ и b′ на плоскости H видны. Проекция а′″ на плоскости W не видна (показана в скобках), проекция b′″ видна (показана без скобок).

Определите, какая из горизонтальных проекций на рисунке является проекцией наглядного изображения головки винта. 

Проецирование точек на поверхности призмы  Последовательность проецирования точек Задана фронтальная проекция а″ точки А, лежащая на боковой поверхности шестигранной призмы. 1. Находят горизонтальную проекцию точки а′. Для ее нахождения проводят вертикальную линию связи из проекции точки а″ до пересечения с шестиугольником (горизонтальная проекция призмы). 2. Проекцию точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Опишите последовательность проецирования точки, находящейся на ребре призмы. Выполните это построение.

Проецирование точек на поверхности пирамиды

Построение проекции точки, лежащей на ребре
Если точка находится на ребре предмета, то сначала необходимо выполнить проекцию ребра, а затем при помощи линий проекционной связи найти проекции точки, лежащей на ребре.

Как вы считаете, можно ли таким способом спроецировать точку, находящуюся не на ребре, а на грани четырехгранной пирамиды? Свои предположения проверьте на практике.

Общий метод определения точки, лежащей на поверхности геометрического тела, заключается в следующем: через точку на поверхности проводят вспомогательную прямую, проекции которой легко определяются на данной поверхности.

Построение проекции точки, лежащей на грани
Задана фронтальная проекция а″ точки А, лежащая на боковой поверхности четырехгранной пирамиды.

Проекции точек можно определить несколькими способами. Рассмотрим каждый из них. 

Способ I. 1. Находят горизонтальную проекцию точки а′: вспомогательной прямой соединяют заданную проекцию точки а″ с проекцией вершины пирамиды s″ и продлевают ее до пересечения с основанием в точке f″. 2. Проводят вертикальную линию связи из проекции f″ до пересечения с основанием на плоскости H в точке f′. 3. Точку f′ соединяют с вершиной пирамиды s′. На нее проводят вертикальную линию связи из проекции а″ до пересечения в точке а′. 4. Проекции точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Способ II. 1. Через проекцию а″ точки А проводят вспомогательную прямую и получают точки пересечения с ребрами пирамиды 1″ и 2″. 2. Опустив из точки 1″ вертикальную линию связи до пересечения с соответствующим ребром на плоскости H, получают горизонтальную проекцию точки 1′. 3. Для нахождения проекции 2′ проводят из точки 1′ вспомогательную прямую, параллельную основанию до пересечения с ребром. 4. Горизонтальную проекцию а′ определяют, опустив вертикальную линию связи из точки а″ до пересечения со вспомогательной прямой 1′2′. 5. Проекцию точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

На ваш взгляд, изменится ли положение проекции точки, если вспомогательную прямую провести не параллельно, а наклонно к горизонтальной плоскости?

Проецирование точек на поверхности конуса. На поверхности конуса проекции точек можно также определить двумя способами. Способ I заключается в определении проекций точки с помощью вспомогательной линии — образующей, расположенной на поверхности конуса и проведенной через точку А. В способе II через точку А проводят вспомогательную плоскость, которая пересечет конус по окружности, расположенной в плоскости, параллельной основанию конуса.

Построение ортогональных проекций точек

Положение точки в пространстве может быть задано двумя её ортогональными проекциями, например, горизонтальной и фронтальной, фронтальной и профильной. Сочетание любых двух ортогональных проекций позволяет узнать значение всех координат точки, построить третью проекцию, определить октант, в котором она находится. Рассмотрим несколько типичных задач из курса начертательной геометрии.

По заданному комплексному чертежу точек A и B необходимо:

1. Записать их координаты.
2. Достроить проекции т. A и B на плоскость П₃.
3. Определить положение точек в пространстве (октант или плоскость проекций).
4. Построить наглядное изображение точек в системе плоскостей П₁, П₂, П₃.

Определение координат точек по их проекциям

Определим сначала координаты т. A, которые можно записать в виде A (x, y, z). Горизонтальная проекция т. A – точка A’, имеющая координаты x, y. Проведем из т. A’ перпендикуляры к осям x, y и найдем соответственно A_х, A_у. Координата х для т. A равна длине отрезка A_хO со знаком плюс, так как A_х лежит в области положительных значений оси х. С учетом масштаба чертежа находим х = 10. Координата у равна длине отрезка A_уO со знаком минус, так как т. A_у лежит в области отрицательных значений оси у. С учетом масштаба чертежа у = –30. Фронтальная проекция т. A – т. A» имеет координаты х и z. Опустим перпендикуляр из A» на ось z и найдем A_z. Координата z точки A равна длине отрезка A_zO со знаком минус, так как A_z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа z = –10. Таким образом, координаты т. A (10, –30, –10).

Координаты т. B можно записать в виде B (x, y, z). Рассмотрим горизонтальную проекцию точки B –  т. В’. Так как она лежит на оси х, то B_x = B’ и координата B_у = 0. Абсцисса x точки B равна длине отрезка B_хO со знаком плюс. С учетом масштаба чертежа x = 30. Фронтальная проекция точки B – т. B˝ имеет координаты х, z. Проведем перпендикуляр из B» к оси z, таким образом найдем B_z. Аппликата z точки B равна длине отрезка B_zO со знаком минус, так как B_z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа определим значение z = –20. Таким образом, координаты B (30, 0, -20). Все необходимые построения представлены на рисунке ниже.

Построение проекций точек

Точки A и B в плоскости П₃ имеют следующие координаты: A»’ (y, z); B»’ (y, z). При этом A» и A»’ лежат одном перпендикуляре к оси z, так как координата z у них общая. Точно также на общем перпендикуляре к оси z лежат B» и B»’. Чтобы найти профильную проекцию т. A, отложим по оси у значение соответствующей координаты, найденное ранее. На рисунке это сделано с помощью дуги окружности радиуса A_уO. После этого проведем перпендикуляр из A_у до пересечения с перпендикуляром, восстановленным из точки A» к оси z. Точка пересечения этих двух перпендикуляров определяет положение A»’.

Точка B»’ лежит на оси z, так как ордината y этой точки равна нулю. Для нахождения профильной проекции т. B в данной задаче необходимо лишь провести перпендикуляр из B» к оси z. Точка пересечении этого перпендикуляра с осью z есть B»’.

Определение положения точек в пространстве

Наглядно представляя себе пространственный макет, составленный из плоскостей проекций П₁, П₂ и П₃, расположение октантов, а также порядок трансформации макета в эпюр, можно непосредственно определить, что т. A расположена в III октанте, а т. B лежит в плоскости П₂.

Другим вариантом решения данной задачи является метод исключений. Например, координаты точки A (10, -30, -10). Положительная абсцисса x позволяет судить о том, что точка расположена в первых четырех октантах. Отрицательная ордината y говорит о том, что точка находится во втором или третьем октантах. Наконец, отрицательная аппликата z указывает на то, что т. A расположена в третьем октанте. Приведенные рассуждения наглядно иллюстрирует следующая таблица.

Октанты	Знаки координат
x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Координаты точки B (30, 0, -20). Поскольку ордината т. B равна нулю, эта точка расположена в плоскости проекций П₂. Положительная абсцисса и отрицательная аппликата т. B указывают на то, что она расположена на границе третьего и четвертого октантов.

Построение наглядного изображения точек в системе плоскостей П₁, П₂, П₃

Используя фронтальную изометрическую проекцию, мы построили пространственный макет III октанта. Он представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями являются плоскости П₁, П₂, П₃, а угол (-y0x) равен 45 º. В этой системе отрезки по осям x, y, z будут откладываться в натуральную величину без искажений.

Построение наглядного изображения т. A (10, -30, -10) начнем с её горизонтальной проекции A’. Отложив по оси абсцисс и ординат соответствующие координаты, найдем точки A_х и A_у. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из A_х и A_у  соответственно к осям x и y определяет положение т. A’. Отложив от A’ параллельно оси z в сторону её отрицательных значений отрезок AA’, длина которого равна 10, находим положение точки A.

Наглядное изображение т. B (30, 0, -20) строится аналогично – в плоскости П₂ по осям x и z нужно отложить соответствующие координаты. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из B_х и B_z, определит положение точки B.

Содержание:

Для полного выявления наружных и внутренних форм деталей и их соединений вводят три и более плоскости проекций.

Введем в систему плоскостей

Три взаимно-перпендикулярные плоскости делят пространство на восемь частей, восемь октантов (рис. 3.2) (от лат. octo — восемь).

В нашей стране принята европейская система расположения про­екций. Ось х направлена от начала координат влево, у — вперед (к нам), z — вверх. Обратные направления координатных осей считаются отрицательными.

Чертеж точки

Опустим из точки А проецирующие лучи (перпендикуляры) до пересечения с плоскостями проекций Н, V и W. Точки пересечения перпендикуляров с плоскостями проекций — это проекции точки на каждую из плоскостей проекций:

• а — горизонтальная;
• а‘ — фронтальная;
• а » — профильная.

Данное наглядное изображение тонки в системе плоскостей Н, V и W (рис. 3.3) неудобно для черчения из-за сложности. Преобразуем его так, чтобы горизонтальная и профильная плоскости проекций совпали с фронтальной плоскостью проекций, образуя одну плоскость чертежа (рис. 3.4).

Это преобразование осуществляют путем поворота вокруг оси х плоскости Н на угол 90° вниз и плоскости W на угол 90° вправо вокруг оси z. В результате указанного совмещения плоскостей получаем чертеж, называемый эпюр Монжа (от франц, — чертеж, проект).

На эпюре мы не можем показать пространственную картину рас­положения плоскостей проекций и точки. Но эпюр обеспечивает точность изображений при значительной простоте построений.

В дальнейшем эпюр Монжа, а также проекционные чертежи будем называть одним словом — чертеж (или комплексный чертеж).

Горизонтальная и фронтальная проекции точки расположены на одном перпендикуляре к оси — на линии связи , фронтальная и профильная проекции — на одном перпендикуляре к оси z — на линии связи Построение профильной проекции точки по ее фронтальной и горизонтальной проекциям показано на рис. 3.4. При построении можно использовать дугу окружности с центром в точке О, или биссектрису угла Первый способ более точный.

Таким образом, на комплексном чертеже трех ортогональных проекций точки

• две проекции находятся на одной линии связи;
• линии связи перпендикулярны осям проекций;
• две проекции точки определяют положение се третьей проекции;
• две проекции точки определяют ее положение в пространстве.

Положение точки в пространстве задается при помощи трех се координат (абсциссы ординаты и аппликаты то есть трех чисел, вы­ражающих расстояние от этой точки до координатных плоскостей проекций. Запись координат точки производят в такой форме: А (х, у, z). Положение точки на плоскости определяют две координаты: а(х,у); a'(x,z); a»(y,z).

По отношению к плоскостям проекций точка может занимать как общее (точка А), так и частные (точки В и С) положения (рис. 3.5). Если точка лежит в плоскости проекций, то две ее проекции лежат на осях проекций (точка В). У такой точки одна ее координата равна нулю. Если точка принадлежит одновременно двум плоскостям проекций (точка С), то она ле­жит на оси проекций. Две ее проекции совпадают, а третья совпадает с точкой О — началом координат. В атом случае две ее координаты равны нулю. Если точка принадлежит трем плоскостям проекций, то она расположена в начале координат.

Таким образом, величины отрезков линий связи на чертеже определяют численное расстояние проецируемой точки до плоскости проекций. Отрезок указывает, на каком расстоянии (глубине) расположена точка от фронтальной плоскости проекций, отрезок — расстояние (высоту) от точки до горизонтальной плоскости проекций и отрезок . — рас­стояние от точки до профильной плоскости проекций (рис. 3.4).

Взаимное положение двух точек. Условия видимости на чер­теже

Рассмотрим чертеж модели, изображенной на рис. 3.6. Проекции некоторых точек совпадают, так как они расположены на одной проецирующей прямой. Например, на горизонтальной плоскости совпали проекции а и b вершин А и В — они лежат на одной горизонтально — проецирующей прямой. На фронтальной плоскости совпали проекции с ‘ и d ‘ вершин С и D — они лежат на одной фронтально-проецирующей прямой.

Точки, лежащие на одной проецирующей прямой, называют конкурирующими. А и В — горизонтально-конкурирующие точки, а С и D — фронтально-конкурирующие точки и т.д.

Ясно, что если две точки лежат на одной проецирующей прямой, то одна из них закрывает другую. Как определить, какая из них будет видимая и какая невидимая?

Из двух горизонтально- конкурирующих точек на горизонтальной плоскости видима та, которая расположена в пространстве выше. Анализируя положение фронтальных проекций точек (рис. 3.7), определяем, что точка А имеет большую координату z, чем точка В.

Следовательно, точка А расположена выше точки В и при проецировании на горизонтальную плоскость проекций закроет точку В. Точка А на горизонтальной плоскости видима, точка В — невидима. На фронтальной плоскости они обе видимы.

Из двух фронтально- конкурирующих точек на фронтальной плоскости проекций будет видима та, которая расположена ближе к наблюдателю, стоящему лицом к фронтальной плоскости проекций (рис. 3.8).

Какая из точек ближе к на­блюдателю, можно определить по горизонтальным проекциям. Например, сравнивая горизонтальные проекции точек D и С , заключаем, что на фронтальной плоскости проекций видима точка С, а точка D — невидима, так как

Из двух профильно-конкурирующих точек на профильной плоскости проекций бу­дет видима та точка, которая расположена левее.

Итак, если на чертеже одноименные проекции точек не совпадают или совпадает только одна пара проекций, то такие точки в пространстве не совпадают, а удалены друг от друга на определенное расстояние (рис. 3.7, 3.8).

Чертёж отрезка прямой. Прямые частного положения

Наглядное изображение отрезка АВ прямой и его ортогональное проецирование на плоскость Р показано на рис. 3.9. Рассмотрим ортогональное проецирование отрезка АВ с учетом свойств параллельного проецирования. Проецирующие прямые образуют проецирующую плоскость Линия пере­сечения плоскостей и Р проходит через проекции а и b точек А и В на плоскости ­ проекций Р. Эта линия и является единственной проекцией прямой АВ на плоскости проекций Р.

Наглядное изображение проецирования отрезка АВ прямой на две плоскости проекций в системе Н,V показано на рис. 3.10, чертеж — на рис. 3.1 I.

Если какая-либо точка принадлежит прямой, то ее проекция при­надлежит проекции прямой. Например, точка D (рис. 3.9) принадлежит прямой АВ, ее проекции — проекциям прямой.

Относительно плоскостей проекции прямая может занимать различные положения:

• — не параллельное ни одной из плоскостей проекций
• — параллельное одной из плоскостей проекций (прямая может и принадлежать этой плоскости);
• — параллельное двум плоскостям проекций, то есть перпендику­лярное третьей.

Прямую, не параллельную ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения (рис. 3.9 — 3.11).

Прямую, параллельную одной из плоскостей проекций или двум плоскостям проекций (то есть перпендикулярную третьей), называют прямой частного положения.

На рис. 3.12 — 3.14 приведены наглядные изображения и чертежи прямых частного положения — прямых, параллельных плоскостям проекций. Такие прямые называют прямыми уровня.

Различают три вида таких прямых.

Прямая АВ параллельна плоскости Н

Такую прямую называют «горизонтальной прямой» (рис. 3.12). Фронтальная проекция прямой параллельна оси профильная проекция параллельна оси длина горизонтальной проекции отрезка равна длине самого отрезка угол образованный горизонтальной проекцией и осью проекции равен углу наклона прямой к фронтальной плоскости проекций; угол образованный горизонтальной проекцией и осью проекции равен углу наклона прямой к профильной плоскости проекций:

Прямая CD параллельна плоскости V

Такую прямую называют «фронтальной прямой» (рис. 3.13).

Горизонтальная проекция прямой cd параллельна оси х; профиль­ная проекция параллельна оси z; длина фронтальной проекции отрезка равна длине самого отрезка угол образованный фронтальной проекцией и осью проекций х, равен углу наклона прямой к горизонтальной плоскости проекций; угол образованный фронталь­ной проекцией и осью z, равен углу наклона прямой к профильной плоскости проекций:

Прямая EF параллельна плоскости IF

Такая прямая носит название «профильная прямая» (рис. 3.14).

Горизонтальная проекция прямой параллельна оси фронтальная проекция параллельна оси длина профильной проекции отрезка равна длине самого отрезка углы образованные профильной проекцией с осями равны углам наклона прямой к горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций соответственно:

Следовательно, каждая линия уровня проецируется в истинную величину на ту плоскость проекции, которой она параллельна. На ту­ же плоскость проекций проецируются без искажения и углы, которые эта прямая образует с остальными двумя плоскостями проекций.

На рис. 3.15 приведены чертежи прямых, перпендикулярных плоскостям проекций. Такие прямые называются проецирующими прямыми. Различают три вида таких прямых.

Прямая АВ перпендикулярна плоскости Н

АВ — горизонтально-проецирующая прямая. Ее проекция перпендикулярна оси х, проекция перпендикулярна оси , проекции а и b совпадают (рис. 3.15, а):

Прямая CD перпендикулярна плоскости V

CD — фронтально-проецирующая прямая. Ее проекция cd перпен­дикулярна оси х, проекция c»d“ перпендикулярна оси z, проекции с’ и d’ совпадают (рис. 3.15, б):

Прямая EF перпендикулярна плоскости W

EF — профильно-проецирующая прямая. Ее проекция перпенди­кулярна оси проекция перпендикулярна оси z, проекции совпадают (рис. 3.15,

Из чертежа видно, что проецирующая прямая является вместе с тем и прямой двойного уровня, так как она параллельна одновременно двум другим плоскостям проекций

Следовательно, на две плоскости проекций проецирующие прямые проецируются без искажения, то есть в натуральную величину, а на третью — в точку.

Взаимное положение точки и прямой

Точка и прямая в пространстве могут быть различно расположены относительно друг друга и плоскости проекций.

Если точка в пространстве принадлежит прямой, то ее проекции принадлежат соответствующим проекциям этой прямой.

Если это положение нарушается, то точка данной прямой не принадлежит. На рис. 3.12 — 3.14 это положение показано на наглядных изображениях и чертежах прямых линий и точек.

Рассмотрим еще раз это положение на плоскостном чертеже (рис. 3.16). Точка F принадлежит прямой АВ, так как горизонтальная проекция точки принадлежит горизонтальной проекции прямой, а фронтальная проекция точки принадлежит фронтальной проекции пря­мой:

Точка С лежит над прямой АВ, точка D лежит под прямой АВ. точка Е лежит за прямой АВ.

Следы прямой

Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называются следами прямой. На рис. 3.17. а точка М — горизонтальный след прямой, точка — фронтальный.

Горизонтальная проекция горизонтального следа прямой совпадает с самим следом — точкой (рис. 3.17, а фронтальная проекция этого следа лежит на оси х. Фронтальная проекция фронтального следа прямой совпадает с фронтальным следом — точкой N, а горизонтальная проекция лежит на той же оси проекций.

Чтобы построить на плоскостном чертеже горизонтальный след прямой (точки , надо продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью х (точка ). Затем через нес провести перпендикуляр к оси х до пересечения с продолжением горизонтальной проекции Точка — горизонтальная проекция горизонтального следа.

Для построения проекций фронтального следа (точек ) необ­ходимо продолжить горизонтальную проекцию прямой до пересечения с осью х (точка ). Затем через нес провести перпендикуляр к оси х до пересечения с продолжением фронтальной проекции Точка — фронтальная проекция фронтального следа. Построение проекций следов прямой показано на рис. 3.17, б.

Прямая может пересекать и профильную плоскость проекций, то есть иметь профильный след. Этот след на профильной плоскости проекций совпадает со своей проекцией. Фронтальная и горизонтальная проекции его лежат соответственно на осях

• Чертежи на заказ

Взаимное положение двух прямых

Прямые в пространстве могут занимать различные взаимные поло­жения:

• — пересекаться, то есть иметь одну общую точку;
• — быть параллельными, если точка пересечения прямых удалена в бесконечность;
• — скрещиваться, то есть не иметь обшей точки.

Пересекающиеся прямые

Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой и точки пересечения проекций лежат на одной линии связи.

Наглядное изображение двух прямых АВ и CD, пересекающихся в точке К, приведено на рис. 3.18, их чертеж в системе плоскостей -на рис. 3.18, б.

Если одна из прямых профильная, то чтобы ответить на вопрос, пересекаются ли прямые, следует построить их профильные проекции.

На рис. 3.19 все проекции точки одновременно принадлежат проекциям прямой АВ и прямой CD. Это значит, что прямые АВ и CD пересекаются.

На рис. 3.20 профильная проекция точки К принадлежит профильной проекции и не принадлежит профильной проекции

Это значит, что прямые АВ и CD не пересекаются, они скрещиваются.

Параллельные прямые

Если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции параллельны между собой. Действительно, на рис. 3.21 проецирующие плоскости проведенные через параллельные прямые АВ и CD, параллельны между собой. С плоскостью проекций Р они пересекаются по параллельным прямым — проекциям прямых АВ и CD. Чертеж двух параллельных прямых общего по­ложения приведен на рис. 3.22, чертежи параллельных прямых частного положения — на рис. 3.23:

• горизонтальных прямых (рис. 3.23, а);
• фронтальных прямых (рис. 3.23, б);
• профильных прямых (рис. 3.23,

О параллельности прямых в пространстве можно судить по параллельности их одноименных проекций на двух плоскостях проекций.

При этом нужно учитывать некоторые условия.

Для прямых общего положения:

Если одноименные проекции прямых общего положения парал­лельны в системе двух любых плоскостей проекций, то прямые парал­ лельны (рис. 3.22).

Для прямых частного положения:

Если одноименные проекции прямых параллельны одной из осей проекций, то прямые параллельны при условии параллельности одноименных проекций на той плоскости проекций, которой параллельны прямые (рис. 3.23).

Скрещивающиеся прямые

Если прямые в пространстве нс пересекаются, а скрещиваются (рис. 3.24), то хотя на чертеже их одноименные проекции и пересекаются, но точки пересечения проекций не лежат на одной линии связи. Эти точки не являются общими для прямых.

Сравнивая положение таких точек, определяют, какая из изображенных на чертеже прямых выше другой или ближе другой к наблюдателю. На рис. 3.24, а видно, что точка Е (принадлежащая прямой АВ) расположена выше точки К (принадлежащей прямой CD). При взгляде сверху по указанной стрелке точка Е закрывает точку К. Соответственно и на чертеже (рис. 3.24, б) фронтальная проекция е’ расположена выше фронтальной проекции При взгляде сверху по стрелке N при проецировании на плоскость Н точка е закрывает точку Прямая АВ проходит над прямой CD.

На плоскости V совпадают фронтальные проекции 1′ и 2′ точек прямых АВ и CD. При взгляде спереди по стрелке М видно, что точка прямой АВ находится ближе к наблюдателю, и при проецировании на плоскость V точка прямой АВ закрывает точку 2 прямой CD. Прямая АВ расположена ближе к наблюдателю. Рассмотренные точки являются конкурирующими, так как они лежат на одной линии связи, но на разных прямых.

Проецирование плоских углов

Любой линейный угол образуется двумя пересекающимися пря­мыми. На плоскости проекций он проецируется в общем случае с искажением. Однако, если обе стороны угла параллельны какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость угол проецируется без искажения. Например, стороны угла АВС (рис. 3.25) параллельны горизонтальной плоскости Р. поэтому угол спроецировался на нее без изменений.

Исключение составляет прямой угол. Он проецируется в истинную величину даже тогда, когда лишь одна из его сторон параллельна плоскости проекций. Рассмотрим теорему о проецировании прямого уг­ла.

Теорема. Прямой угол проецируется в виде прямого угла, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а вторая ей не пер­ пендикулярна. Пусть сторона DE прямого угла DEK параллельна плоскости Р, а сторона ЕК ей нс перпендикулярна (рис. 3.26). Требуется доказать, что его проекция — угол равна 90°:

Доказательство. Пусть угол и расположен так, что обе его стороны параллельны плоскости Р(рис. 3.26, а). Тогда, как и всякая фигура, лежащая в плоскости, параллельной Р, данный угол спроецируется на Р без искажения, то есть его проекция

Через прямые EF и Ее проведем дополнительную плоскость Плоскость перпендикулярна плоскости Р.

Возьмем на перпендикуляре какую — либо точку К и соединим ее с Е. Угол DEK тоже прямой, так как Проекция угла DEK совпадает с проекцией угла DEF, так как точки F и К лежат на одном перпендикуляре к плоскости Р. Таким образом

Но, как видно непосредственно из чертежа, только одна сторона DE угла DEK параллельна плоскости Р.

Вторая сторона его ЕК наклонна к плоскости Р.

Итак, для того чтобы прямой угол проецировался в натуральную величину, достаточно, чтобы одна его сторона была параллельна плоскости проекций (рис. 3.26, б, в).

Определение истинной величины отрезка прямой

Отрезки прямых общего положения не проецируются в истинную величину ни на одну из плоскостей проекций. Однако в ряде задач необходимо определить по чертежу длину отрезка прямой общего положения и углы наклона прямой к плоскостям проекций.

В этом случае используют способ построения прямоугольного треугольника.

Теорема. Истинная величина отрезка прямой общего положения равна гипотенузе прямоугольного треугольника, одним катетом которо­го является проекция отрезка на одну из плоскостей проекций, а другим — разность расстояний концов отрезка до этой же плоскости.

Доказательство. Из рис. 3.27 следует, что истинная величина отрезка АВ будет являться гипотенузой прямоугольного треугольника В этом треугольнике один катет равен проекции отрезка, а другой — разности расстояний концов отрезка до плоскости проекций.

Определим истинную величину отрезка АВ и угол наклона его к плоскости Н (угол если известны две проекции отрезка (рис. 3.28, а).

Построим прямоугольный треугольник, у которого одним катетом будет горизонтальная проекция отрезка, а вторым — разность расстояний концов отрезка до плоскости Н (разность z координат точек А и В). Истинная величина отрезка АВ равна гипотенузе abOt а угол наклона его к плоскости Н — угол

На рис. 3.28, 6 показано определение истинной величины отрезка АВ и угла наклона его к плоскости V- угла