Как найти точку пересечения медианы с высотой

Точка пересечения высот треугольника – уравнение, примеры

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 406.

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 406.

Точка пересечения высот треугольника относится к одной из трех замечательных точек треугольника. Замечательными эти точки зовутся не за красоту, а за отношение к золотому сечению треугольника, которое характеризует данную фигуру.

Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Высота

Что такое высота? Высота это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону треугольника (может получиться, что высота будет падать на продолжение стороны, как это бывает с тупоугольными треугольниками).

Рис. 1. Высота в треугольнике.

Точка пересечения высот

У любого треугольника есть три высоты, и они всегда пересекаются в одной точке. Эта точка является одним из 3 центров треугольника и зовется ортоцентром.

Еще со времен Древней Греции приставкой «орто» обозначали перпендикуляр. Ортогоналями звались перпендикулярные прямые.

Рис. 2. Ортогональные прямые.

Ортоцентр имеет три варианта расположения в зависимости от вида треугольника:

Рис. 3. Точка пересечения высот треугольника.

Золотое сечение треугольника

Золотое сечение треугольника это маленький треугольник внутри фигуры, который определяется как пересечение трех центров треугольника.

Три центра треугольника это:

• Точка пересечения биссектрис
• Точка пересечения высот
• Точка пересечения медиан.

Золотое сечение иногда может вырождаться в прямую или даже точку. В равнобедренном треугольнике точка пересечения высот и медиан совпадает, в результате для построения золотого сечения понадобится только 2 точки и золотое сечение выродится в отрезок.

О центрах треугольника существует целая онлайн энциклопедия.

Список центров треугольника и свойств каждого из них был начат Карлом Кемберлингом в 1994 году. Онлайн ресурс пополняется все новыми и новыми данными по мере их открытия в высшей математике. В школьном курсе рассматривается только 3 центра треугольника.

В правильном треугольнике и вовсе каждая высота будет совпадать с соответствующей медианой, биссектрисой и высотой. Значит, все три центра треугольника совпадут, и золотым сечением треугольника будет – точка.

Обратите внимание, что нельзя составить уравнение точки пересечения высот треугольника. Можно составить только уравнение прямой. Например, составить два уравнения высот, затем приравнять их и найти координату точки пересечения.

Что мы узнали?

Мы узнали, в каких построениях участвует точка пересечения высот треугольника. Поговорили о случаях, когда эта точка совпадает с другими центрами треугольника, выяснили особенности расположения ортоцентра в разных видах треугольников.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Пока никого нет. Будьте первым!

Оценка статьи

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 406.

---

А какая ваша оценка?

Теорема о пересечении высот треугольника 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

 

Тема: Окружность

Урок: Теорема о пересечении высот треугольника

1. Свойства серединного перпендикуляра

Для данного урока нам полезно знать свойства серединного перпендикуляра к отрезку и свойство трех серединных перпендикуляров треугольника.

Задан треугольник .  – серединный перпендикуляр к ВС, – серединный перпендикуляр к АС, – серединный перпендикуляр к АВ (см. Рис. 1).

Точка О равноудалена от вершин треугольника,

Рис. 1

Переходим к рассмотрению центральной теоремы данного урока.

2. Теорема о пересечении высот треугольника

Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, эта точка носит название ортоцентра (см. Рис. 2).

3. Ортоцентр остроугольного треугольника

Задан треугольник , , , .

Доказать, что

Рис. 2

Доказательство:

Проведем через вершины треугольника прямые, параллельные их противоположным сторонам:

через вершину А – прямую ,

через вершину В – прямую ,

через вершину С – прямую .

Получили новый треугольник , рассмотрим его свойства (см. Рис. 3).

, значит,  . Аналогично . Отсюда четырехугольник  является параллелограммом.

Рис. 3

Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, отсюда , .

Аналогично ,  по построению. Четырехугольник  – параллелограмм. Отсюда , .

, , отсюда . Таким образом, точка А – середина отрезка , а значит, высота АА₁ в маленьком треугольнике – это серединный перпендикуляр в большом треугольнике.

Аналогичные действия можно выполнить для вершин В и С. Получим, что В – середина отрезка , ВВ₁ – серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника; С – середина , СС₁ – серединный перпендикуляр к стороне большого треугольника.

Мы знаем, что серединные перпендикуляры в большом треугольнике АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекутся в одной точке – в точке Н. Также мы знаем, что эти серединные перпендикуляры являются высотами маленького треугольника, таким образом, высоты треугольника пересекаются в одной точке Н, что и требовалось доказать.

В треугольнике все медианы и биссектрисы принадлежат треугольнику, чего нельзя сказать о высотах. В остроугольном треугольнике каждая высота принадлежит треугольнику.

Задача

Треугольник  остроугольный, АА₁ – высота (см. Рис. 4). Доказать, что основание высоты А₁ – это внутренняя точка отрезка ВС.

Дано: треугольник , , , ,

Доказать, что А₁ – это внутренняя точка отрезка ВС

Рис. 4

Доказательство:

Докажем от противного: пусть АА₂ – это высота, и точка А₂ не является точкой отрезка ВС (см. Рис. 5).

Тогда угол  – внешний угол для треугольника . Внешний угол равен сумме внутренних углов треугольника, несмежных с ним, то есть углов  и , то есть сумме прямого угла и какого-то острого угла, а данная сумма будет больше , то есть угол  будет тупой, что противоречит условию.

Рис. 5

Таким образом, основание высоты треугольника является внутренней точкой отрезка ВС.

Сделаем вывод: аналогичное доказательство можно выполнить для двух других высот остроугольного треугольника , отсюда все три высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника, точка их пересечения – ортоцентр – находится внутри треугольника.

4. Ортоцентр тупоугольного треугольника

Рассмотрим тупоугольный треугольник и докажем, что его ортоцентр находится вне треугольника (см. Рис. 6).

Задан треугольник ,  тупой. АА₁ – высота треугольника. Докажем, что точка В₁ – основание высоты ВВ₁ – не принадлежит отрезку АС.

От противного: пусть точка В₁ принадлежит отрезку АС. Тогда треугольник  не существует, т.к. сумма тупого угла  и прямого угла  больше . Таким образом, основание высоты ВВ₁ расположено на продолжении отрезка АС.

Рис. 6

Аналогично можно выполнить доказательство для высоты СС₁, получим, что ее основание также лежит на продолжении отрезка АВ. Таким образом, точка пересечения данного треугольника лежит вне треугольника.

5. Выводы по уроку

Итак, мы рассмотрели теорему о пересечении высот треугольника, на следующем уроке мы рассмотрим окружность, вписанную в треугольник.

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Home-edu.ru (Источник).
2. Mat.1september.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Задание 1 – Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, 7-9, № 685, ст. 180.
2. Задание 2 – доказать, что шесть углов остроугольного треугольника, образованных при пересечении высот треугольника, попарно равны углам треугольника.
3. Задание 3 – докажите, что если две замечательные точки треугольника совпадают, то треугольник равносторонний. Рассмотрите все возможные случаи.

Калькулятор центроида треугольника

Этот калькулятор центроида треугольника вернет местоположение центроида для вашего треугольника. Центроид — это точка , в которой центр тяжести лежит на для любого объекта с однородным распределением массы.

3 y_i yc​=3y1​+y2​+y3​=31​n=1∑3​yi​ 93 x_i xc​=3×1​+x2​+x3​=31​n=1∑3​xi​

Уравнения для центроида C с координатами (xc,yc)(x_c, y_c)(xc​, yc​) — формулы центроида треугольника.

Кроме того, вы также можете найти центр тяжести треугольника, нарисовав медианы . Геометрически центроид — это точка, которая лежит на пересечении медиан треугольника . Такой, что центр тяжести прямоугольного треугольника составляет одну треть его высоты и основания, т. е.

xc=b3;yc=h4x_c = frac{b}{3} ;
y_c = frac{h}{3}xc=3b​;yc=3h​

Как пользоваться калькулятором центроида треугольника

Найдем центроид треугольника с вершинами, лежащими на (1,1)(1,1)(1,1), (3,4)(3,4)( 3,4) и (4,5)(4,5)(4,5).

Чтобы найти центроид треугольника с вершинами:

1. Введите координаты точки A , x1=1, y1=1x_1 = 1, y_1 = 1×1​=1, y1​=1.
2. Заполните координаты точки B , x2=3, y2=4x_2 = 3, y_2 = 4×2​=3, y2​=4.
3. Вставить координаты точки C , x3=4, y3=5x_3 = 4, y_3 = 5×3​=4, y3​=5.
4. Координаты задаются центроидом калькулятора треугольника как:

xc=1+3+43=2,67yc=1+4+53=3,33scriptsize begin{align*}
qquad x_c &= frac{1 + 3 + 4}{3} = 2,67 \
y_c &= frac{1 + 4 + 5}{3} = 3,33
end{align*}xc​yc​=31+3+4​=2.67=31+4+5​=3.33​

Если вам интересен этот калькулятор, вас ждут похожие калькуляторы для треугольников:

• Калькулятор центроидов;
• Калькулятор стороны и угла прямоугольного треугольника;
• Калькулятор стороны треугольника;
• Калькулятор отсутствующей стороны треугольника;
• Калькулятор длины треугольника;
• Калькулятор градусов треугольника;
• Калькулятор стороны и угла треугольника;
• Калькулятор угла прямоугольного треугольника; и
• Проверка подобия в калькуляторе прямоугольных треугольников.

Часто задаваемые вопросы

Как вычислить центр тяжести треугольника?

Чтобы вычислить центр тяжести треугольника:

1. Добавьте x-координаты всех точек.
2. Разделите суммы на 3 , чтобы получить x-координату центра тяжести.
3. Добавьте y-координаты всех точек.
4. Разделите суммы на 3 , чтобы получить координату y центра тяжести.

На каком расстоянии находится центр тяжести от противоположной вершины?

Центроид делит медиану на отношение 2:12:12:1 , поэтому мы также можем оценить центр тяжести, пройдя одну треть расстояния в каждую сторону от противоположной вершины.

Медиана треугольника в геометрии

В геометрии медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Другими словами, это линия, проведенная от угла треугольника к середине стороны, противоположной этому углу. В этом сообщении блога мы рассмотрим, что такое медианы, почему они важны и как их рассчитать.

Что такое медиана?

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Другими словами, это линия, проведенная от угла треугольника к середине стороны, противоположной этому углу. Давайте рассмотрим пример:

В приведенном выше треугольнике мы видим, что есть три медианы: MN, соединяющая вершину M с серединой стороны BC; PQ, соединяющий вершину P с серединой стороны AC; и RS, которая соединяет вершину R с серединой стороны AB.

Почему медианы важны?

Медианы важны, потому что с их помощью можно найти высоту треугольника. Высота треугольника — это перпендикулярное расстояние от основания (стороны) до вершины (вершины). Высоту также можно рассматривать как длину медианы, проходящей за точку ее пересечения с основанием.

Как рассчитать медианы?

Медианы можно вычислить двумя способами: с помощью пропорций или с помощью алгебры. Мы кратко рассмотрим оба метода ниже.

Метод пропорций: Чтобы использовать пропорции, вам нужно найти два подобных треугольника — треугольники, у которых есть соответствующие углы с равными мерами и/или стороны с равными пропорциями. Как только вы нашли два подобных треугольника, составьте уравнение пропорции и найдите x. Это значение x будет представлять половину желаемой медианы. См. пример ниже:

AC/MN = AM/x AM = AC*x/MN x = AM*MN/AC медиана MN = x = 6*6/9 = 4

Метод алгебры: Вы также можете использовать алгебру для вычисления медианы. Для этого составьте два уравнения, используя информацию, указанную в вашем вопросе, а затем решите x, используя любой метод, который вы хотите (подстановка или исключение). См. пример ниже:

M находится посередине между B и C, подразумевает MB + MC = 2*AM 6 + MC = 2*4 MC = 8 — 6 MC = 2, следовательно, медиана MN = 2 единицы

Медиана — важное понятие в геометрии, имеющее множество практических применений.