Как найти точку симметричную относительно оси абсцисс - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

На чтение 2 мин. Просмотров 15.1k.

Две точки А и А₁ называются симметричными друг другу относительно прямой m, если прямая m перпендикулярна отрезку АА₁ и проходит через его середину. Прямую m называют осью симметрии.
При сгибании плоскости чертежа по прямой m – оси симметрии симметричные фигуры совместятся.
Прямоугольник имеет две оси симметрии.
Квадрат имеет четыре оси симметрии.
Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии. Окружность имеет бесконечное множество осей симметрии.

Точки А и А₁ симметричны относительно прямой m, так как прямая m перпендикулярна отрезку АА₁ и проходит через его середину.

m – ось симметрии.

Прямоугольник ABCD имеет две оси симметрии: прямые m и l.

Если чертеж перегнуть по прямой m или по прямой l, то обе части чертежа совпадут.

Квадрат ABCD имеет четыре оси симметрии: прямые m, l, k и s.

Если квадрат перегнуть по какой-либо из прямых: m, l, k или s, то обе части квадрата совпадут.

Окружность с центром в точке О и радиусом ОА имеет бесчисленное количество осей симметрии. Это прямые: m, m_1,m₂, m₃_…

Задание. Построить точку А₁, симметричную точке А(-4; 2) относительно оси Ох.

Построить точку А₂, симметричную точке А(-4; 2) относительно оси Оy.

Точка А₁(-4; -2) симметрична точке А(-4; 2) относительно оси Ох, так как ось Ох перпендикулярна отрезку АА₁ и проходит через его середину.

У точек, симметричных относительно оси Ох абсциссы совпадают, а ординаты являются противоположными числами.

Точка А₂(4; -2) симметрична точке А(-4; 2) относительно оси Оy, так как ось Оу перпендикулярна отрезку АА₂ и проходит через его середину.

У точек, симметричных относительно оси Оу ординаты совпадают, а абсциссы являются противоположными числами.

( 4 оценки, среднее 3.5 из 5 )

Источник

Как построить симметричную точку

Строить симметричные точки учат на уроках геометрии в средней школе. Это умение может в дальнейшем пригодиться на уроках черчения, а также на занятиях в высших учебных заведениях.

Инструкция

Прочитайте условие задачи и определите, относительно чего должна быть симметрична точка. Например, может потребоваться построение точки, симметричной относительно другой точки, оси симметрии, начала координат, оси Ох или Оу и т.п.

Если вам нужно построить точку А1, симметричную А относительно начала координат, сначала определите координаты точки А. А1 будет иметь те же координаты, но с противоположным знаком. Например, А1 (3; -5) будет симметрична А (-3; 5). Найдите и постройте на графике точку А1 с полученными координатами.

Чтобы построить точку А1, симметричную А относительно оси Ох, нужно найти точку с такой же абсциссой, но при этом с ординатой, противоположной по знаку. Это значит, что точке А (х; у) будет симметрична А1 (х; -у). Например, если А имеет координаты 6 по оси Ох и 2 по оси Оу, то вам нужно будет найти и построить точку А1 (6; -2).

Если требуется построить А1, симметричную А относительно оси Оу, найдите А1, ордината которой будет равна А, а абсцисса противоположна абсциссе А по знаку. Это означает, что А1 (-х; у) будет симметрична А (х; у). Например, если дана А (4; 8), то нужно найти и построить А1 (-4; 8).

Если необходимо построить точку А1, симметричную А относительно точки В, то нужно сначала начертить луч из А, проходящий через В. Измерьте расстояние от А до В и постройте точку А1 на таком же расстоянии от В, но в противоположной стороне луча. В результате у вас получится отрезок АА1, центром которого является точка В.

Чтобы построить точку А1, симметричную А относительно прямой, постройте луч с начальной точкой А, пересекающийся с прямой и перпендикулярный ей. Измерьте расстояние от А до точки пересечения прямой и луча, а затем постройте точку А1 на том же расстоянии от прямой, но в противоположной стороне. У вас должен получиться отрезок АА1, который разделен прямой ровно пополам.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Сегодня на уроке мы вспомним такое понятие как
осевая симметрия на плоскости, введём понятие осевой симметрии в пространстве,
проверим, будет ли осевая симметрия движением пространства.

Давайте вспомним, что фигура называется симметричной
относительно прямой , если для
каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также
принадлежит этой фигуре. Прямая называется осью
симметрии фигуры. Про такую фигуру говорят, что она обладает осевой
симметрией.

Давайте приведём примеры таких фигур
из жизни и геометрии.

Ещё мы давали такое определение:

Точки и называются симметричными
относительно прямой , если прямая проходит через
середину отрезка и
перпендикулярна к этому отрезку.

Прямая называется осью
симметрии.

Каждая точка прямой считается
симметричной самой себе.

В курсе планиметрии мы доказывали, что осевая
симметрия является движением.

Напомним это доказательство.

Пусть точки М и N
– какие-нибудь точки плоскости, а точки М₁, и N₁
– симметричные им точки относительно прямой А. Здесь может быть несколько
вариантов расположения точек на плоскости.

Рассмотрим один из таких вариантов.

По построению симметричных точек относительно прямой
А, прямая А перпендикулярна прямым ММ₁ и NN₁
и делит эти отрезки пополам, значит, в треугольниках МОМ₁ и NОN₁
отрезки ОК и ОЕ будут являться медианами и высотами, проведёнными к
основанию, то есть это равнобедренные треугольники.

Заменив отрезок равным ему
отрезком , а отрезок – равным ему
отрезком , получим, что .

Вывод: таким образом, мы
доказали, что расстояние между точками М и N
равно расстоянию между симметричными им точками М один и N₁.

Получаем, что осевая симметрия – пример движения
плоскости.

В пространстве осевой симметрией с осью мы назовем
такое отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в
симметричную ей точку относительно
оси .

Теперь давайте проверим, будет ли осевая симметрия в
пространстве движением пространства.

Для этого введём прямоугольную систему координат Оxyz
так, чтобы ось Оz совпала с осью
симметрии. Теперь давайте попробуем найти связь между координатами точки М с
координатами x, y,
z и точки М₁ с
координатами x₁,
y₁,z₁,
симметричных относительно оси Оz.

Если точка М не лежит на оси Оz,
то по определению оси симметрии, ось Оz
проходит через середину отрезка ММ₁ и перпендикулярна к этому
отрезку. Поскольку Оz – середина
отрезка ММ₁, и абсциссы и ординаты точек оси Оz
равны нулю, то можно записать, что и .

То есть , .

Условие того, что ось Оz
перпендикулярно прямой ММ₁ даёт нам, то что аппликаты точек М и М₁
равны .

Если же точка М лежит на оси Оz,
то она отображается сама на себя, по определению оси симметрии, значит, и в
этом случае будут выполнятся полученные равенства.

Вывод: для симметричный точек
относительно оси Оz абсциссы и
ординаты противоположны, а аппликаты равны.

Возникает вопрос, а если ось симметрии совпадает не
с осью Оz, а, например, Оx
или Оy. Тогда связь между
координатами симметричных точек М и М₁ будет такая: если ось
симметрии проходит через ось Оx,
то точки М и М₁ имеют такие координаты , .

Если осью симметрии будет ось Оy,
то точки М и М₁ имеют такие координаты , .

Теперь давайте рассмотрим любые две точки и . По только что
доказанным формулам для координат симметричных точек получим, что точка . Точка .

Теперь давайте найдём расстояние .

Получим, что .

Теперь давайте найдём расстояние между точками и .

Очевидно, что оба эти выражения равны, то есть
получим, что . То есть
расстояние между точками при осевой симметрии в пространстве сохраняется,
значит, осевая симметрия в пространстве также является движением,
но уже не плоскости, а пространства.

Задача:
найти координаты точек, в которые переходят точки , , при осевой
симметрии относительно координатных осей.

Решение:
сначала найдём координаты точек в которые переходит точки , , при осевой
симметрии относительно оси Ох.

Если точка симметрична
точке относительно
оси то справедливы
формулы: .

Точка отобразится в
точку .

Если точка симметрична
точке относительно
оси то справедливы
формулы: .

Точка отобразится в
точку .

Если точка симметрична
точке относительно
оси то справедливы
формулы: .

Точка отобразится в
точку .

Итоги:

Сегодня на уроке мы ввели понятия осевой симметрии в
пространстве. Показали, что и в пространстве осевая симметрия будет примером
движения. Решили несколько задач.

Источник

Главная
Справочники
Справочник по математике 5-9 класс
Координаты на плоскости
Координатная плоскость

Указать положение точки на плоскости можно с помощью координат. Для этого проведем на плоскости две перпендикулярные координатные прямые так, чтобы их начала отсчета совпадали.

Эти прямые называют осями координат, точку их пересечения О — начало отсчета.

Горизонтальная ось — ось абсцисс, обозначают буквой , поэтому еще называют ось , пишут: .

Вертикальная ось — ось ординат, обозначают буквой , поэтому еще называют ось , пишут: .

Оси и вместе образуют прямоугольную систему координат на плоскости. Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью.

Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, которые называют координатными четвертями и нумеруют так, как показано на рисунке ниже.

Отметим на координатной плоскости точку А. Проведем через нее прямую АВ, перпендикулярную оси абсцисс (АВ ), и прямую АС, перпендикулярную оси ординат (АС ).

Точка В на оси имеет координату 5, а точка С на оси — координату 3 . Число 5 называют абсциссой точки А, число 3 — ординатой точки А. Числа 5 и 3 однозначно определяют положение точки А на координатной плоскости, поэтому их называют координатами точки А и записывают: А(5; 3).

Обратите внимание, записывая координаты точки, абсциссу всегда ставят на первое место, а ординату — на второе. Если числа 5 и 3 поменять местами, то получим координаты другой точки — точки К(3; 5) (смотри рисунок выше).

У начала координат абсцисса и ордината равны нулю, записывают так: О(0; 0). Если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю, а если на оси ординат, то нулю равна ее абсцисса. На рисунке ниже: Р(2; 0); Е(0; 4).

Чтобы попасть в точку D с координатами (4; 5), нужно сначала пройти по оси от начала отсчета влево на 4 единицы, а потом — на 5 единиц вниз.

Две точки с противоположными абсциссами и ординатами симметричны относительно начала координат.

На рисунке ниже точки N(2; 4) и М(2; 4) симметричны относительно начала координат.

Две точки, имеющие равные ординаты и противоположные абсциссы, симметричны относительно оси ординат.

На рисунке ниже точки Р(3; 2) и К(3; 2) симметричны относительно оси ординат.

Две точки, имеющие равные абсциссы и противоположные ординаты, симметричны относительно оси абсцисс.

На рисунке ниже точки Р(3; 2) и Е(3; 2) симметричны относительно оси абсцисс.

Советуем посмотреть:

Перпендикулярные прямые

Осевая и центральная симметрии

Параллельные прямые

Координаты на плоскости

Правило встречается в следующих упражнениях:

6 класс

Номер 1320,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 1394,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1395,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1398,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1417,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1444,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1537,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1538,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1573,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 5,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 2

7 класс

Номер 751,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 779,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 821,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 872,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 897,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 898,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 941,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1009,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1025,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1211,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 308,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 322,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 330,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 334,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 10,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 357,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 358,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 360,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 364,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 375,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Источник

Длина отрезка. Существует целая группа заданий (входящих в экзаменационные типы задач), связанная с координатной плоскостью. Это задачи начиная с самых элементарных, которые решаются устно (определение ординаты или абсциссы заданной точки, либо точки симметричной заданной и другие), заканчивая задачами в которых требуется качественное знание, понимание и хорошие навыки (задачи связанные с угловым коэффициентом прямой).

Постепенно мы с вами рассмотрим все их. В этой статье начнём с элементарных. Это простые задачи на определение: абсциссы и ординаты точки, длинны отрезка, середины отрезка, синуса или косинуса угла наклона прямой. Большинству эти задания будут не интересны. Но изложить их считаю необходимым.

Дело в том, что не все учатся в школе. Очень многие сдают ЕГЭ спустя 3-4 и более лет после её окончания и что такое абсцисса и ордината помнят смутно. Будем разбирать и другие задачи, связанные с координатной плоскостью, не пропустите, подпишитесь, на обновление блога. Теперь немного теории.

Построим на координатной плоскости точку А с координатами х= 6, y=3.

Говорят, что абсцисса точки А равна шести, ордината точки А равна трём.

Если выразиться просто, то ось ох это ось абсцисс, ось оу это ость ординат.

То есть, абсцисса это точка на оси ох в которую проецируется точка заданная на координатной плоскости; ордината это точка на оси оу в которую проецируется оговоренная точка.

Длина отрезка на координатной плоскости

Формула для определения длины отрезка, если известны координаты его концов:

Как вы видите, длина отрезка — это длина гипотенузы в прямоугольными треугольнике с катетами равными

Х_В– Х_А и У_В– У_А

* * *

Середина отрезка. Её Координаты.

Формула для нахождения координат середины отрезка:

Уравнение прямой проходящей через две данные точки

Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

где (х₁;у₁) и (х₂;у₂) координаты заданных точек.

Подставив значения координат в формулу, она приводится к виду:

y = kx + b, где k — это угловой коэффициент прямой

Эта информация нам понадобиться при решении другой группы задач связанных с координатной плоскостью. Статья об этом будет, не пропустите!

Что ещё можно добавить?

Угол наклона прямой (или отрезка) это угол между осью оХ и этой прямой, лежит в пределах от 0 до 180 градусов.

Рассмотрим задачи.

Из точки (6;8) опущен перпендикуляр на ось ординат. Найдите ординату основания перпендикуляра.

Основание перпендикуляра опущенного на ось ординат будет иметь координаты (0;8). Ордината равна восьми.

Ответ: 8

Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до оси ординат.

Расстояние от точки А до оси ординат равно абсциссе точки А.

Ответ: 6.

Найдите ординату точки, симметричной точке A(6;8) относительно оси Ox.

Точка симметричная точке А относительно оси оХ имеет координаты (6;– 8).

Ордината равна минус восьми.

Ответ: – 8

Найдите ординату точки, симметричной точке A(6;8) относительно начала координат.

Точка симметричная точке А относительно начала координат имеет координаты (– 6;– 8).

Её ордината равна – 8.

Ответ: –8

Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A(6;8).

Для того, решить поставленную задачу необходимо найти координаты середины отрезка. Координаты концов нашего отрезка (0;0) и (6;8).

Вычисляем по формуле:

Получили (3;4). Абсцисса равна трём.

Ответ: 3

*Абсциссу середины отрезка можно определить без вычисления по формуле, построив данный отрезок на координатной плоскости на листе в клетку. Середину отрезка несложно будет определить по клеткам.

Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки A(6;8) и B(–2;2).

Для того, решить поставленную задачу необходимо найти координаты середины отрезка. Координаты концов нашего отрезка (–2;2) и (6;8).

Вычисляем по формуле:

Получили (2;5). Абсцисса равна двум.

Ответ: 2

*Абсциссу середины отрезка можно определить без вычисления по формуле, построив данный отрезок на координатной плоскости на листе в клетку.

Найдите длину отрезка, соединяющего точки (0;0) и (6;8).

Длина отрезка при данных координатах его концов вычисляется по формуле:

в нашем случае имеем О(0;0) и А(6;8). Значит,

*Порядок координат при вычитании не имеет значения. Можно из абсциссы и ординаты точки О вычесть абсциссу и ординату точки А:

Ответ:10

Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A (6;8), с осью абсцисс.

Угол наклона отрезка – это угол между этим отрезком и осью оХ.

Из точки А опустим перпендикуляр на ось оХ:

То есть, угол наклона отрезка это угол ВОА в прямоугольном треугольнике АВО.

Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике является

отношение прилежащего катета к гипотенузе

Необходимо найти гипотенузу ОА.

По теореме Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Таким образом, косинус угла наклона равен 0,6

Ответ: 0,6

Из точки (6;8) опущен перпендикуляр на ось абсцисс. Найдите абсциссу основания перпендикуляра.

Посмотреть решение

Через точку (6;8) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Найдите ординату ее точки пересечения с осью оУ.

Посмотреть решение

Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до оси абсцисс.

Посмотреть решение

Найдите расстояние от точки A с координатами (6;8) до начала координат.

Посмотреть решение

Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(6,8) относительно оси оУ.

Посмотреть решение

Найдите абсциссу точки, симметричной точке A(6,8) относительно начала координат.

Посмотреть решение

Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A (6;8).

Посмотреть решение

Найдите ординату середины отрезка, соединяющего точки A (6;8) и B (-2;2).

Посмотреть решение

Найдите ординату точки пересечения оси оУ и отрезка, соединяющего точки A (6;8) и B (- 6;0).

Посмотреть решение

Найдите длину отрезка, соединяющего точки А(6;8) и В(-2;2).

Посмотреть решение

Найдите синус угла наклона отрезка, соединяющего точки O (0;0) и A (6;8), с осью абсцисс.

Посмотреть решение

Это даже не задача, а вопрос.

Частенько Александр Васильевич Суворов, встречая любого подчинённого, который случайно попадался ему на глаза задавал вопрос, порой неожиданный. Однажды спросил офицера своей армии:»Сколько вёрст до луны?». Что тот ответил?

Первый, кто даст правильный ответ получит поощрительный приз — 100 рублей. Ответы пишите в комментариях.

На этом всё. Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник