Как найти точность модели

Точность модели характеризуется
величиной отклонения выхода модели от
реального значения моделированных
переменных. Для показателя представленного
рядом значений точность определяется
как разность между значением фактического
уровня ряда и его оценкой полученной
расчётным путём с использованием
моделей. При этом в качестве статистических
показателей точности применяют следующие:

Среднеквадратичное отклонение:

где:

y_i
— фактическое значение ряда;

—
теоретическое значение ряда;

n
— количество наблюдений;

р — количество независимых параметров.

Средняя относительная ошибка
аппроксимации:

Коэффициент сходимости:

где:
— теоретическое значение ряда.

Коэффициент детерминации:

На основании указанных показателей
можно сделать выбор из нескольких
адекватных трендовых моделей экономической
динамики наиболее точной, хотя может
встретиться случай, когда по некоторому
показателю более точна одна модель, а
по другому – другая модель.

5. Исследование влияния факторов на изменение результирующего показателя в уравнении регрессии.

Процесс построения мат. модели:

1) закл. в выборе вида мат. уравнения и
определения параметров этого уравнения;

выбор вида затруднен т.к., набор этих
уравнений бесконечен, но в большинстве
случаев для описания модели можно
аппроксимировать в виде:

y=a0 +b1x1 +b2x2…+bpxp (1)

Данный подход правомерен, если
действительно подход имеет устойчивую
прямолин. тенденцию изменения.

Если мы изучаем процесс на ограниченном
диапазоне изменения факториального
признака и на этом диапазоне реальный
процесс может быть аппроксимирован
прямой линией.

Доказано, что 1 повышает порядок уравнения
(1) можно подобрать такое уравнение, что
у теоретическое в точности совпадет с
у фактическим во всех точках наблюдения.
Но практическая ценность такого уравнения
очень мала, т.к. она выявляет не
закономерность развития изучаемого
процесса, появляющееся на фоне случайных
колебаний, а сами это сл. Колеб.
Теоретически, найден. Уранение регрессии
имеет вид:

(2)
,
где а0,b1,
bp
– оценки истинных значений параметров.

Нахождением уравнения (2) решается
основная задача теории корреляции, кот.
Закл. в том, чтобы на основе наблюд., над
большим количеством данных, выяснить
как в среднем изменяется ф-я у при
изменении части факториальных признаков,
которые включены в модель. Полагается
что осн. факториальные пр-ли явл.
Неизменными.

2)задача теории корреляции закл в том,
чтобы определить силу с которой найденная
зависимость проявляется среди нарушающих
ее воздействий т.е. необх определить:

а)как, насколько значительно включенные
в модель факторы влияют на результирующий
показатель в целом;

б) определить насколько значительно
влияет каждый фактор на результативный
показатель.

Дан задачи решаются путем вычисления
коэффициентов множественной корреляции,
коэф. Парной корреляции и коэф. Частной
корреляции.

Определение значений этих коэф. Основано
на законе сложения дисперсий, кот.
Справедлив. Для ф-ий линейно зависящих
от параметров:

,где

общая
дисперсия;дисперсия
теоретических значений;остаточная
дияперсия.

Отношение
дисперсии теоретических значений у к
общей дисперсии называется коэф множ.
Детерминац.:

гдеRквадрат
показывает долю изменения у,кот. Можно
объяснить изменением включенных в
модель факторов.

коэф
сходимости =доля изменения у кот можно объяснить
действием не включенных в модель
факторов.

R=—
показ насколько тесна линейно-статистическая
связь между Утеор и Хфактич.

Если R=0
то эта связь отсутствует

Для функции нелинейно-зависящих от
параметров закон сложения дисперсий
не действует.

Другим показателем, характеризующим
силу влияния отдельн факториального
на величину у явл коэф парной корреляции

где
Cov (x,y) =

Var(x)=

Недостатком дан коэф явл то, что он
правильно отражает силу влияния ф-ра Х
на У при условии, если остальные ф-ры, в
интервале наблюдения, неизменны.

Для выявления влияния
только одного ф-ра на величину Уиспользуют
коэф частной корреляции:,
где

ρх,у характеризует силу влиянт яфактора
на Х1.

Соседние файлы в предмете Экономика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Гораздо легче что-то измерить, чем понять, что именно вы измеряете

Джон Уильям Салливан

Задачи машинного обучения с учителем как правило состоят в восстановлении зависимости между парами (признаковое описание, целевая переменная) по данным, доступным нам для анализа. Алгоритмы машинного обучения (learning algorithm), со многими из которых вы уже успели познакомиться, позволяют построить модель, аппроксимирующую эту зависимость. Но как понять, насколько качественной получилась аппроксимация?

Почти наверняка наша модель будет ошибаться на некоторых объектах: будь она даже идеальной, шум или выбросы в тестовых данных всё испортят. При этом разные модели будут ошибаться на разных объектах и в разной степени. Задача специалиста по машинному обучению – подобрать подходящий критерий, который позволит сравнивать различные модели.

Перед чтением этой главы мы хотели бы ещё раз напомнить, что качество модели нельзя оценивать на обучающей выборке. Как минимум, это стоит делать на отложенной (тестовой) выборке, но, если вам это позволяют время и вычислительные ресурсы, стоит прибегнуть и к более надёжным способам проверки – например, кросс-валидации (о ней вы узнаете в отдельной главе).

Выбор метрик в реальных задачах

Возможно, вы уже участвовали в соревнованиях по анализу данных. На таких соревнованиях метрику (критерий качества модели) организатор выбирает за вас, и она, как правило, довольно понятным образом связана с результатами предсказаний. Но на практике всё бывает намного сложнее.

Например, мы хотим:

• решить, сколько коробок с бананами нужно завтра привезти в конкретный магазин, чтобы минимизировать количество товара, который не будет выкуплен и минимизировать ситуацию, когда покупатель к концу дня не находит желаемый продукт на полке;
• увеличить счастье пользователя от работы с нашим сервисом, чтобы он стал лояльным и обеспечивал тем самым стабильный прогнозируемый доход;
• решить, нужно ли направить человека на дополнительное обследование.

В каждом конкретном случае может возникать целая иерархия метрик. Представим, например, что речь идёт о стриминговом музыкальном сервисе, пользователей которого мы решили порадовать сгенерированными самодельной нейросетью треками – не защищёнными авторским правом, а потому совершенно бесплатными. Иерархия метрик могла бы иметь такой вид:

1. Самый верхний уровень: будущий доход сервиса – невозможно измерить в моменте, сложным образом зависит от совокупности всех наших усилий;
2. Медианная длина сессии, возможно, служащая оценкой радости пользователей, которая, как мы надеемся, повлияет на их желание продолжать платить за подписку – её нам придётся измерять в продакшене, ведь нас интересует реакция настоящих пользователей на новшество;
3. Доля удовлетворённых качеством сгенерированной музыки асессоров, на которых мы потестируем её до того, как выставить на суд пользователей;
4. Функция потерь, на которую мы будем обучать генеративную сеть.

На этом примере мы можем заметить сразу несколько общих закономерностей. Во-первых, метрики бывают offline и online (оффлайновыми и онлайновыми). Online метрики вычисляются по данным, собираемым с работающей системы (например, медианная длина сессии). Offline метрики могут быть измерены до введения модели в эксплуатацию, например, по историческим данным или с привлечением специальных людей, асессоров. Последнее часто применяется, когда метрикой является реакция живого человека: скажем, так поступают поисковые компании, которые предлагают людям оценить качество ранжирования экспериментальной системы еще до того, как рядовые пользователи увидят эти результаты в обычном порядке. На самом же нижнем этаже иерархии лежат оптимизируемые в ходе обучения функции потерь.

В данном разделе нас будут интересовать offline метрики, которые могут быть измерены без привлечения людей.

Функция потерь $neq$ метрика качества

Как мы узнали ранее, методы обучения реализуют разные подходы к обучению:

• обучение на основе прироста информации (как в деревьях решений)
• обучение на основе сходства (как в методах ближайших соседей)
• обучение на основе вероятностной модели данных (например, максимизацией правдоподобия)
• обучение на основе ошибок (минимизация эмпирического риска)

И в рамках обучения на основе минимизации ошибок мы уже отвечали на вопрос: как можно штрафовать модель за предсказание на обучающем объекте.

Во время сведения задачи о построении решающего правила к задаче численной оптимизации, мы вводили понятие функции потерь и, обычно, объявляли целевой функцией сумму потерь от предсказаний на всех объектах обучающей выборке.

Важно понимать разницу между функцией потерь и метрикой качества. Её можно сформулировать следующим образом:

• Функция потерь возникает в тот момент, когда мы сводим задачу построения модели к задаче оптимизации. Обычно требуется, чтобы она обладала хорошими свойствами (например, дифференцируемостью).

• Метрика – внешний, объективный критерий качества, обычно зависящий не от параметров модели, а только от предсказанных меток.

В некоторых случаях метрика может совпадать с функцией потерь. Например, в задаче регрессии MSE играет роль как функции потерь, так и метрики. Но, скажем, в задаче бинарной классификации они почти всегда различаются: в качестве функции потерь может выступать кросс-энтропия, а в качестве метрики – число верно угаданных меток (accuracy). Отметим, что в последнем примере у них различные аргументы: на вход кросс-энтропии нужно подавать логиты, а на вход accuracy – предсказанные метки (то есть по сути argmax логитов).

Бинарная классификация: метки классов

Перейдём к обзору метрик и начнём с самой простой разновидности классификации – бинарной, а затем постепенно будем наращивать сложность.

Напомним постановку задачи бинарной классификации: нам нужно по обучающей выборке ${(x_i, y_i)}_{i=1}^N$, где $y_iin{0, 1}$ построить модель, которая по объекту $x$ предсказывает метку класса $f(x)in{0, 1}$.

Первым критерием качества, который приходит в голову, является accuracy – доля объектов, для которых мы правильно предсказали класс:

$$ color{#348FEA}{text{Accuracy}(y, y^{pred}) = frac{1}{N} sum_{i=1}^N mathbb{I}[y_i = f(x_i)]} $$

Или же сопряженная ей метрика – доля ошибочных классификаций (error rate):

$$text{Error rate} = 1 — text{Accuracy}$$

Познакомившись чуть внимательнее с этой метрикой, можно заметить, что у неё есть несколько недостатков:

• она не учитывает дисбаланс классов. Например, в задаче диагностики редких заболеваний классификатор, предсказывающий всем пациентам отсутствие болезни будет иметь достаточно высокую accuracy просто потому, что больных людей в выборке намного меньше;
• она также не учитывает цену ошибки на объектах разных классов. Для примера снова можно привести задачу медицинской диагностики: если ошибочный положительный диагноз для здорового больного обернётся лишь ещё одним обследованием, то ошибочно отрицательный вердикт может повлечь роковые последствия.

Confusion matrix (матрица ошибок)

Исторически задача бинарной классификации – это задача об обнаружении чего-то редкого в большом потоке объектов, например, поиск человека, больного туберкулёзом, по флюорографии. Или задача признания пятна на экране приёмника радиолокационной станции бомбардировщиком, представляющем угрозу охраняемому объекту (в противовес стае гусей).

Поэтому класс, который представляет для нас интерес, называется «положительным», а оставшийся – «отрицательным».

Заметим, что для каждого объекта в выборке возможно 4 ситуации:

• мы предсказали положительную метку и угадали. Будет относить такие объекты к true positive (TP) группе (true – потому что предсказали мы правильно, а positive – потому что предсказали положительную метку);
• мы предсказали положительную метку, но ошиблись в своём предсказании – false positive (FP) (false, потому что предсказание было неправильным);
• мы предсказали отрицательную метку и угадали – true negative (TN);
• и наконец, мы предсказали отрицательную метку, но ошиблись – false negative (FN). Для удобства все эти 4 числа изображают в виде таблицы, которую называют confusion matrix (матрицей ошибок):

Не волнуйтесь, если первое время эти обозначения будут сводить вас с ума (будем откровенны, даже профи со стажем в них порой путаются), однако логика за ними достаточно простая: первая часть названия группы показывает угадали ли мы с классом, а вторая – какой класс мы предсказали.

Пример

Попробуем воспользоваться введёнными метриками в боевом примере: сравним работу нескольких моделей классификации на Breast cancer wisconsin (diagnostic) dataset.

Объектами выборки являются фотографии биопсии грудных опухолей. С их помощью было сформировано признаковое описание, которое заключается в характеристиках ядер клеток (таких как радиус ядра, его текстура, симметричность). Положительным классом в такой постановке будут злокачественные опухоли, а отрицательным – доброкачественные.

Модель 1. Константное предсказание.

Решение задачи начнём с самого простого классификатора, который выдаёт на каждом объекте константное предсказание – самый часто встречающийся класс.

Зачем вообще замерять качество на такой модели?При разработке модели машинного обучения для проекта всегда желательно иметь некоторую baseline модель. Так нам будет легче проконтролировать, что наша более сложная модель действительно дает нам прирост качества.

from sklearn.datasets 
import load_breast_cancer 
the_data = load_breast_cancer()    

# 0 – "доброкачественный" 
# 1 – "злокачественный" 
relabeled_target = 1 - the_data["target"] 

from sklearn.model_selection import train_test_split 
X = the_data["data"] 
y = relabeled_target 
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, random_state=0) 

from sklearn.dummy import DummyClassifier 
dc_mf = DummyClassifier(strategy="most_frequent") 
dc_mf.fit(X_train, y_train) 

from sklearn.metrics import confusion_matrix 
y_true = y_test y_pred = dc_mf.predict(X_test) 
dc_mf_tn, dc_mf_fp, dc_mf_fn, dc_mf_tp = confusion_matrix(y_true, y_pred, labels = [0, 1]).ravel() 

Обучающие данные таковы, что наш dummy-классификатор все объекты записывает в отрицательный класс, то есть признаёт все опухоли доброкачественными. Такой наивный подход позволяет нам получить минимальный штраф за FP (действительно, нельзя ошибиться в предсказании, если положительный класс вообще не предсказывается), но и максимальный штраф за FN (в эту группу попадут все злокачественные опухоли).

Модель 2. Случайный лес.

Настало время воспользоваться всем арсеналом моделей машинного обучения, и начнём мы со случайного леса.

from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier 
rfc = RandomForestClassifier()       
rfc.fit(X_train, y_train)       
y_true = y_test       
y_pred = rfc.predict(X_test)       
rfc_tn, rfc_fp, rfc_fn, rfc_tp = confusion_matrix(y_true, y_pred, labels = [0, 1]).ravel()

Можно сказать, что этот классификатор чему-то научился, т.к. главная диагональ матрицы стала содержать все объекты из отложенной выборки, за исключением 4 + 1 = 5 объектов (сравните с 0 + 53 объектами dummy-классификатора, все опухоли объявляющего доброкачественными).

Отметим, что вычисляя долю недиагональных элементов, мы приходим к метрике error rate, о которой мы говорили в самом начале:

$$text{Error rate} = frac{FP + FN}{ TP + TN + FP + FN}$$

тогда как доля объектов, попавших на главную диагональ – это как раз таки accuracy:

$$text{Accuracy} = frac{TP + TN}{ TP + TN + FP + FN}$$

Модель 3. Метод опорных векторов.

Давайте построим еще один классификатор на основе линейного метода опорных векторов.

Не забудьте привести признаки к единому масштабу, иначе численный алгоритм не сойдется к решению и мы получим гораздо более плохо работающее решающее правило. Попробуйте проделать это упражнение.

from sklearn.svm import LinearSVC
from sklearn.preprocessing import StandardScaler 
ss = StandardScaler() ss.fit(X_train) 
scaled_linsvc = LinearSVC(C=0.01,random_state=42) 
scaled_linsvc.fit(ss.transform(X_train), y_train) 
y_true = y_test 
y_pred = scaled_linsvc.predict(ss.transform(X_test)) 
tn, fp, fn, tp = confusion_matrix(y_true, y_pred, labels = [0, 1]).ravel() 

Сравним результаты

Легко заметить, что каждая из двух моделей лучше классификатора-пустышки, однако давайте попробуем сравнить их между собой. С точки зрения error rate модели практически одинаковы: 5/143 для леса против 4/143 для SVM.

Посмотрим на структуру ошибок чуть более внимательно: лес – (FP = 4, FN = 1), SVM – (FP = 1, FN = 3). Какая из моделей предпочтительнее?

Замечание: Мы сравниваем несколько классификаторов на основании их предсказаний на отложенной выборке. Насколько ошибки данных классификаторов зависят от разбиения исходного набора данных? Иногда в процессе оценки качества мы будем получать модели, чьи показатели эффективности будут статистически неразличимыми.

Пусть мы учли предыдущее замечание и эти модели действительно статистически значимо ошибаются в разную сторону. Мы встретились с очевидной вещью: на матрицах нет отношения порядка. Когда мы сравнивали dummy-классификатор и случайный лес с помощью Accuracy, мы всю сложную структуру ошибок свели к одному числу, т.к. на вещественных числах отношение порядка есть. Сводить оценку модели к одному числу очень удобно, однако не стоит забывать, что у вашей модели есть много аспектов качества.

Что же всё-таки важнее уменьшить: FP или FN? Вернёмся к задаче: FP – доля доброкачественных опухолей, которым ошибочно присваивается метка злокачественной, а FN – доля злокачественных опухолей, которые классификатор пропускает. В такой постановке становится понятно, что при сравнении выиграет модель с меньшим FN (то есть лес в нашем примере), ведь каждая не обнаруженная опухоль может стоить человеческой жизни.

Рассмотрим теперь другую задачу: по данным о погоде предсказать, будет ли успешным запуск спутника. FN в такой постановке – это ошибочное предсказание неуспеха, то есть не более, чем упущенный шанс (если вас, конечно не уволят за срыв сроков). С FP всё серьёзней: если вы предскажете удачный запуск спутника, а на деле он потерпит крушение из-за погодных условий, то ваши потери будут в разы существеннее.

Итак, из примеров мы видим, что в текущем виде введенная нами доля ошибочных классификаций не даст нам возможности учесть неравную важность FP и FN. Поэтому введем две новые метрики: точность и полноту.

Точность и полнота

Accuracy — это метрика, которая характеризует качество модели, агрегированное по всем классам. Это полезно, когда классы для нас имеют одинаковое значение. В случае, если это не так, accuracy может быть обманчивой.

Рассмотрим ситуацию, когда положительный класс это событие редкое. Возьмем в качестве примера поисковую систему — в нашем хранилище хранятся миллиарды документов, а релевантных к конкретному поисковому запросу на несколько порядков меньше.

Пусть мы хотим решить задачу бинарной классификации «документ d релевантен по запросу q». Благодаря большому дисбалансу, Accuracy dummy-классификатора, объявляющего все документы нерелевантными, будет близка к единице. Напомним, что $text{Accuracy} = frac{TP + TN}{TP + TN + FP + FN}$, и в нашем случае высокое значение метрики будет обеспечено членом TN, в то время для пользователей более важен высокий TP.

Поэтому в случае ассиметрии классов, можно использовать метрики, которые не учитывают TN и ориентируются на TP.

Если мы рассмотрим долю правильно предсказанных положительных объектов среди всех объектов, предсказанных положительным классом, то мы получим метрику, которая называется точностью (precision)

$$color{#348FEA}{text{Precision} = frac{TP}{TP + FP}}$$

Интуитивно метрика показывает долю релевантных документов среди всех найденных классификатором. Чем меньше ложноположительных срабатываний будет допускать модель, тем больше будет её Precision.

Если же мы рассмотрим долю правильно найденных положительных объектов среди всех объектов положительного класса, то мы получим метрику, которая называется полнотой (recall)

$$color{#348FEA}{text{Recall} = frac{TP}{TP + FN}}$$

Интуитивно метрика показывает долю найденных документов из всех релевантных. Чем меньше ложно отрицательных срабатываний, тем выше recall модели.

Например, в задаче предсказания злокачественности опухоли точность показывает, сколько из определённых нами как злокачественные опухолей действительно являются злокачественными, а полнота – какую долю злокачественных опухолей нам удалось выявить.

Хорошее понимание происходящего даёт следующая картинка: (источник картинки)

Recall@k, Precision@k

Метрики Recall и Precision хорошо подходят для задачи поиска «документ d релевантен запросу q», когда из списка рекомендованных алгоритмом документов нас интересует только первый. Но не всегда алгоритм машинного обучения вынужден работать в таких жестких условиях. Может быть такое, что вполне достаточно, что релевантный документ попал в первые k рекомендованных. Например, в интерфейсе выдачи первые три подсказки видны всегда одновременно и вообще не очень понятно, какой у них порядок. Тогда более честной оценкой качества алгоритма будет «в выдаче D размера k по запросу q нашлись релевантные документы». Для расчёта метрики по всей выборке объединим все выдачи и рассчитаем precision, recall как обычно подокументно.

F1-мера

Как мы уже отмечали ранее, модели очень удобно сравнивать, когда их качество выражено одним числом. В случае пары Precision-Recall существует популярный способ скомпоновать их в одну метрику — взять их среднее гармоническое. Данный показатель эффективности исторически носит название F1-меры (F1-measure).

$$
color{#348FEA}{F_1 = frac{2}{frac{1}{Recall} + frac{1}{Precision}}} = $$

$$ = 2 frac{Recall cdot Precision }{Recall + Precision} = frac
{TP} {TP + frac{FP + FN}{2}}
$$

Стоит иметь в виду, что F1-мера предполагает одинаковую важность Precision и Recall, если одна из этих метрик для вас приоритетнее, то можно воспользоваться $F_{beta}$ мерой:

$$
F_{beta} = (beta^2 + 1) frac{Recall cdot Precision }{Recall + beta^2Precision}
$$

Бинарная классификация: вероятности классов

Многие модели бинарной классификации устроены так, что класс объекта получается бинаризацией выхода классификатора по некоторому фиксированному порогу:

$$fleft(x ; w, w_{0}right)=mathbb{I}left[g(x, w) > w_{0}right].$$

Например, модель логистической регрессии возвращает оценку вероятности принадлежности примера к положительному классу. Другие модели бинарной классификации обычно возвращают произвольные вещественные значения, но существуют техники, называемые калибровкой классификатора, которые позволяют преобразовать предсказания в более или менее корректную оценку вероятности принадлежности к положительному классу.

Как оценить качество предсказываемых вероятностей, если именно они являются нашей конечной целью? Общепринятой мерой является логистическая функция потерь, которую мы изучали раньше, когда говорили об устройстве некоторых методов классификации (например уже упоминавшейся логистической регрессии).

Если же нашей целью является построение прогноза в терминах метки класса, то нам нужно учесть, что в зависимости от порога мы будем получать разные предсказания и разное качество на отложенной выборке. Так, чем ниже порог отсечения, тем больше объектов модель будет относить к положительному классу. Как в этом случае оценить качество модели?

AUC

Пусть мы хотим учитывать ошибки на объектах обоих классов. При уменьшении порога отсечения мы будем находить (правильно предсказывать) всё большее число положительных объектов, но также и неправильно предсказывать положительную метку на всё большем числе отрицательных объектов. Естественным кажется ввести две метрики TPR и FPR:

TPR (true positive rate) – это полнота, доля положительных объектов, правильно предсказанных положительными:

$$ TPR = frac{TP}{P} = frac{TP}{TP + FN} $$

FPR (false positive rate) – это доля отрицательных объектов, неправильно предсказанных положительными:

$$FPR = frac{FP}{N} = frac{FP}{FP + TN}$$

Обе эти величины растут при уменьшении порога. Кривая в осях TPR/FPR, которая получается при варьировании порога, исторически называется ROC-кривой (receiver operating characteristics curve, сокращённо ROC curve). Следующий график поможет вам понять поведение ROC-кривой.

Желтая и синяя кривые показывают распределение предсказаний классификатора на объектах положительного и отрицательного классов соответственно. То есть значения на оси X (на графике с двумя гауссианами) мы получаем из классификатора. Если классификатор идеальный (две кривые разделимы по оси X), то на правом графике мы получаем ROC-кривую (0,0)->(0,1)->(1,1) (убедитесь сами!), площадь под которой равна 1. Если классификатор случайный (предсказывает одинаковые метки положительным и отрицательным объектам), то мы получаем ROC-кривую (0,0)->(1,1), площадь под которой равна 0.5. Поэкспериментируйте с разными вариантами распределения предсказаний по классам и посмотрите, как меняется ROC-кривая.

Чем лучше классификатор разделяет два класса, тем больше площадь (area under curve) под ROC-кривой – и мы можем использовать её в качестве метрики. Эта метрика называется AUC и она работает благодаря следующему свойству ROC-кривой:

AUC равен доле пар объектов вида (объект класса 1, объект класса 0), которые алгоритм верно упорядочил, т.е. предсказание классификатора на первом объекте больше:

$$
color{#348FEA}{operatorname{AUC} = frac{sumlimits_{i = 1}^{N} sumlimits_{j = 1}^{N}mathbb{I}[y_i < y_j] I^{prime}[f(x_{i}) < f(x_{j})]}{sumlimits_{i = 1}^{N} sumlimits_{j = 1}^{N}mathbb{I}[y_i < y_j]}}
$$

$$
I^{prime}left[f(x_{i}) < f(x_{j})right]=
left{
begin{array}{ll}
0, & f(x_{i}) > f(x_{j}) \
0.5 & f(x_{i}) = f(x_{j}) \
1, & f(x_{i}) < f(x_{j})
end{array}
right.
$$

$$
Ileft[y_{i}< y_{j}right]=
left{
begin{array}{ll}
0, & y_{i} geq y_{j} \
1, & y_{i} < y_{j}
end{array}
right.
$$

Чтобы детальнее разобраться, почему это так, советуем вам обратиться к материалам А.Г.Дьяконова.

В каких случаях лучше отдать предпочтение этой метрике? Рассмотрим следующую задачу: некоторый сотовый оператор хочет научиться предсказывать, будет ли клиент пользоваться его услугами через месяц. На первый взгляд кажется, что задача сводится к бинарной классификации с метками 1, если клиент останется с компанией и $0$ – иначе.

Однако если копнуть глубже в процессы компании, то окажется, что такие метки практически бесполезны. Компании скорее интересно упорядочить клиентов по вероятности прекращения обслуживания и в зависимости от этого применять разные варианты удержания: кому-то прислать скидочный купон от партнёра, кому-то предложить скидку на следующий месяц, а кому-то и новый тариф на особых условиях.

Таким образом, в любой задаче, где нам важна не метка сама по себе, а правильный порядок на объектах, имеет смысл применять AUC.

Утверждение выше может вызывать у вас желание использовать AUC в качестве метрики в задачах ранжирования, но мы призываем вас быть аккуратными.

ПодробнееУтверждение выше может вызывать у вас желание использовать AUC в качестве метрики в задачах ранжирования, но мы призываем вас быть аккуратными.» details=»Продемонстрируем это на следующем примере: пусть наша выборка состоит из $9100$ объектов класса $0$ и $10$ объектов класса $1$, и модель расположила их следующим образом:

$$underbrace{0 dots 0}_{9000} ~ underbrace{1 dots 1}_{10} ~ underbrace{0 dots 0}_{100}$$

Тогда AUC будет близка к единице: количество пар правильно расположенных объектов будет порядка $90000$, в то время как общее количество пар порядка $91000$.

Однако самыми высокими по вероятности положительного класса будут совсем не те объекты, которые мы ожидаем.

Average Precision

Будем постепенно уменьшать порог бинаризации. При этом полнота будет расти от $0$ до $1$, так как будет увеличиваться количество объектов, которым мы приписываем положительный класс (а количество объектов, на самом деле относящихся к положительному классу, очевидно, меняться не будет). Про точность же нельзя сказать ничего определённого, но мы понимаем, что скорее всего она будет выше при более высоком пороге отсечения (мы оставим только объекты, в которых модель «уверена» больше всего). Варьируя порог и пересчитывая значения Precision и Recall на каждом пороге, мы получим некоторую кривую примерно следующего вида:

(источник картинки)

Рассмотрим среднее значение точности (оно равно площади под кривой точность-полнота):

$$ text { AP }=int_{0}^{1} p(r) d r$$

Получим показатель эффективности, который называется average precision. Как в случае матрицы ошибок мы переходили к скалярным показателям эффективности, так и в случае с кривой точность-полнота мы охарактеризовали ее в виде числа.

Многоклассовая классификация

Если классов становится больше двух, расчёт метрик усложняется. Если задача классификации на $K$ классов ставится как $K$ задач об отделении класса $i$ от остальных ($i=1,ldots,K$), то для каждой из них можно посчитать свою матрицу ошибок. Затем есть два варианта получения итогового значения метрики из $K$ матриц ошибок:

1. Усредняем элементы матрицы ошибок (TP, FP, TN, FN) между бинарными классификаторами, например $TP = frac{1}{K}sum_{i=1}^{K}TP_i$. Затем по одной усреднённой матрице ошибок считаем Precision, Recall, F-меру. Это называют микроусреднением.
2. Считаем Precision, Recall для каждого классификатора отдельно, а потом усредняем. Это называют макроусреднением.

Порядок усреднения влияет на результат в случае дисбаланса классов. Показатели TP, FP, FN — это счётчики объектов. Пусть некоторый класс обладает маленькой мощностью (обозначим её $M$). Тогда значения TP и FN при классификации этого класса против остальных будут не больше $M$, то есть тоже маленькие. Про FP мы ничего уверенно сказать не можем, но скорее всего при дисбалансе классов классификатор не будет предсказывать редкий класс слишком часто, потому что есть большая вероятность ошибиться. Так что FP тоже мало. Поэтому усреднение первым способом сделает вклад маленького класса в общую метрику незаметным. А при усреднении вторым способом среднее считается уже для нормированных величин, так что вклад каждого класса будет одинаковым.

Рассмотрим пример. Пусть есть датасет из объектов трёх цветов: желтого, зелёного и синего. Желтого и зелёного цветов почти поровну — 21 и 20 объектов соответственно, а синих объектов всего 4.

Модель по очереди для каждого цвета пытается отделить объекты этого цвета от объектов оставшихся двух цветов. Результаты классификации проиллюстрированы матрицей ошибок. Модель «покрасила» в жёлтый 25 объектов, 20 из которых были действительно жёлтыми (левый столбец матрицы). В синий был «покрашен» только один объект, который на самом деле жёлтый (средний столбец матрицы). В зелёный — 19 объектов, все на самом деле зелёные (правый столбец матрицы).

Посчитаем Precision классификации двумя способами:

1. С помощью микроусреднения получаем $$
   text{Precision} = frac{dfrac{1}{3}left(20 + 0 + 19right)}{dfrac{1}{3}left(20 + 0 + 19right) + dfrac{1}{3}left(5 + 1 + 0right)} = 0.87
   $$
2. С помощью макроусреднения получаем $$
   text{Precision} = dfrac{1}{3}left( frac{20}{20 + 5} + frac{0}{0 + 1} + frac{19}{19 + 0}right) = 0.6
   $$

Видим, что макроусреднение лучше отражает тот факт, что синий цвет, которого в датасете было совсем мало, модель практически игнорирует.

Как оптимизировать метрики классификации?

Пусть мы выбрали, что метрика качества алгоритма будет $F(a(X), Y)$. Тогда мы хотим обучить модель так, чтобы $F$ на валидационной выборке была минимальная/максимальная. Лучший способ добиться минимизации метрики $F$ — оптимизировать её напрямую, то есть выбрать в качестве функции потерь ту же $F(a(X), Y)$. К сожалению, это не всегда возможно. Рассмотрим, как оптимизировать метрики иначе.

Метрики precision и recall невозможно оптимизировать напрямую, потому что эти метрики нельзя рассчитать на одном объекте, а затем усреднить. Они зависят от того, какими были правильная метка класса и ответ алгоритма на всех объектах. Чтобы понять, как оптимизировать precision, recall, рассмотрим, как расчитать эти метрики на отложенной выборке. Пусть модель обучена на стандартную для классификации функцию потерь (LogLoss). Для получения меток класса специалист по машинному обучению сначала применяет на объектах модель и получает вещественные предсказания модели ($p_i in left(0, 1right)$). Затем предсказания бинаризуются по порогу, выбранному специалистом: если предсказание на объекте больше порога, то метка класса 1 (или «положительная»), если меньше — 0 (или «отрицательная»). Рассмотрим, что будет с метриками precision, recall в крайних положениях порога.

1. Пусть порог равен нулю. Тогда всем объектам будет присвоена положительная метка. Следовательно, все объекты будут либо TP, либо FP, потому что отрицательных предсказаний нет, $TP + FP = N$, где $N$ — размер выборки. Также все объекты, у которых метка на самом деле 1, попадут в TP. По формуле точность $text{Precision} = frac{TP}{TP + FP} = frac1N sum_{i = 1}^N mathbb{I} left[ y_i = 1 right]$ равна среднему таргету в выборке. А полнота $text{Recall} = frac{TP}{TP + FN} = frac{TP}{TP + 0} = 1$ равна единице.
2. Пусть теперь порог равен единице. Тогда ни один объект не будет назван положительным, $TP = FP = 0$. Все объекты с меткой класса 1 попадут в FN. Если есть хотя бы один такой объект, то есть $FN ne 0$, будет верна формула $text{Recall} = frac{TP}{TP + FN} = frac{0}{0+ FN} = 0$. То есть при пороге единица, полнота равна нулю. Теперь посмотрим на точность. Формула для Precision состоит только из счётчиков положительных ответов модели (TP, FP). При единичном пороге они оба равны нулю, $text{Precision} = frac{TP}{TP + FP} = frac{0}{0 + 0}$то есть при единичном пороге точность неопределена. Пусть мы отступили чуть-чуть назад по порогу, чтобы хотя бы несколько объектов были названы моделью положительными. Скорее всего это будут самые «простые» объекты, которые модель распознает хорошо, потому что её предсказание близко к единице. В этом предположении $FP approx 0$. Тогда точность $text{Precision} = frac{TP}{TP + FP} approx frac{TP}{TP + 0} approx 1$ будет близка к единице.

Изменяя порог, между крайними положениями, получим графики Precision и Recall, которые выглядят как-то так:

Recall меняется от единицы до нуля, а Precision от среднего тагрета до какого-то другого значения (нет гарантий, что график монотонный).

Итого оптимизация precision и recall происходит так:

1. Модель обучается на стандартную функцию потерь (например, LogLoss).
2. Используя вещественные предсказания на валидационной выборке, перебирая разные пороги от 0 до 1, получаем графики метрик в зависимости от порога.
3. Выбираем нужное сочетание точности и полноты.

Пусть теперь мы хотим максимизировать метрику AUC. Стандартный метод оптимизации, градиентный спуск, предполагает, что функция потерь дифференцируема. AUC этим качеством не обладает, то есть мы не можем оптимизировать её напрямую. Поэтому для метрики AUC приходится изменять оптимизационную задачу. Метрика AUC считает долю верно упорядоченных пар. Значит от исходной выборки можно перейти к выборке упорядоченных пар объектов. На этой выборке ставится задача классификации: метка класса 1 соответствует правильно упорядоченной паре, 0 — неправильно. Новой метрикой становится accuracy — доля правильно классифицированных объектов, то есть доля правильно упорядоченных пар. Оптимизировать accuracy можно по той же схеме, что и precision, recall: обучаем модель на LogLoss и предсказываем вероятности положительной метки у объекта выборки, считаем accuracy для разных порогов по вероятности и выбираем понравившийся.

Регрессия

В задачах регрессии целевая метка у нас имеет потенциально бесконечное число значений. И природа этих значений, обычно, связана с каким-то процессом измерений:

• величина температуры в определенный момент времени на метеостанции
• количество прочтений статьи на сайте
• количество проданных бананов в конкретном магазине, сети магазинов или стране
• дебит добывающей скважины на нефтегазовом месторождении за месяц и т.п.

Мы видим, что иногда метка это целое число, а иногда произвольное вещественное число. Обычно случаи целочисленных меток моделируют так, словно это просто обычное вещественное число. При таком подходе может оказаться так, что модель A лучше модели B по некоторой метрике, но при этом предсказания у модели A могут быть не целыми. Если в бизнес-задаче ожидается именно целочисленный ответ, то и оценивать нужно огрубление.

Общая рекомендация такова: оценивайте весь каскад решающих правил: и те «внутренние», которые вы получаете в результате обучения, и те «итоговые», которые вы отдаёте бизнес-заказчику.

Например, вы можете быть удовлетворены, что стали ошибаться не во втором, а только в третьем знаке после запятой при предсказании погоды. Но сами погодные данные измеряются с точностью до десятых долей градуса, а пользователь и вовсе может интересоваться лишь целым числом градусов.

Итак, напомним постановку задачи регрессии: нам нужно по обучающей выборке ${(x_i, y_i)}_{i=1}^N$, где $y_i in mathbb{R}$ построить модель f(x).

Величину $ e_i = f(x_i) — y_i $ называют ошибкой на объекте i или регрессионным остатком.

Весь набор ошибок на отложенной выборке может служить аналогом матрицы ошибок из задачи классификации. А именно, когда мы рассматриваем две разные модели, то, глядя на то, как и на каких объектах они ошиблись, мы можем прийти к выводу, что для решения бизнес-задачи нам выгоднее взять ту или иную модель. И, аналогично со случаем бинарной классификации, мы можем начать строить агрегаты от вектора ошибок, получая тем самым разные метрики.

MSE, RMSE, $R^2$

MSE – одна из самых популярных метрик в задаче регрессии. Она уже знакома вам, т.к. применяется в качестве функции потерь (или входит в ее состав) во многих ранее рассмотренных методах.

$$ MSE(y^{true}, y^{pred}) = frac1Nsum_{i=1}^{N} (y_i — f(x_i))^2 $$

Иногда для того, чтобы показатель эффективности MSE имел размерность исходных данных, из него извлекают квадратный корень и получают показатель эффективности RMSE.

MSE неограничен сверху, и может быть нелегко понять, насколько «хорошим» или «плохим» является то или иное его значение. Чтобы появились какие-то ориентиры, делают следующее:

• Берут наилучшее константное предсказание с точки зрения MSE — среднее арифметическое меток $bar{y}$. При этом чтобы не было подглядывания в test, среднее нужно вычислять по обучающей выборке

• Рассматривают в качестве показателя ошибки:

  $$ R^2 = 1 — frac{sum_{i=1}^{N} (y_i — f(x_i))^2}{sum_{i=1}^{N} (y_i — bar{y})^2}.$$

  У идеального решающего правила $R^2$ равен $1$, у наилучшего константного предсказания он равен $0$ на обучающей выборке. Можно заметить, что $R^2$ показывает, какая доля дисперсии таргетов (знаменатель) объяснена моделью.

MSE квадратично штрафует за большие ошибки на объектах. Мы уже видели проявление этого при обучении моделей методом минимизации квадратичных ошибок – там это проявлялось в том, что модель старалась хорошо подстроиться под выбросы.

Пусть теперь мы хотим использовать MSE для оценки наших регрессионных моделей. Если большие ошибки для нас действительно неприемлемы, то квадратичный штраф за них — очень полезное свойство (и его даже можно усиливать, повышая степень, в которую мы возводим ошибку на объекте). Однако если в наших тестовых данных присутствуют выбросы, то нам будет сложно объективно сравнить модели между собой: ошибки на выбросах будет маскировать различия в ошибках на основном множестве объектов.

Таким образом, если мы будем сравнивать две модели при помощи MSE, у нас будет выигрывать та модель, у которой меньше ошибка на объектах-выбросах, а это, скорее всего, не то, чего требует от нас наша бизнес-задача.

История из жизни про бананы и квадратичный штраф за ошибкуИз-за неверно введенных данных метка одного из объектов оказалась в 100 раз больше реального значения. Моделировалась величина при помощи градиентного бустинга над деревьями решений. Функция потерь была MSE.

Однажды уже во время эксплуатации случилось ч.п.: у нас появились предсказания, в 100 раз превышающие допустимые из соображений физического смысла значения. Представьте себе, например, что вместо обычных 4 ящиков бананов система предлагала поставить в магазин 400. Были распечатаны все деревья из ансамбля, и мы увидели, что постепенно число ящиков действительно увеличивалось до прогнозных 400.

Было решено проверить гипотезу, что был выброс в данных для обучения. Так оно и оказалось: всего одна точка давала такую потерю на объекте, что алгоритм обучения решил, что лучше переобучиться под этот выброс, чем смириться с большим штрафом на этом объекте. А в эксплуатации у нас возникли точки, которые плюс-минус попадали в такие же листья ансамбля, что и объект-выброс.

Избежать такого рода проблем можно двумя способами: внимательнее контролируя качество данных или адаптировав функцию потерь.

Аналогично, можно поступать и в случае, когда мы разрабатываем метрику качества: менее жёстко штрафовать за большие отклонения от истинного таргета.

MAE

Использовать RMSE для сравнения моделей на выборках с большим количеством выбросов может быть неудобно. В таких случаях прибегают к также знакомой вам в качестве функции потери метрике MAE (mean absolute error):

$$ MAE(y^{true}, y^{pred}) = frac{1}{N}sum_{i=1}^{N} left|y_i — f(x_i)right| $$

Метрики, учитывающие относительные ошибки

И MSE и MAE считаются как сумма абсолютных ошибок на объектах.

Рассмотрим следующую задачу: мы хотим спрогнозировать спрос товаров на следующий месяц. Пусть у нас есть два продукта: продукт A продаётся в количестве 100 штук, а продукт В в количестве 10 штук. И пусть базовая модель предсказывает количество продаж продукта A как 98 штук, а продукта B как 8 штук. Ошибки на этих объектах добавляют 4 штрафных единицы в MAE.

И есть 2 модели-кандидата на улучшение. Первая предсказывает товар А 99 штук, а товар B 8 штук. Вторая предсказывает товар А 98 штук, а товар B 9 штук.

Обе модели улучшают MAE базовой модели на 1 единицу. Однако, с точки зрения бизнес-заказчика вторая модель может оказаться предпочтительнее, т.к. предсказание продажи редких товаров может быть приоритетнее. Один из способов учесть такое требование – рассматривать не абсолютную, а относительную ошибку на объектах.

MAPE, SMAPE

Когда речь заходит об относительных ошибках, сразу возникает вопрос: что мы будем ставить в знаменатель?

В метрике MAPE (mean absolute percentage error) в знаменатель помещают целевое значение:

$$ MAPE(y^{true}, y^{pred}) = frac{1}{N} sum_{i=1}^{N} frac{ left|y_i — f(x_i)right|}{left|y_iright|} $$

С особым случаем, когда в знаменателе оказывается $0$, обычно поступают «инженерным» способом: или выдают за непредсказание $0$ на таком объекте большой, но фиксированный штраф, или пытаются застраховаться от подобного на уровне формулы и переходят к метрике SMAPE (symmetric mean absolute percentage error):

$$ SMAPE(y^{true}, y^{pred}) = frac{1}{N} sum_{i=1}^{N} frac{ 2 left|y_i — f(x_i)right|}{y_i + f(x_i)} $$

Если же предсказывается ноль, штраф считаем нулевым.

Таким переходом от абсолютных ошибок на объекте к относительным мы сделали объекты в тестовой выборке равнозначными: даже если мы делаем абсурдно большое предсказание, на фоне которого истинная метка теряется, мы получаем штраф за этот объект порядка 1 в случае MAPE и 2 в случае SMAPE.

WAPE

Как и любая другая метрика, MAPE имеет свои границы применимости: например, она плохо справляется с прогнозом спроса на товары с прерывистыми продажами. Рассмотрим такой пример:

Среднее MAPE – 36.7%, что не очень отражает реальную ситуацию, ведь два дня мы предсказывали с хорошей точностью. В таких ситуациях помогает WAPE (weighted average percentage error):

$$ WAPE(y^{true}, y^{pred}) = frac{sum_{i=1}^{N} left|y_i — f(x_i)right|}{sum_{i=1}^{N} left|y_iright|} $$

Если мы предсказываем идеально, то WAPE = 0, если все предсказания отдаём нулевыми, то WAPE = 1.

В нашем примере получим WAPE = 5.9%

RMSLE

Альтернативный способ уйти от абсолютных ошибок к относительным предлагает метрика RMSLE (root mean squared logarithmic error):

$$ RMSLE(y^{true}, y^{pred}| c) = sqrt{ frac{1}{N} sum_{i=1}^N left(vphantom{frac12}log{left(y_i + c right)} — log{left(f(x_i) + c right)}right)^2 } $$

где нормировочная константа $c$ вводится искусственно, чтобы не брать логарифм от нуля. Также по построению видно, что метрика пригодна лишь для неотрицательных меток.

Веса в метриках

Все вышеописанные метрики легко допускают введение весов для объектов. Если мы из каких-то соображений можем определить стоимость ошибки на объекте, можно брать эту величину в качестве веса. Например, в задаче предсказания спроса в качестве веса можно использовать стоимость объекта.

Доля предсказаний с абсолютными ошибками больше, чем d

Еще одним способом охарактеризовать качество модели в задаче регрессии является доля предсказаний с абсолютными ошибками больше заданного порога $d$:

$$frac{1}{N} sum_{i=1}^{N} mathbb{I}left[ left| y_i — f(x_i) right| > d right] $$

Например, можно считать, что прогноз погоды сбылся, если ошибка предсказания составила меньше 1/2/3 градусов. Тогда рассматриваемая метрика покажет, в какой доле случаев прогноз не сбылся.

Как оптимизировать метрики регрессии?

Пусть мы выбрали, что метрика качества алгоритма будет $F(a(X), Y)$. Тогда мы хотим обучить модель так, чтобы F на валидационной выборке была минимальная/максимальная. Аналогично задачам классификации лучший способ добиться минимизации метрики $F$ — выбрать в качестве функции потерь ту же $F(a(X), Y)$. К счастью, основные метрики для регрессии: MSE, RMSE, MAE можно оптимизировать напрямую. С формальной точки зрения MAE не дифференцируема, так как там присутствует модуль, чья производная не определена в нуле. На практике для этого выколотого случая в коде можно возвращать ноль.

Для оптимизации MAPE придётся изменять оптимизационную задачу. Оптимизацию MAPE можно представить как оптимизацию MAE, где объектам выборки присвоен вес $frac{1}{vert y_ivert}$.

В машинном обучении различают оценки качества для задачи классификации и регрессии. Причем оценка задачи классификации часто значительно сложнее, чем оценка регрессии.

Оценки качества классификации

Матрица ошибок (англ. Сonfusion matrix)

Перед переходом к самим метрикам необходимо ввести важную концепцию для описания этих метрик в терминах ошибок классификации — confusion matrix (матрица ошибок).
Допустим, что у нас есть два класса и алгоритм, предсказывающий принадлежность каждого объекта одному из классов.
Рассмотрим пример. Пусть банк использует систему классификации заёмщиков на кредитоспособных и некредитоспособных. При этом первым кредит выдаётся, а вторые получат отказ. Таким образом, обнаружение некредитоспособного заёмщика () можно рассматривать как «сигнал тревоги», сообщающий о возможных рисках.

Любой реальный классификатор совершает ошибки. В нашем случае таких ошибок может быть две:

• Кредитоспособный заёмщик распознается моделью как некредитоспособный и ему отказывается в кредите. Данный случай можно трактовать как «ложную тревогу».
• Некредитоспособный заёмщик распознаётся как кредитоспособный и ему ошибочно выдаётся кредит. Данный случай можно рассматривать как «пропуск цели».

Несложно увидеть, что эти ошибки неравноценны по связанным с ними проблемам. В случае «ложной тревоги» потери банка составят только проценты по невыданному кредиту (только упущенная выгода). В случае «пропуска цели» можно потерять всю сумму выданного кредита. Поэтому системе важнее не допустить «пропуск цели», чем «ложную тревогу».

Поскольку с точки зрения логики задачи нам важнее правильно распознать некредитоспособного заёмщика с меткой , чем ошибиться в распознавании кредитоспособного, будем называть соответствующий исход классификации положительным (заёмщик некредитоспособен), а противоположный — отрицательным (заемщик кредитоспособен ). Тогда возможны следующие исходы классификации:

• Некредитоспособный заёмщик классифицирован как некредитоспособный, т.е. положительный класс распознан как положительный. Наблюдения, для которых это имеет место называются истинно-положительными (True Positive — TP).
• Кредитоспособный заёмщик классифицирован как кредитоспособный, т.е. отрицательный класс распознан как отрицательный. Наблюдения, которых это имеет место, называются истинно отрицательными (True Negative — TN).
• Кредитоспособный заёмщик классифицирован как некредитоспособный, т.е. имела место ошибка, в результате которой отрицательный класс был распознан как положительный. Наблюдения, для которых был получен такой исход классификации, называются ложно-положительными (False Positive — FP), а ошибка классификации называется ошибкой I рода.
• Некредитоспособный заёмщик распознан как кредитоспособный, т.е. имела место ошибка, в результате которой положительный класс был распознан как отрицательный. Наблюдения, для которых был получен такой исход классификации, называются ложно-отрицательными (False Negative — FN), а ошибка классификации называется ошибкой II рода.

Таким образом, ошибка I рода, или ложно-положительный исход классификации, имеет место, когда отрицательное наблюдение распознано моделью как положительное. Ошибкой II рода, или ложно-отрицательным исходом классификации, называют случай, когда положительное наблюдение распознано как отрицательное. Поясним это с помощью матрицы ошибок классификации:

	Истинно-положительный (True Positive — TP)	Ложно-положительный (False Positive — FP)
	Ложно-отрицательный (False Negative — FN)	Истинно-отрицательный (True Negative — TN)

Здесь — это ответ алгоритма на объекте, а — истинная метка класса на этом объекте.
Таким образом, ошибки классификации бывают двух видов: False Negative (FN) и False Positive (FP).
P означает что классификатор определяет класс объекта как положительный (N — отрицательный). T значит что класс предсказан правильно (соответственно F — неправильно). Каждая строка в матрице ошибок представляет спрогнозированный класс, а каждый столбец — фактический класс.

 # код для матрицы ошибок
 # Пример классификатора, способного проводить различие между всего лишь двумя
 # классами, "пятерка" и "не пятерка" из набора рукописных цифр MNIST
 import numpy as np
 from sklearn.datasets import fetch_openml
 from sklearn.model_selection import cross_val_predict
 from sklearn.metrics import confusion_matrix
 from sklearn.linear_model import SGDClassifier
 mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1)
 X, y = mnist["data"], mnist["target"]
 y = y.astype(np.uint8)
 X_train, X_test, y_train, y_test = X[:60000], X[60000:], y[:60000], y[60000:]
 y_train_5 = (y_train == 5) # True для всех пятерок, False для в сех остальных цифр. Задача опознать пятерки
 y_test_5 = (y_test == 5)
 sgd_clf = SGDClassifier(random_state=42) # классификатор на основе метода стохастического градиентного спуска (англ. Stochastic Gradient Descent SGD)
 sgd_clf.fit(X_train, y_train_5) # обучаем классификатор распозновать пятерки на целом обучающем наборе
 # Для расчета матрицы ошибок сначала понадобится иметь набор прогнозов, чтобы их можно было сравнивать с фактическими целями
 y_train_pred = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3)
 print(confusion_matrix(y_train_5, y_train_pred))
 # array([[53892, 687],
 #        [ 1891, 3530]])

Безупречный классификатор имел бы только истинно-поло­жительные и истинно отрицательные классификации, так что его матрица ошибок содержала бы ненулевые значения только на своей главной диа­гонали (от левого верхнего до правого нижнего угла):

 import numpy as np
 from sklearn.datasets import fetch_openml
 from sklearn.metrics import confusion_matrix
 mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1)
 X, y = mnist["data"], mnist["target"]
 y = y.astype(np.uint8)
 X_train, X_test, y_train, y_test = X[:60000], X[60000:], y[:60000], y[60000:]
 y_train_5 = (y_train == 5) # True для всех пятерок, False для в сех остальных цифр. Задача опознать пятерки
 y_test_5 = (y_test == 5)
 y_train_perfect_predictions = y_train_5 # притворись, что мы достигли совершенства
 print(confusion_matrix(y_train_5, y_train_perfect_predictions))
 # array([[54579, 0],
 #        [ 0, 5421]])

Аккуратность (англ. Accuracy)

Интуитивно понятной, очевидной и почти неиспользуемой метрикой является accuracy — доля правильных ответов алгоритма:

Эта метрика бесполезна в задачах с неравными классами, что как вариант можно исправить с помощью алгоритмов сэмплирования и это легко показать на примере.

Допустим, мы хотим оценить работу спам-фильтра почты. У нас есть 100 не-спам писем, 90 из которых наш классификатор определил верно (True Negative = 90, False Positive = 10), и 10 спам-писем, 5 из которых классификатор также определил верно (True Positive = 5, False Negative = 5).
Тогда accuracy:

Однако если мы просто будем предсказывать все письма как не-спам, то получим более высокую аккуратность:

При этом, наша модель совершенно не обладает никакой предсказательной силой, так как изначально мы хотели определять письма со спамом. Преодолеть это нам поможет переход с общей для всех классов метрики к отдельным показателям качества классов.

 # код для для подсчета аккуратности:
 # Пример классификатора, способного проводить различие между всего лишь двумя
 # классами, "пятерка" и "не пятерка" из набора рукописных цифр MNIST
 import numpy as np
 from sklearn.datasets import fetch_openml
 from sklearn.model_selection import cross_val_predict
 from sklearn.metrics import accuracy_score
 from sklearn.linear_model import SGDClassifier
 mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1)
 X, y = mnist["data"], mnist["target"]
 y = y.astype(np.uint8)
 X_train, X_test, y_train, y_test = X[:60000], X[60000:], y[:60000], y[60000:]
 y_train_5 = (y_train == 5) # True для всех пятерок, False для в сех остальных цифр. Задача опознать пятерки
 y_test_5 = (y_test == 5)
 sgd_clf = SGDClassifier(random_state=42) # классификатор на основе метода стохастического градиентного спуска (Stochastic Gradient Descent SGD)
 sgd_clf.fit(X_train, y_train_5) # обучаем классификатор распозновать пятерки на целом обучающем наборе
 y_train_pred = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3)
 # print(confusion_matrix(y_train_5, y_train_pred))
 # array([[53892, 687]
 #        [ 1891, 3530]])
 print(accuracy_score(y_train_5, y_train_pred)) # == (53892 + 3530) / (53892 + 3530  + 1891 +687)
 
 # 0.9570333333333333

Точность (англ. Precision)

Точностью (precision) называется доля правильных ответов модели в пределах класса — это доля объектов действительно принадлежащих данному классу относительно всех объектов которые система отнесла к этому классу.

Именно введение precision не позволяет нам записывать все объекты в один класс, так как в этом случае мы получаем рост уровня False Positive.

Полнота (англ. Recall)

Полнота — это доля истинно положительных классификаций. Полнота показывает, какую долю объектов, реально относящихся к положительному классу, мы предсказали верно.

Полнота (recall) демонстрирует способность алгоритма обнаруживать данный класс вообще.

Имея матрицу ошибок, очень просто можно вычислить точность и полноту для каждого класса. Точность (precision) равняется отношению соответствующего диагонального элемента матрицы и суммы всей строки класса. Полнота (recall) — отношению диагонального элемента матрицы и суммы всего столбца класса. Формально:

Результирующая точность классификатора рассчитывается как арифметическое среднее его точности по всем классам. То же самое с полнотой. Технически этот подход называется macro-averaging.

 # код для для подсчета точности и полноты:
 # Пример классификатора, способного проводить различие между всего лишь двумя
 # классами, "пятерка" и "не пятерка" из набора рукописных цифр MNIST
 import numpy as np
 from sklearn.datasets import fetch_openml
 from sklearn.model_selection import cross_val_predict
 from sklearn.metrics import precision_score, recall_score
 from sklearn.linear_model import SGDClassifier
 mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1)
 X, y = mnist["data"], mnist["target"]
 y = y.astype(np.uint8)
 X_train, X_test, y_train, y_test = X[:60000], X[60000:], y[:60000], y[60000:]
 y_train_5 = (y_train == 5) # True для всех пятерок, False для в сех остальных цифр. Задача опознать пятерки
 y_test_5 = (y_test == 5)
 sgd_clf = SGDClassifier(random_state=42) # классификатор на основе метода стохастического градиентного спуска (Stochastic Gradient Descent SGD)
 sgd_clf.fit(X_train, y_train_5) # обучаем классификатор распозновать пятерки на целом обучающем наборе
 y_train_pred = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3)
 # print(confusion_matrix(y_train_5, y_train_pred))
 # array([[53892, 687]
 #        [ 1891, 3530]])
 print(precision_score(y_train_5, y_train_pred)) # == 3530 / (3530 + 687)
 print(recall_score(y_train_5, y_train_pred)) # == 3530 / (3530 + 1891)
   
 # 0.8370879772350012
 # 0.6511713705958311

F-мера (англ. F-score)

Precision и recall не зависят, в отличие от accuracy, от соотношения классов и потому применимы в условиях несбалансированных выборок.
Часто в реальной практике стоит задача найти оптимальный (для заказчика) баланс между этими двумя метриками. Понятно что чем выше точность и полнота, тем лучше. Но в реальной жизни максимальная точность и полнота не достижимы одновременно и приходится искать некий баланс. Поэтому, хотелось бы иметь некую метрику которая объединяла бы в себе информацию о точности и полноте нашего алгоритма. В этом случае нам будет проще принимать решение о том какую реализацию запускать в производство (у кого больше тот и круче). Именно такой метрикой является F-мера.

F-мера представляет собой гармоническое среднее между точностью и полнотой. Она стремится к нулю, если точность или полнота стремится к нулю.

Данная формула придает одинаковый вес точности и полноте, поэтому F-мера будет падать одинаково при уменьшении и точности и полноты. Возможно рассчитать F-меру придав различный вес точности и полноте, если вы осознанно отдаете приоритет одной из этих метрик при разработке алгоритма:

где принимает значения в диапазоне если вы хотите отдать приоритет точности, а при приоритет отдается полноте. При формула сводится к предыдущей и вы получаете сбалансированную F-меру (также ее называют ).

F-мера достигает максимума при максимальной полноте и точности, и близка к нулю, если один из аргументов близок к нулю.

F-мера является хорошим кандидатом на формальную метрику оценки качества классификатора. Она сводит к одному числу две других основополагающих метрики: точность и полноту. Имея «F-меру» гораздо проще ответить на вопрос: «поменялся алгоритм в лучшую сторону или нет?»

 # код для подсчета метрики F-mera:
 # Пример классификатора, способного проводить различие между всего лишь двумя
 # классами, "пятерка" и "не пятерка" из набора рукописных цифр MNIST
 import numpy as np
 from sklearn.datasets import fetch_openml
 from sklearn.model_selection import cross_val_predict
 from sklearn.linear_model import SGDClassifier
 from sklearn.metrics import f1_score
 mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1)
 X, y = mnist["data"], mnist["target"]
 y = y.astype(np.uint8)
 X_train, X_test, y_train, y_test = X[:60000], X[60000:], y[:60000], y[60000:]
 y_train_5 = (y_train == 5) # True для всех пятерок, False для в сех остальных цифр. Задача опознать пятерки
 y_test_5 = (y_test == 5)
 sgd_clf = SGDClassifier(random_state=42) # классификатор на основе метода стохастического градиентного спуска (Stochastic Gradient Descent SGD)
 sgd_clf.fit(X_train, y_train_5) # обучаем классификатор распознавать пятерки на целом обучающем наборе
 y_train_pred = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3)
 print(f1_score(y_train_5, y_train_pred))
 
 # 0.7325171197343846

ROC-кривая

Кривая рабочих характеристик (англ. Receiver Operating Characteristics curve).
Используется для анализа поведения классификаторов при различных пороговых значениях.
Позволяет рассмотреть все пороговые значения для данного классификатора.
Показывает долю ложно положительных примеров (англ. false positive rate, FPR) в сравнении с долей истинно положительных примеров (англ. true positive rate, TPR).

Доля FPR — это пропорция отрицательных образцов, которые были некорректно классифицированы как положительные.

,

где TNR — доля истинно отрицательных классификаций (англ. Тrие Negative Rate), пред­ставляющая собой пропорцию отрицательных образцов, которые были кор­ректно классифицированы как отрицательные.

Доля TNR также называется специфичностью (англ. specificity). Следовательно, ROC-кривая изображает чувствительность (англ. seпsitivity), т.е. полноту, в срав­нении с разностью 1 — specificity.

Прямая линия по диагонали представляет ROC-кривую чисто случайного классификатора. Хороший классификатор держится от указанной линии настолько далеко, насколько это
возможно (стремясь к левому верхнему углу).

Один из способов сравнения классификаторов предусматривает измере­ние площади под кривой (англ. Area Under the Curve — AUC). Безупречный клас­сификатор будет иметь площадь под ROC-кривой (ROC-AUC), равную 1, тогда как чисто случайный классификатор — площадь 0.5.

 # Код отрисовки ROC-кривой
 # На примере классификатора, способного проводить различие между всего лишь двумя классами
 # "пятерка" и "не пятерка" из набора рукописных цифр MNIST
 from sklearn.metrics import roc_curve
 import matplotlib.pyplot as plt
 import numpy as np
 from sklearn.datasets import fetch_openml
 from sklearn.model_selection import cross_val_predict
 from sklearn.linear_model import SGDClassifier
 mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1)
 X, y = mnist["data"], mnist["target"]
 y = y.astype(np.uint8)
 X_train, X_test, y_train, y_test = X[:60000], X[60000:], y[:60000], y[60000:]
 y_train_5 = (y_train == 5)  # True для всех пятерок, False для в сех остальных цифр. Задача опознать пятерки
 y_test_5 = (y_test == 5)
 sgd_clf = SGDClassifier(random_state=42) # классификатор на основе метода стохастического градиентного спуска (Stochastic Gradient Descent SGD)
 sgd_clf.fit(X_train, y_train_5) # обучаем классификатор распозновать пятерки на целом обучающем наборе
 y_train_pred = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3)
 y_scores = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3, method="decision_function")
 fpr, tpr, thresholds = roc_curve(y_train_5, y_scores)
 def plot_roc_curve(fpr, tpr, label=None):
     plt.plot(fpr, tpr, linewidth=2, label=label)
     plt.plot([0, 1], [0, 1], 'k--') # dashed diagonal
     plt.xlabel('False Positive Rate, FPR (1 - specificity)')
     plt.ylabel('True Positive Rate, TPR (Recall)')
     plt.title('ROC curve')
     plt.savefig("ROC.png")
 plot_roc_curve(fpr, tpr)
 plt.show()

Precison-recall кривая

Чувствительность к соотношению классов.
Рассмотрим задачу выделения математических статей из множества научных статей. Допустим, что всего имеется 1.000.100 статей, из которых лишь 100 относятся к математике. Если нам удастся построить алгоритм , идеально решающий задачу, то его TPR будет равен единице, а FPR — нулю. Рассмотрим теперь плохой алгоритм, дающий положительный ответ на 95 математических и 50.000 нематематических статьях. Такой алгоритм совершенно бесполезен, но при этом имеет TPR = 0.95 и FPR = 0.05, что крайне близко к показателям идеального алгоритма.
Таким образом, если положительный класс существенно меньше по размеру, то AUC-ROC может давать неадекватную оценку качества работы алгоритма, поскольку измеряет долю неверно принятых объектов относительно общего числа отрицательных. Так, алгоритм , помещающий 100 релевантных документов на позиции с 50.001-й по 50.101-ю, будет иметь AUC-ROC 0.95.

Precison-recall (PR) кривая. Избавиться от указанной проблемы с несбалансированными классами можно, перейдя от ROC-кривой к PR-кривой. Она определяется аналогично ROC-кривой, только по осям откладываются не FPR и TPR, а полнота (по оси абсцисс) и точность (по оси ординат). Критерием качества семейства алгоритмов выступает площадь под PR-кривой (англ. Area Under the Curve — AUC-PR)

 # Код отрисовки Precison-recall кривой
 # На примере классификатора, способного проводить различие между всего лишь двумя классами
 # "пятерка" и "не пятерка" из набора рукописных цифр MNIST
 from sklearn.metrics import precision_recall_curve
 import matplotlib.pyplot as plt
 import numpy as np
 from sklearn.datasets import fetch_openml
 from sklearn.model_selection import cross_val_predict
 from sklearn.linear_model import SGDClassifier
 mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1)
 X, y = mnist["data"], mnist["target"]
 y = y.astype(np.uint8)
 X_train, X_test, y_train, y_test = X[:60000], X[60000:], y[:60000], y[60000:]
 y_train_5 = (y_train == 5) # True для всех пятерок, False для в сех остальных цифр. Задача опознать пятерки
 y_test_5 = (y_test == 5)
 sgd_clf = SGDClassifier(random_state=42) # классификатор на основе метода стохастического градиентного спуска (Stochastic Gradient Descent SGD)
 sgd_clf.fit(X_train, y_train_5) # обучаем классификатор распозновать пятерки на целом обучающем наборе
 y_train_pred = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3)
 y_scores = cross_val_predict(sgd_clf, X_train, y_train_5, cv=3, method="decision_function")
 precisions, recalls, thresholds = precision_recall_curve(y_train_5, y_scores)
 def plot_precision_recall_vs_threshold(precisions, recalls, thresholds):
     plt.plot(recalls, precisions, linewidth=2)
     plt.xlabel('Recall')
     plt.ylabel('Precision')
     plt.title('Precision-Recall curve')
     plt.savefig("Precision_Recall_curve.png")
 plot_precision_recall_vs_threshold(precisions, recalls, thresholds)
 plt.show()

Оценки качества регрессии

Наиболее типичными мерами качества в задачах регрессии являются

Средняя квадратичная ошибка (англ. Mean Squared Error, MSE)

MSE применяется в ситуациях, когда нам надо подчеркнуть большие ошибки и выбрать модель, которая дает меньше больших ошибок прогноза. Грубые ошибки становятся заметнее за счет того, что ошибку прогноза мы возводим в квадрат. И модель, которая дает нам меньшее значение среднеквадратической ошибки, можно сказать, что что у этой модели меньше грубых ошибок.

и

Cредняя абсолютная ошибка (англ. Mean Absolute Error, MAE)

Среднеквадратичный функционал сильнее штрафует за большие отклонения по сравнению со среднеабсолютным, и поэтому более чувствителен к выбросам. При использовании любого из этих двух функционалов может быть полезно проанализировать, какие объекты вносят наибольший вклад в общую ошибку — не исключено, что на этих объектах была допущена ошибка при вычислении признаков или целевой величины.

Среднеквадратичная ошибка подходит для сравнения двух моделей или для контроля качества во время обучения, но не позволяет сделать выводов о том, на сколько хорошо данная модель решает задачу. Например, MSE = 10 является очень плохим показателем, если целевая переменная принимает значения от 0 до 1, и очень хорошим, если целевая переменная лежит в интервале (10000, 100000). В таких ситуациях вместо среднеквадратичной ошибки полезно использовать коэффициент детерминации —

Коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации измеряет долю дисперсии, объясненную моделью, в общей дисперсии целевой переменной. Фактически, данная мера качества — это нормированная среднеквадратичная ошибка. Если она близка к единице, то модель хорошо объясняет данные, если же она близка к нулю, то прогнозы сопоставимы по качеству с константным предсказанием.

Средняя абсолютная процентная ошибка (англ. Mean Absolute Percentage Error, MAPE)

Это коэффициент, не имеющий размерности, с очень простой интерпретацией. Его можно измерять в долях или процентах. Если у вас получилось, например, что MAPE=11.4%, то это говорит о том, что ошибка составила 11,4% от фактических значений.
Основная проблема данной ошибки — нестабильность.

Корень из средней квадратичной ошибки (англ. Root Mean Squared Error, RMSE)

Примерно такая же проблема, как и в MAPE: так как каждое отклонение возводится в квадрат, любое небольшое отклонение может значительно повлиять на показатель ошибки. Стоит отметить, что существует также ошибка MSE, из которой RMSE как раз и получается путем извлечения корня.

Cимметричная MAPE (англ. Symmetric MAPE, SMAPE)

Средняя абсолютная масштабированная ошибка (англ. Mean absolute scaled error, MASE)

MASE является очень хорошим вариантом для расчета точности, так как сама ошибка не зависит от масштабов данных и является симметричной: то есть положительные и отрицательные отклонения от факта рассматриваются в равной степени.
Обратите внимание, что в MASE мы имеем дело с двумя суммами: та, что в числителе, соответствует тестовой выборке, та, что в знаменателе — обучающей. Вторая фактически представляет собой среднюю абсолютную ошибку прогноза. Она же соответствует среднему абсолютному отклонению ряда в первых разностях. Эта величина, по сути, показывает, насколько обучающая выборка предсказуема. Она может быть равна нулю только в том случае, когда все значения в обучающей выборке равны друг другу, что соответствует отсутствию каких-либо изменений в ряде данных, ситуации на практике почти невозможной. Кроме того, если ряд имеет тенденцию к росту либо снижению, его первые разности будут колебаться около некоторого фиксированного уровня. В результате этого по разным рядам с разной структурой, знаменатели будут более-менее сопоставимыми. Всё это, конечно же, является очевидными плюсами MASE, так как позволяет складывать разные значения по разным рядам и получать несмещённые оценки.

Недостаток MASE в том, что её тяжело интерпретировать. Например, MASE=1.21 ни о чём, по сути, не говорит. Это просто означает, что ошибка прогноза оказалась в 1.21 раза выше среднего абсолютного отклонения ряда в первых разностях, и ничего более.

Кросс-валидация

Хороший способ оценки модели предусматривает применение кросс-валидации (cкользящего контроля или перекрестной проверки).

В этом случае фиксируется некоторое множество разбиений исходной выборки на две подвыборки: обучающую и контрольную. Для каждого разбиения выполняется настройка алгоритма по обучающей подвыборке, затем оценивается его средняя ошибка на объектах контрольной подвыборки. Оценкой скользящего контроля называется средняя по всем разбиениям величина ошибки на контрольных подвыборках.

Примечания

1. [1] Лекция «Оценивание качества» на www.coursera.org
2. [2] Лекция на www.stepik.org о кросвалидации
3. [3] Лекция на www.stepik.org о метриках качества, Precison и Recall
4. [4] Лекция на www.stepik.org о метриках качества, F-мера
5. [5] Лекция на www.stepik.org о метриках качества, примеры

См. также

• Оценка качества в задаче кластеризации
• Кросс-валидация

Источники информации

1. [6] Соколов Е.А. Лекция линейная регрессия
2. [7] — Дьяконов А. Функции ошибки / функционалы качества
3. [8] — Оценка качества прогнозных моделей
4. [9] — HeinzBr Ошибка прогнозирования: виды, формулы, примеры
5. [10] — egor_labintcev Метрики в задачах машинного обучения
6. [11] — grossu Методы оценки качества прогноза
7. [12] — К.В.Воронцов, Классификация
8. [13] — К.В.Воронцов, Скользящий контроль

Метрики в задачах машинного обучения

Привет, Хабр!

В задачах машинного обучения для оценки качества моделей и сравнения различных алгоритмов используются метрики, а их выбор и анализ — непременная часть работы датасатаниста.

В этой статье мы рассмотрим некоторые критерии качества в задачах классификации, обсудим, что является важным при выборе метрики и что может пойти не так.

Метрики в задачах классификации

Для демонстрации полезных функций sklearn и наглядного представления метрик мы будем использовать датасет по оттоку клиентов телеком-оператора.

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.pylab import rc, plot
import seaborn as sns
from sklearn.preprocessing import LabelEncoder, OneHotEncoder
from sklearn.model_selection import cross_val_score
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.ensemble import RandomForestClassifier, GradientBoostingClassifier
from sklearn.metrics import precision_recall_curve, classification_report
from sklearn.model_selection import train_test_split

df = pd.read_csv('../../data/telecom_churn.csv')

df.head(5)

# Сделаем маппинг бинарных колонок 
# и закодируем dummy-кодированием штат (для простоты, лучше не делать так для деревянных моделей)

d = {'Yes' : 1, 'No' : 0}

df['International plan'] = df['International plan'].map(d)
df['Voice mail plan'] = df['Voice mail plan'].map(d)
df['Churn'] = df['Churn'].astype('int64')

le = LabelEncoder()
df['State'] = le.fit_transform(df['State'])

ohe = OneHotEncoder(sparse=False)

encoded_state = ohe.fit_transform(df['State'].values.reshape(-1, 1))
tmp = pd.DataFrame(encoded_state,  
                   columns=['state ' + str(i) for i in range(encoded_state.shape[1])])
df = pd.concat([df, tmp], axis=1)

Accuracy, precision и recall

Перед переходом к самим метрикам необходимо ввести важную концепцию для описания этих метрик в терминах ошибок классификации — confusion matrix (матрица ошибок).
Допустим, что у нас есть два класса и алгоритм, предсказывающий принадлежность каждого объекта одному из классов, тогда матрица ошибок классификации будет выглядеть следующим образом:

	True Positive (TP)	False Positive (FP)
	False Negative (FN)	True Negative (TN)

Здесь — это ответ алгоритма на объекте, а — истинная метка класса на этом объекте.
Таким образом, ошибки классификации бывают двух видов: False Negative (FN) и False Positive (FP).

X = df.drop('Churn', axis=1)
y = df['Churn']

# Делим выборку на train и test, все метрики будем оценивать на тестовом датасете

X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, stratify=y,  test_size=0.33, random_state=42)

# Обучаем ставшую родной логистическую регрессию

lr = LogisticRegression(random_state=42)
lr.fit(X_train, y_train)

# Воспользуемся функцией построения матрицы ошибок из документации sklearn

def plot_confusion_matrix(cm, classes,
                          normalize=False,
                          title='Confusion matrix',
                          cmap=plt.cm.Blues):
    """
    This function prints and plots the confusion matrix.
    Normalization can be applied by setting `normalize=True`.
    """
    plt.imshow(cm, interpolation='nearest', cmap=cmap)
    plt.title(title)
    plt.colorbar()
    tick_marks = np.arange(len(classes))
    plt.xticks(tick_marks, classes, rotation=45)
    plt.yticks(tick_marks, classes)

    if normalize:
        cm = cm.astype('float') / cm.sum(axis=1)[:, np.newaxis]
        print("Normalized confusion matrix")
    else:
        print('Confusion matrix, without normalization')

    print(cm)

    thresh = cm.max() / 2.
    for i, j in itertools.product(range(cm.shape[0]), range(cm.shape[1])):
        plt.text(j, i, cm[i, j],
                 horizontalalignment="center",
                 color="white" if cm[i, j] > thresh else "black")

    plt.tight_layout()
    plt.ylabel('True label')
    plt.xlabel('Predicted label')

font = {'size' : 15}

plt.rc('font', **font)

cnf_matrix = confusion_matrix(y_test, lr.predict(X_test))
plt.figure(figsize=(10, 8))
plot_confusion_matrix(cnf_matrix, classes=['Non-churned', 'Churned'],
                      title='Confusion matrix')
plt.savefig("conf_matrix.png")
plt.show()

Accuracy

Интуитивно понятной, очевидной и почти неиспользуемой метрикой является accuracy — доля правильных ответов алгоритма:

Эта метрика бесполезна в задачах с неравными классами, и это легко показать на примере.

Допустим, мы хотим оценить работу спам-фильтра почты. У нас есть 100 не-спам писем, 90 из которых наш классификатор определил верно (True Negative = 90, False Positive = 10), и 10 спам-писем, 5 из которых классификатор также определил верно (True Positive = 5, False Negative = 5).
Тогда accuracy:

Однако если мы просто будем предсказывать все письма как не-спам, то получим более высокую accuracy:

При этом, наша модель совершенно не обладает никакой предсказательной силой, так как изначально мы хотели определять письма со спамом. Преодолеть это нам поможет переход с общей для всех классов метрики к отдельным показателям качества классов.

Precision, recall и F-мера

Для оценки качества работы алгоритма на каждом из классов по отдельности введем метрики precision (точность) и recall (полнота).

Precision можно интерпретировать как долю объектов, названных классификатором положительными и при этом действительно являющимися положительными, а recall показывает, какую долю объектов положительного класса из всех объектов положительного класса нашел алгоритм.

Именно введение precision не позволяет нам записывать все объекты в один класс, так как в этом случае мы получаем рост уровня False Positive. Recall демонстрирует способность алгоритма обнаруживать данный класс вообще, а precision — способность отличать этот класс от других классов.

Как мы отмечали ранее, ошибки классификации бывают двух видов: False Positive и False Negative. В статистике первый вид ошибок называют ошибкой I-го рода, а второй — ошибкой II-го рода. В нашей задаче по определению оттока абонентов, ошибкой первого рода будет принятие лояльного абонента за уходящего, так как наша нулевая гипотеза состоит в том, что никто из абонентов не уходит, а мы эту гипотезу отвергаем. Соответственно, ошибкой второго рода будет являться «пропуск» уходящего абонента и ошибочное принятие нулевой гипотезы.

Precision и recall не зависят, в отличие от accuracy, от соотношения классов и потому применимы в условиях несбалансированных выборок.
Часто в реальной практике стоит задача найти оптимальный (для заказчика) баланс между этими двумя метриками. Классическим примером является задача определения оттока клиентов.
Очевидно, что мы не можем находить всех уходящих в отток клиентов и только их. Но, определив стратегию и ресурс для удержания клиентов, мы можем подобрать нужные пороги по precision и recall. Например, можно сосредоточиться на удержании только высокодоходных клиентов или тех, кто уйдет с большей вероятностью, так как мы ограничены в ресурсах колл-центра.

Обычно при оптимизации гиперпараметров алгоритма (например, в случае перебора по сетке GridSearchCV ) используется одна метрика, улучшение которой мы и ожидаем увидеть на тестовой выборке.
Существует несколько различных способов объединить precision и recall в агрегированный критерий качества. F-мера (в общем случае ) — среднее гармоническое precision и recall :

в данном случае определяет вес точности в метрике, и при это среднее гармоническое (с множителем 2, чтобы в случае precision = 1 и recall = 1 иметь )
F-мера достигает максимума при полноте и точности, равными единице, и близка к нулю, если один из аргументов близок к нулю.
В sklearn есть удобная функция _metrics.classificationreport, возвращающая recall, precision и F-меру для каждого из классов, а также количество экземпляров каждого класса.

report = classification_report(y_test, lr.predict(X_test), target_names=['Non-churned', 'Churned'])
print(report)

Здесь необходимо отметить, что в случае задач с несбалансированными классами, которые превалируют в реальной практике, часто приходится прибегать к техникам искусственной модификации датасета для выравнивания соотношения классов. Их существует много, и мы не будем их касаться, здесь можно посмотреть некоторые методы и выбрать подходящий для вашей задачи.

AUC-ROC и AUC-PR

При конвертации вещественного ответа алгоритма (как правило, вероятности принадлежности к классу, отдельно см. SVM) в бинарную метку, мы должны выбрать какой-либо порог, при котором 0 становится 1. Естественным и близким кажется порог, равный 0.5, но он не всегда оказывается оптимальным, например, при вышеупомянутом отсутствии баланса классов.

Одним из способов оценить модель в целом, не привязываясь к конкретному порогу, является AUC-ROC (или ROC AUC) — площадь (Area Under Curve) под кривой ошибок (Receiver Operating Characteristic curve ). Данная кривая представляет из себя линию от (0,0) до (1,1) в координатах True Positive Rate (TPR) и False Positive Rate (FPR):

TPR нам уже известна, это полнота, а FPR показывает, какую долю из объектов negative класса алгоритм предсказал неверно. В идеальном случае, когда классификатор не делает ошибок (FPR = 0, TPR = 1) мы получим площадь под кривой, равную единице; в противном случае, когда классификатор случайно выдает вероятности классов, AUC-ROC будет стремиться к 0.5, так как классификатор будет выдавать одинаковое количество TP и FP.
Каждая точка на графике соответствует выбору некоторого порога. Площадь под кривой в данном случае показывает качество алгоритма (больше — лучше), кроме этого, важной является крутизна самой кривой — мы хотим максимизировать TPR, минимизируя FPR, а значит, наша кривая в идеале должна стремиться к точке (0,1).

sns.set(font_scale=1.5)
sns.set_color_codes("muted")

plt.figure(figsize=(10, 8))
fpr, tpr, thresholds = roc_curve(y_test, lr.predict_proba(X_test)[:,1], pos_label=1)
lw = 2
plt.plot(fpr, tpr, lw=lw, label='ROC curve ')
plt.plot([0, 1], [0, 1])
plt.xlim([0.0, 1.0])
plt.ylim([0.0, 1.05])
plt.xlabel('False Positive Rate')
plt.ylabel('True Positive Rate')
plt.title('ROC curve')
plt.savefig("ROC.png")
plt.show()

Критерий AUC-ROC устойчив к несбалансированным классам (спойлер: увы, не всё так однозначно) и может быть интерпретирован как вероятность того, что случайно выбранный positive объект будет проранжирован классификатором выше (будет иметь более высокую вероятность быть positive), чем случайно выбранный negative объект.

Рассмотрим следующую задачу: нам необходимо выбрать 100 релевантных документов из 1 миллиона документов. Мы намашинлернили два алгоритма:

• Алгоритм 1 возвращает 100 документов, 90 из которых релевантны. Таким образом,

• Алгоритм 2 возвращает 2000 документов, 90 из которых релевантны. Таким образом,

Скорее всего, мы бы выбрали первый алгоритм, который выдает очень мало False Positive на фоне своего конкурента. Но разница в False Positive Rate между этими двумя алгоритмами крайне мала — всего 0.0019. Это является следствием того, что AUC-ROC измеряет долю False Positive относительно True Negative и в задачах, где нам не так важен второй (больший) класс, может давать не совсем адекватную картину при сравнении алгоритмов.

Для того чтобы поправить положение, вернемся к полноте и точности :

• Алгоритм 1

• Алгоритм 2

Здесь уже заметна существенная разница между двумя алгоритмами — 0.855 в точности!

Precision и recall также используют для построения кривой и, аналогично AUC-ROC, находят площадь под ней.

Здесь можно отметить, что на маленьких датасетах площадь под PR-кривой может быть чересчур оптимистична, потому как вычисляется по методу трапеций, но обычно в таких задачах данных достаточно. За подробностями о взаимоотношениях AUC-ROC и AUC-PR можно обратиться сюда.

Logistic Loss

Особняком стоит логистическая функция потерь, определяемая как:

здесь — это ответ алгоритма на -ом объекте, — истинная метка класса на -ом объекте, а размер выборки.

Подробно про математическую интерпретацию логистической функции потерь уже написано в рамках поста про линейные модели.
Данная метрика нечасто выступает в бизнес-требованиях, но часто — в задачах на kaggle.
Интуитивно можно представить минимизацию logloss как задачу максимизации accuracy путем штрафа за неверные предсказания. Однако необходимо отметить, что logloss крайне сильно штрафует за уверенность классификатора в неверном ответе.

Рассмотрим пример:

def logloss_crutch(y_true, y_pred, eps=1e-15):

    return - (y_true * np.log(y_pred) + (1 - y_true) * np.log(1 - y_pred))

print('Logloss при неуверенной классификации %f' % logloss_crutch(1, 0.5))
>> Logloss при неуверенной классификации 0.693147

print('Logloss при уверенной классификации и верном ответе %f' % logloss_crutch(1, 0.9))
>> Logloss при уверенной классификации и верном ответе 0.105361

print('Logloss при уверенной классификации и НЕверном ответе %f' % logloss_crutch(1, 0.1))
>> Logloss при уверенной классификации и НЕверном ответе 2.302585

Отметим, как драматически выросла logloss при неверном ответе и уверенной классификации!
Следовательно, ошибка на одном объекте может дать существенное ухудшение общей ошибки на выборке. Такие объекты часто бывают выбросами, которые нужно не забывать фильтровать или рассматривать отдельно.
Всё становится на свои места, если нарисовать график logloss:

Видно, что чем ближе к нулю ответ алгоритма при ground truth = 1, тем выше значение ошибки и круче растёт кривая.

Подытожим:

• В случае многоклассовой классификации нужно внимательно следить за метриками каждого из классов и следовать логике решения задачи, а не оптимизации метрики
• В случае неравных классов нужно подбирать баланс классов для обучения и метрику, которая будет корректно отражать качество классификации
• Выбор метрики нужно делать с фокусом на предметную область, предварительно обрабатывая данные и, возможно, сегментируя (как в случае с делением на богатых и бедных клиентов)

Полезные ссылки

1. Курс Евгения Соколова: Семинар по выбору моделей (там есть информация по метрикам задач регрессии)
2. Задачки на AUC-ROC от А.Г. Дьяконова
3. Дополнительно о других метриках можно почитать на kaggle. К описанию каждой метрики добавлена ссылка на соревнования, где она использовалась
4. Презентация Богдана Мельника aka ld86 про обучение на несбалансированных выборках

Благодарности

Спасибо mephistopheies и madrugado за помощь в подготовке статьи.