Как найти точность расчетов - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Загрузить PDF

В области математики и точных наук слова правильность и точность имеют численное выражение. Часто правильность и точность используют как синонимы, но они означают различные понятия. Правильность является мерой того, насколько измеренное значение близко к действительному. Точность — это мера разброса повторных измерений. Высокая точность означает высокую повторяемость результата. Высокая правильность означает высокую близость к действительному значению. Иногда следует затратить усилия, чтобы вычислить точность; в итоге получается наиболее ожидаемое значение и оценка погрешности. Ниже описано, как произвести подобные вычисления.

Шаги

1

Найдите подходящий объект для измерений, например, ручку.
2
Разграфите лист бумаги на две колонки и семь рядов для записи результатов измерений.
- Напишите «Испытание» в левой верхней ячейке и «Длина в сантиметрах» в правой верхней.
- Пронумеруйте ячейки испытаний от 1 до 5.
- Напишите «Среднее значение» в нижней левой ячейке.
3
Измерьте длину ручки пять раз до сотой доли сантиметра и запишите результаты измерений в таблицу.
- Полученные результаты будут слегка отличаться друг от друга. Например, первое значение будет равняться 12,54 см, второе — 12,57, третье — 12,52, четвертое — 12,53, и пятое — 12,55.
4
Вычислите среднее значение.
- Сложите результаты всех измерений и поделите полученную сумму на количество измерений, то есть на 5. В нашем примере средняя величина равна 12,54 см.
- Запишите вычисленное среднее значение в нижней правой ячейке таблицы.
5
Нарисуйте линию с числовыми метками, которая включала бы все результаты ваших измерений.
- Проведите на листке бумаги прямую горизонтальную линию. Нанесите на нее десять перпендикулярных ей меток. Отметьте каждую из них числом; начните с 12,50, затем следуют 12,51, 12,52, и так вплоть до 12,60.
6
Нанесите на линию результаты ваших измерений.
- Отметьте каждый результат точкой на линии.
- Полученное ранее среднее значение нанесите на линию точкой другого цвета или формы.
7
Определите интервал неопределенности.
- Возьмите среднее значение и вычтите из него минимальный результат измерений. В нашем примере получится 12,54 минус 12,52, что равняется 0,02. Повторите это для максимального результата измерений, но поменяйте среднее значение и результат местами. В нашем случае будет 12,57 минус 12,54, то есть 0,03.
- Сложите две полученных величины для определения диапазона неопределенности. В нашем примере получится 0,02 плюс 0,03, что равно 0,05. Интервал неопределенности составляет среднее значение плюс и минус полученный диапазон, то есть в нашем случае интервал равен 12,54 � 0,05 см.
8

Запишите полученное значение.
9

Готово.

Реклама

Советы

Если одно из измерений дало намного больший или меньший результат, чем все остальные, не исключайте его из последующих вычислений. Даже если это была ошибка, тем не менее это результат измерения, который следует учитывать в расчетах.
При измерении других объектов вы получите иные величины, нежели приведенные в нашем примере для ручки. Следуйте шагам, описанным в этой статье, но подставляйте измеренные вами величины.
Для более точных расчетов проведите более пяти измерений. Чем больше испытаний (измерений) вы сделаете, тем более точное значение получите.

Что вам понадобится

Лист бумаги
Ручка
Калькулятор
Измерительная линейка
Карандаш

Об этой статье

Эту страницу просматривали 8791 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Download Article

Precision means that a measurement using a particular tool or implement produces similar results every single time it is used. For example, if you step on a scale five times in a row, a precise scale would give you the same weight each time. In math and science, calculating precision is essential to determine if your tools and measurements work well enough to get good data. You can report precision of any data set using the range of values, the average deviation, or the standard deviation.

1
Determine the highest measured value. It helps to begin by sorting your data in numerical order, from lowest to highest. This will ensure that you do not miss any values. Then select the value at the end of the list.^[1]
- For example, suppose you are testing the precision of a scale, and you observe five measurements: 11, 13, 12, 14, 12. After sorting, these values are listed as 11, 12, 12, 13, 14. The highest measurement is 14.
2
Find the lowest measured value. Once your data has been sorted, finding the lowest value is as simple as looking at the beginning of the list.^[2]
- For the scale measurement data, the lowest value is 11.
Advertisement
3

Subtract the lowest value from the highest. The range of a set of data is the difference between the highest and lowest measurements. Just subtract one from the other. Algebraically, the range can be expressed as:
4
Report the range as the precision. When reporting data, it is important to let the readers know what you have measured. Because there are different measures of precision, you should specify what you are reporting. For this data, you would report Mean=12.4, Range=3, or simply that the Mean=12.4±3.^[3]
- The mean is not actually part of calculating the range or precision, but it is generally the primary calculation for reporting the measured value. The mean is found by adding up the sum of the measured values and then dividing by the number of items in the group. For this set of data, the mean is (11+13+12+14+12)/5=12.4.

1
Find the mean of the data. The average deviation is a more detailed measure of the precision of a group of measurements or experiment values. The first step in finding the average deviation is to calculate the mean of the measured values. The mean is the sum of the values, divided by the number of measurements taken.^[4]
- For this example, use the same sample data as before. Assume that five measurements have been taken, 11, 13, 12, 14, and 12. The mean of these values is (11+13+12+14+12)/5=12.4.
2
Calculate the absolute deviation of each value from the mean. For this calculation of precision, you need to determine how close each value is to the mean. To do this, subtract the mean from each number. For this measurement, it does not matter whether the value is above or below the mean. Subtract the numbers and just use the positive value of the result. This is also called the absolute value.^[5]
- Algebraically, the absolute value is shown by placing two vertical bars around the calculation, as follows:
- For the values of this sample data set, the absolute deviations are:
3
Find the average deviation. Use the absolute deviations and find their mean. As you did with the original data set, you will add them together and divide by the number of values. This is represented algebraically as:^[6]
- ${text{Average deviation}}={frac {Sigma |x-mu |}{n}}$
- For this sample data, the calculation is:
4

Report the precision result. This result may be reported as the mean, plus or minus the average deviation. For this sample data set, this result would look like 12.4±0.88. Note that reporting precision as the average deviation makes the measurement appear much more precise than with the range.^[7]

1

Use the correct formula for standard deviation. For any size data set, the standard deviation is a reliable statistic for reporting precision. There are two formulas for calculating standard deviation, with a very slight difference between them. You will use one formula if your measured data represents an entire population. You will use the second formula if your measured data is from only a sample of the population.^[8]
2
Find the mean of the data values. As with calculating the average deviation, you will begin by finding the mean of the data values.^[9]
- Using the same set of measurements as above, the mean is 12.4.
3
Find the square of each variation. For each data point, subtract the data value from the mean, and square that result. Because you are squaring these variations, whether the difference is positive or negative does not matter. The square of the difference will always be positive.^[10]
- For the five data values in this sample, these calculations are as follows:
4
Calculate the sum of the squared differences. The numerator of the standard deviation fraction is the sum of the squared differences between each value and the mean. To find this sum, add together the figures from the previous calculation.^[11]
- For the sample data set, these are:
5
6
Find the square root of the result. At this point, the calculation represents what is called the variance of the data set. The standard deviation is the square root of the variance. Use a calculator to find the square root, and the result is the standard deviation.^[13]
7
Report your result. Using this calculation, the precision of the scale can be represented by giving the mean, plus or minus the standard deviation. For this data, this will be 12.4±1.14.
- The standard deviation is perhaps the most common measurement of precision. Nevertheless, for clarity, it is still a good idea to use a footnote or parentheses to note that the precision value represents the standard deviation.

1
Use the word precision correctly. Precision is a term that describes the level of repeatability of measurements. When collecting a group of data, either by measurement or through an experiment of some kind, the precision describes how close together the results of each measurement or experiment are going to be.^[14]
- Precision is not the same as accuracy. Accuracy measures how close experimental values come to the true or theoretical value, while precision measures how close the measured values are to each other.
- It is possible for data to be accurate but not precise or to be precise but not accurate. Accurate measurements are close to the target value but may not be close to each other. Precise measurements are close to each other, whether or not they are close to the target.
2
Choose the best measure of precision. The word “precision” does not have a single meaning. You can represent precision using several different measurements. You need to decide the best one.
- Range. For small data sets with about ten or fewer measurements, the range of values is a good measure of precision. This is particularly true if the values appear reasonably closely grouped. If you see one or two values that appear far from the others, you may wish to use a different calculation.
- Average deviation. The average deviation is a more accurate measure of precision for a small set of data values.^[15]
- Standard deviation. The standard deviation is perhaps the most recognized measure of precision. Standard deviation may be used to calculate the precision of measurements for an entire population or a sample of the population.
3
Report your results clearly. Very often, investigators will report data by giving the mean of the measured value, followed by a statement of the precision. The precision is shown with a “±” symbol. This provides an indication of precision, but it does not clearly explain to the reader if the number following the “±” symbol is a range, standard deviation, or some other measurement. To be very clear, you should define what measure of precision you are using, either in a footnote or parenthetical note.
- For example, for one series of data, the result could be reported as 12.4±3. However, a more explanatory way to report the same data would be to say “Mean=12.4, Range=3.”

Add New Question

Question

How do you measure accuracy?

Accuracy is a measure of how close you are to the known, expected value of what you are measuring. If you have a known weight of 10 kg, for example, and you put it on a scale and the scale says «9.2,» then your scale is accurate within 0.8 kg.
Question

How do I calculate the level of precision of an equipment? It’s an electrolyte analyser

Use it to take several measurements and then follow the directions in this article.
Question

How do you know if a measurement is precise?

When the mean absolute deviation or the standard range is as close to zero as possible.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

If one of your trial values is much higher or lower than the rest of your values, do not exclude this number from your calculations. Even if it was a mistake, it is data and should be utilized for a proper calculation.
In this article, only five values were used for mathematical simplicity. In an actual experiment, you should perform more than five trials to achieve a more accurate calculation. The more trials you run, the closer you will get to a clear precision value.

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Article SummaryX

To calculate precision using a range of values, start by sorting the data in numerical order so you can determine the highest and lowest measured values. Next, subtract the lowest measured value from the highest measured value, then report that answer as the precision. When reporting precision data, be sure to specify what you measured and what you’re reporting, such as the range or mean! For tips on calculating average and standard deviation, read on!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 546,061 times.

Reader Success Stories

«Thanks a lot. Before I read this article, all my work was without organization. From now on I’ll apply your…» more

Did this article help you?

Источник

Если число записывается в виде десятичной
дроби, то одним из источников погрешностей
вычислений является округлениечисла. В качестве погрешности округления
принимаетсяполовина
единицы последнего, указанного
после округления результата.

Мерой точности числа является число
значащих цифр.
Значащими цифрами называются
все цифры, кроме левых нулей(которые
служат для указания разрядов). Именно
число значащих цифр определяет
относительную погрешность. Примеры
определения погрешностей округления
некоторых чисел приведены в табл. 2

Таблица 2

Пример	Число значащих цифр	Погрешность округления
3,1416	5	0,00005
3,14	3	0,005
0,1500	4	0,00005
0,015	2	0,0005
3 (целое)		0,000…0…

Число значащих цифр в промежуточных
расчетах должно быть на единицу больше,
чем в результатах измерений. В противном
случае погрешность округления (т.е.
расчетов) будет сравнима с погрешностью
измерений. Табличные данные следует
также брать с достаточным числом значащих
цифр (если это возможно), либо учитывать
погрешности округления этих данных.

7. Запись результатов

Результат измерения при расчете следует
записывать в виде:

x =
<x>   x,ед.
изм.,
= …,
=( x/<x>)100%

Значение погрешности следует округлять
до двух значащих
цифр, если первая является единицей и
до одной значащей цифры во всех остальных
случаях.

Для записи измеренного значения последней
записывается цифра того
десятичного разряда, который содержит
погрешность.

Таблица 3

Примеры записи результата

Правильно:	Неправильно:	Ошибка:
1,20,2	1,2440,2	Лишние цифры в значении результата.
1,240,03	1,24380,0325	Лишние цифры в значении погрешности.
1,2440,014	1,244 0,01	Грубое округление погрешности.
1,24 0,03	1,24 310^-2	Множитель 10^-2должен быть общим.

8. Графические методы обработки результатов

При обработке результатов измерений
часто пользуются графическими методами,
которые служат для наглядного изображения
полученных результатов, а также для
различных вычислительных операций.
Пример правильного построения графика
приведен на рисунке.

При построении графиков следует
придерживаться следующих правил:

1. Начертить оси графика (стрелки на осях
ставить не следует). Выбрать
и нанести масштаб по осям абсцисс и
ординат так, чтобы график
занимал по возможности всю площадь.Обозначить оси и единицы измерения.

2. Нанести экспериментальные значения
в виде четких кружочков диаметром 1-2
мм. Координаты этих
точек на осях графика не указываются!

3. График по точкам должен проходить
плавно, без резких искривлений и изломов.
Между точками график должен проходить
так, чтобы точки располагались по обе
стороны от графика на одинаковых
расстояниях.

4. Вычисление углового коэффициента
прямой y
= A x + B:

Выбрать две произвольные точки на оси
абсцисс x₁иx₂. Точкиx₁иx₂должны отстоять друг от другана возможно большем
расстоянии.

По графику провести отсчет соответствующих
значений функции y₁иy₂.

Угловой коэффициент находится по
формуле:

Для того чтобы коэффициент имел
определенный физический смысл, величины
xиyследует выражать в одной физической
системе единиц.

Пример построения графика

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Как найти точность приближенного значения

Количественного понятия «точность» в науке не существует. Это качественное понятие. При защите диссертаций говорят только о погрешности (например, измерений). И даже если прозвучало слово «точность», то следует иметь в виду весьма расплывчатую меру величины, обратной погрешности.

Инструкция

Небольшой анализ понятия «приблизительное значение». Возможно, что имеется в виду приблизительный результат вычисления. Погрешность (точность) здесь задает сам исполнитель работы. В таблицах эта погрешность указывается, например «до 10 в минус четвертой степени». Если же погрешность относительная – то в процентах или долях процента. Если вычисления велись на основе числового ряда (чаще всего Тейлора) – на основе модуля остаточного члена ряда.

О приблизительных значениях величин часто говорят как об оценочных их значениях. Результаты измерений случайны. Поэтому это те же случайные величины, обладающие своими характеристиками разброса значений, как та же дисперсия или с.к.о. (среднее квадратичное отклонение). В математической статистике вопросам оценок параметров посвящены целые разделы. При этом различают точечные и интервальные оценки. Последние здесь не рассматриваются. Точечную оценку некоторого параметра λ, подлежащего определению договоримся обозначать λ*. Оценки параметров просто вычисляются по каким-то формулам (статистикам), удовлетворяющим своим требованиям, называемыми критериями качества оценки.

Первый критерий называется несмещенность. Имеется в виду то, что среднее значение (математическое ожидание) оценки λ* равно ее истинному значению, то есть M[λ*]=λ. Об остальных критерия качества говорить пока не стоит. Ими иногда и пренебрегают, обосновывая вопрос тем, что самое главное, чтобы оценка достаточно «слабо» отличалась от истины. Поэтому берется основная характеристика разброса – дисперсия оценки и просто вычисляется. Если исследователь принимает самостоятельное решение, что она достаточно мала, то этим и ограничиваются.

Наиболее часто оценивается среднее значение (математическое ожидание). Это среднее выборочное, вычисляемое, как среднее арифметическое имеющихся результатов наблюдений mx*=(1/n)(x1+x2+ … +xn). Легко показать, что М[mx*]=mx, то есть mx* оценка несмещенная. Дисперсию оценки математического ожидания найдите следуя выкладкам, приведенным на рисунке 1а. Так как истинное значение Dх недоступно, взамен возьмите среднюю выборочную дисперсию (см. рис.1b).

Источники:

Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. – М.: Радио и связь, 1982. – 624 с.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник