Как найти точку максимума функции с экспонентой

  Функции с числом е. Друзья! На сайте «Математический тандем» проходит конкурс «Лучший комментатор декабря 2012 года», так что добро пожаловать, будут призы. В данной статье мы с вами рассмотрим задачи, входящие в сотав типовых заданий экзамена по математике, связанные с исследованием функций (где присутствует число е).

Рекомендую вам ещё раз внимательно прочитать статью «Исследование функций. Это нужно знать!» и освежить в памяти изложенную информацию. Не устану повторять, что для того чтобы решать задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения, задачи на нахождение экстремумов, важно понимать свойства производной для исследования функций, знать таблицу производных и правила дифференцирования.

После решения каждой задачи есть разъяснения другого подхода к решению (я обещал вам «хитрости» — они здесь). Рекомендую посмотреть, выглядит график показательной функции.

Рассмотрим задачи:

Найдите наименьшее значение функции у = (х–17)е^х–16 

на отрезке [15;17].

Мы знаем, что для того, чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке, необходимо вычислить её значение на границах заданного интервала и в точках, где производная равна нулю. Действуем по алгоритму:

1. Найдём производную заданной функции:

2. Найдем нули производной на заданном отрезке, то есть приравниваем производную к нулю и вычислим корни уравнения:

*Выражение е^х-16 не равно нулю ни при каких х, так как известно, что показательная функция имеет положительные значения на всей области определения.

3. Определяем принадлежит ли найденная точка интервалу.

Точка х = 16  принадлежит интервалу  [15;17]. Значит значение функции будем вычислять в точках  15, 16 и 17:

*Учтите, что число е ≈ 2,71.  Это нецелое число и неконечная десятичная дробь, поэтому любое выражение с этим числом в подобных задачах на ЕГЭ не является верным ответом, но вы всё равно его проанализируйте. В данной задаче, если мы  –2 разделим на число 2,71  то результат будет лежать в пределах от –1 до 0 (можно посчитать столбиком для проверки).

4. Делаем вывод.

Таким образом, наименьшее значение функции равно  –1.

Ответ: –1

В этой статье  я обещал вам какие-то там «хитрости», которые можно использовать при решении. Если вы поняли теорию производной и знаете, как находить максимальные и минимальные значения, то тогда читайте дальше — представленный приём будет хорошим дополнительным «инструментом» и позволит решать подобные задания мгновенно.

Итак! Мы знаем, что ответом в задачах на ЕГЭ в части В должно быть целое число, либо конечная десятичная дробь.

Посмотрите на данную функцию. Сразу можно сказать, что  значение функции будет являться целым числом только при х = 16 или при х = 17,  и  ни при каких других значениях х. Поэтому достаточно вычислить:

и далее записать ответ.

Ещё один путь решения (без нахождения производной). Сразу подставляем в функцию все целые значения из интервала (их всего три 15, 16 и 17), вычисляем и выбираем наименьшее значение:

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение 

Найдите точку минимума функции у = (х + 18)е^х-18   

1. Найдём производную заданной функции:

2. Найдем нули производной:

Получаем, что х = –19.  

*Выражение е^х-18 не равно нулю ни при каких х, так как известно, что показательная функция имеет положительные значения на всей области определения.

3. Определим знаки производной функции на интервалах (подставляем любые произвольные значения в производную) и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке х = –19 функция меняет знак с отрицательного на положительный, значит это искомая точка минимума.

Ответ: –19 

Как решать быстрее данный тип задач?

Когда мы получили производную и приравняли её к нулю:

(х + 19)е^х–18 = 0

Далее получили, что х=–19. Данное решение и будет являться ответом задачи. 

*То есть, в при решении данного типа задач, можно обойтись без определения знаков производной на интервалах. Но будьте осторожны! В других заданиях на нахождение максимума (минимума), где получите несколько нулей производной, её знаки на интервалах нужно определять обязательно.

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение 

Найдите точку максимума функции у = (3х² – 15х + 15)е^7–х

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Число е^7-х не может быть равно нулю, так как степень положительного числа всегда даст в результате число положительное. 

Решаем  – 3 (х–5)(х–2) = 0.  Получим х₁ = 5  и  х₂ = 2 .

Определим знаки производной функции (подставляя любые значения из интервалов в найденную производную) и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке х = 5 функция меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Ответ: 5

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение 

Найдите наибольшее значение функции у = (22 – х)е^х–21  

на отрезке [16;25].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Число е^х-21 не может быть равно нулю, так как степень положительного числа всегда даст в результате число положительное, значит х = 21.

Полученное значение принадлежит интервалу [16;25].

Вычислим значения данной в условии функции в точках 16, 21  и 25:

*То есть на границах интервала и в точке, где производная обращается в нуль.

Первый результат меньше единицы (это понятно и без вычислений).

Третий результат так же меньше единицы (отрицательное число).

Значит наибольшее значение функции на заданном  интервале равно 1.

*Помните, что ответы с числом е (по требованиеям ЕГЭ) не являются верными.

Ответ: 1

Если у вас всё-таки неразрешимые проблемы с нахождением производной, то подставляйте в исходную функцию все целые значения из интервала и выбирайте наибольшее полученное значение.

*Кроме того, по данной функции сразу видно, что её значение будет целым числом только при х = 21 или при х = 22.

Можете подставить только их в функцию, далее произвести вычисления и выбрать наибольшее значение.

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение 

Найдите наибольшее значение функции у = (2х² – 10х + 10)е ^х

на отрезке [–4; 3].

Необходимо определить значения на границах интервала, и в точках, где производная обращается в нуль.

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Произведение множителей равно нулю, когда какой либо из этих множителей  равен нулю.

Число е^х не может быть равно нулю, так как степень положительного числа всегда даст в результате число положительное.

Значит  решением  являются корни: х₁=0  и  х₂=3

Обе точки принадлежат интервалу [–4;3], х=3 совпадает с границей интервала.

Вычисляем значения функции в точках: – 4, 0 и 3:  

Значит наибольшее значение функции равно 10.

Ответ: 10

*Как вы уже поняли, можно в заданную функцию можно подставить все целые значения х из интервала, и таким образом найти наибольшее значение функции. Но в данном случае придётся перебрать 8 чисел (–4;–3;–2;–1;0;1;2;3).

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение 

Найдите наименьшее значение функции  у = (х + 44)²е^–44–х    

на отрезке  [– 46; –43] 

Найдём производную заданной функции:

Обратите внимание, что результат мы представили сразу в виде множителей, это будет удобно при вычислении нулей производной.

Найдем нули производной:

Решением являются корни:  х₁= – 44   и   х₂= – 42. 

Заданному интервалу [– 46;–43]  принадлежит только точка  х = – 44.

Вычисляем значения функции в точках – 46, – 44 и – 43, то есть на границах интервала и в точке, где производная равна нулю:

Наименьшее значение функции равно 0.

Ответ: 0

*Как это задание решить быстро?

Учитывая, что ответом должно быть целое число, видно что значение данной функции будет целым только при х= – 44 и х= 44.

указанному в условии интервалу принадлежит х= – 44, вычисляем:

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение 

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!

На этом закончим. Всем удачи!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

28 апреля 2012

По определению, показательная функция — это выражение вида y = a^x, где a > 0. Но в задаче B15 встречаются только функции вида y = e^x. В крайнем случае, y = e^{kx + b}. Причина в том, что производные этих функций считаются очень легко:

(e^x)’ = e^x;
(e^{kx + b})’ = k · e^{kx + b}.

Как видите, если в показателе стоит просто переменная x, ничего не меняется. А если там будет линейное выражение вида kx + b, то спереди добавляется множитель k. Эта формула — частный случай производной сложной функции.

Задачи на вычисление наибольшего/наименьшего значения

Все задачи B15 с показательной функцией решаются по стандартной схеме — см. «Общая схема решения задач B15». Но если требуется найти наименьше/наибольшее значение функции, есть одна фишка:

Показатель должен быть равен нулю. Потому что e⁰ = 1 — нормальное число, его можно записать в ответ. В отличие от чисел e¹, e², которые вообще не представимы в виде десятичной дроби.

Данное замечание реально сокращает объем вычислений. Аналогичное правило есть у логарифмов — см. «Как считать логарифмы еще быстрее». И это вполне логично, поскольку логарифмы и показательные функции — родственные объекты.

А теперь разберем конкретные задачи.

Задача. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [−1; 5]:

y = (x² − 5x + 5)e^{x − 3}

Сначала находим производную и раскладываем ее на множители:

y’ = ((x² − 5x + 5)e^{x − 3})’ = … = (x² − 3x)e^{x − 3} = x(x − 3)e^{x − 3}

Затем приравниваем полученное выражение к нулю и находим корни:

x(x − 3)e^{x − 3} = 0;
x₁ = 0; x₂ = 3.

Оба корня принадлежат отрезку [−1; 5]. Итого получаем четыре точки: два корня и два конца отрезка. Осталось вычислить значение функции в этих точках:

y(−1) = ((−1)² − 5 · (−1) + 5)e^{−1 − 3} = … = 11e⁻⁴;
y(0) = (0² − 5 · 0 + 5)e^{0 − 3} = … = 5e⁻³;
y(3) = (3² − 5 · 3 + 5)e^{3 − 3} = … = −1;
y(5) = (5² − 5 · 5 + 5)e^{5 − 3} = … = 5e².

Заметим, что из этих четырех чисел в бланк можно записать только y = −1. Кроме того, это единственное отрицательное число. Следовательно, это число и будет наименьшим.

Задача. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0; 6]:

y = (2x − 7)e^{8 − 2 · x}

Как и в прошлый раз, вычисляем производную функции и раскладываем ее на множители:

y’ = (y = (2x − 7)e^{8 − 2 · x})’ = … = (16 − 4x)e^{8 − 2 · x} = 4(4 − x)e^{8 − 2 · x}

Приравниваем производную к нулю и находим корни:

y’ = 0;
4(4 − x)e^{8 − 2 · x} = 0;
x = 4.

Корень x = 4 принадлежит отрезку [0; 6]. Мы ищем наибольшее значение, поэтому подставляем этот корень, а также концы отрезка в исходную функцию. Имеем:

y(0) = (2 · 0 − 7)e^{8 − 2 · 0} = … = −7e⁸;
y(4) = (2 · 4 − 7)e^{8 − 2 · 4} = … = 1;
y(6) = (2 · 6 − 7)e^{8 − 2 · 6} = … = 5e⁻⁴.

Итак, ответом может быть только число y = 1.

Задачи на вычисление точек максимума/минимума

В задачах на точки максимума/минимума нельзя применять приведенное выше правило, поэтому считаем все по стандартной схеме.

Задача. Найдите точку минимума функции:

y = (x − 12)e^{x − 11}

В первую очередь считаем производную:

y’ = (y = (x − 12)e^{x − 11})’ =
= (x − 12)’ · e^{x − 11} + (x − 12) · (e^{x − 11})’ =
= 1 · e^{x − 11} + (x − 12)e^{x − 11} =
= (1 + x − 12)e^{x − 11} =
= (x − 11)e^{x − 11}

Приравниваем производную к нулю:

y’ = 0;
(x − 11)e^{x − 11} = 0;
x − 11 = 0;
x = 11.

Множитель e^{x − 11} никогда не равен нулю, поэтому мы избавились от него. Осталось начертить координатную ось и расставить знаки производной:

Итак, в точке x = 11 знак производной меняется с минуса на плюс. Считаем всегда в направлении оси — слева направо. Значит, x = 11 — это точка минимума.

Задача. Найдите точку максимума функции:

y = (2x² − 34x + 34)e^{6 − x}

Снова считаем производную:

y’ = ((2x² − 34x + 34)e^{6 − x})’ =
= (2x² − 34x + 34)’ · e^{6 − x} + (2x² − 34x + 34) · (e^{6 − x})’ =
= (4x − 34)e^{6 − x} + (2x² − 34x + 34) · (−1) · e^{6 − x}

Напомню, что производная сложной показательной функции считается по формуле:

(e^{kx + b})’ = k · e^{kx + b};
(e^{6 − x})’ = (−1) · e^{6 − x}.

Производная получилась довольно навороченная. Разложим ее на множители, для этого вынесем e^{6 − x} за скобку. Имеем:

(4x − 34)e^{6 − x} + (2x² − 34x + 34) · (−1) · e^{6 − x} =
= e^{6 − x} · (4x − 34 − 2x² + 34x − 34) =
= e^{6 − x} · (−2x² + 38x − 68)

Приравниваем полученное выражение к нулю:

e^{6 − x} · (−2x² + 38x − 68) = 0;
−2x² + 38x − 68 = 0;
x² − 19x + 34 = 0;
…
x₁ = 17; x₂ = 2.

Множитель e^{6 − x} снова можно безболезненно убрать, поскольку он никогда не равен нулю. Осталось отметить полученные точки и знаки производной на координатной прямой:

Обратите внимание: на рисунке отмечены знаки производной функции: y = e^{6 − x} · (−2x² + 38x − 68) — а вовсе не многочлена x² − 19x + 34, как думают некоторые ученики. В скобках стоит квадратичная функция, ее график — парабола ветвями вниз, поскольку a = −2 < 0.

В точке x = 17 знак производной меняется с плюса на минус. Значит, это точка максимума, что и требовалось найти.

Смотрите также:

1. Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией
2. Специфика работы с логарифмами в задаче B15
3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (легкий)
4. Типичные задачи B12 с функциями
5. Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
6. ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная и уравнение с параметром

Сайты, меню, вход, новости

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

Исследуем знаки производной.

В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

Определим знаки производной.

В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции

Перед нами сложная функция Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции будет при том же , что и точка максимума функции А ее найти легко.

при . В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции .

Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при

Ответ: — 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции

Напомним, что абсцисса — это координата по

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции является и точкой максимума функции

Это вершина квадратичной параболы

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

Найдем знаки производной.

В точке производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции . Поскольку при функция убывает, В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12.

6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

при

Найдем знаки производной.

Точка — точка минимума функции . Точка не лежит на отрезке Поэтому

 и  Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при Найдем это значение.

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

Мы применили формулу для логарифма произведения. при

Если  то  Если , то 

Значит, — точка минимума функции . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке

Ответ: 4.

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции

Приравняем производную к нулю:

. Поскольку если

Найдем знаки производной на отрезке

При знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, — точка максимума функции

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при и

Мы нашли, что

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4.

9. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

Найдем производную функции

если Тогда

 При знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, — точка минимума функции

Ответ: -7.

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

По условию, . На этом отрезке условие выполняется только для Найдем знаки производной слева и справа от точки

В точке производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка — точка максимума функции . Других точек экстремума на отрезке функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке достигается при

Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.  — нет решений.

Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку , получим, что  для всех , и функция монотонно возрастает при

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка , то есть при

Ответ: 6