Как найти точку двух пересекающихся плоскостей

Пересечение двух плоскостей

Пересечение двух плоскостей общего положения представляет собой прямую линию, поэтому для ее определения достаточно найти две
точки, принадлежащие одновременно каждой из двух заданных плоскостей — так называемые общие точки.

Чтобы найти общие точки, достаточно ввести одну или две вспомогательные секущие плоскости γ₁
и γ₂.

Найти пересечение двух плоскостей общего положения линию l, если плоскости заданны пересекающимися прямыми b c и
параллельными прямыми d e.

Вспомогательная плоскость γ₁ пересекает заданные плоскости по прямым n1 и n2, которые пересекаясь между собой дают первую точку искомой линии.

Вспомогательная плоскость γ₂ пересекает заданные плоскости по прямым m1 и m2, которые пересекаясь между собой дают вторую точку искомой линии.
Проведя через найденные точки L1 и L2 прямую линию получаем искомое, пересечение двух плоскостей — линию l.

Определить линию пересечения l плоскостей заданных следами α_H,
α_V и β_H, β_V.

Задача на пересечение плоскостей заданных следами α_H,
α_V и β_H, β_V.

Задача на пересечение плоскостей заданных следами α_H,
α_V и β_H, β_V причем α_V ║ β_V.

Пересечение двух плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF.

Вспомогательная плоскость γ1 пересекает заданные плоскости по прямым 1-2 и DE, которые пересекаясь между собой дают первую точку искомой линии — точка M.

Вспомогательная плоскость γ2 пересекает заданные плоскости по прямым 3-4 и AC, которые пересекаясь между собой дают вторую точку искомой линии — точка N.

Соединяем точки MN прямой линией получаем искомую линию l пересечения двух плоскостей.

Определение видимости пересекающихся плоскостей на плоскостях проекций выполняем, используя Конкурирующие точки:
на фронтальной плоскости проекций — 1″≡6″; 1`, 6` и 5″≡ 7″; 5`, 7` — будет видна вершина D с прилегающими сторонами до линии пересечения.
на горизонтальной плоскости проекций — 8`≡9`; 8″, 9″ и 10`≡ 11`; 10″, 11″ — будет видна вершина C с прилегающими сторонами до линии пересечения.

Построить линию пересечения двух плоскостей треугольник ABC и α(αH, αV)

Графическая работа 1 представляет задачу на пересечение двух плоскостей заданных треугольником и ромбом

+

В
конце прошлой лекции мы рассмотрели
случай взаимной параллельности двух
плоскостей.

Если
плоскости не будут параллельны, они
будут пересекаться. Возникает одна из
основных позиционных задач — отыскание
/построение/ линии пересечения двух
плоскостей.

При
решении последней задачи следует
рассмотреть различные случаи
расположения пересекающихся плоскостей
относительно плоскостей проекций. Здесь
могут быть 4 случая.

1.
Обе
пересекающиеся плоскости — одноименно
проецирующие.

2. Пересекающиеся плоскости — разноименно проецирующие.

3. Одна из пересекающихся плоскостей — плоскость общего положения, другая — проецирующая.

4. Обе пересекающиеся плоскости являются плоскостями общего положения.

Рассмотрим
эти случаи в том порядке, как они здесь
перечислены.

4.1.1
Построение линии пересечения двух
плоскостей, если обе

плоскости
— одноименно проецирующие.

Рис
4.1.

4.2

На
рис.4.1 даны пересекащиеся
фронтально-проецирующие плоскости

и
.

Их
линия пересечения — прямая m
будет также фронтально-проецирующей
прямой.

На
комплексном чертеже /рис.4.1б/ фронтальная
проекция прямой в виде точки m»
имеется, надо лишь её обозначить.

Горизонтальная
проекция линии пересечения — m‘
строится из уcловия,
что m’
— фронтально-проецирующая прямая.

4.1.2
Построение линии пересечения двух
плоскостей, если плоскости —

разноименно
проецирущие.

На
рис. 4.2 даны горизонтально-проецирущая
плоскость

и
фронтально-проецирующая плоскость
,
которые пересекаются по прямой l.

На
комплексном чертеже /рис.4.2б/ проекции
этой прямой уже имеются, /они совпадают
c
одноименными проекциями плоскостей/ и
эти проекции следует, лишь обозначить.

4.1.3
Построение линии пересечения двух
плоскостей, если

одна
из них — плоскость общего положения,
другая —

проецирующая.

На
рис. 4.3 даны горизонтально-проецирующая
плоскость

и плоскость общего положения
,
которые пересекаются по прямой 1
.

На
рис. 4.4 плоскость общего положения
,
заданная треугольником АВС,
пересекается с фронтально-проецирующей
плоскостью
.

4.3

В
обоих случаях одна проекция линии
пересечения плоскостей определяется
сразу из условия её принадлежности
проецирующей плоскости, это – l’на
рис.4.3 и 1″
на рис.4.4. Другая проекция линии пересечения
легко определяется из условия её
принадлежности плоскости общего
положення.

При
решеши задачи на построение линии
пересечения плоскостей приходиться
решать и вопрос видимости фигур. Так в
задаче, приведенной на рис.4.4, на
горизонтальной проекции часть треугольника
АВС,
лежащая ниже плоскости
,
будет невидимой.

Рассматривая
вышеприведенные задачи можно сделать
вывод, что построение линии пересечения
плоскостей, в том случае, когда хотя-бы
одна из плоскостей является проецирущей,
является очень простой задачей.

По
этой причине в дальнейшем, когда при
решении большого круга позиционных
задач, мы будем вынуждены широко
пользоваться вспомогательными секущими
плоскостями, в качестве последних мы,
как правило, будем использовать
проецирующие плоскости.

Следущая
задача явится примером такого применения
проецирующих плоскостей.

4.1.4
Построение линии пересечения двух
плоскостей, если обе из них

являются
плоскостями общего положения.

Поскольку
линией пересечения двух плоскостей
является прямая, то для её построения
необходимо найти какие-либо две точ

4.4

ки
этой прямой.

На
рис. 4.5а показано как, при помощи двух
вспомогательных секущих плоскостей

1
и
2,
может быть найдена линия пересечения
плоскостей

и

— прямая 1
.
Плоскость
1
дает точку М
этой прямой, плоскость
2
— точку N
.

Рис
4.5

На
рис. 4.5б приведено решение этой задачи,
с помощью того же принципа,на комплексном
чертеже. Здесь плоскость

задана пересекающимися прямыми а
и Ь,
а плоскость

— параллельными прямыми c
и d.

В
качесве секущих плоскостей выбраны
фронтально-проецирующие плоскости
1
и
2.
В данном случае эти плоскости являются
горизонтальными, но они могли-бы ими и
не быть.

Если
плоскости
1
и
2
взяты параллельными, то линии их
пе-ресечения с плоскостями

и

будут также соответственно па-раллельны,
т. е.

На
рис. 4.6 показано построение линии
пересечения плоскостей

и
,
заданных следами. Следы плоскостей в
пределах чертежа пересекаются.

В
этом случае при отыскании линии
пересечения заданных плоскостей нет
необходимости прибегать к помощи
вспомогательных секущих

4.5

плоскостей,
т.к. их роль выполняют сами плоскости
проекций.

Если
же следы плоскостей в пределах чертежа
не пересекаются, тогда, как и в общем
случае, при решении задачи следует
использовать вспомогательные секущие
плоскости.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

Взаимное положение плоскостей:

Две плоскости могут быть: 1) параллельными; 2 ) пересекающимися.

Основным признаком параллельности плоскостей является параллельность двух пересекающихся прямых одной плоскости двум пересекающимся прямым другой плоскости. Например, плоскость, заданная пересекающимися прямыми

Такими прямыми могут служить и следы плоскостей: если два следа одной плоскости параллельны одноименным следам другой плоскости, то такие плоскости взаимно параллельны (рис.54). Исключением из этого правила являются проецирующие плоскости, т.е. плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций. На рис.55 изображены профильно-проецирующие плоскости и , горизонтальные и фронтальные следы которых параллельны между собой, а профильные — пересекаются. Следовательно, плоскости и также пересекаются. Таким образом, если хотя бы одна пара одноименных следов двух плоскостей пересекается, то эти плоскости пересекаются (рис.56 и 57).

Пример 10. Построить следы плоскости р, проходящей через данную точку К и параллельной плоскости а (рис.58).

1. Через заданную точку проводим любую прямую частного положения, например горизонталь (рис.59) искомой плоскости: фронтальная проекция горизонтали проходит через проекцию и параллельна оси ; горизонтальная проекция горизонтали проходит через и параллельна горизонтальному следу заданной плоскости.

2.    Строим проекции фронтального следа этой горизонтали: горизонтальная проекция фронтального следа (точка ) лежит в пересечении горизонтальной проекции горизонтали с осью ; фронтальная проекция фронтального следа (точка ) лежит в пересечении линии проекционной связи, проведенной из точки , и фронтальной проекции горизонтали.

3.    Через точку проводим фронтальный след плоскости  параллельно . В пересечении с осью отмечаем точку схода следов , через которую параллельно проводим след .

Линией пересечения двух плоскостей является прямая, все точки которой являются общими для обеих плоскостей. Таким образом, в общем случае для нахождения линии пересечения необходимо найти хотя бы две точки, общие для обеих плоскостей. Такими точками могут быть, например, точки пересечения одноименных следов плоскостей  и — точки и (рис.60). Через них и пройдет линия пересечения.

На эпюре проекции линии пересечения пройдут через точки пересечения одноименных следов плоскостей  и . В пересечении горизонтальных следов находим проекцию общей точки (фронтальная проекция этой точки лежит на оси ), а в пересечении фронтальных следов -точки (горизонтальная проекция также лежит на оси ). Соединив одноименные проекции и , получаем две проекции линии пересечения.

Но далеко не всегда на эпюре мы можем найти эти точки. Рассмотрим несколько примеров.

1. Пусть дана пара плоскостей, из которых одна — плоскость общего положения , а другая -горизонтальная плоскость (рис.61). Одну общую точку — точку — найти легко в пересечении фронтальных следов.

Поскольку плоскость — горизонтальная, она параллельна плоскости проекция и, следовательно, не имеет горизонтального следа. Из школьного курса геометрии известно, что две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым. Следовательно, линией пересечения плоскостей  и будет горизонталь.

2. Теперь возьмем две плоскости общего положения  и , у которых одноименные следы, например фронтальные, в пределах чертежа не пересекаются (рис.62).

Первая общая точка — точка  — находится в пересечении горизонтальных следов плоскостей  и . Для нахождения второй общей точки выбираем произвольную вспомогательную плоскость, например горизонтальную плоскость , и строим линии пересечения двух пар плоскостей: и ; и (см. п.1). Эти линии пересеклись в точке , которая является общей для всех трех плоскостей. Теперь у нас есть точки и , общие для плоскостей  и . Через эти точки можно провести линию пересечения двух этих плоскостей.

3. Если фронтальные следы двух плоскостей параллельны, то линией их пересечения будет фронталь (рис.63). В этом легко убедиться, если воспользоваться вспомогательной горизонтальной плоскостью, как в п.2.

По аналогии можно доказать, что если у пересекающихся плоскостей параллельны горизонтальные следы, то линией их пересечения будет горизонталь (рис.64).

Прямая, пересекающая плоскость

Прямая, пересекающая плоскость, имеет с ней одну общую точку, называемую точкой встречи прямой с плоскостью.

Рассмотрим задачу о нахождении точки встречи прямой линии с плоскостью в общем виде. Пусть нам дана плоскость и прямая , ее пересекающая (рис.65). Проводим через прямую любую плоскость, например плоскость . Далее строим линию пересечения плоскостей  и  -прямую . Все точки этой прямой являются общими для обеих плоскостей. Следовательно, и точка , лежащая на прямой , принадлежит обеим плоскостям. Точка будет искомой точкой встречи прямой с плоскостью .

Рассмотрим порядок нахождения точки встречи прямой с плоскостью на эпюре (рис.66):

1. через заданную прямую проводим любую вспомогательную плоскость (удобнее, если это будет плоскость частного положения — например, фронтально-проецирующая плоскость );
2. находим линию пересечения плоскостей  и — прямую ;
3. горизонтальная проекция искомой точки встречи лежит в пересечении горизонтальных проекций прямой  и линии пересечения ;
4. в пересечении линии проекционной связи, проведенной из , и фронтальной проекции прямой получаем точку .

Определение взаимной видимости геометрических элементов

Взаимная видимость геометрических элементов определяет позиционное отношение одной геометрической фигуры (прямой, плоскости и т.д.) по отношению к другой в определенном направлении. Обычно это направление перпендикулярно плоскости проекций.

Взаимная видимость на эпюре определяется с помощью конкурирующих точек, которые выбирают на той плоскости проекций, в направлении на которую определяют взаимную видимость. Взаимная видимость в направлении на каждую из плоскостей проекций определяется отдельно.

 См. раздел 2.5 «Взаимное положение двух прямых».

Рассмотрим определение взаимной видимости прямой и плоскости, заданной треугольником (рис.67). Будем считать треугольник непрозрачным. Прежде всего находим точку встречи прямой с плоскостью треугольника. Через прямую проводим вспомогательную плоскость и строим линию пересечения плоскости и плоскости треугольника -прямую . Находим искомую точку . Затем последовательно определяем взаимную видимость в направлении на плоскости проекций и .

Для определения видимости в направлении на плоскость , выбираем конкурирующие точки, например и . Эти точки принадлежат разным геометрическим фигурам , но они расположены на одной проецирующей прямой, перпендикулярной плоскости поэтому на эту плоскость они проецируются в одну точку. Находим фронтальную проекцию  точки (проекция  уже была найдена при предыдущих построениях).

Из двух точек видимой будет та, фронтальная проекция которой расположена дальше от оси проекций. В нашем примере — это точка . Следовательно, на горизонтальной проекции видимой будет прямая , принадлежащая плоскости треугольника, а отрезок прямой -«невидимым». В точке прямая пересекает плоскость и отрезок  становится видимым.

Для определения взаимной видимости в направлении на выбираем на ней проекции конкурирующих точек. Пусть это будут точки и . Находим их горизонтальные проекции и определяем по ним взаимную видимость точек. Дальше от оси будет точка , принадлежащая . Следовательно отрезок — «невидим».

• Заказать чертежи

Проецирование плоских фигур. Пересечение плоских фигур

Плоской называют такую фигуру, все точки которой лежат в одной плоскости и ограничены линиями, составляющими контур этой фигуры. Простейшей плоской фигурой является многоугольник.

Для однозначного определения положения многоугольника в пространстве необходимо убедиться, чтобы все его точки находятся в одной плоскости.

Например, четырехугольник может быть задан двумя проекциями трех его вершин и лишь одной проекцией четвертой вершины (рис.68, а). Недостающая проекция вершины лежит на пересечении линии проекционной связи, проведенной из имеющейся проекции вершины многогранника, и проекции диагонали, проходящей, в свою очередь, через точку пересечения диагоналей (рис.68, б).

Линия пересечения двух плоских фигур, как и линия пересечения двух плоскостей, определяется двумя точками, общими для этих фигур. Такие точки могут быть найдены как точки пересечения сторон одной фигуры с плоскостью другой.

На рис.69 найдена линия пересечения треугольников и . Для этого выполнены следующие построения.

Сначала найдена точка пересечения стороны треугольника с плоскостью треугольника . Затем аналогично построена точка пересечения другой стороны, например стороны , с плоскостью треугольника .

Для построения точки через сторону проведена вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость  и построена прямая пересечения вспомогательной плоскости и треугольника . На пересечении горизонтальных проекций и определена горизонтальная проекция  точки встречи. Ее фронтальная проекция построена на фронтальной проекции .

Для построения точки через сторону проведена горизонтально-проецирующая плоскость . Затем построена прямая пересечения плоскости и треугольника и на пересечении с найдена фронтальная проекция . Точка построена на горизонтальной проекции .

Зная две точки, общие для заданных плоскостей, проводим через них линию пересечения с проекциями и .

Определяем видимость плоскостей друг относительно друга с помощью конкурирующих точек, например, точек и — на горизонтальной плоскости проекций и точек и — на фронтальной плоскости проекций .

Прямая, перпендикулярная плоскости

Предположим, что дана некоторая плоскость и прямая — перпендикуляр к этой плоскости, причем точка , лежащая в плоскости , является основанием перпендикуляра (рис.70). Если прямая — перпендикуляр, то она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Через точку проводим горизонталь . Угол — прямой. По теореме о том, что прямой угол проецируется на плоскость проекций без искажения, если хотя бы одна его сторона параллельна плоскости проекций, угол — тоже прямой.

Таким образом, горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали и горизонтальному следу плоскости. Аналогично можно доказать, что фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной проекции фронтали и фронтальному следу плоскости.

Пример:

Из точки  опустить перпендикуляр к плоскости, заданной следами (рис.71), и к плоскости, заданной треугольником (рис.72).

1. Из точки проводим перпендикуляр к плоскости , заданной следами: горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна горизонтальному следу плоскости ; фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальному следу плоскости .
2. Из точки проводим перпендикуляр к плоскости, заданной треугольником . Строим горизонталь и фронталь заданной плоскости. Из точки проводим перпендикуляр к заданной плоскости: горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали ; фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной проекции фронтали .

Взаимно перпендикулярные плоскости

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Рассмотрим построение плоскости , перпендикулярной плоскости и проходящей через прямую (рис.73). Из любой точки прямой , например из точки , проводим перпендикуляр к заданной плоскости . Строим проекции следов прямой и перпендикуляра .

Через горизонтальные проекции горизонтальных следов и проводим горизонтальный след плоскости ; через фронтальные проекции фронтальных следов и — ее фронтальный след. Проверяем правильность построений: следы и пересекаются в точке схода следов , на оси .

Таким образом, плоскость перпендикулярна плоскости , так как проходит через прямую , перпендикулярную плоскости . Следует обратить внимание на то, что одноименные следы плоскостей и не перпендикулярны друг другу.

Действительно, одноименные следы двух взаимно перпендикулярных плоскостей общего положения не перпендикулярны друг другу. Наоборот, если одноименные следы двух плоскостей общего положения взаимно перпендикулярны, то сами плоскости не перпендикулярны между собой.

Если одна из рассматриваемых плоскостей является плоскостью частного положения, то существует несколько очевидных случаев, когда перпендикулярность следов может служить признаком перпендикулярности самих плоскостей. Например, перпендикулярность горизонтальных следов плоскости общего положения а и горизонтально-проецирующей плоскости соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей (рис.74). Это нетрудно доказать, выбрав в плоскости прямую , перпендикулярную плоскости .

По аналогии с рассмотренным примером перпендикулярность фронтальных следов фронтально-проецирующей плоскости и плоскости общего положения также соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей.

Построение линии пересечения плоскостей, заданных различными способами

Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей. Рассмотрим, как это делается, на следующих примерах.

Задача

Найдем линию пересечения плоскостей общего положения α и β для случая, когда пл. α задана проекциями треугольника ABC, а пл. β – параллельными прямыми d и e. Решение этой задачи осуществляется путем построения точек L₁ и L₂, принадлежащих линии пересечения.

Решение

1. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ₁. Она пересекает α и β по прямым. Фронтальные проекции этих прямых, 1»C» и 2»3», совпадают с фронтальным следом пл. γ₁. Он обозначен на рисунке как f_0γ1 и расположен параллельно оси x.
2. Определяем горизонтальные проекции 1’C’ и 2’3′ по линиям связи.
3. Находим горизонтальную проекцию точки L₁ на пересечении прямых 1’C’ и 2’3′. Фронтальная проекция точки L₁ лежит на фронтальном следе плоскости γ.
4. Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ₂. С помощью построений, аналогичных описанным в пунктах 1, 2, 3, находим проекции точки L₂.
5. Через L₁ и L₂ проводим искомую прямую l.

Стоит отметить, что в качестве пл. γ удобно использовать как плоскости уровня, так и проецирующие плоскости.

Пересечение плоскостей, заданных следами

Найдем линию пересечения плоскостей α и β, заданных следами. Эта задача значительно проще предыдущей. Она не требует введения вспомогательных плоскостей. Их роль выполняют плоскости проекций П₁ и П₂.

Алгоритм построения

1. Находим точку L’₁, расположенную на пересечении горизонтальных следов h_0α и h_0β. Точка L»₁ лежит на оси x. Её положение определяется при помощи линии связи, проведенной из L’₁.
2. Находим точку L»₂ на пересечении фронтальных следов пл. α и β. Точка L’₂ лежит на оси x. Её положение определяется по линии связи, проведенной из L»₂.
3. Проводим прямые l’ и l» через соответствующие проекции точек L₁ и L₂, как это показано на рисунке.

Таким образом, прямая l, проходящая через точки пересечения следов плоскостей, является искомой.

Пересечение плоскостей треугольников

Рассмотрим построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF, и определение их видимости методом конкурирующих точек.

Алгоритм построения

1. Через прямую DE проводим фронтально-проецирующую плоскость σ: на чертеже обозначен ее след f_0σ. Плоскость σ пересекает треугольник ABC по прямой 35. Отметив точки 3»=A»B»∩f_0σ и 5»=A»С»∩f_0σ, определяем положение (∙)3′ и (∙)5′ по линиям связи на ΔA’B’C’.
2. Находим горизонтальную проекцию N’=D’E’∩3’5′ точки N пересечения прямых DE и 35, которые лежат во вспомогательной плоскости σ. Проекция N» расположена на фронтальном следе f_0σ на одной линии связи с N’.

3. Через прямую BC проводим фронтально-проецирующую плоскость τ: на чертеже обозначен ее след f_0τ. С помощью построений, аналогичных тем, что описаны в пунктах 1 и 2 алгоритма, находим проекции точки K.

4. Через N и K проводим искомую прямую NK – линию пересечения ΔABC и ΔDEF.

Определение видимости

Фронтально-конкурирующие точки 4 и 5, принадлежащие ΔDEF и ΔABC соответственно, находятся на одной фронтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₂. Так как (∙)5′ находится ближе к наблюдателю, чем (∙)4′, то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)5 является видимым в проекции на пл. π₂. С противоположной стороны от линии N»K» видимость треугольников меняется.

Горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7, принадлежащие ΔABC и ΔDEF соответственно, находятся на одной горизонтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₁. Так как (∙)6» находится выше, чем (∙)7», то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)6 является видимым в проекции на пл. π₁. С противоположной стороны от линии N’K’ видимость треугольников меняется.

Дополнительные материалы: