Как найти точку пересечения высот треугольника abc

Точка пересечения высот треугольника — свойства, координаты и расположение ортоцентра

Что такое высота

Если из вершины опустить перпендикуляр на противоположную сторону, получится отрезок, который именуется высотой. В равнобедренном треугольнике 2 отрезка равны, а в равностороннем равны все 3.

У фигур с углами 90 и более градусов высота попадает на противоположную сторону. В случае острого угла дело обстоит иначе. Прямая попадет только на продолжение противоположной стороны и будет находиться вне самой фигуры. Таким образом, если все углы острые, отрезки будут находиться внутри, как и ортоцентр. В тупоугольной фигуре два из трех отрезков будут проходить за его пределами — ортоцентр окажется вне фигуры.

Свойства ортоцентра

Свойства высот треугольника, пересекающихся в одной точке, давно изучены и описаны. Согласно основному из них, все 3 высоты всегда пересекаются в одном месте. Иногда, чтобы найти это место, отрезки нужно продлить, превратив в ортогональные прямые.

Ортоцентр по отношению к фигуре может быть расположен:

• внутри;
• снаружи;
• в вершине (у прямоугольных треугольников)

Ортоцентр — важная в геометрии характеристика, влияющая на нахождение золотого сечения.

Так называется маленький треугольник, расположенный внутри основного, находящийся на пересечении его трех параметров:

Золотое сечение может представлять собой не только треугольную фигуру, но и отрезок. В правильном треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают, значит, золотое сечение превращается в точку.

Полезные факты

Местонахождение ортоцентра имеет некоторые закономерности. Их знание принесет пользу при решении задач.

Пусть:

• H — ортоцентр в ABC;
• О — центр описанной окружности.

Тогда:

• окружности, описанные вокруг АБС, АНВ, CHB, HCA, равны:
• отрезок BH вдвое длиннее отрезка АС;
• середины отрезков AC и BH разделены расстоянием, равным радиусу описанной окружности.

Задача Фаньяно

Это классическая теорема. Она возникла в процессе поиска фигур с наименьшим периметром. Теорему доказал Фаньяно — итальянский математик и инженер. Это произошло еще в начале XVIII века.

Формулировка: ортотреугольник, то есть фигура, полученная соединением трех оснований треугольника, проведенный внутри остроугольного треугольника, имеет самый маленький периметр изо всех возможных, вписанных в данную фигуру.

Площадь ортотреугольника рассчитывается по формуле:

Здесь S — площадь, а, b, c — стороны.

Существует понятие ортоцентрической системы. Оно включает в себя 3 вершины и место пересечения их высот. Любая из данных четырех точек будет являться ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными.

История изучения

Важное значение имеет место пересечения медиан или центр тяжести. Вместе с ортоцентром это еще одна «замечательная точка», которая была известна еще древним грекам. Так их стали называть начиная с 18 века, другое название «особенные».

Исследование этих точек стало началом для создания геометрии треугольника, основателем которой считается Леонард Эйлер. Ученый показал, что в любом треугольнике точки соединения высот, медиан и центр описанного круга находятся на одной линии, которую позже назвали прямой Эйлера.

В позапрошлом веке была обнаружена окружность 9 точек или Фейербаха. Она состоит из оснований медиан, высот и центров высот. Оказалось, что все эти точки лежат на общей окружности, центр которой находится на линии Эйлера.

Каждый отрезок, прочерченный из ортоцентра до соединения с описанной окружностью, всегда будет делиться линией Эйлера на 2 равные части.

Треугольник — удивительная фигура, изучением которой занимается целый раздел геометрии. Ортоцентр и его свойства имеют широкое применение в практической жизни, например, в строительстве. Этот показатель настолько важен и распространен, что существуют калькуляторы, позволяющие определить местонахождение точки по координатам вершин.

Ортоцентр треугольника

Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника или их продолжений. Традиционно обозначается латинской буквой H. В зависимости от вида треугольника ортоцентр может находиться внутри треугольника (в остроугольных), вне его (в тупоугольных) или совпадать с вершиной (в прямоугольных — совпадает с вершиной при прямом угле).

Пример

В приведенном ниже примере, O это ортоцентр..

Метод расчета ортоцентра треугольника

Пускай даны точки треугольника A(4,3), B(0,5) и C(3,-6).

Шаг 1

Найдем наклоны сторон AB, BC и CA используя формулу y2-y1/x2-x1. Наклон обозначим ‘m’.

• Наклон AB (m) = 5-3/0-4 = -1/2.
• Наклон BC (m) = -6-5/3-0 = -11/3.
• Наклон CA (m) = 3+6/4-3 = 9.

Шаг 2

Теперь, давайте вычислим наклон высоты AD, BE и CF который перпендикулярен сторонам BC, CA и AB соответственно. Наклон высоты = -1/наклон противоположной стороны треугольника.

• Наклон AD = -1/наклон BC = 3/11.
• Наклон BE = -1/наклон CA = -1/9.
• Наклон CF = -1/наклон AB = 2.

Шаг 3

После того, как мы нашли наклон перпендикуляров, мы должны найти уравнение линий AD, BE и CF. Давайте найдем уравнение линии AD с точкой (4,3) и наклоном 3/11.
Формула, для нахождения уравнения ортоцентра треугольника = y-y1 = m(x-x1) y-3 = 3/11(x-4)

1) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим 3x-11y = -21

Кроме того, мы должны найти уравнение линий BE и CF. Уравнение для линии BE с точкой (0,5) и наклоном -1/9 = y-5 = -1/9(x-0)

2) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим x + 9y = 45

Уравнение для линии CF с точкой (3,-6) и наклоном 2 = y+6 = 2(x-3)

3) Упростив выше приведенное уравнение, мы получим 2x — y = 12

Шаг 4

Найдем значение x и y решив 2 любых из 3 уравнений.

В этом примере, значение x и y (8.05263, 4.10526) которые являются координатами Ортоцентра (o).

Даны точки A(5; — 1), B(4; — 8), C(- 4; — 4). Найдите координаты точки пересечения высот треугольника ABC.

Найдём уравнение прямой BC по двум точкам:

= , или y = — x — 6.

Тогда её угловой коэффициент k₁ = — . Если k₂ — угловой коэффициент прямой, содержащей высоту AP, то k₁ . k₂ = — 1. Поэтому

k₂ = — = 2.

Уравнение прямой, содержащей высоту AP треугольника ABC, найдём по точке A(5; — 1) и угловому коэффициенту k₂ = 2:

Найдём уравнение прямой AC по двум точкам:

= , или y = x — .

Тогда её угловой коэффициент k₃ = . Если k₄ — угловой коэффициент прямой, содержащей высоту BQ, то k₄ . k₃ = — 1. Поэтому

k₄ = — = — 3.

Уравнение прямой, содержащей высоту BQ треугольника ABC, найдём по точке B(4; — и угловому коэффициенту k₄ = — 3:

Координаты точки H пересечения высот треугольника ABC найдём, решив систему уравнений, задающих прямые AP и BQ:

Ответ

Решение

Найдём уравнение прямой BC по двум точкам:

= , или y = — x — 6.

Тогда её угловой коэффициент k₁ = — . Если k₂ — угловой коэффициент прямой, содержащей высоту AP, то k₁ ^. k₂ = — 1. Поэтому

k₂ = — = 2.

Уравнение прямой, содержащей высоту AP треугольника ABC, найдём по точке A(5; — 1) и угловому коэффициенту k₂ = 2:

y + 1 = 2(x — 5), или y = 2x — 11.

Найдём уравнение прямой AC по двум точкам:

= , или y = x — .

Тогда её угловой коэффициент k₃ = . Если k₄ — угловой коэффициент прямой, содержащей высоту BQ, то k₄ ^. k₃ = — 1. Поэтому

k₄ = — = — 3.

Уравнение прямой, содержащей высоту BQ треугольника ABC, найдём по точке B(4; — и угловому коэффициенту k₄ = — 3:

y + 8 = — 3(x — 4), или y = — 3x + 4.

Координаты точки H пересечения высот треугольника ABC найдём, решив систему уравнений, задающих прямые AP и BQ:

Получим: x = 3, y = — 5.

Ответ

(3; — 5).

Как найти координаты пересечения высот в треугольнике

Линия, проведенная из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной стороне, называется его высотой. Зная координаты вершин треугольника, можно найти его ортоцентр — точку пересечения высот.

Инструкция

Рассмотрите треугольник с вершинами A, B, C, координаты которых, соответственно (xa, ya), (xb, yb), (xc, yc). Проведите высоты из вершин треугольника и обозначьте точку пересечения высот как точку О с координатами (x, y), которые и необходимо найти.

Составьте уравнение сторон треугольника. Сторона AB выражается уравнением (x−xa)/(xb−xa)=(y−ya)/(yb−ya). Приведите уравнение к виду y=k×x+b: x×yb−x×ya−xa×yb+xa×ya=y×xb−y×xa−ya×xb+ya×xa, что равносильно y=((yb−ya)/(xb−xa))×x+xa×(ya−yb)/(xb−xa)+ya. Обозначьте угловой коэффициент k1=(yb−ya)/(xb−xa). Аналогичным образом найдите уравнение любой другой стороны треугольника. Сторона AC задается формулой (x−xc)/(xa−xc)=(y−yc)/(ya−yc), y=((ya−yc)/(xa−xc))×x+xc×(ya−yc)/(xc−xa)+ya. Угловой коэффициент k2=(yc−yb)/(xc−xb).

Запишите уранение высот треугольника, проведенных из вершин B и C. Так как высота, выходящая из вершины B, будет перпендикулярна стороне AС, то ее уравнение будет иметь вид y−ya=(-1/k2)×(x−xa). А высота, проходящая перпендикулярно стороне AB и выходящая из точки C, будет выражаться в виде y−yc=(-1/k1)×(x−xc).

Найдите точку пересечения двух высот треугольника, решив систему из двух уравнений с двумя неизвестными: y−ya=(-1/k2)×(x−xa) и y−yb=(-1/k1)×(x−xb). Выразите переменную y из обоих уравнений, приравняйте эти выражения и решите уравнение относительно x. А затем подставьте полученное значение x в одно из уравнений и найдите y.

Рассмотрите для наилучшего понимания вопроса пример. Пусть дан треугольник с вершинами A (-3, 3), B (5, -1) и C (5, 5). Составьте уравнение сторон треугольника. Сторона AB выражается по формуле (x+3)/(5+3)=(y−3)/(-1−3) или y=(-1/2)×x+3/2, то есть k1=-1/2. Сторона AC задается уравнением (x+3)/(5+3)=(y−3)/(5−3), то есть y=(1/4)×x+15/4. Угловой коэффициент k2=1/4. Уравнение высоты, выходящей из вершины C: y−5=2×(x−5) или y=2×x−5, а высоты, выходящей из вершины B: y−5=-4×(x+1), что есть y=-4×x+19. Решите систему из этих двух уравнений. Получается, что ортоцентр имеет координаты (4, 3).

Источники:

• Основные линии треугольника
• найти координаты точки на стороне треугольника

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Например, имеются следующие данные точек:
А – 4,3;
В – 0,5;
С – 3,-6.

Первое , что необходимо найти наклон сторон, который обозначается — m , используется формула :

Из этого следует:

Далее необходимо найти наклон перпендикулярных сторон, для этого используется формула:

Имеем:

Когда найден наклон перпендикуляров, можно использовать уравнение линий, например, для линии AD, где точка 4,3, а наклон равен 3/11:

y-y1 = m(x-x1) y-3 = 3/11(x-4)

С помощью упрощения, имеем: 3х — 11у=-21
Для линии ВЕ, где точка 0,5, а наклон -1/9, имеем

Упрощение дает: х+9у=45.
И последние линии CF, где точка 3, -6, а наклон 2, имеем уравнение y+6 = 2(x-3).
И упрощение, 2x — y = 12.
Если решить два из трех уравнений будут найдены значения х и у. Для данного примера:
Значение х = 8,05263;
Значение у = 4,10526.
Которые в данном случае являются координатами искомого Ортоцентра.