Как найти точку пересечения медиан пример

Как найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин?

1 способ

Поскольку все медианы треугольника пересекаются в одной точке, достаточно составить уравнения двух медиан и найти координаты их точки пересечения.

Пример.

Найти координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами в точках A(-4;-1), B(0;-3), C(2;1).

Решение:

Обозначим середины сторон BC и AC через A₁ и B₁ соответственно. По формулам координат середины отрезка

   

   

   

   

Составим уравнения медиан AA₁ и BB₁.

Уравнение медианы AA₁ можно найти как уравнение прямой, проходящей через две точки  A(-4;-1) и A₁(1;-1).

   

то есть уравнение прямой AA₁ y= -1.

B(0;-3), B₁(-1;0). Найдём уравнение медианы BB₁.

   

откуда уравнение прямой BB₁ y= -3x-3.

Координаты точки пересечения прямых AA₁ и BB₁ ищем как решение системы уравнений

   

Ответ:

   

2 способ

Поскольку все медианы медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины, можно найти координаты концов любой медианы, а затем точку, которая делит медиану в отношении 2:1, начиная отсчёт от точки, которая является вершиной треугольника.

Например, в условиях предыдущей задачи — найти координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами в точках A(-4;-1), B(0;-3), C(2;1), —

зная координаты A₁(1;-1), найдём координаты точки M. Точка M пересечения медиан треугольника делит отрезок AA₁ в отношении 2:1, считая от точки A.

По формулам деления отрезка в данном отношении

   

   

   

Точка пересечения медиан треугольника

Как найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин?

Поскольку все медианы треугольника пересекаются в одной точке, достаточно составить уравнения двух медиан и найти координаты их точки пересечения.

Найти координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами в точках A(-4;-1), B(0;-3), C(2;1).

Обозначим середины сторон BC и AC через A₁ и B₁ соответственно. По формулам координат середины отрезка

Составим уравнения медиан AA₁ и BB₁.

Уравнение медианы AA₁ можно найти как уравнение прямой, проходящей через две точки A(-4;-1) и A₁(1;-1).

то есть уравнение прямой AA₁ y= -1.

B(0;-3), B₁(-1;0). Найдём уравнение медианы BB₁.

откуда уравнение прямой BB₁ y= -3x-3.

Координаты точки пересечения прямых AA₁ и BB₁ ищем как решение системы уравнений

Поскольку все медианы медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины, можно найти координаты концов любой медианы, а затем точку, которая делит медиану в отношении 2:1, начиная отсчёт от точки, которая является вершиной треугольника.

Например, в условиях предыдущей задачи — найти координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами в точках A(-4;-1), B(0;-3), C(2;1), —

зная координаты A₁(1;-1), найдём координаты точки M. Точка M пересечения медиан треугольника делит отрезок AA₁ в отношении 2:1, считая от точки A.

Урок 1. Медианы треугольника. Точка пересечения медиан

Медианы треугольника. Точка пересечения медиан.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка пересечения медиан треугольника является центром тяжести этого треугольника.

Задача 1 Точка пересечения медиан треугольника отстоит от его вершин на расстояния, равные 4, 6 и 8. Найти длины медиан треугольника.

Решение. Пусть в треугольнике АВС AM, BE и CD — медианы, К – точка их пересечения, KС=4, KА=6 и КВ=8.

Так как , то есть на отрезок КА приходится 2 части, а на отрезок КМ – одна часть, то вся медиана АМ состоит из трех равных частей и

Получаем .

,

Задача 2 Медианы AM и СК треугольника АВС взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 и 9 . Вычислить длины сторон АВ и ВС.

Решение. Пусть медианы АМ и СК треугольника АВС пересекаются в точке Р. Тогда

,

поэтому и

, .

, .

Вычислим по теореме Пифагора длины отрезков AK и СМ, получаем

, .

Теперь вычислим длины сторон АВ и ВС:

АВ=2АК=10, ВС=2СМ=.

Ответ: 10;.

Тест для самоконтроля.

1. Медиана треугольника делит пополам (выбрать один из вариантов ответов)

1) угол треугольника

2) сторону треугольника

3) две стороны треугольника

2. В каком отношении точка пересечения медиан треугольника делит каждую из медиан треугольника (выбрать правильные варианты ответов).

1) 2:1 считая от основания треугольника

2) 1:2 считая от вершины треугольника

3) 2:1 считая от вершины треугольника

4) 1:2 считая от основания треугольника

5) на две равные части

3. Если в треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника, то какую часть медианы АМ составляет отрезок АР? (выбрать один из вариантов ответов)

4. В треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника. Какую часть медианы АМ составляет отрезок РМ? (выбрать один из вариантов ответов)

5. В треугольнике АВС проведена медиана АM и Р – точка пересечения медиан треугольника. Какую часть отрезка АР составляет отрезок РМ? (выбрать один из вариантов ответов)

Посмотреть правильные ответы.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Точка пересечения медиан треугольника отстоит от его вершин на расстояния, равные 6 см, 8 см и 12 см. Найдите длины медиан треугольника.

2. Медианы ВM и СК треугольника АВС взаимно перпендикулярны и равны соответственно 15 и 36 . Найдите длины сторон АВ и АС.

3. Медианы треугольника равны 6, 9 и 12. На каком расстоянии от вершин находится точка пересечения медиан треугольника?

4. Медианы треугольника равны 9, 12 и 18. Найдите расстояния от середин сторон треугольника до центра тяжести данного треугольника.

5. Центр тяжести треугольника отстоит от середин его сторон на расстояния. Равные 5, 6 и 7. Найдите медианы данного треугольника.

6. Точка пересечения медиан треугольника удалена от середин его сторон на расстояния, равные 2, 3 и 4. На каких расстояниях от вершин треугольника находится эта точка?

Точка пересечения медиан треугольника

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 243.

Средняя оценка: 4.1

Всего получено оценок: 243.

Медиана – это один из уникальных отрезков треугольника. Медиана имеет ряд свойств, полезных для решения задач, а точка пересечения медиан еще больше расширяет список этих свойств. О точке пересечения медиан, ее свойствах и пойдет речь сегодня.

Медиана

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой отрезка противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая зовется точкой пересечения медиан.

Медианы, в отличие от высот, всегда лежат внутри треугольника. Это логично, ведь отрезок медианы соединяет вершину и середину стороны. А середина стороны всегда лежит внутри треугольника.

Рис. 1. Медианы в тупоугольном треугольнике.

Если соединить два любых основания медиан отрезком, то получится средняя линия треугольника. Три средние линии треугольника образуют треугольник, подобный изначальному с коэффициентом подобия 1:2

Есть еще одно любопытное свойство медиан, которое позволит не запутаться при построении золотого сечения треугольника. Медиана в треугольнике всегда располагается между высотой и биссектрисой (исключение – равнобедренный и равносторонний треугольники).

Рис. 2. Золотое сечение произвольного треугольника.

Приведем формулу вычисления длины медианы по трем сторонам. Эта формула часто используется при решении задач, и потому ее желательно запомнить.

Зачастую ученикам проще запомнить словесную формулировку, а не заучивать формулу. Чтобы найти медиану по трем сторонам, нужно взять корень из сумм удвоенных квадратов сторон минус квадрат стороны, к которой проведена медиана. Полученный корень нужно поделить пополам.

Точка пересечения медиан

Точка пересечения медиан является одной из 3 замечательных точек треугольника, которые составляют золотое сечение треугольника.

Точка пересечения медиан треугольника имеет ряд свойств, полезных при решении задач:

• Медиана точкой пересечения делится на отрезки в отношении 2:1 считая от вершины.
• Три медианы, проведенные в треугольнике, делят его на 6 равновеликих треугольников. Равновеликими называют треугольники с равной площадью. Сами по себе эти фигуры имеют мало общего, но численная характеристика площади у них совпадает.
• Точка пересечения медиан в треугольнике называется центроидом и является центром тяжести треугольника.

Точка пересечения медиан единственная из золотого сечения треугольника, имеет реальный физический смысл. Если из картона вырезать треугольник, тонким карандашом провести в нем медианы, то точка их пересечения будет центром тяжести плоской фигуры.

Рис. 3. Центр тяжести треугольника.

Это значит, что если установить иголку в эту точку, то фигура будет держаться на ней без прокола, исключительно за счет равновесия.

Что мы узнали?

Мы привели формулу вычисления медианы по 3 сторонам треугольника. Привели несколько свойств точки пересечения медиан в треугольнике. Поговорили о реальном физическом значение центроида треугольника.

Общие сведения

Перед доказательством теорем необходимо ознакомиться с основными понятиями. Прямой называется совокупность точек, расположенных в одной плоскости, через которые можно провести линию без искажений в пространстве. Отрезок — часть прямой, ограниченной правой и левой границами.

Треугольник (обозначается «Δ») — геометрическая фигура, состоящая из трех сторон и вершин. Предпоследние являются отрезками, а последние — точками, не лежащими на одной прямой и соединяющими стороны между собой. Следует отметить, что треугольники бывают нескольких типов. К ним относятся следующие:

1. Произвольный.
2. Равнобедренный.
3. Равносторонний (правильный).

Первая группа состоит из сторон различной длины. При двух эквивалентных между собой сторонах фигура является равнобедренной. Обязательным условием для третьей группы считается равенство всех сторон. Кроме того, фигуры делятся по типу градусных мер таким образом:

1. Остроугольные.
2. Прямоугольные.
3. Тупоугольные.

Остроугольным называется треугольник, у которого углы (в задачах обозначается символом «∠ «) меньше 90 градусов.

Если у него один из ∠ эквивалентен 90, то этот признак свидетельствует о принадлежности его ко второму типу. Когда у фигуры хотя бы один из ∠ больше 90, тогда он принадлежит к третьему виду.

Понятие дополнительных отрезков

У любого Δ существуют дополнительные отрезки, которые используются при решении задач по геометрии. К ним относятся следующие: медиана, биссектриса и высота. Они существенно отличаются между собой в произвольных треугольниках, а также совпадают в равнобедренных и правильных геометрических телах.

Медиана (М) — некоторый отрезок, исходящий из вершины на середину стороны. Иными словами, любой геометрический элемент, опущенный из вершины на среднюю точку, является медианой. Последних в треугольнике может быть не более трех.

Биссектриса (Б) — часть прямой, которая делит угол на два равных компонента. В любом треугольнике можно провести всего три таких отрезка. Высота (В) — перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону. Следует отметить, что высоты бывают внешними и внутренними. Первые проводятся из вершины на проекцию Δ, а вторые находятся внутри фигуры. В каждом треугольнике можно провести определенное количество дополнительных отрезков:

1. Произвольный: М — 3, В — 3 и Б — 3. Все они не совпадают между собой.
2. Равнобедренный: М — 2, В — 2, Б — 2 и М=В=Б=1 (совпадают между собой). Всего элементов: 2+2+2+3*1=9.
3. Правильный: М=В=Б=3. Общее количество элементов: 3.

Во втором случае М, В и Б совпадают между собой только один раз, а в последнем — полное сходство, поскольку медианы являются биссектрисами и высотами. Их точка пересечения — центр треугольника. Далее следует перейти к непосредственному доказательству теорем.

Теорема о взаимном пересечении

Первую базовую теорему, которую следует разобрать, имеет такую формулировку: медианы любого треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром фигуры. Ее доказательство осуществляется по такому алгоритму:

1. Начертить произвольный ΔSTU. Провести в нем медианы SS’ и TT’. Обозначить точку их пересечения «F».
2. Доказывать утверждение нужно от противного, т. е. предположить, что медианы не пересекаются, т. е. являются параллельными отрезками (SS’||TT’).
3. Из этого утверждения следует, что сторона фигуры ST является их секущей.
4. Следовательно, ∠S+∠T=360. Однако это противоречит свойству градусных мер углов треугольника, которые должны быть не более 180. Исходя из этого, предыдущая гипотеза не подтверждается.
5. На основании вывода из четвертого пункта теорема доказана полностью.

Аналогично можно доказать, что медиана UU’ также пересекается с SS’ и TT’ в точке F. Для этой цели необходимо начертить еще один треугольник с таким же обозначением, т. е. ΔSTU.

После этого выполнить все пять пунктов алгоритма, но для медиан SS’ и UU’. Затем сопоставить два доказательства для получения общей формулировки.

Утверждения о соотношении

Однако для решения задач одной теоремы о пересечении медиан недостаточно. Математики доказали несколько других утверждений, которые могут быть полезными при нахождении неизвестных величин. Первая из них гласит, что точка, в которой пересекаются медианы, пропорционально делит медианы 2:1 относительно вершины. Для доказательства утверждения необходимо воспользоваться такой методикой:

1. Начертить ΔSTU и провести в нем SS’ и UU’, обозначив их пересечения точкой «F».
2. Из точек S’ и U’ опустить отрезки на SF и UF так, чтобы разделить их на две равные части (U» и S»).
3. В результате операций, выполненных во втором пункте, получился четырехугольник. Его сторона U’S’ является средней линией ΔSTU, т. е. U’S’||SU и U’S’=0,5SU.
4. Сторона U»S» — средняя линия ΔSFU, т. е. U»S»||SU и U»S»=1/2(SU).
5. Из третьего и четвертого пунктов можно сделать вывод, что U’S’U»S» — параллелограмм, у которого диагонали пересекаются в точке и делятся на две равные части.
6. Выполнив анализ информации, полученной на пятом шаге, можно завершить доказательство теоремы, т. к. диагонали параллелограмма делятся в пропорциональном соотношении 2:1.

Следующим полезным утверждением является формула, позволяющая найти длину медианы. Она в словесном эквиваленте звучит таким образом: длина равна квадратному корню из суммы половины квадратов двух других сторон, не принадлежащих ей, без четвертой части квадрата стороны, на которую она опущена. Для доказательства рекомендуется использовать такой алгоритм:

1. Начертить ΔSTU с медианой SS’=М{u} (опущена на UT), обозначив его стороны s=US, t=ST и u=UT.
2. По свойству медианы: US’=0.5*UT.
3. Образовались два треугольника ΔUSS’ и ΔTSS’.
4. Для нахождения M необходимо к каждому Δ применить теорему косинусов. В результате этого получатся такие соотношения: s^2=M{u}^2+(u/2)^2-2M{u}(u/2)cos(∠U) и t^2=M{u}^2+(u/2)^2-2M{u}(u/2)cos(Pi-∠U).
5. Выполняя математические операции по раскрытию скобок и складывая между собой полученные соотношения, получается искомая формула: M{u}=[(s^2)/2 + (t^2)/2 — (u^2)/4]^(1/2).
6. Утверждение доказано.

Теорема имеет следствие, представленное в виде соотношения, позволяющее выявить взаимосвязь между сторонами и медианами. Оно имеет такой вид: (М{u})^2 + (М{s})^2 + (М{t})^2=3/4(s^2+t^2+u^2).

Координаты точки

При решении задач очень часто необходимо находить координаты точки пересечения медиан произвольного ΔSTU. Доказательство или выведение этой формулы является очень сложным. Однако математики решили данную проблему. Они предлагают использовать уже готовое соотношение, состоящее из двух компонентов:

1. Ордината: Y=[(М{u})^2+(М{s}+М{t}^2 — 2М{u}М{s}М{t}]^(1/2)=[(s+t)^2+u^2 — 2((s*t*u)/(s*t*u))]^(1/2).
2. Абсцисса: X=[((М{u})^2+(М{s}+М{t}^2)/(2М{u}М{s}М{t})]^(1/2)=[((s+t)^2+u^2)/(2((s*t*u)/(s*t*u)))]^(1/2).

Вышеописанные формулы рекомендуется применять, когда требуется определить координаты точек без чертежа. Специалисты на ранних этапах обучения рекомендуют размещать треугольник в прямоугольной декартовой системе координат. После этого отмечать каждую вершину с заданными координатами, а затем проводить медианы.

Для нахождения величины абсциссы и ординаты нужно из искомой точки опускать перпендикуляры на последние.

Нахождение координаты будет очень простым и удобным. Кроме того, в интернете существует множество приложений для этих целей. Они называются онлайн-калькуляторами.

Иногда встречаются задания со следующей формулировкой: выведите формулы, выражающие координаты точки пересечения медиан, с исходными данными (вершинами или сторонами). Для этого рекомендуется просто подставить искомые значения в соответствующие формулы нахождения абсциссы и ординаты.

Полезные свойства

Математики для облегчения учебы вывели важные свойства медианы. К ним относятся следующие:

1. Точка пересечения является центром вписанной и описанной окружностей, почему ее еще и называют симметрией фигуры.
2. Точки соприкосновения медиан со сторонами образуют средние линии искомого треугольника. Их всего три.
3. Подобие фигур относительно исходной.
4. Медианы делят произвольный треугольник на шесть подобных.
5. Отрезок, опущенный на гипотенузу, делит ее на два радиуса описанной окружности.

На координатной плоскости, руководствуясь первым свойством, чертится треугольник. После этого требуется провести две медианы, обозначив общую точку (где они пересекаются). Далее необходимо поставить в нее иголку циркуля, и начертить окружность вокруг фигуры. Затем в искомом круге проводится диаметр D.

В результате у вписанной окружности величина радиуса должна соответствовать значению D/4. На основании этого необходимо полагать, что построение выполнено правильно. В противном случае допущена некоторая неточность.

Используя второе свойство, можно найти следующие параметры: площадь, стороны и другие элементы фигуры. В любых задачах допускается подобное дополнительное построение. Однако специалисты рекомендуют его применять только при необходимости, а не загромождать чертеж.

Третье и четвертое свойства применяются для подсчета площадей подобных фигур. Коэффициент подобия зависит от количества проведенных медиан:

1. Одна: 1:0,75.
2. Две: 1:3,2.
3. Три: 1:6.

Последние цифры являются коэффициентом подобия. В прямоугольном треугольнике медиана, опущенная из прямого угла, делит ее на две равные части-радиусы описанной окружности.

Таким образом, сведения о медианах в треугольнике расширяет возможности расчета некоторых параметров фигуры.

Пример решения
некоторых заданий из типовой работы
«Аналитическая геометрия на плоскости»

Даны вершины
,

,

треугольника АВС. Найти:

1. Уравнения всех
   сторон треугольника;

2. Систему линейных
   неравенств, определяющих треугольник
   АВС;

3. Уравнения высоты,
   медианы и биссектрисы треугольника,
   проведенных из вершины А;

4. Точку пересечения
   высот треугольника;

5. Точку пересечения
   медиан треугольника;

6. Длину высоты,
   опущенной на сторону АВ;

7. Угол А;

8. Сделать чертеж.

Решение:

Пусть вершины
треугольника имеют координаты: А
(1; 4), В
(5; 3), С
(3; 6). Сразу нарисуем чертеж:

1. Чтобы выписать
уравнения всех сторон треугольника,
воспользуемся уравнением прямой,
проходящей через две заданные точки с
координатами (x₀,
y₀)
и (x₁,
y₁):

=

Таким образом,
подставляя вместо (x₀,
y₀)
координаты точки А,
а вместо (x₁,
y₁)
координаты точки В,
мы получим уравнение прямой АВ:

Полученное уравнение
будет уравнением прямой АВ,
записанным в общей форме. Аналогично
находим уравнение прямой АС:

И так же уравнение
прямой ВС:

2. Заметим, что
множество точек треугольника АВС
представляет собой пересечение трех
полуплоскостей, причем каждую полуплоскость
можно задать с помощью линейного
неравенства. Если мы возьмем уравнение
любой из сторон ∆АВС,
например АВ,
тогда неравенства

и

задают точки,
лежащие по разные стороны от прямой АВ.
Нам нужно выбрать ту полуплоскость, где
лежит точка С. Подставим ее координаты
в оба неравенства:

и
.

Правильным будет
второе неравенство, значит, нужные точки
определяются неравенством

.

Аналогично поступаем
с прямой ВС, ее уравнение
.
В качестве пробной используем точку А
(1, 1):

,

значит, нужное
неравенство имеет вид:

.

Если проверим
прямую АС (пробная точка В), то получим:

,

значит, нужное
неравенство будет иметь вид

Окончательно
получаем систему неравенств:

Знаки «≤», «≥»
означают, что точки, лежащие на сторонах
треугольника, тоже включены во множество
точек, составляющих треугольник АВС.

3. а) Для того, чтобы
найти уравнение высоты, опущенной из
вершины А на
сторону ВС,
рассмотрим уравнение стороны ВС:

.
Вектор с координатами

перпендикулярен стороне ВС
и, значит, параллелен высоте. Запишем
уравнение прямой, проходящей через
точку А
параллельно вектору
:

Это уравнение
высоты, опущенной из т. А
на сторону ВС.

б) Найдем координаты
середины стороны ВС
по формулам:

Здесь

– это координаты т. В,
а

– координаты т. С.
Подставим и получим:

Прямая, проходящая
через эту точку и точку А
является искомой медианой:

в) Уравнение
биссектрисы мы будем искать, исходя из
того, что в равнобедренном треугольнике
высота, медиана и биссектриса, опущенные
из одной вершины на основание треугольника,
равны. Найдем два вектора

и

и их длины:

,

Тогда вектор

имеет такое же направление, что и вектор
,
а его длина

Точно так же единичный вектор

совпадает по направлению с вектором

Сумма векторов

есть вектор, который
совпадает по направлению с биссектрисой
угла А.
Таким образом, уравнение искомой
биссектрисы можно записать виде:

4) Уравнение одной
из высот мы уже построили. Построим
уравнение еще одной высоты, например,
из вершины В.
Сторона АС
задается уравнением

Значит, вектор

перпендикулярен АС,
и, тем самым, параллелен искомой высоте.
Тогда уравнение прямой, проходящей
через вершину В
в направлении вектора

(т. е. перпендикулярно АС),
имеет вид:

Известно, что
высоты треугольника пересекаются в
одной точке. В частности, эта точка
является пересечением найденных высот,
т.е. решением системы уравнений:

— координаты этой
точки.

5. Середина АВ
имеет координаты
.
Запишем уравнение медианы к стороне
АВ. Эта
прямая проходит через точки с координатами
(3, 2) и (3, 6), значит, ее уравнение имеет
вид:

Заметим, что ноль
в знаменателе дроби в записи уравнения
прямой означает, что эта прямая проходит
параллельно оси ординат.

Чтобы найти точку
пересечения медиан достаточно решить
систему уравнений:

Точка пересечения
медиан треугольника имеет координаты
.

6. Длина высоты,
опущенной на сторону АВ,
равна расстоянию от точки С
до прямой АВ
с уравнением

и находится по формуле:

7. Косинус угла А
можно найти по формуле косинуса угла
между векторами

и
,
который равен отношению скалярного
произведения этих векторов к произведению
их длин:

:

Соседние файлы в папке Математика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #