Как найти точную верхнюю грань множества

Докажем существование верхней точной грани. По условию множество X не пусто, то есть содержит хотя бы один элемент. Возможны два случая:

1. множество X содержит хотя бы одно неотрицательное число;
2. все элементы множества X отрицательны.

Первый случай. Предположим, что все элементы множества X неотрицательны. По условию множество X ограничено сверху, а значит выполняется условие eqref{ref1}. Пусть C=c₀,c₁c₂…c_n…; тогда c₀ — неотрицательное целое число, причем C < c₀+1, где c₀+1 = n₀ ∈ (mathbb{N}). Следовательно, $$forall xin X rightarrow x < C < n_0.label{ref5}$$
Если x=a₀,a₁a₂…=a₀,{a_n} — произвольный элемент множества X, то из eqref{ref5} следует, что 0 ≤ a₀ < n₀. Рассмотрим множество E целых частей элемента множества X. Так как E — конечное непустое множество целых неотрицательных чисел, то в этом множестве есть наибольший элемент ({overline a}_0). Обозначим,$$X_0=left{xin X: x={overline a}_0,left{a_nright}right}.nonumber$$

Множество X₀ состоит из всех тех элементов множества X, у которых целая часть равна ({overline a}_0); множество X₀ непустое и X ⊃ X₀.

Пусть E₁ — множество первых десятичных знаков элементов множества X₀. Так как множество E₁ конечно (его элементы могут быть числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и непусто, то существует ({overline a}_1=underset{xin X_0}{max} a_1) — наибольший из первых десятичных знаков элементов множества X₀.

Пусть (X_1=left{xin X: x={overline a}_0,{overline a}_1a_2…right}); тогда X ⊃ X₀ ⊃ X₁. Обозначим ({overline a}_2=underset{xin X_1}{max} a_2) наибольший из вторых десятичных знаков элементов множества X₁,$$X_2=left{xin X_1: a_2={overline a}_2right}=left{xin X: x={overline a}_0,{overline a}_1{overline a}_2a_3…right}.nonumber$$

Продолжая эти рассуждения, построим последовательность {X_k} непустых множеств и последовательность десятичных знаков ({overline a}_k) таких, что X ⊃ X₀ ⊃ X₁ ⊃ … X ⊃ X₀ ⊃ …,$${overline a}_k=underset{xin X_{k-1}}{max} a_k,nonumber$$

$$X_k=left{xin X_{k-1}: a_k={overline a}_kright}=left{xin X: x={overline a}_0,{overline a}_1…{overline a}_ka_{k+1}…right}nonumber$$

Рассмотрим десятичную дробь (overline x={overline a}_0,{overline a}_1{overline a}_2…={overline a}_0,left{{overline a}_nright}). Покажем, что x = sup X, то есть что

$$forall xin X rightarrow x leq overline x,label{ref6}$$

$$forall x’ < overline x existswidetilde xin X: widetilde x > x’.label{ref7}$$

Возьмем произвольное число x ∈ X и пусть x = a₀,{a_n}. Чтобы проверить выполнение условия eqref{ref6}, рассмотрим три произвольных случая:

$$xnotin X_k при k=0,1,2,…,label{ref8}$$

$$xin X_k при k=0,1,2,…,label{ref9}$$

$$exists m: xin X_{m-1}, xnotin X_{m.}label{ref10}$$

Из eqref{ref8} следует, что (a_0 < {overline a}_0) и поэтому (x < overline x). Если выполнено условие eqref{ref9}, то (a_k={overline a}_k) при k = 0, 1, 2,…, откуда, по определению числа (overline x), справедливо равенство (x=overline x). Наконец из eqref{ref10}, согласно определению множества X_m и числа (x=overline x), следует, что

$$x = {overline a}_0,{overline a}_1…{overline a}_{m-1}a_m… <{overline a}_0,{overline a}_1…{overline a}_{m-1}{overline a}_m(0) leq overline x,nonumber$$

и поэтому (x < overline x). Таким образом, неравенство eqref{ref6} доказано.

Проверим условие eqref{ref7}. Если x’ < 0, то eqref{ref7} имеет место при любом (widetilde xin X), т.к. все элементы множества X неотрицательны.

Пусть (0 leq x’ leq overline x) и (x’=a’_0,left{a’_nright}). Тогда либо (a’_0 < {overline a}_0), либо (a’_k=a_k при k=overline{0, m-1},a’_m < {overline a}_m). В первом случае в качестве (widetilde x) можно взять любой элемент множества X₀, так как из условий (a’_0 < {overline a}_0) и (widetilde xin X_0) следует, что

$$x’ < widetilde x={overline a}_0,a_1…a_n… leq overline x, то есть x’ < widetilde x leq overline x и xin X_0subset X.nonumber$$

Во втором случае условию eqref{ref7} удовлетворяет произвольный элемент (widetilde xin X_m), так как

$$x’={overline a}_0,{overline a}_1…{overline a}_{m-1}a’_m… < {overline a}_0,{overline a}_1…{overline a}_{m-1}{overline a}_ma_{m+1}…=widetilde x leq overline x.nonumber$$

Таким образом, (x’ < widetilde x leq overline x), где (widetilde xin X_msubset X). Условие eqref{ref7} проверено.

Итак, условия eqref{ref6} и eqref{ref7} выполняются, то есть x = sup X. То есть мы доказали предположение, что существует точная верхняя грань при предположении, что все элементы множества X неотрицательны.

Если множество X содержит хотя бы один неотрицательный элемент x₀ ≥ 0, то множество (left{widetilde X=xin X: x geq x_0right}) состоит из неотрицательных чисел, причем (sup X=sup widetilde X). Поэтому непустое ограниченное сверху числовое множество X имеет точную верхнюю грань.

Второй случай. Если все элементы множества X отрицательны, то произвольный элемент x ∈ X записываются в виде

$$x=-a_0,a_1a_2…a_n…label{ref11}$$

Пусть (a_0^ast) — наименьшее из чисел a₀ в записи eqref{ref11} для всех x ∈ X, (a_1^ast) — наименьший из первых десятичных знаков тех элементов множества X, у которых (a_0=a_0^ast); (a_2^ast) — наименьший из вторых десятичных знаков тех элементов множества X, у которых (a_0=a_0^ast, a_1=a_1^ast) и т.д. Указанным способом определяется число (x^ast=-a_0^ast,a_1^ast…a_n^ast…=-a_0^ast,left{a_n^astright}). По аналогии с первым случаем доказывается, что число x^* является точной верхней гранью множества.

Точная верхняя и нижняя грань — обобщение понятий максимума и минимума множества.

Определения

Пусть дано частично упорядоченное множество и его подмножество Тогда элемент называется точной верхней гранью или супре́мумом , если он является наименьшей верхней гранью то есть

Аналогично элемент называется точной нижней гранью или инфимумом , если он является наибольшей нижней гранью то есть

Пишут:

Замечание

Эти определения ничего не говорят о том, принадлежат ли и множеству или нет. Если то говорят, что является наибольшим элементом или максимумом Если то говорят, что является наименьшим элементом или минимумом

Примеры

• На множестве всех действительных чисел больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум. такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум и он равен шести. Вообще говоря, у любого подмножества натуральных чисел существует минимум.
• Для множества

; .

• Множество положительных действительных чисел не имеет точной верхней грани в , точная нижняя грань .
• Множество рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в , но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то

и .

Свойства

• Для любого ограниченного сверху подмножества , существует .
• Для любого ограниченного снизу подмножества , существует .
• Вешественное число , является тогда и только тогда, когда есть верхняя грань т.е. для всех элементов , .
• для любого найдётся , такой, что (т.е. к можно сколь угодно «близко подобраться» из множества )
• Аналогичное утверждение верно для точной нижней грани.

Определение.
Точной
верхней гранью (или
супремумом)
множества
называется
наименьшая из его верхних граней.
Обозначается

Если
то, во-первых,является верхней граньюво-вторых, любое числоне является верхней гранью, то есть:

1. Для любого
   выполняется неравенство

2. Для любого
   найдетсятакой,
   что

Обозначив
получим другую запись пункта 2:

1. Для любого
   найдетсятакой,
   что

Определение.
Точной
нижней гранью (или
инфимумом)
множества
называется
наибольшая из его нижних граней.
Обозначается

Если
то, во-первых,является нижней граньюво-вторых, любое числоне является нижней гранью, то есть:

1. Для любого
   выполняется неравенство

2. Для любого
   найдетсятакой,
   что

Обозначив
получим другую запись пункта 2:

1. Для любого
   найдетсятакой,
   что

Пример. Множеством
верхних граней множества
является множествоНаименьшим элементом множестваявляется 3,Множеством нижних граней множестваявляется множествоНаибольшим элементом множестваявляется 2,

Множеством,
противоположным множеству
называется
множество, обозначаемоесостоящее из элементовгде

Суммой множеств
называется множество, обозначаемоесостоящее из всевозможных суммгде

Теорема. Если
множество
имеет супремум, то множествоимеет инфимум и

Доказательство.
Обозначим
Тогда для любоговыполняется неравенствоТак как для любогонайдётсятакой, чтото для любоговыполняется
неравенствоВозьмём произвольноТогда найдётсятакой, чтоа значит,значит, найдётсятакой, чтоТем самым доказано, что

Упражнение.
Доказать,
что если множество
имеет инфимум, то множествоимеет супремум и

Теорема.
Если
множества
имеют супремум, то множествотакже имеет супремум и

Доказательство.
Обозначим
Произвольноепредставимо в видегдеТогда выполняются неравенстваЗначит,Зададим произвольноТогда найдутсяитакие, чтоТогда для элементавыполняется неравенствоТем самым доказано, что

Следствие.
Если множества
имеют инфимум, то множествотакже имеет инфимум и

Доказательство.
Множества

иимеют супремум, при этомТогда их сумма, равнаяимеет супремум,Множествоимеет инфимум,

Разностью двух
множеств
иназывается сумма множестви

Упражнение.
Доказать,
что если множество
имеет супремум, а множествоимеет инфимум, то множествоимеет супремум, а множествоимеет инфимум. При этом выполняются
равенства

1.1.3. Существование точных граней

Лемма
о сечениях. Если
непустые множества
итаковы, чтои для любых двух элементоввыполняется неравенство(т.е.),
то либо весть наибольший, либо весть
наименьший.

Теорема о
существовании точной верхней грани.
Если непустое множество
ограниченно сверху, то у него существует
супремум.

Доказательство.
Рассмотрим
множество
состоящее из верхних граней множества
Так как

ограниченно
сверху, то
Пусть
— множество чисел, не являющихся верхними
гранями множества

Тогда
Кроме того,
для произвольного
выполняется неравенство
значит
то есть
Покажем, что


Предположим, что это не так, тогда
найдутся
такие, что

(т.к.
).
Но так как
— верхняя
грань, то и
— также верхняя грань, т.е.
Получили
противоречие.

Таким
образом, множества
иудовлетворяют условию леммы о сечениях,
следовательно, весть наибольший или весть
наименьший. Предположим, чтоявляется
наибольшим элементомТак как— не верхняя грань множествато найдётсятакой, чтоРассмотрим числоТогдане является верхней гранью, т.е.нозначитне является наибольшим вПолучили противоречие. Следовательно,
внет наибольшего, значит, весть наименьший элемент, который и
является, согласно определению, точной
верхней гранью (супремумом) множестваТеорема доказана.

Следствие
(существование точной нижней грани).
Если непустое множество
ограниченно снизу, то у него существует
инфимум.

Доказательство.
Если непустое
множество
ограниченно
снизу, то непустое множество
ограниченно
сверху. Тогда существует
а значит, существует

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Точная верхняя и нижняя грани

Полезное

Точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань) — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Точная верхняя и нижняя грани множества [math]displaystyle{ X }[/math] обычно обозначаются [math]displaystyle{ sup X }[/math] (читается супремум икс) и [math]displaystyle{ inf X }[/math] (читается инфимум икс) соответственно.

Используемые определения

Мажоранта, или верхняя грань (граница), числового множества [math]displaystyle{ X }[/math] — число [math]displaystyle{ a }[/math] такое, что [math]displaystyle{ forall xin X Rightarrow xleqslant a }[/math].

Миноранта, или нижняя грань (граница), числового множества [math]displaystyle{ X }[/math] — число [math]displaystyle{ b }[/math] такое, что [math]displaystyle{ forall xin X Rightarrow xgeqslant b }[/math].

Подобным образом вводятся аналогичные понятия для подмножества нечислового частично упорядоченного множества. Эти понятия будут использованы ниже.

Определения

Точной верхней гранью (наименьшей верхней границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий), подмножества [math]displaystyle{ X }[/math] частично упорядоченного множества (или класса) [math]displaystyle{ M }[/math] называется наименьший элемент [math]displaystyle{ M }[/math], который равен или больше всех элементов множества [math]displaystyle{ X }[/math]. Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается [math]displaystyle{ sup X }[/math].

Более формально:

[math]displaystyle{ S_X={yin Mmidforall xin X!:xleqslant y} }[/math] — множество верхних граней [math]displaystyle{ X }[/math], то есть элементов [math]displaystyle{ M }[/math], равных или больших всех элементов [math]displaystyle{ X }[/math];

[math]displaystyle{ s=sup(X)iff S_Xni s;|;forall yin S_X!:sleqslant y. }[/math]

Точной нижней гранью (наибольшей нижней границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий), подмножества [math]displaystyle{ X }[/math] частично упорядоченного множества (или класса) [math]displaystyle{ M }[/math] называется наибольший элемент [math]displaystyle{ M }[/math], который равен или меньше всех элементов множества [math]displaystyle{ X }[/math]. Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается [math]displaystyle{ inf X }[/math].

Замечания

• Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли [math]displaystyle{ sup X }[/math] и [math]displaystyle{ inf X }[/math] множеству [math]displaystyle{ X }[/math] или нет:

в случае [math]displaystyle{ s=sup Xin X }[/math] говорят, что [math]displaystyle{ s }[/math] является максимумом [math]displaystyle{ X }[/math], то есть [math]displaystyle{ s=max X }[/math];

в случае [math]displaystyle{ i=inf Xin X }[/math] говорят, что [math]displaystyle{ i }[/math] является минимумом [math]displaystyle{ X }[/math], то есть [math]displaystyle{ i=min X }[/math].

• Приведенные определения являются непредикативными (ссылающимися на самих себя), поскольку определяемое понятие в каждом из них является элементом множества, через которое оно определяется. Сторонники конструктивизма в математике выступают против использования таких определений, не допуская либо различными методами устраняя элементы «порочного круга» в рамках своих теорий.
• При оценке неизвестных констант используют термины «оценка сверху» и «оценка снизу», при этом оценка сверху является нижней границей некоторого известного множества, а оценка снизу верхней границей. C английского языка термин «upper bound» может переводится и как «оценка сверху», и как «верхняя граница», что иногда приводит к путанице. Аналогична ситуация и с выражением «low bound».

Примеры

• На множестве всех рациональных чисел, больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум. [math]displaystyle{ inf }[/math] такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум, и он равен шести. Вообще говоря, у любого непустого подмножества множества натуральных чисел существует минимум.
• Для множества [math]displaystyle{ S=left{frac{1}{k}mid kinmathbb Nright}=left{1,;frac{1}{2},;frac{1}{3},;ldotsright} }[/math]

[math]displaystyle{ sup S=1 }[/math]; [math]displaystyle{ inf S=0 }[/math].

• Множество положительных рациональных чисел [math]displaystyle{ mathbb{Q}_+={xinmathbb{Q} mid xgt 0} }[/math] не имеет точной верхней грани в [math]displaystyle{ mathbb{Q} }[/math], точная нижняя грань [math]displaystyle{ infmathbb{Q}_+=0 }[/math].
• Множество [math]displaystyle{ X={xinmathbb Qmid x^2lt 2} }[/math] рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в [math]displaystyle{ mathbb Q }[/math], но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то

[math]displaystyle{ sup X=sqrt{2} }[/math] и [math]displaystyle{ inf X=-sqrt{2} }[/math].

Теорема о гранях

Формулировка

Непустое подмножество действительных чисел [math]displaystyle{ A }[/math], ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань; аналогичное [math]displaystyle{ B }[/math], ограниченное снизу, — точную нижнюю грань.
То есть существуют [math]displaystyle{ bar a }[/math] и [math]displaystyle{ underline b }[/math] такие, что:

[math]displaystyle{ bar a = sup A:begin{cases}
forall a in A Rightarrow aleqslant bar a, \
forall bar a’lt bar a ,, exists ain A:a gt bar a’;
end{cases} (1) }[/math]

[math]displaystyle{ underline b = inf B:begin{cases}
forall b in B Rightarrow bgeqslant underline b, \
forall underline b’gt underline b ,, exists b in B: b lt underline b’;
end{cases} (2) }[/math]

Доказательство

Для непустого множества [math]displaystyle{ X }[/math], ограниченного сверху. Для множества, ограниченного снизу, рассуждения проводятся аналогично.

Представим все числа [math]displaystyle{ xin X }[/math] в виде бесконечных десятичных дробей: [math]displaystyle{ x=overline{x_0,x_1dots x_m dots} }[/math], где [math]displaystyle{ x_0inmathbb Ncup{0};; forall iinmathbb N,,x_i }[/math] — цифра.

Множество [math]displaystyle{ X_0={x_0mid forall overline{x_0,x_1ldots x_m ldots} in X} }[/math] непусто и ограниченно сверху по определению [math]displaystyle{ X }[/math]. Так как [math]displaystyle{ X_0subsetmathbb Ncup{0} }[/math] и ограничено сверху, существует конечное число элементов [math]displaystyle{ X_0 }[/math], больших некоторого [math]displaystyle{ tilde{x}_0in X_0 }[/math] (иначе бы из принципа индукции следовала неограниченность [math]displaystyle{ X_0 }[/math] сверху). Среди таких выберем [math]displaystyle{ a_0=max X_0 }[/math].

Множество [math]displaystyle{ X_1={overline{a_0,x_1}midforalloverline{a_0,x_1ldots x_mldots}in X} }[/math] непусто и состоит не более чем из десяти элементов, поэтому существует [math]displaystyle{ a_1=max X_1 }[/math].

Допустим, что для некоторого номера [math]displaystyle{ m }[/math] построено десятичное число [math]displaystyle{ overline{a_0,a_1dots a_m} }[/math] такое, что [math]displaystyle{ exists x in X:x=overline{a_0,a_1ldots a_mldots} }[/math], причём [math]displaystyle{ forall x in X:x=overline{x_0,x_1ldots x_mldots}Rightarrow overline{x_0,x_1ldots x_m}leqslant overline{a_0,a_1ldots a_m} }[/math] (десятичная запись всякого элемента исходного множества до [math]displaystyle{ m }[/math]-го знака после запятой не превосходит [math]displaystyle{ overline{a_0,a_1dots a_m} }[/math], причём существует хотя бы 1 элемент, десятичная запись которого начинается с [math]displaystyle{ a_0,a_1dots a_m }[/math]).

Обозначим [math]displaystyle{ X_{m+1}={overline{a_0,ldots a_{m+1}}midforalloverline{a_0,ldots a_{m+1}ldots}in X} }[/math] (множество из элементов [math]displaystyle{ X }[/math], начинающихся в десятичной записи с [math]displaystyle{ a_0,a_1dots a_m a_{m+1} }[/math]). По определению числа [math]displaystyle{ overline{a_0,a_1ldots a_m} }[/math], множество [math]displaystyle{ X_{m+1} }[/math] непусто. Оно конечно, поэтому существует число [math]displaystyle{ overline{a_0,a_1dots a_m a_{m+1}}= max X_{m+1} }[/math], обладающее теми же свойствами, что и [math]displaystyle{ a_m }[/math].

Таким образом, согласно принципу индукции, для любого [math]displaystyle{ n }[/math] оказывается определенной цифра [math]displaystyle{ a_n }[/math] и поэтому однозначно определяется бесконечная десятичная дробь

[math]displaystyle{ aequiv overline{a_0,a_1 ldots a_n ldots} in mathbb R }[/math].

Возьмем произвольное число [math]displaystyle{ x in X, x=overline{x_0,x_1dots x_n dots} }[/math]. По построению числа [math]displaystyle{ a }[/math], для любого номера [math]displaystyle{ n }[/math] выполняется [math]displaystyle{ overline{x_0,x_1dots x_n}leqslant overline{a_0,a_1dots a_n} }[/math] и поэтому [math]displaystyle{ x leqslant a }[/math]. Поскольку рассуждение выполнено [math]displaystyle{ forall xin X }[/math], то [math]displaystyle{ a= sup X }[/math], причём вторая строка определения оказывается выполненой из построения [math]displaystyle{ a }[/math].

Выберем [math]displaystyle{ a’lt a }[/math]. Нетрудно видеть, что хотя бы одна цифра в десятичной записи [math]displaystyle{ a’ }[/math] меньше соответствующей в записи [math]displaystyle{ a }[/math]. Рассмотрим полученое [math]displaystyle{ X_i }[/math] по первому номеру такой цифры. Поскольку оно не пусто, [math]displaystyle{ exists xin X_isubset X:xgt a’ }[/math].

Доказательство, использующее принцип полноты

Для непустого множества [math]displaystyle{ X }[/math], ограниченного сверху, рассмотрим [math]displaystyle{ overline X }[/math] — непустое множество верхних граней [math]displaystyle{ X }[/math]. По определению, [math]displaystyle{ overline xgeqslant x,forall xin X,forall overline xinoverline X }[/math] (множество [math]displaystyle{ X }[/math] лежит левее [math]displaystyle{ overline X }[/math]). Согласно непрерывности, [math]displaystyle{ exists cinmathbb R:forall xin Xleqslant cleqslant foralloverline xinoverline X }[/math]. По определению [math]displaystyle{ overline X }[/math], в любом случае [math]displaystyle{ cin overline X }[/math] (иначе [math]displaystyle{ overline X }[/math] — не множество верхних граней, а лишь какое-то его подмножество). Так как [math]displaystyle{ c }[/math] является наименьшим элементом [math]displaystyle{ overline X }[/math], то [math]displaystyle{ c=sup X }[/math].

Проверим вторую строку определения. Выберем [math]displaystyle{ c’lt c }[/math]. Пусть [math]displaystyle{ notexists xin X:xgt c’ }[/math], тогда [math]displaystyle{ forall xin X:xleqslant c’ }[/math], а это значит, что [math]displaystyle{ c’inoverline X }[/math], но [math]displaystyle{ c’lt c }[/math], а [math]displaystyle{ c }[/math] — наименьший элемент [math]displaystyle{ overline X }[/math]. Противоречие, значит [math]displaystyle{ exists xin X:xgt c’ }[/math]. Вообще говоря, рассуждение верно [math]displaystyle{ forall c’ }[/math].

Для множества, ограниченного снизу, рассуждения аналогичны.

Свойства

• По теореме о гранях для любого ограниченного сверху подмножества [math]displaystyle{ mathbb{R} }[/math] существует [math]displaystyle{ sup }[/math].
• По теореме о гранях для любого ограниченного снизу подмножества [math]displaystyle{ mathbb{R} }[/math] существует [math]displaystyle{ inf }[/math].
• Вещественное число [math]displaystyle{ s }[/math] является [math]displaystyle{ sup X }[/math] тогда и только тогда, когда:

[math]displaystyle{ s }[/math] есть верхняя грань [math]displaystyle{ X }[/math], то есть для всех элементов [math]displaystyle{ xin X }[/math], [math]displaystyle{ xleqslant s }[/math];

для любого [math]displaystyle{ varepsilongt 0 }[/math] найдётся [math]displaystyle{ xin X }[/math], такой, что [math]displaystyle{ x+varepsilon gt s }[/math] (то есть к [math]displaystyle{ s }[/math] можно сколь угодно «близко подобраться» из множества [math]displaystyle{ X }[/math], а при [math]displaystyle{ sin X }[/math] очевидно, что [math]displaystyle{ s+varepsilon gt s }[/math]).

• Утверждение, аналогичное последнему, верно и для точной нижней грани.

Вариации и обобщения

• Существенный супремум

Литература

• Богданов Ю. С., Кастрица О. А., Сыроид Ю. Б. Математический анализ: Учебное пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.- С. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
• Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. — Мн.: Издательство БГУ, 1974. — С. 3—8.
• У. Рудин. Основы математического анализа. — М.: Мир, 1976. — 320 с.