Симметрия — соразмерность, соответствие, сходность, порядок в расположении частей. Это слово, как и многие другие математические понятия, произошли от греческих слов.
Смотря на объекты вокруг, мы не раз восклицаем: «Какая симметрия!»
Рис. (1). Симметрия в архитектуре.
Люди с давних времён использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, в архитектуре, художестве, строительстве.
Но симметрия широко распространена и в природе, где не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, морской звезде.
Рис. (2). Симметрия в природе.
Пока рассмотрим две симметрии на плоскости: относительно точки и прямой.
Симметрию относительно точки называют центральной симметрией.
Точки
M
и
M1
симметричны относительно некоторой точки (O), если точка (O) является серединой отрезка
MM1
.
Рис. (3). Центральная симметрия.
Точка (O) называется центром симметрии.
Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.
Рис. (4). Треугольники симметричны относительно точки (O).
Построим треугольник
A1B1C1
, симметричный треугольнику (ABC) относительно центра (точки) (O).
1. Для этого соединим точки (A), (B), (C) с центром (O) и продолжим эти отрезки.
2. Измерим отрезки (AO), (BO), (CO) и отложим с другой стороны от точки (O) равные им отрезки
AO=OA1;BO=OB1;CO=OC1
;
3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник
A1B1C1
, симметричный данному треугольнику (ABC).
Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.
Фигура симметрична относительно центра симметрии, если для каждой точки этой фигуры симметричная ей точка также лежит на этой фигуре. Такая фигура имеет центр симметрии (фигура с центральной симметрией).
Есть фигуры с центральной симметрией, это, например, окружность и параллелограмм. У окружности центр симметрии — это её центр, у параллелограмма центр симметрии — это точка, в которой пересекаются его диагонали. Есть очень много фигур, у которых нет центра симметрии.
Осевая симметрия
Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).
Точки
M
и
M1
симметричны относительно некоторой прямой (оси симметрии), если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной, и на одинаковом расстоянии от оси симметрии.
Рис. (5). Осевая симметрия.
Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.
Рис. (6). Треугольники симметричны относительно прямой.
Построим треугольник
A1B1C1
, симметричный треугольнику (ABC) относительно красной прямой.
1. Для этого проведём из вершин треугольника (ABC) прямые, перпендикулярные оси симметрии, и продолжим их дальше на другой стороне оси.
2. Измерим расстояния от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния.
3. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник
A1B1C1
, симметричный данному треугольнику (ABC).
Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.
Фигура считается симметричной относительно прямой, если для каждой точки рассматриваемой фигуры симметричная для неё точка относительно данной прямой также находится на этой фигуре. Прямая является в этом случае осью симметрии фигуры.
Иногда у фигур несколько осей симметрии:
- для неразвёрнутого угла существует единственная ось симметрии — это биссектриса данного угла.
- Для равнобедренного треугольника есть единственная ось симметрии.
- Для равностороннего треугольника — три оси.
- Для прямоугольника и ромба существуют две оси симметрии.
- Для квадрата — целых четыре.
- Для окружности осей симметрии бесчисленное множество — это каждая прямая, которая проходит через центр этой фигуры.
- Есть фигуры без осей симметрии — это параллелограмм и треугольник, все стороны которого различны.
Источники:
Рис. 1 Симметрия в архитектуре. Указание авторства не требуется, 2021-06-02, Архитектура/Здания, бесплатно для коммерческого использования, https://clck.ru/VFC5B.
Рис. 2. Симметрия в природе. Указание авторства не требуется, 2021-06-02, бесплатно для коммерческого использования, https://clck.ru/VFECn.
Рис. 3. Центральная симметрия, © ЯКласс.
Рис. 4. Треугольники симметричны относительно точки O, © ЯКласс.
Рис. 5. Осевая симметрия, © ЯКласс.
Рис. 6. Треугольники симметричны относительно прямой, © ЯКласс.
- Главная
- Справочники
- Справочник по математике 5-9 класс
- Координаты на плоскости
- Осевая и центральная симметрии
Осевая симметрия
Рассмотрим построение точки, симметричной данной точке А относительно данной прямой 
.
Пусть дана точка А и прямая .
Точку симметричную точке А относительно прямой , можно построить так. Проведем через точку А прямую 
, перпендикулярную прямой . Для этого используем чертежный угольник. Прикладываем чертежный угольник так, как показано на рисунке ниже и проводим прямую через точку А.
Пусть прямые и пересекаются в точке О. Отложим при помощи линейки на прямой отрезок ОА1, равный отрезку ОА.
Получаем точки А и А1, которые симметричны относительно прямой .
Также можно построить фигуры, симметричные относительно прямой.
Построим треугольник А1В1С1, симметричный треугольнику АВС относительно прямой .
Пусть дан треугольник АВС и прямая .
Далее строим точки А1, В1 и С1, симметричные точкам А, В и С относительно прямой (алгоритм построения смотри выше), соединив которые получим треугольник А1В1С1, симметричный треугольнику АВС относительно прямой .
Обратите внимание, любые две фигуры, симметричные относительно прямой, равны.
Если фигура имеет ось симметрии (прямая ) то, все точки этой фигуры, не принадлежащие этой оси, можно разделить на пары симметричных точек.
Центральная симметрия
Точки М и М1 называют симметричными относительно точки О, если точка О является серединой отрезка ММ1 (смотри рисунок ниже).
Рассмотрим построение точки, симметричной данной точке М относительно данной точки О.
Пусть даны точки М и О. Точку, симметричную точке М относительно точки О, можно построит так. Проведем луч МО.
На луче МО отложим отрезок ОN , равный отрезку ОМ.
Точки М и М1, которые симметричны относительно точки О.
Также можно построить фигуры, симметричные относительно точки.
Построим треугольник А1В1С1, симметричный треугольнику АВС относительно точки О.
Пусть дан треугольник АВС и точки О.
Далее строим точки А1, В1 и С1, симметричные точкам А, В и С относительно точки О (алгоритм построения смотри выше), соединив которые получим треугольник А1В1С1, симметричный треугольнику АВС относительно точки О.
Обратите внимание, любые две фигуры, симметричные относительно точки, равны.
Рассмотрим окружность с центром в точке О. Все точки окружности можно разбить на пары точек, симметричных относительно точки О.
В таком случае говорят, что окружность имеет центр симметрии — точку О.
Также центр симметрии имеют такие фигуры, как отрезок, прямоугольник, эллипс.
Советуем посмотреть:
Перпендикулярные прямые
Параллельные прямые
Координатная плоскость
Координаты на плоскости
Правило встречается в следующих упражнениях:
6 класс
Номер 1248,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1252,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1255,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1257,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1261,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1265,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1334,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 5,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Номер 8,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник
Как найти центр симметрии
Одним из видов симметрии является центральная. Центр симметрии — некоторая точка O, относительно которой вращают плоскость, поворачивая ее на 180°. Каждая точка A переходит в такую точку A’, что O — середина отрезка AA’.
Инструкция
Если даны две точки, центром симметрии между ними, по определению, будет середина отрезка, соединяющего их. Сложнее обстоит дело с геометрической фигурой: здесь уже надо рассмотреть все точки, составляющие ее. Любая произвольная точка должна переходить в центрально симметричную ей, иначе принцип симметрии будет нарушен.
Если даны две фигуры, про которые сказано, что они являются симметричными относительно неизвестного центра, попробуйте мысленно вращать каждую из фигур. В итоге вы должны представить переход на 180° (пол-окружности). Найдите любые две симметричные точки, проведите между ними отрезок. В его центре будет располагаться центр симметрии и этих двух точек, и всей фигуры.
Пусть надо построить окружность, симметричную данной относительно точки O. Центр окружности пусть обозначен точкой C. Проведите прямую от точки C через точку O. Ножками циркуля отмерьте расстояние OC, отложите такое же расстояние на прямой от точки O в другую сторону. Зафиксируйте результат, это будет центр новой окружности. Измерьте циркулем радиус исходной окружности и достройте симметричную.
Чтобы построить многоугольник, симметричный данному относительно центра O, найдите образ каждой из его вершин. Исходная точка называется «прообразом», конечная – «образом». Последовательно соедините точки между собой. Мысленно повращайте фигуры, оцените, правильным ли получился результат.
Если дана пространственная фигура, и необходимо найти центр симметрии между какими-либо двумя точками, вспомните свойства этого объемного тела. Возможно, центр симметрии лежит на пересечении диагоналей, биссектрис, медиан, перпендикуляров. Докажите, что указанная вами точка является именной центром симметрии, используя свойства фигуры, другие данные в задаче условия и определение симметричности.
Видео по теме
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
ВИДЕОУРОК
Симметрия – слово греческого происхождения. Оно означает соразмерность, наличие
определённого порядка, закономерности в расположении частей.
Люди с давних времён
использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, в архитектуре,
художестве, строительстве.
Симметрия широко распространена и в природе, где
не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и
цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических
тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, морской звезде.
Симметрия
в геометрии – свойство геометрических фигур.
Рассмотрим две симметрии на плоскости относительно точки и прямой.
ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
Ось симметрии.
Две
точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной плоскости (или прямой) по
разные стороны и на одинаковом расстоянии от неё, называются симметричными
относительно этой плоскости (или прямой). Фигура (плоская или пространственная)
симметрична относительно прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости
симметрии), если её точки попарно обладают указанным свойством.
Фигура симметрична
относительно прямой, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая – ось симметрии фигуры, а фигура обладает
осевой симметрией.
Фигура, обладающая
осевой симметрией – это неразвёрнутый угол, который имеет одну ось симметрии –
прямую на которой расположена биссектриса угла.
Осевая симметрия – это симметрия относительно проведённой
прямой (оси).
Две точки А
и В
симметричны относительно прямой а (оси симметрии), если эта прямая проходит через середину отрезка
АВ и перпендикулярна
к нему.
Проведем прямую
ЕF через
середины Е и F сторон АВ и СD прямоугольника АВСD.
Эта прямая делит прямоугольник пополам. Если прямоугольник перегнуть по этой
прямой, то обе две половины совпадут. Говорят, что прямоугольник симметричный относительно
прямой ЕF, а прямую ЕF называют осью симметрии прямоугольника. У
прямоугольника АВСD есть другая ось симметрии – прямая NК.
Вообще, фигуру называют симметричной относительно прямой l, если эта прямая делит фигуру на две части, которые совпадают при перегибании
по этой прямой. Прямую l называют осью симметрии этой фигуры.
Две
точки А и В, которые совпадают при перегибании плоскости по
прямой l, называют симметричными относительно этой
прямой. Если точки А и В симметричные относительно прямой l, то:
1) отрезок АВ
перпендикулярен прямой l.
2) прямая l делит этот отрезок пополам.
Окружность имеет бесконечное количество осей симметрии. Любая прямая, которая
проходит через центр окружности, будет его осью симметрии.
Ось симметрии имеют изображения многих фигур (предметов), которые часто
встречаются в природе и технике.
Каждая точка прямой а симметрична самой себе.
ПРИМЕР:
АО
= ОВ, АВ ⊥
а.
Точка А
симметрична сама себе.
Фигура симметрична относительно прямой – если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно прямой также принадлежит этой фигуре.
Прямая – ось симметрии фигуры, а
фигура обладает осевой симметрией.
Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.
Иногда у фигур несколько осей симметрии.
Фигуры, обладающие осевой симметрией.
ПРИМЕР:
Неразвёрнутый угол имеет одну ось симметрии –
прямую, на которой расположена биссектриса угла.
Равнобедренный
треугольник имеет одну ось симметрии.
Равносторонний
треугольник имеет три оси симметрии.
Квадрат имеет четыре оси
симметрии.
Прямоугольник имеет две
оси симметрии
Ромб имеет две оси
симметрии
Окружность имеет
бесконечно много осей симметрии – любая прямая, проходящая через центр,
является осью симметрии.
Примером фигур, у которых нет ни одной оси симметрии, являются
параллелограмм и треугольник, все стороны которого различны.
Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.
ПРИМЕР:
Построим треугольник А1В1С1, симметричный треугольнику АВС
относительно красной прямой линии (ось симметрии).
Для этого проведём из вершины
треугольника АВС прямые,
перпендикулярные оси симметрии, и продолжим их дальше на другой стороне оси.
Измерим расстояние от вершин треугольника
до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же
расстояния.
Соединим получившиеся точки отрезками и
получим треугольник А1В1С1, симметричный данному треугольнику АВС.
ЗАДАЧА:
Дан отрезок АВ.
Построить его симметрию относительно прямой
l,
не пересекающий данный отрезок.
РЕШЕНИЕ:
Изобразим схематически условие задачи.
Так как осевая симметрия
является движением, то отрезок АВ
отобразится на равный ему отрезок
А’В’.
Для его построения сделаем
следующее: проведём через точки А и В прямые m и n перпендикулярно
прямой l.
Пусть
m ∩ l = Х, n ∩ l = Y.
Далее проведём отрезки
А’Х
= АХ и
В’Y = ВY.
ЗАДАЧА:
Построить симметричный
треугольник для данного треугольника относительно какой-либо его стороны.
РЕШЕНИЕ:
Пусть нам дан треугольник АВС. Будем строить его
симметрию относительно стороны ВС.
Сторона ВС при осевой симметрии перейдёт в саму себя (следует из
определения). Точка А перейдёт в точку А1 следующим образом:
АА1 ⊥ ВС, АН = НА1.
Треугольник АВС перейдёт в треугольник А1ВС.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
Симметрию относительно точки называют центральной
симметрией.
Две точки А и В
симметричны относительно точки О, если О – середина отрезка АВ. Точка О называется центром симметрии.
Точка О симметрична самой
себе.
Фигура
симметрична относительно точки (центр симметрии), если её точки попарно лежат
на прямых, проходящих через центр симметрии, по разные стороны и на равных
расстояниях от него.
Фигура симметрична относительно точки, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно данной точки также принадлежит этой фигуре. Данная точка – центр симметрии фигуры, а фигура обладает центральной симметрией.
Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.
Фигуры, обладающие центром симметрии.
ПРИМЕР:
Окружность, центр окружности
является её центром симметрии.
Параллелограмм, его центром
симметрии является точка пересечения диагоналей.
Прямая имеет бесконечно много
центров симметрии, так как любая точка прямой является её центром симметрии.
Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.
Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.
ПРИМЕР:
Построим треугольник А1В1С1, симметричный треугольнику АВС
относительно центра (точки) О.
Для этого соединим точки А,В,С с центром О и продолжим эти отрезки.
Измерим отрезки АО,
ВО, СО и отложим с
другой стороны от точки О равные им отрезки
АО
= ОА1, ВО = ОВ1, СО = ОС1.
Соединим получившиеся точки
отрезками и получим треугольник
А1В1С1, симметричный данному треугольнику АВС.
ЗАДАЧА:
Дан отрезок АВ.
Построить его симметрию относительно точки
С, лежащей на прямой l.
РЕШЕНИЕ:
Изобразим схематически условие задачи.
Так как центральная симметрия
является движением, то отрезок АВ
отобразится на равный ему отрезок
А»В».
Для его построения сделаем
следующее: проведём прямые АС и ВС. Далее проведём отрезки
А»С = АС и В»С = ВС.
ЗАДАЧА:
Построить симметричный
треугольник для данного треугольника относительно какой-либо его вершины.
РЕШЕНИЕ:
Пусть нам дан треугольник АВС. Будем строить его
симметрию относительно вершины А.
Вершина А при центральной симметрии перейдёт в саму
себя (следует
из определения). Точка В перейдёт
в точку В1 следующим образом ВА = АВ1, а точка С перейдёт
в точку С1 следующим образом СА = АС1. Треугольник
АВС перейдёт
в треугольник АВ1С1.
Некоторые повороты и осевые симметрии на координатной плоскости.
Пусть на плоскости дана прямоугольная система координат хОу. Ознакомимся с координатной записью некоторых
перемещений.
1) При осевой симметрии
относительно оси Оу точка Р(х, у) отображается на
точку Р’
с координатами:
х‘ =
–х,
у‘ =
у.
2) При осевой симметрии относительно оси Ох точка Р(х, у) отображается на
точку Р’
с координатами:
х‘ =
х,
у‘ =
–у.
3) При повороте на 90° вокруг начала координат ось Ох
переходит в ось Оу так, что положительное направление переходит
в положительное, а ось Оу отображается на ось Ох так, что
положительное направление переходит в отрицательное. Поэтому Р(х, у) отображается на
точку Р’
с координатами:
х‘ =
–у,
у‘ =
х.
4) При центральной симметрии
каждая из осей координат
отображается на себя, но так, что положительное направление оси переходит в
отрицательное и наоборот: отрицательное в положительное. Поэтому
Объединим результаты в таблицу
Задания к уроку 32
- Задание 1
- Задание 2
- Задание 3
Другие уроки:
- Урок 1. Точка и прямая
- Урок 2. Угол
- Урок 3. Параллельные и перпендикулярные прямые
- Урок 4. Окружность
- Урок 5. Угол и окружность
- Урок 6. Треугольник (1)
- Урок 7. Треугольник (2)
- Урок 8. Прямоугольный треугольник (1)
- Урок 9. Прямоугольный треугольник (2)
- Урок 10. Равнобедренный треугольник (1)
- Урок 11. Равнобедренный треугольник (2)
- Урок 12. Периметр треугольника
- Урок 13. Периметр равнобедренного (равностороннего) треугольника
- Урок 14. Треугольник и окружность
- Урок 15. Прямоугольный треугольник и окружность
- Урок 16. Равнобедренный треугольник и окружность
- Урок 17. Четырёхугольники
- Урок 18. Параллелограмм
- Урок 19. Периметр параллелограмма
- Урок 20. Прямоугольник
- Урок 21. Периметр прямоугольника
- Урок 22. Квадрат
- Урок 23. Ромб
- Урок 24. Периметр ромба
- Урок 25. Трапеция
- Урок 26. Равнобедренная трапеция
- Урок 27. Периметр трапеции
- Урок 28. Четырёхугольник и окружность (1)
- Урок 29. Четырёхугольник и окружность (2)
- Урок 31. Правильный многоугольник