Как найти точную нижнюю грань множества

Докажем существование верхней точной грани. По условию множество X не пусто, то есть содержит хотя бы один элемент. Возможны два случая:

  1. множество X содержит хотя бы одно неотрицательное число;
  2. все элементы множества X отрицательны.

Первый случай. Предположим, что все элементы множества X неотрицательны. По условию множество X ограничено сверху, а значит выполняется условие eqref{ref1}. Пусть C=c0,c1c2…cn…; тогда c0 — неотрицательное целое число, причем C < c0+1, где c0+1 = n0 ∈ (mathbb{N}). Следовательно, $$forall xin X rightarrow x < C < n_0.label{ref5}$$
Если x=a0,a1a2…=a0,{an} — произвольный элемент множества X, то из eqref{ref5} следует, что 0 ≤ a0 < n0. Рассмотрим множество E целых частей элемента множества X. Так как E — конечное непустое множество целых неотрицательных чисел, то в этом множестве есть наибольший элемент ({overline a}_0). Обозначим,$$X_0=left{xin X: x={overline a}_0,left{a_nright}right}.nonumber$$

Множество X0 состоит из всех тех элементов множества X, у которых целая часть равна ({overline a}_0); множество X0 непустое и X ⊃ X0.

Пусть E1 — множество первых десятичных знаков элементов множества X0. Так как множество E1 конечно (его элементы могут быть числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и непусто, то существует ({overline a}_1=underset{xin X_0}{max} a_1) — наибольший из первых десятичных знаков элементов множества X0.

Пусть (X_1=left{xin X: x={overline a}_0,{overline a}_1a_2…right}); тогда X ⊃ X0 ⊃ X1. Обозначим ({overline a}_2=underset{xin X_1}{max} a_2) наибольший из вторых десятичных знаков элементов множества X1,$$X_2=left{xin X_1: a_2={overline a}_2right}=left{xin X: x={overline a}_0,{overline a}_1{overline a}_2a_3…right}.nonumber$$

Продолжая эти рассуждения, построим последовательность {Xk} непустых множеств и последовательность десятичных знаков ({overline a}_k) таких, что X ⊃ X0 ⊃ X1 ⊃ … X ⊃ X0 ⊃ …,$${overline a}_k=underset{xin X_{k-1}}{max} a_k,nonumber$$

$$X_k=left{xin X_{k-1}: a_k={overline a}_kright}=left{xin X: x={overline a}_0,{overline a}_1…{overline a}_ka_{k+1}…right}nonumber$$

Рассмотрим десятичную дробь (overline x={overline a}_0,{overline a}_1{overline a}_2…={overline a}_0,left{{overline a}_nright}). Покажем, что x = sup X, то есть что

$$forall xin X rightarrow x leq overline x,label{ref6}$$

$$forall x’ < overline x existswidetilde xin X: widetilde x > x’.label{ref7}$$

Возьмем произвольное число x ∈ X и пусть x = a0,{an}. Чтобы проверить выполнение условия eqref{ref6}, рассмотрим три произвольных случая:

$$xnotin X_k при k=0,1,2,…,label{ref8}$$

$$xin X_k при k=0,1,2,…,label{ref9}$$

$$exists m: xin X_{m-1}, xnotin X_{m.}label{ref10}$$

Из eqref{ref8} следует, что (a_0 < {overline a}_0) и поэтому (x < overline x). Если выполнено условие eqref{ref9}, то (a_k={overline a}_k) при k = 0, 1, 2,…, откуда, по определению числа (overline x), справедливо равенство (x=overline x). Наконец из eqref{ref10}, согласно определению множества Xm и числа (x=overline x), следует, что

$$x = {overline a}_0,{overline a}_1…{overline a}_{m-1}a_m… <{overline a}_0,{overline a}_1…{overline a}_{m-1}{overline a}_m(0) leq overline x,nonumber$$

и поэтому (x < overline x). Таким образом, неравенство eqref{ref6} доказано.

Проверим условие eqref{ref7}. Если x’ < 0, то eqref{ref7} имеет место при любом (widetilde xin X), т.к. все элементы множества X неотрицательны.

Пусть (0 leq x’ leq overline x) и (x’=a’_0,left{a’_nright}). Тогда либо (a’_0 < {overline a}_0), либо (a’_k=a_k при k=overline{0, m-1},a’_m < {overline a}_m). В первом случае в качестве (widetilde x) можно взять любой элемент множества X0, так как из условий (a’_0 < {overline a}_0) и (widetilde xin X_0) следует, что

$$x’ < widetilde x={overline a}_0,a_1…a_n… leq overline x, то есть x’ < widetilde x leq overline x и xin X_0subset X.nonumber$$

Во втором случае условию eqref{ref7} удовлетворяет произвольный элемент (widetilde xin X_m), так как

$$x’={overline a}_0,{overline a}_1…{overline a}_{m-1}a’_m… < {overline a}_0,{overline a}_1…{overline a}_{m-1}{overline a}_ma_{m+1}…=widetilde x leq overline x.nonumber$$

Таким образом, (x’ < widetilde x leq overline x), где (widetilde xin X_msubset X). Условие eqref{ref7} проверено.

Итак, условия eqref{ref6} и eqref{ref7} выполняются, то есть x = sup X. То есть мы доказали предположение, что существует точная верхняя грань при предположении, что все элементы множества X неотрицательны.

Если множество X содержит хотя бы один неотрицательный элемент x0 ≥ 0, то множество (left{widetilde X=xin X: x geq x_0right}) состоит из неотрицательных чисел, причем (sup X=sup widetilde X). Поэтому непустое ограниченное сверху числовое множество X имеет точную верхнюю грань.

Второй случай. Если все элементы множества X отрицательны, то произвольный элемент x ∈ X записываются в виде

$$x=-a_0,a_1a_2…a_n…label{ref11}$$

Пусть (a_0^ast) — наименьшее из чисел a0 в записи eqref{ref11} для всех x ∈ X, (a_1^ast) — наименьший из первых десятичных знаков тех элементов множества X, у которых (a_0=a_0^ast); (a_2^ast) — наименьший из вторых десятичных знаков тех элементов множества X, у которых (a_0=a_0^ast, a_1=a_1^ast) и т.д. Указанным способом определяется число (x^ast=-a_0^ast,a_1^ast…a_n^ast…=-a_0^ast,left{a_n^astright}). По аналогии с первым случаем доказывается, что число x* является точной верхней гранью множества.

Источник

Точная верхняя и нижняя грань — обобщение понятий максимума и минимума множества.

Содержание

  • 1 Определения
  • 2 Замечание
  • 3 Примеры
  • 4 Свойства

Определения

Пусть дано частично упорядоченное множество {displaystyle (X,leq )} и его подмножество {displaystyle Msubset X.} Тогда элемент {displaystyle sin X} называется точной верхней гранью или супре́мумом {displaystyle M}, если он является наименьшей верхней гранью {displaystyle M,} то есть

  • {displaystyle forall xin Mquad xleq s;}
  • {displaystyle forall s'in Xquad {bigl (}forall xin Mquad xleq s'{bigr )}Rightarrow {bigl (}sleq s'{bigr )}.}

Аналогично элемент {displaystyle iin X} называется точной нижней гранью или инфимумом {displaystyle M}, если он является наибольшей нижней гранью {displaystyle M,} то есть

  • {displaystyle forall xin Mquad ileq x;}
  • {displaystyle forall i'in Xquad {bigl (}forall xin Mquad i'leq x{bigr )}Rightarrow {bigl (}i'leq i{bigr )}.}

Пишут:

  • {displaystyle s=sup M;}
  • {displaystyle i=inf M.}

Замечание

Эти определения ничего не говорят о том, принадлежат ли {displaystyle sup M} и {displaystyle inf M} множеству {displaystyle M} или нет. Если {displaystyle sin M,} то говорят, что {displaystyle s} является наибольшим элементом или максимумом {displaystyle M.} Если {displaystyle iin M,} то говорят, что {displaystyle i} является наименьшим элементом или минимумом {displaystyle M.}

Примеры

  • На множестве всех действительных чисел больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум. {displaystyle inf } такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум и он равен шести. Вообще говоря, у любого подмножества натуральных чисел существует минимум.
  • Для множества {displaystyle S=left{{frac {1}{k}}|kin {mathbb {N}}right}=left{1,{frac {1}{2}},{frac {1}{3}},dots right}}
{displaystyle sup S=1}; {displaystyle inf S=0}.
  • Множество положительных действительных чисел {displaystyle {mathbb {R}}_{+}={x|x>0}} не имеет точной верхней грани в {displaystyle {mathbb {R}}}, точная нижняя грань {displaystyle inf {mathbb {R}}_{+}=0}.
  • Множество {displaystyle X={xin {mathbb {Q}}|x^{2}<2}} рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в {displaystyle {mathbb {Q}}}, но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то
{displaystyle sup X={sqrt {2}}} и {displaystyle inf X=-{sqrt {2}}}.

Свойства

  • Для любого ограниченного сверху подмножества {displaystyle mathbb {R} }, существует {displaystyle sup }.
  • Для любого ограниченного снизу подмножества {displaystyle mathbb {R} }, существует {displaystyle inf }.
  • Вешественное число {displaystyle s}, является {displaystyle sup X} тогда и только тогда, когда {displaystyle s} есть верхняя грань {displaystyle X} т.е. для всех элементов {displaystyle xin X}, {displaystyle xgeqslant s}.
  • для любого {displaystyle varepsilon >0} найдётся {displaystyle xin X}, такой, что {displaystyle x+varepsilon >s)} (т.е. к {displaystyle s} можно сколь угодно «близко подобраться» из множества {displaystyle X})
  • Аналогичное утверждение верно для точной нижней грани.
Источник

Точная верхняя и нижняя грани

Точная верхняя и нижняя грани

Точная верхняя и нижняя грани

Точная верхняя грань и точная нижняя грань — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Содержание

  • 1 Определения
    • 1.1 Замечание
  • 2 Примеры
  • 3 Свойства
  • 4 Вариации и обобщения
  • 5 Примечания

Определения

Точной верхней гранью, или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества X упорядоченного множества M, называется наименьший элемент M, который равен или больше всех элементов множества X. Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних границ. Обозначается sup X.

Более формально:

S_X={yin Mmidforall xin X!:xleqslant y}! — множество верхних граней X, то есть элементов M, равных или больших всех элементов X
s=sup(X)iff sin S_Xandforall yin S_X!:sleqslant y.

Точной нижней гранью, или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества X упорядоченного множества M, называется наибольший элемент M, который равен или меньше всех элементов множества X. Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается inf X.

Замечание

Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли sup X и inf X множеству X или нет. В случае s=sup Xin X, говорят, что s является максимумом X. В случае i=inf Xin X, говорят, что i является минимумом X.

Примеры

sup S=1; inf S=0.
sup X=sqrt{2} и inf X=-sqrt{2}.

Свойства

Вариации и обобщения

  • Существенный супремум

Примечания

  1. ↑ Строго говоря, у любого подмножества вполне упорядоченного множества существует в силу принципа фундированности минимум.

Wikimedia Foundation.
2010.

Полезное

Смотреть что такое «Точная верхняя и нижняя грани» в других словарях:

  • Точная верхняя и нижняя границы множеств — Точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань)  обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно. Содержание 1 Используемые определения 2 Определения 2.1 …   Википедия

  • Верхняя грань — Точная верхняя грань и точная нижняя грань обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно. Содержание 1 Определения 1.1 Замечание 2 Примеры 3 Свойства …   Википедия

  • Нижняя грань — Точная верхняя грань и точная нижняя грань обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно. Содержание 1 Определения 1.1 Замечание 2 Примеры 3 Свойства …   Википедия

  • Ограниченное множество — В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество  множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай… …   Википедия

  • Ограниченное числовое множество — В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество  множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай… …   Википедия

  • Грань числового множества — Точная верхняя грань и точная нижняя грань обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно. Содержание 1 Определения 1.1 Замечание 2 Примеры 3 Свойства …   Википедия

  • Инфимум — Точная верхняя грань и точная нижняя грань обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно. Содержание 1 Определения 1.1 Замечание 2 Примеры 3 Свойства …   Википедия

  • ЛЕГКИЕ — ЛЕГКИЕ. Легкие (лат. pulmones, греч. pleumon, pneumon), орган воздушного наземного дыхания (см.) позвоночных. I. Сравнительная анатомия. Легкие позвоночных имеются в качестве добавочных органов воздушного дыхания уже у нек рых рыб (у двудышащих,… …   Большая медицинская энциклопедия

  • ВЫПУКЛАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — область (связное открытое множество) на границе выпуклого тела в евклидовом пространстве Е 3. Вся граница выпуклого тела наз. полной В. п. Если тело конечно, то полная В. п. наз. замкнутой. Если тело бесконечно, то полная В. п. наз. бесконечной.… …   Математическая энциклопедия

  • Частично упорядоченное множество — У этого термина существуют и другие значения, см. Упорядоченное множество. Подмножества {x, y, z}, упо …   Википедия

Источник

Определение. Если для подмножества {displaystyle Xin R} {displaystyle exists } {displaystyle b} : {displaystyle xleq } {displaystyle b}, то множество {displaystyle X} называется ограниченным сверху, а число {displaystyle b} — числом, ограничивающим сверху множество {displaystyle X}.

Множество {displaystyle xsubset R} ограниченно сверху {displaystyle Leftrightarrow } {displaystyle exists } {displaystyle b} {displaystyle in R} {displaystyle forall x} {displaystyle in X} : {displaystyle xleq b}.

Определение. Множество, не являющееся ограниченным сверху множеством, называется неограниченным сверху множеством.

Множество {displaystyle xsubset R} не ограниченно сверху {displaystyle Leftrightarrow forall bin Rexists xin X:x>b}.

Определение. Если для подмножества {displaystyle Xin Rexists a:xgeq a}, то множество {displaystyle X} называется ограниченным снизу, а число {displaystyle a} — числом, ограничивающим снизу множество {displaystyle X}.

Множество {displaystyle xsubset R} ограниченно снизу {displaystyle Leftrightarrow exists ain Rforall xin X:xgeq a}.

Определение. Множество, не являющееся ограниченным снизу множеством, называется неограниченным снизу множеством.

Множество {displaystyle xsubset R} не ограниченно снизу {displaystyle Leftrightarrow forall ain Rexists xin X:x<a}.

Определение. Множество, ограниченное и сверху и снизу, называется ограниченным множеством.

Определение. Множество, не являющееся ограниченным, называется не ограниченным множеством.

Определение. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество {displaystyle Xsubset R}, называется его верхней гранью и обозначается через {displaystyle sup x} или {displaystyle sup _{xin X}{x}}.

{displaystyle beta } — верхняя грань множества {displaystyle Leftrightarrow xin X:xleq beta } и {displaystyle forall varepsilon >0exists xin X:x>beta -varepsilon }.

Определение. Наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу множество {displaystyle Xsubset R}, называется его нижней гранью и обозначается через {displaystyle inf x} или {displaystyle inf _{xin X}{x}}.

{displaystyle alpha } — нижняя грань множества {displaystyle Leftrightarrow xin X:xgeq alpha } и {displaystyle forall varepsilon >0exists xin X:x<alpha +varepsilon }.

Пример. {displaystyle {1,{frac {1}{2}},{frac {1}{3}},{frac {1}{4}},{frac {1}{5}},...,{frac {1}{n}},...}=A}, где {displaystyle 1=sup A;0=inf A}.

Теорема. {displaystyle forall } ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.

Доказательство. Пусть {displaystyle X} — ограниченное сверху непустое числовое множество. Обозначим через {displaystyle Y} множество всех чисел, ограничивающих сверху множество {displaystyle X}. Множество {displaystyle X} ограничено сверху, поэтому множество {displaystyle Y} не пусто. Каждый элемент {displaystyle yin Y} ограничивает сверху множество {displaystyle X}, т.е. {displaystyle forall xin X:xleq y}. Элементы {displaystyle x} и {displaystyle y} являются произвольными элементами соответственно множеств {displaystyle X} и {displaystyle Y}, поэтому, в силу свойства непрерывности действительных чисел, {displaystyle exists beta :forall xin X} и {displaystyle yin Y} имеет место неравенство {displaystyle xleq beta leq y}.

Выполнение неравенства {displaystyle xleq beta } означает, что число {displaystyle beta } ограничивает сверху множество {displaystyle X}, а выполнение неравенства {displaystyle beta leq y} для всех {displaystyle yin Y} , т.е. для всех чисел, ограничивающих сверху множество {displaystyle X}, означает, что число {displaystyle beta } является наименьшим среди всех таких чисел, т.е. верхней гранью множества {displaystyle X}: {displaystyle beta =sup X}.

{displaystyle exists }-е верхней грани у ограниченного сверху непустого множества доказано.

Если теперь {displaystyle Y} — непустое ограниченное снизу числовое множество, то отнесём к множеству {displaystyle X} все числа, ограничивающие снизу множество {displaystyle Y}.

Аналогично рассмотренному случаю верхней грани, легко убеждаемся, что, в силу свойства непрерывности действительных чисел, {displaystyle exists alpha :forall xin X} и {displaystyle yin Y} имеет место неравенство {displaystyle xleq alpha leq y}.

Это означает, что {displaystyle alpha =inf Y.} Теорема доказана.

Источник

Точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань) — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Содержание

  • 1 Используемые определения
  • 2 Определения
    • 2.1 Замечание
  • 3 Примеры
  • 4 Теорема о гранях
    • 4.1 Формулировка
    • 4.2 Доказательство
  • 5 Свойства
  • 6 Вариации и обобщения
  • 7 Литература
  • 8 Примечания

Используемые определения[править | править исходный текст]

Мажоранта или верхняя грань (граница) множества ~X — число ~a, такое что forall xin X Rightarrow xleqslant a .
Миноранта или нижняя грань (граница) множества ~X — число ~b, такое что forall xin X Rightarrow xgeqslant b

Определения[править | править исходный текст]

Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества X упорядоченного множества (или класса) M, называется наименьший элемент M, который равен или больше всех элементов множества X. Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается sup X.

Более формально:

S_X={yin Mmidforall xin X!:xleqslant y} — множество верхних граней X, то есть элементов M, равных или больших всех элементов X
s=sup(X)iff sin S_Xandforall yin S_X!:sleqslant y.

Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества X упорядоченного множества (или класса) M, называется наибольший элемент M, который равен или меньше всех элементов множества X. Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается inf X.

Замечание[править | править исходный текст]

Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли sup X и inf X множеству X или нет.

В случае s=sup Xin X, говорят, что s является максимумом X, то есть s=max_{x in X} x.

В случае i=inf Xin X, говорят, что i является минимумом X, то есть i=min_{x in X} x.

Примеры[править | править исходный текст]

sup S=1; inf S=0.
sup X=sqrt{2} и inf X=-sqrt{2}.

Теорема о гранях[править | править исходный текст]

Формулировка[править | править исходный текст]

Непустое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань, ограниченное снизу — нижнюю грань. То есть существуют a и b такие, что

b = sup X begin{cases} forall x, x in X Rightarrow xleqslant b \ forall b', b' < b Rightarrow exists x, x in X and x > b' end{cases} (1.1)
a = inf X begin{cases} forall x, x in X Rightarrow xgeqslant a\ forall a', a' > a Rightarrow exists x, x in X and x < a' end{cases} (1.2)

Доказательство[править | править исходный текст]

Для множества ограниченного сверху. Пусть tilde{b}=tilde{b}_0, tilde{b}_1 dots tilde{b}_n dots  — мажоранта множества ~X, представленная в виде бесконечной десятичной дроби. Множество ~X непусто. Запишем все числа ~x из ~X в виде нормальных десятичных дробей,

~x=x_0,x_1dots x_m dots.

Множество ~X_0={x_0mid x_0,x_1dots x_m dots in X} непусто и ограниченно сверху числом tilde{b_0}, поэтому существует ~max X_0=b_0.

Множество ~X_1 десятичных чисел вида ~b_0, b_1' таких, что среди элементов ~X есть число, представление которого в виде бесконечной десятичной дроби начинается с выражения ~b_0, b_1', непусто и состоит не более чем из десяти элементов, поэтому существует ~X_1=b_0,b_1.

Допустим, что для некоторого номера ~m построено десятичное число b_0,b_1dots b_m такое, что

  1. существует элемент x in X, представление которого в виде бесконечной десятичной дроби начинается с выражения b_0,b_1dots b_m
  2. если x — элемент ~X с представлением x = x_0,x_1dots x_m dots, то
x_0,x_1dots x_mleqslant b_0,b_1dots b_m .

Обозначим ~X_{m+1} множество десятичных чисел вида b_0,b_1dots b_m b'_{m+1}, которые служат начальными выражениями для элементов множества ~X. По определению числа b_0,b_1dots b_m на основании свойства 1 множество ~X_{m+1} непусто. Оно конечно, поэтому существует число b_0,b_1dots b_m b_{m+1}= max X_{m+1}, обладающее свойствами 1-2 с заменой ~m на ~m+1, причем появление ~(m+1)-ого знака после запятой не влияет на величины предшествующих знаков.

На основании принципа индукции для любого ~n оказывается определенной цифра ~b_n и поэтому однозначно определяется бесконечная десятичная дробь

bequiv b_0,b_1 dots b_n dots in mathbb R

Возьмем произвольное число x in X, x=x_0,x_1dots x_n dots. По построению числа b для любого номера n выполняется x_0,x_1dots x_nleqslant b_0,b_1dots b_n и поэтому x leqslant b. Следовательно, выполнена верхняя строчка в правой части соотношения 1.1 (смотри формулировку). Следовательно, b= sup X.

Для множества ~X, ограниченного снизу, рассуждения проводятся аналогично.

Свойства[править | править исходный текст]

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

  • Существенный супремум

Литература[править | править исходный текст]

  • Богданов Ю. С., Кастрица О. А., Сыроид Ю. Б. Математический анализ: Учебное пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.- С. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
  • Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. — Мн.: Издательство БГУ, 1974. — С. 3—8.

Примечания[править | править исходный текст]

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти высшую или низшую степень окисления
  • Как найти расположение центра тяжести
  • Как найти фрагмент в геншин импакт
  • Пропал телефон как найти xiaomi
  • Как найти ссылку моей страницы вконтакте