Решение на Задание 1074 из ГДЗ по Алгебре за 7 класс: Макарычев Ю.Н.
Условие
Решение 1
Решение 2
Поиск в решебнике
Популярные решебники
Издатель: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, 2013г.
Издатель: А.Г. Мордкович, 2013г.
Издатель: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. 2015г.
Как найти точки пересечения графиков функций — алгоритмы и примеры правила и методики
Существует определенный класс задач по дисциплине «Алгебра и начало анализа», в которых нужно найти точки пересечения графиков функций без их построения. Решать такие задания довольно просто, когда известна определенная методика нахождения координат по оси абсцисс и ординат. Однако для этого необходимо научиться правильно находить корни уравнений различных типов.
Общие сведения
Функция — некоторое выражение, описывающее зависимость между двумя величинами. Следует отметить, что последних может быть несколько. Параметр, который не зависит от других элементов, называется аргументом, а зависимое тождество — значением функции.
Точка пересечения графиков означает, что у системы уравнений существует общее решение. Следует отметить, что для их нахождения можно воспользоваться графическим и аналитическим методом. Первый подразумевает построение графического представления выражения с переменной.
Чтобы найти пересечение графиков функций аналитическим способом, необходимо решить уравнение, корни которого являются искомыми точками. Для их нахождения специалисты рекомендуют получить базовые понятия о равенствах с переменными, а также о методах их решения.
Классификация уравнений
Уравнение — тождество, содержащее неизвестные величины (переменные), которые следует найти при помощи определенного алгоритма. Последний зависит от типа выражений. Тождества классифицируются на несколько типов:
Линейными являются уравнения, содержащие единичную степень, т. е. 2t=4. Квадратные — тождества, у которых переменная возведена в квадрат. Они имеют следующий вид: Pt^2+St+U=0, где Р и S — коэффициенты при неизвестных, а U — свободный член.
Кубическое — уравнение вида Ot^3+Pt^2+St+U=0, где O, Р и S — коэффициенты при переменных, а U — константа. Последний вид — равенства, в которых при переменной присутствует четвертая степень (Nt^4+Ot^3+Pt^2+St+U=0).
Равносильные тождества
При выполнении математических операций каждое выражение может быть заменено на эквивалентное, т. е. равносильное. Иными словами, равносильными называются уравнения, различные по составляющим их элементам, но имеющие одинаковые корни. Следует отметить, что ими являются также выражения, не имеющие решений. Математики выделяют три свойства: симметричность, транзитивность и разложение на множители.
Формулировка первого: когда I уравнение равносильно II, то значит, и II равносильно I. Суть транзитивности состоит в том, что если I равносильно II, а II — III, то значит I эквивалентно III. Второе свойство имеет такую формулировку: произведение двух элементов, содержащих переменные, равное нулевому значению, эквивалентно двум выражениям, которые можно приравнять к 0. Математическая запись утверждения имеет такой вид: R(t)*S(t)=0 .
Математические преобразования
Для решения уравнения необходимо выполнить некоторые математические преобразования. Они должны выполняться грамотно, поскольку любая ошибка приводит к образованию ложных корней. Допустимыми операциями являются следующие:
Специалисты рекомендуют избегать операций, при которых сокращаются неизвестные величины. Следствием этого могут стать ложные корни. Кроме того, делитель не должен иметь значения, при которых его значение равно 0. Последнее условие следует всегда проверять, а при решении ни один корень уравнения не должен соответствовать значению переменной при нахождении окончательных корней.
Иными словами, в выражении (t+2)^2=0 для упрощения можно разделить обе части на (t+2) при условии, что t не равно -2, т. к. [(t+2)^2]/(t+2)=0/(t+2).
Однако при решении (t+2)=0 получается, что t=-2, а это недопустимо. Следовательно, вышеописанный метод не всегда подходит.
Разложение на множители
Для решения уравнений при выполнении математических преобразований могут потребоваться специальные формулы разложения на множители. Их еще называют тождествами сокращенного умножения. К ним относятся следующие:
В некоторых случаях можно воспользоваться сразу двумя соотношениями, т. е. выделить квадрат суммы, а затем из первого — разность квадратов. Выделение первого осуществляется группировкой посредством скобок в выражении, а затем введение положительного и отрицательного элементов, т. е. s^2+4s-5=s^2+4s+4-4-5=(s^2+4s+4)-4-5=(s+2)^2 -9. Для получения всех элементов формулы «p+r)^2=p^2+2pr+r^2» нужно прибавить, а затем отнять 4. При этом значение равенства не изменится, поскольку 4-4=0.
Следует отметить, что математические преобразования выражения (s+2)^2 -9 не заканчиваются, поскольку его можно представить в виде разности квадратов, т. е. (s+2-9)(s+2+9)=(s-7)(s+11). Кроме того, формулы сокращенного умножения рекомендуется применять при понижении степени.
Методики нахождения точек
Чтобы узнать, пересекаются ли графики функций, нужно приравнять соответствующие тождества, а затем решать уравнение. Однако при такой операции могут получиться различные равенства с неизвестными. В этом случае требуется обратить внимание на нижеописанные методики решения для каждого вида.
Первой и второй степени
Уравнение первой степени, или линейное, решается очень просто. Для этого необходимо перенести переменные величины в одну, а известные — в другую сторону. Методика решения имеет следующий вид:
Сложнее решается квадратное уравнение. Существует несколько способов нахождения его корней:
Первый способ применяется довольно часто, поскольку с его помощью можно понижать степень при неизвестной величине. Второй подразумевает выделение квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Чтобы воспользоваться одним из двух методов, необходимо знать соответствующие тождества (правила разложения на множители).
Однако не всегда можно быстро решить квадратное уравнение при помощи первых двух методов. Еще один вариант — нахождение корней через дискриминант (Д), т. е. дополнительный параметр, позволяющий сразу находить решения. Он находится по следующей формуле: Д=(-S)^2 -4PU.
Следует отметить, что при Д>0 переменная принимает два значения, которые превращают равенство в истину. Если Д=0, то корень только один. Когда Д
Учитель физики, информатики и вычислительной техники. Победитель конкурса лучших учителей Российской Федерации в рамках Приоритетного Национального Проекта «Образование».
Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения
Вы будете перенаправлены на Автор24
В практике и в учебниках наиболее распространены нижеперечисленные способы нахождения точки пересечения различных графиков функций.
Первый способ
Первый и самый простой – это воспользоваться тем, что в этой точке координаты будут равны и приравнять графики, а из того что получится можно найти $x$. Затем найденный $x$ подставить в любое из двух уравнений и найти координату игрек.
Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:
Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:
$y=-frac<1> <2>– 2 = — 2frac12$.
Точка пересечения будет $(-frac<1><2>;- 2frac12)$.
Второй способ
Второй способ заключается в том, что составляется система из имеющихся уравнений, путём преобразований одну из координат делают явной, то есть, выражают через другую. После это выражение в приведённой форме подставляется в другое.
Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.
Решение:
Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:
Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:
Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:
$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 — frac<1> <2>= frac<1><2>$.
Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-frac<1><2>; frac<1><2>)$.
Третий способ
Готовые работы на аналогичную тему
Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.
Для применения метода оба графика функций строятся в одном масштабе на одном чертеже, и затем выполняется визуальный поиск точки пересечения.
Данный способ хорош лишь в том случае, когда достаточно приблизительного результата, а также если нет каких-либо данных о закономерностях рассматриваемых зависимостей.
Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.
Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Решение:
Тут всё просто: ищем точки пересечения пунктиров, опущенных с графиков с осями абсцисс и ординат и записываем по порядку. Здесь точка пересечения равна $(2;3)$.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 07.05.2021
http://kupuk.net/uroki/algebra/kak-naiti-tochki-peresecheniia-grafikov-fynkcii-algoritmy-i-primery-pravila-i-metodiki/
http://spravochnick.ru/matematika/kak_nayti_koordinaty_tochek_peresecheniya_grafika_funkcii_primery_resheniya/
Нахождение точки пересечения в осью координат является типовым заданием. Чтобы его решить, нам нужна какая-то функция, пусть её уравнение будет y = ax + b.
Пусть нам нужно найти точку пересечения с осью Ox, тогда решим уравнение ax + b = 0 (то есть мы подставили y = 0).
тогда x = (-b/a), y = 0 => точка пересечения M = (-b/a, 0)
Пусть теперь нам нужно найти точку пересечения с осью Oy, тогда решим уравнение y = a*0 + b (то есть мы подставили x = 0).
тогда y = b, x = 0 => точка пересечения M = (0, b)
В предыдущем уроке мы подробно разобрали,
как построить параболу.
В этом уроке мы разберем, как решать типовые задачи на квадратичную функцию.
Как найти нули квадратичной функции
Запомните!
Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно
в исходную функцию подставить вместо «y» число
ноль.
Рассмотрим задачу.
Найти нули квадратичной
функции «y = x2 − 3».
Подставим в исходную функцию вместо «y» ноль и решим полученное
квадратное уравнение.
0 = x2 − 3
x2 − 3 = 0
x1;2 =
| 0 ± √02 − 4 · 1 · (−3) |
| 2 · 1 |
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 = ±√3
Ответ: нули функции «y = x2 − 3» :
x1 = √3;
x2 = −√3 .
Как найти при каких значениях
«x» квадратичная функция принимает заданное
числовое значение
Запомните!
Чтобы найти при каких значениях «x» квадратичная функция принимает заданное числовое значение,
нужно:
- вместо «y» подставить в функцию заданное числовое значение;
- решить полученное квадратное уравнение относительно «x».
Рассмотрим задачу.
При каких значениях «x» функция
«y = x2 − x − 3» принимает значение
«−3».
Подставим в исходную функцию
«y = x2 − x − 3» вместо «y = −3» и
найдем «x».
y = x2 − x − 3
−3 = x2 − x − 3
x2 − x − 3 = −3
x2 − x − 3 + 3 = 0
x2 − x = 0
x1;2 =
| 1 ± √12 − 4 · 1 · 0 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
x1;2 =
| x1 = | x2 = |
| x1 = | x2 = |
| x1 = 1 | x2 = 0 |
Ответ: при «x = 0» и
«x = 1» функция «y = x2 − x − 3»
принимает значение «y = −3».
Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой
Запомните!
Чтобы найти точки пересечения параболы с прямой нужно:
- приравнять правые части функций (те части функций, в которых содержатся «x»);
- решить полученное уравнение относительно «x»;
- подставить полученные числовые значения «x»
в любую из функций и найти координаты точек по оси «Оy».
Рассмотрим задачу.
Найти координаты точек пересечения параболы «y = x2»
и прямой «y = 3 − 2x».
Приравняем правые части функций и решим
полученное уравнение относительно «x».
x2 = 3 − 2x
x2 − 3 + 2x = 0
x2 + 2x − 3 = 0
x1;2 =
| −2 ± √22 − 4 · 1 · (−3) |
| 2 · 1 |
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
| x1 = | x2 = |
| x1 = | x2 = |
| x1 = 1 | x2 = −3 |
Теперь подставим в любую из заданных функций (например, в
«y = 3 − 2x») полученные
числовые значения «x», чтобы найти координаты
«y» точек пересечения.
1) x = −3
y = 3 − 2x
y(−3) = 3 − 2 · (−3) = 3 − (−6) = 3 + 6 = 9
(·) A (−3; 9) — первая точка пересечения.
2) x = 1
y = 3 − 2x
y(1) = 3 − 2 · 1 = 3 − 2 = 1
(·) B (1; 1) — вторая точка пересечения.
Запишем полученные точки пересечения с их координатами в ответ.
Ответ: точки пересечения параболы
«y = x2»
и прямой «y = 3 − 2x»:
(·) A (−3; 9) и
(·) B (1; 1).
Как определить, принадлежит ли точка графику функции параболы
Запомните!
Чтобы проверить принадлежность точки параболе нет необходимости строить график функции.
Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси
«Ox» вместо
«x», а координату по оси
«Oy» вместо «y») и выполнить арифметические расчеты.
- Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
- Если получится неверное равенство, значит, точка
не принадлежит графику функции.
Рассмотрим задачу:
Не строя графика функции «y = x2», определить, какие точки принадлежат ему:
(·) А(2; 6),
(·) B(−1; 1).
Подставим в функцию
«y = x2»
координаты точки (·) А(2; 6).
y = x2
6 = 22
6 = 4
(неверно)
Значит, точка (·) А(2; 6)
не принадлежит графику функции
«y = x2».
Подставим в функцию
«y = x2»
координаты точки (·) B(−1; 1).
y = x2
1 = (−)12
1 = 1
(верно)
Значит, точка (·) B(−1; 1)
принадлежит графику функции
«y = x2».
Как найти точки пересечения параболы с осями координат
Рассмотрим задачу
Найти координаты точек пересечения параболы
«y = x2 −3x + 2» с осями координат.
Сначала определим точки пересечения функции с осью «Ox».
На графике функции эти точки выглядят так:
Как видно на рисунке выше, координата «y» точек пересечения с осью «Ox»
равна нулю, поэтому подставим «y = 0» в
исходную функцию «y = x2 −3x + 2»
и найдем их координаты по оси «Ox».
0 = x2 −3x + 2
x2 −3x + 2 = 0
x1;2 =
| 3 ± √32 − 4 · 1 · 2 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
| x1 = | x2 = |
| x1 = | x2 = |
| x1 = 2 | x2 = 1 |
Запишем координаты точек пересечения графика с осью «Ox»:
(·) A (2; 0) и
(·) B (1; 0).
Теперь найдем координаты точки пересечения с осью «Oy».
Как видно на рисунке выше, координата «x»
точки пересечения с осью «Oy» равна нулю.
Подставим «x = 0»
в исходную функцию
«y = x2 −3x + 2»
и найдем координату точки по оси
«Oy».
y(0) = 02 − 3 · 0 + 2 = 2
Выпишем координаты полученной точки: (·) C (0; 2)
Запишем в ответ все координаты точек пересечения параболы с осями.
Ответ: точки пересечения с осью «Ox»:
(·) A (2; 0) и
(·) B (1; 0).
С осью «Oy»: (·)C (0; 2).
Как определить при каких значениях x функция принимает
положительные или
отрицательные значения
Напоминаем, что когда в задании говорится «функция принимает
значения» — речь идет о
значениях«y».
Другими словами, необходимо ответить на вопрос: при каких значениях
«x», координата
«y» положительна или отрицательна.
Запомните!
Чтобы по графику функции определить, где функция принимает положительные или отрицательные значения нужно:
- провести прямые через точки в местах, где график пересекает ось «Ox»;
- определить положительные или отрицательные значения принимает функция на промежутках между проведенными прямыми;
- записать ответ для каждого промежутка относительно «x».
Рассмотрим задачу.
С помощью графика квадратичной функции, изображенного на рисунке, ответить:
При каких значениях «x» функция принимает 1) положительные значения; 2) отрицательные значения.
Проведем через точки, где график функции пересекает ось «Ox» прямые.
Определим области, где функция принимает отрицательные или положительные значения.
Подпишем над каждой полученной областью, какие значения принимает
«x» в каждой из выделенных областей.
Ответ: при «x < −1» и
«x > 2» функция принимает отрицательные значения;
при «−1 < x < 2» функция принимает
положительные значения.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
-
Глебка
27 августа, 04:47
+1
2) — 8/x=-2x
-2x^2 = — 8
x^2 = 4
x = + / — 2
y1=-8/2=-4
y2=-8/-2=4
Ответ (2:-4) (-2:4)
4) 6/х+1 = х+2
6/х = х+1
х^2+x = 6
x^2+x-6+0
x1=3; x2=-2
y1=3+2 = 5: y2=-2+2+0
Ответ: (3:5) (-2:0)
- Комментировать
- Жалоба
- Ссылка
-
Найди верный ответ на вопрос ✅ «Не строя графики функции найти координаты точек их пересечения 2) у=-8/х, у=-2 х 4) у=6/х+1, у=х+2 помогите! …» по предмету 📙 Алгебра, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.
Искать другие ответы
Главная » Алгебра » Не строя графики функции найти координаты точек их пересечения 2) у=-8/х, у=-2 х 4) у=6/х+1, у=х+2 помогите!
Вася Иванов
Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.