Как найти ток в магнитной цепи

Ток или поток? Магнитные цепи и их основные характеристики

Привет, Хабр! С недавнего времени я стал задумываться об актуальности статей и заметил, что на Хабре нет ни одной обзорной статьи про магнитные цепи. Как так!? Ведь это… а что это такое?

Действительно, наверняка даже самые отстраненные от инженерного дела люди имеют представление о том, что такое электрические цепи, но возможно, что про магнитные цепи не слышали вовсе. Каждый школьник когда-то в учебнике физики наблюдал разные схемы и формулы, описывающие законы Ома. Но магнитные цепи в рамки школьного курса не входят.

Я решил написать данную статью, чтобы показать, насколько удивителен мир физики и заинтересовать школьников в её изучении. В данной статье, однозначно, для полноты вещей будут и выводы формул и использование некоторых математических операций, которые могут быть известны не всем, но такие моменты я постараюсь сгладить. Приступим.

Что нужно вспомнить?

Для более четкого представления сей статьи, неплохо бы вспомнить основные характеристики самого магнитного поля: вектор магнитной индукции, вектор напряженности, поток вектора магнитной индукции — а также нужно вспомнить немного про магнитные вещества, а именно про ферромагнетики.

Полагается, что вам известен обобщенный закон Ома и помнится, что такое ток, напряжение и сопротивление. Если нет, то крайне советую обратиться к сторонним ресурсам, чтобы иметь хотя бы общее представление о том, что последует далее. Крайне советую учебник И.Е. Иродова «Электромагнетизм».

Применение магнитных цепей

Магнитные цепи находят очень большое поле применения, а именно, они используются для надежного пропускания магнитного потока по специальному проводнику с минимальными или, в некоторых случаях, определенными потерями. В электротехнической промышленности широко используется взаимная зависимость магнитной и электрической энергий, переход из одного состояния в другое. На подобном принципе работают, например, трансформаторы, разные электродвигатели, генераторы и другие устройства.

Конечно, можно продолжительное время говорить об устройствах, разных типах магнитопроводов (про которые речь пойдет далее), но наша первичная цель — рассмотреть выводы основных характеристик магнитных цепей. Продолжаем!

Как устроены магнитные цепи?

Магнитную цепь, на самом деле, не так сложно представить, как может показаться человеку, который о них впервые слышит. Обычно магнитные цепи представляют из себя некоторые фигуры из ферромагнитного сердечника с источником или несколькими источниками ПОтока. Пожалуй, один из самых простых примеров с одним источником, который можно взять на вооружение, проиллюстрирован ниже:

Перед продолжением обусловимся, что среди электротехников сердечник называют магнитопроводом. Часть магнитопровода, на которой отсутствуют обмотки и которая служит для замыкания магнитной цепи, называется «ярмо».

Начнем с тороидального сердечника. Такой тороидальный сердечник может служить формой для катушки, как бы странно это не звучало. Но что за катушка? Ну, первое что приходит в голову — провод, образующий витки. Хорошо, но какого его предназначение? Вернемся к электрическим цепям и вспомним, что существуют источники тока / напряжения, так называемые активные элементы. Так вот, в магнитных цепях роль источника выполняют катушки с током, накрученные на основной элемент магнитной цепи — ферромагнитный магнитопровод.

Вспомним теперь про ферромагнитные материалы. Почему именно они? Дело в том, что благодаря высокому значению магнитной проницаемости, что сигнализирует о хорошей намагниченности ферромагнетика, силовые линии магнитного поля практически не выходят за пределы сердечника, либо не выходят вовсе. Однако это будет справедливо лишь тогда, когда наш сердечник замкнутый, либо имеет небольшие зазоры. То есть, ферромагнетики обладают сильно выраженными магнитными свойствами, когда как у парамагнетиков и диамагнетиков они значительно слабее, что можно наблюдать на следующем графике зависимости намагниченности от напряженности магнитного поля:

Вещества, которые входят в конструкцию магнитопровода, могут обладать не только сильномагнитными свойствами, но также и слабомагнитными. Однако мы рассматриваем сердечник из ферромагнитного материала.

Ещё из школьного курса мы представляем себе картину с линиями магнитной индукции соленоида, мы можем визуально представить его поле и понимаем, что концентрация силовых линий, их насыщенность, наибольшая в центре рассматриваемого соленоида. Тут очень важно вспомнить правило буравчика, чтобы правильно указать направление силовых линий.

Отсюда становится ясно, что катушки-источники порождают магнитное поле, а следовательно и поток линий магнитной индукции. Такие линии будут циркулировать по нашему сердечнику, словно повторяя его форму. Именно поэтому нам важно условие замкнутости сердечника и материал, из которого он сделан. Положим, что наш воображаемый сердечник замкнут. Из этого следует, что и силовые линии замкнуты, а следовательно выполняется теорема Гаусса для магнитного поля, которая гласит: поток линий магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю. Стоит учесть, что поток адаптируется под площадь сечения.*

Ну и в конечном счете ферромагнитный сердечник поток куда-то передает! Аналогичным образом замкнутый проводник позволяет передать электрический ток.

Отлично! Мы разобрались с тем, что такое магнитные цепи и даже вспомнили про теорему Гаусса и ферромагнетики. Теперь поговорим о том, какие следствия вытекают из теоремы Гаусса и возможности пренебрежения полем вне сердечника и в зазорах.

1] Магнитные потоки Ф₁ и Ф₂ через произвольные сечения будут равны между собой.

2] В узле (разветвлении) сердечника алгебраическая сумма потоков (с учетом их направлений) будет равна нулю… Мне одному это что-то напоминает?

То есть мы окончательно сформулировали, что замкнутая (или почти замкнутая) система из ферромагнитных сердечников может рассматриваться как проводящая цепь. В нашем случае — магнитная.

Расчет магнитных цепей

Теперь внимание. Мы можем провести прямую аналогию и рассматривать магнитный поток в цепи, как характеристику электрической цепи — силу тока. Рассмотренное второе следствие означает, что для магнитной цепи, также как и для электрической, справедливо первое правило Кирхгофа. Отсюда можно лаконично перейти к закону полного тока, который в рамках классического магнетизма будет выглядеть следующим образом (приготовьтесь, немного математики):

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру от напряженности магнитного поля будет равен алгебраической сумме токов, сцепленных (окруженных) данным контуром.

Также мы помним, что напряженность магнитного поля связана с магнитным потоком следующим образом:

Руководствуясь приведенным законом полного тока и определением напряженности через магнитный поток, мы можем переписать закон полного тока относительно магнитного потока.

Откуда в уравнении появился и что символизирует аргумент l? Все просто. Так как мы рассматриваем контур L, то логично предположить, что на разных его участках наши показатели могут принимать разные значения: площадь сечения может изменяться, как и магнитная проницаемость или магнитный поток.

Полученное уравнение можно рассматривать как второй закон Кирхгофа, который, напомню, звучит следующим образом:

В любой момент времени алгебраическая сумма напряжений на ветвях контура равна нулю.

Для полной ясности, проведем аналогию между электрическими и магнитными цепями, а также их величинами.

Именно проведя аналогичное представление для электрической цепи, мы можем рассчитывать магнитные цепи. Для того, чтобы это сделать, следует:

• Мысленно разбить сердечник на отдельные однородные участки (непрерывные, с постоянным сечением) без разветвлений и определить их магнитные сопротивления;

• Построить эквивалентную электрическую цепь, последовательно заменяя участки магнитной цепи участками электрической с электрическими сопротивлениями, а также заменяя индуктивности (катушки) на источники ЭДС;

• После обозначения заданных сопротивлений и ЭДС, можем вычислить в общем токи в элементах электрической цепи;

• Произвести замену полученных величин согласно таблице (токи в потоки, ЭДС в МДС [Магнитодвижущую силу / Ампер-витки], а электрическое сопротивление в магнитное сопротивление).

Именно таким образом, мы можем рассчитать характеристики магнитной цепи. Полученные результаты позволяют, например, вычислить индуктивности.

А примеры расчетов будут?

Здесь — нет. А по ссылке — да! В данном документе Самарского государственного технического университета рассмотрены базовые примеры, которые позволят лучше разобраться в теме, если она вас заинтересовала. Помимо всего прочего, там же приведены теоретические справки. Советую прочитать в надежде, что вы сможете для себя что-то новое подчерпнуть.

Заключение

Во-первых, спасибо, что дочитали статью! Один из способов поддержать меня как автора — подписаться на мой паблик Вконтакте, где иногда выходят «локальные статьи».

Во-вторых, вернемся к началу статьи. Там я задался целью показать, почему физика удивительна. Не хочу быть многословным, поэтому просто попрошу вспомнить все то, что было описано выше. Мы оперировали моделями, которые относятся к разделу физики электричества и перенесли их на физику магнетизма. Наверняка, вы замечали, насколько часто встречаются элементы механики в иных разделах. Это по истине удивительно! Однако главное не поработиться иллюзией, что в мире все законы нам предельно известны…

Содержание:

Расчет магнитных цепей:

Большинство электротехнических устройств (машины, трансформаторы, реле и др.) основано на использовании магнитного поля. Главной частью этих устройств является магнитная цепь, т. е. совокупность тел, большей частью ферромагнитных, в которых создается магнитный поток намагничивающей силой обмоток, обтекаемых током, или с помощью постоянных магнитов.

Расчет магнитной цепи заключается в установлении связи между магнитным потоком, током в обмотках, числом витков и геометрическими размерами цепи с учетом магнитных свойств материалов, из которых она выполнена. Если магнитная цепь состоит из участков с постоянными сечениями по их длине, применяется приближенный метод, основанный на допущении равномерного распределения потока по сечению магнитной цепи.
Самой простой магнитной цепью этого типа является тороид, средний диаметр которого значительно больше поперечных размеров магнитопровода (см. рис. 1.14). Поток тороида

где F —wl — намагничивающая сила (н. с.), l — длина средней линии, а величина

Подобно направлениям и I в электрических цепях нужно ввести положительные направления F и Ф в магнитных цепях. За положительное направление потока принимается то, которое связано с направлением намагничивающего тока правилом правого винта. Положительное направление и. с. в рассмотренной простой магнитной цепи совпадает с направлением потока Ф.

Для разветвленной магнитной цепи, например цепи рис. 5.1, а, могут быть получены зависимости, аналогичные законам Кирхгофа, если заменить токи I на потоки Ф, э. д. с. на н. с. F, электрические сопротивления R на магнитные сопротивления R_m. Тогда для узлов магнитной цепи по аналогии с первым законом Кирхгофа алгебраическая сумма

выражает принцип непрерывности магнитного потока. Для контуров по аналогии со вторым законом Кирхгофа

Здесь также должны быть учтены направления F_k и Ф_k.

Расчетная аналогия между электрическими и магнитными цепями не распространяется на физические процессы. В отличие от э. д. с., которая движет в проводниках элементарные заряды, н. с. движения не вызывает. В соответствии с законом Джоуля — Ленца в электрической цепи происходит непрерывная затрата электрической энергии; постоянное магнитное поле, раз созданное, не требует энергии для своего поддержания. В электрической цепи возможно существование э. д.с. без тока, когда цепь разомкнута, т.е. R =, в магнитной цепи при наличии н. с. всегда существует замкнутый магнитный поток, т. е. R_m в бесконечность не обращается.

Для магнитных цепей представляет интерес как прямая задача — нахождение потока по заданной н. с., так и обратная задача — определение потребных н. с. по заданному потоку в одном из участков.

Расчет линейных магнитных цепей

В ряде устройств их магнитные цепи работают на практически прямолинейном участке основных кривых намагничивания, т. е. могут рассматриваться как линейные.
В линейной магнитной цепи магнитная проницаемость участков постоянна и, следовательно, их магнитное сопротивление также является величиной постоянной. Решение как прямой, так и обратной задачи требует предварительного определения магнитного сопротивления участков цепи.

Расчет неразветвленной магнитной цепи постоянного сечения выполняется аналогично тороиду ; здесь l — также длина средней линии. Необходимо отметить, что наличие магнитного рассеяния приводит к неравномерному распределению потока вдоль магнитной цепи и расчет крайне затрудняется. В дальнейшем рассматривается только приближенный учет рассеяния.

Если разветвленная магнитная цепь (рис. 5.1, а и 5.2, а) представляет собой соединение призматических или цилиндрических участков, выполненных из материалов с различной ц, вычисление магнитных сопротивлений участков производится однозначно. Если материал всей цепи один и тот же, разделение ее на участки в известных пределах произвольно; средние линии показаны пунктиром.
После определения сопротивлений участков можно весьма наглядно
изобразить магнитную цепь наподобие электрической, как это сделано
на рис. 5.1, б для магнитной цепи рис. 5.1, а с двумя н. с. и на рис. 5.2, б для магнитной цепи рис. 5.2, а с одной н. с.

В таких цепях должны быть указаны положительные направления н. с. и магнитных потоков. Если не все направления известны, ими следует задаться с тем, чтобы в результате расчета определить правильные направления.
Расчет линейной цепи как для прямой, так и для обратной задачи выполняется подобно расчету электрической цепи аналогичными методами — по зависимостям, аналогичным законам Кирхгофа, методами преобразования магнитных цепей, контурных потоков, наложения, взаимности и узловых магнитных напряжений. Так, для цепи рис. 5.2, пользуясь методом преобразования, можно написать:

Расчет нелинейных магнитных цепей

 Неразватвленная нелинейная (ферромагнитная) цепь:

В электротехнике самое широкое применение нашли магнитные цепи из ферромагнитных материалов, так как они имеют относительно малое магнитное сопротивление. Это позволяет при заданном магнитном потоке соответственно уменьшить н. с. при тех же размерах магнитопровода или размеры магнитопровода при той же н. с. Ферромагнитные цепи нелинейны, так как их магнитная проницаемость является функцией напряженности поля. К таким цепям можно применять методы расчета, аналогичные тем, которые были изложены в гл. 4-для электрических нелинейных цепей.

Далее рассматривается наиболее простой, но весьма важный для практики графо-аналитический метод расчета обратной задачи, для неразветвленной магнитной цепи. Пусть задана та индукция В_в, которую надо получить в воздушном зазоре электромагнита с участками магнитопровода, выполненными из разных материалов (рис. 5.3). Требуется найти необходимую н. с.

По заданным размерам магнитопронода проводится средняя линия пути потока во всех участках и определяется длина каждого из них. Длина d воздушного зазора должна быть задана.
Затем определяется полезный поток в воздушном зазоре

где S_B — его сечение, принимаемое равным сечению полюсов, т. е. участков l и 5.
Поток Ф_м в магнитопроводе за счет рассеяния у краев воздушного зазора несколько больше:

Ф_м = σФ_В,

где σ — коэффициент рассеяния; величина его зависит от формы
магнитопровода и лежит в пределах от 1,1 до 1,4.
По индукции в каждом из k участков магнитопровода

находят напряженность поля Н_к для каждого из участков по основным кривым намагничивания В (Н) соответствующих материалов (рис. 5.4).

Для воздушного зазора напряженность поля

Затем для отдельных участков магнитопровода и для воздушного зазора находят н. с.

и их суммированием — полную н. с. . Для магнитной цепи рис. 5.3, так как участки l и 5, а также 2 и 4 одинаковы, полная н. с.

По найденной н. с. и по заданному напряжению U, питающему обмотку, приближенно может быть найдено число витков w. Так как длина витков обмотки различна — внутренних меньше, наружных больше, то расчет начинается с определения длины среднего витка l_ср по известным размерам магнитопровода и выбранному расположению обмотки. Тогда из закона Ома

(где р — удельное сопротивление материала обмотки) определяется сечение провода

По сортаменту проводов выбирают ближайшее большее сечение S_c провода и определяют сечение провода с изоляцией S_из. После этого можно найти число витков по отношению площади окна (за вычетом сечения каркаса катушки и пр.) к сечению провода с изоляцией S₀

где а — коэффициент заполнения, учитывающий воздушные промежутки, остающиеся между проводами при намотке катушки; его величина лежит в пределах от 0,7 до 0,85 и зависит от формы сечения провода (для круглого меньше, для прямоугольного больше). Затем из приведенного выражения определяется плотность тока в обмотке:

Если полученная плотность тока превышает допустимую по нагреву, то это значит, что размеры магнитной цепи (площадь окна) не позволяют получить заданную индукцию.

Прямая задача расчета этой магнитной цепи — нахождение индукции в воздушном зазоре по заданной н. с. — решается графическим методом. В соответствии с указанной в  аналогией, вольтамперным характеристикам U (I) электрических цепей соответствуют ампервеберные характеристики F (Ф) магнитных цепей.

Построение характеристик F_k(Ф_k) для отдельных участков магнитной цепи производят по кривым намагничивания В_к(Н_к) материала участка. Для этого ординаты В_к кривой намагничивания умножают на площадь сечения участка S_k и откладывают B_kS_k = Ф_k по оси абсцисс; абсциссы кривой намагничивания Н_к умножают на длину участка I_к и откладывают H_kl_k = F_k по оси ординат.

Для воздушного зазора получается прямая линия, в уравнении которой учитывается, что рассеяние увеличивает реальное сечение потока по сравнению с сечением S_B полюсов, примерно в σ раз, т. е. ординаты прямой В_в = умножают на S_Bσ и откладывают по оси абсцисс, а абсциссы Н_в умножают на длину воздушного зазора d и откладывают H_Bd =F_B по оси ординат.

Для магнитной цепи рис. 5.3 по ампервеберным характеристикам отдельных участков (одинаковые участки l и 5, а также 2 и 4 можно объединить), суммированием н. с. F (ординат) для разных значений потока (абсцисс) строится ампервеберная характеристика F (Ф) всей цепи (рис. 5.5).

При этом целесообразно начать построение для предельного значения потока Ф_m, которое можно вычислить для заданной н. с. F’, если пренебречь магнитным сопротивлением магнитопровода по сравнению с магнитным сопротивлением R_mB воздушного зазора:

Затем по кривой F(Ф) для заданного значения н. с. F’ находится значение Ф’, а затем искомая индукция в воздушном зазоре

а также индукция в любом участке цепи:

Разветвленная нелинейная (ферромагнитная) цепь

Пренебрегая рассеянием, решается обратная и прямая задачи расчета разветвленной магнитной цепи, изображенной на рис. 5.2, а. Каждый из трех участков этой цепи имеет свое сечение S_k, среднюю длину 1_к и выполнен из своего материала. Выбранные направления потоков показаны на рис. 5.2, а.
Пусть в обратной задаче необходимо найти н. с. F, обеспечивающую заданное значение индукции В₃ в третьем участке намагничивания поля.

Сначала находят поток Ф₃ = B₃S₃, а по кривой намагничивания В₃ (Н₃) для материала третьего участка определяют напряженность поля Н₃ и н. с. F₃ = H₃l₃. Так как участки 2 и 3 соединены параллельно, то F₃ = F₂ = H₂l₂; отсюда вычисляют , а по кривой намагничивания В₂ (H₂) находят соответствующее значение магнитной индукции В₂ и поток Ф₂ = B₂S₂.

Затем по аналогу первого закона Кирхгофа определяют поток Ф₁ = Ф₂ + Ф₃, индукцию и по кривой В₁(H₁) — напряженность поля Н_1, а по ней — н. с.

На основании аналога второго закона Кирхгофа искомая н. с. F = F₁ + F₂.
Прямая задача нахождения В₃ по заданной н. с. F’ решается построением ампервеберной характеристики всей цепи по характеристикам отдельных участков F_k (Ф_к) (рис. 5.6), построенных аналогично указанному в п. 1 этого
параграфа. Сначала сложением потоков Ф₂ и Ф₃ (абсцисс) параллельно соединенных участков для одинаковых значений н. с. (ординат) строят кривую F_2з (Ф).

Затем для последовательно соединенных участков l и 2, 3 складывают н. с. (ординаты) F₁ и F₂₃, что дает амперментную характеристику F (Ф) всей цепи. По этой кривой для заданной н. с. F’ находят поток Ф ‘, которому на кривой F₂₃(Ф) соответствует н. с. F₂₃ = F₃, а для нее по кривой F₃(Ф) определяется поток Ф₃, откуда искомая индукция

Аналогия с электрическими цепями может быть использована и для расчета более сложных магнитных цепей, например цепей с последовательно параллельным соединением участков, имеющих несколько обмоток с токами (см. рис. 5.1). В этом случае должны быть применены построения, изложенные  для электрических цепей, содержащих источники напряжения.
Расчет потоков рассеяния можно выполнить для некоторых простых случаев методами теории электромагнитного поля (см. ч. IV).

Расчет цепи с постоянным магнитом

Постоянные магниты применяются в измерительных приборах, магнето, электрических машинах без возбуждения постоянным током, поляризованных реле, устройствах автоматики и телемеханики и т.д.
Широкому применению постоянных магнитов способствуют большие успехи, достигнутые мировой техникой в деле изготовления высоко качественных магнитнотвердых материалов, имеющих большую коэрцитивную силу Н_с и остаточную индукцию В_r.

При изготовлении тороидального магнита после снятия с ферромагнитного тороида намагничивающей его обмотки, в нем создают зазор d, получая таким образом постоянный магнит длиной I и сечением 5 (рис. 5 7). Основной характеристикой магнита является часть петли гистерезиса, лежащая во втором квадранте, — кривая размагничивания (рис. 5.8) в координатах В (Н) или пропорциональных им величинах Ф (F), так как Ф = BS, a F= HI.

При отсутствии зазора остаточный поток и индукция в тороиде равны соответственно Ф, и В_г, а напряженность поля Н = 0, так как при отсутствии обмотки с током по закону полного тока

При наличии воздушного зазора также

где F_M — н. с. магнита, F_B — н. с. воздушного зазора.
Предполагая сохранение однородности поля в магните и зазоре,

Тогда

Магнитное сопротивление при появлении зазора увеличивается.

Из-за этого магнитный поток и индукция должны уменьшиться по сравнению с Ф, и В_г, т. е. рабочая точка на кривой размагничивания должна несколько опуститься, где ей будут соответствовать отрицательные значения н. с. F_M и напряженности поля Н_M в сердечнике магнита.

Из-за постоянства магнитного сопротивления зазора

где S_B — сечение зазора; зависимость потока Ф_B в нем от величины н. с.
F_B = R_MФ_в изображается прямой линией, проходящей через начало координат (см. рис. 5.8) и образующей угол а с осью ординат, определяемый соотношением
где коэффициент k равен отношению масштабов по осям абсцисс и ординат. Ее наклон к оси абсцисс тем больше, чем больше R_M, т. е. чем
больше зазор d. При пренебрежении рассеянием потоки Ф_в и Ф_м равны между собой и рабочая точка п, определяющая искомый поток магнита, лежит на пересечении прямой Ф_в (— F_в) с кривой размагничивания Ф_м(—Ф_м).

Таким образом, поток магнита тем меньше остаточного потока Ф_r, чем больше зазор d.

Энергия магнитного поля в зазоре, учитывая соотношение между

т. е. равна энергии внутри магнита.
Вопрос о наивыгоднейшем положении рабочей точки n на кривой размагничивания определяется энергетическими соображениями — магнит должен работать в таком режиме, чтобы энергия магнитного поля в зазоре была максимальной.

Эта энергия, пропорциональная в каждой точке кривой размагничивания произведению ее ординаты на ее абсциссу, графически представлена как функция индукции в первом квадранте рис. 5.9, где по оси абсцисс отложена энергия. Для всех магнитнотвердых материалов по данным опыта с достаточной степенью точности можно принять, что рабочая точка m, соответствующая максимуму энергии, лежит на пересечении кривой размагничивания с диагональю прямоугольника, построенного на В_r и H_c.

В технике применяются также магниты сложной формы с неоднородным полем и большим рассеянием, из-за чего их расчет значительно усложняется. В реальных условиях использования постоянного магнита в его зазор вводятся дополнительные детали из магнитномягкого материала.

Так, например, в зазоре постоянного магнита в измерительном приборе
магнитоэлектрической системы (см. рис. 2.12) расположены ферромагнитные полюсные наконечники и цилиндрический сердечник.

Введение этих деталей вызывает уменьшение зазора и его магнитного
сопротивления. Магнитным сопротивлением самих деталей можно пренебречь.
Если магниту без деталей соответствовала индукция В₁ (рис. 5.10) при , то введение деталей, уменьшив магнитное сопротивление до величины из-за гистерезиса увеличит индукцию не до точки B₂ лежащей на кривой размагничивания, а до В₂, лежащей на той же прямой ОВ₂ и но ниже точки В₂. Переход к новому значению индукции будет происходить по кривой В₂аВ₁. Если эти детали удалить, обратный переход идет по кривой В₂bВ₁. Кривая называется частной петлей гистерезиса.
Так ка практически эта петля очень узка, то ее часто заменяют прямой возврата B₁B₂.

Такие переходы имеют место в электрических машинах с постоянными магнитами, в телефонных индукторах, магнето и т. п. Магнитное сопротивление воздушного зазора этих машин изменяется при вращении ротора, так как последний имеет сложную форму.

Магнитное поле и его параметры

Если магнитную стрелку поместить около проводника, по которому проходит ток, то на стрелку будут действовать силы, заставляющие стрелку установиться в определенном направлении. Если проводник с током вращать вокруг оси, перпендикулярной оси проводника, то и стрелка будет вращаться вместе с проводником.

Пространство, в котором обнаруживается действие сил на магнитную стрелку или ток, называется магнитным полем, магнитное поле создается электрическим током. Следовательно, магнитное поле и электрический ток неразрывно связаны. Магнитное поле не может существовать без электричекого тока.

За направление магнитного поля принимается направление, в котором устанавливается северный конец магнитной стрелки, расположенной в этом магнитном поле.

Для наглядности магнитное поле изображается магнитными линиями, которые в отличие от электрических линий всегда замкнуты. В качестве примера на рис. 7.1а приведены магнитные линии постоянного магнита прямоугольной формы.

Направление магнитных линий, т.е. направление магнитного (МП), и направление тока в проводниках различной конфигурации, создающего это поле, связаны правилом буравчика, прямого тока правило буравчика формулируется так: если поступательное движение буравчика совпадает с направлением прямого тока, то вращательное движение рукоятки буравчика при прямом указывает направление магнитного поля. Магнитное поле прямого тока, т. е. тока в прямолинейном проводнике, показано на рис. 7.1б.

Для кругового тока: если вращательное движение буравчика совпадает с направлением кругового тока, то поступательное движение буравчика при этом указывает направление магнитного поля. Поле кругового тока изображено на рис. 7.1 в.

На рис. 7.1г изображено магнитное поле, созданное током в цилиндрической катушке. Магнитное поле цилиндрической катушки с током аналогично магнитному полю прямоугольного магнита (рис. 7.1а). По аналогии этих полей конец катушки, из которого выходят магнитные линии, будет считаться северным полюсом N катушки, а конец, в который входят магнитные линии, — южным полюсом S катушки. Следовательно, магнитное поле цилиндрической катушки полярно, т. е. имеет северный N и южный S полюса. Полярным также является магнитное поле кругового тока (рис. 7.1 в), т. е. там, где магнитные линии выходят из круга, — северный полюс N, а там, где входят в круг, — южный полюс S круга.

В проводнике с током и вокруг него магнитное поле обусловлено этим током. Внутри постоянного магнита или намагниченного тела магнитное поле обусловлено внутренним и внутримолекулярным направленным движением элементарных заряженных частиц.

В атоме любого вещества вокруг ядра направленно, по определенным орбитам вращаются электроны (круговой ток). Следовательно, атомы любого вещества являются элементарными магнитными, которые называются доменами. Домены имеют северный полюс. Полярность домена зависит от направления тока нейтронов вокруг ядра. Направление тока электронов вокруг атома противоположно направлению вращения электрона.

Под влиянием внешних факторов (внешнего магнитного поля) магнитики-домены могут ориентироваться, т. е. поворачиваться в определенном направлении. Ориентация в определенном направлении обуславливает намагничивание. Все материалы обладают различной способностью намагничивания (магнитная проницаемость). Таким образом, намагнитить данный материал — значит сориентировать элементарные магнитики этого материала в определенном направлении, ограниченный материал, как и постоянный магнит, создает внешнее магнитное поле. 
 

Магнитная индукция

Для характеристики интенсивности магнитного поля вводится понятие магнитной индукции. Магнитная индукция характеризуется силой, действующей на движущийся в магнитном поле электрический заряд (ток). Обозначается магнитная индукция кривой В.

Элементарная магнитная индукция созданная в какой-либо А элементом длины проводника по которому проходит ток I, на расстоянии г от элемента длины (рис  7.2) определяется выражением:

Где:  — абсолютная магнитная проницаемость среды, в которой определяется индукция; — радиус-вектор (расстояние между элементом длины и исследуемой точкой А);  — угол между направлением тока по элементу длины провод, ника и радиусом-вектором

Для определения магнитной индукции В, которая создается всем проводником длиной с током I, в точке А необходимо просуммировать (проинтегрировать) элементарные индукции по всей длине проводника

Магнитная индукция — величина векторная. Вектор магнитной индукции в каждой точке магнитного поля направлен по касательной к магнитной линии в этой точке.

В качестве примера определяется магнитная индукция в центре кольцевого проводника радиусом по которому проходит ток I (рис. 7.3).

Величина магнитной индукции определяется по выражению (7.2), т.е.

 (согласно (7.1)).

Так как радиус окружности всегда перпендикулярен касательной к окружности, т.е. то 

Вынося постоянные величины за знак интеграла, получим

Тогда

Иначе 

где — диаметр окружности.

Таким образом, магнитная индукция в магнитном поле пропорциональна величине тока создающего поле, и абсолютной магнитной проницаемости среды в которой она создается. Кроме того, магнитная индукция в каждой точке магнитного поля зависит от формы проводника, по которому проходит ток, создающий магнитное поле, от длины этого проводника и от расстояния между исследуемой точкой и этим проводником.

Магнитное поле, магнитная индукция в каждой точке которого нет одинаковое значение и магнитные линии параллельны друг другу, называется однородным.

Основной единицей измерения магнитной индукции является Однако в практических расчетах иногда рационально воспользоваться единицами, эквивалентными основной единице:

Кроме того, иногда пользуются единицей магнитной индукции:

Магнитная проницаемость

Из выражений (7.1) и (7.3) следует, что магнитная индукция в магнитном поле зависит от абсолютной магнитной проницаемость  характеризующей магнитные свойства среды, в которой дается поле.

Абсолютная магнитная проницаемость среды характеризует спорность среды намагничиваться. Единицей абсолютной магнитной проницаемости является (из (7.3))

Абсолютная магнитная проницаемость вакуума  — величина постоянная и называется магнитная постоянная. Ее значение равно

тогда 

Иногда называют относительной магнитной проницаемостью.

В зависимости от магнитной проницаемости все вещества делятся на диамагнитные, парамагнитные и ферромагнитные.

1. Магнитная проницаемость диамагнитных (противомагнитных) веществ Так, например, для меди для серебра К диамагнитным веществам относятся кварц, водород, вода, медь, серебро и др.

2. Магнитная проницаемость парамагнитных веществ  Так, например, для воздуха для платины К парамагнитным веществам относятся алюминии, кислород, воздух, платина и др.

Магнитная проницаемость диамагнитных и парамагнитных материалов — величина постоянная и в технических расчетах принимаются равной единице

3. Магнитная проницаемость ферромагнитных материалов во много раз больше единицы Так, например, для чугуна  для стали для пермаллоя К ферромагнитным материалам относятся сталь, никель, кобальт, их сплавы и др. Магнитная проницаемость ферромагнитных материалов зависит от интенсивности магнитного поля и температуры, поэтому ее значения указаны приближенно.
 

Магнитный поток

Магнитный поток Ф сквозь площадку S, перпендикулярную вектору магнитной индукции  в однородном магнитном поле, определяется выражением

Магнитный поток измеряется в веберах (основная единица):

В практических расчетах встречается единица магнитного потока максвелл, которая в раз меньше вебера: т.е.

Если вектор магнитной индукции составляет угол с перпендикуляром к площадке S (рис. 7.4), то нормальная (перпендикулярная) составляющая вектора магнитной индукции определяется как B

В общем случае при определении магнитного потока через произвольную поверхность в неоднородном магнитном поле площадку S разбивают на бесконечно малые площадки для каждой из ко-поле можно считать однородным. Тогда элементарный магнитный поток через элементарную площадку определяется так:

Магнитный поток Ф через всю поверхность площадью S определется суммированием (интегрированием) элементарных магнитных потоков по всей площади S

Магнитный поток сквозь замкнутую поверхность равен нулю так как каждая магнитная линия, входящая в замкнутую поверхность, должна из нее выйти.

Магнитный поток, как один из параметров магнитного поля, необходимо знать или определять при анализе и расчете режима работы различных электротехнических приборов, устройств и установок (магнитных цепей, электрических машин, трансформаторов, электромагнитов различного назначения, электроизмерительных приборов и др.).
 

Напряженность магнитного поля

Напряженность в каждой точке магнитного поля — это расчетная величина, характеризующая интенсивность магнитного поля в точке, созданного током, без учета среды, в которой создается поле.

Обозначается напряженность магнитного поля буквой Н. Если в катушку, по которой проходит ток внести сердечник из терромагнитного материала (рис. 7.1 г), то величина магнитной продукции В в каждой точке магнитного поля увеличивается, а напряженность Н в этих точках остается неизменной.

Разница между напряженностью Н и индукцией В в какой-либо точке магнитного поля (хотя обе величины характеризуют интенсивность магнитного поля) заключается в том, что напряженность в точке магнитного поля характеризует интенсивность поля й точке, созданного током без учета магнитной проницаемость среды, в которой создается поле, а индукция в этой точке характеризует интенсивность магнитного поля, созданного током, которая намагничивается и изменяет его интенсивность; т.е напряженность является расчетной величиной, не имеющей физического смысла, так как физически невозможно представить обе, что интенсивность поля не зависит от среды.

Таким образом, соотношение между В и Н в какой-либо точке магнитного поля выглядит следующим образом:

так как характеризует способность среды намагничиваться. Следовательно, напряженность в этой точке

Из выражения (7.8) определяем единицу измерения напряженности в любой точке магнитного поля:

В практических расчетах можно встретить единицу напряженности эрстед (Э).

Напряженность — величина векторная, причем направление вектора напряженности в каждой точке совпадает с направлением магнитного поля в этой точке (касательная к магнитной линии в этой точке).

Если магнитное поле создано несколькими токами, то напряженность в каждой точке этого поля определяется геометрической суммой напряженностей, созданных каждым током в этой точке (рис. 7.5):

Очевидно, для каждой точки магнитного поля напряженность имеет определенную величину и направление.
 

Закон полного тока

Допустим, что в точке А вектор напряженности Н составляет угол с элементом длины замкнутого контура, ограничивающего поверхность, пронизываемую токами (рис. 7.6).

Проекцию вектора напряженности Яна элемент длины контура или на его продолжение , называют продольной составляющей вектора напряженности:

Сумма (интеграл) произведений элементов длины замкнутого контура и продольных составляющих в каждой точке этого контура, взятая по всему контуру, называется магнитным напряжением или магнитодвижущей силой

Выражение иногда называют циркуляцией вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру.

Магнитное напряжение  магнитодвижущая сила F измеряются в амперах:

Алгебраическая сумма токов, пронизывающих площадь, ограниченную замкнутым контуром(рис. 7.6), называется полным током сквозь поверхность, ограниченную этим контуром.

Это и есть математическое выражение полного тока для площади, ограниченной контуром (рис. 7.6).

Для определения знака каждого тока (7.10), пронизывающего площадь, ограниченную замкнутым контуром, задаются направлением обхода контура (по или против часовой стрелки). Тогда ток, совпадающий с поступательным движением буравчика, рукоятка которого вращается в заданном направлении обхода контура, в алгебраической сумме берется со знаком «плюс».

Установлено, что магнитное напряжение (магнитодвижущая сила) поля по замкнутому контуру равно полному току, пронизывающему поверхность, ограниченную этим контуром:

Формула (7.11) и есть математическое выражение закона полностью тока. 

Если напряженность имеет одинаковую величину по всему контуру и направлена по магнитной линии то уравнение закона полного тока упрощается:

Закон полного тока нашел широкое применение для расчета магнитных цепей, магнитных полей, прямого тока, тока катушки и др.

Магнитное поле прямолинейного проводника с током

Напряженность в каждой точке магнитного поля, созданного током прямолинейного проводника, и индукцию в этой точке легко определить, воспользовавшись законом полного тока. То есть закон полного тока позволяет определить интенсивность магнитного поля (Н и В) в любой точке А магнитного поля, расположенной на расстоянии от центра прямолинейного проводника радиусом по которому проходит ток (рис. 7.7).

Можно определить Н и В, созданные током в точке А, расположенной:

1) вне проводника с током и

2) внутри проводника с током.

1. Напряженность в точке А, расположенной вне проводника с током, т. е. (рис. 7.7а), определяется по закону полного тока. Для этого через точку А проводится условная окружность радиусом   Эта окружность и является контуром, который ограничивает площадь круга, пронизываемую током

Таким образом, полный ток

Тогда

При этом напряженность и по всей окружности радиусом имеет одинаковое значение, а — длина окружности радиусом

Таким образом, величина напряженности в точке А, расположенной вне проводника, будет равна

Величина магнитной индукции в точке А согласно выражению (7.15)

Если магнитное поле создается в воздухе, т.е. , тогда

Интенсивность магнитного поля в любой точке А, расположенной проводника с током, обратно пропорциональна расстоянию от проводника до этой точки ((7.14), (7.15) и (7.16)).

Напряженность в точке А, расположенной внутри проводника с током, (рис. 7.7б), также определяется по закону полного тока. Окружность радиусом ограничивает площадь сечения  Сечение проводника радиусом равно Плотность тока в проводнике определяется как Тогда величину напряженности магнитного поля в точке А внутри проводника можно рассчитать по формуле

Величина магнитной индукции в той же точке А внутри проводка будет равна    ,

Интенсивность магнитного поля в любой его точке, расположенной внутри проводника с током, пропорциональна расстоянию от центра проводника до этой точки ((7.17) и (7.18)).

Зависимость интенсивности магнитного поля внутри и вне проводника с током от расстояния от центра проиллюстрирована на графике рис. 7.7в. Из графика видно, что с увеличением расстояния от центра внутри проводника интенсивность поля увеличивается пропорционально а за пределами проводника уменьшается обратно пропорционально Таким образом, наибольшей интенсивности магнитное поле достигает на поверхности проводника с током, при

Пример 7.1

По медному проводнику радиусом проходит ток Определить напряженность и индукцию магнитного поля, созданного этим током, на расстоянии от центра проводника.

Решение

Вычисление значений Ни В производят по выражениям (7.14), (7.15), (7.17) и (7.18), учитывая, что Для среды вокруг и внутри медного провода. Итак:

Таким образом, пример 7.1 подтверждает, что наибольшая интенсивность магнитного поля имеет место на поверхности проводника с током. Кроме того, напряженность магнитного поля на поверхности проводника можно определить по формулам (7.14) или (7.17) — результат получается одинаковым.
 

Магнитное поле кольцевой и цилиндрической катушек

Напряженность магнитного поля кольцевой катушки с числом токов W, по которым проходит ток I (рис. 7.8а), определяется е по закону полного тока.

Точка А находится на окружности радиусом и длиной  образующей замкнутый контур. Поверхность, ограниченную контуром, пронизывают все W витков, по которым проходит ток I. Следовательно, полный ток, пронизывающий поверхность, ограниченную этим замкнутым контуром, будет равен

Напряженность поля Н во всех точках замкнутого контура одинакова и направлена по касательной в каждой точке окружности (рис. 7.8а).

Для определения напряженности Н в любой точке этой окружности можно воспользоваться выражением (7.12):

Произведение тока и числа витков обмотки W, т. е.  называют ампер-витками.

Таким образом, напряженность магнитного поля в любой точке кольцевой катушки определяется ампер-витками приходящимися на единицу длины этой катушки:

На расстоянии меньше и больше магнитное поле отсутствует, так как полный ток, пронизывающий поверхность, ограниченную окружностью радиусом (меньше и больше ), равен нулю т. е. магнитное поле вне катушки отсутствует.

Напряженность в любой точке кольцевой катушки можно определить выражением (7.19), если воспользоваться частью кольцевой катушки длиной на которой расположена часть витков катушки (рис. 7.86):

Цилиндрическую катушку (рис. 7.8в) можно рассматривать как часть кольцевой катушки (рис. 7.86) с бесконечно большим радиусом. Поэтому и для цилиндрической катушки справедливо выражение

Используя это уравнение, можно определить напряженность в точке А, расположенной на осевой линии цилиндрической катушки длиной  (рис. 7.8в). Однако выражение (7.19) является приближенным.

Ошибка в определении напряженности в цилиндрической катушке будет тем меньше, чем больше длина катушки, меньше ее сечение и исследуемая точка лежит ближе к центру цилиндра.

Более точным выражением для определения величины напряженности в точке А на осевой линии цилиндрической катушки является выражение

Величина магнитной индукции в точке А цилиндрической катушки

Пример 7.2

Определить напряженность в точке А на оси катушки (рис. 7.9), если ток в катушке число витков катушки Вычислить ошибку, полученную при определении напряженности в точке А по приближенному выражению (7.19). Габариты катушки даны в сантиметрах.

Решение
Определяется напряженность магнитного поля в точке по приближенному выражению:

Для определения напряженности в точке А по более точному напряжению определяется Причем так равны углы

Тогда

Погрешность, полученная при определении напряженности по приближенному выражению:

Электромагнитная сила

В однородное магнитное поле с индукцией В помещен проводник длиной  по которому проходит ток направленный перпендикулярно магнитным линиям (рис. 7.10а).

Вокруг проводника с током создается магнитное поле  которое накладывается на магнитное поле

Направление поля определяется по правилу буравчика. В результате наложения магнитных полей (рис. 7.10), справа от проводника магнитное поле усиливается, а слева ослабляется (рис. 7.10б). В результате такого наложения полей, как видно из рис. 7.10б, на проводник с током в магнитном поле действует сила под действием которой проводник будет вытесняться из магнитного поля в определенном направлении.

Эта сила т. е. сила взаимодействия тока с магнитным полем, называется электромагнитной силой.

Направление электромагнитной силы определяется по правилу левой руки:

Левую руку располагают так, чтобы магнитные линии входили в ладонь, вытянутые четыре пальца совпадали с направлением тока в проводнике, тогда отогнутый большой палец укажет направление электромагнитной силы.

Направление электромагнитной силы на рис. 7.106 подтверждает это правило.

Очевидно, на проводник длиной по которому проходит ток перпендикулярно магнитным линиям поля с индукцией В действует электромагнитная сила

Электромагнитная сила, т. е. сила взаимодействия тока I, проходящего по проводнику длиной перпендикулярно магнитному полю с индукцией В, пропорциональна произведению этих величин.

Если же проводник с током поместить в однородное магнитное поле под углом (рис. 7.11), то величина электромагнитной силы определяется по формуле (7.23).

В общем случае для однородного магнитного поля и прямолинейного проводника с током, расположенного в этом поле, величина электромагнитной силы определяется выражением

где — активная длина проводника, т. е. часть проводника, которая находится в магнитном поле; — угол между током и магнитным полем.

Единица силы ньютон связана с единицей магнитной индукции тесла следующим соотношением:

Если в неоднородное магнитное поле помешен криволинейный проводник с током то элементарную бесконечно малую электромагнитную силу действующую на бесконечно малый элемент длины проводника для которого поле считается однородным, определяют выражением

Для вычисления электромагнитной силы, действующей на весь проводник, элементарные электромагнитные силы суммируются (интегрируются) по всей активной длине проводника

Взаимодействие тока с магнитным полем широко используется электрических машинах, электроизмерительных приборах, тяговых и подъемных электромагнитах, контакторах и др.

Электромагнитные силы приходится учитывать при расчете электрических аппаратов, распределительных устройств электростанций, линий электропередачи, сетей и в других случаях.
 

Взаимодействие проводников с токами

Параллельное расположение проводников стоками на практике встречается часто, например в линиях электропередачи, при установлении шин распределительных устройств электрических станций и подстанций, в кабелях и др. Для того чтобы правильно выдать провода, шины, изоляторы, на которых они закреплены, приходится определять электромагнитные силы взаимодействия проводников или шин.

Сила взаимодействия проводников с токами (рис. 7.12), расположенных на расстоянии друг от друга параллельно по длине и зависит от индукции в созданной током одного проводника в центре другого, и тока другого проводника.

Индукция созданная током  в центре второго проводника (рис. 7.126), определяется выражением (7.15):

Тогда электромагнитная сила взаимодействия второго тока , индукции  согласно (7.22) равна

где — сила, с которой первый проводник действует на второй проводник. С такой же силой второй проводник действует на первый. Следовательно, это и есть сила взаимодействия двух проводников с током, т. е.

Выражение (7.25) позволяет определить силу взаимодействия двух проводников с током с большой степенью точности, если длина параллельно расположенных проводников  значительно больше расстояния между ними.

Выражение (7.25) является математическим выражением закона Ампера для определения силы взаимодействия проводников с током.

На практике удобно рассчитывать силу взаимодействия проводников с токами приходящуюся на единицу длины проводников:

Направление силы взаимодействия двух проводников с током можно определить по правилу левой руки, определив предварительно направление магнитной индукции каждого проводника в центре другого проводника (рис. 7.13).

Определить направление силы взаимодействия двух проводников с токами можно иначе — определив направления магнитных полей каждого проводника по правилу буравчика (рис. 7.14). Как видно на рис. 7.14а, магнитное поле между проводниками ослаблено, а на рис. 7.14б -усилено. Электромагнитные силы направлены в сторону ослабленного поля. В любом из предложенных методов определения направления электромагнитных сил (рис. 7.13 и 7.14) легко увидеть, что при одинаковом направлении взаимодействующих токов проводники притягивается (рис. 7.13а и 7.14а), а при разных направлениях — отталкивается (рис. 7.13б и 7.14б).

Пример 7.3

Определить величину и направление сил, действующих на единицу длины проводов 1, 2, 3 и 4, расположенных на расстояниях, показанных в сантиметрах на рис. 7.15а, если по проводам проходят токи:

Решение

Для решения примера 7.3 необходимо определить расстояние между проводами (1-4) и (2—3), т.е. расстояние (рис. 7.15а).

Расстояние между проводами Расстояние между проводами Тогда так как r и g являются катетами прямоугольного треугольника, а расстояние b является гипотенузой этого треугольника.

Силы взаимодействия между проводами с указанными токами, приходящиеся на единицу длины этих проводов, определяются выражению (7.26):

При расчете учтено, что так как провода находятся в воздухе.

Направления сил взаимодействия указаны на рис. 7.15б.

Магнитные цепи и их расчет

В состав многих электротехнических устройств входят магнитные цепи.

Магнитная цепь представляет собой сочетание тел преимущественно из ферромагнитных материалов, в которых замыкается магнитный поток.

Простейшей магнитной цепью является сердечник кольцевой катушки (рис. 7.8а), в котором замыкается магнитный поток, соединенный током этой катушки. Магнитные цепи трансформатор, электрических машин, измерительных приборов и других электрических аппаратов имеют более сложную форму.

Отдельные участки магнитных цепей могут изготавливаться из различных ферромагнитных материалов различной формы и размеров. Одним из участков магнитной цепи может быть воздушный зазор.

Конструктивно различают неразветвленные и разветвленные магнитные цепи (рис. 8.1).

Характерной особенностью неразветвленной магнитной цепи (рис 8.1а) является то, что магнитный поток Ф, созданный токами моток для всех участков и сечений магнитной цепи, имеет одинаковое значение (как ток в неразветвленной электрической цепи). Для разветвленной магнитной цепи (рис. 8.1б) характерно то, что созданный током магнитный поток Ф разветвляется, при этом его величина определяется алгебраической суммой магнитных потоков в разветвлениях (как и ток в разветвленной электрической цепи — по первому закону Кирхгофа).

Разветвленная магнитная цепь может быть симметричной или несимметричной. Цепь считается симметричной, если правая и левая ее части имеют одинаковые размеры, выполнены из одинакового материала (включая воздушные зазоры) и действующие в каждой части магнитодвижущие силы одинаковы.

Магнитные цепи могут быть однородными и неоднородными. Однородная магнитная цепь представляет собой замкнутый сердечник (рис. 7.8а), который по всей длине имеет одинаковое сечение S и выполнен из определенного материала.

Неоднородная магнитная цепь (рис. 8.1а) состоит из нескольких однородных участков, каждый из которых по всей своей длине имеет одинаковое сечение и выполнен из определенного материала.

На рис. 8.1а изображена неразветвленная неоднородная магнитная цепь, состоящая из трех однородных участков длиной и  где  — воздушный зазор.
 

Закон Ома для магнитной цепи

Если по кольцевой катушке с числом витков проходит ток (рис. 7.8а), то этот ток в сердечнике катушки дайной и сечением S создает напряженность (7.19)

На рис. 7.8а изображена однородная неразветвленная магнитная цепь, сердечник которой по всей длине выполнен из одного материала с относительной магнитной проницаемостью Тогда магнитный поток в сердечнике кольцевой катушки можно определить по формуле

где

Это же уравнение (8.1) можно записать иначе:

где числитель — магнитодвижущая сила, или магнитное напряжение магнитной цепи а знаменатель полное сопротивление магнитной цепи (по аналогии с электрическим сопротивлением, зависящим от длины, удельной проводимости и сечения проводника — см. (2.8)), т. е.

Тогда магнитный поток магнитной цепи

Это и есть математическое выражение закона Ома для разветвленной однородной магнитной цепи, изображенной на рис. 7.8а, т. е. магнитный поток в рассматриваемой магнитной и пропорционален магнитному напряжению и обратно пропорционален магнитному сопротивлению (как и ток по закону Ома для участка электрической цепи).

Если неразветвленная цепь неоднородна и на сердечнике имеются две обмотки, т.е. две магнитодвижущие силы и три однородных участка (рис. 8.1а), то закон Ома для такой магнитной цепи:

и иначе:

Как и ток в неразветвленной электрической цепи с несколькими источниками и несколькими сопротивлениями).

В выражениях (8.5) и (8.6) знак «плюс» между магнитными напряжениями ставят тогда, когда обмотки (рис. 8.1а) подключены «согласно», т. е. создают магнитные потоки в сердечнике одного направления, а знак «минус» — когда обмотки включены «встречно», т. е. создают магнитные потоки в сердечнике, направленные друг против друга.

Из выражений (8.3) и (8.5) следует, что наибольшим сопротивлением в магнитной цепи обладает воздушный зазор так относительная магнитная проницаемость его притом, что магнитная проницаемость ферромагнитных участков исчисляется десятками тысяч.

Как видно, законы в магнитной цепи для определения магнитного потока во многих случаях аналогичны законам в электрических цепях для определения электрического тока, что в значительной степени помогает при расчетах магнитных цепей.

Однако пользоваться законом Ома с использованием выражений (8.4) и (8.5) для расчета магнитных цепей не представляется возможным, так как магнитная цепь нелинейная. Нелинейность магнитной цепи обусловлена тем, что магнитное сопротивление ферромагнитных участков магнитной цепи, определяющее магнитный поток, само зависит от магнитного потока.

Тем не менее законы Ома для однородной и неоднородной цепи решают качественную задачу расчета цепей, т. е. зависимость параметров магнитных цепей друг от друга.

Расчет магнитных цепей производится с использованием закона полного тока.

Намагничивание ферромагнитных материалов

Так как ферромагнитный материал является основой магнитных цепей, то для исследования и расчета магнитных цепей необходимо изучить свойства и характеристики ферромагнитных материалов.

Если по катушке с числом витков W, расположенной на замкнутом магнитопроводе длиной проходит ток (рис. 8.2), то в катушке создается магнитное поле, напряженность которого

Если магнитопровод выполнен из неферромагнитного материала, то индукция в магнитном поле магнитопровода

Если же магнитопровод катушки выполнен из ферромагнитного материала, то этот материал намагничивается, т. е. происходит ориентация доменов ферромагнитного материала в направлении внешнего магнитного поля, созданного магнитодвижущей силой катушки IW. Тем самым создается добавочная магнитная индукция обусловленная намагничиванием ферромагнитного материала магнитопровода: где М — величина, характеризующая намагниченность материала.

Таким образом, магнитная индукция В в магнитопроводе катушки складывается из двух компонентов — магнитной индукции внешнего поля, созданной МДС катушки и добавочной индукции созданной намагниченным магнитопроводом из ферромагнитного материала, т. е.

Зависимость магнитных индукций от изменения напряженности Н представлена на рис. 8.3.

Зависимость — Кривая линия из начала координат (прямая 1).

Характер изменения добавляемой индукции  можно объяснить следующим образом (кривая 2):

Участок — намагниченность сердечника М увеличивается пропорционально напряженности Н;

Участок — рост намагниченности сердечника М замедляется, как большинство доменов уже сориентировалось в направленного магнитного поля катушки;

Участок — рост намагниченности сердечника М прекращается т.е. наступает режим магнитного насыщения, так как все до-сориентировались в направлении внешнего магнитного (участок параллелен оси абсцисс).

Суммарная кривая строится путем сложения ординат

Суммарная кривая 3 зависимости индукции ферромагнитного материала от напряженности магнитного поля называется кривой намагничивания данного ферромагнитного материала. Кривые намагничивания различных ферромагнитных материалов приведены в Приложениях 5 и 6.

Ферромагнитные материалы относятся к нелинейным средам, поэтому магнитные цепи, в которых они используются, являются нелинейными.

Магнитная проницаемость ферромагнитных материалов — величина непостоянная и зависит от предварительного намагничивания, т. е. от напряженности поля, созданного в материале. Характер этой зависимости представлен кривой (рис. 8.4). Кривая построена по уравнению, полученному в соответствии следующими зависимостями:

Из выражения (7.7)

Тогда

Если левую и правую части этого уравнения разделить на Н то получается

Из уравнения видно, что изменение  зависит от отношения (остальные величины постоянные). С увеличением Н на участке (рис. 8.3 и 8.4) М растет быстрее, чем Н, следовательно, отношение увеличивается, и увеличивается (8.8).

Максимального значения абсолютная магнитная проницаемость достигает на участке ab зависимости (рис. 8.4). В режиме же насыщения (участок bс) намагниченность (М) остается неизменной, следовательно, отношение М/Н уменьшается, вызывая уменьшение (выражение (8.8) и рис. 8.4). При дальнейшем увеличении (8.8), т. е. ферромагнитный материал теряет свои ферромагнитные свойства.

Определить магнитную проницаемость ферромагнитного материала при определенной напряженности Н или индукции В можно, воспользовавшись кривой намагничивания данного ферромагнитного материала:

Циклическое перемагничивание

Изменение тока в катушке (рис. 8.2) и соответственно напряженности Н магнитного поля в ней не только по величине, но и по направлению приводит к изменению индукции в ферромагнитном сердечнике катушки по величине и направлению (рис. 8.5).

Зависимость магнитной индукции В в сердечнике от напряженности Н при изменении тока катушки по величине и направлению можно проследить по кривой рис. 8.5.

Если в катушке находится полностью размагниченный сердечник, то при токе (Рис. 8.5).

Увеличение тока приводит к увеличению напряженности Н, а следовательно, и индукции В в ферромагнитном материале до насыщения по кривой 0-1, т.е. по кривой намагничивания данного ферромагнитного материала (рис. 8.5). Если уменьшать ток до нуля, то и напряженность Я уменьшается до нуля, а индукция при этом уменьшается от величины (насыщение) до значения 0—2 по кривой 1—2. Значение индукции 0-2, оставшейся в сердечнике катушки (рис. 8.5) при повышении напряженности до , называется остаточной индукцией в данном ферромагнитном материале. Остаточная индукция в сердечнике имеет счет того, что не все электромагнитные магнитики материала ориентировались при размагничивании, т. е. часть доменов были сориентированными в направлении внешнего поля катушки.

Если изменить направление тока в катушке, а следовательно, и направление напряженности в сердечнике и увеличивать эту напряженность (в обратном направлении), то можно добиться уменьшения индукции до нуля (кривая 2-3), т. е. сердечник полностью размагнитится. Напряженность 0—3, которая потребность для того, чтобы размагнитить ферромагнитный материал, полностью дезориентировать домены, называется задерживающей, или коэрцитивной, силой

Если продолжить увеличение напряженности, то индукция изменит свое направление и ее значение будет увеличиваться в новом направлении от нуля до насыщения по кривой 3-4.

Если уменьшать напряженность до нулевого значения, то ин-уменьшится по кривой 4-5, где отрезок 0-5 — остаточная индукция в обратном направлении. Чтобы размагнитить сердечник, т. е. уменьшить индукцию до нуля, необходимо снова изменить направление тока и напряженности (в первоначальном направлении) и увеличивать его. При этом индукция в сердечнике уменьшится до нуля по кривой 5-6, где отрезок 0-6 — задерживающая, или коэрцитивная, сила в первоначальном направлении которая снова размагничивает сердечник — уничтожает точную индукцию. Дальнейшее увеличение напряженности едет к увеличению индукции от нуля до насыщения в первоначальном направлении по кривой 6—1.

Циклическое перемагничивание имеет место в магнитопроводах (сердечниках) электрических машин, трансформаторов, электроизмерительных приборов, дросселей и др., по обмоткам которых проходит переменный ток.

Циклическое перемагничивание сопровождается затратой электрической энергии, которая преобразуется в тепловую и в большинстве случаев рассеивается в пространстве. Такие тепловые потери относят к магнитным потерям и называют потерями энергии (мощности) на циклическое перемагничивание, или потерями на гистерезис. Мощность потерь на циклическое перемагничивание данного ферромагнитного материала пропорциональна площади, ограниченной петлей гистерезиса этого материала. Для борьбы с подобными потерями в различных аппаратах и машинах применяют различные меры, основной из которых является выбор ферромагнитного материала для сердечников с узкой петлей гистерезиса.

Искусственно циклическое перемагничивание можно применить для размагничивания ферромагнитного материала, т. е. для уменьшения остаточной индукции до нулевого значения. Для этого по катушке, расположенной на магнитопроводе из ферромагнитного материала, пропускают изменяющийся по величине и направлению ток (переменный ток), величину которого постепенно уменьшают до нулевого значения.

Ферромагнитные материалы

Свойства большинства ферромагнитных материалов являются одинаковыми, однако проявляются они по-разному в зависимости от химического состава материала. В этой связи различают две основные группы ферромагнитных материалов: а) магнитно-мягкие и б) магнитно-твердые.

А. Магнитно-мягкие ферромагнитные материалы обладают высокой магнитной проницаемостью низкой задерживающей (коэрцитивной) силой и узкой петлей гистерезиса, т. е. малыми потерями на гистерезис.

Магнитно-мягкие ферромагнитные материалы легко намагничиваются и размагничиваются.

К магнитно-мягким материалам относятся металлы и сплавы: электролитическое железо, электротехническая сталь, пермаллой, ферриты, магнитодиэлектрики и др.

Железо и электротехническая сталь нашли широкое применение для магнитных цепей электрических машин, аппаратов, трансформаторов, электроизмерительных приборов, т.е. там, где необходимо создать сильное магнитное поле при относительно больших магнитодвижущих силах (IW).

Ферриты и магнитодиэлектрики применяются в качестве магнитопроводов в аппаратуре проводной и радиосвязи, в магнитных удлинителях, вычислительных машинах и других видах техники.

Дермаллой используется при изготовлении сердечников, предназченных для работы в высокочастотных устройствах до 10000 кГц. Магнитные свойства пермаллоев в значительной степени зависят от технологии их изготовления.

Магнитно-твердые ферромагнитные материалы обладают значительной магнитной проницаемостью  — порядка нескольких сотен), относительно высокой остаточной индукцией (0,3125) Тл, большой задерживающей (коэрцитивной) силой (500024000) А/м и имеют широкую петлю гистерезиса.

Из магнитно-твердых материалов изготавливаются постоянные магниты, применяемые в технике связи, электроизмерительной сфере и т. п.

Магнитно-твердым материалам, обладающим лучшими магнитными свойствами, относятся такие сплавы, как альни, альнипальнико и др.
 

Пример 8.1

Определить и изобразить изменение относительной магнитной проницаемости электротехнической стали при следующих значениях напряженности в ней:

Решение

Результаты расчета заносятся в таблицу 8.1, воспользовавшись живой намагничивания электротехнической стали (Приложение 6) и следующими выражениями:

 

Расчет неоднородной магнитной цепи

Прямая задача расчета неразветвленной неоднородной магнитной цепи (рис. 8.9) решается в следующей последовательности.

1. По заданному магнитному потоку Ф, который для всех участков неразветвленной цепи имеет одинаковое значение, определяют магнитную индукцию В каждого участка где S — площадь сечения участка.

Для прямоугольного сечения (рис. 8.7)  для круглого сечения (рис. 8.8)

Если задана магнитная индукция какого-либо участка то находят магнитный поток этого участка который для всех участков неразветвленной цепи имеет одинаковое значение. Затем определяют магнитную индукцию остальных участков, как показано выше.

2. По кривым намагничивания материалов (Приложение 5 или 6) определяют напряженности ферромагнитных участков и Напряженность в воздушном зазоре вычисляется по отношению

3. Определив длину средней линии каждого участка, по закону полного тока (второй закон Кирхгофа для магнитной цепи) вычисляют намагничивающую силу рассчитываемой магнитной цепи  или ток I, или витки W.

Пример 8.2

Определить число витков обмотки, расположенной на сердечнике из электротехнической листовой стали, размеры которого указаны на рис. 8.9. в см, если по обмотке проходит ток который создает в магнитной цепи магнитный поток

Решение

Магнитная цепь состоит из 3-х однородных участков сечением (воздушный зазор).

1. По заданному потоку определяется магнитная индукция в каждом однородном участке:

По кривой намагничивания для листовой электротехнической стали (Приложение 5 или 6) определяются напряженности первого — и второго — участков. Напряженность в воздушном зазоре

Составляется уравнение по закону полного тока для магнитной цепи: из которого определяется искомое число витков обмотки

Предварительно вычисляется длина средней линии каждого участка:

Обратная задача расчета неоднородной неразветвленной магнитной цепи, т.е. определение магнитного потока по заданной магнитодвижущей силе (МДС), может быть решена методом последовательных приближений. Для этого задаются несколькими значениями магнитного потока и для каждого из них решают данную задачу расчета магнитной цепи. По результатам расчетов замагничивающих сил для разных магнитных потоков строят зависимость (рис. 8.10), по которой определяют искомый магнитный поток по заданной МДС

Пример 8.3

Определить магнитный поток в замкнутом сердечнике из листовой электротехнической стали, размеры которого указаны на рис. 8.11 в мм, если на сердечнике расположена обмотка (катушка) с числом витков W= 500, по которой проходит ток (обратная задача). Длина каждого воздушного зазора мм (рис. 8.11).

Решение

Сечение сердечника магнитной цепи при указанных размерах будет равно

Длина четырех воздушных зазоров на стыках сердечника:

Длина средней линии сердечника: так как длина каждой стороны квадрата сердечника

Как видно, длина воздушного зазора  очень мала по сравнению с длиной средней линии сердечника, поэтому ее влиянием на длину сердечника можно пренебречь.

Магнитная цепь в рассматриваемом примере состоит из двух однородных участков — сердечника из листовой электротехнической стали длиной сечением и воздушного зазора длиной сечением

Для выбора одного из магнитных потоков на графике зависимости например (рис. 8.10), предполагается, что магнитное сопротивление воздушного зазора равно магнитному сопротивлению всей магнитной цепи

Это предположение обусловлено тем, что сопротивление воздушного зазора значительно больше сопротивления ферромагнитных участков цепи, магнитная проницаемость которых  в тысячи раз больше магнитной проницаемости воздуха  Поэтому магнитным сопротивлением ферромагнитной части, в таком приближении, можно пренебречь.

Таким образом по закону Ома для магнитной цепи

Тогда  

Магнитный поток 

Магнитодвижущая сила (IW), необходимая для создания магнитного потока определяется в следующей последовательность.

Магнитная индукция в магнитопроводе и воздушном зазоре будет равна

Напряженность магнитного поля в сердечнике из листовой электро-технической стали (Приложение 6)

При этом магнитное напряжение

А напряженность в воздушном зазоре

Магнитное напряжение при этом

Следовательно, магнитодвижущая сила для создания магнитного потока в магнитной цепи будет равна

Так как заданные ампер-витки меньше, чем требуется для создания магнитного потока то для построения графика зависимости в необходимых пределах произвольно выбираемый магнитный поток необходимо уменьшать, то определяется МДС для создания магнитных потоков 

Магнитодвижущая сила для каждого из выбираемых магнитных потоков определяется тем же методом и в той же последовательности, что и для магнитного потока .

Результаты расчетов заносят в таблицу 8.2 и график строится по этим результатам (рис. 8.12).

 

Примечание. Если по таблице 8.2 значение , то это означает, что

По этому графику определяется магнитный поток Ф, созданный заданными ампер-витками

Как видно (рис. 8.12), заданная создает в магнитной цепи магнитный поток

Такой же результат можно получить при расчете той же магнитной цепи графо-аналитическим методом пересечений (рис. 8.13).

Как указывалось выше, магнитная цепь является нелинейной цепью, так как кривая намагничивания любого ферромагнитного материала, из которого состоит магнитная цепь, — кривая линия (см. рис. 8.3 и Приложение 6).

Таким образом, рассматриваемая в примере 8.3 (рис. 8.11) неответвленная магнитная цепь состоит из двух однородных участков. участок, выполненный из листовой электротехнической стали нелинейный участок и воздушный зазор — линейный участок

Следовательно, расчет нелинейной неразветвленной магнитной цепи можно осуществить графо-аналитическим методом пересечений аналогично методу расчета нелинейных неразветвленных электрических цепей постоянного тока (см. рис. 5.36, 5.6, 5.86). я нелинейного участка неразветвленной магнитной цепи строится кривая зависимости Ф =f(U_c) по результатам, полученным при расчете обратной задачи примера 8.3 (таблица 8.2). Кривая зависимости Ф =f(U_c) называется магнитной характеристикой магнитной цепи.

Для построения магнитной характеристики выписываются значения величины магнитного потока Ф и магнитного напряжения ферромагнитных участках в таблицу 8.3 из таблицы 8.2. По полученным данным строится магнитная характеристика нелинейного участка рассматриваемой цепи (рис. 8.13).

Согласно второму закону Кирхгофа для магнитной цепи, изображенной на рис. 8.11, в соответствии с законом полного тока:

откуда 

где —  магнитное сопротивление воздушного зазора, , что следует из закона Ома для участка магнитной цепи (8.4).

Зависимость (8.10) линейная и графически изображается прямой линией, построение которой производится по двум точкам А и В (рис. 8.13).

Точка А откладывается на оси абсцисс при Ф = 0 (т. е. при ), а точка В откладывается на оси ординат Ф при  (т. е. ). Точка пересечения прямой АВ с магнитной характеристикой нелинейного участка магнитной цепи (точка Q определяет искомый магнитный поток Ф (на оси ординат) и магнитное напряжение (на оси абсцисс), соответствующее этому магнитному потоку. Таким образом, магнитное напряжение (рис. 8.13) создает магнитный поток в магнитной цепи .

Как видно, результат получился таким же, как при расчете цепи (рис. 8.11) методом последовательных приближений.

Расчет разветвленных магнитных цепей

Расчет симметричной разветвленной магнитной цепи рассматривается на примере 8.4 (прямая задача).

Пример 8.4

На среднем стержне Ш-образного сердечника, выполненного из электротехнической стали Э21 (1311), расположена обмотка с числом витков W=515 (рис. 8.14). Якорь А этой разветвленной магнитной цепи выполнен из стали Э42 (1512). Между якорем А и сердечником находится воздушный зазор  = 0,2 мм. Размеры магнитной цепи даны в мм.

Определить величину тока в обмотке, расположенной на среднем стержне, при котором в якоре А создается магнитная индукция В_А = 1,2 Тл.

Решение

Магнитная цепь по оси симметрии (00′) делится на две равные части. Каждая часть рассчитывается отдельно как неоднородная неразветвленная магнитная цепь. Магнитный поток Ф в каждой части определяется по заданной магнитной индукции в якоре

где

В каждой части (половине) вычисленный магнитный поток зачтен через якорь, воздушные зазоры и участок Ш-образного сердечника.

По вычисленному потоку Ф определяется магнитная индукция в однородных участках.

На участке 

На участке

В зазоре бокового стержня

В зазоре среднего стержня

В якоре — В_А= 1,2 Тл.

Напряженность магнитного поля для ферромагнитных участков (Приложение 5):

Напряженность в воздушных зазорах:

3. Величина тока определяется из уравнения, составленного по закону полного тока:

где длина средней линии каждого участка магнитной цепи соответственно равна:

Таким образом, индукцию В_А=1,2 Тл в якоре разветвленной магнитной цепи (рис. 8.14) создает ток =2 А.

Расчет несимметричной разветвленной магнитной цепи рассматривается на примере 8.5 (прямая задача).

Пример 8.5

Для разветвленной несимметричной магнитной цепи (рис. 8.15) известны длины пяти участков, их поперечные сечения и магнитный поток Ф₅ в воздушном зазоре длиной . Остальные участки выполнены из ферромагнитного материала, кривая намагничивания которого известна.

Определить магнитодвижущую силу (МДС), созданную двумя обмотками, необходимую для создания в зазоре магнитного потока Ф₅.

Решение произвести в общем виде. Стрелками указано направление магнитного потока участков цепи.

Решение

Магнитные потоки участков 3, 4 и 5 одинаковы, т. е. следовательно, можно определить магнитную индукцию в каждом участке , и если сечения этих участков одинаковы, то и магнитная индукция в них одинакова, т.е. 

Для участков 3 и 4, выполненных из ферромагнитного материала, по кривой намагничивания определяется напряженность поля, а напряженность в воздушном зазоре определяется по формуле

Магнитное напряжение на участках 3, 4, 5, между точками А и В, определяется соотношением

Такое же магнитное напряжение будет на участке , так как расположен между точками А и В, т. е. , откуда вычисляется

По кривой намагничивания для материала участка определяется индукция и магнитный поток .

Магнитный поток согласно первому закону Кирхгофа для разветвленной магнитной цепи будет равен

Величина магнитной индукции вычисляется отношением

По кривой намагничивания определяется Тогда искомая МДС будет равна Обратную задачу расчета разветвленной магнитной цепи решают с использованием схем замещения и графоаналитическим методом.

Расчеты всех магнитных цепей произведены с учетом отсутствия рассеяния магнитного потока.

Главная
→
Примеры решения задач ТОЭ
→
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
→
2 Магнитное поле и магнитные цепи при постоянных токах
→
2.1 Методы расчета магнитных цепей постоянного тока

2.1 Методы расчета магнитных цепей постоянного тока

Методы и примеры решения задач ТОЭ
→
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
→
2 Магнитное поле и магнитные цепи при постоянных токах

Расчет магнитных цепей при постоянных токах

Основанием к расчету магнитных цепей служат: первый закон Кирхгофа для магнитных цепей и закон полного тока — второй закон Кирхгофа для магнитных цепей.
Первый закон Кирхгофа для магнитных цепей гласит: алгебраическая сумма магнитных потоков в узле магнитной цепи равна нулю.

Закон полного тока применяется к замкнутому контуру, образованному средними магнитными линиями магнитной цепи и имеет вид:

∫ H → ⋅ dl → = ∑ I⋅w ,

где

∫ H → ⋅ dl → = ∑ H⋅l   — падение магнитного напряжения U_M = H·l в контуре;

F= ∑ I⋅w  — магнитодвижущая сила контура (м. д. с.).

Второй закон Кирхгофа для магнитных цепей сформулируем следующим образом: алгебраическая сумма магнитных напряжений U_M = H·l в замкнутом контуре магнитной цепи  ( ∑ U M = ∑ H⋅l )  равна алгебраической сумме магнитодвижущих сил F = I·w в том же контуре  ( ∑ F = ∑ I⋅w ) :

∑ U M = ∑ F

или

∑ H⋅l = ∑ I⋅w .

Задачи на расчет магнитной цепи могут быть двух видов: прямая задача на расчет магнитной цепи — когда задан поток и требуется рассчитать магнитодвижущую силу (м. д. с.) и обратная задача на расчет магнитной цепи — когда по заданной м. д. с. требуется рассчитать магнитный поток.

В обоих случаях должны быть известны геометрические размеры магнитной цепи и заданы кривые намагничивания ее материалов.

Алгоритм прямой задачи расчета неразветвленной магнитной цепи

Дана конфигурация и геометрические размеры неразветвленной магнитной цепи, кривая (или кривые) намагничивания магнитного материала и магнитный поток или индукция магнитного поля в каком-либо сечении. Требуется найти магнитодвижущую силу, ток или число витков намагничивающей обмотки.

Расчет проводим в соответствии с алгоритмом:

1. Разбиваем магнитную цепь на однородные (из одного магнитного материала) участки постоянного сечения и определяем длины l_k и площади поперечного сечения S_k участков. Длины участков (в метрах) берем по средней силовой линии.

2. Исходя из постоянства потока вдоль всей неразветвленной магнитной цепи, по заданному магнитному потоку Ф и сечениям S_k участков находим магнитные индукции на каждом участке:

B k = Ф S k .

Если задана магнитная индукция на каком-либо участке магнитной цепи, то магнитный поток вдоль всей неразветвленной цепи

Ф = B_k·S_k.

3. По найденным магнитным индукциям B_k участков цепи и кривой намагничивания материала k-го участка цепи (например, рис. 2.1, табл. 2.1) определяем напряженности поля H_k на каждом участке магнитной цепи.

Напряженность поля в воздушном зазоре находим по формуле

H возд = B возд μ 0 = B возд 4π⋅ 10 −7 .

4. Подсчитаем сумму падений магнитных напряжений U_Mk = H_k·l_k вдоль всей магнитной цепи  ∑ U Mk = ∑ H k ⋅ l k  и на основании второго закона Кирхгофа для магнитной цепи приравниваем сумме магнитодвижущих сил F_k = I_k·w_k вдоль всей магнитной цепи:

∑ H k ⋅ l k = ∑ I k ⋅ w k .

Основным допущением при расчете является то, что магнитный поток вдоль всей неразветвленной магнитной цепи полагаем неизменным. В действительности не большая часть потока всегда замыкается, минуя основной путь. Этот поток называют потоком рассеяния.

---

Единицы измерения магнитных величин

B — индукция магнитного поля, Тл (Тесла);

H — напряженность магнитного поля, А/м (Ампер/метр);

Ф — поток индукции магнитного поля, Вб (Вебер);

F = I·w — магнитодвижущая сила (м. д. с.), А (Ампер);

U_M = H·l — магнитное напряжение, А (Ампер!).

---

Константы

μ 0 =4π⋅ 10 −7 Гн/м — магнитная постоянная.

---

Рис. 2.1 Кривые намагничивания стали и чугуна

Таблица 2.1 — Данные основной кривой намагничивания листовой электротехнической стали Э11

B, Вб/м2	H, А/м
0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,4	140	143	146	149	152	155	158	161	164	167
0,5	171	175	179	183	187	191	195	199	203	207
0,6	211	216	221	226	231	236	241	246	251	256
0,7	261	266	271	276	281	287	293	299	306	312
0,8	318	324	330	337	344	352	360	369	378	387
0,9	397	407	417	427	437	447	458	469	480	491
1,0	502	514	527	541	555	570	585	600	615	631
1,1	647	664	682	701	720	739	759	779	800	821
1,2	843	866	891	918	946	976	1010	1040	1070	1100
1,3	1140	1180	1220	1260	1300	1340	1380	1430	1480	1530
1,4	1580	1640	1710	1780	1860	1950	2050	2150	2260	2380
1,5	2500	2640	2790	2950	3110	3280	3460	3660	3880	4120
1,6	4370	4630	4910	5220	5530	5880	6230	6600	6980	7370
1,7	7780	8200	8630	9070	9630	10100	10600	11100	11600	12200
1,8	12800	13400	14000	14600	15200	15900	16600	17300	18000	18800
1,9	19700	20600	21600	22 600	23600	24600	25600	26800	28200	29600
2,0	31000	32500	34300	36500	39000	42000	45500	49500	54500	59500

Примеры пользования таблицей:

1) При B = 0,80 Вб/м²: H = 318 А/м; при B = 0,85 Вб/м²: H = 352 А/м.

2) При B = 1,13 Вб/м²: H = 701 А/м.

---

Решение задач на расчет магнитных цепей при постоянных токах

---

Задача 2.1. На рис. 2.2 изображен разрез трех катушек, по которым проходят токи I₁ = 8 А, I₂=10 А и I₃ = 5 А.

Рис. 2.2

Катушки размещены на стальном сердечнике. Первая катушка (левая) w₁ имеет 8 витков, вторая (средняя) w₂ — 10 витков и третья (правая) w₃ — 6 витков. Определить полную магнитодвижущую силу (м. д. с.) по замкнутым контурам а, b, с, d, е, f, показанным на рис. 2.2. Контур е охватывает катушки w’₂ с 4 витками и w’₃ с 2 витками.

Изменится ли результат решения задачи, если при тех же данных катушки разместить на сердечнике из другого магнитного материала?

Решение

Воспользуемся законом полного тока. Линейный интеграл вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равен алгебраической сумме токов, проходящих сквозь поверхность, ограничиваемую контуром интегрирования,

∫ H → ⋅ dl → = ∑ I⋅w .

Пользуясь законом полного тока, найдем:

∫ a H → ⋅ dl → = w 1 ⋅ I 1 =8⋅8=64  А; ∫ b H → ⋅ dl → =− w 1 ⋅ I 1 =−8⋅8=−64  А; ∫ c H → ⋅ dl → = w 2 ⋅ I 2 − w 1 ⋅ I 1 =10⋅10−8⋅8=36  А; ∫ d H → ⋅ dl → = w 1 ⋅ I 1 − w 2 ⋅ I 2 + w 2 ⋅ I 2 + w 3 ⋅ I 3 =8⋅8+6⋅5=94  А; ∫ e H → ⋅ dl → = w ′ 2 ⋅ I 2 − w ′ 3 ⋅ I 3 =4⋅10+2⋅5=50  А; ∫ f H → ⋅ dl → =2 w 3 ⋅ I 3 =2⋅6⋅5=60  А.

В правой части последнего выражения коэффициент 2 учитывает то обстоятельство, что витки w₃ охватываются контуром интегрирования (циркуляции) дважды.

Следует заметить, что при пользовании правилом винта необходимо всегда сопоставлять направление обхода по контуру циркуляции с направлениями токов, пронизывающих поверхность, ограниченную контуром циркуляции.

Результаты решения задачи не изменятся, если катушки разместить на сердечнике из другого магнитного материала, так как м. д. с. определяется только величиной полного тока и не зависит от магнитных свойств вещества.

---

Задача 2.2. Определить магнитодвижущую силу (прямая задача расчета одноконтурной магнитной цепи), необходимую для получения магнитного потока в 5,9·10^–4 Вб в кольцеобразном сердечнике, сечением S = 5 см². Длина средней линии магнитной индукции l = 25 см.

Определить Н (напряженность магнитного поля в сердечнике) и  μ r   (относительная магнитная проницаемость материала сердечника). Материал сердечника — слаболегированная электротехническая листовая сталь Э11.

Решение

Найдем магнитную индукцию

B= Ф S = 5,9⋅ 10 −4 5⋅ 10 −4 =1,18   Вб м 2 .

По кривой намагничивания для стали Э11 найдем, что индукции B = 1,18 Вб/м² соответствует H = 800 А/м.

Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)

F = H·l = 800·0,25 = 200 А.

Определим абсолютную магнитную проницаемость:

μ a = B H = 1,18 800 =1475⋅ 10 −6    Гн м .

Магнитная проницаемость (относительная магнитная проницаемость)

μ r = μ a μ 0 = 1475⋅ 10 −6 4π⋅ 10 −7 =1175.

---

Задача 2.3. На рис. 2.3 изображен электромагнит, сердечник которого изготовлен из слаболегированной листовой электротехнической стали Э11, а якорь — из литой стали.

Рис. 2.3

Какой ток должен быть пропущен через обмотку электромагнита (прямая задача расчета одноконтурной магнитной цепи), состоящую из w = 500 витков, для того, чтобы в якоре была создана магнитная индукция в 0,84 Вб/м². Размеры на рис. 2.3 даны в миллиметрах. Длина воздушного зазора δ  = 1 мм. Площадь сечения воздушного зазора считать равной площади сечения сердечника (пренебрегаем потоком рассеяния). Чему равна статическая индуктивность электромагнита?

Решение

Это пример прямой задачи на расчет магнитной цепи. На рис. 2.3 пунктиром проведена средняя линия магнитной индукции (приближенно). Длина проходящей вдоль сердечника части средней линии магнитной индукции abсd = l₁ = 0,28 м. Сечение сердечника S₁ = 2·2 = 4 см² = 4·10^–4 м².

Сечение якоря S₂ = 2·2,5 = 5 см² = 5·10^–4 м², длина проходящей через него части средней линии магнитной индукции efgh = l₂ = 0,16 м. Магнитная индукция в якоре B₂ = 0,84 Вб/м² (по условию задачи).

Из условия равенства магнитных потоков в якоре и в сердечнике (одноконтурная магнитная цепь, потоком рассеяния пренебрегаем)

Ф₁ = B₁·S₁ = B₂·S₂

найдем магнитную индукцию в сердечнике:

B 1 = B 2 ⋅ S 2 S 1 = 0,84⋅5⋅ 10 −4 4⋅ 10 −4 =1,05   Вб м 2 .

Сечение воздушного зазора, длина проходящей в нем части линии магнитной индукции и магнитная индукция равны:

S 3 =4⋅ 10 −4    м 2 ;   l 3 =2δ=2⋅ 10 −3   м;   B 3 =1,05   Вб м 2 ,

напряженность магнитного поля в воздухе:

H 3 = B 3 μ 0 = 1,05 4π⋅ 10 −7 =84⋅ 10 4    А м .

Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)

F = H₁·l₁ + H₂·l₂ + H₃·l₃.

В целях большей наглядности расчеты удобно свести в таблицу, в которой данные для напряженности магнитного поля в отдельных элементах магнитопровода взяты по соответствующим кривым намагничивания. Так, для сердечника, изготовленного из стали Э11, находим, что индукции B₁ = 1,05 Вб/м² соответствует значение напряженности магнитного поля H₁ = 570 А/м, а для якоря, изготовленного из литой стали, имеем, что величине B₂ = 0,84 Вб/м² соответствует значение H₂ = 540 А/м.

Название участка	Материал	S, м2	l, м	B, Вб/м2	H, А/м	H·l, А
Сердечник	Сталь Э11	4·10–4	0,28	1,05	570	160
Якорь	Литая сталь	5·10–4	0,16	0,84	540	85
Воздушный зазор	Воздух	4·10–4	0,002	1,05	84·104	1680

                                                                                                                                     F= ∑ H k ⋅ l k =160+85+1680=1925  А.

Искомый ток найдем, пользуясь формулой F = I·w:

I= F w = 1925 500 =3,85  А.

Статическая индуктивность электромагнита равна отношению потокосцепления (полного магнитного потока) к току:

L ст = Ψ I = w⋅Ф I = 500⋅4,2⋅ 10 −4 3,85 =0,053  Гн=053  мГн.

---

Задача 2.4. Найти магнитную индукцию в якоре электромагнита (обратная задача расчета одноконтурной магнитной цепи), изображенном на рис. 2.3, если на электромагнит намотано w = 250 витков, по которым проходит ток I = 4,4 А. Сердечник изготовлен из листовой электротехнической стали Э11, а якорь — из литой стали. Размеры сердечника и якоря те же, что и в предыдущей задаче. Длина воздушного зазора 0,5 мм. Площадь сечения воздушного зазора считать равной площади сердечника.

Решение

Это пример обратной задачи на расчет магнитной цепи. Для ее решения надо построить кривую зависимости магнитного потока Ф в функции магнитодвижущей силы F и на кривой найти рабочую точку.

Чтобы построить кривую Ф = f (F) будем задаваться различными величинами магнитных потоков Ф, по которым вычисляем соответствующие им значения магнитной индукции B в каждом из участков магнитной цепи. Затем по кривым намагничивания находим напряженность поля H, соответствующую каждому значению индукции B, и, наконец, вычисляем магнитодвижущую силу по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока)

F= ∑ H k ⋅ l k .

Так, например, примем Ф = 3,2·10^–4 Вб. Тогда

B серд = Ф S серд = 3,2⋅ 10 −4 4⋅ 10 −4 =0,8   Вб м 2 ; B як = Ф S як = 3,2⋅ 10 −4 5⋅ 10 −4 =0,64   Вб м 2 ; B заз = B серд =0,8   Вб м 2 .

По кривым намагничивания находим напряженности магнитного поля:

H серд =318   А м ; H як =330   А м ; H заз = B заз μ 0 = 0,8 4π⋅ 10 −7 =64⋅ 10 4    А м .

Магнитодвижущая сила

F= H серд ⋅ l серд + H як ⋅ l як + H заз ⋅ l заз =       =318⋅0,28+330⋅0,16+64⋅ 10 4 ⋅ 10 −3 =780  А.

Эта магнитодвижущая сила меньше заданной, которая равна

I·w = 4,4·250 = 1100 А.

Аналогично проводим расчеты для больших значений Ф, которые сведены в следующую таблицу:

Ф, Вб	Bсерд, Вб/м2	Нсерд, А/м	lсерд, м	Bяк, Вб/м2	Hяк, А/м	lяк, м	Bзаз, Вб/м2	Hзаз, А/м	lзаз, м	F, А
3,2·10–4	0,8	318	0,28	0,64	330	0,16	0,8	64·104	1·10–3	780
3,6·10–4	0,9	397	0,28	0,72	400	0,16	0,9	72·104	1·10–3	895
4,0·10–4	1,0	502	0,28 На http://www.online-invest.org проекты хайп.	0,80	490	0,16	1,0	80·104	1·10–3	1020
4,4·10–4	1,1	647	0,28	0,88	600	0,16	1,1	88·104	1·10–3	1160

Мы остановились на величине Ф = 4,4·10^–4 Вб потому, что для этого значения магнитного потока суммарная магнитодвижущая сила равна 1160 А, что больше заданных 1100 А. По данным расчетов построена кривая Ф = f (F) и на ней определена рабочая точка, которая при F = 1100 А соответствует значению магнитного потока в 4,24·10^–4 (рис. 2.4).

Рис. 2.4

Следовательно, искомая индукция в якоре электромагнита

B як = Ф S як = 4,24⋅ 10 −4 5⋅ 10 −4 =0,848   Вб м 2 .

Обычно в технических расчетах значения магнитной индукции округляют до сотых долей Вб/м² (целые сотни гауссов); поэтому считаем B_як = 0,85 Вб/м².

Укажем, что задача могла бы быть решена и другим путем — методом проб: суть его состоит в том, что так же, как и выше, задаются некоторым значением магнитного потока Ф, для которого подсчитывают магнитодвижущую силу F. Если она окажется меньше заданной, то берут большие значения Ф до тех пор, пока не получат F больше заданной величины. После этого значения Ф, соответствующие большим и меньшим против заданного значениям F сужают до тех пор, пока для одного из сечений магнитной цепи полученные значения магнитной индукции будут различаться друг от друга не более чем на 0,1 Вб/м² (1000 Гс). Искомое значение Ф можно затем найти путем интерполирования.

Так, например, задаемся величиной Ф = 3,2·10^–4 Вб, которой соответствует магнитодвижущая сила F = 780 А, что меньше заданного значения F_зад = 1100 А. Теперь зададимся Ф’ = 4,4·10^–4 Вб, для которого найдем F’ = 1160 А; это больше заданной величины F_зад. Уменьшаем значение Ф, принимая его, например, равным 4·10^–4 Вб; ему соответствует значение F» = 1020 А, что вновь меньше заданной величины магнитодвижущей силы. Итак, при Ф» = 4·10^–4 Вб: B»_як = 0,8 Вб/м², а при Ф’ = 4,4·10^–4 Вб: B’_як = 0,88 Вб/м².

Таким образом, значения магнитной индукции B в одном из сечений (в данном случае в якоре) отличаются одно от другого менее, чем на 0,1 Вб/м² (0,88 — 0,8 = 0.08 Вб/м²).

Окончательное значение магнитного потока найдем линейным интерполированием.

Рис. 2.5

Из треугольника MNP (рис. 2.5) имеем:

ΔФ 4,4⋅ 10 −4 −4⋅ 10 −4 = 1100−1020 1160−1020 ,

отсюда

ΔФ=0,23⋅ 10 −4   Вб,  а  Ф=4⋅ 10 −4 +0,23⋅ 10 −4 =4,23⋅ 10 −4   Вб.

Искомая индукция в якоре

B як = Ф S як = 4,23⋅ 10 −4 5⋅ 10 −4 ≈0,85   Вб м 2 .

---

Задача 2.5. Найти магнитную индукцию в воздушном зазоре тороида (обратная задача расчета одноконтурной магнитной цепи), изготовленного из литой стали (рис. 2.6), если на тороид намотано w = 400 витков, по которым проходит ток I = 4 А. Воздушный зазор = 2 мм. Размеры тороида на рисунке даны в мм.

Рис. 2.6

Решение

Задача может быть решена аналогично предыдущей. Мы здесь укажем, как быстрее всего найти первое приближенное значение магнитного потока. Для этого предполагаем, что вся заданная магнитодвижущая сила F = I·w расходуется на ту часть магнитопровода, которая предполагается имеющей наибольшее магнитное сопротивление. Получаемое при этом значение магнитного потока будет завышено по сравнению с фактическим, ибо в расчете не были учтены магнитные сопротивления других участков цепи.

Полагая в нашем случае, что вся магнитодвижущая сила падает на магнитном сопротивлении воздушного зазора, запишем по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока):

F=I⋅w= H возд ⋅δ= B μ 0 ⋅δ,

откуда

B= I⋅w⋅ μ 0 δ = 4⋅400⋅4π⋅ 10 −7 2⋅ 10 −3 =1,0   Вб м 2 .

Так как это значение индукции, как указано выше, явно завышено, проведем новый расчет для меньшего значения магнитной индукции, например, для 0,8 Вб/м². По кривой намагничивания для литой стали этой индукции соответствует величина напряженности магнитного поля H_ст = 490 А/м.

Общая магнитодвижущая сила по второму закону Кирхгофа для магнитной цепи (закону полного тока) при этом будет равна

F= H ст ⋅ l ст + H возд ⋅δ=490⋅0,785+ 0,8 4π⋅ 10 −7 ⋅2⋅ 10 −3 =1650  А,

что превышает заданную величину 1600 А.

Теперь проведем расчет для еще меньшей индукции B = 0,7 Вб/м². Для нее по кривой намагничивания напряженность H_ст = 380 А/м. Общая магнитодвижущая сила в этом случае будет

F= H ст ⋅ l ст + H возд ⋅δ=490⋅0,785+ 0,7 4π⋅ 10 −7 ⋅2⋅ 10 −3 =1410  А,

что меньше заданной величины 1600 А.

Таким образом, истинная величина индукции находится в пределах от 0,7 до 0,8 Вб/м². Ее мы найдем интерполированием (рис. 2.7).

Рис. 2.7

Искомая индукция B=0,7+ΔB,  где  ΔB  находится из соотношения

ΔB 0,1 = 1600−1410 1650−1410 = 190 240 ,

откуда

ΔB= 190 240 ⋅0,1≈0,08   Вб м 2 .

Итак, искомая индукция равна 0,78 Вб/м² (7800 Гс).

---

Задача 2.6. Определить все магнитные потоки и ток, проходящий через катушку, расположенную на среднем стержне сердечника, если в левом стержне имеется магнитная индукция в 0,95 Вб/м². Размеры магнитопровода на рис. 2.8 даны в миллиметрах. Материал сердечника — листовая сталь Э11. Число витков катушки w = 500.

Рис. 2.8

Решение

Покажем на рисунке средние линии магнитной индукции. По данным задачи найдем их длины:

l_A = 60 см; l_B = 25 см; l_C = 70 см.

Задачи на сложную разветвленную несимметричную магнитную цепь решаются на основании первого и второго законов Кирхгофа для магнитной цепи:

для узла n

                                                Ф_B = Ф_A + Ф_C;                                       (1)

для контура npqn

                                             H_B·l_B + H_C·l_C = I·w;                               (2)

для контура npqmn

                                              H_C·l_C — H_A·l_A = 0.                                 (3)

В уравнениях (2) и (3) H_A, H_B и H_C соответственно напряженности магнитного поля в стержнях A, B и C.

Для магнитной индукции в левом стержне B_A = 0,95 Вб/м² по кривой намагничивания для листовой стали найдем H_A = 447 А/м.

Из уравнения (3) получим

H C = H A ⋅ l A l C = 447⋅60 70 =384   А м .

По кривой намагничивания находим, что H = 384 А/м соответствует индукция B_C = 0,89 Вб/м².

По уравнению (1) получим

Ф B = Ф A + Ф C = B A ⋅ S A + B C ⋅ S C =         =0,95⋅20⋅ 10 −4 +0,89⋅20⋅ 10 −4 =36,8⋅ 10 −4   Вб.

Следовательно,

B B = Ф B S B = 36,8⋅ 10 −4 40⋅ 10 −4 =0,92   Вб м 2 .

Этой индукции по кривой намагничивания соответствует H_B = 417 А/м. По уравнению (2) найдем

I·w = H_B·l_B + H_C·l_C = 417·0,25 + 384·0,7 = 373 А.

Искомый ток

I= F w = 373 500 ≈0,75  А.

---

Задача 2.7. Магнитная цепь изготовлена из листовой электротехнической стали Э11. На средний стержень сердечника намотана катушка, содержащая w = 930 витков, по которым проходит ток I = 1 А (рис. 2.8). На всем участке A сечение магнитной цепи считать S_A = 20 см², на участке B — S_B = 40 см², на участке С — S_C = 20 см². Длины средних линий магнитной индукции каждого из участков считать равными: l_A = 55 см, l_B = 25 см, l_C = 80 см.

Найти значения магнитной индукции во всех стержнях.

Решение

Выберем на рис. 2.8 пути средних линий магнитной индукции и запишем уравнения:

для узла n

                                                Ф_B = Ф_A + Ф_C;                                       (1)

для контура npqn

                                             H_B·l_B + H_C·l_C = I·w;                                (2)

для контура npqmn

                                              H_C·l_C — H_A·l_A = 0.                                     (3)

Построим кривые зависимостей

Ф_A = f₁ (H_A·l_A) = f₁ (U_Mnq);

Ф_B = f₂ (I·w — H_B·l_B) = f₂ (U_Mnq);

Ф_C = f₃ (H_C·l_C) = f₃ (U_Mnq).

Здесь U_Mnq — разность скалярных магнитных потенциалов точек n и q, или магнитодвижущая сила между теми же точками.

Для построения кривой f₁ задаемся различными величинами магнитных потоков Ф_A, по которым находим соответствующие им значения магнитной индукции B_A, для которых по кривой намагничивания определяем напряженность магнитного поля H_A. Беря произведение H_A·l_A, находим для различных потоков значения магнитных напряжений на участке A. Результаты вычислений сводим в таблицу. Таким же путем производим расчет для построения кривой на участке C. Наконец, для построения кривой f₂ (участок B) задаемся значениями Ф_B и по ним находим B_B, H_B, H_B·l_B и разность I·w — H_B·l_B. Указанные вычисления сведены в таблицу.

ФА, 10–4 Вб	BA, Вб/м2	HA, А/м	HAlA, А	ФC, 10–4 Вб	BC, Вб/м2	HC, А/м	HClC, А	ФB, 10–4 Вб	BB, Вб/м2	HB, А/м	HBlB, А	Iw–HBlB, Смотрите на сайте tłumacz Warszawa. Утепление деревянного дома снаружи. А
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	930
10	0,5	171	94	10	0,5	171	137	20	0,5	171	43	887
12	0,6	211	116	12	0,6	211	169	24	0,6	211	53	877
14	0,7	261	143	14	0,7	261	209	28	0,7	261	65	865
16	0,8	318	175	16	0,8	318	254	32	0,8	318	80	850
18	0,9	397	218	18	0,9	397	318	36	0,9	397	99	831
20	1,0	502	276	20	1,0	502	402	40	1,0	502	126	804
22	1,1	647	356	22	1,1	647	518	44	1,1	647	162	768
24	1,2	843	463	24	1,2	843	675	48	1,2	843	210	720
26	1,3	1140	626	26	1,3	1140	913	52	1,3	1140	285	645
28	1,4	1580	870	28	1,4	1580	1265	56	1,4	1580	395	535
30	1,5	2500	1375	30	1,5	2500	2000	60	1,5	2500	625	305

По этим данным построены кривые Ф_A, Ф_B, Ф_C (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Так как величины магнитных потоков должны удовлетворять уравнению (1), то проводим еще одну вспомогательную кривую Ф_B = Ф_A + Ф_C; она строится путем суммирования ординат кривых Ф_A и Ф_C для одних и тех же значений абсцисс. Точка m ее пересечения с кривой Ф_B = f₂ (I·w — H_B·l_B) определяет величину искомого потока

Ф_B = 50,4·10^–4 Вб.

Перпендикуляр mm’, опущенный из m на ось абсцисс, пересечет кривую Ф_A в точке n, а кривую Ф_C — в точке p, отрезок nm’ выражает искомый магнитный поток в стержне A:

Ф_A = 26,4·10^–4 Вб, а отрезок pm’ — поток Ф_C = 24·10^–4 Вб.

По найденным потокам находим магнитные индукции в каждом из стержней:

B A = Ф A S A = 26,4⋅ 10 −4 20⋅ 10 −4 =1,32   Вб м 2 ; B B = Ф B S B = 50,4⋅ 10 −4 40⋅ 10 −4 =1,26   Вб м 2 ; B C = Ф C S C = 24,0⋅ 10 −4 20⋅ 10 −4 =1,20   Вб м 2 .

Проверка. Можно убедиться, что при найденных значениях магнитных индукций удовлетворяются уравнения (1) — (3). Для этого по кривой намагничивания надо найти для каждого значения B соответствующее значение H и подставить в указанные уравнения.

---

Задача 2.8. Сердечник собран из листов электротехнической стали марки Э11. Форма и размеры сердечника (в мм) указаны на рис. 2.10.

Рис. 2.10

Обмотка имеет w = 400 витков, по которым проходит ток I = 3,5 А. Длина воздушного зазора составляет 1 мм. Определить магнитный поток в сердечнике. При расчете следует считать, что сечение воздушного зазора равно сечению сердечника.

Задачу решить следующими аналитическими методами: а) линейной аппроксимации, б) кусочно-линейной аппроксимации, в) дробно-линейной аппроксимации.

Результаты, полученные для каждого из случаев, сравнить с теми, какие получаются при решении задачи обычным способом.

Решение

Найдем длину средней линии магнитной индукции и сечение стального сердечника (рис. 2.10):

l₁ = 2· (90 — + 2· (46 — = 240 мм = 0,24 м;

S₁ = 8·5 = 40 мм² = 0,4·10^–4 м².

Длина средней линии магнитной индукции в воздушном зазоре и его сечение равны:

l₂ = 1 мм = 1·10^–3 м;

S₂ = 8·5 = 40 мм² = 0,4·10^–4 м².

Решая задачу способом, указанным в решении задачи 2.4, найдем магнитную индукцию B = 1,35 Вб/м² и соответствующий магнитный поток

Ф = B·S = 1,35·0,4·10^–4 = 0,54·10^–4 Вб.

а) Расчет магнитной цепи методом линейной аппроксимации кривой намагничивания

Здесь расчет магнитной цепи основан на замене рабочей части кривой намагничивания прямой линией в некоторой области изменения магнитной индукции. Примем, например, что магнитная индукция изменяется в пределах от нуля до 1,5 Вб/м². Заменим кривую намагничивания (рис. 2.11) прямой линией 0b.

Рис. 2.11

Ее уравнение B = k₁·H, здесь коэффициент k₁ равен тангенсу угла наклона прямой 0b к оси абсцисс и выражает приближенное значение абсолютной магнитной проницаемости стали в рассматриваемом интервале

μ a1 = μ r1 ⋅ μ 0 = k 1 = B H = 1,5 2500 =6⋅ 10 −4    Гн м .

Искомый магнитный поток определяем по уравнению:

Ф= I⋅w R M1 + R M2 ,

где

R M1 = l 1 μ a1 ⋅ S 1 = l 1 μ r1 μ 0 ⋅ S 1 ;   R M2 = l 2 μ 0 ⋅ S 2 — магнитные сопротивления, соответственно стальной части и воздушного зазора.

Производим вычисления:

R M1 = l 1 μ a1 ⋅ S 1 = 0,24 6⋅ 10 −4 ⋅0,4⋅ 10 −4 =1,0⋅ 10 7    1 Гн ; R M2 = l 2 μ 0 ⋅ S 2 = 1⋅ 10 −3 4π⋅ 10 −7 ⋅0,4⋅ 10 −4 =1,98⋅ 10 7    1 Гн ; Ф= I⋅w R M1 + R M2 = 3,5⋅400 1,0⋅ 10 7 +1,98⋅ 10 7 =0,47⋅ 10 −7   Вб.

Ошибка в сравнении с результатами, полученными обычным способом, составляет

0,54⋅ 10 −4 −0,47⋅ 10 −4 0,54⋅ 10 −4 ⋅100%≈13%.

б) Расчет магнитной цепи методом кусочно-линейной аппроксимации кривой намагничивания

Здесь расчет магнитной цепи основан на замене рабочей части кривой намагничивания отрезками прямых линий, например, из двух прямых отрезков 0a и ab (рис. 2.11).

Предполагается, что рабочий режим лежит в области индукций между B₁ и B₂, соответствующих точкам a и b.

Уравнение прямой ab, выражающей зависимость магнитной индукции от напряженности магнитного поля в стали, имеет вид:

B ст = B 1 + k 2 ⋅ ( H ст − H 1 ),                (1)

где k₂ — тангенс угла наклона прямой ab с осью абсцисс:

k 2 = B 2 − B 1 H 2 − H 1 .                    (2)

Напряженность магнитного поля в воздухе может быть выражена следующим образом:

H в = B в μ 0 = Ф μ 0 ⋅ S 2 = B ст ⋅ S 1 μ 0 ⋅ S 2 = B ст μ ′ 0 ,     (3)

где ради краткости обозначено

μ ′ 0 = μ 0 ⋅ S 2 S 1 .                (4)

Подставляя в уравнение (3) вместо B_ст его значение из уравнения (1), получим:

H в =[ B 1 + k 2 ⋅ ( H ст − H 1 ) ]⋅ 1 μ ′ 0 .     (5)

Для определения H_ст воспользуемся уравнением второго закона Кирхгофа для магнитной цепи (законом полного тока)

H_ст·l₁ + H_в·l₂ = I·w.          (6)

Подставляя в уравнение (6) значение Н_в из уравнения (5), будем иметь:

H ст ⋅ l 1 + B 1 ⋅ l 2 μ ′ 0 + k 2 ⋅ l 2 μ ′ 0 ⋅ ( H ст − H 1 )=I⋅w.

Решая это алгебраическое уравнение относительно H_ст, найдем:

H ст = I⋅w⋅ μ ′ 0 − B ′ ⋅ l 2 μ ′ 0 ⋅ l 1 + k 2 ⋅ l 2 ,       (7)

где

B ′ = B 1 − k 2 ⋅ H 1 .           (8)

Величина магнитной индукции в стали находится путем подстановки найденного значения H_с в уравнение (1):

B ст = μ ′ 0 ⋅ I⋅w⋅ k 2 + B ′ ⋅ l 1 μ ′ 0 ⋅ l 1 + k 2 ⋅ l 2 ,        (9)

Для нашей задачи выберем ломаную так, что:

в точке a

B₁ = 1,2 Вб/м², соответствующее H₁ = 843 А/м,

в точке b

B₂ = 1,5 Вб/м², соответствующее H₂ = 2500 А/м.

По формулам (2), (4), (8), (7) и (1) находим:

k 2 = B 2 − B 1 H 2 − H 1 = 1,5−1,2 2500−843 =18,15⋅ 10 −5    Гн м ; μ ′ 0 = μ 0 ⋅ S 2 S 1 = μ 0 ⋅ 0,4⋅ 10 −4 0,4⋅ 10 −4 = μ 0 =4π⋅ 10 −7    Гн м ; B ′ = B 1 − k 2 ⋅ H 1 =1,2−18,15⋅ 10 −5 ⋅843=1,05   Вб м 2 ; H ст = I⋅w⋅ μ ′ 0 − B ′ ⋅ l 2 μ ′ 0 ⋅ l 1 + k 2 ⋅ l 2 = 3,5⋅400⋅4π⋅ 10 −7 −1,05⋅1⋅ 10 −3 4π⋅ 10 −7 ⋅0,24+18,15⋅ 10 −5 ⋅1⋅ 10 −3 =1470  А м ; B ст = B 1 + k 2 ⋅ ( H ст − H 1 )=1,2+18,15⋅ 10 −5 ⋅ ( 1470−843 )=1,314   Вб м 2 .

И, наконец, искомый поток

Ф = B_ст·S₁ = 1,314·0,4·10^–4 = 0,525·10^–4 Вб.

Ошибка по сравнению с обычным способом расчета составляет

0,54⋅ 10 −4 −0,525⋅ 10 −4 0,54⋅ 10 −4 ⋅100%≈3%.

в) Расчет магнитной цепи методом дробно-линейной аппроксимации кривой намагничивания

Дробно-линейная аппроксимация делается посредством уравнения:

B ст = H ст α+β⋅ H ст .          (10)

Входящие сюда коэффициенты α  и  β  находятся из известных значений магнитной индукции и напряженности магнитного поля в двух выбранных точках кривой намагничивания, между которыми ожидается действительный режим работы стального участка магнитной цепи.

Для определения Н_ст поступим следующим образом: из уравнения (10) значение В_ст подставим в уравнение (3), тогда получим:

H в = B ст μ ′ 0 = H ст μ ′ 0 ⋅ ( α+β⋅ H ст ) .

Это значение Н_в подставим в уравнение (6) второго закона Кирхгофа для магнитной цепи (закона полного тока):

H ст ⋅ l 1 + H ст ⋅ l 2 μ ′ 0 ⋅ ( α+β⋅ H ст ) =I⋅w.

Решая относительно Н_ст это квадратное уравнение, найдем:

H ст = 1 2 ( I⋅w l 1 − 1+p q )+ 1 4 ( I⋅w l 1 − 1+p q ) 2 + I⋅w q⋅ l 1 .        (11)

Второй корень квадратного уравнения, как не имеющий физического смысла, ввиду того что Н_ст должна выражаться положительным числом, опущен.

В уравнении (11) введены ради краткости обозначения:

p= l 2 ⋅ S 1 l 1 ⋅ S 2 ⋅ μ 0 ⋅α ;   q= β α .         (12)

Проведем числовые расчеты для нашей задачи, принимая для B и H те числовые значения, какие они имеют на границах рассматриваемого интервала в указанных выше точках a и b. По уравнению (10) имеем:

1,2= 843 α+β⋅843 ;   1,5= 2500 α+β⋅2500 .

Решая эти два уравнения, найдем:

α=213   м Гн ;   β=0,581    м 2 Вб .

Далее по формулам (12), (13), (11) и (10) получим:

p= l 2 ⋅ S 1 l 1 ⋅ S 2 ⋅ μ 0 ⋅α = 1⋅ 10 −3 ⋅0,4⋅ 10 −4 0,24⋅0,4⋅ 10 −4 ⋅4π⋅ 10 −7 ⋅α 213=15,6;  q= β α = 0,581 213 =2,73⋅ 10 −3    м А ; I⋅w q⋅ l 1 = 3,5⋅400 2,73⋅ 10 −3 ⋅0,24 =2,14⋅ 10 6    А 2 м 2 ; 1 2 ( I⋅w l 1 − 1+p q )= 1 2 ( 3,5⋅400 0,24 − 16,6 2,73⋅ 10 −3 )=−125; H ст = 1 2 ( I⋅w l 1 − 1+p q )+ [ 1 2 ( I⋅w l 1 − 1+p q ) ] 2 + I⋅w q⋅ l 1 =            =−125+ 125 2 +2,14⋅ 10 6 =−125+1515=1390    А м ; B ст = H ст α+β⋅ H ст = 1390 213+0,581⋅1390 =1,363   Вб м 2 .

Искомый магнитный поток равен:

Ф = B_ст·S₁ = 1,363·0,4·10^–4 = 0,545·10^–4 Вб.

Ошибка в сравнении с обычным методом расчета магнитных цепей составляет:

0,545⋅ 10 −4 −0,54⋅ 10 −4 0,545⋅ 10 −4 ⋅100%≈0,9%.

Отметим, что расчет при помощи дробно-линейной аппроксимации приводит к удовлетворительным результатам даже в тех случаях, когда велико расстояние между граничными точками.

закон полного тока,
магнитная цепь,
расчет магнитной цепи,
методы расчета магнитных цепей,
решение задач магнитные цепи

Ц.ель работы:
Изучение параметров магнитной цепи,
методики расчета неразветвленной
магнитной цепи.

Студент должен:

Знать
— основные параметры магнитной цепи,
их взаимосвязь, единицы измерения.

Уметь — выполнять
расчеты неразветвленной магнитной
цепи (прямая и обратная задача).

Показать
навыки
— работы с таблицами, графиками; навыки
аналитических расчетов.

Магнитная цепь и ее расчет

Магнитная
цепь (МЦ) — это устройство из ферромагнитных
сердечников с воздушными зазорами или
без них, по кото­рым замыкается
магнитный поток. Применение ферромаг­нетиков
имеет целью получение наименьшего
магнитного сопротивления, при котором
требуется наименьшая МДС для получения
нужной магнитной индукции или магнитного
потока.

Простейшая
магнитная цепь — это сердечник кольце­вой
катушки. Применяются магнитные цепи
неразветвленные и разветвленные,
отдельные участки кото­рых выполняются
из одного или из разных материалов.
Расчет
магнитной цепи сводится к определению
МДС по заданному магнитному потоку,
размерам цепи и ее мате­риалам.
Для
расчета цепь делят на участки l_1
,
l₂
и т. д. с оди­наковым сечением по всей
длине участка, т. е. с однород­ным
полем, определяют магнитную индукцию
В=
на каждом из них и по кривым намагничивания
находят соответствующие напряженности
магнитного поля. Магнитная
цепь (MЦ)
состоит из двух основных элементов: —
источника магнитной энергии;
—
магнитопровода.

Источник магнитной
энергии в реальных МЦ бывает двух видов:

—
постоянный магнит; — электромагнит.

Электромагнит
представляет собой катушку индуктивности,
размещенную на магнитопроводе, и
подключенную к источнику напряжения.

Магнитопровод по
своей конструкции может быть разветвленным
и неразветвленным.

На рис.1. полказана
неразветвленная магнитная цепь с
электромагнитом.

Основные параметры
МЦ:

1. МДС – магнитодвижущая
   сила (основной параметр источника
   магнитной энергии):

F
= I
w
(A),
где I
—
ток в обмотке (А), w
— число витков обмотки электромагнита.

1. Напряженность
   магнитного поля на любом участке МЦ.

Н =

= w
,
().
l
ср
–длина средней линии магнитопровода
(м). l
ср
проводится на чертеже строго по середине
сечения магнитопровода.

3.
магнитная индукция: В
= µ µ₀
Н
(Тл), где µ
—
магнитная проницаемость вещества, из
которого изготовлен магнитопровод.

µ₀
—
магнитная
постоянная,
µ₀
=
4 π ∙10 ^-7
Гн /м

4.
Магнитный поток: Ф
= В ∙
S
(Вб), где S
—
площадь поперечного сечения магнитопровода.

4. Задача на расчет магнитной цепи Задача 1. Прямая задача расчета мц

По заданному
магнитному потоку в цепи необходимо
определить намагничивающую силу (МДС),
необходимую для создания этого потока.
Решение задачи варианта №32.

вар	А, мм	В, мм	а, мм	b, мм	с, мм	d, мм	δ, мм	Прямая задача	Обратная задача
Вδ,Тл	I,А	материал	I,А	w,вит	материал
32	290	330	70	40	60	30	4	0,5	0,1	чугун	0,2	1300	чугун
33	300	250	60	50	40	30	9	1,9	0,5	Электротех. сталь	0,4	1900	литая сталь

Определить
число витков w
катушки
электромагнита, если известны габариты
магнитопровода, индукция Вδ
в воздушном зазоре, материал магнитопровода
и ток I
в обмотке электромагнита Толщина
провода магнитопровода по всей длине
одинакова и составляет 100 мм.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Магнитной цепью называется устройство, отдельные участки которого выполнены из ферромагнитных материалов, по которым замыкается магнитный поток. Примерами простейших цепей могут служить магнитопроводы кольцевой катушки и электромагнита, изображенного на рис. 6.11, а. Электрические машины и трансформаторы, электромагнитные аппараты и приборы имеют обычно магнитные цепи более сложной формы.

Рис. 6.11 Магнитные цепи (а — неразветвленная, б — разветвленная)

Если магнитная цепь выполнена из одного и того же материала и имеет по всей длине одинаковое сечение, то цепь называется однородной.

Если же отдельные участки цепи изготовлены из различных ферромагнитных материалов и имеют различные длины и сечения, то цепь — неоднородная.

Магнитные цепи, так же как и электрические, бывают разветвленные (рис. 6.11,6) и неразветвленные (рис. 6.11,а).

В неразветвленных цепях магнитный поток Ф во всех сечениях имеет одно и то же значение.

Разветвленные цепи могут быть симметричными и несимметричными. Цепь, представленная на рис. 6.11,6, считается симметричной, если правая и левая части ее имеют одинаковые размеры, выполнены из одного и того же материала и если МДС I₁W₁ и I₂W₂ одинаковы. При невыполнении хотя бы одного из указанных условий цепь будет несимметричной.

Разобьем неразветвленную магнитную цепь, например, на рис 6.11, а на ряд однородных участков, каждый из которых выполнен из определенного материала и имеет одинаковое поперечное сечение S вдоль всей своей длины. Длину каждого участка L будем считать равной длине средней магнитной линии в пределах этого участка. Из сказанного выше следует, что магнитные потоки всех участков неразветвленной цепи равны, т. е.

Ф₁=Ф₂=Ф₃=…=Ф_n,

и поле на каждом участке можно считать однородным, т. е. Ф= BS; поэтому

B₁S₁=B₂S₂=B₃S3=…=B_nS_n

Где n — число участков цепи. Магнитное напряжение на любом из участков магнитной цепи

Где H — Напряженность, (измеряется в ампер на метр А/М).

B — Магнитная индукция (измеряется в теслах Тл).

L — Длинна средне силовой линии проходящей через центр поперечного сечения магнитопровода.

S — площадь поперечного сечения магнитопровода.

  — Магнитная постоянная.

μ_r — Магнитная проницаемость ферромагнетиков.

При заданном направлении тока в обмотке направление потока и МДС IW определяется по правилу буравчика.

Магнитное сопротивление и закон Ома для магнитной цепи.

По аналогии с электрической цепью величину

называют магнитным сопротивлением участка магнитной цепи (измеряется в 1/Гн).

Таким образом, магнитное напряжениеВыражение (3) по аналогии с электрической цепью часто называют законом Ома для магнитной цепи Однако вследствие нелинейности цепи, вызванной непостоянством магнитной проницаемости μ_r ферромагнетиков, оно практически не применяется для расчета магнитных цепей.

Законы Кирхгофа для магнитной цепи

При расчетах разветвленных магнитных цепей пользуются двумя законами Кирхгофа, аналогичными законам Кирхгофа для электрической цепи.

Первый закон Кирхгофа непосредственно вытекает из непрерывности магнитных линий, т.е. и магнитного потока; алгебраическая сумма магнитных потоков в точке разветвления равна нулю:

Например, для узла а на рис. 6.11,б

— Ф1 — Ф2 + Ф3 = 0

Второй закон Кирхгофа для магнитной цепи основывается на законе полного тока: алгебраическая сумма магнитных напряжений на отдельных участках цепи равна алгебраической сумме МДС:

Например, для левого контура и а рис. 6.11, бКак следует из закона Ома, для получения наибольшего магнитного потока при наименьшей МДС у магнитной цепи должно быть возможно меньшее магнитное сопротивление. Большая магнитная проницаемость ферромагнитных материалов обеспечивает получение малых магнитных сопротивлений магнитопроводов из этих материалов. Поэтому магнитные цепи электрических машин выполняют преимущественно из ферромагнетиков, а участки цепей из неферромагнитных материалов, то есть неизбежные или необходимые воздушные зазоры, делают, как правило, возможно малыми.

Схема устройства магнитной цепи двухполюсной машины с явно выраженными полюсами показана на рис. 6.12.

Рис. 6.12 Магнитная цепь электрической машины с явно выраженными полюсами

Плоскость 00′, проведенная через середины полюсов N и S и ось машины, делит магнитную цепь на две симметричные части. В каждой из них магнитный поток Ф/2 замыкается через полюсы П, полюсные наконечники ПН, воздушные зазоры, якорь Я и станину машины С. Магнитодвижущая сила создается током в обмотке возбуждения ОВ, расположенной на полюсах N и S. Из северного полюса N магнитные линии выходят и в южный полюс S входят.

Рис, 6.13. Магнитная цепь электрической машины с неявно выраженными полюсами

Схема устройства магнитной цепи двухполюсной машины с неявно выраженными полюсами показана на рис. 6.13. Здесь обмотка возбуждения заложена в пазы ротора Р — вращающейся части машины, укрепленной на валу. Как и в предыдущем случае, плоскость 00′, проведенная через середины полюсов N и S, делит магнитную цепь машины на две симметричные части, в каждой из которых магнитный поток Ф/2. Магнитный поток замыкается через ротор машины, воздушные зазоры и станину машины С, представляющую собой неподвижный наружный стальной цилиндр — статор машины.