Как найти точку окружности по заданному числу

Числовая окружность

В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, (frac<π><2>, frac<π><3>, frac<7π><4>, 10π, -frac<29π><6>)) разбирается в этой статье .

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют действительным числам , расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки — положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (t);

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (–t).

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен (1). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках (1) и (-1).

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы (l=2πR) мы получим:

Длина числовой окружности равна (2π) или примерно (6,28).

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» — точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности — каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте (1) на оси (x) и (0) на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам (1), (2) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен (1)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу (2), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы (3) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: (2π). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа (π) : ( frac<π><2>),(-frac<π><2>),(frac<3π><2>), (2π). Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с (π). Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в этой статье ).

Главное свойство числовой окружности

Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.

Такая вот математическая полигамия.

И следствие из этого правила:

Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:

Если хотите узнать логику этой формулы, и зачем она нужна, посмотрите это видео .

В данной статье мы рассмотрели только теорию о числовой окружности, о том как расставляются точки на числовой и окружности и принципе, как с ней работать вы можете прочитать здесь .

Что надо запомнить про числовую окружность:

Урок «Числовая окружность»

Краткое описание документа:

Видеоуроки относятся к наиболее эффективным средствам обучения, особенно таких школьных дисциплин, как математика. Поэтому автор данного материала собрал в единое целое только полезную, важную и грамотную информацию.

Данный урок рассчитан на 11:52 минут. Практически столько же времени требуется учителю на уроке для объяснения нового материала по данной теме. Хотя главным достоинством видеоурока будет тот факт, что обучающиеся будут внимательно слушать то, о чем говорит автор, не отвлекаясь на посторонние темы и разговоры. Ведь если обучающиеся будут слушать не внимательно, то упустят важный момент урока. А если материал будет объяснять учитель сам, то его обучающиеся смогут легко отвлечь от главного своими разговорами на отвлеченные темы. И, конечно, становится понятно, какой способ будет боле рационален.

Начало урока автор посвящает повторению тех функций, с которыми обучающиеся знакомились ранее в курсе алгебры. И первыми предлагается начать изучать – тригонометрические функции. Чтобы их рассматривать и изучать требуется новая математическая модель. И этой моделью становится числовая окружность, которая, как раз, и заявлена в теме урока. Для этого вводится понятие единичной окружности, задается ее определение. Далее на рисунке автор показывает все компоненты такой окружности, и что пригодится обучающимся для дальнейшего обучения. Дугами обозначаются четверти.

Затем автор предлагает рассмотреть числовую окружность. Здесь же он делает замечание, что удобнее использовать единичную окружность. На этой окружности показано, как получается точка M, если t>0, t 0(тэ больше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины t. Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).

Единичная числовая окружность на координатной плоскости

п.1. Понятие тригонометрии

Тригонометрия берёт своё начало в Древней Греции. Само слово «тригонометрия» по-гречески означает «измерение треугольников». Эта наука в течение тысячелетий используется землемерами, архитекторами и астрономами.
Начиная с Нового времени, тригонометрия заняла прочное место в физике, в частности, при описании периодических процессов. Например, переменный ток в розетке генерируется в периодическом процессе. Поэтому любой электрический или электронный прибор у вас в доме: компьютер, смартфон, микроволновка и т.п., — спроектирован с использованием тригонометрии.

Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.

п.2. Числовая окружность

Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

Числовая окружность (тригонометрический круг) – это окружность единичного радиуса R=1 с центром в начале координат (0;0). Точка с координатами (1;0) является началом отсчета , ей соответствует угол, равный 0. Углы на числовой окружности отсчитываются против часовой стрелки. Направление движения против часовой стрелки является положительным ; по часовой стрелке – отрицательным .

Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90°, –120°, –180°.

п.3. Градусная и радианная мера угла

Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

Найдем радианную меру прямого угла ∠AOB=90°. Построим окружность произвольного радиуса r с центром в вершине угла – точке O. Длина этой окружности: L=2πr. Длина дуги AB: (l_=frac<4>=frac<2pi r><4>=frac<pi r><2>.) Тогда радианная мера угла: $$ angle AOB=frac>=frac<pi r><2cdot r>=frac<pi> <2>$$

30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°
(frac<pi><6>)	(frac<pi><4>)	(frac<pi><3>)	(frac<pi><2>)	(frac<2pi><3>)	(frac<3pi><4>)	(frac<5pi><6>)	(pi)	(frac<3pi><2>)	(2pi)

п.4. Свойства точки на числовой окружности

Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

Каждому действительному числу t на числовой окружности соответствует точка Μ(t). При t=0, M(0)=A. При t>0 двигаемся по окружности против часовой стрелки, описывая дугу ⌒ AM=t. Точка M — искомая. При t Например:

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac<pi><6>, frac<pi><4>, frac<pi><2>, frac<2pi><3>, pi), а также (-frac<pi><6>, -frac<pi><4>, -frac<pi><2>, -frac<2pi><3>, -pi) Для этого нужно отложить углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180° и –30°, –45°, –90°, –120°, –180° с вершиной в начале координат и отметить соответствующие дуги на числовой окружности.

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие (frac<pi><6>, frac<13pi><6>, frac<25pi><6>), и (-frac<11pi><6>). Все четыре точки совпадают, т.к. begin Mleft(frac<pi><6>right)=Mleft(frac<pi><6>+2pi kright)\ frac<pi><6>-2pi=-frac<11pi><6>\ frac<pi><6>+2pi=frac<13pi><6>\ frac<pi><6>+4pi=frac<25pi> <6>end

п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

Числовой промежуток	Соответствующая дуга числовой окружности
Отрезок
$$ -frac<pi> <6>lt t lt frac<pi> <3>$$ а также, с учетом периода $$ -frac<pi><6>+2pi klt tltfrac<pi><3>+2pi k $$
Интервал
$$ -frac<pi> <6>leq t leq frac<pi> <3>$$ а также, с учетом периода $$ -frac<pi><6>+2pi kleq tleqfrac<pi><3>+2pi k $$
Полуинтервал
$$ -frac<pi> <6>leq t ltfrac<pi> <3>$$ а также, с учетом периода $$ -frac<pi><6>+2pi kleq tltfrac<pi><3>+2pi k $$

п.6. Примеры

Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: begin BE=30^<circ>=frac<pi><6>.\ EC=60^<circ>=frac<pi><3>.\ AE=EC+CD=90^<circ>+30^<circ>=120^<circ>=frac<2pi><3>.\ ED=EC+CD=60^<circ>+90^<circ>=150^<circ>=frac<5pi><6>. end

Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac<pi><2>; frac<3pi><4>; frac<7pi><6>; frac<7pi><4>).

Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. begin -frac<pi><2>=-90^<circ>, frac<3pi><4>=135^<circ>\ frac<7pi><6>=210^<circ>, frac<7pi><4>=315^ <circ>end

Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: (-frac<11pi><2>; 5pi; frac<17pi><6>; frac<27pi><4>).

Выделяем из дроби целую часть, отнимаем/прибавляем один или больше полных оборотов (2πk — четное количество π), чтобы попасть в промежуток от 0 до 2π. Далее – действуем, как в примере 2. begin -frac<11pi><2>=frac<-12+1><2>cdotpi=-6pi+frac<pi><2>rightarrow frac<pi><2>=90^<circ>\ 5pi=4pi+pirightarrow pi=180^<circ>\ frac<17pi><6>=frac<18-1><6>pi=3pi-frac<pi><6>rightarrow pi-frac<pi><6>=frac<5pi><6>\ frac<27pi><4>=frac<28-1><4>pi=7pi-frac<pi><4>rightarrow pi-frac<pi><4>=frac<3pi> <4>end

Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

Сравниваем каждое число с границами четвертей: begin 0, fracpi2approxfrac<3,14><2>=1,57, piapprox 3,14\ 3pi 3cdot 3,14\ frac<3pi><2>approx frac<3cdot 3,14><2>=4,71, 2piapprox 6,28 end

(fracpi2lt 2lt pi Rightarrow ) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
(pilt 4lt frac<3pi> <2>Rightarrow ) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
(frac<3pi><2>lt 5lt 2pi Rightarrow ) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
(7gt 2pi), отнимаем полный оборот: (0lt 7-2pilt fracpi2Rightarrow) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек ((kinmathbb)), запишите количество полученных базовых точек.

Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, (frac{π}{2}, frac{π}{3}, frac{7π}{4}, 10π, -frac{29π}{6})) разбирается в этой статье.

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен (1). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках (1) и (-1).

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы (l=2πR) мы получим:

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» — точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности — каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте (1) на оси (x) и (0) на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам (1), (2) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен (1)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

                                                                  

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу (2), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы (3) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: (2π). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа (π): ( frac{π}{2}),(-frac{π}{2}),(frac{3π}{2}),(2π). Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с (π). Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в этой статье).

Главное свойство числовой окружности

Такая вот математическая полигамия.

И следствие из этого правила:

Если хотите узнать логику этой формулы, и зачем она нужна, посмотрите это видео.

В данной статье мы рассмотрели только теорию о числовой окружности, о том как расставляются точки на числовой и окружности и принципе, как с ней работать вы можете прочитать здесь.

Что надо запомнить про числовую окружность:

Смотрите также: 
Числовая окружность (шпаргалка)
Тригонометрическая таблица с кругом

Единичная числовая окружность на координатной плоскости

В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, (frac<π><2>, frac<π><3>, frac<7π><4>, 10π, -frac<29π><6>)) разбирается в этой статье .

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют действительным числам , расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки — положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (t);

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (–t).

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен (1). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках (1) и (-1).

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы (l=2πR) мы получим:

Длина числовой окружности равна (2π) или примерно (6,28).

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» — точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности — каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте (1) на оси (x) и (0) на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам (1), (2) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен (1)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу (2), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы (3) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: (2π). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа (π) : ( frac<π><2>),(-frac<π><2>),(frac<3π><2>), (2π). Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с (π). Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в этой статье ).

Главное свойство числовой окружности

Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.

Такая вот математическая полигамия.

И следствие из этого правила:

Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:

Если хотите узнать логику этой формулы, и зачем она нужна, посмотрите это видео .

В данной статье мы рассмотрели только теорию о числовой окружности, о том как расставляются точки на числовой и окружности и принципе, как с ней работать вы можете прочитать здесь .

Числовая окружность – это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.

Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.

Общий вид числовой окружности.

1) Ее радиус принимается за единицу измерения.

2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти (см.рисунок). Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.

3) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А – это крайняя правая точка.
Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B – это крайняя верхняя точка.
Соответственно:

первая четверть – это дуга AB

вторая четверть – дуга BC

третья четверть – дуга CD

четвертая четверть – дуга DA

4) Начальная точка числовой окружности – точка А.

Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.
Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением.
Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением.

Числовая окружность на координатной плоскости.

Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0).

Горизонтальный диаметр соответствует оси x, вертикальный – оси y.

Начальная точка А числовой окружности находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

Значения x и y в четвертях числовой окружности:

x 0, y Основные величины числовой окружности:

Величина
в радианах

Величина
в радиусах

Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:

Как запомнить имена числовой окружности.

Есть несколько простых закономерностей, которые помогут вам легко запомнить основные имена числовой окружности.

Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2π) против часовой стрелки.

1) Начнем с крайних точек на осях координат.

Начальная точка – это 2π (крайняя правая точка на оси х, равная 1).

Как вы знаете, 2π – это длина окружности. Значит, половина окружности – это 1π или π. Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х, равная -1, называется π.

Крайняя верхняя точка на оси у, равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность – это π, то половина полуокружности – это π/2.

Одновременно π/2 – это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей – и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у, равной -1. Но если она включает три четверти – значит имя ей 3π/2.

2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый числитель – причем это противоположные точки и относительно оси у, и относительно центра осей, и относительно оси х. Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки.

Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: π/6, π/4 и π/3. И тогда мы «увидим» некоторые закономерности:

— Относительно оси у в точках второй четверти, противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше величины знаменателей. К примеру, возьмем точку π/6. Противоположная ей точка относительно оси у тоже в знаменателе имеет 6, а в числителе 5 (на 1 меньше). То есть имя этой точки: 5π/6. Точка, противоположная π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе 3 (на 1 меньше, чем 4) – то есть это точка 3π/4.
Точка, противоположная π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе на 1 меньше: 2π/3.

— Относительно центра осей координат все наоборот: числа в числителях противоположных точек (в третьей четверти) на 1 больше значения знаменателей. Возьмем опять точку π/6. Противоположная ей относительно центра точка тоже имеет в знаменателе 6, а в числителе число на 1 больше – то есть это 7π/6.

Точка, противоположная точке π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе число на 1 больше: 5π/4.
Точка, противоположная точке π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе число на 1 больше: 4π/3.

— Относительно оси х (четвертая четверть) дело посложнее. Здесь надо к величине знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше – эта сумма и будет равна числовой части числителя противоположной точки. Начнем опять с π/6. Прибавим к величине знаменателя, равной 6, число, которое на 1 меньше этого числа – то есть 5. Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположная ей относительно оси х точка будет иметь в знаменателе 6, а в числителе 11 – то есть 11π/6.

Точка π/4. Прибавляем к величине знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит, противоположная ей относительно оси х точка имеет в знаменателе 4, а в числителе 7 – то есть 7π/4.
Точка π/3. Знаменатель равен 3. Прибавляем к 3 на единицу меньшее число – то есть 2. Получаем 5. Значит, противоположная ей точка имеет в числителе 5 – и это точка 5π/3.

3) Еще одна закономерность для точек середин четвертей. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители. Числитель середины первой четверти – это 1π (но 1 не принято писать). Числитель середины второй четверти – это 3π. Числитель середины третьей четверти – это 5π. Числитель середины четвертой четверти – это 7π. Получается, что в числителях середин четвертей – четыре первых нечетных числа в порядке их возрастания:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Это тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, то мы уже знаем их полные имена: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Особенности числовой окружности. Сравнение с числовой прямой.

Как вы знаете, на числовой прямой каждая точка соответствует единственному числу. К примеру, если точка А на прямой равна 3, то она уже не может равняться никакому другому числу.

На числовой окружности все иначе, поскольку это окружность. К примеру, чтобы из точки А окружности прийти к точке M, можно сделать это, как на прямой (только пройдя дугу), а можно и обогнуть целый круг, а потом уже прийти к точке M. Вывод:

Пусть точка M равна какому-то числу t. Как мы знаем, длина окружности равна 2π. Значит, точку окружности t мы можем записать двояко: t или t + 2π. Это равнозначные величины.
То есть t = t + 2π. Разница лишь в том, что в первом случае вы пришли к точке M сразу, не делая круга, а во втором случае вы совершили круг, но в итоге оказались в той же точке M. Таких кругов можно сделать и два, и три, и двести. Если обозначить количество кругов буквой k, то получим новое выражение:
t = t + 2πk.

Отсюда формула:

Если точка M числовой окружности равна числу t, то она равна и числу вида t + 2πk, где k – любое целое число:

M(t) = M(t + 2πk),

где k ∈ Z.

Число k называется параметром.

Уравнение числовой окружности
(второе уравнение – в разделе «Синус, косинус, тангенс, котангенс»):

Числовая окружность
Изучая курс алгебры 7—9-го классов, мы до сих пор имели дело с алгебраическими функциями, т.е. функциями, заданными аналитически выражениями, в записи которых использовались алгебраические операции над числами и переменной (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение квадратного корня). Но математические модели реальных ситуаций часто бывают связаны с функциями другого типа, не алгебраическими. С первыми представителями класса неалгебраических функций — тригонометрическими функциями — мы познакомимся в этой главе. Более детально изучать тригонометрические функции и другие виды неалгебраических функций (показательные и логарифмические) вам предстоит в старших классах.
Для введения тригонометрических функций нам понадобится новая математическая модель — числовая окружность, с которой вы до сих пор не встречались, зато хорошо знакомы с числовой прямой. Напомним, что числовая прямая — это прямая, на которой заданы начальная точка О, масштаб (единичный отрезок) и положительное направление. Любое действительное число мы можем сопоставить с точкой на прямой и обратно.

Как по числу х найти на прямой соответствующую точку М? Числу 0 соответствует начальная точка О. Если х > 0, то, двигаясь по прямой из точки 0 в положительном направлении, нужно пройти п^ть длиной х; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Если х 0, то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(x);

В единичной окружности (CA) является горизонтальным диаметром,  (DB) — вертикальным диаметром (см. рис.)

Дуга (AB) соответствует первой четверти, дуга (BC) — второй четверти, дуга (CD) — третьей четверти, дуга (DA) — четвёртой четверти, причём это открытые дуги, т. е. дуги без их концов.

Принято в обозначении дуги на первом месте писать букву, обозначающую начало дуги, а на втором месте писать букву, обозначающую конец дуги.

Числовую окружность удобно разбивать на (8) или (12) одинаковых частей.

Верно следующее утверждение: