Как найти точку принадлежащую эллипсу - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

1°. Определение эллипса, каноническое уравнение эллипса, исследование формы эллипса.

Определение 1.
Эллипсом
называется
множество точек плоскости, сумма
расстояний от которых до двух данных
точек

и

этой плоскости, называемых фокусами
эллипса,
есть величина постоянная, большая, чем
расстояние между фокусами.

Составим уравнение
эллипса. Выберем на плоскости декартову
прямоугольную систему координат так,
чтобы ось

проходила через фокусы

и
,
и имела одинаковое направление с вектором
,
а начало координат

было в середине отрезка
.
Пусть
.
Тогда

– координаты фокуса

а

– координаты фокуса

(рис.1).

Рис. 1

Пусть

– произвольная точка эллипса. Отрезки

и

называются фокальными
радиусами точки
.
Положим
,

Тогда

,
.
(1)

Согласно определению
эллипса, точка

принадлежит эллипсу тогда и только
тогда, когда для некоторого числа
,
большего
,
выполняется равенство

.
(2)

Уравнение (2)
является уравнением эллипса в выбранной
декартовой прямоугольной системе
координат.

Представим
уравнение (2) в виде

и возведём обе
части в квадрат. Получим

откуда

Вновь доведём обе
части этого равенства в квадрат:

откуда

,
(3)

причём
.

Положим
,
тогда из (5) следует

.
(4)

Таким образом,
координаты любой точки эллипса
удовлетворяют уравнению (4). Покажем
теперь, что верно и обратное утверждение:
любая точка
,
координаты которой удовлетворяют
уравнению
,
есть точка эллипса. Для этого убедимся,
что
.
Подставив значение

из (4) в правую часть выражений (1), получим

откуда

,
.

Так как из уравнения
(4) следует
,
т.е.
,
,
то
,
а это значит, что
.
Следовательно,

,
.
(5)

Отсюда получаем
,
а это значит, что точка

принадлежит эллипсу.

Уравнение (4)
называется каноническим
уравнением эллипса.
Числа

и

называются соответственно большой
и малой
полуосями эллипса.

Исследуем форму
эллипса. Из канонического уравнения
эллипса (4) следует, что
,
.
Это означает, что эллипс расположен в
прямоугольнике, образованном прямыми
,
,
и, следовательно, является ограниченной
кривой.

Так как каноническое
уравнение эллипса содержит только
квадраты текущих координат, то из
принадлежности точки

эллипсу следует, что и точки
,
,

также лежат на эллипсе. Таким образом,
оси координат являются осями симметрии
эллипса, а начало координат – центром
симметрии. Таким образом, оси координат
являются осями симметрии эллипса, а
начало координат – центром симметрии.

Рис. 2

Если в уравнении
(4) положим
,
то получим

или
.
Значит,
,

– точки пересечения эллипса с осью
.

Полагая
,
получаем
,
т.е. точками пересечения эллипса с осью

являются
,
.
Точки
,

называются вершинами
эллипса.

В силу симметрии
достаточно исследовать форму эллипса
только в первой четверти. Для первой
четверти из уравнения (6) получим

Функция

определена и непрерывна при
,
поэтому график функции асимптот не
имеет. Вычислим производные

и найдём, что при

производные
.
Следовательно, данная функция монотонно
убывает и выпукла вверх. График функции

в первой четверти изображён на рис. 2.
Эллипс строим с учётом симметрии (см.
рис. 1).

Определение 2.
Число

(6)

называется
эксцентриситетом
эллипса.

Так как
,
то
.
Перепишем формулу (6) для эксцентриситета
в виде

Отсюда видно, что

характеризует форму эллипса: если
,
то
,
а эллипс становится похожим на окружность.
При увеличении

эллипс становится более вытянутым.

Пусть

– произвольная точка эллипса. Её
фокальные радиусы

и

задаются формулами (5), которые в силу
(6) имеют вид

,
.
(7)

Восстановим в
одном из фокусов

эллипса перпендикуляр к оси

до пересечения в точке

с эллипсом. Фокальным
параметром

эллипса
называется длина отрезка
.

Так как точка

имеет координаты
,
то

откуда
,
т.е.
.

Выведем
параметрическое уравнение эллипса.
Перейдём в каноническом уравнении
эллипса (4) к переменным

Получим уравнение
окружности
.
Параметрическое уравнение этой
окружности, как известно, имеет вид
.
Тогда

Полученные уравнения
являются параметрическими уравнениями
эллипса.

Соседние файлы в предмете Алгебра и геометрия

Источник

Для нахождения координат точки эллипса по углу существует простое и элегантное решение. Понимаю, что для маститого математика это решение является очевидным. Однако, для меня в то далекое время, когда инет был диким, связь модемной, а я сильно молодым, это таковым не являлось.

ВНИМАНИЕ! Если Вы искали как найти координаты точки по углу от произвольной прямой и совсем не подразумевали эллипс, то Вам сюда.

Калькулятор точки на эллипсе

Давайте посмотрим, как это выглядит на практике. Потом теория. Оранжевый маркер отвечает за угол, на основании которого считаем координаты. Красный — параметрический угол, о котором ниже.

Маркеры кликабельны и таскабельны.

Если есть вопросы, предложения по калькулятору или заметили ошибку, буду очень рад обратной связиx

Эллипс:

a:
b:

Углы (град.):

Get a better browser, bro…

Параметрическое уравнение эллипса

Обратимся, как обычно, к Википедии. Находим там следующее:

Каноническое уравнение эллипса может быть параметризовано:

(1) Параметрическое уравнение эллипса

Очевидно, что t — это угол, и это не «наш» угол. Это какой-то другой угол, который функционально связан с «нашим». «Нашим» называю угол, от которого требуется посчитать координаты.

Таким образом, задача нахождения координат точки эллипса по углу сводится к задаче нахождения угла t, зависящим от требуемого. Нахождением этой зависимости и займемся.

Подготовка

Рис.1. Построение эллипса

У нас есть эллипс, описанный двумя полуосями a и b. Представим две окружности, имеющих общий центр. Меньшая окружность (зеленая) имеет радиус b. Большая окружность (синяя) имеет радиус a.

Проведем прямую из общего центра [X₀;Y₀] в произвольную точку плоскости [X;Y]. В результате пересечения с этими окружностями получаются две точки [X₁;Y₁] и [X₂;Y₂].

α – угол между прямой и осью X.

Малая окружность	X₁ = b × cos α	Y₁ = b × sin α
Большая окружность	X₂ = a × cos α	Y₂ = a × sin α

Таблица 1. Координаты точек пересечения прямой с окружностями

Нахождение зависимости

Рис.2. Угол β для точки эллипса [X’;Y’]

Используя уравнение (1) посчитаем координаты точки на эллипсе [X’;Y’] для угла α. Проведем прямую из центра [X₀;Y₀] в точку [X’;Y’]. Угол β – угол между этой прямой и осью X.

Задача сводится к тому, чтобы найти такой α, при котором β был бы равен интересующему нас углу. Таким образом, угол α будет являться параметром в уравнении (1) для требуемого угла β.

Найдем зависимость между получившимся углом β и углом α. На рисунке видно, что прилегающий к углу катет (синий) равен ранее рассчитанному X2, а противолежащий (зеленый) равен Y1:

X’ = X₂ = a × cos α

Y’ = Y₁ = b × sin α

Опыт показывает, что тут зачастую возникает легкий ступор. Возможно, рисунок вводит в некое заблуждение. Видим треугольник, и если с синим катетом вопросов нет, то с зеленым — масса. Почему синус от α? Угол «вона где», тут синус вообще не от того угла и т.д.

Смотрим на пересечение прямой и малой (зеленой) окружности. Зеленый катет прилетает именно оттуда. Именно так координату Y’ и рассчитывали, согласно уравнению(1). Рисунок — это иллюстрация, не метод решения.

Тангенс угла β в этом случае равен:

(3) Тангенс угла β

Используя формулу тангенса произведем дальнейшие преобразования:

(4) Зависимость тангенса α от тангенса β

Таким образом, видим прямую зависимость угла α, который нужен нам в качестве параметра в уравнении(1), от угла β, координаты точки от которого хотим получить.

Нахождение координат

Угол α находим через арктангенс. В Delphi (и не только) для этих целей используется функция ArcTan2 из модуля math. Она корректно возвращает знак ± угла в зависимости от квадранта, а также предусмотрительно нечувствительна к возможным коллизиям, типа деления на 0.

Находим синус и косинус от требуемого угла β и подставляем в параметры функции ArcTan2, согласно последней формуле (4):

//— находим параметр (некий угол) для уравнения —

SinCos(Angle,sn,cs);

t := ArcTan2(a*sn, b*cs);

Получившийся в результате вызова ArcTan2 угол есть ничто иное, как параметр t в параметрическом уравнении (1). Подставив его в уравнение, находим координаты точки на эллипсе, отстоящей на заданный угол от оси X.

О параметре

Практический смысл параметра t состоит в том, что это угол окружности до «сплющивания». Этот тот угол окружности, который будет соответствовать точке эллипса при заданном угле. Попытаюсь на практике показать.

В JavaScript’е нет понятия эллипс. Тем более нет понятия дуги эллипса. Но можно нарисовать окружность (через дугу) и «сплющить». Может быть такой номер пройдет и с дугой?

// рисует дугу эллипса

function drawArcEllipse(ctx, center, a, b, start, finish,

colorLine=‘none’, widthLine=0.0, angle=0.0) {

if (a==0.0) return;

var t1 = start;

var t2 = finish;

ctx.beginPath();

// сохраняем контекст

ctx.save();

// перемещение координат в центр эллипса

ctx.translate(center.x, center.y);

// поворот плоскости на угол, если требуется

if (angle!=0.0) ctx.rotate(angle);

// сжимаем по вертикали

ctx.scale(1, b/a);

// рисуем дугу

ctx.arc(0, 0, a, t1, t2);

// восстанавливает контекст

ctx.restore();

if (colorLine!=‘none’)

ctx.strokeStyle = colorLine;

if (widthLine>0.0)

ctx.lineWidth = widthLine;

ctx.stroke();

ctx.closePath();

}

Рис.3. Использование параметра эллипса

На рисунке слева видим, что дуга расположена совершенно неправильно. Очевидно, что надо использовать какие-то другие углы. Вот тут на помощь приходит параметр эллипса. Это как раз тот самый угол, который обеспечивает «попадание» в нужный нам угол при «сплющивании» окружности.

Перепишем функцию с учетом нахождения параметра:

// рисует дугу эллипса

function drawArcEllipse(ctx, center, a, b, start, finish,

colorLine=‘none’, widthLine=0.0, angle=0.0) {

if (a==0.0) return;

var sn = Math.sin(start);

var cs = Math.cos(start);

var t1 = Math.atan2(a*sn, b*cs);

sn = Math.sin(finish);

cs = Math.cos(finish);

var t2 = Math.atan2(a*sn, b*cs);

ctx.beginPath();

// сохраняем контекст

ctx.save();

// перемещение координат в центр эллипса

ctx.translate(center.x, center.y);

// поворот плоскости на угол, если требуется

if (angle!=0.0) ctx.rotate(angle);

// сжимаем по вертикали

ctx.scale(1, b/a);

// рисуем дугу

ctx.arc(0, 0, a, t1, t2);

// восстанавливает контекст

ctx.restore();

if (colorLine!=‘none’)

ctx.strokeStyle = colorLine;

if (widthLine>0.0)

ctx.lineWidth = widthLine;

ctx.stroke();

ctx.closePath();

}

На рисунке справа видим, что все встало на свои места. Идеальная дуга )

Координаты точки наклонного эллипса

Перенесено в отдельную статью.

Практика

Две функции. Первая находит параметр t по углу. Вторая производит расчет координат. Из второй не вызываю первую, т.к. получится двойное вычисление полуосей. Код не настолько велик, чтобы его нельзя было продублировать.

//******************************************************************

// Найти угол, который будет использован в расчете точки на элипсе

// Т.е. тот самый параметр t в параметрическом уравнении эллипса:

// x = a * cos t

// y = b * sin t

//******************************************************************

function GetEllipseAngleParam(ARect : TRectF;

Angle : Extended) : Extended;

var sn,cs : Extended; // синус/косинус

a,b : Extended; // полуоси по X/Y

begin

a := ARect.Width/2;

b := ARect.Height/2;

SinCos(Angle,sn,cs);

result := ArcTan2(a * sn, b * cs);

end;

//********************************************************************

// Найти координату точки на эллипсе по углу отклонения

//********************************************************************

function CalcEllipsePointCoord(ARect : TRectF;

Angle : extended) : TPointF;

var sn,cs : Extended; // синус/косинус

a,b : Extended; // полуоси по X/Y

cnt : TPointF; // центр

t : Extended; // параметр для уравнения эллипса

begin

// инициализация полуосей

a := ARect.Width/2;

b := ARect.Height/2;

// центр эллипса

cnt := ARect.CenterPoint;

// находим параметр (некий угол) для уравнения

SinCos(Angle,sn,cs);

t := ArcTan2(a * sn, b * cs);

// считаем результат по параметрическому уравнению

SinCos (t, sn, cs);

result.X := cnt.x + a * cs;

result.Y := cnt.Y + b * sn;

end;

Скачать исходник + исполнямый файл

Друзья, спасибо за внимание!

Надеюсь, материал после правок стал понятней.

Подписывайтесь на телегу.

Если есть вопросы, с удовольствием отвечу )

Источник

444 Составить уравнение эллипса,
фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично
относительно начала координат, зная, кроме того,
что: 444.1 его полуоси ранвы 5
и 2; 444.2 его большая ось
равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8; 444.3 его малая ось равна
24, а расстояние между фокусами 2c=10; 444.4 расстояние между
его фокусами 2c=6 и эксцентриситет e=3/5. 444.5 его большая ось
равна 20, а эксцентриситет e=3/5. 444.6 его малая ось равна
10, а эксцентриситет e=12/13; 444.7 расстояние между
его директрисами равно 5 и расстояние между
фокусами 2c=4; 444.8 его большая ось
равна 8, а расстояние между директрисами равно 16; 444.9 его малая ось равна
6, а расстояние между директрисами равно 13; 444.10 расстояние между
его директрисами равно 32 и e=1/2. 445 Составить
уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси
ординат симметрично начала координат, зная,
кроме того, что: 445.1 его полуоси равны
соответственно 7 и 2; 445.2 его большая ось
равна 10, а расстояние между фокусами 2c=8; 445.3 расстояние между
его фокусами 2c=24 и эксцентриситет e=12/13. 445.4 его малая ось равна
16, а эксцентриситет e=3/5. 445.5 расстояние между
его фокусами 2c=6 и расстояние между директрисами
равно 50/3; 445.6 расстояние между
его директрисами равно 32/3 и эксцентриситет e=3/4. 446 Определить полуоси
каждого из следующих эллипсов: 446.1

; 446.2

; 446.3

; 446.4

; 446.5

; 446.6

; 446.7

; 446.8

; 446.9

; 446.10

. 447 Дан эллипс

. Найти его полуоси, фокусы,
эксцентриситет, уравнения директрис. 448 Вычислить площадь
четырехугольника, две вершины которого лежат в
фокусах эллипса

, а две другие
совпадают с концами его малой оси. 449 Дан эллипс

. Найти его полуоси, фокусы,
эксцентриситет, уравнения директрис. 450 Вычислить площадь
четырехугольника, две вершины которого лежат в
фокусах эллипса

, две другие лежат с
концами его малой оси. 451 Вычислить
расстояние от фокуса F(c; 0) эллипса

до
односторонней с этим фокусом директрисы. 452 Пользуясь одним
циркулем, построить фокусы эллипса

(считая,
что изображены оси координат и задана масштабная
единица). 453 На эллипсе

найти точку, абсцисса которых равна
–3. 454 Определить, какие
из точек A₁(-2; 3), A₂(2; -2), A₃(2;
-4), A₄(-1; 3), A₅(-4; -3), A₆(3; -1), A₇(3;
-2), A₈(2; 1), A₉(0; 15), A₁₀(0; -16) лежат на эллипсе

, какие
внутри и какие вне его. 455 Установить, какие
линии опеределяются следующими уравнениями.
Изобразить эти линии на чертеже. 455.1

; 455.2

; 455.3

; 455.4

. 456 Эксцентриситет
эллипса e=2/3, фокальный радиус точки М эллипса
равен 10. Вычислить расстояние от точки М до
односторонней с этим фокусом директрисы. 457 Эксцентриситет
эллипса e=2/5, расстояние от точки эллипса до
директрисы равно 20. Вычислить расстояние от
точки М до фокуса, односторонней с этой
директрисой. 458 Дана точка М₁(2; -5/3) на эллипсе

; составить
уравнения прямых, на которых лежат фокальные
радиусы точки М₁.
459 Убедившись, что
точка M₁(-4; 2,4) лежит
на эллипсе

, определить фокальные радиусы точки
М₁. 460 Эксцентриситет
эллипса e=1/3, центр его совпадает с началом
координат, один из фокусов (-2; 0). Вычислить
расстояние от точки М₁ эллипса с абсциссой, равной 2, до
директрисы, односторонней с данным фокусом. 461 Эксцентриситет
эллипса e=1/2, центр его совпадает с началом
координат, одна из директрис дана уравнением x=16.
Вычислить расстояние от точки M₁
эллипса с абсциссой, равной –4, до
фокуса, одностороннего с данной директрисой. 462 Определить точки
эллипса

, расстояние которых до
правого фокуса равно 14. 463 Определить точки
эллипса

, расстояние которых до
левого фокуса равно 2,5. 464 Через фокус эллипса

проведен перпендикуляр к его
большой оси. Определить расстояния от точек
пересечения этого перпендикуляра с эллипсом до
фокусов. 465 Составить
уравнения эллипса, фокусы которого расположены
на оси абсцисс симметрично относительно начала
координат, если даны: 465.1 точка М₁(

; 2) эллипса
и его малая полуось b=3; 465.2 точка М₁(2;
-2) эллипса и его большая полуось
a=4; 465.3 точки М₁(4;

) и
М₂(

; 3) эллипса; 465.4 точка М₁(

; -1) эллипса
и его эксцентриситет e=2/3; 465.5 точка М₁(2;
-5/3) эллипса и его эксцентриситет
e=2/3; 465.6 точка М₁(8;
12) эллипса и расстояние r₁=20
от нее до левого фокуса. 465.7 точка М₁(

; 2) эллипса
и расстояние между его директрисами, равное 10. 466 Определить
эксцентриситет e эллипса, если: 466.1 его малая ось видна
из фокусов под углом 60⁰; 466.2 отрезок между
фокусами виден и вершин малой оси под прямым
углом; 466.3 расстояние между
директрисами в три раза больше расстояния между
фокусами; 466.4 отрезок
перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на
его директрису, делится вершиной эллипса
пополам. 467 Через фокус F
эллипса проведен перпендикуляр к его большой оси
(см. рис.). Определить, при каком значении
эксцентриситета эллипса отрезки

будут
параллельны.

468 Составить
уравнение эллипса с полуосями a, b и центром C(x₀, y₀), если
известно, что оси симметрии эллипса параллельны
осям координат. 469 Эллипс касается оси
абсцисс в точке А(3; 0) и оси ординат в точке В(0; -4).
Составить уравнение этого эллипса, зная, что его
оси симметрии параллельны координатным осям. 470 Точка С(-3; 2)
является центром эллипса, касающегося обеих
координатных осей. Составить уравнение этого
эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны
координатным осям. 471 Установить, что
каждое из следующих уравнений определяет эллипс,
и найти координаты его центра С, полуоси,
эксцентриситет и уравнения директрис: 471.1

; 471.2

; 471.3

. 472 Установить, какие
линии определяются следующими уравнениями.
Изобразить эти линии на чертеже. 472.1

; 472.2

; 472.3

; 472.4

. 473 Составить
уравнение эллипса, зная, что: 473.1 его большая ось
равна 26 и фокусы суть F₁(-10; 0), F₂(14;0);
473.2 его малая ось равна
2 и фокусы суть F₁(-1; -1), F₂(1;
1);
473.3 его фокусы суть F₁(-2; 3/3), F₂(2; -3/2) и
эксцентриситет e=

.
473.4 его фокусы суть F₁(1; 3), F₂(3; 1) и
расстояние между директрисами равно

.
474 Составить уравнение эллипса, если известны его
эксцентриситет

,
фокус F (-4; 1) и уравнение соответствующей
директрисы

475 Составить
уравнение эллипса, если известны его
эксцентриситет e=1/2, фокус F(-4; 1) и уравнение
соответствующей директрисы

. 476 Точка А(-3; -5) лежит
на эллипсе, фокус которого F(-1; -4), а
соответствующая директриса дана уравнением

. Составить уравнение этого эллипса. 477 Составить
уравнение эллипса, если известны его
эксцентриситет e=1/2, фокус F(3; 0) и уравнение
соответствующей директрисы

. 478 Точка M₁(2;
-1) лежит на эллипсе, фокус
которого F(1; 0), а соответствующая директриса дана
уравнением

. Составить уравнение этого эллипса. 479 Точка M₁(3;
-1) является концом малой оси
эллипса, фокусы которого лежат на прямой

. Составить
уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет
e=

. 480 Найти точки
пересечения прямой

и эллипса

. 481 Найти точки
пересечения прямой

и эллипса

. 482 Найти точки
пересечения прямой

и эллипса

. 483 Определить, как
расположена прямая относительно эллипса:
пересекает ли, касается или проходит вне его,
если прямая и эллипс заданы следующими
уравнениями: 483.1

; 483.2

; 483.3

. 484 Определить, при
каких начениях m прямая

: 484.1 пересекает эллипс

; 484.2 касается его; 484.3 проходит вне этого
эллипса. 485 Вывести условие,
при котором прямая

касается эллипса

. 486 Составить
уравнение касательной к эллипсу

в его
точке M₁(x₁; y₁). 487 Доказать, что
касательные к эллипсу

, проведенные
в концах одного и того же диаметра, параллельны.
(Диаметром эллипса называется его хорда,
проходящая через его центр). 488 Составить
уравнения касательных к эллипсу

, параллельных
прямой

. 489 Составить
уравнения касательных к эллипсу

, перпендикулярных
к прямой

. 490 Провести касательные к эллипсу

параллельно
прямой

и вычислить расстояние d между ними. 491 На эллипсе

найти точку М₁,
ближайшую к прямой

, и вычислить расстояние d от точки М₁до
этой прямой. 492 Из точки А(10/3; 5/3)
проведены касательные к эллипсу

. Составить
их уравнения. 493 Из точки С(10; -8)
проведены касательные к эллипсу

. Составить
уравнение хорды, соединяющей точки касания. 494 Из точки Р(-16; 9)
проведены касательные к эллипсу

. Вычислить
расстояние d от точки Р до хорды эллипса,
соединяющей точки касания. 495 Эллипс проходит
через точку А(4; -1) и касается прямой

. Составить
уравнение этого эллипса при условии, что его оси
совпадают с осями координат. 496 Составить
уравнение эллипса, касающегося двух прямых

, при
условии, что его ося совпадают с осями координат. 497 Доказать, чо
произведение расстояний от центра эллипса до
точки пересечения любой его касательной с
фокальной осью и до основания перпендикуляра,
опущенного из точки касания на фокульную ось,
если величина постоянная, равная квадрату
большой полуоси эллипса. 498 Доказать, что
произвдение расстояний от фокусов до любой
касательной к эллипсу равно квадрату малой
полуоси. 499 Прямая

касается
эллипса, фокусы которого находятся в точках F₁(-3;
0), F₂(3; 0). Составить
уравнение этого эллипса. 500 Составить
уравнение эллипса, фокусы которого расположены
на оси абсцисс симметрично относительно начала
координат, если известны уравнение касательной к
эллипсу

и его малая полуось b=2. 501 Доказать, что
прямая, касающаяся эллипса в некоторой точке М,
составляет равные углы с фокальными радиусами F₁M, F₂M и проходит
вне угла F₁MF₂. 502 Из левого фокуса
эллипса

под тупым углом

к оси
Ox направлен луч света. Известно, что

. Дойдя
до эллипса, луч на него отразился. Составить
уравнение прямой, на которой лежит отраженный
луч. 503 Определить точки
пересечения эллипсов

. 504 Убедившись, что
эллипсы

(

) пересекаются
в четырех точках, лежающих на окружности с
центром в начале координат, определить радиус R
этой окружности. 505 Плоскости

образуют угол

=30⁰. Опредлить
полуоси эллипса, полученного проектированием на
плоскость

окружности радиуса R=10,лежащей на
плоскости

. 506 Эллипс, малая
полуось которого равна 6, является проекцией
окружности радиуса R=12. Опредилть угол

между плоскостями, в которых лежат
эллипс и окружность. 507 Направляющей
круглого цилиндра является окружность радиуса
R=8. Определить полуоси эллипса, полученного в
сечении этого цилиндра плоскостью, наклоненной к
его оси под уголом

=30⁰. 508 Направляющей
круглого цилиндра является окружность радиуса R=

. Определить, под каким углом к оси
цилиндра нужно его пересечь плоскостью, чтобы в
сечении получить эллипс с большой полуосью a=2. 509 Равномерным
сжатием (или равномерным растяжением) плоскости
к оси абсцисс называется такое преобразование
точек плоскости, при котором произвольная точка
M(x; y) перемещается в точку M’(x’; y’) (рис.1 ) так, что
x’=x, y’=qy, где q>0 – постоянная, называемая
коэффициентом равномерного сжатия. Аналогично
рпи помощи уравнения x’=qx, y’=y определяется
равномерное сжатия плоскости к оси Oy (рис. 2).
Определить, в какую линию преобразуется
окружность

, если коэффициент
равномерного сжатия плоскости к оси абсцисс q=4/5.

510 Коэффициент
равномерного сжатия плоскости к оси Oy равен 3/4.
Определить уравнение линии, в которую при таком
сжатии преобразуется эллипс

. 511 Найти уравнение
линии, в которую преобразуется эллипс

при двух последовательных
равномерных сжатиях плоскости к координатным
осям, если коэффициенты равномерного сжатия
плоскости к осям Ox и Oy равны соответственно 4/3 и
6/7. 512 Определить
коэффициент q равномерного сжатия плоскости к
оси Ox, при котором эллипс

преобразуется
в эллипс

. 513 Определить
коэффициент q равномерного сжатия плоскости к
оси Oy, при котором эллипс

преобразуется
в эллипс

. 514 Определить
коэффициенты q₁, q₂ двух последовательных равномерных
сжатий плоскости к осям Ox и Oy, при которых
эллипс

преобразуется в окружность

Источник

(схема 21)

Эллипсом называется
геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до
двух данных точек этой плоскости, называемых
фокусами, есть величина постоянная, равная 2a.

Обозначим фокусы через F₁ и F₂,
расстояние между ними через 2c, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до
фокусов – через 2a. По определению 2a>2c, то есть a>c .

Выберем систему координат
так, чтобы
фокусы F₁ и F₂
лежали на оси 0x, а начало координат совпадало с серединой отрезка F₁F₂. Тогда фокусы имют координаты: F₁(–c;0) и F₂(c;0). Пусть M(x;y) –
произвольная точка эллипса (текущая точка). Тогда по определению эллипса можно записать

По сути, мы получили уравнение эллипса. Упростим его с помощью ряда несложных математических преобразований:

Так как, a>c, то a²–c²>0, то можно обозначить a²–c²=b². Тогда
последнее уравнение имеет вид:

(2.17)

Это
уравнение равносильно первоначальному. Оно называется каноническим уравнением
эллипса – кривой
второго порядка.

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим
уравнением.

1. Уравнение (2.17) содержит x и y
только в четных степенях, поэтому
если точка (x;y)
принадлежит эллипсу, то
ему также принадлежат
точки (–x;y), (x;–y), (–x;–y). Отсюда: эллипс симметричен относительно осей 0x и 0y, а также
относительно точки O(0;0), которую называют центром эллипса.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат.
Положив y=0, найдем точки A₁(a;0) и A₂(–a;0), в которых ось 0x пересекает эллипс. Положив в уравнении
(2.17) x=0, находим точки пересечения эллипса с осью 0y: B₁(0;b) и B₂(0;–b). Точки A₁, A₂, B₁, B₂ называются вершинами эллипса. Отрезки А₁А₂,
В₁В₂, а также
их длины 2a и 2b – соответственно большая и малая оси эллипса (рис. 2.4).

3. Из уравнения (2.17) следует, что каждое слагаемое в
левой части не превосходит единицы,
т.е.:

Следовательно, все точки эллипса лежат внутри
прямоугольника, ограниченного прямыми x= ± a
и y= ± b.

4. В уравнении (2.17) левая часть – сумма
неотрицательных слагаемых, т.е. при возрастании одного слагаемого другое будет
уменьшаться, если |x| возрастает, |y|
уменьшается и наоборот.

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму
овальной замкнутой кривой. Форма эллипса зависит от отношения. При a=b эллипс превращается в окружность, уравнение эллипса
(2.17) принимает вид: x²+y²=a². Отношение половины расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса – эксцентриситет эллипса . Причем
0<ε<1, так как 0<c<a.

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса,
тем будет менее эллипс сплющенным; при ε=0 эллипс
превращается в окружность.

Пусть M(x;y) – произвольная точка эллипса с фокусами F₁ и F₂. Длины
отрезков |MF₁|=r₁ и |MF₂|=r₂ – фокальные
радиусы точки M, r₁+r₂=2a. Имеют место формулы: r₁=a+εx и r₂=a – εx.

Прямые – директрисы
эллипса.

Если r – расстояние от произвольной точки до какого–нибудь фокуса,
d –
расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы (рис. 2.5), то отношениеесть величина
постоянная, равная эксцентриситету эллипса: .

Из равенства a²–c²=b²
следует, что a>b. Если же
наоборот, то уравнение (2.17) определяет эллипс, большая ось которого 2b лежит на
оси 0y, а малая ось 2a – на оси 0x. Фокусы такого
эллипса находятся в точках F₁(0;c) и F₂(0;–c), где . Данный эллипс будет растянут вдоль оси 0y.

Пример 2.5. Составить уравнение линии, для каждой точки
которой отношение расстояний от нее до
точки A(3;0) и до прямой x=12, равно числу ε=0,5. Полученное
уравнение привести к простейшему виду.

Решение. Пусть M(x;y) – текущая (произвольная) точка искомого
геометрического множества точек. Опустим перпендикуляр MB на прямую

. Тогда точка B(12;y). По условию задачи
.

По формуле расстояния между
двумя точками получаем:

Отсюда

Полученное уравнение представляет собой эллипс вида где, согласно формуле (2.17).

Определим фокусы эллипса F₁(–c;0) и F₂(c;0). Для эллипса справедливо равенство b²=a²–c²,
откуда c²=a²–b² =9 и c=3. То есть,
F₁(–3;0) и F₁(3;0)–
фокусы эллипса (точки F₂ и A совпадают).

Эксцентриситет эллипса

Примечание. Если эллипс (окружность) вращать вокруг одной из его
осей, то описываемая им поверхность будет эллипсоидом вращения (сферой)

Пример 2.6. В геодезии используется система географических координат,
основанная на понятии геоида. Геоид – поверхность Земли,
ограниченная уровенной поверхностью, продолженной под континенты. Поверхность
геоида отличается от физической поверхности Земли, на которой резко выражены
горы и океанические впадины.

Тело, поверхность которого более всего соответствует
поверхности геоида, имеет определенные размеры и ориентирована соответственно в
теле Земли, называется референц–эллипсоидом. В нашей стране с 1946 года для всех
геодезических работ принят референц–эллипсоид Красовского с
параметрами a=6 378 245 м, b=6 356 863 м, α=1: 298,3.

Линия, проходящая вертикально через центр эллипсоида
является полярной осью. Линия, проходящая через центр эллипсоида,
перпендикулярно к полярной оси, – экваториальной осью. При пересечении
поверхности эллипсоида плоскостью, проходящей через его центр, перпендикулярно
к полярной оси, образуется окружность, называемая экватором. Окружность,
полученная от пересечения поверхности эллипсоида плоскостью, параллельной
плоскости экватора, называется параллелью. Линия пересечения
поверхности эллипсоида с плоскостью, проходящей через заданную точку и полярную
ось, называется меридианом данной точки. Положение точки на земной поверхности
определяется пересечением параллели и меридиана, проходящих через нее. Угол φ между плоскостью экватора и отвесной
линией называется географической широтой. Для определения долгот
точек один из меридианов (Гринвичский) принимают за начальный или нулевой. Угол
λ, составленный плоскостью меридиана,
проходящего через данную точку, и плоскостью начального меридиана, называется
географической долготой

Гипербола – геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от
каждой из которых до двух данных точек этой плоскости – фокусов, есть величина
постоянная, равная 2a.

Обозначим фокусы через
F₁ и F₂, расстояние между ними через 2c, а модуль
разности расстояний от каждой точки
гиперболы до фокусов через 2a. По определению 2a<2c, то есть a<c.

Выберем систему координат x0y так, чтобы фокусы F₁ и F₂лежали на оси 0x, а начало координат совпало с серединой отрезка F₁F₂. Тогда фокусы будут иметь координаты F1(c;0) и F₂(–c;0). На этой основе выведем уравнение гиперболы. Пусть M(x;y) – ее произвольная точка. Тогда по определению |MF₁–MF₂|=2a, то есть. Проведя преобразования, аналогичные упрощениям уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы:

, (2.18)

где
b²=a²–c².
Гипербола – линия 2–го порядка.

Установим форму гиперболы, исходя из ее канонического
уравнения.

1. Уравнение (2.18) содержит x и y только в
четных степенях. Следовательно, гипербола симметрична относительно осей координат
0x и 0y, и относительно точки O(0;0) – центра гиперболы.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в
уравнении (2.18) y=0, находим две точки пересечения гиперболы с осью 0x: A₁(a;0) и A₂(–a;0).

Положив в (2.18) x=0, получаем y²= – b²,
чего быть не может. Т.е. гипербола ось 0y не пересекает.

Точки A₁(a;0) и A₂(–a;0) – вершины гиперболы, а отрезок |A₁A₂|=2a – действительная ось. Отрезок |B₁B₂|=2b,
соединяющий точки B₁(0;b) и B₂(0;–b) – мнимая ось (рис. 2.6). Прямоугольник
со сторонами 2a и 2b – основной
прямоугольник гиперболы.

3. Из уравнения (2.18) следует, что уменьшаемое . Это означает, что точки гиперболы расположены справа
от прямой x=a (правая
ветвь гиперболы) и слева от прямой x=–a (левая
ветвь) (рис. 2.6).

4. Из уравнения (2.18) гиперболы видно, что
когда |x| возрастает, то |y| также
возрастает. Это
следует из того, что разность –
сохраняет значение, равноe единице. Следовательно, гипербола имеет форму,
состоящую из двух неограниченных ветвей.

Прямая L называется асимптотой некоторой неограниченной кривой, если расстояние d от точки M этой кривой до прямой L стремится к нулю при неограниченном
удалении точки M вдоль кривой
от начала координат.

Покажем, что гипербола имеет две асимптоты: . Так как
данные прямые и гипербола (2.18) симметричны относительно координатных
осей, то достаточно рассмотреть только точки, расположенные в первой четверти.

Возьмем на прямой точку N, имеющую
ту же абсциссу, что и точка M(x;y) на гиперболе . Найдем разность |MN|:

Очевидно: так как числитель есть величина постоянная, а знаменатель дроби увеличивается с возравстанием переменной х, то длина отрезка |MN| стремится
к нулю. Так как |MN| больше
расстояния d от точки M до прямой L, то d стремится к нулю тем более (и подавно). Следовательно, прямые

– есть
асимптоты гиперболы (рис. 2.7).

Построение гиперболы начинают с нанесения ее основного прямоугольника на координатную плоскость. Далее проводят диагонали этого прямоугольника, которые являются асимптотами гиперболы, затем отмечают ее вершины, фокусы и строят ветви гиперболы.

Эксцентриситет гиперболы –
отношение расстояния между фокусами к величине её действительной оси,
обозначается ε: . Так
как у гиперболы c>a, то
эксцентриситет ее больше единицы. Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Так как . Видно, что чем меньше
эксцентриситет гиперболы, тем меньше отношение ее полуосей, а
значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

Эксцентриситет
равносторонней гиперболы равен . Действительно, . Фокальные радиусы

для точек
правой ветви гиперболы имеют вид: r₁=εx+a, r₂=εx–a; для точек
левой ветви: r₁=–(εx+a), r₂=–(εx–a).

Прямые называются директрисами
гиперболы. Тот факт, что для гиперболы ε>1, то означает: правая директриса расположена между центром и правой вершиной гиперболы,
левая – между центром и левой вершиной. Директрисы
гиперболы имеют тоже свойство , что и директрисы эллипса.

Уравнение определяет гиперболу с действительной осью 2b, расположенной на оси 0y, и мнимой осью 2a, расположенной на оси абсцисс (подобная гипербола изображена
на рисунке 2.7 пунктиром).

Значит, гиперболы
и
имеют общие
асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Примечание. Если у кривой 2–го порядка смещен центр в некоторую
точку O’(x₀;y₀), то она
называется нецентральной кривой. Уравнение такой кривой имеет вид:

Примечание. При вращении гиперболы вокруг ее действительной оси
образуется двуполостный гиперболоид, вокруг ее мнимой оси – однополостный гиперболоид

Подробно данные уравнения рассмотрены в теме:
«Исследование общего уравнения 2–ой степени» (смотри схему 10), частными
случаями которого являются данные формулы.

Вопросы
для самопроверки

Источник

Эллипс: определение, свойства, построение

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F_1 , и F_2 есть величина постоянная (2a) , бо́льшая расстояния (2c) между этими заданными точками (рис.3.36,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство эллипса.

Фокальное свойство эллипса

Точки F_1 , и F_2 называются фокусами эллипса, расстояние между ними 2c=F_1F_2 — фокусным расстоянием, середина отрезка F_1F_2 — центром эллипса, число — длиной большой оси эллипса (соответственно, число — большой полуосью эллипса). Отрезки F_1M и F_2M , соединяющие произвольную точку эллипса с его фокусами, называются фокальными радиусами точки . Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется хордой эллипса.

Отношение $e=frac{c}{a}$ называется эксцентриситетом эллипса. Из определения (2a>2c) следует, что 0leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр совпадают, и эллипс является окружностью радиуса (рис.3.36,6).

Геометрическое определение эллипса, выражающее его фокальное свойство, эквивалентно его аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением эллипса:

$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1.$

(3.49)

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.36,в). Центр эллипса примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось или первую ось эллипса), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F_1 к точке F_2 ); прямую, перпендикулярную фокальной оси и проходящую через центр эллипса (вторую ось эллипса), примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).

Эллипс и его фокальные свойства, эксцентриситет эллипса

Составим уравнение эллипса, пользуясь его геометрическим определением, выражающим фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F_1(-c,0),~F_2(c,0) . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей эллипсу, имеем:

$vline,overrightarrow{F_1M},vline,+vline,overrightarrow{F_2M},vline,=2a.$

Записывая это равенство в координатной форме, получаем:

$sqrt{(x+c)^2+y^2}+sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a.$

Переносим второй радикал в правую часть, возводим обе части уравнения в квадрат и приводим подобные члены:

$(x+c)^2+y^2=4a^2-4asqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2~Leftrightarrow ~4asqrt{(x-c)^2+y^2}=4a^2-4cx.$

Разделив на 4, возводим обе части уравнения в квадрат:

a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2).

Обозначив $b=sqrt{a^2-c^2}>0$ , получаем b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 . Разделив обе части на a^2b^2ne0 , приходим к каноническому уравнению эллипса:

$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1.$

Следовательно, выбранная система координат является канонической.

Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс представляет собой окружность (рис.3.36,6), поскольку a=b . В этом случае канонической будет любая прямоугольная система координат с началом в точке Oequiv F_1equiv F_2 , a уравнение x^2+y^2=a^2 является уравнением окружности с центром в точке и радиусом, равным .

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.49), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому эллипсом. Другими словами, аналитическое определение эллипса эквивалентно его геометрическому определению, выражающему фокальное свойство эллипса.

Директориальное свойство эллипса

Директрисами эллипса называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии $frac{a^2}{c}$ от нее. При c=0 , когда эллипс является окружностью, директрис нет (можно считать, что директрисы бесконечно удалены).

Эллипс с эксцентриситетом 0<e<1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки (фокуса) к расстоянию до заданной прямой (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету (директориальное свойство эллипса). Здесь и — один из фокусов эллипса и одна из его директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат, т.е. F_1,d_1 или F_2,d_2 .

В самом деле, например, для фокуса F_2 и директрисы d_2 (рис.3.37,6) условие $frac{r_2}{rho_2}=e$ можно записать в координатной форме:

$sqrt{(x-c)^2+y^2}=ecdot!left(frac{a^2}{c}-xright)$

Избавляясь от иррациональности и заменяя $e=frac{c}{a},~a^2-c^2=b^2$ , приходим к каноническому уравнению эллипса (3.49). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F_1 и директрисы $d_1colonfrac{r_1}{rho_1}=e$ .

Эллипс и его директориальное свойство, эксцентриситет эллипса

Уравнение эллипса в полярной системе координат

Построение кривой эллипса по точкам в полярной системе координат

Уравнение эллипса в полярной системе координат F_1rvarphi (рис.3.37,в и 3.37(2)) имеет вид

$r=frac{p}{1-ecdotcosvarphi}$

где $p=frac{b^2}{a}$ фокальный параметр эллипса.

В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат левый фокус F_1 эллипса, а в качестве полярной оси — луч F_1F_2 (рис.3.37,в). Тогда для произвольной точки M(r,varphi) , согласно геометрическому определению (фокальному свойству) эллипса, имеем r+MF_2=2a . Выражаем расстояние между точками и F_2(2c,0) (см. пункт 2 замечаний 2.8):

$begin{aligned}F_2M&=sqrt{(2c)^2+r^2-2cdot(2c)cdot rcos(varphi-0)}=\[3pt] &=sqrt{r^2-4cdot ccdot rcdotcosvarphi+4cdot c^2}.end{aligned}$

Следовательно, в координатной форме уравнение эллипса F_1M+F_2M=2a имеет вид

$r+sqrt{r^2-4cdot ccdot rcdotcosvarphi+4cdot c^2}=2cdot a.$

Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:

$r^2-4cdot ccdot rcdotcosvarphi+4cdot c^2~Leftrightarrow~acdot!left(1-frac{c}{a}cdotcosvarphiright)!cdot r=a^2-c^2.$

Выражаем полярный радиус и делаем замену $e=frac{c}{a},~b^2=a^2-c^2,~p=frac{b^2}{a}$ :

$r=frac{a^2-c^2}{acdot(1-ecdotcosvarphi)} quad Leftrightarrow quad r=frac{b^2}{acdot(1-ecdotcosvarphi)} quad Leftrightarrow quad r=frac{p}{1-ecdotcosvarphi},$

что и требовалось доказать.

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении эллипса

Найдем точки пересечения эллипса (см. рис.3.37,а) с координатными осями (вершины зллипса). Подставляя в уравнение y=0 , находим точки пересечения эллипса с осью абсцисс (с фокальной осью): x=pm a . Следовательно, длина отрезка фокальной оси, заключенного внутри эллипса, равна . Этот отрезок, как отмечено выше, называется большой осью эллипса, а число — большой полуосью эллипса. Подставляя x=0 , получаем y=pm b . Следовательно, длина отрезка второй оси эллипса, заключенного внутри эллипса, равна . Этот отрезок называется малой осью эллипса, а число — малой полуосью эллипса.

Действительно, $b=sqrt{a^2-c^2}leqslantsqrt{a^2}=a$ , причем равенство b=a получается только в случае c=0 , когда эллипс является окружностью. Отношение $k=frac{b}{a}leqslant1$ называется коэффициентом сжатия эллипса.

Замечания 3.9

1. Прямые x=pm a,~y=pm b ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, внутри которого находится эллипс (см. рис.3.37,а).

2. Эллипс можно определить, как геометрическое место точек, получаемое в результате сжатия окружности к ее диаметру.

Действительно, пусть в прямоугольной системе координат Oxy уравнение окружности имеет вид x^2+y^2=a^2 . При сжатии к оси абсцисс с коэффициентом 0<kleqslant1 координаты произвольной точки M(x,y) , принадлежащей окружности, изменяются по закону

$begin{cases}x'=x,\y'=kcdot y.end{cases}$

Подставляя в уравнение окружности x=x' и $y=frac{1}{k}y'$ , получаем уравнение для координат образа M'(x',y') точки M(x,y) :

$(x')^2+{left(frac{1}{k}cdot y'right)!}^2=a^2 quad Leftrightarrow quad frac{(x')^2}{a^2}+frac{(y')^2}{k^2cdot a^2}=1 quad Leftrightarrow quad frac{(x')^2}{a^2}+frac{(y')^2}{b^2}=1,$

поскольку b=kcdot a . Это каноническое уравнение эллипса.

3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии эллипса (называются главными осями эллипса), а его центр — центром симметрии.

Действительно, если точка M(x,y) принадлежит эллипсу $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ . то и точки M'(x,-y) и M''(-x,y) , симметричные точке относительно координатных осей, также принадлежат тому же эллипсу.

4. Из уравнения эллипса в полярной системе координат $r=frac{p}{1-ecosvarphi}$ (см. рис.3.37,в), выясняется геометрический смысл фокального параметра — это половина длины хорды эллипса, проходящей через его фокус перпендикулярно фокальной оси ( r=p при $varphi=frac{pi}{2}$ ).

Эксцентриситет, коэффициент сжатия и фокусы эллипса

5. Эксцентриситет характеризует форму эллипса, а именно отличие эллипса от окружности. Чем больше , тем эллипс более вытянут, а чем ближе к нулю, тем ближе эллипс к окружности (рис.3.38,а). Действительно, учитывая, что $e=frac{c}{a}$ и c^2=a^2-b^2 , получаем

$e^2=frac{c^2}{a^2}=frac{a^2-b^2}{a^2}=1-{left(frac{a}{b}right)!}^2=1-k^2,$

где — коэффициент сжатия эллипса, 0<kleqslant1 . Следовательно, $e=sqrt{1-k^2}$ . Чем больше сжат эллипс по сравнению с окружностью, тем меньше коэффициент сжатия и больше эксцентриситет. Для окружности k=1 и e=0 .

6. Уравнение $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ при a<b определяет эллипс, фокусы которого расположены на оси (рис.3.38,6). Это уравнение сводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38).

7. Уравнение $frac{(x-x_0)^2}{a^2}+frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1,~ageqslant b$ определяет эллипс с центром в точке O'(x_0,y_0) , оси которого параллельны координатным осям (рис.3.38,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36).

При a=b=R уравнение (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 описывает окружность радиуса с центром в точке O'(x_0,y_0) .

Параметрическое уравнение эллипса

Параметрическое уравнение эллипса в канонической системе координат имеет вид

$begin{cases}x=acdotcos{t},\ y=bcdotsin{t},end{cases}0leqslant t<2pi.$

Действительно, подставляя эти выражения в уравнение (3.49), приходим к основному тригонометрическому тождеству cos^2t+sin^2t=1 .

Пример построения эллипса в канонической системе координат

Пример 3.20. Изобразить эллипс $frac{x^2}{2^2}+frac{y^2}{1^2}=1$ в канонической системе координат Oxy . Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, коэффициент сжатия, фокальный параметр, уравнения директрис.

Решение. Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: a=2 — большая полуось, b=1 — малая полуось эллипса. Строим основной прямоугольник со сторонами 2a=4,~2b=2 с центром в начале координат (рис.3.39). Учитывая симметричность эллипса, вписываем его в основной прямоугольник. При необходимости определяем координаты некоторых точек эллипса. Например, подставляя x=1 в уравнение эллипса, получаем

$frac{1^2}{2^2}+frac{y^2}{1^2}=1 quad Leftrightarrow quad y^2=frac{3}{4} quad Leftrightarrow quad y=pmfrac{sqrt{3}}{2}.$

Следовательно, точки с координатами $left(1;,frac{sqrt{3}}{2}right)!,~left(1;,-frac{sqrt{3}}{2}right)$ — принадлежат эллипсу.

Вычисляем коэффициент сжатия $k=frac{b}{a}=frac{1}{2}$ ; фокусное расстояние $2c=2sqrt{a^2-b^2}=2sqrt{2^2-1^2}=2sqrt{3}$ ; эксцентриситет $e=frac{c}{a}=frac{sqrt{3}}{2}$ ; фокальный параметр $p=frac{b^2}{a}=frac{1^2}{2}=frac{1}{2}$ . Составляем уравнения директрис: $x=pmfrac{a^2}{c}~Leftrightarrow~x=pmfrac{4}{sqrt{3}}$ .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник