Как найти точку пересечения линий м прямой

Пересечение прямой линии с поверхностью:

Для построения точки пересечения прямой с поверхностью через прямую следует провести вспомогательную плоскость и найти линию пересечения этой плоскости с поверхностью. Точка пересечения (или точка встречи заданной прямой и построенной линии или фигуры сечения) на поверхности и будет искомой точкой пересечения прямой с поверхностью. Сложность решения задачи зависит от трудоемкости нахождения линии пересечения, которая определяется следами поверхности и расположением прямой относительно как поверхности, так и плоскости проекций. Чтобы получить рациональное решение, следует пользоваться наиболее простым способом определения линии пересечения. Этого можно достичь двумя путями:

  • выбором положения вспомогательной секущей плоскости;
  • переводом секущей прямой в частное положение.

Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами

Вспомогательная секущая плоскость -проецирующая

Задание: определить точки пересечения прямой m с поверхностью пирамиды SABC (рис. 12.1).

Решение: для решения задачи прямую m заключают во фронтально проецирующую плоскость Σ (Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами

Задание: определить точки пересечения прямой m с поверхностью прямого кругового цилиндра (рис. 12.2).

Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами  

Решение: при решении задачи выделим проекции точек пересечения М и N прямой m с поверхностью цилиндра на горизонтальной проекции — точки Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами. Так как образующие прямого кругового цилиндра являются горизонтально проецирующими прямыми, фронтальные проекции точек пересечения прямой m с поверхностью цилиндра Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами и Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами находят с помощью линий проекционной связи, как это показано на рисунке.

Вспомогательная секущая плоскость общего положения

Вспомогательную секущую плоскость, проводимую через прямую, при пересечении ею какой-либо поверхности, следует выбирать так, чтобы в результате получилось простейшее сечение. Например, при пересечении конической поверхности прямой линией такой плоскостью является плоскость, проходящая через вершину и пересекающая эту поверхность по прямым линиям (образующим).

При пересечении цилиндрической поверхности прямой линией вспомогательную плоскость целесообразно проводить через заданную прямую параллельно образующим цилиндра.  

Задание: определить точки пересечения прямой m с поверхностью прямого кругового конуса (рис. 12.3).

Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами  

Решение: прямую m заключают в плоскость Р, проходящую через вершину конической поверхности S. Плоскость Р задана пересекающимися прямыми m и n, проходящими через точку А, которая выбирается произвольно на заданной прямой m.

Для определения горизонтального следа плоскости Р находят горизонтальные следы прямых m и n. Следы отмечают точками, например, Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами, в которых горизонтальный след Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами плоскости Р пересекает основание конической поверхности. Проекции Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами — образующие поверхности конуса, по которым она пересекается плоскостью Р.

Точки Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами — горизонтальные проекции искомых точек пересечения. Зная положение Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами определяют фронтальные проекции Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами.

Перевод прямой общего положения, пересекающей заданную поверхность в частное положение

При пересечении поверхности сферы плоскостью в сечении получается окружность, которая проецируется на плоскости проекции в виде эллипсов или прямой и эллипса (если секущая плоскость — проецирующая). В случае, когда секущая плоскость параллельна плоскости проекции, окружность проецируется на эту плоскость проекции без искажения. Поэтому для упрощения решения задачи следует произвольно расположенную прямую перевести в положение, параллельное какой-либо плоскости проекции. Тогда прямую можно заключить в плоскость, параллельную плоскости проекции.  

  • Заказать чертежи

Задание: определить точки встречи прямой m, заданной отрезком АВ, с поверхностью сферы (рис. 12.4).  

Решение: при решении этой задачи переводят прямую m общего положения в положение, параллельное плоскости проекции. Для этого вводят новую систему плоскостей Пересечение прямой линии с поверхностью с примерамив которой Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами, и переходят от системы Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами к системеПересечение прямой линии с поверхностью с примерами. Новую ось проекций Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами проводят параллельно горизонтальной проекции прямой Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами.

Далее от концов горизонтальной проекции прямой, точек Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами и Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами проводят линии проекционной связи, перпендикулярные к новой оси проекций, и на них на плоскости Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами откладывают координаты Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами и Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами т.е. расстояния от оси проекций х до фронтальных проекций точек Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами. Новая проекция Пересечение прямой линии с поверхностью с примерамибудет натуральной длиной отрезка прямой АВ. Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами

Аналогично находят и центр сферыПересечение прямой линии с поверхностью с примерами

В новой системе горизонтально проецирующая плоскость Р Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами пересечет поверхность сферы по окружности радиусом R, которая спроецируется на плоскость Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами в отрезок (1-2), а на плоскость Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами в окружность тем же радиусом R. Точки Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами — вспомогательные проекции точек пересечения, по которым определяют проекции точек Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами а затем Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами.

Плоскость, касательная к поверхности

Плоскость, касательная к поверхности в заданной на поверхности точке, есть множество всех прямых — касательных, проведенных к поверхности через заданную точку.

Для задания плоскости, касательной к поверхности в заданной точке, достаточно провести через эту точку две произвольные линии, принадлежащие поверхности (желательно простые по форме) и к каждой их них построить касательные в точке пересечения этих линий. Построенные прямые (касательные) определяют касательную плоскость.  

Задание: построить плоскость Р, касательную к поверхности сферы и проходящую через точку К (рис. 12.5).  

Решение: плоскость, касательная к сфере, перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому, проведя радиус ОК, строят плоскость, задавая ее горизонталью КВ и фронталью КС. Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами

При этом горизонтальная проекция Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами перпендикулярна к Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами, а фронтальная проекция Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами перпендикулярна к Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами.

  • Построение линии пересечения поверхностей
  • Проецирование прямой
  • Взаимное положение плоскостей, прямой линии и плоскости
  • Взаимное расположение точки, прямых и плоскостей
  • Проецирование точки
  • Прямая в пространстве и ее изображение на чертеже
  • Многогранники
  • Поверхности вращения
Источник

Разделы

Уроки по теме

Рекомендуем

 Доноры - детям

Точка пересечения прямой и плоскости

Автор: Moroz

Дата: 2010-09-30

На этом рисунке мы видим пошаговое построение точки пересечения прямой a с плоскостью ABC

Рассмотрим пошаговую инструкцию построения точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения.Отметим, что построение точки пересечения прямой и плоскости — это одна из основ решения задач по предмету начертательная геометрия, не освоив которую дальнейшее понимание предмета будет достаточно трудным.

Порядок построения точки пересечения прямой и плоскости

1. Заключим прямую а во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость (плоскость перпендикулярную фронтальной плоскости проекции). На фронтальной проекции она сольется с прямой а. Очевидно, что линия m пересечения этой плоскости с плоскостью треугольника АВС на фронтальной проекции так же будет сливаться с прямой а (а=m).

2. Определим фронтальные проекции двух точек этой линии m: точки 1 и 2.

3. Найдем их горизонтальные проекции.

4. Соединим горизонтальные проекции точек 1 и 2 — получим горизонтальную проекцию прямой m (которая является линией пересечения вспомогательной плоскости с плоскостью треугольника АВС, и соответственно принадлежит обеим плоскостям). Так как прямая а принадлежит вспомогательной плоскости, и прямая m принадлежит ей же, то точка пересечения этих прямых К и есть точка пересечения прямой а с плоскостью треугольника АВС.

5. С помощью линии связи найдем фронтальную проекцию точки пересечения К.

6. Осталось только определить видимость прямой а. Это можно сделать с помощью метода конкурирующих точек.

Обратите внимание, что мы начали поиск точки пересечения прямой с плоскостью с того, что заключили прямую а во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость. Точно таким же образом можно было заключить прямую а в горизонтально-проецирующую плоскость, и тогда бы построения начались как бы «снизу вверх», но смысл остался бы точно таким же, как и конечное решение — точка пересечения прямой с плоскостью.

Внимание! Для этой темы есть видеоурок.

Просмотров: 231601

Вы можете сказать «спасибо!» автору статьи:

пройдите по любой из рекламных ссылок в левой колонке, этим вы поддержите проект «White Bird. Чертежи Студентам»

или

или запишите наш телефон и расскажите о нас своим друзьям — кто-то наверняка ищет способ выполнить чертежи

или создайте у себя на страничке или в блоге заметку про наши уроки — и кто-то еще сможет освоить черчение.

А вот это — не реклама. Это напоминание, что каждый из нас может сделать. Если хотите — это просьба. Мы действительно им нужны:

Доноры - детям

Комментарии:

Очень легко и понятно вы описали как найти точку пересечения прямой и плоскости, мегареспект!

Сделайте нормальные чертежи!!! Без анимации пошаговые.
Оставляйте адрес, может вам и будет подарок. Новый год ведь скоро :)

А вот нечего торопиться. Надо покушать как следует, сесть и всмотреться в гифку. Тогда и познаешь дзен. :)


Не торопиться, быть сытым и выспавшимся — да, это отличное подспорье. Спасибо за то, что указали на столь важные моменты. Да прибудет с вами сила, Михаил!

Помогите пожалуста!!!!!!у меня плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости проекции и задана следами, а прямая горизонтальна горизонтальной плоскости проекций

Это простооо кул,все понятно,мегареспект вам!!

4. Соединим горизонтальные проекции точек 1 и 2 — получим горизонтальную проекцию прямой m (которая является точкой пересечения вспомогательной плоскости с плоскостью треугольника АВС…
Тут надо исправить: прямая не может являться точкой. Также отсутствует закрывающая скобка.

Я всё равно ничего не понял. Хоть на первый взгляд это более толковое объяснение решения, чем пишут в книгах — там ваще мрак.

Высший класс! Ключевое предложение для понимания сути: «Заключим прямую а во вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость …»

Эмм… Это сарказм? :)
Если да, то в свое оправдание могу сказать лишь то, что терминология должна быть вам в некоторой мере знакома. С меня лишь графический порядок решения. Но с другой стороны давать его в абсолютном отрыве от теории тоже нехорошо. Указанная в вашем комментарии фраза пригодится вам на экзамене, или как минимум на защите данной работы. Но для графического решения прямо сейчас она не так важна. Просто выполняйте по шагам.

Спасибо огромное.Всё доходчиво и ясно!

Как быть если прямая на П2 перпендикулярна Ох, а на П1 в точку проэцируется?

Добавьте свой комментарий:

Последние уроки

Как построить диметрию детали?

Построение наклонного сечения, заданного на виде слева

Определение линии пересечения двух плоскостей. Метод вспомогательных секущих плоскостей.

Наша почта:

zakaz@trivida.ru

Наша страница в ВК:

Инженерная графика и начертательная геометрия в Вконтакте

Случайный комментарий

Игорь:
Источник

Как найти точки пересечения прямой с осями координат по уравнению прямой

При практическом построении прямой по ее уравнению наиболее точный график получится тогда, когда координаты взятых для ее построения двух точек — целые числа.

1. Если прямая определена общим уравнением Ax + By + C = 0 и , то для ее построения проще всего определить точки пересечения прямой с координатными осями.

Укажем, как определить координаты точек пересечения прямой с координатными осями. Координаты точки пересечения прямой с осью Ox находят из следующих соображений: ординаты всех точек, расположенных на оси Ox, равны нулю. В уравнении прямой полагают, что y равно нулю, и из полученного уравнения находят x. Найденное значение x и есть абсцисса точки пересечения прямой с осью Ox. Если окажется, что x = a, то координаты точки пересечения прямой с осью Ox будут (a, 0).

Чтобы определить координаты точки пересечения прямой с осью Oy, рассуждают так: абсциссы всех точек, расположенных на оси Oy, равны нулю. Взяв в уравнении прямой x равным нулю, из полученного уравнения определяют y. Найденное значение y и будет ординатой пересечения прямой с осью Oy. Если окажется, например, что y = b, то точка пересечения прямой с осью Oy имеет координаты (0, b).

Пример. Прямая 2x + y — 6 = 0 пересекает ось Ox в точке (3, 0). Действительно, взяв в этом уравнении y = 0, получим для определения x уравнение 2x — 6 = 0, откуда x = 3.

Чтобы определить точку пересечения этой прямой с осью Oy, положим в уравнении прямой x = 0. Получим уравнение y — 6 = 0, из которого следует, что y = 6. Таким образом, прямая пересекает координатные оси в точках (3, 0) и (0, 6).

Если же в общем уравнении прямой C = 0, то прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат. Таким образом, уже известна одна ее точка, и для построения прямой остается только найти еще одну ее точку. Абсциссу x этой точки задают произвольно, а ординату y находят из уравнения прямой.

Точка пересечения прямых в пространстве онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти точку пересечения прямых в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения координат точки пересечения прямых задайте вид уравнения прямых («канонический» или «параметрический» ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Точка пересечения прямых в пространстве − теория, примеры и решения

  • Содержание
  • 1. Точка пересечения прямых, заданных в каноническом виде.
  • 2. Точка пересечения прямых, заданных в параметрическом виде.
  • 3. Точка пересечения прямых, заданных в разных видах.
  • 4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.

1. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в каноническом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:

, (1)
, (2)

Найти точку пересечения прямых L1 и L2 (Рис.1).

Запишем уравнение (1) в виде системы двух линейных уравнений:

, (3)
(4)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (3) и (4):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Аналогичным образом преобразуем уравнение (2):

Запишем уравнение (2) в виде системы двух линейных уравнений:

, (7)
(8)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Решим систему линейных уравнений (5), (6), (9), (10) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в матричном виде:

(11)

Как решить систему линейных уравнений (11)(или (5), (6), (9), (10)) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн. Если система линейных уравнениий (11) несовместна, то прямые L1 и L2 не пересекаются. Если система (11) имеет множество решений, то прямые L1 и L2 совпадают. Единственное решение системы линейных уравнений (11) указывает на то, что это решение определяет координаты точки пересечения прямых L1 и L2 .

2. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в параметрическом виде.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 в параметрическом виде:

(12)
(13)

Задачу нахождения нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 можно решить разными методами.

Метод 1. Приведем уравнения прямых L1 и L2 к каноническому виду.

Для приведения уравнения (12) к каноническому виду, выразим параметр t через остальные переменные:

(14)

Так как левые части уравнений (14) равны, то можем записать:

(15)

Аналогичным образом приведем уравнение прямой L2 к каноническому виду:

(16)

Далее, для нахождения точки пересечения прямых, заданных в каноническом виде нужно воспользоваться параграфом 1.

Метод 2. Для нахождения точки пересечения прямых L1 и L2 решим совместно уравнения (12) и (13). Из уравнений (12) и (13) следует:

(17)
(18)
(19)

Из каждого уравнения (17),(18),(19) находим переменную t. Далее из полученных значений t выбираем те, которые удовлетворяют всем уравнениям (17)−(19). Если такое значение t не существует, то прямые не пересекаются. Если таких значений больше одного, то прямые совпадают. Если же такое значение t единственно, то подставляя это зачение t в (12) или в (13), получим координаты точки пересечения прямых (12) и (13).

3. Точка пересечения прямых в пространстве, заданных в разных видах.

Если уравнения прямых заданы в разных видах, то можно их привести к одному виду (к каноническому или к параметрическому) и найти точку пересечения прямых, описанных выше.

4. Примеры нахождения точки пересечения прямых в пространстве.

Пример 1. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

(20)
(21)

Представим уравнение (20) в виде двух уравнений:

(22)
(23)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (22) и (23):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).

Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:

(26)
(27)

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (7) и (8)

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Решим систему линейных уравнений (24), (25), (28), (29) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:

(30)

Решим систему линейных уравнений (30) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строку 4 со строкой 2, умноженной на −1/4:

Сделаем перестановку строк 3 и 4.

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 3-го столбца матрицы выше элемента a33. Для этого сложим строку 2 со строкой 3, умноженной на −4/3:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a22. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на 3/4:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

Ответ. Точка пересечения прямых L1 и L2 имеет следующие координаты:

Пример 2. Найти точку пересечения прямых L1 и L2:

(31)
(32)

Приведем параметрическое уравнение прямой L1 к каноническому виду. Выразим параметр t через остальные переменные:

Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:

(33)

Представим уравнение (33) в виде двух уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (34 и (35):

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Аналогичным образом поступим и с уравнением (2).

Представим уравнение (2) в виде двух уравнений:

Сделаем перекрестное умножение в уравнениях (38) и (39)

Откроем скобки и переведем переменные в левую часть уравнений а остальные элементы в правую часть:

Решим систему линейных уравнений (36), (37), (40), (41) с тремя неизвестными x, y, z. Для этого представим эту систему в виде матричного уравнения:

Решим систему линейных уравнений (42) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

Обозначим через aij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a1 1. Для этого сложим строку 3 со строкой 1, умноженной на −1/6:

Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже элемента a22. Для этого сложим строки 3 и 4 со строкой 2, умноженной на 8/21 и −1/7, соответственно:

Исключим элементы 3-го столбца матрицы ниже элементаa33. Для этого сложим строку 4 со строкой 3, умноженной на -1/16:

Из расширенной матрицы восстановим последнюю систему линейных уравнений:

Уравнение (43) несовместна, так как несуществуют числа x, y, z удовлетворяющие уравнению (43). Следовательно система линейных уравнений (42) не имеет решения. Тогда прямые L1 и L2 не пересекаются. То есть они или параллельны, или скрещиваются.

Прямая L1 имеет направляющий вектор q1=<2,6,7>, а прямая L2 имеет направляющий вектор q2=<3,1,1>. Эти векторы не коллинеарны. Следовательно прямые L1 и L2 скрещиваются .

Пересечение с осями онлайн

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha, предназначен для решения задачи нахождения точек пересечения графика функции с осями координат.

Найти точки пересечения функции с осями координат:

При проведении исследования функции, возникает задача нахождения точек пересечения этой функции с осями координат. Рассмотрим на конкретном примере алгоритм решения такой задачи. Для простоты будем работать с функцией одной переменной:

График данной функции представлен на рисунке:

Как следует из рисунка, наша функция пересекает ось в двух точках, а ось — в одной.

Сначала найдём точки пересечения функции с осью . Сразу отметим, что в этих точках координата . Поэтому для их поиска, нам нужно решить уравнение:

Таким образом, мы нашли две точки пересечения нашей функции с осью абсцисс: и . Стоит отметить, что задача поиска пересечений функции с осью эквивалентна задаче нахождения нулей функции.

Теперь найдём точку пересечения с осью ординат. В этой точке координата . Поэтому для их поиска, просто подставляем значение в нашу функцию:

Таким образом, мы нашли точку пересечения нашей функции с осью ординат .

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

источники:

http://matworld.ru/analytic-geometry/tochka-peresechenija-prjamyh-3d.php

http://mathforyou.net/online/calculus/intercepts/

Источник

Прямая линия — алгебраическая кривая первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Уравнения прямых, параллельных осям координат

Возьмем прямую линию, параллельную оси Оу и проходящую на расстоянии а от нее (рис. 10).

Прямая линия

Все точки этой прямой одинаково удалены от оси ординат на расстояние, равное а. Следовательно, для каждой точки прямой АМ абсцисса одна и та же, а именно:

х = а, (1)

ордината же различна. Таким образом, уравнение (1) вполне определяет прямую, параллельную оси Оу, а потому оно является ее уравнением. Возьмем прямую, параллельную оси Ох, на расстоянии.

Прямая линия

равном b от нее (рис. 11). Все точки этой прямой одинаково удалены от оси Ох на расстояние, равное b , т. е. любая точка прямой ВМ имеет постоянную ординату, а именно:

Прямая линия

абсциссу же различную. Как видно, уравнение (2) вполне определяет прямую, параллельную оси Ох, а потому оно является ее уравнением.

По уравнениям (1) и (2) можно построить соответствующие им прямые. Пусть, например, дана прямая х = — 4. Отложив на оси Ох отрезок ОА = — 4 (рис. 12) и проведя через точку А прямую, параллельную оси Оу, получим искомую прямую.

Прямая линия

Уравнения осей координат

Возьмем уравнение прямой, параллельной оси Оу:

х = а

и станем в нем уменьшать абсолютную величину а, тогда прямая, определяемая этим уравнением, будет приближаться к оси Оу, оставаясь все время ей параллельной, и при а = 0 сольется с ней. Уравнение х = 0 является уравнением оси Оу.

Если же в уравнении у = b прямой, параллельной оси Ох, будем уменьшать абсолютную величину b то эта прямая станет приближаться к оси Ох, оставаясь ей параллельной, и при b = 0 с ней совпадет. Таким образом, уравнение у = 0 будет уравнением оси Ох.

Уравнение прямой, проходящей через начало координат

Проведем прямую через начало координат под угломПрямая линия

к оси Ох (рис. 13). Принято положительный угол а отсчитывать от положительного направления оси абсцисс в сторону, противоположную движению часовой стрелки (рис. 13), а отрицательный — по часовой стрелке.

Прямая линия

Возьмем на проведенной прямой произвольную точку М (х; у). Опустив перпендикуляр МР на ось Ох, получим прямоугольный треугольник ОМР, из которого найдем:

Прямая линия

Но

Прямая линия

Прямая линия

Координаты любой точки прямой ОМ удовлетворяют полученному уравнению; можно показать, что координаты любой точки, не лежащей на прямой ОМ, не удовлетворяют ему; поэтому оно является уравнением прямой ОМ. Итак,

Прямая линия

есть уравнение прямой, проходящей через начало координат. В нем х и у — текущие координаты, а Прямая линия — угловой коэффициент.

Определение:

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой к положительному направлению оси Ох.

Величина Прямая линия может быть как положительной, так и отрицательной. Если угол а острый, то тангенс его имеет положительное значение; если же угол а тупой, —то отрицательное. Поэтому величина Прямая линия в уравнении прямой будет положительной, если а — острый угол, и отрицательной, если тупой.

Заметим, что при а = 90° углового коэффициента не существует, так как 90° не имеет числового значения.

Зная угловой коэффициент прямой у = Прямая линиях, можно определить ее положение.

Пусть требуется построить прямую у= 2х.

Для этого найдем угол а из условия

откуда:

Прямая линия

Построив при точке О найденный угол, мы и получим искомую прямую (рис. 14).

Прямая линия

Построение этой прямой можно провести и проще.

Известно, что положение прямой определяется двумя точками, поэтому для решения задачи нужно знать их координаты. В нашем же случае достаточно определить координаты одной точки, так как вторая (начало координат) нам известна. Для этого дадим х произвольное значение, например х = 2, тогда из уравнения прямой найдем:

Прямая линия

Значения х = 2 и у = 4 и будут координатами точки, лежащей на данной прямой. Построив эту точку, проведем через нее и начало координат прямую линию (рис. 14).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой

Пусть дана прямая ОС, проходящая через начало координат под углом а к положительному направлению оси Ох (рис. 15)

Прямая линия

Ее уравнение имеет вид

Прямая линия

где Прямая линия .

Проведем прямую Прямая линия отсекающую на оси Оу отрезок ОВ = b. Прямая АВ составляет с положительным направлением оси Ох тот же угол а. Пусть М(х; у)— произвольная точка прямой АВ. Из рис. 15 найдем:

Но

Прямая линия

Подставив значение РМ1 в равенство (1), получим уравнение прямой АВ в виде:

Прямая линия

где Прямая линия — угловой коэффициент, а b называется начальной ординатой.

Заметим что прямая Прямая линия получается смещением всех точек прямой Прямая линия (рис. 15) на отрезок b вверх (при положительном b) и вниз при отрицательном b .

Прямая линия

Уравнение Прямая линия определяющее прямую проходящую через начало координат, является частным случаем уравнения (2) при b = 0.

Зная угловой коэффициент Прямая линия и начальную ординату b можно определить положение прямой. Пусть, например, требуется построить прямую Прямая линия

Из данного уравнения имеем:

откуда

Прямая линия

Проведем через начало координат прямую МN под углом в 45 градусов к положительному направлению оси Ох (рис. 16). На прямуюПрямая линия

Как видно из уравнения ее пересекает ось Оу на расстоянии ОС, равном 4 единицам масштаба от начала координат.

Поэтому прямая АВ, проведенная через точку С параллельно прямой МN, и будет искомой.

Однако проще построить указанную прямую по двум ее точкам. Удобнее для этого брать точки пересечения прямой с осями координат. Одна из них — точка С пересечения прямой с осью Оу— дается самим уравнением, а именно С(0; 4). Для нахождения точки D пересечения этой прямой с осью Ох положим в данном уравнении y = 0, получим х = — 4; значит, прямая пересекает ось Ох в точке D (-4; 0). Строим точки С и D и проводим через них искомую прямую.

Прямая линия

Пример:

Найти уравнения прямых АВ, СD и ЕF, изображенных на рис. 17.

Решение:

Чтобы написать уравнения данных прямых, нужно определить величины Прямая линия и b, а затем подставить их значения в уравнение Прямая линия

Для прямой АВ

Прямая линия

Прямая линия

Следовательно, уравнения данных прямых будут:

Прямая линия

Общее уравнение прямой

В предыдущей лекции были выведены следующие виды уравнения прямой: уравнение прямой, параллельной оси Оу:

Прямая линия

уравнение прямой, параллельной оси Ох:

Прямая линия

уравнение оси Оу:

Прямая линия

уравнение оси Ох:

Прямая линия

уравнение прямой, проходящей через начало координат:

Прямая линия

уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой:

Прямая линия

Уравнения (1) — (6) исчерпывают все возможные положения прямой, поэтому можно сказать, что

всякая прямая линия определяется уравнением первой степени относительно текущих координат.

Покажем теперь, что указанные виды уравнения прямой можно получить из уравнения

Прямая линия

при некоторых частных значениях коэффициентов А, В и С.

I. Если В = 0, то уравнение (7) обратится в следующее:

Прямая линия

откуда

Прямая линия

Положив

Прямая линия

получим

Прямая линия

Уравнение Прямая линия есть уравнение прямой, параллельной оси Оу.

II. Если А = 0, то

Прямая линия

отсюда

Прямая линия

Положив

Прямая линия

получим

Прямая линия

Уравнение Прямая линия определяет прямую, параллельную оси Ох.

III. Если В = 0 и С = 0, то

Прямая линия

отсюда

Прямая линия

IV. Если А = 0 и С = 0, то

Прямая линия

отсюда

Прямая линия

V. Если С = 0, то

Прямая линия

отсюда

Прямая линия

Положим

Прямая линия

тогда

Прямая линия

Уравнение Прямая линия определяет прямую, проходящую через начало координат.

VI. Если ни один из коэффициентов уравнения (7) не равен нулю, то и в этом случае его можно преобразовать в знакомую нам форму уравнения прямой. Найдем из уравнения (7) значение у:

Прямая линия

Положив

Прямая линия

и

Прямая линия

можем написать

Прямая линия

Следовательно, уравнение

Прямая линия

включает в себя все рассмотренные нами ранее уравнения прямой; поэтому оно называется общим уравнением прямой. Итак, всякое уравнение первой степени

Прямая линия

при любых значениях коэффициентов А, В и С, исключая одновременное равенство А и В нулю, определяет прямую линию.

Пример:

Построить прямую Прямая линия

Решение:

Проще всего построить прямую по двум ее точкам пересечения с осями координат. Положив в данном уравнении у = 0, получим х =- 5; координаты (-5; 0) и будут определять положение точки пересечения прямой с осью Ох. Для нахождения точки пересечения прямой с осью Оу положим в том же уравнении х = 0 тогда найдем у = 2; координаты искомой точки будут (0; 2).

Построив эти точки, проводим через них прямую 2х— 5у —10 = 0 (рис. 18).

Пример:

Найти угловой коэффициент и начальную ординату прямой 4х+ 6у — 3 = 0.

Решение:

Преобразуем это уравнение к виду Прямая линия

для этого находим:

6у = — 4х + 3,

отсюда

Прямая линия

Сравнив полученное уравнение с уравнением Прямая линия найдем:

Прямая линия

Угловой коэффициент можно найти и из равенства (8). Для этого, как видно, нужно коэффициент при х общего уравнения прямой разделить на коэффициент при у и частное

Прямая линия

взять с противоположным знаком. Таким образом, в данном примере

Прямая линия

Уравнение прямой в отрезках

Как мы уже знаем, положение прямой определяется или двумя точками или одной точкой и углом наклона прямой к оси Ох. Если прямая не параллельна ни одной из координатных осей и не проходит

Прямая линия

через начало координат, то ее положение может быть определено и другими данными, например отрезками, которые она отсекает на осях. Выведем уравнение прямой для этого случая.

Пусть дана прямая, отсекающая на координатных осях отрезки ОА = а и ОВ = b (рис. 19).

Возьмем на этой прямой произвольную точку M (х; у) и проведем

МР Прямая линия Ох. Из подобия треугольников РМА и ОВА имеем:

Прямая линия

или

Прямая линия

Разделив а — х почленно на а, будем иметь:

Прямая линия

откуда

Прямая линия

Можно показать, что координаты любой точки нашей прямой будут удовлетворять этому равенству, а потому его нужно рассматривать как уравнение прямой АВ.

В уравнение (1) входят отрезки а и b , отсекаемые прямой на осях; поэтому оно называется уравнением прямой в отрезках.

Величины а и b могут быть как положительными, так и отрицательными в зависимости от того, в какую сторону от начала координат откладываются отрезки а и b .

Пусть, например, дана прямая АВ (рис. 20). Здесь а = — 2, b = — 3; следовательно, уравнение прямой АВ запишется в таком виде:

Прямая линия

По уравнению вида (1) Очень просто строится прямая. Для этого нужно только отложить на осях отрезки а и b взятые из уравнения, и через их концы провести прямую.

Заметим, что уравнение в отрезках легко получается из общего уравнения прямой: Ах + Ву + С= 0, если все коэффициенты общего уравнения отличны от нуля (иначе уравнение в отрезках не имеет смысла).

Уравнение пучка прямых

Пусть прямая АВ проходит через точку М(х1; у1) и образует угол а с положительным направлением оси Ох (рис. 21). Составим для прямой АВ уравнение вида

Прямая линия

Для этого нужно найти величины Прямая линия и b определяющие прямую АВ, а затем подставить в уравнение (1) их значения. Так как угол а дан, то величина Прямая линияопределится из равенства

Прямая линия

Для нахождения b воспользуемся тем, что точка М лежит на прямой (1) и, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой.

Подставив в уравнение (1) вместо х и у их значения х1 и у1, а величину Прямая линия полагая известной, получим

Прямая линия

откуда

Прямая линия

Уравнение (1) можем теперь записать в виде

Прямая линия

или

Прямая линия

Таково искомое уравнение прямой АВ; в нем Прямая линия имеет одно, вполне определенное значение.

Допустим, что через ту же точку M(х1; у1) проходит несколько прямых; тогда угол а наклона этих прямых к оси Ох, и также множитель Прямая линия в уравнении (2) будут иметь различные значения.

В таком случае уравнение (2) будет определять уже не одну прямую, проходящую через данную точку M, а множество прямых, пересекающихся в эточке.

Совокупность всех прямых, проходящих через одну точку М, называется пучком прямых с центром в точке М. Таким образом, уравнение (2) с переменным Прямая линияможно рассматривать как уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку, исключая прямую, параллельную оси ординат (так как tg 90° не имеет числового значения) (рис. 21).

Чтобы выделить из этого пучка прямую, образующую заданный угол с осью Ох, нужно в уравнении (2) вместо Прямая линия подставить его числовое значение. Пусть, например, пучок прямых проходит через точку М(2;—5), тогда его уравнение будет:

Прямая линия

Выделим из этого пучка одну прямую, которая наклонена к положительному направлению оси Ох под углом а = 45°;

тогда

Прямая линия

и уравнение (3) обратится в следующее:

Прямая линия

или

Прямая линия

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две точки A(х1; у1) и В(х2; у2); требуется найти уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Если взять одну точку, например А, то через нее можно провести пучок прямых, уравнение которого будет:

Прямая линия

где каждому значению Прямая линия отвечает одна прямая.

Выделим из этого пучка прямую, которая проходит и через вторую точку В (рис. 22). Чтобы найти ее уравнение, необходимо определить угловой коэффициент. Для этого примем во внимание, что точка В лежит на искомой прямой, и потому ее координаты должны обращать уравнение (1)

Прямая линия

в тождество при Прямая линия равном угловому коэффициенту этой прямой. Подставив в уравнение (1) вместо текущих координат х и у координаты точки В, получим:

Прямая линия

отсюда находим угловой коэффициент искомой прямой:

Прямая линия

Уравнение (1) можно переписать так:

Прямая линия

Преобразуем это уравнение, разделив обе части его на у2 — у1 получим:

Прямая линия

гле х и у — текущие координаты. Равенство (2) является уравнением прямой, проходящей через две данные точки. Это, как и уравнение в отрезках, частный случай общего уравнения прямой.

Если х1 = х2 или у1 = у2, то формула (2) теряет смысл, так как делить на нуль нельзя. В этих случаях точки А и В лежат либо на прямой, параллельной оси Оу, либо на прямой, параллельной оси Ох. В первом случае уравнение прямой запишется в виде

х = х1

а во втором — в виде

у = у1

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через две точки: А(—4; 6) и В(2; —3).

Решение:

Имеем:

х1 = —- 4, х2 = 2

и

у1 = 6, у2 = — 3.

Подставим эти значения в уравнение (2); получим:

Прямая линия

или

Прямая линия

Умножив обе части последнего уравнения на —18, будем иметь:

2у— 12 = — 3х— 12,

откуда

Зх + 2у = 0.

Пример:

Через две точки А( 3; 2) и В (5; 2) проходит прямая. Написать ее уравнение.

Решение:

Так как ординаты данных точек равны, то заключаем, что искомая прямая параллельна оси Ох, а потому ее уравнение будет

у = 2.

Угол между двумя прямыми

Пусть даны уравнения двух прямых:

y=klx+blt

Прямая линия

где Прямая линия имеют вполне определенные значения. Выведем формулу для определения угла между этими прямыми.

Обозначим углы, образуемые данными прямыми с положительным направлением оси Ох, через а1 и а2, а угол между этими прямыми через Прямая линия (рис. 23).

Угол а2, как внешний угол треугольника ABC, будет равен сумме внутренних, с ним не смежных, т. е.

Прямая линия

откуда

Прямая линия

Если углы равны между собой, то и тангенсы их равны друг другу, поэтому

Прямая линия

Применяя формулу для тангенса разности двух углов, получим:

Прямая линия

Но

Прямая линия

Поэтому

Прямая линия

Определив tg Прямая линия по формуле (1), можно найти и самый угол Прямая линия.

Прямая линия

Пример:

Определить угол между прямыми:

2х — 3у + 6 =0

и

х + 5у — 2=0.

Решение:

Из данных уравнений найдем угловые коэффициенты этих прямых :

Прямая линия

Согласно формуле (1) имеем:

Прямая линия

откуда

Прямая линия

Полученный угол между прямыми тупой. Но если принять

Прямая линия

то вычисляя Прямая линия по той же формуле (1), получим:

Прямая линия

откуда Прямая линия = 45°. Получился угол острый, смежный с ранее

Прямая линия

найденным тупым углом (рис. 24). Первое и второе значение угла будет ответом на вопрос задачи.

Условие параллельности прямых

Если прямые параллельны между собой, то они образуют одинаковые углы а1 и а2 с положительным направлением оси Ох (рис. 25).

Прямая линия

Из равенства углов а1 и а2 следует

Прямая линия

или

Прямая линия

Обратно, если Прямая линия т.е. Прямая линиято а1 = а2, а это значит, что данные прямые параллельны.

Итак, если прямые параллельны между собой, то их угловые коэффициенты равны (и наоборот).

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через точку А (—2; 6) и параллельной прямой 5х—3у — 7 = 0.

Решение:

Через точку А проходит пучок прямых, среди которых находится искомая прямая. Следовательно, прежде всего пишем уравнение пучка прямых , проходящих через точку А:

Прямая линия

Затем находим из данного в задаче уравнения прямой ее угловой коэффициент; применяя равенство (8) , получим:

Прямая линия

Согласно условию параллельности угловой коэффициент искомой прямой тоже равен Прямая линия

Подставим найденное значение Прямая линия в уравнение

пучка:

Прямая линия

Выполнив необходимые преобразования, получим искомое уравнение прямой:

Прямая линия

Условие перпендикулярности прямых

Пусть две прямые взаимно перпендикулярны и образуют с положительным направлением оси Ох углы а1 и а2 (рис. 26). В этом случае

Прямая линия

отсюда

Прямая линия

Но

Прямая линия

Следовательно,

Прямая линия

или

Прямая линия

Обратно, если

Прямая линия

то

Прямая линия

Отсюда

Прямая линия

т. е. данные прямые взаимно перпендикулярны.

Таким образом, если прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку (и наоборот).

Прямая линия

Так, например, если у одной прямой угловой коэффициент

равен Прямая линия то у перпендикулярной ей прямой он равен Прямая линия .

Пример:

Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(—3; 5) и перпендикулярной прямой 4х — Зу—10 = 0.

Решение:

Через точку А проходит пучок прямых, среди которых находится и искомая прямая. Поэтому напишем сначала уравнение этого пучка

Прямая линия

Чтобы выделить из него нашу прямую, нужно найти ее угловой коэффициент Прямая линия связанный с угловым коэффициентом

данной прямой равенством (1). Но Прямая линия следовательно,

Прямая линия

Подставив в уравнение (2) вместо Прямая линия найденное его значение Прямая линия

получим:

Прямая линия

Это и есть искомое уравнение прямой. Преобразовав его, найдем:

Прямая линия

или

Прямая линия

Пересечение прямых

Пусть даны две прямые, определяемые уравнениями:

Прямая линия

Требуется найти точку их пересечения.

Так как точка пересечения данных прямых есть их общая точка, то ее координаты должны удовлетворять как первому, так и второму уравнению, т. е. эти координаты должны быть общими корнями данных уравнений.

Чтобы найти эти корни, нужно, как известно из алгебры, решить совместно данные уравнения, рассматривая их как систему уравнений.

Пример:

Найти точку пересечения прямых

Прямая линия

Решение:

Решим данные уравнения как систему. Умножив второе уравнение на 3 и сложив результат с первым уравнением, получим:

Прямая линия

откуда

Прямая линия

Зная х, находим у, например, из второго уравнения:

Прямая линия

Пример:

Найти точку пересечения прямых

Прямая линия

Решение:

Умножив все члены первого уравнения на —2 и сложив полученное уравнение со вторым, найдем:

Прямая линия

что невозможно. Значит, данная система уравнений решений не имеет, а потому прямые, определяемые этими уравнениями, не имеют общих точек, т. е. данные прямые параллельны.

К этому же заключению можно прийти, сравнивая угловые коэффициенты данных прямых.

Дополнение к прямой линии

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Прямая линия

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Решение заданий и задач по предметам:

  • Математика
  • Высшая математика
  • Математический анализ
  • Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Двойной интеграл
  29. Тройной интеграл
  30. Интегрирование
  31. Неопределённый интеграл
  32. Определенный интеграл
  33. Криволинейные интегралы
  34. Поверхностные интегралы
  35. Несобственные интегралы
  36. Кратные интегралы
  37. Интегралы, зависящие от параметра
  38. Квадратный трехчлен
  39. Производная
  40. Применение производной к исследованию функций
  41. Приложения производной
  42. Дифференциал функции
  43. Дифференцирование в математике
  44. Формулы и правила дифференцирования
  45. Дифференциальное исчисление
  46. Дифференциальные уравнения
  47. Дифференциальные уравнения первого порядка
  48. Дифференциальные уравнения высших порядков
  49. Дифференциальные уравнения в частных производных
  50. Тригонометрические функции
  51. Тригонометрические уравнения и неравенства
  52. Показательная функция
  53. Показательные уравнения
  54. Обобщенная степень
  55. Взаимно обратные функции
  56. Логарифмическая функция
  57. Уравнения и неравенства
  58. Положительные и отрицательные числа
  59. Алгебраические выражения
  60. Иррациональные алгебраические выражения
  61. Преобразование алгебраических выражений
  62. Преобразование дробных алгебраических выражений
  63. Разложение многочленов на множители
  64. Многочлены от одного переменного
  65. Алгебраические дроби
  66. Пропорции
  67. Уравнения
  68. Системы уравнений
  69. Системы уравнений высших степеней
  70. Системы алгебраических уравнений
  71. Системы линейных уравнений
  72. Системы дифференциальных уравнений
  73. Арифметический квадратный корень
  74. Квадратные и кубические корни
  75. Извлечение квадратного корня
  76. Рациональные числа
  77. Иррациональные числа
  78. Арифметический корень
  79. Квадратные уравнения
  80. Иррациональные уравнения
  81. Последовательность
  82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  83. Тригонометрические функции произвольного угла
  84. Тригонометрические формулы
  85. Обратные тригонометрические функции
  86. Теорема Безу
  87. Математическая индукция
  88. Показатель степени
  89. Показательные функции и логарифмы
  90. Множество
  91. Множество действительных чисел
  92. Числовые множества
  93. Преобразование рациональных выражений
  94. Преобразование иррациональных выражений
  95. Геометрия
  96. Действительные числа
  97. Степени и корни
  98. Степень с рациональным показателем
  99. Тригонометрические функции угла
  100. Тригонометрические функции числового аргумента
  101. Тригонометрические выражения и их преобразования
  102. Преобразование тригонометрических выражений
  103. Комбинаторика
  104. Вычислительная математика
  105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  106. Прямая и плоскость
  107. Линии и уравнения
  108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  109. Кривые второго порядка
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат

Источник

Не такая тривиальная задача, скажу я вам. Всякий раз, когда возникает необходимость посчитать координату пересечения пары прямых, каждая из которых задана парой точек, снова беру блокнот и вывожу пару формул. И всякий раз – блин, ну это уже когда-то было, опять надо что-то делать с параллельными прямыми, опять появляется пакостная строго вертикальна линия, когда на (x1-x2) никак не разделить и т.д.

Поэтому – в подборку теории и практики, пригодится, сэкономим блокнот, спасем дерево.

Коэффициенты А, B, C

Все помним со школы формулу:

Latex formula

Тоже самое, но с претензией на образование (некоторые индивидуумы утверждают, что существует такая, и только такая, и никакая другая, формулировка):

Latex formula

Те же фаберже, только сбоку.

В теории надо составить и решить систему уравнений для первой и второй линии, где переменными будут X и Y точки пересечения.

Latex formula

Загвоздка в том, что мы не знаем коэффициенты для обеих линий.

В нашем случае известны координаты двух точек, по которым проходит линия. Поэтому мне, как последователю геометрического агностицизма, более привлекательная следующая формула:

Latex formula

Путем несложных операций приходим к следующей записи:

Latex formula

Глядя на вариант в исполнении высшего образования, получаем следующие формулы для нахождения коэффициентов:

Latex formula

Пока все идет отлично, нигде вероятного деления на ноль не встретилось.

Итак, мы можем легко найти два набора коэффициентов для первой и второй прямых. Переходим к системе уравнений.

Система уравнений

Как правило, подобная система уравнений решается путем выражения одной переменной через другую, подстановкой во второе уравнение, получая таким образом уравнение одной переменной. Далее переменная находится, подставляется, решается. Или определяется, что система решения не имеет.

Но нас интересует метод Крамера. Потому что с помощью этого метода можно получить сразу значения для обеих переменных, без дополнительных телодвижений.

Сразу же запишем метод под нашу систему.

Имеем следующую систему:

Latex formula

Определители будут такими:

Latex formula

Latex formula

Latex formula

Исходя из метода, решение выглядит так:

Latex formula

Latex formula

Ага! Вот и возможное деление на ноль, скажете вы. И правильно! В этой, в высшей степени непозволительной ситуации, когда знаменатель равен нулю, решения нет, прямые либо параллельны, либо совпадают (что, впрочем, частный случай параллельности).  В коде, естественно, этот момент надо учитывать.

Практика 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

//*******************************************************

//  Нахождение точки пересечения прямых (p1,p2) и (p3,p4)

//  Результат — факт пересечения

//*******************************************************

function CrossLines(const p1,p2,p3,p4: TxPoint;

  var res: TxPoint): Boolean;

const

  Prec = 0.0001;

var

  a1, a2: Extended;

  b1, b2: Extended;

  c1, c2: Extended;

  v: Extended;

begin

  a1 := p2.y — p1.y;

  a2 := p4.y — p3.y;

  b1 := p1.x — p2.x;

  b2 := p3.x — p4.x;

  v := a1*b2 — a2*b1;

  Result := (abs(v) > Prec);

  if Result then

  begin

    c1 := p2.x*p1.y — p1.x*p2.y;

    c2 := p4.x*p3.y — p3.x*p4.y;

    res.X := —(c1*b2 — c2*b1)/v;

    res.Y := —(a1*c2 — a2*c1)/v;

  end;

end;

Пересечение прямых, построенных по двум точкам. Точка пересечения принадлежеит обоим отрезкам.

Рис.1. Пересечение прямых

Частные случаи

  • Прямые параллельны: ∆ab = 0
    • (A1B2 – B1A2 = 0);
  • Прямые совпадают:  ∆ab = ∆X = ∆Y = 0 
    • (A1B2 – B1A2 = 0) И (A1C2 — A2C1 = 0) И (C1B2 -B1C2 = 0);
  • Прямые перпендикулярны:
    • (A1 A2 + B1 B2 = 0).

Пересечение перпендикулярных прямых

Рис.2. Пересечение перпендикулярных прямых
Параллельные прямые
Рис.3. Параллельные прямые не пересекаются

Принадлежность точки отрезку

В общем случае, чтобы определить принадлежность точки отрезку, надо установить две вещи:

  1. Точка принадлежит прямой, проходящей через конечные точки отрезка. Для этого достаточно подставить значение X и Y в уравнение прямой и проверить получившееся равенство. В нашем случае, этот пункт уже выполнен, т.к. точка пересечения априори принадлежит обеим прямым.
  2. Проверить факт нахождения точки между концами отрезка.

Займемся пунктом 2. Данный факт можно установить двумя способами:

  • Логически, т.е. (x1 <= x <= x2) ИЛИ (x1 >= x >= x2). На случай «вертикальности» линии добавить проверку на Y:
    • (y1 <= y <= y2) ИЛИ (y1 >= y >= y2).
  • Арифметически. Сумма отрезков |x-x1| + |x-x2| должна быть равна длине отрезка |x1-x2|. Аналогично, на случай «вертикальности» , добавить проверку:
    • |y-y1| + |y-y2| = |y1-y2|

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

//*****************************************************

//  Проверка факта нахождения точки res между

//  концами отрезка (p1,p2).

//  Решение с помощью условных операторов и

//  коэффициентов A=(y2-y1) B=(x1-x2).

//  Выступают в качестве параметров, чтобы не тратить

//  время на их подсчет, т.к. в вызывающей стороне

//  они уже посчитаны

//*****************************************************

function CheckCrossPoint(const p1, p2, res: TxPoint;

  const A,B: Extended): Boolean;

begin

  Result :=

    (((B<0) and (p1.X < res.X) and (p2.X > res.X)) or

     ((B>0) and (p1.X > res.X) and (p2.X < res.X)) or

     ((A<0) and (p1.y > res.Y) and (p2.Y < res.Y)) or

     ((A>0) and (p1.y < res.Y) and (p2.Y > res.Y)));

end;

//*****************************************************

//  Проверить факт нахождения точки res между

//  концами отрезка (p1,p2)

//  Арифметическое решение без коэффициентов

//*****************************************************

function CheckCrossPoint(const p1, p2, res: TxPoint): Boolean;

begin

  Result :=

    (abs(p2.x—p1.x)>= abs(p2.x—res.x) + abs(p1.x—res.x)) and

    (abs(p2.y—p1.y)>= abs(p2.y—res.y) + abs(p1.y—res.y));

end;

Практика показывает, что арифметический способ быстрее примерно в 3 раза. Когда-то я считал, что операции сравнения самые быстрые. Это давно уже не так.

Задача нахождения принадлежности точки P(x,y) отрезку, заданного двумя точками с координатами P1(x1, y1) и P2(x2, y2) подробно рассмотрена в отдельной статье.

Угол пересечения прямых

Угол пересечения прямых — это угол пересечения направляющих векторов. Т.е., взяв уже знакомые ранее точки p1 и p2, получим направляющий вектор V(p1,p2), и аналогично второй вектор M(p3,p4). В теории мы должны вычислить достаточно «затратную» функцию, с корнями, квадратами, дробями и арккосинусом.

Давайте не будем останавливаться на ней, она долгая, нудная и в нашем случае ненужная. Рассмотрим вектор:

Вектор из точки p1 в точку p2 с указанием расстояний по Y и X

Рис.4. Вектор V(p1,p2)

α — угол наклона вектора к оси X, который можно найти, как:

α = arctan (A1 / B1)

Где расстояния:

A1 = (y1 — y2)

B1 = (x2 — x1)

Что-то знакомое? Да это ни что иное, как коэффициенты в уравнении прямой от образованных фанатов. Может они и правы в своем испепеляющем фанатизме…

Одним словом, коэффициенты (расстояния) у нас уже есть по обеим прямым.

Пересекающиеся векторы

Рис.5. Пересекающиеся вектор V(p1,p2) и вектор M(p3,p4)

Судя по рисунку, угол между векторами, это сумма углов наклона векторов к оси X. Ммм… не совсем так, на самом деле это разность.

Пересекающиеся векторы

Рис.6. Пересекающиеся векторы в положительной Y

По рисунку явно видно, что угол между векторам это γ = (β — α).

В предыдущем примере все правильно, просто знаки углов разные, т.к. находятся по разные стороны от оси X, а формула работает та же.

От теории к практике

Теперь в плане практического применения. Мне нужно точно знать, откуда, куда и в каком направлении этот угол. В теории, углом между прямыми считается наименьший из пары γ и (180-γ). Так вот, нам это не надо. Какой угол получится – такой нам и нужен.

Поэтому, под углом между векторами понимаем угол от вектора V(p1,p2) к вектору M(p3,p4). Если знак угла – отрицательный, понимаем, что он против часовой стрелки, иначе – по часовой стрелке.

Следует заметить, что, зная коэффициенты, для нахождения угла пересечения, координаты уже не нужны. Листинг таков:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

//**********************************************************

// Посчитать угол пересечения векторов по коэфф-ам А и B

//**********************************************************

function CalcCrossAngle(const a1,b1: Extended;

  const a2,b2: Extended): Extended;

var

  c1, c2: Extended;

begin

  c1 := ArcTan2(a1,b1);

  c2 := ArcTan2(a2,b2);

  Result := c2—c1;

  if Result < —pi then

    Result := 2*pi + Result;

  if Result > pi then

    Result := Result — 2*pi;

end;

Тут ситуация с вертикальной прямой, т.е. когда теоретически происходит деление на ноль, явно не обрабатывается. Она корректно обрабатывается функцией ArcTan2, которая вернет в этом случае и знак, и 90 градусов.  

Пересечение перпендикулярных векторов с верным подсчетом особого "вертикального" случая.

Рис.7. Пересечение перпендикулярных векторов

Практика 2

В дополнение к функции нахождения точки пересечения, напишем «продвинутую» функцию, которая находит эту точку, определяет нахождение на каждом из отрезков, и определяет угол между направляющими векторами. Или же определяет, что прямые параллельны/совпадают.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

//**********************************************************

//  Тип пересечения прямых (p1,p2) и (p3,p4)

//**********************************************************

type

  TxCrossLineResult = (

    xclrEqual    = —32// эквивалентны

   ,xclrParallel = —16// параллельны

   ,xclrOk       = 0  // как минимум пересечение есть

   ,xclrFirst    = 1  // попадает в первый отрезок

   ,xclrSecond   = 2  // попадает во второй отрезок

   ,xclrBoth     = 3  // попадает в оба

   ,xclrPerpend  = 4  // перпендикулярны

   // можно найти по маске через AND, но для полноты картины

   ,xclrFirstP   = 5  // перпендикулярны и попадает в первый

   ,xclrSecondP  = 6  // перпендикулярны и попадает в второй

   ,xclrBothP    = 7  // перпендикулярны и попадает в оба

   );

//**********************************************************

//  Нахождение точки пересечения прямых (p1,p2) и (p3,p4)

//  Определяет параллельность, совпадение,

//  перпендикулярность, пересечение.

//  Определяет, каким отрезкам принадлежит.

//  Находит угол(рад.) от (p1,p2) к (p3,p4):

//    отрицательное значение — против часовой

//    положительное — по часовой

//**********************************************************

function CrossLines(const p1,p2,p3,p4: TxPoint;

  var res: TxPoint; var Angle: Extended): TxCrossLineResult;

const

  Prec = 0.0001;

var

  a1, a2: Extended;

  b1, b2: Extended;

  c1, c2: Extended;

  v: Extended;

begin

  Angle := 0;

  a1 := p2.y — p1.y;

  a2 := p4.y — p3.y;

  b1 := p1.x — p2.x;

  b2 := p3.x — p4.x;

  c1 := p2.x*p1.y — p1.x*p2.y;

  c2 := p4.x*p3.y — p3.x*p4.y;

  v := a1*b2 — a2*b1;

  if abs(v) > Prec then

  begin

    Result := xclrOk;

    res.X := —(c1*b2 — c2*b1)/v;

    res.Y := —(a1*c2 — a2*c1)/v;

    if CheckCrossPoint(p1,p2,res) then

      Result := TxCrossLineResult(Integer(Result) +

        Integer(xclrFirst));

    if CheckCrossPoint(p3,p4,res) then

      Result := TxCrossLineResult(Integer(Result) +

        Integer(xclrSecond));

    if (abs(a1*a2 + b1*b2) < Prec) then

      Result := TxCrossLineResult(Integer(Result) +

        Integer(xclrPerpend));

    Angle := CalcCrossAngle(a1,b1,a2,b2);

  end else

  begin

    Result := xclrParallel;

    if ((abs(c1*b2 — c2*b1) < Prec) and

       (abs(a1*c2 — a2*c1) < Prec))

    then

      Result := xclrEqual;

  end;

end;

Исходники

Небольшие комментарии по интерфейсу.

Интерфейс программы

Рис.8. Интерфейс программы

Скачать (219 Кб): Исходники (Delphi XE 7-10)

Скачать (1.14 Мб): Исполняемый файл

При запуске генерируется случайным образом 4 точки, по две на прямую. Точки и отрезки можно перетаскивать мышкой. Также, слева присутствует панель, на которой можно ввести координаты точек или коэффициенты уравнения прямой. При нажатии «Enter» или когда элемент ввода теряет фокус, происходит перерасчет и перерисовка.

Внизу есть 4 кнопки переключения режимов отображения. Начиная со второй, помимо координат точки пересечений в верхнем левом углу будет отображаться текущий угол пересечения между направляющими векторами.

Если точка пересечений попадает в какой-либо из отрезков, соответствующий заголовок линии отрезка станет жирным. На рисунке это зеленая линия 2.

По умолчанию, рабочее поле системы координат имеет размерность [-10..10], которую можно изменить ползунком в нижнем правом углу.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти приложения автозапуска windows 10
  • Как найти линейную скорость центра шара
  • Как исправить оценку по математике 6 класс виленкин
  • Как найти площадь круга через вписанный треугольник
  • Mysql как найти слово