Как найти точку пренадлежащий прямой

Уравнения прямой в пространстве — это уравнения двух пересекающихся плоскостей

В данном разделе продолжим изучение темы уравнения прямой в пространстве с позиции стереометрии. Это значит, что мы будем рассматривать прямую линию в трехмерном пространстве как линию пересечения двух плоскостей.

Согласно аксиомам стереометрии, если две плоскости не совпадают и имеют одну общую точку, то они также имею одну общую прямую, на которой лежат все точки, которые являются общими для двух плоскостей. Используя уравнения двух пересекающихся плоскостей, мы можем определить прямую линию в прямоугольной системе координат.

По ходу рассмотрения темы приведем многочисленные примеры, ряд графических иллюстраций и развернутых решений, необходимых для лучшего усвоения материала.

Уравнения двух плоскостей, задающих прямую линию в пространстве

Пусть даны две плоскости, которые не совпадают между собой и пересекаются. Обозначим их как плоскость α и плоскость β . Разместим их в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.

Как мы помним, любую плоскость в прямоугольной системе координат задает общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 . Будем считать, что плоскости α соотвествует уравнение A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , а плоскости β уравнение A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . В этом случае нормальные вектора плоскостей α и β n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) не коллинеарны, так как плоскости не совпадают между собой и е размещаются параллельно друг другу. Запишем это условие следующим образом:

n 1 → ≠ λ · n 2 → ⇔ A 1 , B 1 , C 1 ≠ λ · A 2 , λ · B 2 , λ · C 2 , λ ∈ R

Чтобы освежить в памяти материал по теме «Параллельность плоскостей», смотрите соответствующий раздел нашего сайта.

Линию пересечения плоскостей обозначим буквой a . Т.е. a = α ∩ β . Эта прямая представляет собой множество точек, которые являются общими для обеих плоскостей α и β . Это значит, что все точки прямой линии a удовлетворяют обоим уравнениям плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Фактически, они являются частным решением системы уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Общее решение системы линейных уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 определяет координаты всех точек линии, по которой происходит пересечение двух плоскостей α и β . Это значит, что с его помощью мы можем определить положение прямой в прямоугольной системе координат O x y z .

Рассмотрим описанную теорию еще раз, теперь уже на конкретном примере.

Прямая O x – это прямая, по которой пересекаются координатные плоскости O x y и O x z . Зададим плоскость O x y уравнением z = 0 , а плоскость O x z уравнением у = 0 . Такой подход мы подробно разобрали в разделе «Неполное общее уравнение плоскости», так что, в случае затруднений, можно обратиться к этому материалу повторно. В этом случае координатная прямая O x определяется в трехмерной системе координат системой из двух уравнений вида y = 0 z = 0 .

Нахождение координат точки, лежащей на прямой, по которой пересекаются плоскости

Рассмотрим задачу. Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат O х у z . Линия, по которой пересекаются две плоскости a , задана системой уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Дана точка трехмерного пространства M 0 x 0 , y 0 , z 0 .

Давайте определим, принадлежит ли точка M 0 x 0 , y 0 , z 0 заданной прямой линии a .

Для того, чтобы получить ответ на вопрос задачи, подставим координаты точки М 0 в каждое из двух уравнений плоскости. Если в результате подстановки оба уравнения превратятся в верные равенства A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 и A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 , то точка М 0 принадлежит каждой из плоскостей и принадлежит заданной линии. Если хотя бы одно из равенств A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0 и A 2 x 0 + B 2 y 0 + C 2 z 0 + D 2 = 0 окажется неверным, то точка М 0 не принадлежит прямой линии.

Рассмотрим решение примера

Прямая линия задана в пространстве уравнениями двух пересекающихся плоскостей вида 2 x + 3 y + 1 = 0 x — 2 y + z — 3 = 0 . Определите, принадлежат ли точки M 0 ( 1 , — 1 , 0 ) и N 0 ( 0 , — 1 3 , 1 ) прямой линии пересечения плоскостей.

Решение

Начнем с точки М 0 _. Подставим ее координаты в оба уравнения системы 2 · 1 + 3 · ( — 1 ) + 1 = 0 1 — 2 · ( — 1 ) + 0 — 3 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

В результате подстановки мы получили верные равенства. Это значит, что точка М 0 принадлежит обеим плоскостям и расположена на линии их пересечения.

Подставим в оба уравнения плоскости координаты точки N 0 ( 0 , — 1 3 , 1 ) . Получаем 2 · 0 + 3 · — 1 3 + 1 = 0 0 — 2 · — 1 3 + 1 — 3 = 0 ⇔ 0 = 0 — 1 1 3 = 0 .

Как вы видите, второе уравнение системы превратилось в неверное равенство. Это значит, что точка N 0 не принадлежит заданной прямой.

Ответ: точка М 0 принадлежит прямой линии, а точка N 0 не принадлежит.

Теперь предлагаем вам алгоритм нахождения координат некоторой точки, принадлежащей прямой линии, если прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O x y z определяется уравнениями пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Количество решений системы из двух линейных уравнений с темя неизвестными A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 бесконечно. Любое из этих решений может стать решением задачи.

Пусть в трехмерном пространстве задана прямая линия уравнениями двух пересекающихся плоскостей вида x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 . Найдите координаты любой из точек этой прямой.

Решение

Перепишем систему уравнений x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 ⇔ x + 0 y + 3 z = — 7 2 x + 3 y + 3 z = — 2 .

Возьмем отличный от нуля минор второго порядка в качестве базисного минора основной матрицы системы 1 0 2 3 = 3 ≠ 0 . Это значит, что z – это свободная неизвестная переменная.

Перенесем слагаемые, содержащие свободную неизвестную переменную z в правые части уравнений:

x + 0 y + 3 z = — 7 2 x + 3 y + 3 z = — 2 ⇔ x + 0 y = — 7 — 3 z 2 x + 3 y = — 2 — 3 z

Введем произвольное действительное число λ и примем, что z = λ .

Тогда x + 0 y = — 7 — 3 z 2 x + 3 y = — 2 — 3 z ⇔ x + 0 y = — 7 — 3 λ 2 x + 3 y = — 2 — 3 λ .

Для решения полученной системы уравнений применим метод Крамера:

∆ = 1 0 2 3 = 1 · 3 — 0 · 1 = 2 ∆ x = — 7 — 3 λ 0 — — 3 λ 3 = — 7 — 3 λ · 3 — 0 · ( — 2 — 3 λ ) = 21 — 9 λ ⇒ x = ∆ x ∆ = — 7 — 3 λ ∆ y = 1 — 7 — 3 λ 2 — 2 — 3 λ = 1 · — 2 — 3 λ — — 7 — 3 λ · = 12 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = 4 + λ

Общее решение системы уравнений x + 3 z + 7 = 0 2 x + 3 y + 3 z + 2 = 0 будет иметь вид x = — 7 — 3 λ y = 4 + λ z = λ , где λ ∈ R .

Для получения частного решения системы уравнений, которое даст нам искомые координаты точки, принадлежащей заданной прямой, нам необходимо взять конкретное значение параметра λ . Если λ = 0 , то x = — 7 — 3 · 0 y = 4 + 0 z = 0 ⇔ x = — 7 y = 4 z = 0 .

Это позволяет нам получить координаты искомой точки — 7 , 4 , 0 .

Проверим верность найденных координат точки методом подстановки их в исходные уравнения двух пересекающихся плоскостей — 7 + 3 · 0 + 7 = 0 2 · ( — 7 ) + 3 · 4 + 3 · 0 + 2 = 0 ⇔ 0 = 0 0 = 0 .

Ответ: — 7 , 4 , 0

Направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две плоскости

Давайте рассмотрим, как определить координаты направляющего вектора прямой, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . В прямоугольной системе координат 0хуz направляющий вектор прямой неотделим от прямой линии.

Как мы знаем, прямая перпендикулярна по отношению к плоскости в том случае, когда она перпендикулярна по отношению к любой прямой, лежащей в данной плоскости. Исходя из вышесказанного, нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в данной плоскости. Эти два факта помогут нам в нахождении направляющего вектора прямой.

Плоскости α и β пересекаются по линии a . Направляющий вектор a → прямой линии a расположен перпендикулярно по отношению к нормальному вектору n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и нормальному вектору n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) плоскости A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Направляющий вектор прямой a представляет собой векторное произведение векторов n → 1 = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = A 2 , B 2 , C 2 .

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2

Зададим множество всех направляющих векторов прямой как λ · a → = λ · n 1 → × n 2 → , где λ — это параметр, который может принимать любые действительные значения, отличные от нуля.

Пусть прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O х у z задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей x + 2 y — 3 z — 2 = 0 x — z + 4 = 0 . Найдем координаты любого направляющего вектора этой прямой.

Решение

Плоскости x + 2 y — 3 z — 2 = 0 и x — z + 4 = 0 имеют нормальные векторы n 1 → = 1 , 2 , — 3 и n 2 → = 1 , 0 , — 1 . Примем за направляющий вектор прямой линии, являющейся пересечением двух заданных плоскостей, векторное произведение нормальных векторов:

a → = n → 1 × n 2 → = i → j → k → 1 2 — 3 1 0 — 1 = i → · 2 · ( — 1 ) + j → · ( — 3 ) · 1 + k → · 1 · 0 — — k → · 2 · 1 — j → · 1 · ( — 1 ) — i → · ( — 3 ) · 0 = — 2 · i → — 2 j → — 2 k →

Запишем ответ в координатной форме a → = — 2 , — 2 , — 2 . Тем, кто не помнит, как это делается, рекомендуем обратиться к теме «Координаты вектора в прямоугольной системе координат».

Ответ: a → = — 2 , — 2 , — 2

Переход к параметрическим и каноническим уравнениям прямой в пространстве

Для решения ряда задач проще использовать параметрические уравнения прямой в пространстве вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ или канонические уравнения прямой в пространстве вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ . В этих уравнениях a x , a y , a z — координаты направляющего вектора прямой, x 1 , y 1 , z 1 — координаты некоторой точки прямой, а λ — параметр, принимающий произвольные действительные значения.

От уравнения прямой вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 можно перейти к каноническим и параметрическим уравнениям прямой линии в пространстве. Для записи канонических и параметрических уравнений прямой нам понадобятся навыки нахождения координат некоторой точки прямой, а также координат некоторого направляющего вектора прямой, заданной уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

Рассмотрим написанное выше на примере.

Зададим прямую линию в трехмерной системе координат уравнениями двух пересекающихся плоскостей 2 x + y — z — 1 = 0 x + 3 y — 2 z = 0 . Напишем канонические и параметрические уравнения этой прямой.

Решение

Найдем координаты направляющего вектора прямой, который является векторным произведением нормальных векторов n 1 → = 2 , 1 , — 1 плоскости 2 x + y — z — 1 = 0 и n 2 → = ( 1 , 3 , — 2 ) плоскости x + 3 y — 2 z = 0 :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 2 1 — 1 1 3 — 2 = i → · 1 · ( — 2 ) + j → · ( — 1 ) · 1 + k → · 2 · 3 — — k → · 1 · 1 — j → · 2 · ( — 2 ) — i → · ( — 1 ) · 3 = i → + 3 · j → + 5 · k →

Координаты направляющего вектора прямой a → = ( 1 , 2 , 5 ) .

Следующим шагом является определение координат некоторой точки заданной прямой линии, которыми является одно из решений системы уравнений: 2 x + y — z — 1 = 0 x + 3 y — 2 z = 0 ⇔ 2 x + y — z = 1 x + 3 y — 2 z = 0 .

Возьмем в качестве минорной матрицы системы определитель 2 1 1 3 = 2 · 3 — 1 · 1 = 5 , который отличен от нуля. В этом случае переменная z является свободной. Перенесем слагаемые с ней в правые части каждого уравнения и придаем переменной произвольное значение λ :

2 x + y — z = 1 x + 3 y — 2 z = 0 ⇔ 2 x + y = 1 + z x + 3 y = 2 z ⇔ 2 x + y = 1 + λ x + 3 y = 2 λ , λ ∈ R

Применяем для решения полученной системы уравнений метод Крамера:

∆ = 2 1 1 3 = 2 · 3 — 1 · 1 = 5 ∆ x = 1 + λ 1 2 λ 3 = ( 1 + λ ) · 3 — 1 · 2 λ = 3 + λ ⇒ x = ∆ x ∆ = 3 + λ 5 = 3 5 + 1 5 · λ ∆ y = 2 1 + λ 1 2 λ = 2 · 2 λ — ( 1 + λ ) · 1 = — 1 + 3 λ ⇒ y = ∆ y ∆ = — 1 + 3 λ 5 = — 1 5 + 3 5 · λ

Получаем: 2 x + y — z — 1 = 0 x + 3 y — 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 y = — 1 5 + 3 5 z = λ

Примем λ = 2 для того, чтобы получить координаты точки прямой линии: x 1 = 3 5 + 1 5 · 2 y 1 = — 1 5 + 3 5 · 2 z 1 = 2 ⇔ x 1 = 1 y 1 = 1 z 1 = 2 . Теперь мы имеем достаточно данных для того, чтобы записать канонические и параметрические уравнения данной прямой в пространстве: x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z ⇔ x — 1 1 = y — 1 3 = z — 2 5 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ x = 1 + 1 · λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ ⇔ x = 1 + λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ

Ответ: x — 1 1 = y — 1 3 = z — 2 5 и x = 1 + λ y = 1 + 3 · λ z = 2 + 5 · λ

Данная задача имеет еще один способ решения.

Нахождение координат некоторой точки прямой проводится при решении системы уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

В общем случае ее решения можно записать в виде искомых параметрических уравнений прямой в пространстве x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ .

Получение канонических уравнений проводится следующим образом: решаем каждое из полученных уравнений относительно параметра λ , приравниваем правые части равенства.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ λ = x — x 1 a x λ = y — y 1 a y λ = z — z 1 a z ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z

Применим данный способ к решению задачи.

Зададим положение прямой линии уравнениями двух пересекающихся плоскостей 2 x + y — z — 1 = 0 x + 3 y — 2 z = 0 . Напишем параметрическое и каноническое уравнения для этой прямой линии.

Решение

Решение системы из двух уравнений с тремя неизвестными проводится аналогично тому, как мы делали это в предыдущем примере. Получаем: 2 x + y — z — 1 = 0 x + 3 y — 2 z = 0 ⇔ x = 3 5 + 1 5 · λ y = — 1 5 + 3 5 · λ z = λ .

Это параметрические уравнения прямой в пространстве.

Канонические уравнения получаем следующим образом: x = 3 5 + 1 5 · λ y = — 1 5 + 3 5 · λ z = λ ⇔ λ = x — 3 5 1 5 λ = y + 1 5 3 5 λ = z 1 ⇔ x — 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1

Полученные в обоих примерах уравнения отличаются внешне, однако они эквивалентны, так как определяют одно и то же множество точек трехмерного пространства, а следовательно и одну и ту же прямую линию.

Ответ: x — 3 5 1 5 = y + 1 5 3 5 = z 1 и x = 3 5 + 1 5 · λ y = — 1 5 + 3 5 · λ z = λ

Уравнение прямой

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

где k — угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами ( a , 0) и (0, b ), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁) и N( x ₂, y ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂ и y ₁ ≠ y ₂, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

x — x 1	=	y — y 1
x 2 — x 1	y 2 — y 1

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x ₀ y = m t + y ₀

где N( x ₀, y ₀) — координаты точки лежащей на прямой, a = < l , m >- координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N( x ₀, y ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора a = ( l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

x — 1 2 — 1 = y — 7 3 — 7

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1 y = -4 t + 7

Решение. Так как M _y — N _y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁, z ₁) и N( x ₂, y ₂, z ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂, y ₁ ≠ y ₂ и z ₁ ≠ z ₂, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x — x 1	=	y — y 1	=	z — z 1
x 2 — x 1	y 2 — y 1	z 2 — z 1

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

	x = l t + x 0
y = m t + y 0
z = n t + z 0

где ( x ₀, y ₀, z ₀) — координаты точки лежащей на прямой, — координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M( x ₀, y ₀, z ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x — x 0	=	y — y 0	=	z — z 0
l	m	n

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Содержание:

Общее уравнение прямой:

Пусть на плоскости дана декартова система координат. Движение точки с произвольными координатами х и у по этой плоскости порождает линию.

Определение: Любое соотношение

Определение: Порядок линии определяется по высшему показателю степени переменных х и у или по сумме показателей степени в произведении этих величин.

Пример:

а) 2х + Зу-5 = 0 — линия первого порядка; точка A(l; 1) удовлетворяет этому соотношению, а точка, например, В(1; 0) — ему не удовлетворяет;

б)

в) — линии второго порядка.

Рассмотрим другое определение линии:

Определение: Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x; у)=0, называется линией, а само уравнение F(x; у) = 0 — уравнением линии.

Определение: Общим уравнением прямой называется уравнение первого порядка вида

Рассмотрим частные случаи этого уравнения:

а) С = 0; — прямая проходит начало системы координат (Рис. 20):

Рис. 20. Прямая, проходящая через начало координат.

б) 5 = 0; Ах+С=0 — прямая проходит параллельно оси ординат Оу (Рис. 21):

Рис. 21. Прямая, проходящая параллельно оси ординат Оу.

в) А = 0; Ву+С=0 — прямая проходит параллельно оси абсцисс Ох (Рис. 22):

Рис. 22. Прямая, проходящая параллельно оси абсцисс Ох.

Виды уравнений прямой

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть дано общее уравнение прямой в котором коэффициент Разрешим общее уравнение прямой относительно переменной Обозначим через тогда уравнение примет вид которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Выясним геометрический смысл параметров При х = 0, у = b, т.е. параметр b показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета. При т.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок к (Рис. 23, для определенности принято, что ):

Рис. 23. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

Из рисунка видно, что т.е. угловой коэффициент k определяет тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс Ох.

2. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть в общем уравнении прямой параметр Выполним следующие преобразования

Обозначим через тогда последнее равенство перепишется в виде . которое называется уравнением прямой в отрезках. Выясним геометрический смысл величин m и n (Рис. 24). При х=0, у=n, т.е. параметр n показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета.

Рис. 24. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

При у=о, х=m, т.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок m. Следовательно, прямая проходит через 2 точки:

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Пусть дано общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0, которая проходит через две известные точки Так как точки лежат на прямой, то их координаты удовлетворяют общему уравнению прямой, т.е. выполняются равенства Вычтем первое из этих равенств из общего уравнения прямой и из второго равенства:

Пусть тогда полученные равенства можно преобразовать к виду Отсюда находим, что или Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору (каноническое уравнение прямой). Пусть прямая проходит через заданную точку параллельно вектору

Определение: Вектор называется направляющим вектором прямой. Возьмем на прямой произвольную точку и создадим вектор (Рис. 25):

Рис. 25. Прямая, проходящая через данную точку параллельно направляющему вектору.

В силу того, что вектора коллинеарны, то воспользуемся первым условием коллинеарности: отношения соответствующих проекций равны между собой

Определение: Полученное уравнение называется либо уравнением, проходящим через заданную точку параллельно направляющему вектору, либо каноническим уравнением прямой.

5. Параметрическое уравнение прямой. Если каждую дробь в каноническом уравнении прямой приравнять некоторому параметру t, то получим параметрическое уравнение прямой

Основные задачи о прямой на плоскости

1. Координаты точки пересечения двух прямых. Пусть две прямые заданы общими уравнениями Требуется найти координаты точки пересечения этих прямых. Для того чтобы вычислить координаты точки пересечения М(х; у), необходимо решить вышеприведенную систему линейных алгебраических уравнений, так как координаты точки М(х; у) должны одновременно удовлетворять уравнениям прямых

2. Угол между двумя пересекающимися прямыми. Пусть даны две пересекающиеся прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами

Требуется найти угол между этими прямыми (Рис. 26):

Рис. 26. Угол между двумя прямыми.

Из рисунка видно, что Вычислим

Наименьший угол между пересекающимися прямыми определим формулой Из полученной формулы видно:

• а) если прямые параллельны или совпадаютто Отсюда следует условие параллельности прямых: угловые коэффициенты прямых равны между собой
• б) если прямые перпендикулярныто не существует.

Отсюда следует условие перпендикулярности прямых: угловые коэффициенты прямых связаны между собой соотношением

Пример:

Определить угол между прямыми

Решение:

В силу того, что что прямые параллельны, следовательно,

Пример:

Выяснить взаимное расположение прямых

Решение:

Так как угловые коэффициенты и связаны между собой соотношением то прямые взаимно перпендикулярны.

3. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой определятся вдоль перпендикуляра, опущенного из точки на прямую Если прямая задана общим уравнением, то расстояние от точки до прямой определяется формулой:

Если прямая задана уравнением прямой с угловым коэффициентом, то расстояние от точки до прямой определяется формулой:

Прямая линия на плоскости и в пространстве. Системы координат на плоскости

Рассмотрим произвольную прямую. Выберем на этой прямой начальную точку, обозначаемую буквой О, определим положительное направление, выберем некоторый отрезок в качестве линейной единицы, благодаря чему прямая станет осью. После этого условимся называть координатой любой точки М на этой оси величину отрезка . Точку О будем называть началом координат; ее собственная координата равна нулю. Так вводятся координаты на прямой.

Декартова прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке, т.е. указано, какая из них считается первой, а какая — второй. Точка пересечения осей называется началом координат и обозначается через О, а сами оси — координатными осями, причем первую из них называют также осью абсцисс и обозначают через Ох, а вторую — осью ординат, обозначаемую Оу.

Пусть М- произвольная точка плоскости. Спроектируем точку M на координатные оси, т.е., проведем через М перпендикуляры к осям Ох и Оу; основания этих перпендикуляров обозначим соответственно .

Координатами точки М в заданной системе называются числа , обозначающие величину отрезка оси абсцисс и величину отрезка оси ординат, где х — первая координата, а у- вторая координата точки М (рис.7.1). Символически это записывается в виде М(х, у).

Если задана декартова прямоугольная система координат, то каждая точка М плоскости в этой системе имеет одну вполне определенную пару координат х, у — М(х, у). И обратно, для любых х и у на плоскости найдется одна вполне определенная точка с абсциссой х и ординатой у.

На рис. 7.2 положение точки Р полностью определяется ее координатами (2;3).

Две координатные оси разделяют всю плоскость на четыре части, называемыми координатными плоскостями, определяемыми соответственно:

• первая координатная четверть: х>0, у>0;
• вторая координатная четверть: х0, у>0;
• третья координатная четверть: х0, у0;
• четвертая координатная четверть: х>0, у0.

Декартова прямоугольная система координат является наиболее употребительной. Однако, в отдельных случаях могут оказаться более удобными или косоугольная декартова или полярная системы координат.

Косоугольная система координат от прямоугольной декартовой системы координат отличается только произвольным углом между осями координат.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча OA, называемого полярной осью, масштаба для измерения длин и направления- вращения в плоскости, считаемого положительным (рис. 7.3).

Каждая точка М в полярной системе координат задается парой координат .

Декартова прямоугольная система координат связана с полярной системой формулами:

Основным инструментом аналитической геометрии служит формула для вычисления расстояния между двумя точкамии . Числа могут быть любыми действительными числами, положительными, отрицательными или 0. На рис. 7.4 все числа выбраны положительными. Проведем через точку горизонтальную прямую, а через точку — вертикальную. Пусть R -точка их пересечения. Тогда по теореме Пифагора

или (7.1.1)

Это и есть формула для вычисления расстояния между двумя точками.

Важно иметь в виду, что эта формула остается в силе независимо от того, как расположены точки . Например, если точка расположена ниже точки и справа от нес, как на рис. 7.5, то отрезок можно считать равныму .

Расстояние между точками, вычисляемое по формуле (7.1.1), от этого не изменится, так как . Заметим, что, так как величина в этом случае отрицательна, то разность больше, чем

Если обозначить через угол, образованный положительным направлением оси абсцисс и отрезком , то формулы

выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Из формул (7.1.2) получаем формулы:

позволяющие определить полярный угол отрезка по координатам его конца и начала. Кроме того, если u — произвольная ось, а — угол наклона отрезка к этой оси, то проекция отрезка на ось равна его длине, умноженной на косинус угла наклона к этой оси:

.

Пусть на плоскости даны две произвольные точки, из которых одна считается первой, другая — второй. Обозначим их в заданном порядке через . Проведем через данные точки ось u. Пусть М- еще одна точка оси и, расположенная на ней как угодно, но не совпадает с точкой .

Определение 7.1.1. Число определяемое равенством где — величины направленных отрезков оси u, называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок .

Число не зависит от направления оси и от масштаба, т.к. при изменении этих параметров будут одновременно меняться величины . Кроме того, будет положительно, если Мнаходится между точками если же М вне отрезка , то -отрицательное.

Задача о делении отрезка в данном отношении формулируется следующим образом:

Считая известными координаты двух точек и и отношение в котором некоторая неизвестная точка М делит отрезок , найти координаты точки М.

Решение задачи определяется следующей теоремой.

Теорема 7.1.1. Если точка М(х, у) делит направленный отрезок в отношении то координаты этой точки выражаются формулами:

Доказательство:

Спроектируем точки на ось Ох и обозначим их проекции соответственно через (рис. 7.6). На основании теоремы о пропорциональности отрезков прямых, заключенных между параллельными прямыми (Если две прямые пересечь тремя параллельными прямыми, то отношение двух отрезков, получившихся на одной прямой, равно отношению двух соответствующих отрезков другой прямой), имеем:

Подставив в (7.1.4) величины отрезков и

, получим

Разрешая это уравнение относительно х, находим:

Вторая формула (7.1.3) получается аналогично.

Если — две произвольные точки и М(х,y) —

середина отрезка , то . Эти формулы

получаются из (7.1.3) при .

Основная теорема о прямой линии на плоскости

Предположим, что в данной плоскости задана прямоугольная система координат и некоторая прямая l.

Всякий ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется её направляющим вектором. Всякие два направляющих вектора одной и той же прямой коллинеарны между собой, т.е.

, .

Для всех направляющих векторов данной прямой, не параллельной оси ординат, отношение ординаты вектора к его абсциссе имеет одно и то же постоянное значение k, называемое угловым коэффициентом данной прямой.

Действительно, если — два направляющих вектора данной прямой /, то векторы коллинеарны, т.е.

их координаты пропорциональны: а значит

Угловой коэффициент прямой можно определить и по-другому: как тангенс угла, образованного положительным направлением оси абсцисс и заданной прямой.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 7.3,1. Всякая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени с двумя переменными х и у; и обратно, всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяет некоторую прямую на плоскости.

Доказательство: Пусть В = (О,b>- точка пересечения прямой L с осью у, а Р = (х,у) — любая другая точка на этой прямой. Проведем через точку В прямую, параллельную оси х, а через точку Р — прямую, параллельную оси у; проведем также прямую х = 1. Пусть k -угловой коэффициент прямой L (см. рис. 7.7). Случай к =0 не исключается.

Так как треугольники BSQ и BRP подобны, то или после упрощения

Следовательно, если точка Р принадлежит прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (7.2.1). Обратно, нетрудно показать, что если х и у связаны уравнением (7.2.1), то точка Р принадлежит прямой L, проходящей через точку (0;b) и имеющей угловой коэффициент k.

Таким образом, уравнение любой прямой можно записать в виде:

(не вертикальная прямая) , (7.2.2), х = а (вертикальная прямая) (7.2.3).

В обоих случаях мы получаем уравнение первой степени. Кроме того, каждое уравнение первой степени ио х и у можно привести к виду (7.2.2) либо (7.2.3).

Докажем обратное утверждение. Предположим, что задано произвольное уравнение первой степени:

Если , мы можем записать уравнение (7.2.4) в виде

т.е. в виде (7.2.2). При В = 0 уравнение (7.2.3) сводится к уравнению

или , т.е. к уравнению вида (7.2.3).

Таким образом, любая прямая описывается уравнением первой степени с неизвестными х и у, и обратно, каждое уравнение первой степени с неизвестными х и v определяет некоторую прямую.

Уравнение (7.2.4) называется общим уравнением прямой. Так

как , то вектор является направляющим вектором прямой (7.2.4). Вектор перпендикулярен прямой (7.2.4) и называется нормальным вектором. Возможны частные случаи:

1. или у =b, где , -это уравнсние прямой, параллельной оси Ох.

2. или х = а, где , — это уравнение прямой, параллельной оси Оу.

3. — это уравнение прямой, проходящей через начало координат.

4. А=0; С=0; Ву-0 или у = 0 — это уравнение оси абсцисс Ох.

5. В=0;С=0; Ах=0 или х = 0 — это уравнение оси ординат Оу.

Различные виды уравнений прямой на плоскости

Положение прямой на плоскости относительно системы координат можно задать различными способами. Например, прямая однозначно определяется: двумя различными точками; точкой и направляющим вектором; отрезками, отсекаемыми прямой на осях координат и др. Однако, обязательно, должна быть точка, лежащая на этой прямой.

Пусть в уравнении (7.2.4) ни один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Перенесем свободные члены вправо и разделим на (-С). Получим уравнение прямой в отрезках:

где -длины отрезков, отсекаемых прямой l на осях координат, взятые с соответствующими знаками (в зависимости от того, положительные или отрицательные полуоси координат пересекает прямая l).

Рассмотрим прямую l на плоскости и выберем на этой прямой какие-нибудь точки . Тогда вектор является направляющим вектором этой прямой l.

Геометрическое место концов всевозможных векторов вида где пробегает все вещественные числовые значения, определяет прямую l. Уравнение (7.3.2) называется уравнением прямой в векторной форме (векторным уравнением прямой). Записав векторное уравнение (7.3.2) в координатной форме и воспользовавшись определением равенства векторов, получим параметрические уравнения прямой:

где — координаты направляющего вектора.

Система (7.3.3) равносильна уравнению

называемым каноническим уравнением прямой на плоскости. Из системы (7.3.3) можно получить уравнение

которое называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки

Если абсциссы точек одинаковы, т. е. то прямая параллельна оси ординат и ее уравнение имеет вид: х=а.

Если ординаты точек одинаковы, т. е. , то прямая параллельна оси абсцисс и ее уравнение имеет вид: у=b. Уравнение (7.3.5) можно преобразовать к виду:

угловой коэффициент прямой.

Уравнение (7.3.6) называется уравнением прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент k.

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки

Решение:

I способ. Воспользуемся уравнением (7.3.5). Подставив известные координаты точек , получим искомое уравнение прямой:

II способ. Зная координаты точек по формуле (7.3.7) можно найти угловой коэффициент искомой прямой:

Тогда, воспользовавшись уравнением (7.3.6), найдём искомое уравнение прямой: .

Заметим, что составленное уравнение можно записать как уравнение прямой в отрезках, разделив все члены уравнения

.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть на плоскости заданы две прямые общими уравнениями . Угол между ними можно вычислить как угол между направляющими векторами

этих прямых:

Если прямые параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны, а это значит, что их соответствующих координаты пропорциональны:

И обратно, если координаты при неизвестных х и у пропорциональны, то прямые параллельны. Следовательно, можно сформулировать следующую теорему:

Теорема 7.4.1. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда в их уравнениях коэффициенты при соответствующих переменных х и у пропорциональны.

Например, прямые параллельны,

т. к..

Если прямые перпендикулярны , то их нормальные векторы тоже перпендикулярны, а это значит, что скалярное произведение этих векторов равно нулю: , или в координатной форме

Справедливо и обратное утверждение: если скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, то прямые /, и /2 перпендикулярны.

Теорема 7.4.2. Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда коэффициенты при переменных х и у удовлетворяют равенству .

Например, прямые перпендикулярны, так как

.

Если прямые заданы уравнениями вида и , то угол между ними находится по формуле:

Для того чтобы прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

(7.4.5)

а для их перпендикулярности необходимо и достаточно, чтобы

(7.4.6)

Пример:

Найти проекцию точки Р (2, 3) на прямую, проходящую через точки А (4, 3) и В (6, 5).

Решение:

Проекция точки Р на прямую АВ — это точка пересечения перпендикуляра, проведенного к этой прямой из точки Р.

Вначале составим уравнение прямой АВ. Воспользовавшись уравнением (7.3.5), последовательно получаем:

Для того, чтобы составить уравнение перпендикуляра, проведенного из точки Р на прямую АВ, воспользуемся уравнением (7.3.6). Угловой коэффициент k определим из условия перпендикулярности двух прямых, т. е. из формулы (7.4.6). Поскольку ,то из равенства находим угловой коэффициент перпендикуляра . Подставляя найденное значение углового коэффициента и координаты точки Р (2, 3) в уравнение (7.3.6), получаем:

.

Решая систему уравнений, составленную из уравнений прямой АВ и перпендикуляра

найдём координаты проекции точки Р на прямую АВ: х=3 у=2, т.е.

Пример:

Издержки на производство шести автомобилей составляют 1000 млн. ден. ед., а на производство двадцати автомобилей- 15000 млн. ден. ед. Определить издержки на производство 22 автомобилей при условии, что функция К(х) издержек производства линейна, т.е. имеет вид у = ах + b .

Решение:

Обозначим через х количество автомобилей, а через y- издержки производства. Тогда из условия задачи следует, что заданы координаты двух точек- А(6; 1000) и В(20; 15000), принадлежащих линейной функции у = ах +b. Воспользовавшись уравнением (7.3.6 ), найдём искомое уравнение:

Подставив в найденную функцию х = 22, определим издержки на производство 22 автомобилей:

(млн. дсн. ед)

Пример:

Фирма продаёт свои изделия по 10 ден. ед. за единицу. Затраты на изготовление одного изделия составляют 6 ден. ед. Непроизводственные расходы фирмы равны 300 ден. ед. в год. Определить годовой выпуск продукции, необходимой для того, чтобы фирма работала с прибылью.

Решение:

Обозначим через х объём произведенной продукции. Тогда доход фирмы равен D = 10x. Затраты на производство определяются уравнением: . Найдём точку безубыточности. т.е. значение x, при котором доход фирмы равен затратам: D=K, т.е. 10x = 6x + 300. Решив это уравнение, получим значение объёма производства, при котором фирма работает без убытка: х=75. Следовательно, если объём производства то фирма будет работать с прибылью.

Прямая линия в пространстве

Системы координат в пространстве

В трехмерном пространстве система координат определяется тремя взаимно перпендикулярными осями, проходящими через начало координат О. Снабдив каждую ось единицей измерения длин, можно задать тремя упорядоченными числами (называемыми координатами) положение точки в пространстве. Например, точка Р задается упорядоченной тройкой чисел Р( 1,2,3).

Пусть задано пространство. Важнейшим понятием пространственной аналитической геометрии является понятие уравнения поверхности. Всякая же линия рассматривается как пересечение двух поверхностей. Мы остановимся на изучении поверхности первого порядка — плоскости и прямой линии.

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо сё фиксированной точки и вектора параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая L проходит через точку , лежащую на прямой, параллельно вектору (см. рис. 7.9).

Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z) на этой прямой. Из рисунка видно, что вектор параллельный (коллинеарный) вектору . Поскольку векторы коллинеарны, то найдётся такое число t, что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки М на прямой.

Уравнение (7.5.1) называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки M, лежащей на прямой. Это уравнение можно записать в виде: (см. рис. 7.9). Запишем это уравнение в координатной форме. Подставив координаты векторов в уравнение (7.5.1) и воспользовавшись определением алгебраических операций над векторами и равенством векторов, получим уравнения:

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты х, у и z и точка М перемещается по прямой.

Разрешив уравнения (7.5.2) относительно t

и приравняв найденные значенияt получим канонические уравнения прямой:

Если прямая L в пространстве задается двумя своими точками ,то вектор

можно взять в качестве направляющего вектора и тогда уравнения (7.5.3) преобразуются в уравнения

где . (7.5.4)- это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пример:

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку, перпендикулярно плоскости Oxz.

Решение:

В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: • Подставив значения координат точки и значения координат направляющего вектора в уравнения (7.5.2), получаем: .

Пример:

Записать уравнения прямой в параметрическом виде.

Обозначим. Тогда ,

, откуда следует, что .

Замечание. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например, оси Ох. Тогда направляющий вектор

прямой перпендикулярный оси Ох, имеет координаты (о; n; р) и параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае формально можно записывать канонические уравнения прямой в виде . Таким образом, если в знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, канонические уравнения

определяют прямую перпендикулярную осям О х и О у или параллельную оси О z.

Пример:

Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору

Решение:

Подставив координаты точки , и вектора в (7.5.2) и (7.5.3), находим искомые канонические уравнения:

.и параметрические уравнения:

Пример:

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(2, -1,4) параллельно

а) прямой ;

Решение:

а) Поскольку направляющий вектор заданной прямой

является направляющим вектором искомой прямой, то

подставив координаты точки М(2; -1; 4) и вектора в (7.5.3) получим уравнение искомой прямой:

б) Поскольку единичный вектор оси О х: будет направляющим вектором искомой прямой, то подставив в уравнение

(7.5.3) координаты точки М(2; -1; 4 ) и вектора , получаем:

в) В качестве направляющего вектора искомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: . В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем или .

г) Единичный вектор оси Oz : будет направляющим вектором искомой прямой. В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Решение:

Подставив координаты точек в уравнение

(7.5.4), получим:

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку параллельно данным. Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и

, косинус которого находится по формуле:

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда пропорциональны соответствующие координаты направляющих векторов:

т.е. параллельна тогда и только тогда, когда параллелен

.

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих координат направляющих векторов равна нулю:

Пример:

Найти угол между прямыми и

Решение:

Воспользуемся формулой (7.6.1), в которую подставим координаты направляющих векторов и

. Тогда , откуда или.

Вычисление уравнения прямой

Пусть PQ — некоторая прямая на плоскости Оху (рис. 22). Через произвольную точку М0 (х0, у0) этой прямой (условно называемую «начальной точкой») проведем прямую М0х параллельную оси Ох и имеющую с ней одинаковое направление. Тогда наименьший неотрицательный угол , образованный полупрямой M0Q, лежащей выше оси М0х’ или совпадающей с ней, называется углом между данной прямой и осью Ох.

Очевидно, этот угол не зависит от выбора точки М0. Если прямая PQ пересекает ось Ох в некоторой точке А (а, 0), то ф есть обычный угол между направленными прямыми. Если PQ || Ох, то, очевидно, Ф = 0. Начальная точка М0 прямой и угол ф («направление прямой») однозначно определяют положение этой прямой на плоскости.

1) Пусть сначала . Тогда прямая PQ пересекает ось Оу в некоторой точке В (0, b), которую можно принять за начальную.

Ордината у = NM текущей точки М (х, у) прямой (рис. 23) состоит из двух частей:

из них первая постоянна, а вторая переменна. Введя угловой коэффициент tg ф = k9 из рис. 23 будем иметь

Нетрудно проверить, что формула (3) остается справедливой также и при х

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Как найти точку на прямой

В современной математике точкой называются элементы весьма различной природы, из которых состоят различные пространства. Например, в n-мерном евклидовом пространстве точкой называется упорядоченная совокупность из n чисел.

Вам понадобится

• Знания по математике.

Инструкция

Прямая — одно из основных понятий в математике. Аналитически прямая на плоскости задается уравнением первого порядка вида Ax+By=C. Принадлежность точки к заданной прямой легко определить, подставив координаты точки в уравнение прямой. Если уравнение обращается в верное равенство, значит точка принадлежит прямой. Например, рассмотрим точку с координатами A(4, 5) и прямую заданную уравнением 4х+3у=1. Подставим в уравнение прямой координаты точки А и получим следующее: 4*4+3*5 = 1 или 31 = 1. Получили равенство, которое является не верным, а значит, эта точка не принадлежит прямой.

Для поиска точки на прямой достаточно взять одну из координат, и подставить в уравнение, а затем выразить из полученного уравнение вторую. Таким образом найдется точка с заданной одной из координат. Так как прямая проходит через всю плоскость, то и точек, которые ей принадлежат бесконечно много, а значит, для любой одной координаты всегда найдется другая, такая что полученная точка будет принадлежать заданной прямой. Возьмем для примера прямую с уравнением 3x-2y=2. И возьмем координату равную x=0. Тогда подставим значение x в уравнение прямой и получим следующее: 3*0-2у=2 или у=-1. Таким образом мы нашли точку лежащую на прямой и ее координаты равны (0, -1). Аналогичным образом можно найти точку, принадлежащую прямой, когда известна координата y.

В трехмерном пространстве у точки 3 координаты, а прямая задается системой из двух линейных уравнений вида Ax+By+Cz=D. Аналогичным образом, как и в двумерном случае, если вы знаете хоть одну координату точки, решив систему, найдете две остальные и эта точка будет принадлежать исходной прямой.

Видео по теме

Обратите внимание

После того как найдены все координаты точки, необходимо проверить их правильность. Подставьте найденные координаты в уравнение прямой, и если получится верное равенство, все решено корректно.

Полезный совет

Способ поиска точки по известной координате справедлив для любой размерности пространства, разница лишь в том, сколько необходимо уравнений решить, для поиска остальных координат.

Источники:

• найти точки прямой

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

2.1. Задание прямой на эпюре

Прямая на чертеже может быть задана изображением прямой, точкой и направлением, отрезком прямой и двумя пересекающимися плоскостями.

а                                                                  б
Рисунок 2.1 – Проекции прямой

Прямоугольной проекцией отрезка в общем случае является отрезок (второе свойство центрального и параллельного проецирования). На чертеже прямая m (Рисунок 2.1, а) и отрезок АВ (Рисунок 2.1, б) произвольно наклонены к плоскостям проекций. Такие прямые называются прямыми общего положения.

Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения.

Длина прямоугольной параллельной проекции отрезка общего положения всегда меньше длины самого отрезка.

2.2. Прямые частного положения

Прямая, параллельная или перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называется прямой частного положения.

Прямые, параллельные плоскостям проекций, называются прямыми уровня.

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой или горизонталью (Рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 – Эпюр горизонтали

Если отрезок параллелен плоскости проекций π₁, то его фронтальная проекция А₂В₂ параллельна оси проекций π₁/π₂, а горизонтальная проекция отрезка А₁В₁ определяет истинную величину АВ:

А₂А₀=В₂В₀
А₂В₂ || π₂/π₁

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной прямой или фронталью (Рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 – Эпюр фронтали

Если отрезок параллелен плоскости проекций π₂, то его горизонтальная проекция параллельна оси проекций π₂/π₁, а фронтальная проекция отрезка C₂D₂ определяет истинную величину CD.

С₁А₀=D₁D₀

C₁D₁ || π₂/π₁

Прямая GH, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой (Рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 – Эпюр профильной прямой

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими.

Прямая EF, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая KL, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая MN, перпендикулярная профильной плоскости проекций, называется профильно-проецирующей (Рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 – Эпюры проецирующих прямых (EF, KL, MN) и профильной прямой GH

2.3. Метод прямоугольного треугольника

Метод прямоугольного треугольника позволяет по эпюру отрезка прямой общего положения определить его истинную величину.

Рассмотрим положение отрезка  АВ относительно горизонтальной плоскости проекций π₁ (Рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 – Определение истинной величины отрезка общего положения

На рисунке 2.5, а:

АА₁ – расстояние от точки А до плоскости проекций π₁;

ВВ₁ – расстояние от точки В до плоскости проекций π₁;

А₁В₁ – проекция отрезка АВ на π₁;

∠(AB; AK)=∠(AB; A₁B₁)=α – угол наклона прямой АВ к плоскости проекций π₁.

ΔАКВ – прямоугольный треугольник, в котором:

АК=А₁В₁ – катет, равный горизонтальной проекции отрезка АВ;

ВК=ВВ₁–АА₁=Δ₁ – второй катет, равный разности расстояний от концов отрезка АВ до плоскости π₁ (то есть, разности координат Z точек А и В);

АВ – гипотенуза ΔАКВ – истинная величина.

При известных координатах концов отрезка общего положения можно на эпюре определить его истинную величину (Рисунок 2.5, б) на любой из плоскостей проекций.

Истинная величина отрезка может быть найдена как гипотенуза прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция этого отрезка на плоскость проекций (А₂В₂), а другим – разность координат концов этого отрезка до плоскости (Δ₂), в которой ведется построение. Угол между истинной величиной (АВ) и проекцией (А₂В₂) определяет угол наклона (β) прямой к той плоскости проекций, в которой ведётся построение (Рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 – Определение истинной длины и угла наклона отрезка AB к плоскости проекций π₂

2.4. Точка и прямая

Если точка принадлежит прямой, то её проекции:

1. Принадлежат одноимённым проекциям данной прямой;
2. Лежат на одной линии связи.

Рисунок 2.7 – Принадлежность точки прямой
Точка С принадлежит отрезку АВ (Рисунок 2.7), так как:

• С₁∈А₁В₁;
• С₂∈А₂В₂;
• С₁С₂⊥π₂/π₁;

Если точка делит отрезок в каком-либо отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции данного отрезка в том же отношении:

{frac{A_2C_2}{C_2B_2}=frac{A_1C_1}{C_1B_1}=frac{AC}{CB}}
Справедливо и обратное утверждение.

Упражнение

Разделить точкой К отрезок EF в соотношении EK:KF=1:3 (Рисунок 2.8)

Рисунок 2.8 – Деление отрезка в заданном отношении
Решение:

• 1. Проведём произвольную прямую из любого конца любой проекции отрезка, например, Е₂.
  2. Отложим  на этой прямой от точки Е₂ равные отрезки, количество которых равно сумме чисел, составляющих дробь (в нашем примере 1+3=4).
  3. Соединим последнюю точку 4 с другим концом фронтальной проекции отрезка – точкой F₂.
  4. Из точки 1 проведём прямую, параллельную прямой (4—F₂) до пересечения с проекцией E₂F₂, таким образом будет найдена фронтальная проекция искомой точки К₂.
  5. Горизонтальную проекцию точки К₁ получим путём построения линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией отрезка.

  Упражнение

  Определить принадлежность  точки С отрезку прямой АВ (Рисунок 2.9).
  
  Рисунок 2.9а – Решение упражнения 2. Способ 1.

  
  Рисунок 2.9б – Решение упражнения 2. Способ 2.

  Ответ: точка С не принадлежит отрезку АВ, так как не выполняется условие принадлежности точки прямой.

  2.5. Следы прямой

  След прямой – точка пересечения прямой с плоскостью проекций.

  Прямая общего положения в общем случае может быть три следа:

  • горизонтальный след M₁– точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций π₁;
  • фронтальный след N₂– точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций π₂;
  • профильный  след L₃ – точка пересечения прямой с профильной плоскостью проекций π₃.

  След прямой является точкой частного положения, поскольку он принадлежит плоскости проекций, следовательно, след прямой всегда совпадает с одной из своих проекций:

  • горизонтальный след совпадает со своей горизонтальной проекцией M≡M₁,
  • фронтальный – с фронтальной проекцией N≡N₂,
  • профильный – с профильной проекцией L≡L₃ (Рисунок 2.10).

  

  Рисунок 2.10 – Построение следов отрезка прямой АВ

  Построим следы отрезка АВ с плоскостями проекций (Рисунки 2.10, 2.11).

  Для построения горизонтального следа прямой АB необходимо:

  1. Продолжить фронтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения М₂ является фронтальной проекцией горизонтального следа;
  2. Из точки М₂ провести линию проекционной связи до его пересечения с горизонтальной проекцией прямой АB или её продолжением. Точка пересечения М₁ и будет являться горизонтальной проекцией горизонтального следа, которая совпадает с самим следом М.

  Чтобы построить фронтальный след отрезка АB прямой, необходимо:

  1. Продолжить горизонтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения N₁ является горизонтальной проекцией фронтального следа;
  2. Из точки N₁ провести линию проекционной связи до его пересечения с фронтальной проекцией прямой АB  или ее продолжением. Точка пересечения N₂ и будет являться фронтальной проекцией фронтального следа, которая совпадает с самим следом N.

  Ниже приводим алгоритм построения следов отрезка прямой АВ:

  A₁B₁ ∩ xO =N₁;       Y_N=0;                   N ∈ xOz (π₂)      ⇒      AB ∩ xOz=N

  A₂B₂ ∩ xO =M₂;       Z_M=0;                  M ∈ xOy (π₁)     ⇒      AB ∩ xOy=M

  A₁B₁ ∩ yO =L₁;        X_L=0;                   L ∈ yOz (π₃)     ⇒      AB ∩ yOz=L

  A₂B₂ ∩ zO =L₂;

  
  Рисунок 2.11 – Эпюр построения следов отрезка прямой АВ

  Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, не имеет следа на плоскости, которой она параллельна, и пересекает только две плоскости. Прямая, параллельная двум плоскостям проекций (проецирующая прямая), имеет только один след, совпадающий с проекцией прямой на плоскость, к которой она перпендикулярна.

  2.6. Взаимное расположение прямых

  Две прямые в пространстве могут быть:

  • параллельными;
  • пересекающимися;
  • скрещивающимися.

  Параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке.

  Если прямые в пространстве параллельны, то их ортогональные проекции взаимно параллельны, или сливаются, или представляют собой точки, на одной из плоскостей проекций (Рисунок 2.12).

  
  Рисунок 2.12 – Параллельные прямые
  Пересекающиеся прямые – прямые, имеющие одну общую точку.

  Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже одноименные проекции прямых пересекаются, при этом проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии проекционной связи и делят соответствующие проекции отрезков прямых в равных отношениях (Рисунок 2.13).

  {{A_2B_2}cap{C_2D_2}=K_2}

   {{A_1B_1}cap{C_1D_1}=K_1}

   {frac{A_2K_2}{K_2B_2}=frac{A_1K_1}{K_1B_1}}

   {frac{C_2K_2}{K_2D_2}=frac{C_1K_1}{K_1D_1}}

   
  Рисунок 2.13 – Пересекающиеся прямые

  Скрещивающиеся прямые – прямые, не имеющие общих точек и не удовлетворяющие признакам параллельных и пересекающихся прямых (Рисунок  2.14).

  
  Рисунок 2.14 — Скрещивающиеся прямые

  2.7. Проекции плоских углов

  Угол между двумя пересекающимися прямыми проецируется в истинную величину, если плоскость этого угла параллельна плоскости проекций.

  
  Рисунок 2.15

  По проекциям (Рисунок 2.15) нельзя судить о величине угла между двумя прямыми. На чертежах видно, что острый угол может проецироваться в виде тупого, а тупой – в виде острого.

  Теорема о проецировании прямого угла в частном случае

  Теорема. Если одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости, а другая – этой плоскости не перпендикулярна, то на эту плоскость прямой угол проецируется в виде прямого угла (Рисунок 2.16, а и б).

  Обратная теорема. Если одна из двух пересекающихся прямых параллельна некоторой плоскости проекций и проекции этих прямых на эту же плоскость пересекаются под прямым углом, то в пространстве эти прямые взаимно перпендикулярны.

  

  Рисунок 2.16 – Проецирование прямого угла

  Дано: две пересекающиеся под прямым углом прямые АВ ⊥ ВС,

  причём ВС // π₁ (Рисунок 2.16,б).

  Доказательство:

  1. Проведём через отрезок АВ проецирующую плоскость – σ, σ⊥π₁;
  2. Прямые АВ и ВВ₁ лежат в плоскости σ;
  3. ВС⊥ВВ₁ так как ВС//π₁, а ВВ₁⊥π₁;
  4. Следовательно, ВС⊥σ, а значит ВС перпендикулярна и любой прямой, лежащей в плоскости σ, в частности А₁В₁;
  5. Следовательно В₁С₁⊥σ;
  6. Так как В₁С₁//ВС, то В₁С₁⊥А₁В₁.

  2.8. Задачи для самостоятельного решения

  1. Построить отрезок прямой  АВ // π₁,  равный 35 мм и наклонённый к π₂ под углом 25° (Рисунок 2.17).

  
  Рисунок 2.17

  2. Построить отрезок прямой CD по координатам его концов С (20; 15; 30), D (70; 40; 15) и определить истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций π₂ и π₁.

  3. Постройте проекции отрезков частного положения, расположенных под углом 30° к плоскости проекций π₁ и 45° — к плоскости проекций π₂.

  4. Определите взаимное положение прямых и постройте пересечение прямых АВ и CD прямой EF//π₂/π₁ (Рисунок 2.18).

  

  Рисунок 2.18

Выражение «точка
В инцидентна прямой а» означает, что
точка В принадлежит прямой а, или что
прямая проходит через точку В, или, что
тоже самое, точка В лежит на прямой а.
Запомните: если точка принадлежит
прямой, то ее проекции принадлежат
одноименным проекциям этой прямой.
Обратное заключение справедливо для
всех прямых, кроме профильных уровня.
Рассмотрите внимательно рисунок 30 :
какая точка принадлежит прямой АВ, а
какая нет?

Рисунок 30
Рисунок 31

Проекции
точки D
лежат на одноименных проекциях прямой
АВ, следовательно, точка D
принадлежит прямой АВ; Фронтальная
проекция точки С принадлежит фронтальной
проекции прямой АВ, а горизонтальная
проекция С1 не лежит на горизонтальной
проекции прямой АВ, следовательно, точка
С не принадлежит прямой АВ.

На
рисунке 31 изображена профильная прямая
CD.
Точка К расположена таким образом, что
ее горизонтальная проекция К1 принадлежит
горизонтальной проекции прямой C1D1,
а фронтальная проекция К2 принадлежит
фронтальной проекции прямой. Тем не
менее, чтобы сделать вывод о принадлежности
точки К прямой CD,
необходимо построить их третьи проекции
– профильные. По чертежу видно, что
профильная проекция точки К3 не лежит
на профильной проекции прямой,
следовательно, и сама точка не принадлежит
прямой CD.
Для всех других прямых, кроме профильной
уровня, достаточно проверить принадлежность
двух проекций точки одноименным проекциям
прямой.

8 Взаимное положение прямых

Как известно из
программы средней школы, прямые могут
пересекаться, быть параллельными (лежать
в одной плоскости и не иметь общей точки)
и скрещиваться (лежать в разных плоскостях
и не иметь общей точки).

Наша задача состоит
в том, чтобы разобраться, как изображаются
на эпюре параллельные, пересекающиеся
и скрещивающиеся прямые. На рисунке 32
изображен эпюр параллельных прямых –
одноименные проекции двух параллельных
прямых параллельны между собой.

Справедливо и
обратное заключение, кроме случая с
профильными прямыми. Если даны профильные
прямые, то их параллельность проверяется
по профильным проекциям.

Рисунок 32
Рисунок 33

На
рисунке 33 изображены пересекающиеся
прямые t
(t1,
t2)
и n
(n1,
n2).
Чертеж пересекающихся прямых показывает,
что если прямые пересекаются, то их
одноименные проекции пересекаются
между собой, а проекции точки пересечения
лежат на одной линии связи.

Скрещивающиеся
прямые – прямые, которые не пересекаются
и не параллельны между собой. На эпюре
скрещивающиеся прямые будут напоминать
пересекающиеся с той лишь разницей, что
точки пересечения фронтальных и
горизонтальных проекций не будут лежать
на одной линии связи (перпендикуляре к
оси ОХ), рисунок 34. В связи с этим вводится
понятие конкурирующие точки.

Рисунок 34
Рисунок 35

Точки, лежащие
на одном проецирующем луче, называются
конкурирующими.

На
рисунке 35 обозначены конкурирующие
точки и определена их видимость на П1
П2, невидимые точки берутся в скобки.
Давайте рассмотрим подробно. На
фронтальной проекции пересекаются
фронтальные проекции прямых t2
и b2.
Обозначим эту точку 1 с индексом 2 и 2 с
индексом 2. Допустим, что в пространстве
точка 1 лежит на прямой b,
а точка 2 на прямой t.
Обозначим в соответствии с этим
горизонтальные проекции точек 1 и 2.
Для определения видимости точек на
фронтальной плоскости проекций нужно
сравнить координаты Y
точек 1 и 2. Координата Y
(.) 2 > Y
(.) 1, следовательно на фронтальной
плоскости проекций точка 2 будет видимой,
а точка 1 будет лежать на одном проецирующем
луче с точкой 2 и окажется «прикрытой»
точкой 2, т. е. невидимой глазу наблюдателя.
Такие точки берутся в круглые скобки.
На горизонтальной плоскости проекций
пересекаются горизонтальные проекции
прямых в точке, которую обозначим цифрой
3 с индексом 1 и цифрой 4 с индексом 1. Эти
две точки в пространстве лежат на разных
прямых, допустим точка 3 на прямой t,
а точка 4 на прямой b.
Обозначим соответственно этому допущению
фронтальные проекции точек. Чтобы
определить видимость точек на
горизонтальной плоскости проекций
нужно сравнить координаты Z
этих точек. Координата Z
(.) 4 > Z
(.) 3, следовательно, на горизонтальной
плоскости проекций будет видна точка
4, а точка 3 будет находиться под ней, и
ее нужно взять в скобки. Попробуйте по
рисунку 35 проговорить этот текст и
объяснить себе это несколько раз.
Определение видимости по конкурирующим
точкам в течение учебного курса пригодится
неоднократно.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Лежит ли точка на прямой

Чтобы избавиться от деления, можно преобразовать уравнение:

Осталось сюда подставить точку (x3, y3).

Всё ещё ищете ответ? Посмотрите другие вопросы с метками математика геометрия или задайте свой вопрос.

Site design / logo © 2022 Stack Exchange Inc; user contributions licensed under cc by-sa. rev 2022.6.10.42345

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в отношении файлов cookie.

Как определить принадлежит ли точка прямой

Регистрация на форуме тут, о проблемах пишите сюда — alarforum@yandex.ru, проверяйте папку спам! Обязательно пройдите восстановить пароль

Поиск по форуму

Расширенный поиск

Есть:
1. Прямая, заданная координатами (X,Y) начала и конца.
2. Точка, заданна координатами X,Y.
3. Координаты — любый положительный и отрицательные числа, три знака после запятой.

Задача:
Определить находиться ли точка на прямой.

Кто нибудь знает решение?

Начало прямой: x0, y0
Конец прямой: x1, y1
Точка: x, y

y’ = y1 + (y1 — y0) * (x — x0) / (x1 — x0)

Если y = y1, то точка лежит на прямой

Голованов Д.

Посмотреть профиль

Найти ещё сообщения от Голованов Д.

Уравнение прямой на плоскости имеет вид:
,

где — координаты начала и конца
Нужно в это уравнение вместо x и y подставить координаты точки. Если равенство сохранится, значит, точка принадлежит прямой.

где — координаты точки,
то точка принадлежит прямой.

Уравнение прямой на плоскости имеет вид:
,

где — координаты начала и конца
Нужно в это уравнение вместо x и y подставить координаты точки. Если равенство сохранится, значит, точка принадлежит прямой.

где — координаты точки,
то точка принадлежит прямой.

Интенсив по Python: Работа с API и фреймворками 24-26 ИЮНЯ 2022. Знаете Python, но хотите расширить свои навыки?
Slurm подготовили для вас особенный продукт! Оставить заявку по ссылке — https://slurm.club/3MeqNEk

Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием. Часть 2

Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.

Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.

Задача №1

Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.

Решение
Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P₁P₂ и P₁M и по его знаку сделать вывод.

Задача №2

Определить принадлежит ли точка лучу.

Решение
Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P₁(x₁, y₁) — начало луча, а P₂(x₂, y₂) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P₁(x₁, y₁), где P₂(x₂, y₂) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:
1. [P₁P₂, P₁M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (P₁P₂, P₁M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)

Задача №3

Определить принадлежит ли точка отрезку.

Решение
Пусть точки P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P₁, P₂. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P₁ и P₂, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP₁, MP₂). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. [P₁P₂, P₁M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (MP₁,MP₂) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P₁ и P₂)

Задача №4

Взаимное расположение двух точек относительно прямой.

Решение
В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.

Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
Итак:
1. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] < 0 – точки лежат по разные стороны.
2. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] > 0 – точки лежат по одну сторону.
3. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.

Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] ≤ 0.

Задача №5

Определить пересекаются ли две прямые.

Решение
Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
Допустим прямые заданы своими уравнениями a₁x + b₁y + c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a₁b₂ — a₂b₁ = 0.
Если же прямые заданы точками P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂), M₁(x₃, y₃), M₂(x₄, y₄), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P₁P₂ и M₁M₂: если оно равно нулю, то прямые параллельны.

В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b₁, a₁), (-b₂, a₂) которые называются направляющими векторами.

Задача №6

Определить пересекаются ли два отрезка.

Решение
Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:

Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P₁P₂, P₁M₂] > 0, [P₁P₂, P₁M₁] < 0 => [P₁P₂, P₁M₂] * [P₁P₂, P₁M₁] < 0. Аналогично
[M₁M₂, M₁P₁] * [M₁M₂, M₁P₂] < 0. Вы наверно думаете, почему не меньше либо равно. А потому, что возможен следующий случай, при котором векторное произведение как раз и равно нулю, но отрезки не пересекаются:

Поэтому нам необходимо сделать еще одну проверку, а именно: принадлежит ли хотя бы один конец каждого отрезка другому (принадлежность точки отрезку). Эту задачу мы уже решали.

Итак, для того чтобы отрезки имели общие точки необходимо и достаточно:
1. Концы отрезков лежат по разные стороны относительно другого отрезка.
2. Хотя бы один из концов одного отрезка принадлежит другому отрезку.

Задача №7

Расстояние от точки до прямой.

В предыдущей статье мы говорили о том, что геометрически косое произведение — это ориентированная площадь параллелограмма, поэтому S_P1P2M = 0,5*[P₁P₂, P₁M]. С другой стороны каждому школьнику известна формула для нахождения площади треугольника: половина основание на высоту.
S_P1P2M = 0,5*h*P₁P₂.
Приравнивая эти площади, находим

По модулю взяли потому, что первая площадь ориентированная.

Если же прямая задана уравнением ax + by + c = 0, то уравнение прямой проходящей через точку M перпендикулярной заданной прямой есть: a(y — y₀) – b(x — x₀) = 0. Теперь спокойно можно решить систему из полученных уравнений, найти их точку пересечения и вычислить расстояние от исходной точки до найденной: оно будет ровно ρ = (ax₀ + by₀ + c)/√(a 2 + b 2 ).

Задача №8

Расстояние от точки до луча.

Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.

В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.

Как же определить падает ли перпендикуляр на луч или нет? Если перпендикуляр не падает на луч, то угол MP₁P₂ – тупой иначе острый (прямой). Поэтому по знаку скалярного произведения векторов мы можем определить попадает ли перпендикуляр на луч или нет:
1. (P₁M, P₁P₂) < 0 перпендикуляр не попадает на луч
2. (P₁M, P₁P₂) ≥ 0 перпендикуляр попадает на луч

Задача №9

Расстояние от точки до отрезка.

Решение
Рассуждаем аналогично предыдущей задаче. Если перпендикуляр не падает на отрезок, то ответом будет минимальное из расстояний от данной точки до концов отрезка.

Чтобы определить попадает ли перпендикуляр на отрезок нужно по аналогии с предыдущей задачей использовать скалярное произведение векторов. Если перпендикуляр не падает на отрезок, то либо угол MP₁P₂ либо угол MP₂P₁ будут тупыми. Поэтому по знаку скалярных произведений мы можем определить попадает ли перпендикуляр на отрезок или нет:
Если (P₁M, P₁P₂) < 0 или (P₂M, P₂P₁) < 0 то перпендикуляр не падает на отрезок.

Задача №10

Определить количество точек прямой и окружности.

Решение
Прямая и окружность может иметь нуль, одну или две точки пересечения. Давайте посмотрим на рисунки:

Здесь из рисунков и так все понятно. Мы имеем две точки пересечения, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности. Одну точку касания, если расстояние от центра до прямой равно радиусу. И наконец, ни одной точки пересечения, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности. Поскольку задача нахождения расстояние от точки до прямой была уже нами решена, то и эта задача тоже решена.

Задача №11

Взаимное расположение двух окружностей.

Решение
Возможные случаи расположения окружностей: пересекаются, касаются, не пересекаются.

Рассмотрим случай, когда окружности пересекаются, и найдем площадь их пересечения. Эту задачу я очень люблю, так как потратил на ее решение изрядное количество времени (было это давно — на первом курсе).

Вспомним теперь, что такое сектор и сегмент.

Пересечение кругов состоит из двух сегментов O₁AB и O₂AB.

Казалось бы необходимо сложить площади этих сегментов и все. Однако, все не так просто. Необходимо еще определить всегда ли эти формулы верны. Оказывается, нет!

Рассмотрим случай, когда центр второго круга O₂ совпадает с точкой C. В этом случае d₂ = 0 и за значение α примем α = π. В этом случае имеем полукруг с площадью 1/2 πR₂ 2 .

Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O₂ находится между точками O₁ и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d₂. Использование отрицательного значения d₂ приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.

Заключение

Ну вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.