Как найти точку на шестигранной призме

Проекции точек на поверхностях геометрических тел

Вы уже знаете, как построить проекции предмета или объекта. Часто при изготовлении изделий необходимо по заданным проекциям определить геометрическую форму предметов и их частей. Предмет можно рассматривать как комбинацию различных геометрических элементов: вершин, ребер, граней и т. д.

Укажите количество вершин, ребер и граней изображенного предмета.

Для точного построения изображений ряда деталей необходимо уметь находить проекции отдельных точек. Чтобы построить проекции точки, принадлежащей поверхности геометрического тела, необходимо понять, на какой поверхности или на каком элементе поверхности (ребре, вершине, грани) находится эта точка. Представив любую деталь как совокупность геометрических тел, можно легко найти проекцию точки.

Рассмотрим проекции точки на геометрических телах. Проецирование точек на поверхности цилиндра  Последовательность проецирования точек Заданы фронтальные проекции а″ и b″ точек А и В, лежащие на боковой поверхности цилиндра. Проекция а″ находится на видимой части поверхности цилиндра (на плоскости V показана без скобок), b″ находится на невидимой части поверхности цилиндра (на плоскости V показана в скобках). 1. Находят горизонтальные проекции точек а′ и b′. Так как горизонтальная проекция боковой проекции цилиндра отображается в виде круга, то проекции точек а′ и b′ будут находиться на нем. Для их нахождения проводят вертикальные линии связи из проекций точек а″ и b″ до пересечения с окружностью. 2. Проекции точек а′″ и b′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Направление взгляда на плоскости проекций H, W помогает определить видимость проекций точек на горизонтальной и профильной плоскости проекций. Например, проекции а′ и b′ на плоскости H видны. Проекция а′″ на плоскости W не видна (показана в скобках), проекция b′″ видна (показана без скобок).

Определите, какая из горизонтальных проекций на рисунке является проекцией наглядного изображения головки винта. 

Проецирование точек на поверхности призмы  Последовательность проецирования точек Задана фронтальная проекция а″ точки А, лежащая на боковой поверхности шестигранной призмы. 1. Находят горизонтальную проекцию точки а′. Для ее нахождения проводят вертикальную линию связи из проекции точки а″ до пересечения с шестиугольником (горизонтальная проекция призмы). 2. Проекцию точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Опишите последовательность проецирования точки, находящейся на ребре призмы. Выполните это построение.

Проецирование точек на поверхности пирамиды

Построение проекции точки, лежащей на ребре
Если точка находится на ребре предмета, то сначала необходимо выполнить проекцию ребра, а затем при помощи линий проекционной связи найти проекции точки, лежащей на ребре.

Как вы считаете, можно ли таким способом спроецировать точку, находящуюся не на ребре, а на грани четырехгранной пирамиды? Свои предположения проверьте на практике.

Общий метод определения точки, лежащей на поверхности геометрического тела, заключается в следующем: через точку на поверхности проводят вспомогательную прямую, проекции которой легко определяются на данной поверхности.

Построение проекции точки, лежащей на грани
Задана фронтальная проекция а″ точки А, лежащая на боковой поверхности четырехгранной пирамиды.

Проекции точек можно определить несколькими способами. Рассмотрим каждый из них. 

Способ I. 1. Находят горизонтальную проекцию точки а′: вспомогательной прямой соединяют заданную проекцию точки а″ с проекцией вершины пирамиды s″ и продлевают ее до пересечения с основанием в точке f″. 2. Проводят вертикальную линию связи из проекции f″ до пересечения с основанием на плоскости H в точке f′. 3. Точку f′ соединяют с вершиной пирамиды s′. На нее проводят вертикальную линию связи из проекции а″ до пересечения в точке а′. 4. Проекции точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Способ II. 1. Через проекцию а″ точки А проводят вспомогательную прямую и получают точки пересечения с ребрами пирамиды 1″ и 2″. 2. Опустив из точки 1″ вертикальную линию связи до пересечения с соответствующим ребром на плоскости H, получают горизонтальную проекцию точки 1′. 3. Для нахождения проекции 2′ проводят из точки 1′ вспомогательную прямую, параллельную основанию до пересечения с ребром. 4. Горизонтальную проекцию а′ определяют, опустив вертикальную линию связи из точки а″ до пересечения со вспомогательной прямой 1′2′. 5. Проекцию точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

На ваш взгляд, изменится ли положение проекции точки, если вспомогательную прямую провести не параллельно, а наклонно к горизонтальной плоскости?

Проецирование точек на поверхности конуса. На поверхности конуса проекции точек можно также определить двумя способами. Способ I заключается в определении проекций точки с помощью вспомогательной линии — образующей, расположенной на поверхности конуса и проведенной через точку А. В способе II через точку А проводят вспомогательную плоскость, которая пересечет конус по окружности, расположенной в плоскости, параллельной основанию конуса.

Точка принадлежит
поверхности, если она находится на линии
этой поверхности. План решения задачи
на принадлежность точки поверхности
включает:

• определение
  вида заданной поверхности;

• выбор
  графически простой для построения на
  чертеже линии поверхности, проходящей
  через заданную точку (прямая или
  окружность);

• построение
  проекций этой линии на чертеже;

• построение
  искомых проекций точки.

Для лучшего
представления и понимания эпюр каждой
поверхности сопровождается наглядным
изображением, а стрелкой указывается
направление взгляда (фронтальная
проекция – вид спереди).

Точки и линии на поверхности призмы

Рассмотрим
построение точки и линии на поверхности
прямой призмы.

Т

?

очки и линии на поверхности пирамиды

П

S₂

остроить профильную проекцию
пирамиды и недостающие проекции точки
и прямой.

m₂

В₂

E₂

C₂(G₂)

D₂(F₂)

А₁

В₁

С₁

D₁

E₁

G₁

F₁

S₁

m₁

Т

?

очки и линии на поверхности цилиндра

Построить профильную
проекцию цилиндра и недостающие проекции
точки и прямой.

Т

?

очки и линии на поверхности конуса

Построить профильную
проекцию конуса и недостающие проекции
точки и прямой.

Точки и линии
на поверхности сферы

П

?

остроение проекций точек на сфере
понятно из построения точкиF,
заданной на фронтальной проекции сферы.
Горизонтальная проекцияF₁точкиFнайдена с
помощью параллели, проходящей через
точку F
(F₂).
На горизонтальной проекции радиус
параллелиR_F,
проведенный из центра сферы, пересекается
с линией связи от фронтальной проекцииF₂точки
F. Для построения
профильной проекцииF₃точки F
необходимо замерить координатуyточкиF (у_F).

Построить
недостающие проекции точек и обозначить
их на наглядном изображении.

Точки и линии на поверхности тора

П

?

остроение проекций точек на торе
понятно из построения точкиА
(через параллель с
радиусом R_А),
заданной на фронтальной проекции тора

Построить недостающие
проекции точек и обозначить их на
наглядном изображении.

Лекция
№ 5

СЕЧЕНИЕ
ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОЕЦИРУЮЩИМИ

ПЛОСКОСТЯМИ

1. Сечение
многогранников проецирующими плоскостями
(призма, пирамида). 2. Сечение поверхностей
вращения проецирующими плоскостями
(цилиндр, конус, сфера).

1
СЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ ПРОЕЦИРУЮЩИМИ

ПЛОСКОСТЯМИ

П

?

лоскость пересекает многогранник
по плоским многоугольникам. Для построения
многоугольника необходимо найти его
вершины (точки пересечения плоскости
с ребрами и гранями).

Призма

Пирамида

2
СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ
ПРОЕЦИРУЮЩИМИ ПЛОСКОСТЯМИ

При построении
точек сечения применяется способ
построения точек по принадлежности.

Сечение
цилиндра

Любая плоскость
может пересекать поверхность прямо­го
кругового цилиндра:

по
окружности,
если плоскость
сечения перпендикулярна его обра­зующим
(рис. 63), такоесечение называется
нормальным;
по двум
образующим,
если секущая
плоскость
параллельна оси цилиндра (рис. 64);по эллипсу, если секущая
плоскостьнаклонена
к оси цилиндра и пересе­кает все
его образующие (построить три проекции
цилиндра).

Сечение конуса

Конус
является геометрическим
телом, которое мо­жет
иметь в сечении пять различных фигур:

треугольник,
если
секущая плос­кость
пересекает конус через вершину по
двум образующим (рис. 65, а, б);

окружность,
если секущая
плос­кость
параллельна основанию или перпендикулярна
оси, а конус прямой круговой
(рис. 66);

эллипс,
если
секущая плоскость пересекает
все образующие конуса под
некоторым углом к основанию конуса
(рис. 67);

параболу,
если
секущая плоскость параллельна
одной из образующих конуса
(рис. 68);

гиперболу,
если секущая
плоскость параллельна
оси конуса или парал­лельна
двум его образующим (рис. 69).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

9 декабря, 2013 Анна Веселова

Понравился материал? Подпишись на обновления!

Вы можете пропустить чтение записи и оставить комментарий. Размещение ссылок запрещено.

1.  Система координат в пространстве.

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси х, y и z . Выберем масштаб.

Получилась система координат в трехмерном пространстве.

Каждая точка характеризуется тремя числами — координатами по x, y и z.  Запись M(−1;
3;
2)
означает,
что координата точки M по
x (абсцисса) равна −1, координата
по y (ордината) равна 3, а координата по z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости.

 Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами
x, y и z:

ﺂ؟(xa; ya; za)

Чтобы найти
координаты
вектора, так же, как и на плоскости,  из
координаты конца надо вычесть координату начала.

1. 

    
2.  

   
Если   точка M – середина отрезка AB,
то ее координаты находятся по формуле:

    
3.          

     4.  – сумма векторов.        

    
5. – разность векторов.

    
6.  – произведение вектора на число.

  7.  — скалярное произведение векторов

  8.  – косинус угла между
векторами.

  2. Введение системы координат.

Метод
координат – это, конечно, очень хорошо, но в настоящих задачах C2
никаких координат и векторов нет, поэтому их надо вводить.

Самое
замечательное свойство заключается в том, что не имеет никакого значения как
именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и
ответ будет правильным.

2.1
Координаты куба.

          
Система координат вводится очень просто:

1.    Начало
координат – в точке A

2.    Если
ребро куба не указано, то принимаем его за единичный отрезок;

3.    Ось
x
направляем по ребру АВ,  у – по ребру АD, а
ось z
– по ребру AA_{1 .}

                                                             Теперь
у каждой вершины куба есть координаты:

                                                    
A
(0; 0; 0),     B (1; 0; 0),     C
(1; 1; 0),     D (0; 1; 0),

                                                    
A₁  (0; 0;1)      B
(1; 0; 1)      C₁
(1; 1; 1),    D₁
(0; 1; 1).

2.2 Координаты
правильной треугольной призмы

 A
(1; 0; 0),    B,     C
(0; 0; 0),    A₁ (1;
0; 1),     B₁ ,     C₁ (0; 0; 1).

2.3
Координаты правильной шестиугольной призмы

                      
,                  ,                     ,                 ,               
,                        ,                  ,                

                     
,                      ,               ,                 
,                       .

    2.4 Координаты
правильной четырехугольной пирамиды

 Введем
систему координат с началом в точке А

A (0; 0; 0),  B (1;
0; 0),  C (1; 1; 0),  D (0; 1; 0),  H (0,5;
0,5; 0).

Найдем
координаты точки S. Рассмотрим треугольники ASH  и ABH

1.    AS = AB =
1 по условию;

2.    Угол AHS = AHB =
90°, поскольку SH — высота, а AH ⊥ HB как диагонали
квадрата;

3.    Сторона AH — общая.

Следовательно,
прямоугольные треугольники ASH и ABH равны по одному
катету и гипотенузе. Значит, SH = BH =
0,5 · BD. Но BD — диагональ квадрата
со стороной 1. Поэтому имеем:

Итак,
координаты точки S:

Рассмотрим
случай, если боковые ребра пирамиды не равны ребрам основания. 
В этом случае рассмотрим треугольник AHS:

Треугольник AHS — прямоугольный,
причем гипотенуза AS — это одновременно и боковое
ребро исходной пирамиды SABCD. Катет: AH =
0,5 · AC. Оставшийся катет SH найдем по теореме
Пифагора. Это и будет координата z для
точки S.

3.    Матрицы и
определители второго и третьего порядка.

Определение:
Таблица, составленная из четырёх чисел называется
квадратной матрицей второго порядка. Числа называют
элементами матрицы.

Определение:  
Число  ∆ называется определителем или детерминантом матрицы.

∆=

Определитель третьего порядка можно вычислить так:

 4.   Метод
координат в пространстве

4.1   Угол 
между прямыми.

Вычисление
направляющих векторов для прямых.

В задаче С2
прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть
вектор с началом и концом в этих точках, получим направляющий вектор для
прямой.

 

α-угол
между прямыми

3.1 Угол
между двумя прямыми – это угол между их направляющими векторами.

Задача 1.

В единичном
кубе ABCDA₁B₁C₁D₁
найдите угол между прямыми AE  и BF, где E –
середина ребра A₁B₁,
где Е – середина ребра А₁В₁ а F –
середина ребра B₁C_1.

  Решение
(1 способ)

K—
середина A₁D₁ AK║BF
угол KAE = φ

По теореме
Пифагора

По
теореме косинусов для  ∆ AKE

KE² = AE²
+ AK²
— 2 * AE
*AK
* cos φ

cos φ=0,8   
φ=arccos0.8

Решение
(2 способ)

С
помощью векторов и координат легко найти угол  между прямыми.

 А
если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью, то
для этого нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

4.2   
Плоскость в пространстве задается уравнением.

   Ax+By+Cz+D=0,

где A,
B
и С – координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют
нормалью к плоскости.

Чтобы
написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек.
Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Напишем
уравнение плоскости, проходящей через точки M (1;
0; 1), N(2;
-2; 0) и К (4; 1; 2)

Уравнение
плоскости выглядит так:

Ax+By+Cz+D=0

Получим
систему из трех уравнений:

В ней
четыре неизвестных: A, B,
С и D. 
Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило –
простое вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

 
Решив систему, получим:

A=-    B=-    C=

Уравнение
плоскости MNK имеет вид:

Умножим
обе части уравнения на -3. Тогда коэффициенты станут целыми:

x+4y+7z+6-0

Вектор
(1; 4; -7) – это нормаль к плоскости MNK.

Если 
плоскость проходит через начало координат, то D=0
(так как D≠0 не позволит получить верное числовое
равенство).

 Уравнение
плоскости,  проходящей, через заданную точку имеет
вид:

Уравнение плоскости можно составить и с помощью определителя третьего
порядка :

Пусть имеем точки

,

Тогда уравнение плоскости, проходящей через эти
три точки ,будет  иметь вид:

=0

4.3  
Угол между плоскостями равен углу между нормалями к
этим плоскостям:

cos φ=

При
пересечении двух плоскостей образуется четыре угла . Мы
берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения –
чтобы косинус угла был неотрицателен.

Задача
2

 В кубе ABCDA1B1C1D1  точки E и F с
середины ребер соответственно A1B1 и

A1D1. Найдите косинус угла между плоскостями AEF и BDD1.

 Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы
строить пересечения. Но координатный метод значительно всё
упрощает.  Достаточно отметить координаты нужных точек и найти
угол между нормалями
к плоскостям
AEF и BDD1.

A(0;
0; 0),     C(1; 1; 0)

Сначала
– нормаль к плоскости BDD₁.
Мы можем подставить координаты точек B, D
и D₁ в уравнение плоскости и найти координаты 
вектора нормали. А можно увидеть нужную нормаль  на чертеже. Ведь плоскость BDD₁ – это диагональное сечение куба. Вектор  перпендикулярен этой плоскости.

Итак,
первый вектор нормали у нас  уже есть:

Напишем
уравнение плоскости AEF.

A  E  F

Составим уравнение плоскости:

  

Уравнение
плоскости AEF: 2x+2y—z=0

Нормаль
к плоскости AEF: (2;
2; -1)

Найдем
угол между плоскостями:                             

4.4   
Угол между прямой и плоскостью

Задача
3.

В
правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все
ребра которой равны 1, найдите угол между прямой DE, где E-середина
апофемы SF
грани  ASB
грани и плоскостью ASC

        

     

OB —
вектор нормали плоскости ASC

DE —
направляющий вектор прямой

OB —   — вектор нормали
плоскости ASC

DE —  — вектор направляющей
вектор прямой DE

Ответ:

4.5  
Расстояние от точки до плоскости

Задача
4

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁
, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки E
до прямой B₁C₁.

Решение
(1 способ)

1) Рассмотрим ΔCDE:

по теореме косинусов:

СЕ² = 2СD²
 — 2CD² cos120° = 2 + 2*1/2 = 3 =>

CE =

2) Рассмотрим ΔС₁СЕ: он
прямоугольный, т.к. С₁С перпендикулярна плоскости нижнего основания
=> CC₁
перпендикулярна СЕ.

По теореме Пифагора:

С₁Е²  = ()² + 1²
= 4, С₁Е = 2

3) Рассмотрим ΔBCE:
он прямоугольный , т.к. 120° — 60°:2 = 90° (из ΔCDE)

ВЕ² = ()² + 1²
= 4, ВЕ = 2

4) Рассмотрим ΔВВ₁Е: он прямоугольный,
т.к. ВВ₁ перпендикулярна ВЕ,

по теореме Пифагора:

В₁Е² = В₁В²
+ ВЕ²  = 4 + 1 = 5, ВЕ =

5) Рассмотрим ΔВ₁С₁Е:

С₁Е = 2, С₁В₁
= 1, В₁Е = , т.е. 2² + 1²
= ()². Таким образом,
по теореме обратной теореме Пифагора, ΔВ₁С₁Е –
прямоугольный, угол В₁С₁Е = 90°

6) Искомое расстояние от точки  Е до прямой В₁С₁
– это длина С₁Е = 2

2
способ

1) 
Поместим призму в прямоугольную систему координат, расположив координатные оси,
как показано на рисунке. СС₁, СВ и СЕ попарно перпендикулярны,
поэтому можно направить вдоль них координатные оси. Получаем координаты:

С₁ (0;0;1),
Е (;0;0), В₁ (0;1;1)

2) Найдем координаты
векторов С₁В₁ и С₁Е:

С₁В₁
(0;1;0), С₁Е (;0;-1).

3) Найдем косинус угла
между С₁В₁ и С₁Е, используя скалярное
произведение векторов С₁В₁ и С₁Е:

cosβ =   = 0  => β
= 90° => C₁E
– искомое расстояние.

4) С₁Е =  =2

4.6       Расстояние между скрещивающимися прямыми

в пространстве — это длина их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых — отрезок с
концами на этих прямых, перпендикулярный обеим этим прямым.

     
Если прямые в пространстве пересекаются, расстояние между ними считается равным
0.

Пусть есть не
пересекающиеся в пространстве прямые a и b.

Построим плоскости α и β так, чтобы эти плоскости были
параллельны, плоскость α содержала в себе прямую a, плоскость β содержала в себе прямую b.

       Расстоянием между прямыми a и b будет расстояние между плоскостями α и β.

Введение системы координат

30 мая 2011

Метод координат — это, конечно, очень хорошо, но в настоящих задачах C2 никаких координат и векторов нет. Поэтому их придется вводить. Да-да, вот так взять и ввести: указать начало отсчета, единичный отрезок и направление осей x, y и z.

Самое замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.

Тем не менее, приведу некоторые рекомендации, как лучше ввести систему координат для самых часто встречающихся в задаче C2 многогранников. С указанием конкретных точек. Во всех случаях упор делается на минимизацию объема вычислений.

Координаты куба

Если в задаче C2 будет куб — считайте, что вам повезло. Это самый простой многогранник, все двугранные углы которого равны 90°.

Система координат также вводится очень просто:

1. Начало координат — в точке A;
2. Чаще всего ребро куба не указано, поэтому принимаем его за единичный отрезок;
3. Ось x направляем по ребру AB, y — по ребру AD, а ось z — по ребру AA₁.

Обратите внимание: ось z направляется вверх! После двумерной системы координат это несколько непривычно, но на самом деле очень логично.

Итак, теперь у каждой вершины куба есть координаты. Соберем их в таблицу — отдельно для нижней плоскости куба:

Точка	A	B	C	D
Координаты	(0; 0; 0)	(1; 0; 0)	(1; 1; 0)	(0; 1; 0)

И для верхней:

Точка	A1	B1	C1	D1
Координаты	(0; 0; 1)	(1; 0; 1)	(1; 1; 1)	(0; 1; 1)

Несложно заметить, что точки верхней плоскости отличаются соответствующих точек нижней только координатой z. Например, B = (1; 0; 0), B₁ = (1; 0; 1). Главное — не запутаться!

Координаты трехгранной призмы

Призма — это уже намного веселее. При правильном подходе достаточно знать координаты только нижнего основания — верхнее будет считаться автоматически.

В задачах C2 встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы, в основании которых лежит правильный треугольник). Для них система координат вводится почти так же, как и для куба. Кстати, если кто не в курсе, куб — это тоже призма, только четырехгранная.

Итак, поехали! Вводим систему координат:

1. Начало координат — в точке A;
2. Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;
3. Ось x направляем по ребру AB, z — по ребру AA₁, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

Здесь требуются некоторые пояснения. Дело в том, что ось y НЕ совпадает с ребром AC, как многие считают. А почему не совпадает? Подумайте сами: треугольник ABC — равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому сверху картинка будет выглядеть так:

Надеюсь, теперь понятно, почему ось y не пойдет вдоль AC. Проведем в этом треугольнике высоту CH. Треугольник ACH — прямоугольный, причем AC = 1, поэтому AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 · sin A = sin 60°. Эти факты нужны для вычисления координат точки C.

Теперь взглянем на всю призму вместе с построенной системой координат:

Получаем следующие координаты точек:

Как видим, точки верхнего основания призмы снова отличаются от соответствующих точек нижнего лишь координатой z. Основная проблема — это точки C и C₁. У них есть иррациональные координаты, которые надо просто запомнить. Ну, или понять, откуда они возникают.

Координаты шестигранной призмы

Шестигранная призма — это «клонированная» трехгранная. Можно понять, как это происходит, если взглянуть на нижнее основание — обозначим его ABCDEF. Проведем дополнительные построения: отрезки AD, BE и CF. Получилось шесть треугольников, каждый из которых (например, треугольник ABO) является основанием для трехгранной призмы.

Теперь введем собственно систему координат. Начало координат — точку O — поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось x пойдет вдоль FC, а ось y — через середины отрезков AB и DE. Получим такую картинку:

Обратите внимание: начало координат НЕ совпадает с вершиной многогранника! На самом деле, при решении настоящих задач вы обнаружите, что это очень удобно, поскольку позволяет значительно уменьшить объем вычислений.

Осталось добавить ось z. По традиции, проводим ее перпендикулярно плоскости OXY и направляем вертикально вверх. Получим итоговую картинку:

Запишем теперь координаты точек. Предположим, что все ребра нашей правильной шестигранной призмы равны 1. Итак, координаты нижнего основания:

Координаты верхнего основания сдвинуты на единицу по оси z:

Координаты четырехугольной пирамиды

Пирамида — это вообще очень сурово. Мы разберем только самый простой случай — правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны единице. Однако в настоящих задачах C2 длины ребер могут отличаться, поэтому ниже приведена и общая схема вычисления координат.

Итак, правильная четырехугольная пирамида. Это такая же, как у Хеопса, только чуть поменьше. Обозначим ее SABCD, где S — вершина. Введем систему координат: начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y — вдоль AD, а ось z — вверх, перпендикулярно плоскости OXY. Для дальнейших вычислений нам потребуется высота SH — вот и построим ее. Получим следующую картинку:

Теперь найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы возникают с точкой S. Поскольку SH — высота к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь координатой z. Собственно, длина отрезка SH — это и есть координата z для точки S, поскольку H = (0,5; 0,5; 0).

Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC — общая). Следовательно, SH = BH. Но BH — половина диагонали квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:

Вот и все с координатами пирамиды. Но не с координатами вообще. Мы рассмотрели лишь самые распространенные многогранники, однако этих примеров достаточно, чтобы самостоятельно вычислить координаты любых других фигур. Поэтому можно приступать, собственно, к методам решения конкретных задач C2.

Смотрите также:

1. Четырехугольная пирамида в задаче C2
2. Метод координат в пространстве
3. Сложение и вычитание дробей
4. Не пишите единицы измерения в задаче B12
5. Как решать простейшие логарифмические уравнения
6. Задача B4: транзит нефти