Как найти точку группа тел

МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ БУРЯТИЯ

Государственное
бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Авиационный
техникум»

ОП.01.
Инженерная графика

программы
подготовки специалистов среднего звена (ППССЗ)

по
специальности

15.02.08
Технология машиностроения (базовой подготовки)

Практическая
работа №8:

Тема «Проекции
точек»

Улан-Удэ,
2019 г.

Тема «Проекции
точек»

Практическая
работа №8:

Учебная цель: Построение
комплексного чертежа простейших геометрических тел (призма, конус, цилиндр,
пирамида и т.д.), вычертить аксонометрии группы тел, научиться находить
проекции точек.

Образовательные
результаты, заявленные во ФГОС:

Студент должен

уметь:

—       
выполнять чертежи технических деталей в
ручной графике;

—       
читать чертежи;

—       
оформлять конструкторскую документацию в
соответствии с технической документацией;

       знать:

—       
законы, методы, приемы проекционного
черчения;

—       
правила выполнения и чтения
конструкторской и технологической документации;

—       
правила оформления чертежей,
геометрические построения и правила вычерчивания технических деталей;

—       
требования стандартов Единой системы
конструкторской документации (далее — ЕСКД) и Единой системы технологической
документации (далее — ЕСТД) к оформлению и составлению чертежей и схем

Задачи
практической работы:

1.     На формате
А4 (4шт.) выполнить четыре тела согласно варианту, найти проекции точек.

2.     На формате
А4 выполнить аксонометрию группы тел согласно варианту.

3.     Ответить
на вопросы теста.

4.     Сделать
вывод от проделанной работы.

Рисунок
1 Образец готовой работы

Обеспеченность
занятия:

1.     Учебно-методическая
литература:

—      
Боголюбов
С.К. Индивидуальные задания по курсу черчения: Учебное пособие для средних
специальных заведений. 3-е изд., стереотипное. Перепечатка со второго издания
1994г.-М.: ООО ИД «Альянс», 2007.-368с.

—      
В.П.Куликов,
А.В.Кузин: учебник. Инженерная графика -3-е изд., испр.-М.: ФОРУМ, 2009.-368с.

2.     Технические
средства обучения:

—      
мультимедиа-проектор;

3.     Экран.

3.

4.     Практическое
оборудование и инструменты:

—      
Стол
ученический;

—      
Стул
ученический;

—      
Бумага
для черчения ф.А4;

—      
Карандаш
чернографитный твердость М;

—      
Карандаш
чернографитный твердость Т;

—      
Ластик;

—      
Циркуль;

—      
Точилка
для карандашей механическая;

—      
Линейка
металлическая 30см.

5.     Рабочая папка
формата А4.

6.     Практическая
работа №8 в электронном или бумажном варианте.

Краткие теоретические и
учебно-методические материалы по теме практической работы.

Рисунок
2  Комплексный чертеж цилиндра его
аксонометрическое изображение.

 Практическая
работа предусматривает построение проекции простейших геометрических тел (призмы,
пирамиды, цилиндра, конуса), а так же аксонометрию группы геометрических тел.

В данном задании используются правила и
приемы проецирования точек, линий и плоскостей.

 Для построения недостающих проекций точки
поверхности геометрического тела, заданной на одной из его проекций,
рекомендуется сначала найти все проекции поверхности, на которой расположена
заданная точка, затем найти остальные проекции этой точки.

На рис. 2 а,б в качестве примера
показано выполнение проекций цилиндра и заданных на его поверхности точек, а
так же изображена построенная по ним аксонометрическая проекция.

 На рис. 3 а,б,в  приведены примеры
нахождения недостающей проекции точки, заданной на поверхности конуса.

Рисунок
3  Комплексный чертеж конуса его
аксонометрическое изображение.

Рисунок
4 Комплексный чертеж пирамиды его аксонометрическое
изображение.

На рис.4 даны проекции
правильной четырехугольной пирамиды и точек, расположенных на ее поверхностях.

  В задании принята
следующая система обозначения проекций точек. А – точка в пространстве, так ее
обозначают на технических рисунках в аксонометрических проекциях;

а— 
проекция точки А на горизонтальной плоскости проекций (на виде сверху)

а’—
проекция точки А на фронтальной плоскости проекций (на виде спереди)

а”—
проекции точки А на профильной плоскости проекций (на виде слева)

 Если точка видимая и
лежит на поверхности спроецированной в линию, то она указывается буквой без
скобок.

Если точка невидимая,
т.е. закрыта от глаз наблюдателя какой- либо поверхностью, то она указывается
буквой, взятой в скобки.

Например, а—
видимая проекция точки на горизонтальной плоскости; (а)— невидимая проекция
точки на горизонтальной плоскости.

Вопросы
для закрепления теоретического материала

к
практической работе:

1.    
Сколько видов (как они называются) вы
использовали при построении каждой фигуры? Как располагаются приведенные выше
виды по отношению друг к другу?

2.    
Что называется «комплексным чертежом»?

3.    
Какие линии чертежа вы применили при выполнении
задания?

4.    
Какой государственный стандарт
предусматривает построение прямоугольных проекций и взаимосвязь на чертеже
между видами?

5.    
Назовите фигуры, изображенные вами на
чертеже.

Инструкция
по выполнению практической работы

1.     На формате
А4 (4шт.) вычертить основную надпись.

2.     Выполнить
комплексные чертежи четырех тел согласно варианту, найти проекции точек.

3.     На пятом
листе ф.А4 вычертить основную надпись и выполнить аксонометрию группы тел
согласно схеме варианта.

4.     Заполнить
основные надписи шрифтом  ГОСТ 2.304-81 «шрифты чертежные» тип А.

5.     Ответить
на вопросы теста.

6.     Сделать
вывод от проделанной работы.

Критерии оценки

Если чертеж выполнен верно и аккуратно –
отлично

Если выполнен верно, есть незначительные
помарки и замечания преподавателя – хорошо

Если менее пяти не верных размера – удовлетворительно.

Если чертеж содержит более пяти грубых
ошибок — неудовлетворительно.

Тест: « Проекции точек на геометрических
телах».

Найти проекции точек на
двух недостающих плоскостях.

При определении проекций
точек используйте линии проекционной связи, которые сохраняйте на чертеже для
удобства контроля.

При построении проекций
точек, принадлежащих поверхности пирамиды и конуса, следует применять способ,
дающий наибольшую точность : либо «способ образующей», либо «способ секущих
плоскостей».

Пример выполнения задания
указан на рисунке 1.

Вы пытаетесь получить среднее арифметическое значение для центра тяжести вместо средневзвешенного:

c = sum(c_iV_i) / sum V_i.

т.е. не учитываете вес (или объём) объектов objects->weight() в первой сумме.
Правильный вариант:

double cx = 0, cy = 0, cz = 0, cw = 0;
for (auto obj : objects) {
  cx += obj->x*obj->weight;
  cy += obj->y*obj->weight;
  cz += obj->z*obj->weight;
  cw += obj->weight;
}

cx /= cw;
cy /= cw;
cz /= cw;

Если свойства objects->weight у объектов нет, его следует ввести.

Если ввести такое свойство невозможно, то робастной (грубой, но устойчивой) оценкой является медиана.
Т.е. надо отсортировать массив (независимо по каждой из координат) и взять средние по ранжиру (если количество элементов нечётное) или полусуммы двух средних (если количество элементов чётное).

А в рамках трёхмерной схемы нужно выбирать такой объект, сумма расстояний до которого от остальных объектов минимальна.
При этом возникает выбор, что суммировать: расстояния или их квадрат? Это определяется параметрами разброса объектов. если его распределение близко к нормальному, то лучше суммировать квадраты. Если же оно скорее хаотическое (импульсное) или статистика мала, то лучше суммировать расстояния (робастная оценка).

Программа с суммированием расстояний и независимыми медианами:

$xzy = [
    [ 2.709080934524536   ,  -1.9362084865570068 , -1.0364959239959717 ],
    [ 2.923645257949829   ,  1.1126995086669922  , 1.5516517162322998 ],
    [ 0.5295989513397217  ,  3.0490918159484863  , 0.1415269374847412 ],
    [ -1.4740893840789795 ,  1.233896255493164   , -3.516988515853882 ],
    [ -2.124799966812134  ,  0.3458544611930847  , -4.8596062660217285 ],
    [ -1.0827465057373047 ,  -0.8037613034248352 , -4.489010810852051 ],
    [ -0.7635605335235596 ,  0.03742170333862305 , -3.5328845977783203 ],
    [ -1.1618667840957642 ,  -0.4031369686126709 , -3.6103110313415527 ],
    [ -1.5830864906311035 ,  0.296390175819397   , -3.8527112007141113 ],
    [ -1.7283073663711548 ,  -0.2046224325895309 , -4.165205001831055 ]
];

function min_distances($arr){
    $sum_min = 999999.9;
    $key_min = -1;
    //var_dump($arr);
    $brr = $arr;

    foreach($arr as $key=>$base){
        $base_x = $base[0];
        $base_y = $base[2];
        $base_z = $base[1];
        $sum_dist = 0;          

        foreach($arr as $another){
            $dx = $another[0]-$base[0];
            $dz = $another[1]-$base[1];
            $dy = $another[2]-$base[2];
            $sum_dist += sqrt($dx*$dx+$dy*$dy+$dz*$dz);
        }
        if($sum_dist < $sum_min){
            $sum_min = $sum_dist;
            $key_min = $key;
        }
    }
    return $key_min;
}

$key_min = min_distances($xzy);
printf("<br>Distance sum: x = %f y = %f z = %f", $xzy[$key_min][0], $xzy[$key_min][2], $xzy[$key_min][1]);

foreach($xzy as $item){
    $x[] = $item[0];
    $y[] = $item[2];
    $z[] = $item[1];
}
sort($x);
sort($y);
sort($z);
$cnt = count($x);
$half = ($cnt)>>1;
$half1 = ($cnt-1)>>1;
$med_x = ($x[$half]+$x[$half1])/2;  
$med_y = ($y[$half]+$y[$half1])/2;  
$med_z = ($z[$half]+$z[$half1])/2;  
printf("<br>Undependent medians: x = %f y = %f z = %f", $med_x, $med_y, $med_z);    
var_dump($x);
var_dump($y);
var_dump($z);

Результаты:

Distance sum: x = -0.763561 y = -3.532885 z = 0.037422
Undependent medians: x = -1.122307 y = -3.571598 z = 0.166906
array (size=10)
  0 => float -2.12479996681
  1 => float -1.72830736637
  2 => float -1.58308649063
  3 => float -1.47408938408
  4 => float -1.1618667841
  5 => float -1.08274650574
  6 => float -0.763560533524
  7 => float 0.52959895134
  8 => float 2.70908093452
  9 => float 2.92364525795
array (size=10)
  0 => float -4.85960626602
  1 => float -4.48901081085
  2 => float -4.16520500183
  3 => float -3.85271120071
  4 => float -3.61031103134
  5 => float -3.53288459778
  6 => float -3.51698851585
  7 => float -1.036495924
  8 => float 0.141526937485
  9 => float 1.55165171623
array (size=10)
  0 => float -1.93620848656
  1 => float -0.803761303425
  2 => float -0.403136968613
  3 => float -0.20462243259
  4 => float 0.0374217033386
  5 => float 0.296390175819
  6 => float 0.345854461193
  7 => float 1.11269950867
  8 => float 1.23389625549
  9 => float 3.04909181595

Оба варианта неплохие. Мне больше нравится медиана.

По поводу кластеризации

Если ограничиться случаем, когда каждый кластер имеет представителем одну из исходных точек, то множество (набор) точек-представителей кластеров является подмножеством множества исходных точек.
Этот набор должен обеспечивать минимум (по всем наборам представителей) из максимумов (по всем исходным точкам) расстояний от этих точек до ближайшего представителя.
Но такая задача может быть решена прямым перебором, оптимальность которого очевидна, а проигрыш во времени — не очевиден.

Соответствующая программа на PHP:

$xzy = [
    [ 2.709080934524536   ,  -1.9362084865570068 , -1.0364959239959717 ],
    [ 2.923645257949829   ,  1.1126995086669922  , 1.5516517162322998 ],
    [ 0.5295989513397217  ,  3.0490918159484863  , 0.1415269374847412 ],
    [ -1.4740893840789795 ,  1.233896255493164   , -3.516988515853882 ],
    [ -2.124799966812134  ,  0.3458544611930847  , -4.8596062660217285 ],
    [ -1.0827465057373047 ,  -0.8037613034248352 , -4.489010810852051 ],
    [ -0.7635605335235596 ,  0.03742170333862305 , -3.5328845977783203 ],
    [ -1.1618667840957642 ,  -0.4031369686126709 , -3.6103110313415527 ],
    [ -1.5830864906311035 ,  0.296390175819397   , -3.8527112007141113 ],
    [ -1.7283073663711548 ,  -0.2046224325895309 , -4.165205001831055 ]
];

function distance_sqr($a, $b){  // квадрат расстояния между двумя точками
    return  ($a[0]-$b[0])*($a[0]-$b[0])
        +   ($a[1]-$b[1])*($a[1]-$b[1])
        +   ($a[2]-$b[2])*($a[2]-$b[2]);
}

function distances($arr){       // матрица расстояний между точками
    $r = [];
    foreach($arr as $key1 => $coord1){
        $r[$key1] = [];
        foreach($arr as $key2 => $coord2){
            if($key1 <= $key2){
                $r[$key1][$key2]= sqrt(distance_sqr($coord1, $coord2));
            }else{
                $r[$key1][$key2] = $r[$key2][$key1];                
            }   
        } 
    }
    return $r;
}

function combinations($points, $clust){ // генерация наборов представителей
    $combi_old = [[]];
    for($c = 0; $c < $clust; $c++){
        $combi = [];
        foreach($combi_old as $item){
            $p0 = empty($item) ? 0 : end($item)+1; 
            for($p = $p0; $p < $points; $p++){
                $combi[] = array_merge($item,[$p]);
            }
        }
        $combi_old = $combi;
    }
    return $combi;
}

function clusters($dist, $combi){       // минимакс расстояний до ближайшего кластера  
    $cnt = count($dist);
    $clusters = [0];
    print("<br>");
    foreach($combi as $list){           // наборы кластеров
        foreach($dist as $key=>$item){  // по каждому элементу массива вычисляются 
            $distances = [];            // расстояния до кластеров
            foreach($list as $index){
                $distances[] = $item[$index];                       
            }
            $d[$key] = min($distances); // расстояние до ближ. кластера
        }
        $dd = max($d);                                      // максимум по точкам
        if(($clusters[0] == 0) || ($dd < $clusters[0])){    // минимум по наборам
            $clusters = array_merge([$dd], $list);
        }
    }
    return $clusters;
}

function report($dist, $cluster){   // группировка точек по кластерам
    $full_clusters = [];
    foreach($cluster as $clust){    // создаём массивы точек кластера
        if(is_float($clust)) continue;
        $full_clusters[$clust] = [];
    }
    foreach($dist as $key => $d){
        //var_dump($d);
        $clust_min = -1;
        $dist_min = null;
        foreach($full_clusters as $clust => $item){
            if(is_null($dist_min) || ($d[$clust] < $dist_min)){
                $dist_min = $d[$clust];
                $clust_min = $clust;
            }
        }
        $full_clusters[$clust_min][$key] = $dist_min;
    }
    //var_dump($full_clusters);
    return $full_clusters;
}

print("Координаты точек:<br>");
foreach($xzy as $c){
    printf("[%5.1f,%5.1f, %5.1f]&emsp;", $c[0], $c[2], $c[1]);      
}

print("<br><br>Матрица расстояний:");
$dist = distances($xzy);
foreach($dist as $d){
    print("<br>");
    foreach($d as $dd){
        printf("%5.1f&emsp;", $dd);
    }   
}
print("<br>");

$points = count($xzy);
for($clust = 1; $clust < 10; $clust++){
    $combi = combinations($points, $clust);
    $cluster = clusters($dist, $combi);
    print("<br>Точек: $points Кластеров: $clust. Результат: ");
    foreach($cluster as $c){
        if(is_float($c)) printf("%5.2f&emsp;", $c); 
        else printf("% 2d&emsp;", $c);
    }   
    printf("<br>Нормированная невязка: %5.2f<br>", $cluster[0]/($points-$clust));
    $report = report($dist, $cluster);
    foreach($report as $key => $full_clust){
        print("<br>Кластер $key: ");
        foreach($full_clust as $point => $val){
            printf("% 2d => % 5.2f&emsp;", $point, $val);
        }
    }
}

Результаты:

Координаты точек:
[ 2.7, -1.0, -1.9] [ 2.9, 1.6, 1.1] [ 0.5, 0.1, 3.0] [ -1.5, -3.5, 1.2] [ -2.1, -4.9, 0.3] [ -1.1, -4.5, -0.8] [ -0.8, -3.5, 0.0] [ -1.2, -3.6, -0.4] [ -1.6, -3.9, 0.3] [ -1.7, -4.2, -0.2] 

Матрица расстояний:
0.0  4.0  5.6  5.8  6.6  5.3  4.7  4.9  5.6  5.7 
4.0  0.0  3.4  6.7  8.2  7.5  6.4  6.8  7.1  7.5 
5.6  3.4  0.0  4.5  6.3  6.2  4.9  5.4  5.3  5.9 
5.8  6.7  4.5  0.0  1.7  2.3  1.4  1.7  1.0  1.6 
6.6  8.2  6.3  1.7  0.0  1.6  1.9  1.7  1.1  1.0 
5.3  7.5  6.2  2.3  1.6  0.0  1.3  1.0  1.4  0.9 
4.7  6.4  4.9  1.4  1.9  1.3  0.0  0.6  0.9  1.2 
4.9  6.8  5.4  1.7  1.7  1.0  0.6  0.0  0.9  0.8 
5.6  7.1  5.3  1.0  1.1  1.4  0.9  0.9  0.0  0.6 
5.7  7.5  5.9  1.6  1.0  0.9  1.2  0.8  0.6  0.0 


Точек: 10 Кластеров: 1. Результат: 6.27  2 
Нормированная невязка: 0.70

Кластер 2: 0 => 5.57  1 => 3.39  2 => 0.00  3 => 4.55  4 => 6.27  5 => 6.24  6 => 4.92  7 => 5.37  8 => 5.29  9 => 5.85 

Точек: 10 Кластеров: 2. Результат: 4.01  1  3 
Нормированная невязка: 0.50

Кластер 1: 0 => 4.01  1 => 0.00  2 => 3.39 
Кластер 3: 3 => 0.00  4 => 1.74  5 => 2.29  6 => 1.39  7 => 1.67  8 => 1.00  9 => 1.60 

Точек: 10 Кластеров: 3. Результат: 3.39  0  1  3 
Нормированная невязка: 0.48

Кластер 0: 0 => 0.00 
Кластер 1: 1 => 0.00  2 => 3.39 
Кластер 3: 3 => 0.00  4 => 1.74  5 => 2.29  6 => 1.39  7 => 1.67  8 => 1.00  9 => 1.60 

Точек: 10 Кластеров: 4. Результат: 1.37  0  1  2  8 
Нормированная невязка: 0.23

Кластер 0: 0 => 0.00 
Кластер 1: 1 => 0.00 
Кластер 2: 2 => 0.00 
Кластер 8: 3 => 1.00  4 => 1.14  5 => 1.37  6 => 0.92  7 => 0.85  8 => 0.00  9 => 0.61 

Точек: 10 Кластеров: 5. Результат: 1.00  0  1  2  8  9 
Нормированная невязка: 0.20

Кластер 0: 0 => 0.00 
Кластер 1: 1 => 0.00 
Кластер 2: 2 => 0.00 
Кластер 8: 3 => 1.00  6 => 0.92  8 => 0.00 
Кластер 9: 4 => 0.97  5 => 0.94  7 => 0.82  9 => 0.00 

Точек: 10 Кластеров: 6. Результат: 0.97  0  1  2  3  4  7 
Нормированная невязка: 0.24

Кластер 0: 0 => 0.00 
Кластер 1: 1 => 0.00 
Кластер 2: 2 => 0.00 
Кластер 3: 3 => 0.00 
Кластер 4: 4 => 0.00 
Кластер 7: 5 => 0.97  6 => 0.60  7 => 0.00  8 => 0.85  9 => 0.82 

Точек: 10 Кластеров: 7. Результат: 0.85  0  1  2  3  4  5  7 
Нормированная невязка: 0.28

Кластер 0: 0 => 0.00 
Кластер 1: 1 => 0.00 
Кластер 2: 2 => 0.00 
Кластер 3: 3 => 0.00 
Кластер 4: 4 => 0.00 
Кластер 5: 5 => 0.00 
Кластер 7: 6 => 0.60  7 => 0.00  8 => 0.85  9 => 0.82 

Точек: 10 Кластеров: 8. Результат: 0.61  0  1  2  3  4  5  6  8 
Нормированная невязка: 0.30

Кластер 0: 0 => 0.00 
Кластер 1: 1 => 0.00 
Кластер 2: 2 => 0.00 
Кластер 3: 3 => 0.00 
Кластер 4: 4 => 0.00 
Кластер 5: 5 => 0.00 
Кластер 6: 6 => 0.00  7 => 0.60 
Кластер 8: 8 => 0.00  9 => 0.61 

Точек: 10 Кластеров: 9. Результат: 0.60  0  1  2  3  4  5  6  8  9 
Нормированная невязка: 0.60

Кластер 0: 0 => 0.00 
Кластер 1: 1 => 0.00 
Кластер 2: 2 => 0.00 
Кластер 3: 3 => 0.00 
Кластер 4: 4 => 0.00 
Кластер 5: 5 => 0.00 
Кластер 6: 6 => 0.00  7 => 0.60 
Кластер 8: 8 => 0.00 
Кластер 9: 9 => 0.00 

Для оценки качества кластеризации минимаксное расстояние делится на разность между количеством точек и количеством кластеров (нормированная невязка).

Поскольку расстояния нигде не суммируются, при вычислении матрицы расстояний можно использовать их квадраты.

Оценка для случая одного кластера — ещё один вариант ответа на поставленный вопрос.

Акупунктура пришла в современный мир из Древнего Китая, где люди верили в связь между органами и системами. Техника оказывает лечебное действие на проблемную область, снимает болевые ощущения, успокаивает или возбуждает ЦНС. К преимуществам акупунктуры можно отнести ее легкость — сеансы можно проводить даже дома, а эффективность самомассажа не уступает салонным процедурам. Главное — знать правильное расположение точек и способы воздействия на них.

Поиск акупунктурных точек

Восточная медицина утверждает, что органы человека между собой связаны, и заболевание одного из них негативно отражается на работе всего организма. Многолетние исследования подтвердили, что на теле человека особые зоны или линии, каждая из которых является отражением или проекцией на коже определенного органа. При помощи правильного массирования можно избавиться от любого физического или психического заболевания.

Китайскими массажистами применяется обычно метод акупунктуры, воздействующий на активные точки при помощи игл или тонких и острых бамбуковых палочек. Однако прорабатывать можно и пальцами, и даже бобовыми или рисовыми зернами. Во время сеанса устраняются симптомы заболевания, нормализуется работа внутренних систем и органов, замедляются процессы старения. При помощи акупунктуры можно избавиться от стресса, депрессии, улучшить настроение, справиться с волнением или бессонницей.

Иглорефлексотерапия основана на знаниях о системе энергетических каналов в теле человека, по которым циркулирует жизненная энергия. Между каждым из каналов и органами, закрепленными за ним, имеется тесная связь: через каналы органы и системы получают необходимую для работы энергию. Недостаток или избыток энергии в канале негативно влияет на работу организма.

БАТ и техника воздействия на них

Система биологически активных точек, расположенных на теле человека — это проекция энергетической сети меридианов на физическом уровне. Размер каждой точки — несколько миллиметров, а воздействие на нее может быть как интенсивным, так и глубоким, мягким, вибрационным и т.д. Всего на теле расположено более 700 акупунктурных точек, находящихся на 14 меридианах. В зависимости от индивидуального строения и особенностей организма, точки могут смещаться на 1-1,5 см от места, указанного в атласе. Определить точное положение просто: при нажатии ощущается слабая болезненность в этой области.

Все биологически активные точки (БАТ) подразделяются на 5 видов:

• Общие, которые связаны с работой ЦНС;
• Сегментарные, соединенные с внутренними органами и мышечной тканью;
• Спинальные, расположенные на линии позвоночника. Их прорабатывают для лечения болезней сердца, почек, диафрагмы, толстой кишки и поджелудочной железы;
• Региональные, представленные проекцией определенного органа;
• Локальные, расположенные в сосудах, суставах, мышцах.

В атласах при описании места нахождения БАТ используют термин цунь, обозначающий расстояние между 2 и 3 межфаланговой складкой на среднем пальце правой руки для женщин, и левой — для мужчин. Можно определить цунь и по поперечному размеру ногтевой фаланги большого пальца. Аналогичная область 2 и 3 пальцев равна 1,5 цуням, а четырех вместе — 3 цуням. Современный способ определения расстояний основан на пропорциональном отрезке. Вычисляют его при помощи деления вертикального размера данной области тела на стандартное число деления, определенного для этой зоны.

Приемы акупрессуры представляют собой 6 групп:

• Поглаживание. Его совершают подушечкой большого или среднего пальца. Движения круговые. Применяется для массажа лица, головы, шеи и рук, в начале или завершении сеанса;
• Растирание. Проводится как основной прием, движения круговые и по часовой стрелке;
• Разминание или надавливание. Проработка происходит кончиком большого пальца. Интенсивность приема увеличивается постепенно;
• Захватывание или пощипывание. Выполняется тремя пальцами: большим, средним и указательным. Во время приема происходит захватывание кожи с БАТ, разминание и вращение;
• Вибрации. Выполняют быстрыми колебательными движениями. Во время работы пальцы не отрываются от кожи. Между приемами выдерживают паузу;
• Успокаивающий. Это медленный и глубокий прием, во время которого на точку нажимают максимально глубоко. Во время вращения не допускается сдвигание кожи.

Если проработка ведется руками, то они должны быть теплыми. Иглы или палочки также прогревают перед сеансом. Симметричные точки желательно массировать одновременно. Исключение составляют БАТы на руках при самомассаже.

Пусковые БАТ

Акупунктурные точки нельзя путать с триггерными, представляющими собой очаг мышечного напряжения. Он активируется механическим воздействием при определенных условиях. Триггерные точки находят по отраженной боли, которая может быть постоянной, пульсирующей, острой или тупой, сильной, слабой и т.д. Пусковые точки относят к биологически активным, а их проработка может привести к головной или шейной боли, неприятным ощущениям в бедре, колене или спине. Они представляют собой место с наибольшей раздражительностью ткани, площадь которой составляет 1-2 мм. На ощупь пусковые БАТы похожи на маленькие горошины. Проработка пусковых точек должна занимать не более 15 секунд, иначе вреда от воздействия будет больше, чем пользы.

Точка тревоги

Существует несколько точек тревоги, расположенных на меридианах на поверхности живота и груди:

• Легкие;
• Сердце;
• Толстая кишка;
• Желудок;
• Почки;
• Селезенка;
• Тонкая кишка;
• Почки;
• Мочевой пузырь;
• Печень и желчный пузырь;
• Тройной обогреватель: общий, средний, верхний и нижний.

Три из них находятся на меридиане, которому они помогают, — это легкие, печень и желчный пузырь. Любой из органов имеет БАТ этого вида. Если имеется заболевание почек, то начинает болеть спина, а при проблемах работы в системе пищеварения — ощущается дискомфорт в животе.

Активные точки тревоги:

• Лежат на вентральной стороне Инь, и отражают болезни ей свойственные. Их симптоматика: ощущение холода, депрессия, апатия, слабость, хроническая усталость;
• При болезнях сердца и сердечно-сосудистой системы прорабатывается активная БАТ, расположенная на 2,5 см ниже мечевидного отростка грудины.

Классическая акупунктура определяет БАТ тревоги как диагностическую и терапевтическую. Если в меридиане имеется дисбаланс, то БАТ становится чувствительной. При жалобах пациента на боли в области точки тревоги выявляют гиперактивности меридиана, а при чувствительной, но не болезненной пальпации — гипоактивность. Если баланс нарушен и в остальной части, то БАТ будет активна и при терапевтической локализации. При дефиците в меридиане возникает слабость, что приводить к повышенному тонусу мышцы. Проводят провокацию БАТ тревоги резким нажатием. Давление указательного пальца должно быть сильным и ровным. При вовлеченном меридиане и патологии сильная индикаторная мышца временно ослабевает.

Закрыть ущелье

Точка Хэ-Гу (Закрыть ущелье) используется для лечения заболеваний полости рта и лица, при комплексном воздействии для профилактики и лечения болезней ЖКТ, ССС и т.д. Находится БАТ на тыльной стороне кисти между 1 и 2 пястной костью примерно в середине лучевого края. Найти ее просто: нужно поперечную складку межфалангового сустава большого пальца совместить с краем натянутой перепонки между большим и указательным пальцем второй руки. В месте их соприкосновения и будет лежать Хэ-Гу.

Поскольку точка относится к основным БАТам ручного ям-мин канала толстого кишечника ее нужно использовать при комплексном лечении болезней ЖКТ. Если массажист выбрал метод сочетания точек «хозяин-гость», то применяется комбинация Хэ-Гу и Ле-Цюе. Этот канал проходит по обе стороны от ноздрей, и позволяет снять острую зубную боль, болезненные ощущения в мышцах лица, избавляет от сухости во рту, помогает при отекании шеи и нарушении работы рук.

Канал толстого кишечника также связан с ручным тай-инь каналом легких, поэтому Хэ-Гу эффективна при заболеваниях легких, отеках, кровотечениях из носа, водянке и иных болезнях, вызванных нарушением циркуляции в водных путях.

Канал проходит по шее и через легкое он связан с горлом. Это объясняет эффективность массирования Хэ-Гу при болях и отеках горла, потери голоса. В сочетании с другими точками Хэ-Гу прорабатывают при:

• Проблемах со слухом, глухоте, шуме в ушах;
• Лихорадочном состоянии;
• Параличе лицевых мышц, скованности языка;
• Фотопсиях и ухудшении зрения;
• Апоплексии и маниакальном состоянии;
• Судорогах, тепловом или солнечном ударе;
• Вздутии живота;
• Боли в мышцах спины, позвоночнике, мигрени и головной боли;
• Гнойных процессах.

Ян-мин канал относят к основным зубным сосудам, поэтому БАТ необходимо задействовать при лечении кариеса и иных заболеваний ротовой полости, при воспалении десен, кровотечениях и зубном налете.

Трех миль

Связана точка Трех миль с пищеварительной системой, и ее проработка способствует избавлению от боли в животе и улучшению работы желудка и кишечника.

Активные точки расположены симметрично на ногах. Чтобы их найти, нужно 4 пальца положить ниже коленной чашечки с внешней стороны, и затем отступить на 1 палец (1 см) к большебедренной кости. БАТ необходимо массировать при головокружениях, физической усталости, для укрепления мышц ног, снятия отечности и улучшения общего самочувствия. Для снятия усталости с мышц ног после физической нагрузки используют иглотерапию, и воздействуют одновременно на точки Трех миль и Столб на горе около 10 минут.

Обитель неба

Найти БАТ Обитель неба можно, если положить три пальца ниже подмышечной впадины, и сдвинуть к плечу. Симметричные лечебные точки массируют при легочных заболеваниях, проблемах с дыханием, кашле, простуде, астме и бронхите. Для облегчения состояния врачи рекомендуют массировать эту область 2-4 раза в день.

Скрытого белого

При проблемах с кровеносной системой и циркуляцией крови, а также для восстановления работы сердца нужно массировать точки Скрытого белого. Расположены они в основании ногтевой пластины большого пальца правой ноги.

Цзи Цюань переводится как «Высший источник», и находится на канале Сердца. Практики китайской медицины утверждают, что через нее поток крови идет от сердца ко всем органам и каналам. Расположена точки в середине подмышечной впадины. Еще одна лечебная точка Шэнь Мэнь находится у внутреннего края лучезапястной складки в углублении под косточкой. Стимулирование точки помогает улучшить состояние при заболеваниях сердца.

Также для улучшения работы сердечно-сосудистой системы и щитовидной железы можно прорабатывать активные точки, расположенные:

• На передней стороне ноги ниже коленной чашечки, там, где начинается большая и малая берцовая кость. Массаж помогает при болезнях щитовидной железы, нормализует и контролирует лимфообращение;
• На остром отростке 7 шейного позвонка в месте соединения шеи с плечами. БАТ связана с гипофизом, костной и сердечно-сосудистой системой, щитовидной железой.

Если при надавливании на одну из точек ощущается боль, то это означает развитие патологии сердечно-сосудистой или эндокринной системы. Желательно обратиться к врачу и пройти полное обследование.

Внутренний путь

Проработка точки Внутренний путь поможет избавиться от таких неприятных ощущений, как тошнота, головокружение и укачивание во время поездок, а также снимет стресс, тревожность, эмоциональную усталость. Находится она на внутренней стороне ладони на расстоянии 3 пальцев от запястья. Ограничений к количеству дневных сеансов нет: массирование можно проводить по мере необходимости. Воздействуют на точку до улучшения самочувствия.

Полное открытие

Точки акупунктуры Полное открытие являются парными, и лежат на изгибах крыльев носа у ноздрей. Надавливание на эти точки помогает при насморке, заболеваниях дыхательных путей и органов дыхания. Массаж точек против насморка проводят несколько раз в день в течение 60 секунд. Прорабатывают область медленными круговыми движениями, а на выдохе проводят мягкое нажатие.

БАТ для глаз

Акупунктура и иглоукалывание успешно практикуются и для лечения таких заболеваний органов зрения, как:

• Глаукома;
• Катаракта;
• Неврит;
• Атрофия зрительного нерва;
• Макулярная дегенерация.

Традиционная восточная медицина связывает глазные болезни с разными внутренними органами:

• Хрусталик и зрачок с почками;
• Склеры с легкими;
• Артерии и вены с сердцем;
• Верхнее веко с селезенкой;
• Нижнее веко с желудком;
• Роговицу и диафрагму с печенью.

Точки, отвечающие за зрение и состояние глаз, расположены в ямочке чуть выше слезного канала (это внутренней угол глаза). Точечный массаж этой области лучше выполнять средним пальцем, поскольку он связан с мастером сердца и оказывает более сильное воздействие на БАТ. Силу надавливания увеличивают постепенно, а основные движения во время массирования — круговые. Репризы надавливания и послабления должны чередоваться.

На внешних краях бровей лежат точки, связанные и с глазными, и с кожными заболеваниями. Парные точки для массажа, находящиеся на внешнем крае глазницы, прорабатывают на ранних стадиях катаракты, светобоязни, сухости и зуде, головных болях и при конъюнктивите. БАТы, расположенные в центральной части бровей, массируют для улучшения функции щитовидной железы, при перенапряжении, сильной тревожности, страхах. Еще одна парная точка, расположенная на задней поверхности шеи сразу у основания черепа, избавляет от сильной головной боли, улучшает зрение, снимает усталость зрительных нервов, расслабляет и успокаивает.

Врата духа

Наличие специальных акупунктурных точек на теле человека позволяет справиться с хроническим недосыпанием и его последствиями:

• Нарушение работы внутренних органов;
• Снижение работоспособности;
• Ухудшение внимания;
• Галлюцинации;
• Ухудшение сердечного ритма;
• Провалы в памяти;
• Ослабление иммунитета;
• Развитие ожирение и диабета.

Основная точка этой группы — Врата духа. Воздействие на БАТ избавляет от нарушения обмена веществ, бессонницы, снимает перевозбуждение, успокаивает мысли. Находится точка на ладони: ниже мизинца со внутренней стороны, там, где начинается складка запястья. Массажные сеансы можно проводить и для расслабления, и для улучшения концентрации внимания, перед важными переговорами или встречами.

Точки на стопе

На стопах человека расположено более 70000 нервных окончаний и большое количество акупунктурных точек. Общий массаж ступней способствует глубокому расслаблению, снятию нервного напряжения, оказывает общеукрепляющий и тонизирующий эффект.

Зональность расположения точек выглядит так: на пальцах находятся БАТы, отвечающие за уши и лобные пазухи. На внутренней стороне стопы лежат точки-проекции позвоночника, а сами пальцы — это проекция:

• Большой — мозга. Центральная часть связана с гипофизом, боковая — с шишковидной железой;
• Основания указательного, среднего и безымянного пальца — глаза.

Чуть ниже основания мизинца и безымянного пальца расположена зона ушей. Левую стопу связывают с органами левой части тела, а правую — с правой. На правой ступне находятся важные точки, отвечающие за печень и желчный пузырь, а на левой — за селезенку и сердце. Все парные органы имеют симметрично расположенные точки на правой и левой ступне. На пятках находится скопление точек-проекций половых желез и яичников.

БАТы для похудения

Справиться с лишним весом поможет массирование биологически активных точек. Акупунктура широко применяется в дополнение к диетам, спортивным занятиям и курсу классического массажа. Преимущество метода — возможность выполнять простые массажные упражнения дома в любое время.

Точка Гуань-Юань находится на животе, а чтобы ее найти необходимо расслабить мышцы брюшного пресса и отступить от пупка вниз на:

• 3 цуня для женщин;
• 4 цуня для мужчин.

Проработку точки осуществляют небыстрыми и равномерными движениями. Оптимальное время для массирования — перед едой. Интенсивный курс, рассчитанный на потерю до 5 кг, включает обязательные ежедневные проработки по 5 минут каждая.

Точки для уменьшения аппетита находятся на ухе: в месте соединения ушной раковины и челюсти. Массируют это место от 1,5 до 2,5 минут перед приемом пищи. Перед козелком уха расположена небольшая область, пощипывание которой в течение 3 минут позволит притупить чувство голода.

Еще одна точка Лоу-Гу лежит на 5 см выше выступающей косточки на внутренней поверхности лодыжки. Массирование ее позволяет не только активировать пищеварительную систему и контролировать аппетит, но и избавляет от онемения рук и ног, неприятных ощущений в области сердца, тревожности.

Акупунктура от курения

Избавиться от никотиновой зависимости также можно при помощи регулярных сеансов точечного массажа. Воздействие на точки на теле человека является одним из эффективных и безопасных способов отказа от курения, но заниматься практикой нужно постоянно.

Точка Шем Мен или Небесные врата лежит в ушной раковине в верхней части треугольной ямочки над центральной частью. Массирование этой области помогает также при:

• Головной боли;
• Бессоннице;
• Симптомах аллергии;
• Ослабленном иммунитете.

Регулярное воздействие на Шен Мен позволит справиться с тревожностью, страхами, депрессией, хронической усталостью, апатией. Непродолжительное массирование в течение дня поможет повысить внимательность, работоспособность и концентрацию на важных вопросах. Вторая точка расположена на оси мизинца за линией лучезапястного сустава. Ее массируют трижды в день по 5-7 минут. Интенсивность проработки увеличивается постепенно.

Биологически активная точка Хаба-Экс находится в центре передней части шеи, чуть ниже щитовидной железы и на расстоянии 3 пальцев от ключицы. Найти точку просто — при нажатии возникает болезненность. Проработка Хаба-Экс помогает излечить астму и кашель, избавиться от отдышки. Чтобы облегчить болезненное состояние массируют точку трижды в день в течение 1-2 минут. Проработка Хаба-Экс от курения отличается от обычной, и представляет собой кратковременное и сильное нажатие до появления боли. Побочные эффекты массажа — понижение давления и головокружения. Если побочные эффекты повторяются, то массаж проводят только из положения лежа. Для избавления от курения желательно проводить не менее 15 сеансов в течение 2-4 недель.

Общеукрепляющие БАТ

Точки акупунктуры на теле человека могут служить и для укрепления организма. Одна из них — Хороший интервал — находится во впадине между 1 и 2 пальцем на ноге. Ее массирование помогает при неврозах, заболеваниях мочеполовой системы и желудочно-кишечного тракта, нарушениях менструального цикла.

Цзу-Суань-Ли отвечает за долголетие. Лежит она в небольшом углублении под коленной чашечкой. Массирование необходимо проводить ежедневно по утрам не менее 20 минут. При правильном проведении процедуры происходит постепенное снижение объемов тела, улучшается память и пищеварение, проходит состояние тревожности, бессонницы, апатии.

БАТ Закрытая долина находится между 1 и 2 пальцем ладони. Ее используют при головных болях, мигренях, нервном расстройстве, заболеваниях носоглотки и шуме в ушах.

БАТ для спины

Во время массажа спины задействуют точки, облегчающие боль. Они отвечают также за стрессовое состояние, усталость, переутомление, слабость. Основная БАТ находится в месте соединения мышц шеи, плеч и позвоночника в верхней части спины. Вторая расположена между лопатками по обе стороны от позвоночника (примерно на расстоянии 1 см). Воздействовать на парные точки нужно одновременно для большей эффективности. Точки на спине обычно прорабатываются во время классического массажа, и оказывают общий укрепляющий и оздоравливающий эффект.

Массаж точки Лин Гу позволит избавиться от сильных болей в спине и в области крестца, улучшить общее самочувствие, укрепить иммунитет. Лин Гу лежит во впадине между большим и указательным пальцем, а воздействие на нее должно быть сильным. При правильном массировании ощущается болезненности. При болевых синдромах и для восстановления тонуса массаж проводят с интервалами около 20 минут.

Точки головы и шеи

Точки, находящиеся на голове, также используют для укрепления организма, лечения болезней, улучшения настроения:

• БАТ, расположенную между бровями, стимулируют для улучшения зрения, при нарушении работы желудка, при болях в ногах;
• Парные точки у основания бровей массируют при синуситах, ослабленном иммунитете, нарушении кровообращения в головном мозге;
• Точку Родничок, расположенную на верхней части головы, прорабатывают для улучшения поверхностного и глубинного кровоснабжения мозга, для снятия усталости, симптомов переутомления, при тревожности и болях в голове;
• БАТ, находящуюся на задней поверхности шеи в области 3 позвонка, массируют для улучшения движения биологических жидкостей, снятия отечности, усталости в мышцах шеи и спины.

Активная проработка акупунктурных точек на голове происходит во время расчесывания. По этой причине мастера акупунктуры советуют пользоваться расческами из натуральных материалов: вибрации дерева усиливают воздействие на энергетические области и каналы, очищают, снимают напряжение и балансируют.

Массируя шею можно привести в энергетическое равновесие всю грудную клетку, нормализовать кровоток, снять напряжение с мышц, облегчить дыхание и улучшить осанку. Помогает акупунктура справиться и с такой деликатной проблемой, как геморрой. Для этого нужно найти точку-проекцию прямой кишки и наружного заднепроходного отверстия. Лежит она в складке кожи между 3 и 4 пальцами стопы. Воздействие на точку должно быть ежедневным, по несколько минут в день.

Воздействие на точки помогает справиться со многими заболеваниями как физического, так психологического характера. Выбирая точки для проработки, нужно исходить из их связи с органами и системами, и особенностей проработки. Некоторые БАТ массируют короткими и сильными нажимающими приемами, иные — продолжительными и мягкими поглаживаниями. Преимущество метода акупунктуры в очень ограниченных противопоказаниях и возможности проводить сеансы в любое время. В течение дня можно массировать БАТ для улучшения концентрации внимания, снятия усталости и тревожности, для избавления от никотиновой зависимости или болевых ощущений в спине и мышцах.

Ежедневная энергетическая программа, состоящая из шести упражнений. Некоторые из них окажут на вас большее воздействие, чем другие, но все они в любом случае укрепят и сбалансируют ваш организм. Каждое из этих упражнений просто в выполнении.

Эти упражнения  для тех, кому интересна кинезиология и собственное здоровье. В современном напряжённом темпе работы, особенно в холодное время года, организму трудно оставаться здоровым. Ведь это период простудных заболеваний. А ослабленный от стресса организм сильно подвержен простудным заболеваниям.

Если на подсознательном уровне организм устаёт, то на физический уровень идёт команда — «отдохни!». А болезнь в нашем социуме одобряется и приветствуется. Вот тело и выбирает — заболеть. Сознательно же мы это оправдываем вирусами, бактериями и слабым иммунитетом.

Подобно витаминам, которые вы принимаете каждое утро, существует шесть «Энергетических витаминов», способные укрепить ваше здоровье, стать более энергичными и успешно противостоять болезням и стрессам. Если выполнять эти техники как пятиминутную зарядку, то ваши энергии не будут образовывать заторы, и их течение станет свободным.

Ежедневная энергетическая программа состоит из 6 упражнений. Сейчас я расскажу вам о первом упражнении. Оно называется «Три удара» или «Точки запуска».

Акупунктурные и акупрессурные точки – это крошечные электромагнитные центры, расположенные вдоль 14 меридианов.  Они одни и те же. С помощью простукивания этих точек, вы сможете активизировать целую цепь  реакции, которая:

 —  восстанавливает силы, когда вы устали,

 —  наполнит энергией, если вас клонит ко сну,

 — сфокусирует ваше внимание, если оно расфокусировано,

 — ведёте машину ночью и боитесь уснуть (остановитесь и сделайте),

 — мыслить более ясно (ученикам, сидящим за партой в школе, работая за компьютером, при дислексии),

 — повысит жизнестойкость и укрепит иммунитет в стрессовых условиях и т.д.. 

• Точки запуска  «К-27»  — это двадцать седьмая пара точек на меридиане почек. Это связующие точки  и они запускают весь организм, давая прилив недостающей энергии вашему организму.

Выполнение (30 сек): 

1. Как найти точки? Поместите пальцы одной руки (большой и вместе указательный+средний) на ключицы. Перемещайте их к центру, пока не нащупаете бугорок. Спуститесь примерно на 2.5 см вниз и немного в стороны. С обеих сторон. Анатомически, у большинства людей имеется там выемка, куда и попадают пальцы.

2. Положите одну руку на пупок. Пальцы соединены все вместе. Эта рука двигаться не будет.

3. Вдыхая через нос, а выдыхая через рот, помассируйте точки «К-27» пальцами.

4. Поменяйте руки местами. Это необходимо для интеграции левого и правого полушарий и тела.

Делая это упражнение, вы разворачиваете свою энергию в правильном направлении, если она движется в обратную сторону. Другими словами, вы идёте в одну сторону, а ваша энергия в обратную.

2. Речевой центр (начало и конец центрального и управляющего меридианов).

Выполнение (30 сек): 

1. Как найти точки? Поместите пальцы одной руки (большой и вместе указательный+средний) на естественные выемки под носом (верхняя губа) и под нижней губой (на подбородке).

2. Пальцы второй руки остаются на пупке и не двигаются.

3. Вдыхая через нос, а выдыхая через рот, помассируйте точки речевого центра  пальцами.

4. Поменяйте руки местами. Это необходимо для интеграции левого и правого полушарий и тела.

3. Поясничный отдел «Точки земли». Здесь находится много точек вдоль позвоночника, поэтому это упражнение выполняется всей ладонью.

Выполнение (30 сек):  

1. Как найти точки? Поместите ладонь одной руки (все пальцы вместе) на поясничный отдел (ладонь располагается над естественными впадинками на пояснице). Интенсивно, но аккуратно  растирайте эту область до появления тепла.

2. Пальцы второй руки остаются на пупке и не двигаются.

3. Вдыхая через нос, а выдыхая через рот, разотрите всей ладонью копчик.

4. Поменяйте руки местами. Это необходимо для интеграции левого и правого полушарий и тела.

Как видите, упражнения довольно простые, но они стоят  того, чтобы их делать. опубликовано econet.ru

Походилова Наталья

Кинезиологическая техника «Перекрёстный кроль» — доступ к потенциальным возможностям мозга и тела

P.S. И помните, всего лишь изменяя свое потребление — мы вместе изменяем мир! © econet

Содержание:

1. Центр масс
2. Центр параллельных сил
3. Центр тяжести
4. Центры тяжести некоторых плоских однородных фигур
5. Центр тяжести дуги окружности
6. Центр тяжести кругового сектора
7. Центр тяжести кругового сегмента
8. Центр тяжести треугольника
9. Центр тяжести трапеции
10. Примеры решения задач на тему: Центр масс
11. Способы определения координат центра тяжести тела
12. Метод симметрии
13. Метод разбиения
14. Метод дополнения
15. Экспериментальные способы
16. Центры тяжести некоторых однородных тел
17. Центр тяжести дуги окружности
18. Центр тяжести треугольника
19. Центр тяжести сектора

Центр масс — это геометрическая точка, положение которой определяется распределением массы в теле, а перемещение характеризует движение тела или механической системы как целого.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Центр масс

Центр масс — это некоторое положение, определяемое относительно объекта или системы объектов и это среднее положение всех частей системы, взвешенное в соответствии с их массами.

Центр параллельных сил

Если на тело действует система параллельных сил , ,…, , то точка , через которую проходит равнодействующая этой системы сил, называется центром параллельных сил (рис.9.1).

Координаты центра параллельных сил определяются по зависимостям:

где  — координаты точек приложения сил .

Центр параллельных сил имеет ту особенность, что через него обязательно будет проходить линия действия равнодействующей при вращении линий действия всех сил системы вокруг точек их приложения на один и тот же угол в одну и ту же сторону. Модули сил при вращении не должны меняться.

Центр тяжести

Если твердое тело находится возле поверхности Земли, то на каждую материальную часть этого тела действует сила тяжести­ , которая направлена к центру Земли. Поскольку размеры тела небольшие по сравнению с размерами Земли, то образованную систему сил можно рассматривать как параллельную. Равнодействующая этой параллельной системе сил , которая равна их сумме, называется тяжестью тела, а центр этой системы — точка называется центром тяжести тела (рис.9.2).

Координаты центра тяжести твердого тела можно определить как координаты центра параллельных сил:

где  — сила тяжести элементарной частицы тела;

 — тяжесть тела;

 — координаты центра тяжести;

 — координаты элементарной частицы тела.

Если тело однородное, то есть удельный вес не меняется по объему , то:

где  — объем тела;

 — объем элементарной частицы.

Тогда формулы для определения координат центра тяжести твердого тела приобретут вид:

Положение центра тяжести однородного тела зависит только от формы объема, что занимает тело, и называется центром тяжести этого объема.

Если однородное тело имеет форму тонкой пластины, то его можно рассматривать как материальную плоскую фигуру. В этом случае положение центра тяжести плоской фигуры определяется двумя координатами  и и зависит от формы площади фигуры:

где  — площадь элементарной части плоской фигуры;

 — площадь плоской фигуры.

Центр тяжести однородной пластины называется центром тяжести плоской фигуры.

Если выбранный элементарный объем  (площадь элементарной площадки в плоском случае) направить к нулю, то формулы для вычисления координат центра тяжести приобретут интегральный вид:

а) для однородного твердого тела:

где  — объем тела, интегрирование выполняется по всему объему тела;

б) для однородной поверхности:

где  — площадь поверхности, интегрирование выполняется по всей поверхности тела;

в) для однородной плоской фигуры, лежащей в плоскости xy:

г) для однородной линии:

где  — длина линии, интегрирование выполняется по всей длине линии.

Центры тяжести некоторых плоских однородных фигур

Для упрощения определения центра тяжести используются следующие вспомогательные правилами:

1. Если тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести лежит на этой плоскости.
2. Если тело симметрично относительно оси, то центр тяжести лежит на этой оси.
3. Если тело симметрично относительно точки, то центр тяжести лежит в центре симметрии.
4. Если тело состоит из нескольких частей, центры тяжести которых можно определить, то центр тяжести такого тела находят как центр тяжести нескольких материальных точек, а именно тех, в которых расположены весы каждой отдельной части тела.

Центр тяжести дуги окружности

Центр тяжести дуги окружности  (рис.9.3) лежит на ее оси симметрии и на расстоянии от центра окружности:

где  — радиус окружности;

 — половина центрального угла, опирающегося на дугу .

Центр тяжести кругового сектора

Центр тяжести кругового сектора лежит на оси симметрии и имеет координаты:

где  — радиус окружности;

 — половина центрального угла сектора.

Центр тяжести кругового сегмента

Центр тяжести кругового сегмента лежит на оси симметрии сегмента и имеет координаты:

где  — радиус окружности;

 — половина центрального угла сегмента.

Центр тяжести треугольника

Центр тяжести треугольника (рис. 9.6) лежит в точке пересечения его медиан — на расстоянии 1/3 каждой медианы от соответствующего основания треугольника.

Центр тяжести трапеции

Центр тяжести трапеции (рис.9.7) с основаниями  и  и высотой лежит на прямой , которая соединяет середины основ.

Расстояния  и центра тяжести площади трапеции от ее основ определяются по формулам:

Наиболее распространенный способ определения положения центра тяжести однородного тела сложной формы заключается в том, что его разбивают на такие части, положение центров тяжести которых известно, или может быть легко определено.

Например, однородную плоскую фигуру (рис.9.8) разбивают на три части 1,2 и 3, положения центров тяжести которых, можно определить.

Координаты центра тяжести фигуры определяются по формулам:

где  — координаты центра тяжести первой части плоской фигуры;

 — площадь первой части и т.п.

Этим способом удобно пользоваться и при определении положения центра тяжести плоской фигуры, из которой вырезана некоторая часть (рис.9.9).

В этом случае площадь плоской фигуры можно записать в виде разницы площадей сплошной фигуры 1 (площадь положительная) и вырезанной части 2 (площадь отрицательная), то есть .

Координаты центра тяжести фигуры равны:

где  — координаты центра тяжести сплошной фигуры 1, площадь которой равна ;

 — координаты центра тяжести вырезанной части 2, площадь которой равна — .

Первый из этих методов имеет название «метод разбиения», второй — «метод дополнения», или «метод отрицательных масс». В общем случае формулы для определения центра тяжести плоской фигуры имеют вид:

где  — площадь всей фигуры.

Примеры решения задач на тему: Центр масс

Задача № 1

Найти центр тяжести двутаврового профиля, размеры которого в сантиметрах указаны на рис.9.10.

Решение. Поскольку форма сечения имеет ось симметрии, ось направим вдоль оси симметрии, а ось перпендикулярно ей.

В силу симметричности профиля относительно оси центр тяжести будет лежать на этой оси, то есть

Линиями и поделим профиль на три прямоугольника 1, 2 и 3.

Запишем уравнение для определения абсциссы центра тяжести площади:

где  — абсциссы центров тяжести прямоугольников 1, 2, 3;

 — площади этих прямоугольников.

Поскольку центры тяжести прямоугольников и лежат на пересечении их диагоналей, то (рис.9.10):

Площади этих прямоугольников соответственно равны:

Тогда: 

Таким образом, центр тяжести фигуры лежит в точке с координатами: 

Ответ: 

Задача № 2

Найти координаты центра тяжести поперечного пересечения разностороннего угольника (рис.9.11), полки которого имеют ширину  и толщину

Решение. Разделим пересечение линией на два прямоугольника и , центры тяжести которых лежат на пересечении соответствующих диагоналей.

Запишем формулы для координат  и  центра тяжести пересечения:

где  и  — координаты центров тяжести прямоугольников 1 и 2;

,  — площади прямоугольников 1 и 2.

С рис.9.11 видим, что

Тогда: 

Ответ: 

Задача № 3

Определить положение центра тяжести плоской фигуры (рис.9.12), ограниченной полуокружностью  радиуса и двумя прямыми равной длины и , причем

Решение. Данная площадь имеет ось симметрии, вдоль которой направим ось . Поскольку центр тяжести площади лежит на оси симметрии, то

Разделим площадь линией на две части: полуокружность и равнобедренный треугольник .

Абсцисса центра тяжести площади будет равняться:

где  — координата центра тяжести половины круга ;

 — координата центра тяжести треугольника ;

,  — площади половины круга и треугольника.

Для определения воспользуемся приведенными в разделе 9.3.2 координатами центра тяжести кругового сектора

В случае половины круга 

Площадь половины круга равна:

Центр тяжести треугольника лежит на пересечении его медиан (раздел 9.3.4). Поскольку треугольник равнобедрен, то линия  будет его медианой и расстояние будет равняться третьей части от :

Площадь треугольника равна:

Подставив найденные значения , ,  и  в уравнение для , получим:

Ответ: 

Задача № 4

Найти координаты центра тяжести квадратной пластины с вырезом в виде сегмента радиуса (рис.9.13), если

Решение. Осью симметрии рассматриваемой фигуры будет диагональ прямоугольника

Поэтому направим ось вдоль этой линии, а ось — перпендикулярно (рис.9.13).

Центр тяжести пластины будет лежать на оси , то есть

Площадь фигуры можно представить как разницу площадей квадрата (положительная площадь) и сектора (отрицательная площадь).

Абсцисса центра тяжести фигуры будет равняться:

где  — абсцисса центра тяжести квадрата ;

 — абсцисса центра тяжести сектора ;

 и  — площади квадрата и сектора.

Для квадрата получим:

Как следует из рис. 9.13, равняется

где  — расстояние от точки к центру тяжести кругового сектора .

Для кругового сектора (раздел 9.3.2) получим:

Поскольку  и , то 

Таким образом, абсцисса равняется:

Площадь кругового сектора :

Подставив значение , ,  и  в формулу для , получим:

Ответ:  

Задача № 5

Найти координаты центра тяжести площади, ограниченной (рис.9.14) правой веткой параболы , осью  и прямой

Решение. На расстоянии  от оси выделяем элементарную площадку шириной (заштрихованная область).

Площадь выделенной элементарной площадки будет равняться:

Площадь фигуры, что ограничена заданными линиями:

Поскольку точка представляет собой пересечение параболы и прямой , то 

Отсюда: 

Тогда:

Абсцисса центра тяжести

Для определения координаты выделим элементарную площадку шириной на расстоянии  от оси .

Площадь выделенной площадки:

Ордината центра тяжести:

Тогда: 

Ответ: 

Способы определения координат центра тяжести тела

Существует несколько способов определения координат центра тяжести тел. среди них различают: метод симметрии, метод разбиения и дополнения, экспериментальные способы.

Рассмотрим последовательно эти способы.

Метод симметрии

Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии.

Таким образом, центр тяжести однородных симметричных тел, таких как кольца,
прямоугольные пластины, прямоугольные параллелепипеды, шары и другие тела, которые
имеют центр симметрии, расположенный в геометрических центрах (центры симметрии) этих тел.

Метод разбиения

Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести нетрудно определяется, то координаты центра тяжести всего тела можно определить непосредственно по формулам выше. Причем количество слагаемых в числителе каждого из указанных выражений будет равно количеству частей, на которое разбивается тело.

Приведем пример определения центра тяжести тела методом разбиения его на отдельные тела, центры тяжести которых известны.

Пример:

Определить координаты центра тяжести однородной пластины. Размеры в
мм заданные на рис. 1.64

Решение.

Выберем оси координат x и y. Разбиваем пластину на отдельные прямоугольные части. Для каждого прямоугольника проводим диагонали, точки пересечения которых c₁, c₂ и c₃ соответствуют центрам веса каждого прямоугольника. В принятой системе координат нетрудно получить значение координат этих точек. А именно: c₁ (–1,1), c₂ (1,5), c₃ (5,9). Площади каждого тела соответственно равны: I — s₁ = 4 см²; II — s₂ = 20 см²; III — s₃ = 12 см². Площадь всей пластины равна: S = s₁ + s₂ + s₃ = 36 см².

Для определения координат центра тяжести заданной пластины используем выражение выше. Подставив значения всех известных величин в уравнения, получим

По вычисленным значениям координат центра тяжести пластины можно обозначить точку C на рисунке. Как видим, центр тяжести (геометрическая точка) пластины расположен за ее пределами.

Метод дополнения

Способ, о котором говорится далее, является некоторым случаем способа разбиения. Он может применяться к телам, которые имеют вырезы, полости, причем без учета выреза, или вырезанной части тела положение центра тяжести тела известно. Рассмотрим пример применения такого метода.

Пример. Определить положение центра тяжести круглой пластины радиусом R, имеет круговое отверстие радиуса r (рис. 1.65). Расстояние C₁C₂ = a.

Решение.

Как видно из рисунка, центр тяжести пластины находится на оси симметрии пластины x, то есть на прямой, проходящей через точки C₁ и C₂. Таким образом, для определения положения центра тяжести этой пластины необходимо вычислить только одну координату x_C, поскольку вторая координата y_C равна нулю. Покажем оси координат x, y. Примем, что пластина состоит из двух тел — с полного круга (без учета выреза) и тела,
образовано вырезом. В принятой системе координаты x для указанных тел будут равны: x₁ = 0; x₂ = C₁C₂ = a. Площади тел равны: Общая площадь всего тела будет равна физической разницы между площадями первого и второго тел, а именно
Для определения неизвестной координаты центра тяжести
заданной пластины используем первое уравнение выражения.

Подставив значения всех известных величин в это уравнение, получим

Таким образом, значение координаты x_C отрицательное, а потому, поскольку вторая координата 0 y_C = 0, то центр тяжести пластины C размещен на оси x слева от точки C₁.

Экспериментальные способы

Эти способы нашли широкое применение при отыскании положения центра тяжести тел сложных форм и конфигураций, для которых другие способы почти непригодны вследствие громоздкости и сложности. К таким телам, в первую очередь, следует отнести комбайны, тракторы, сложные сельскохозяйственные машины и орудия. При применении экспериментальных способов отыскания положения
центра тяжести наиболее широко используют метод подвешивания и метод взвешивания тел.

При применении метода подвешивания тело на тросе подвешивают за различные его точки. Направление троса, будет давать каждый раз направление силы веса тела. Тогда точка пересечения этих направлений и дает положение центра тяжести тела.

Использование второго метода — взвешивание требует измерения веса всего тела, а также отдельных его частей. Рассмотрим пример применения этого метода.

Пример.

Определим продольную координату центра тяжести трактора, у которого продольная база составляет l (рис. 1.66).

Решение.

Сначала поставим на платформу весов задние колеса трактора, как это показано на рисунке. Итак, определяем силу давления задних колес на платформу, или реакцию . Аналогично определяем вес переднего моста, или реакцию . Вполне понятно, что сумма этих реакций равна общему весу трактора, а именно:

Q = R_A + R_B.

Теперь составим алгебраическую сумму моментов всех сил относительно точки A. Она равна

Откуда определяем продольную координату центра тяжести:

x_C = .

Для определения поперечной координаты центра тяжести трактора необходимо знать реакции левых колес (переднего и заднего) и правых, а также поперечную базу трактора. Дальше аналогичным выражением определяется эти координаты центра тяжести.

Центры тяжести некоторых однородных тел

Определим далее координаты центров тяжести некоторых простых однородных тел.

Центр тяжести дуги окружности

Рассмотрим дугу AB окружности радиусом R, в которой центральный угол OAB равен 2α (радиан) (рис. 1.67). Покажем оси координат x, y начало которых разместим в точке O. Вследствие того, что дуга имеет ось симметрии Ox, то центр ее тяжести будет расположен именно на этой оси (y_C = 0). Остается только вычислить координату x_C.

Используем для вычисления этой координаты первое уравнение выражения, а именно

Определим составляющие, которые необходимо подставить в это уравнение. Для этого выделим на дуге AB элемент M M₁ длиной dl, равной:

dl = R · dφ.

Если φ — угол, определяющий положение элемента M M₁ на дуге AB, то координата x элемента M M₁ будет равна:

x = Rcosφ.

Общая длина дуги AB равна:

L = 2α · R.

Подставим эти значения в первое уравнение выражения. При этом считается, что интеграл в числителе данного выражения должен быть определенным по всей длине дуги. Будем иметь:

Таким образом, координата x_C будет равняться

x_C = .

Центр тяжести треугольника

Есть произвольный треугольник, вершины которого в принятой системе координат Oxy соответствуют точкам с координатами A₁ (x₁, y₁), A₂ (x₂, y₂), A₃ (x₃, y₃) (рис. 1.68). Если провести прямые, которые будут параллельны основе A₁A₃ и провести их достаточное количество, то вся площадь треугольника будет состоять из полос бесконечно малой ширины, центры тяжести которых будут размещены посередине каждой полосы, а потому и центр тяжести треугольника будет расположенный на его медиане. А если провести линии, параллельные другой стороне треугольника, то и в этом случае центр тяжести будет размещен на соответствующей медиане. Таким образом, совершенно очевидно, что центр тяжести треугольника C будет расположен в точке пересечения его медиан.

Определим координаты этой точки. По курсу аналитической геометрии известно, что точка пересечения медиан треугольника в принятой системе координат определяется такими зависимостями

где x₁, x₂, …, y₃  — координаты вершин треугольника.

Полезно также знать, что

Центр тяжести сектора

Рассмотрим круговой сектор OAB радиуса R, центральный угол которого равен 2α (радиан) (рис. 1.69). Центр тяжести сектора, вполне очевидно, лежит на оси его симметрии, то есть на биссектрисе угла AOB. Эту биссектрису примем за ось x и найдем на этой оси положение центра C. Разобьем площадь сектора на бесконечно большое число элементарных секторов с центральными углами ∆φ.

Будем рассматривать каждый сектор как треугольник с основанием R · ∆φ и высотой R. Центр тяжести каждого треугольника расположен на расстоянии  от центра сектора. Таким образом, центры тяжести всех треугольников расположены на дуге A´B´. Итак, если 0 ∆φ → 0, то центры тяжести образуют дугу AB, тогда необходимо найти центр тяжести дуги A´B´. Используем формулу, по которой определяется центр тяжести дуги окружности радиусом r:

Тогда учитывая, что

Будем иметь

Услуги по теоретической механике:

1. Заказать теоретическую механику
2. Помощь по теоретической механике
3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

1. Статика
2. Система сходящихся сил
3. Момент силы
4. Пара сил
5. Произвольная система сил
6. Плоская произвольная система сил
7. Трение
8. Расчет ферм
9. Расчет усилий в стержнях фермы
10. Пространственная система сил
11. Произвольная пространственная система сил
12. Плоская система сходящихся сил
13. Пространственная система сходящихся сил
14. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
15. Естественный способ задания движения точки
16. Центр параллельных сил
17. Параллельные силы
18. Система произвольно расположенных сил
19. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
20. Кинематика
21. Кинематика твердого тела
22. Движения твердого тела
23. Динамика материальной точки
24. Динамика механической системы
25. Динамика плоского движения твердого тела
26. Динамика относительного движения материальной точки
27. Динамика твердого тела
28. Кинематика простейших движений твердого тела
29. Общее уравнение динамики
30. Работа и мощность силы
31. Обратная задача динамики
32. Поступательное и вращательное движение твердого тела
33. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
34. Сферическое движение твёрдого тела
35. Движение свободного твердого тела
36. Сложное движение твердого тела
37. Сложное движение точки
38. Плоское движение тела
39. Статика твердого тела
40. Равновесие составной конструкции
41. Равновесие с учетом сил трения
42. Колебания материальной точки
43. Относительное движение материальной точки
44. Статические инварианты
45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
46. Динамика системы материальных точек
47. Общие теоремы динамики
48. Теорема об изменении кинетической энергии
49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
50. Потенциальное силовое поле
51. Метод кинетостатики
52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки