Как найти траекторию относительного движения

Любое движение тела происходит по отношению к другим телам. Физики говорят: «Относительно других тел».

К примеру, человек, едущий в автобусе, относительно автобуса находится в состоянии покоя, а относительно дороги – движется.

 Примечание: Когда мы рассматриваем движение тела, мы выбираем систему отсчета, в которой это дело будет двигаться. При этом, тело отсчета мы принимаем за неподвижное тело, относительно которого происходит движение изучаемого тела.

Такие характеристики движения, как:

  • перемещение тела;
  • траектория, вдоль которой тело двигалось;
  • скорость тела;
  • ускорение тела;

в разных системах отсчета (СО) будут различаться.

Траектория тела различна в разных системах отсчета

Траектория – это относительная характеристика движения. Потому, что она различается для разных систем отсчета (СО).

В то время, пока самолет летит, точка, лежащая на кончике его винта, относительно самолета движется по окружности (рис. 1), а относительно неподвижного наблюдателя на земле – эта же точка имеет винтовую траекторию.

Траектория точки на кончике винта летящего самолета относительно пилота является окружностью, а относительно поверхности земли точка описывает винтовую линию

Рис.1. Траектория кончика винта летящего самолета относительно пилота является окружностью, а относительно поверхности земли – винтовой линией

Например, движение ниппеля велосипедного колеса во время поездки на велосипеде.

В системе отсчета, связанной с:

  • велосипедом, траектория ниппеля – это окружность.
  • поверхностью земли, траектория ниппеля – это циклоида.

Что такое циклоида

Циклоида – это плоская кривая линия. По такой линии движется точка, лежащая на окружности, когда эта окружность катится по прямой без проскальзывания (рис. 2).

Траектория точки, лежащей на окружности, покуда окружность катится по прямой, является циклоидой

Рис. 2. Когда окружность катится по прямой, точка, лежащая на окружности, описывает циклоиду

Циклоиду называют трансцендентной кривой линией.

Линия трансцендентная, если ее в прямоугольных координатах не получается описать с помощью алгебраического уравнения.

Но с помощью параметра t можно записать отдельно координату x и координату y с помощью таких уравнений:

[ large begin{cases} x = r cdot t — r cdot sin(t) \ y = r — r cdot cos(t) end{cases} ]

Примечания:

  1. Окружность, которая катится – называется производящей.
  2. Прямая, по которой катится окружность – направляющая прямая.
  3. Точки пересечения циклоиды и направляющей прямой – это точки возврата.
  4. Самые высокие точки на циклоиде, располагающиеся между соседними точками возврата – это вершины циклоиды.

Циклоиду впервые изучил Галилео Галилей. Этот выдающийся итальянский ученый занимался физикой, математикой, астрономией, механикой и философией.

А английский математик и архитектор Кристофер Рен в 1658 году посчитал длину арки циклоиды.

Длина циклоиды равна четырем диаметрам производящей окружности.

Кристофер Рен спроектировал и руководил возведением в Лондоне купола собора Святого Павла.

С помощью циклоиды братья Бернулли решили задачу о скорейшем спуске — брахистохроне. Брахистохрон – с греч. «Краткое время». Они доказали, что по желобу, имеющему форму перевернутой вниз циклоиды шарик скатывается вниз за кратчайшее из возможных время.

Скорость тела различна в разных системах отсчета

Рассмотрим движение человека в едущем по прямому участку пути трамвае (рис. 3).

Относительно трамвая скорость человека равна 3 километра в час, а относительно земли – 63 километра в час

Рис. 3. Скорость человека относительно трамвая равна 3 километра в час, а относительно земли – 63 километра в час

Скорость трамвая (large vec{v_{text{Трам}}}) 60 километров в час. Предположим, в движущемся вагоне трамвая человек перемещается от задней части трамвая к его передней части, со скоростью (large vec{v_{text{Чел}}}) 3 километра в час.

Тогда скорость человека относительно трамвая будет равна 3 километрам в час, а относительно земли – 63 километрам в час.

[ large begin{cases} overrightarrow{v_{text{относит земли}}} = overrightarrow {v_{text{Трам}}} + overrightarrow {v_{text{Чел}}} \ overrightarrow {v_{text{ относит трам}}} = overrightarrow {v_{text{Чел}}} end{cases} ]

Как переходить из одной системы отсчета в другую

Любое движение, которое мы рассматриваем, а, так же, его характеристики, будут различаться в разных системах отсчета.

Относительно одних тел рассматриваемое тело может покоиться, а вместе с тем, относительно других тел оно может находиться в движении.

Чтобы осуществить переход между системами отсчета, нужно применять закон сложения скоростей и перемещений. Скорость и перемещение – это векторы. Значит, будем складывать их геометрически. То есть, при сложении векторов будем учитывать их направления.

Примечание: Ньютон изучал движение тел. В его теории время протекает одинаково во всех системах отсчета. То есть, в механике Ньютона время – это абсолютная величина.

Представим себе такую картину: На берегу реки сидит и отдыхает девушка (рис. 4). По реке мимо нее проплывает плот (по течению). С плота в это время в воду прыгает молодой человек и вплавь добирается к противоположному берегу реки. После чего, садится на берег и отдыхает.

Сложив вектор скорости реки с вектором собственной скорости пловца, найдем скорость пловца относительно неподвижного наблюдателя на берегу

Рис. 4. Чтобы найти скорость пловца относительно неподвижного наблюдателя, нужно сложить вектор скорости реки и вектор собственной скорости пловца

Перемещение в различных системах отсчета

Сначала запишем перемещение парня в системе отсчета, связанной с девушкой, когда нам известны его перемещение в системе отсчета, связанной с плотом.

 Примечание:

  1. Относительно девушки – значит, в системе отсчета, связанной с девушкой.
  2. Относительно плота – значит, в системе отсчета, связанной с плотом.

На рисунке перемещение плота и перемещение парня относительно плота обозначены длинными черными стрелками. А перемещение парня относительно сидящей на берегу девушки обозначено длинной синей стрелкой.

Из рисунка видно, что векторы перемещений образуют прямоугольный треугольник.

Сложив вектор переносного и относительного перемещений, получим вектор абсолютного перемещения:

[ large boxed{ overrightarrow{S_{text{абсол}}} = overrightarrow{S_{text{перенос}}} + overrightarrow{S_{text{отн}}} }]

( large overrightarrow{S_{text{перенос}}} ) – вектор перемещения плота;

( large overrightarrow{S_{text{отн}}} ) – вектор перемещения парня относительно плота (собственное перемещение парня);

( large overrightarrow{S_{text{абсол}}} ) – вектор перемещения парня относительно девушки на берегу;

Длину вектора абсолютного перемещения можно найти по теореме Пифагора:

[ large boxed{ left| overrightarrow{S_{text{абсол}}} right| = sqrt{ left(S_{text{перенос}} right)^{2} + left(S_{text{отн}}right) ^{2}} } ]

Скорость в различных системах отсчета

Запишем еще раз формулу для связи перемещений:

[ large overrightarrow{S_{text{абсол}}} = overrightarrow{S_{text{перенос}}} + overrightarrow{S_{text{отн}}} ]

Зная перемещение, и время равномерного движения, можно найти модуль вектора скорости, т. е. длину вектора скорости.

Скорость плывущего плота и скорость парня не изменяются. Поэтому, для связи скорости и перемещения можно применить формулу

[ large S = v cdot t ]

Разделив обе части этого уравнения на время t, получим выражение для скорости равномерного движения:

[ large frac{S}{t} = v ]

Обе части уравнения для перемещений разделим на время t движения.

[ large frac{overrightarrow{S_{text{абсол}}}}{t} = frac{overrightarrow{S_{text{перенос}}}}{t} + frac{overrightarrow{S_{text{отн}}}}{t}]

Полученное выражение можно записать с помощью векторов скоростей:

[ large boxed{ overrightarrow{v_{text{абсол}}} = overrightarrow{v_{text{перенос}}} + overrightarrow{v_{text{отн}}} }]

В частности, на рисунке 4 красными векторами обозначены скорость реки (плота) и скорость парня.

Опишем обозначения, использованные нами в уравнении, связывающем скорости в различных системах отсчета:

( large overrightarrow{v_{text{отн}}} = overrightarrow{v_{text{чел}}} ) – вектор скорости парня;

( large overrightarrow{v_{text{перенос}}} = overrightarrow{v_{text{плота}}} ) – вектор скорости плота (течения реки);

( large overrightarrow{v_{text{абсол}}} ) – вектор скорости парня относительно девушки;

Длину вектора скорости найдем по теореме Пифагора:

[ large boxed{ left| overrightarrow{v_{text{абсол}}} right| = sqrt{ left( v_{text{перенос}}right)^{2} + left(v_{text{отн}}right) ^{2} } }]

Таким образом, до прыжка в воду скорость парня в системе отсчета, связанной с плотом, равнялась нулю (рис. 5).

А в системе отсчета, связанной с отдыхающей на берегу девушкой, скорость парня равнялась скорости течения реки (скорости плота).

Скорость пловца зависит от выбора системы отсчета, в которой мы рассматриваем движение

Рис. 5. Скорость пловца зависит от выбора системы отсчета, так как в различных системах отсчета скорости будут разными

После прыжка с плота в системе отсчета, связанной с плотом, скорость парня равняется скорости, с которой он плывет к берегу перпендикулярно течению реки.

Ну а в системе отсчета, связанной с девушкой, скорость парня – это векторная сумма скорости течения реки и скорости плавания парня.

Выводы

  1. Перемещение тела и траектория, вдоль которой тело двигалось, скорость и ускорение тела в разных системах отсчета (СО) будут различаться. В этом заключается относительность движения.
  2. Перемещение и скорость – это векторы. Поэтому, при переходе из одной системы отсчета в другую, нужно складывать, или вычитать векторы скоростей и перемещений.
  3. Векторы складываем и вычитаем с помощью геометрии.
  4. Переносная скорость – это скорость движущейся системы отсчета;
  5. Относительная скорость – это скорость тела по отношению к движущейся системе отсчета (движущемуся телу отсчета);
  6. Абсолютная скорость – скорость тела в неподвижной системе отсчета;
  7. Каждая система отсчета связана со своим телом отсчета.

Содержание:

Абсолютная и относительная производные от вектора:

При рассмотрении сложного движения точки в общем случае переносного движения приходится рассматривать изменение векторных величин с течением времени по отношению к системам отсчета, движущимся друг относительно друга. Одно изменение имеет векторная величина относительно подвижной системы отсчета, движущейся относительно другой, неподвижной, и другое — относительно неподвижной системы отсчета. Неподвижной системой отсчета считается система, движение которой относительно других систем отсчета не рассматривается.

Введем обозначения производных от векторных величин при рассмотрении их изменения относительно различных систем отсчета, движущихся друг относительно друга. Для любого вектора Сложное движение точки в теоретической механике

Установим зависимость между полной и относительной производными по времени вектора Сложное движение точки в теоретической механике и величинами, характеризующими движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной. Для этого разложим вектор Сложное движение точки в теоретической механике на составляющие, параллельные осям подвижной системы координат. Имеем 

Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике

Рис. 87

Изменение вектора Сложное движение точки в теоретической механике относительно неподвижной системы координат Сложное движение точки в теоретической механике. в зависимости от времени состоит из изменения его проекций Сложное движение точки в теоретической механике на подвижные оси координат и изменения единичных векторов Сложное движение точки в теоретической механике подвижных осей вследствие движения подвижной системы координат относительно неподвижной. Вычислим полную производную по времени от вектора Сложное движение точки в теоретической механике, используя формулу (1). Получим

Сложное движение точки в теоретической механике

Первые три слагаемых учитывают изменение вектора Сложное движение точки в теоретической механике при неизменных Сложное движение точки в теоретической механике и поэтому составляют относительную производную, т. е.

Сложное движение точки в теоретической механике

Производные по времени единичных векторов определим по формулам Пуассона

Сложное движение точки в теоретической механике

так как эти векторы не изменяются от поступательного движения со скоростью  Сложное движение точки в теоретической механике вместе с подвижной системой отсчета (рис. 87). Вектор Сложное движение точки в теоретической механике есть угловая скорость вращательной части движения вокруг точки Сложное движение точки в теоретической механике подвижной системы координат относительно неподвижной. Подставляя эти значения производных единичных векторов в (2) и вынося Сложное движение точки в теоретической механике за скобки, получим

Сложное движение точки в теоретической механике

или, учитывая (1),

Сложное движение точки в теоретической механике

Получена формула зависимости производных векторов Сложное движение точки в теоретической механике в двух системах отсчета, движущихся друг относительно друга. Формула (4) называется формулой Бура.

Известно, что произвольное движение системы координат как свободного твердого тела можно представить как поступательное движение вместе с полюсом, например с точкой Сложное движение точки в теоретической механике, и вращение вокруг этой точки. Из формулы Бура следует, что поступательная часть движения вместе с полюсом не влияет на зависимость между производными, а влияет только вращательная часть движения.

Рассмотрим частные случаи.

1.    Если вектор Сложное движение точки в теоретической механике не изменяется относительно подвижной системы координат, то его относительная производная Сложное движение точки в теоретической механике и по формуле (4) получаем

Сложное движение точки в теоретической механике

Это формула для производной от вектора постоянного модуля, доказанная ранее для радиуса-вектора при вращении вокруг неподвижной оси. Она справедлива для любого вектора при произвольном движении подвижной системы осей координат. В рассматриваемом случае Сложное движение точки в теоретической механике не только угловая скорость вращения подвижной системы координат, но и угловая скорость вращения вектора Сложное движение точки в теоретической механике, так как вектор Сложное движение точки в теоретической механике можно при этом считать скрепленным с подвижной системой координат.

2.    Если вектор Сложное движение точки в теоретической механике не изменяется относительно основной системы координат, то полная производная Сложное движение точки в теоретической механике и, согласно (4), его относительная производная

Сложное движение точки в теоретической механике

3.    Если Сложное движение точки в теоретической механике, т. е. вектор Сложное движение точки в теоретической механике все время параллелен вектору угловой скорости Сложное движение точки в теоретической механике, тоСложное движение точки в теоретической механике и

Сложное движение точки в теоретической механике

В частности, если Сложное движение точки в теоретической механике, то

Сложное движение точки в теоретической механике

Полная и локальная производные также равны друг другу в те моменты времени, в которые вектор Сложное движение точки в теоретической механике параллелен вектору угловой скорости Сложное движение точки в теоретической механике.

Сложение скоростей

Если Сложное движение точки в теоретической механике—неподвижная система осей координат, а Сложное движение точки в теоретической механике — подвижная (рис. 88), то, как известно, абсолютным движением точки называют ее движение относительно неподвижной системы осей координат, а относительным — ее движение относительно подвижной. Переносным движением точки называют ее движение в рассматриваемый момент времени вместе с подвижной системой осей относительно неподвижных. Относительные скорость и ускорение обозначают Сложное движение точки в теоретической механике и Сложное движение точки в теоретической механике, переносные — Сложное движение точки в теоретической механике и Сложное движение точки в теоретической механике, а абсолютные — Сложное движение точки в теоретической механике и Сложное движение точки в теоретической механике. Другие характеристики этих движений снабжаются соответствующими значками.

Движение подвижной системы осей координат относительно неподвижной можно охарактеризовать скоростью ее поступательного движения Сложное движение точки в теоретической механике, например вместе с точкой Сложное движение точки в теоретической механике и вектором угловой скорости Сложное движение точки в теоретической механике ее вращения вокруг Сложное движение точки в теоретической механике. Пусть точка Сложное движение точки в теоретической механике движется относительно подвижной системы координат. Получим теорему сложения скоростей. Для этого проведем векторы Сложное движение точки в теоретической механике и Сложное движение точки в теоретической механике, характеризующие положение точки Сложное движение точки в теоретической механике относительно неподвижной и подвижной систем осей координат, и вектор Сложное движение точки в теоретической механике точки Сложное движение точки в теоретической механике. Для любого момента времени

Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике

Рис. 88

Продифференцируем по времени это векторное тождество, учитывая изменения векторов относительно неподвижных осей координат, т. е. вычислим полные производные. Получим

Сложное движение точки в теоретической механике

По определению, Сложное движение точки в теоретической механике является абсолютной скоростью точки Сложное движение точки в теоретической механике, Сложное движение точки в теоретической механике — абсолютной скоростью точки Сложное движение точки в теоретической механике. Для вычисления Сложное движение точки в теоретической механике применим формулу Бура. Имеем

Сложное движение точки в теоретической механике

Относительная производная Сложное движение точки в теоретической механике является относительной скоростью точки Сложное движение точки в теоретической механике по отношению к подвижной системе отсчета, а Сложное движение точки в теоретической механике — угловая скорость вращения подвижной системы отсчета и, следовательно, радиуса-вектора Сложное движение точки в теоретической механике, если бы он в рассматриваемый момент времени был скреплен с подвижной системой осей координат. Таким образом, из (5) получаем

Сложное движение точки в теоретической механике

Скорость

Сложное движение точки в теоретической механике

является скоростью точки свободного твердого тела, скрепленного с подвижной системой координат, с которой в данный момент совпадает точка Сложное движение точки в теоретической механике в движении тела относительно неподвижной системы осей координат. Это есть переносная скорость точки Сложное движение точки в теоретической механике. Из (6) получаем следующую теорему сложения скоростей для точки:

Сложное движение точки в теоретической механике

т. е. скорость абсолютного движения точки равна векторной сумме переносной и относительной скоростей.

Сложение ускорений точки в общем случае переносного движения

Абсолютное ускорение точки определим вычислением полной производной по времени от абсолютной скорости (6). Имеем

Сложное движение точки в теоретической механике

Для полных производных от векторов Сложное движение точки в теоретической механике и Сложное движение точки в теоретической механике применим формулу Бура. Получим

Сложное движение точки в теоретической механике

Учитывая, что

Сложное движение точки в теоретической механике

получим для абсолютного ускорения

Сложное движение точки в теоретической механике

В этой формуле первые три слагаемых составляют ускорение точки свободного твердого тела в общем случае его движения вместе с подвижной системой осей координат относительно неподвижной. Первое слагаемое Сложное движение точки в теоретической механике — ускорение точки Сложное движение точки в теоретической механике, Сложное движение точки в теоретической механике и Сложное движение точки в теоретической механике — соответственно вращательное и осестремительное ускорения точки Сложное движение точки в теоретической механике, если бы она двигалась только вместе с подвижной системой осей координат, не имея в рассматриваемый момент времени относительного движения. После этого (8) примет вид

Сложное движение точки в теоретической механике

где

Сложное движение точки в теоретической механике

Ускорение Сложное движение точки в теоретической механике называется ускорением Кориолиса. Иногда его также называют добавочным (или поворотным) ускорением.

Формула (9) выражает теорему сложения ускорений точки, или кинематическую теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений — переносного, относительного и Кориолиса.

Переносное ускорение рассматривалось при изучении движения свободного твердого тела. Относительное ускорение изучалось в кинематике точки. Его можно выразить в двух формах в зависимости от способа задания относительного движения. При координатном способе задания в декартовых координатах

Сложное движение точки в теоретической механике

где Сложное движение точки в теоретической механике — координаты движущейся_ точки относительно подвижной системы осей координат;Сложное движение точки в теоретической механике — единичные векторы этих осей. При естественном способе задания движения

Сложное движение точки в теоретической механике

причем

Сложное движение точки в теоретической механике

где Сложное движение точки в теоретической механике — расстояние от начала отсчета до точки по траектории относительного движения; Сложное движение точки в теоретической механике — радиус кривизны этой траектории. В частном случае, когда переносное движение есть вращение вокруг неподвижной оси, переносное ускорение

Сложное движение точки в теоретической механике

где касательное переносное ускорение

Сложное движение точки в теоретической механике

причем Сложное движение точки в теоретической механике есть кратчайшее расстояние от движущейся точки до оси вращения. Нормальное переносное ускорение

Сложное движение точки в теоретической механике

Абсолютное ускорение в этом случае

Сложное движение точки в теоретической механике

Ускорение Кориолиса

Рассмотрим ускорение Кориолиса и его свойства. Оно определяется формулой (10)

Сложное движение точки в теоретической механике

Угловую скорость вращательной части движения подвижной системы отсчета, т. е. угловую скорость переносного движения, заменили на Сложное движение точки в теоретической механике.

Ускорение Кориолиса является результатом взаимного влияния двух движений: переносного и относительного. Часть его Сложное движение точки в теоретической механике получается вследствие изменения переносной скорости точки из-за относительного движения. Другая его часть, тоже Сложное движение точки в теоретической механике, есть результат изменения относительной скорости вследствие переносного движения. Это следует из анализа формул при выводе абсолютного ускорения.

Модуль ускорения Кориолиса в соответствии с (10) определяется выражением

Сложное движение точки в теоретической механике

Для определения ускорения Кориолиса очень удобно правило Н. Е. Жуковского. Оно основано на формуле (10). Пусть имеем точку Сложное движение точки в теоретической механике, движущуюся с относительной скоростью Сложное движение точки в теоретической механике (рис. 89). Построим плоскость Сложное движение точки в теоретической механике, перпендикулярную угловой скорости переносного вращения и спроецируем Сложное движение точки в теоретической механике на эту плоскость. Проекцию обозначим Сложное движение точки в теоретической механике. Она является вектором; ее модуль

Сложное движение точки в теоретической механике

Ускорение Кориолиса выразится в форме

Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике

Рис. 89    

Учитывая (10) и (12′), получаем правило Жуковского: модуль ускорения Кориолиса равен удвоенному произведению угловой скорости переносного вращения на модуль проекции относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения; чтобы получить направление ускорения Кориолиса, следует вектор проекции относительной скорости Сложное движение точки в теоретической механике повернуть на Сложное движение точки в теоретической механике вокруг оси, параллельной оси переносного вращения, в направлении этого вращения.

Рассмотрим случаи обращения в нуль ускорения Кориолиса. Из (12) следует, что Сложное движение точки в теоретической механике, если:

  1.     Сложное движение точки в теоретической механике, т. е. переносное движение является поступательным;
  2.     Сложное движение точки в теоретической механике, т. е. в те моменты времени, в которые происходит изменение направления относительного движения;
  3.     Сложное движение точки в теоретической механике, т. е. когда скорость относительного движения Сложное движение точки в теоретической механике параллельна угловой скорости переносного вращения Сложное движение точки в теоретической механике.

Следует отметить, что при различном разложении одного и того же абсолютного движения точки на переносное и относительное получим разные ускорения Кориолиса.

Пример №1

Шар радиусом Сложное движение точки в теоретической механике вращается вокруг вертикальной оси Сложное движение точки в теоретической механике по закону Сложное движение точки в теоретической механике. По меридиану шара движется точка Сложное движение точки в теоретической механике по закону Сложное движение точки в теоретической механике(рис. 90,а). Расстояние Сложное движение точки в теоретической механике отсчитывается от точки Сложное движение точки в теоретической механике меридиана.

Определить абсолютные скорость и ускорение точки Сложное движение точки в теоретической механике в момент времени Сложное движение точки в теоретической механике.

Решение. За переносное движение точки примем вращение ее вместе с шаром вокруг оси Сложное движение точки в теоретической механике (рис. 90, б). Тогда относительным движением точки будет ее движение по меридиану шара.

Определим положение точки Сложное движение точки в теоретической механике на меридиане в момент времени Сложное движение точки в теоретической механике. Имеем Сложное движение точки в теоретической механике. Так как  Сложное движение точки в теоретической механике, то положение точки определяется углом широты Сложное движение точки в теоретической механике.

Вычислим угловые скорость и ускорение переносного движения. Получаем Сложное движение точки в теоретической механике; при Сложное движение точки в теоретической механике. Угловая скорость Сложное движение точки в теоретической механике. Знак минус у Сложное движение точки в теоретической механике показывает, что вращение шара происходит в отрицательную сторону угла Сложное движение точки в теоретической механике, т. е. по часовой стрелке.

Так как Сложное движение точки в теоретической механике и при Сложное движение точки в теоретической механике, то угловое ускорение переносного движения Сложное движение точки в теоретической механике. Знак минус у Сложное движение точки в теоретической механике указывает, что оно направлено по часовой стрелке, против положительного направления угла ф. Так как знаки у Сложное движение точки в теоретической механике и Сложное движение точки в теоретической механике одинаковы, то вращение шара в рассматриваемый момент времени является ускоренным.

Сложное движение точки в теоретической механике

Рис. 90

Абсолютную скорость точки определяем    по формуле

Сложное движение точки в теоретической механике

Скорость переносного движения при Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике

Скорость относительного движения точки Сложное движение точки в теоретической механике, где Сложное движение точки в теоретической механике. При Сложное движение точки в теоретической механике Сложное движение точки в теоретической механике. Следовательно, Сложное движение точки в теоретической механике. Знак плюс у Сложное движение точки в теоретической механике указывает, что Сложное движение точки в теоретической механике направлено в сторону возрастания Сложное движение точки в теоретической механике.

В рассматриваемом случае Сложное движение точки в теоретической механике направлена по касательной к параллели шара и перпендикулярна Сложное движение точки в теоретической механике, которая направлена по касательной к меридиану. Следовательно,

Сложное движение точки в теоретической механике

Так как переносное движение является вращением шара вокруг неподвижной оси, то абсолютное ускорение точки определяем по формуле

Сложное движение точки в теоретической механике

Переносное нормальное ускорение

Сложное движение точки в теоретической механике

Ускорение Сложное движение точки в теоретической механике направлено по кратчайшему расстоянию от точки до оси, т. е. по Сложное движение точки в теоретической механике. Переносное касательное ускорение Сложное движение точки в теоретической механике перпендикулярно Сложное движение точки в теоретической механике и направлено в соответствии с направлением углового ускорения по скорости Сложное движение точки в теоретической механике. Числовое значение этого ускорения

Сложное движение точки в теоретической механике

Относительное нормальное ускорение

Сложное движение точки в теоретической механике

Ускорение Сложное движение точки в теоретической механике направлено к центру кривизны траектории относительною движения, т. е. к центру шара Сложное движение точки в теоретической механике. Относительное касательное ускорение Сложное движение точки в теоретической механике, где Сложное движение точки в теоретической механике. Следовательно, Сложное движение точки в теоретической механике. Так как Сложное движение точки в теоретической механике положительно, то Сложное движение точки в теоретической механике направлено в сторону возрастающих значений Сложное движение точки в теоретической механике по касательной к траектории относительного движения. Относительное движение оказалось ускоренным в рассматриваемый момент времени.

Ускорение Кориолиса определяем по правилу Жуковского. Его модуль Сложное движение точки в теоретической механике, где Сложное движение точки в теоретической механике—проекция Сложное движение точки в теоретической механике на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения Сложное движение точки в теоретической механике. Имеем

Сложное движение точки в теоретической механике

После этого находимСложное движение точки в теоретической механике. Чтобы определить направление  Сложное движение точки в теоретической механике, следует Сложное движение точки в теоретической механике повернуть вокруг оси Сложное движение точки в теоретической механике, параллельной Сложное движение точки в теоретической механике, на Сложное движение точки в теоретической механике в сторону переносного вращения, т. е. в рассматриваемом случае по часовой стрелке. Получаем, что ускорение направлено по ускорению Сложное движение точки в теоретической механике.

Для определения абсолютного ускорения выбираем прямоугольные оси координат Сложное движение точки в теоретической механике и проецируем обе части векторного равенства (а) на эти оси, учитывая направление составляющих ускорений (рис. 90, б). Получаем:

Сложное движение точки в теоретической механике

Числовое значение абсолютного значения

Сложное движение точки в теоретической механике

Пример №2

Колечко Сложное движение точки в теоретической механике (рис. 91), надетое на стержень, движется в плоскости Сложное движение точки в теоретической механике согласно уравнениям

Сложное движение точки в теоретической механике

где Сложное движение точки в теоретической механике—в см; Сложное движение точки в теоретической механике — в с. Стержень может вращаться вокруг оси Сложное движение точки в теоретической механике.

Сложное движение точки в теоретической механике

Рис.91

Определить в момент Сложное движение точки в теоретической механике угловую скорость и угловое ускорение стержня, а также скорость и ускорение движения колечка по стержню.

Решение. Положение колечка в момент времени Сложное движение точки в теоретической механике определяется координатами

Сложное движение точки в теоретической механике

Примем движение колечка вместе с вращающимся стержнем за переносное. Тогда его движение по стержню будет относительным движением.

Вычислим проекции на оси координат абсолютных скорости и ускорения колечка для произвольного момента времени. Имеем:

Сложное движение точки в теоретической механике

Для момента времени Сложное движение точки в теоретической механике получаем:

Сложное движение точки в теоретической механике

По проекциям изображаем векторы абсолютных скорости и ускорения в рассматриваемый момент времени (рис. 92). По теореме сложения скоростей для колечка,

Сложное движение точки в теоретической механике

Скорость переносного движения Сложное движение точки в теоретической механике перпендикулярна стержню Сложное движение точки в теоретической механике, а скорость относительного движения Сложное движение точки в теоретической механике направлена по стержню. Разлагая абсолютную скорость Сложное движение точки в теоретической механике по этим двум направлениям, получаем

Сложное движение точки в теоретической механике

Но

Сложное движение точки в теоретической механике

поэтому

Сложное движение точки в теоретической механике

Угловая скорость вращения стержня определяется по формуле

Сложное движение точки в теоретической механике

В соответствии с направлением Сложное движение точки в теоретической механике изображаем на рисунке дуговую стрелку для угловой скорости.

В частном случае переносного вращательного движения по теореме сложения ускорений для абсолютного ускорения имеем

Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике

Рис. 92

Вычисляем отдельные составляющие абсолютного ускорения Сложное движение точки в теоретической механике и изображаем их на рис. 93. Для модуля нормального переносного ускорения Сложное движение точки в теоретической механике получаем

Сложное движение точки в теоретической механике

Ускорение Сложное движение точки в теоретической механике направлено к оси переносного вращения, т. е. к точке Сложное движение точки в теоретической механике. Составляющая переносного ускорения Сложное движение точки в теоретической механике направлена перпендикулярно Сложное движение точки в теоретической механикеа» и по величине неизвестна. Предполагая, что дуговая стрелка для Сложное движение точки в теоретической механике направлена против часовой стрелки, изображаем на рисунке ускорения Сложное движение точки в теоретической механике.

Нормальная составляющая относительного ускорения Сложное движение точки в теоретической механике, так как относительное движение колечка по стержню является прямолинейным. Касательная составляющая относительного ускорения в этом случае равна полному относительному ускорению, т. е. Сложное движение точки в теоретической механике. Предположим, что Сложное движение точки в теоретической механике направлено от точки Сложное движение точки в теоретической механике к Сложное движение точки в теоретической механике.

Ускорение Кориолиса Сложное движение точки в теоретической механике определяем по правилу Жуковского. Для его модуля имеем Сложное движение точки в теоретической механике, где Сложное движение точки в теоретической механике— проекция относительной скорости Сложное движение точки в теоретической механике на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения Сложное движение точки в теоретической механике. В рассматриваемом случае Сложное движение точки в теоретической механике, поэтому Сложное движение точки в теоретической механике. Направление ускорения Сложное движение точки в теоретической механике получаем поворотом на Сложное движение точки в теоретической механике вектора Сложное движение точки в теоретической механике по направлению дуговой стрелки Сложное движение точки в теоретической механике вокруг оси, проходящей через точку Сложное движение точки в теоретической механике параллельно оси вращения стержня Сложное движение точки в теоретической механике.

Выбираем оси координат Сложное движение точки в теоретической механике и проецируем векторы, входящие в уравнение (а) на эти оси. Имеем:

Из этих уравнений определяем неизвестные ускорения:

Сложное движение точки в теоретической механике

Ускорение Сложное движение точки в теоретической механике получилось отрицательным. Следовательно, предположение о направлении его оказалось неверным. В действительности Сложное движение точки в теоретической механике направлено против ранее принятого направления. Ускорение Сложное движение точки в теоретической механике оказалось положительным. Предположение о направлении дуговой стрелки для Сложное движение точки в теоретической механике подтвердилось. Угловое ускорение стержня определяем по формуле

Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике

Рис. 93

Составное (сложное) движение. Относительное и переносное движения

Абсолютным движением называют движение точки или системы точек по отношению к основной системе отсчета. 

Абсолютное движение

Механическое движение выражается в изменении с течением времени взаимных положений тел (или частей тела). Такое изменение можно отметить только относительно других тел. Так, река течет вдоль берегов, биллиардный шар катится по биллиардному столу, пароход пересекает экватор. Реальные или условные тела (берега, биллиардный стол, экватор), по отношению к которым мы определяем положения других движущихся тел (воды, шара, парохода) и которые мы принимаем за системы отсчета, тоже не неподвижны. Так, системы отсчета, только что приведенные нами в виде примера, находятся на поверхности нашей планеты и вместе с ней вращаются вокруг земной оси, движутся вокруг Солнца и совершают множество других движений. Но и предметы, не связанные непосредственно с Землей, тоже не неподвижны—Солнце движется относительно звезд, которые движутся относительно друг друга.

Однако для целей механики далеко не всегда нужно иметь неподвижную систему отсчета. Так, например, если мы передвигаем какой-либо груз с носа корабля на корму, то нас может интересовать движение груза по палубе независимо от движения корабля. В подобных случаях в кинематике можно условно принять за неподвижную любую систему отсчета и назвать ее основной системой отсчета. Движение же точки (или системы точек) по отношению к основной системе отсчета называют абсолютным движением.

Относительным движением называют движение точки или системы точек по отношению к подвижной системе отсчета

Относительное движение

Встречаются случаи, когда приходится изучать движение (точки или тела) по отношению к системе отсчета, которая сама передвигается относительно другой системы, принятой за основную. При рассмотрении движения точки или тела по отношению к двум системам отсчета ту из этих систем, которая движется относительно основной системы отсчета, называют подвижной системой отсчета.

Так, например, перемещение корабля в море, измеренное при помощи лага, не учитывает снос корабля морским течением. Лагом измеряют движение корабля относительно воды. Можно представить себе подвижную систему координат, плывущую вместе с водой по течению, т. е. передвигающуюся относительно другой системы отсчета, принятой за основную. Движения корабля можно рассматривать по отношению к двум системам отсчета: по отношению к подвижной системе (связанной с водой) и к основной (связанной с материками, принимаемыми за неподвижные). Движение корабля по отношению к подвижной системе координат, измеряемое лагом, будем называть относительным движением корабля. Вообще относительным движением будем называть движение (точки, тела или системы точек) по отношению к подвижной системе отсчета. Относительное движение изучают обычно в тех случаях, когда приходится учитывать не только движение данного объекта по отношению к подвижной системе отсчета, но и движение самой системы отсчета.

Переносным движением называют движение подвижной системы отсчета по отношению к основной системе отсчета

Переносное движение

Так, в данном примере, чтобы знать движение корабля относительно берегов, надо кроме движения корабля относительно воды знать также и движение самой воды, т. е. движение подвижной системы отсчета относительно основной. Движение подвижной системы отсчета по отношению к основной системе отсчета называют переносным движением.

Во многих задачах кинематики переносным бывает движение среды, в которой находится тот объект, движение которого нужно изучить. В только что рассмотренном примере течение воды действительно переносит корабль. Еще один пример: человек идет по поезду. Движение поезда является переносным движением для человека, а движение человека относительно вагонов является относительным. Поезд переносит (в буквальном смысле слова) человека. Но иногда переносное движение не является движением среды, которая увлекает с собой данный объект. Например, рассматривая движение Земли вокруг ее оси и вокруг Солнца, мы можем первое из этих движений считать относительным, а второе — переносным, хотя нет такой среды, которая вращалась бы вокруг Солнца, увлекая с собой и Землю.

Составным движением называют абсолютное движение точки или системы точек, составляемое из их относительного и переносного движений

Составное движение

В первых двух примерах движение объекта (корабля, человека) состоит из двух движений, которые мы назвали относительным и переносным. В третьем примере Земля совершает движение, которое мы искусственно разложили на относительное и переносное. Часто, чтобы упростить изучение какого-либо сложного движения, это движение искусственно раскладывают на более простые, называя одно из них относительный!, другое—переносным. Независимо от того, состоит ли движение в действительности из относительного и переносного или же мы искусственно, для упрощения расчетов, считаем его состоящим из двух движений, мы будем называть сложным или составным движением абсолютное движение точки или системы точек, состоящее (или составляемое) из относительного движения по отношению к подвижной системе отсчета и переносного движения вместе с подвижной системой отсчета.

Если в cocтавном движении мы мысленно прекратим одно из составляющих движений, то получим второе составляющее движение. При решении некоторых задач бывает удобно пользоваться таким приемом:

  1. чтобы определить относительное движение, мысленно остановим переносное;
  2. чтобы определить переносное движение, мысленно остановим относительное.

Возвращаясь к первому из только что разобранных примеров, мысленно остановим морское течение; корабль будет двигаться относительно воды, но не будет относиться течением; останется только одно движение — относительное. Остановим теперь собственный ходкорабля, но предоставим воде продолжать свое течение, и корабль поплывет по течению; останется только одно движение корабля —переносное.

Также легко выделить относительное и переносное движения во втором примере. Остановим мысленно поезд, но предоставим человеку идги по вагону, и получим относительное движение человека; остановим мысленно человека в его движении по поезду, но не будем останавливать поезд, и найдем переносное движение человека.

Движение точки, тела или системы точек часто рассматривают как составное, мысленно раскладывая его на два или несколько движений более простых

Несколько сложнее третий пример (движение Земли)

Здесь нет движения среды, переносящей Землю, подобно морскому течению, переносящему корабль. Мы лишь мысленно приняли движение Земли за составное, искусственно разложили его на переносное и относительное, чтобы упростить его, чтобы более наглядно себе его представить и легче понять. Мы можем вообразить подвижную систему координат, связанную с Землей и движущуюся относительно основной системы, связанной с Солнцем и звездами, и считать, что движение Земли состоит из переносного и относительного. Поскольку движение земного шара (движение по отношению к основной системе) мы искусственно рас: сматриваем как составное, постольку от нас самих зависит, как разложить это движение на переносное и относительное. Мы можем  считать, что подвижная система отсчета движется поступательно или вращательно. В зависимости от этого, конечно, изменится и относительное движение. Земля совершает Сложное движение точки в теоретической механике оборота в год относительно поступательно движущихся осей (рис. 114, а) и на один оборот меньше относительно осей, вращающихся вокруг Солнца (рис. 114, б) и совершающих один оборот в год.

Сложное движение точки в теоретической механике
Рис. 114

Такой искусственный метод разложения движения на относительное и переносное широко применяют в различных областях механики. Л. Пуансо в предисловии ко второму изданию своей книги «Элементы статики» (1824) писал даже о невозможности представить наглядно движение тел иначе, как в виде одновременного перемещения и вращения.

Очень часто движение раскладывают не на два, а на большее число составляющих движений. Напомним, что мы уже так поступали, изучая движение точки как составное из трех прямолинейных движений, параллельных осям координат.
 

Теоремы параллелограмма скоростей и параллелограмма ускорений

Относительными скоростью и ускорением точки называют ее скорость и ускорение по отношению к подвижной системе отсчета

Относительные скорость и ускорение

Пусть некоторая точка M (рис. 115) движется относительно системы координат.x’Ey’z’. Если бы эту систему координат мы считали неподвижной, то движение, скорость и ускорение точки по отношению к этим координатам мы называли бы абсолютными. Но пусть система координатных осей x’Ey’z’ по условиям задачи движется относительно основной системы отсчета xОyz. В таком случае скорость и ускорение точки M относительно системы координат x’Ey’z’ называют относительными.

Сложное движение точки в теоретической механике
Рис. 115

Итак:

  • относительной скоростью точки называют скорость точки по отношению к подвижной системе отсчета1;
  • относительным ускорением точки называют ускорение точки по отношению к подвижной системе отсчета.

Мы будем обозначать относительную скорость буквой υ с индексом r (от латинского слова relativus—относительный). Относительное ускорение будем обозначать буквой а с тем же индексом r.

Для обозначения проекций относительных скорости и ускорения будем ставить рядом с индексом r второй индекс. Так, υrx есть проекция относительной скорости на ось Ox; arN—относительное нормальное ускорение.

Переносными скоростью и ускорением точки называют абсолютные скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данное мгновение совпадает движущаяся точка

Переносные скорость и ускорение

Чтобы определить переносное движение точки М, прекратим мысленно ее относительное движение, закрепив ее относительно координатных осей х’Еу’z’ в том положении, которое она занимает в данное мгновение. Таким образом, мы будем считать, что точка M неизменно скреплена с осями х’Еу’z’ , но оси продолжают двигаться относительно основной системы координат xOyz вместе с точкой М. Тогда скорость и ускорение точки M относительно основных осей координат явятся скоростью и ускорением точки M в ее переносном движении.

Итак:

  • переносной скоростью точки M называют абсолютную скорость той точки подвижной системы отсчета, с которой в данное мгновение совпадает движущаяся точка М;
  • переносным ускорением точки M называют абсолютное ускорение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данное мгновение совпадает движущаяся точка М.

Мы будем обозначать переносную скорость точки буквой υ с индексом е (от французского слова entrainer—увлекать за собой), а переносное ускорение—буквой а с тем же индексом. Для обозначения проекций переносных скорости и ускорения на какую-либо ось будем ставить рядом с индексом е индекс, соответствующий оси.

Вектор абсолютной скорости равен сумме векторов относительной и переносной скоростей: 
Сложное движение точки в теоретической механике

Параллелограмм скоростей

Ознакомившись с понятиями относительной и переносной скоростей точки, найдем зависимость между этими скоростями и абсолютной скоростью, т. е. скоростью точки по отношению к основной системе отсчета.

Пусть подвижная система координат x’Ey’z’ (рис. 116) движется поступательно. В таком случае оси Ex’, Ey’ и Ez’ будут оставаться параллельными своему начальному направлению. Для простоты выкладок пусть эти оси направлены параллельно осям основной системы координат. Тогда во все время движения будем иметь:
Ex’ ||Ox; Ey’||Oy; Ez’||Oz.

Рассмотрим сначала относительное движение точки M и для этого остановим мысленно движение подвижной системы отсчета.

Напишем уравнения движения точки M относительно подвижной системы отсчета:
x’ = x'(t). y’=y'(t), z’ = z'(t).    (102)

Продифференцировав по времени и обозначая, как обычно, точкой производные по времени, найдем проекции относительной скорости на подвижные оси координат:

υrx’=x’;     υry’=y’;     υrz’ = r’.

Так как оси подвижной системы координат параллельны соответствующим осям основной системы, то проекции относительной скорости на оси Ex’, Ey’ и Ez’ соответственно равны проекциям на параллельные им оси Ox, Oy и Oz основной системы отсчета:

υrx=x’; υry = y’; υrz=z’.

Зная проекции относительной скорости, легко найдем по формулам (64) и (62) величину и направление полной относительной скорости.

Чтобы определить переносное движение, мысленно остановим движение точки относительно подвижной системы координат, но предоставим самой подвижной системе x’Ey’z’ продолжать движение.

Напишем по (77) уравнения переносного поступательного движения:

xЕ=x (t);   yЕ = y(t), zЕ=z(t).

Продифференцировав равенства (77), получим проекции переносной скорости точки М, которые при поступательном движении системы равны проекциям скорости точки Е:

υex =xE; υey = yE, υez = zE.

Величину и направление вектора полной переносной скорости точки M легко найти по формулам (64) и (62).

Для определения абсолютной скорости точки M найдем сначала ее координаты х, у и г. Применив формулу преобразования начала координатных осей при сохранении направления осей, получим

х-=х’ + хE, y = y’ + yE, z = z, + zE.

Точка M находится в составном движении, следовательно, х, у и г изменяются с течением времени, причем первые члены правых частей этих равенств изменяются согласно (102), а вторые—согласно (77). Продифференцировав по времени, получим проекции абсолютной скорости точки М:

υx = x’+’xE, υy=y’ + yE, υz = z,+ zE

или

υx, υyry+ υey, υz = υrzez.     (103)

Эти равенства показывают, что проекция абсолютной скорости на какую-либо ось равна сумме проекций относительной и переносной скоростей на ту же ось. Следовательно, вектор абсолютной скорости точки равен сумме векторов относительной скорости и переносной скорости той же точки:

Сложное движение точки в теоретической механике     (103)    

Поэтому доказанную теорему называют теоремой параллелограмма скоростей.

Равенства (103) и (103′) выражают связь между тремя скоростями (абсолютной, относительной и переносной) одной и той же точки и позволяют определить любую из этих скоростей, если известны две другие,Они доказаны в предположении, что переносное движение поступательное, но справедливы при всяком переносном движении, как это будет показано в § 31.

Из равенств (103) непосредственно получаем:

  1. проекция относительной скорости точки на какую-либо ось равна разности проекций абсолютной и переносной скоростей той же точки на ту же ось;
  2. проекция переносной скорости точки на какую-либо ось равна разности проекций абсолютной и относительной скоростей той же точки на ту же ось.

Из векторного равенства (103) получаем

Сложное движение точки в теоретической механике

Отсюда вытекает следующее правило: чтобы найти относительную скорость точки, надо сложить вектор абсолютной скорости точки с вектором, равным по модулю, но обратным по направлению вектору ее переносной скорости. Аналогично, чтобы найти переносную скорость точки, надо сложить вектор абсолютной скорости точки с вектором, равным по модулю, но обратным по направлению вектору ее относительной скорости.

Пример №3

Вертикально падают дождевые капли со скоростью 2 м/сек. Пешеход идет справа налево со скоростью 1,5 м/сек. Найти скорость дождя по отношению к пешеходу (рис. 117, а).

Решение. В данной задаче за основную систему отсчета примем Землю. Подвижная система отсчета связана с пешеходом. Вертикальная скорость дождя является абсолютной скоростью (υ = 2 м/сек); переносной скоростью υe является скорость подвижной системы отсчета, т. е. скорость человека, направленная влево и равная 1,5 м/сек. Чтобы найти вектор относительной скорости, сложим вектор абсолютной скорости (рис. 117,6) с вектором, который по величине равен переносной скорости, а по направлению противоположен ей, т. е. направлен слева направо:

Сложное движение точки в теоретической механике

Вектор относительной скорости составляет с вертикалью угол а, тангенс которого равен
Сложное движение точки в теоретической механике

Ответ. υr = 2,5 м/сек, α = 37°.

Пример №4

Корабль плывет на юг со скоростью 42,3 км/ч. Второй корабль идет курсом на юго-восток со скоростью 30 км/ч. Найти величину и направление скорости второго корабля, определяемую наблюдателем, находящимся на палубе первого корабля. При вычислении принять Сложное движение точки в теоретической механике.
Решение. Задача аналогична предыдущей, но решать ее будем не в векторной, а в координатной форме, для чего перепишем (103) в следующем виде:

υrxx — υex,  υry = υy— υey

Построим основную систему координат, связанную с Землей, направив ось Ox на юг, а ось Оу— на восток, (рис. 118). Подвижную систему отсчета свяжем с первым кораблем, так как относительно первого корабля надо определить скорость второго. Проекции абсолютной скорости второго корабля на оси основной системы таковы:

Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике

Переносным движением мы называем движение подвижной системы отсчета по отношению к основной. Поэтому в данной задаче переносной скоростью является скорость первого корабля. Ее проекции следующие:

Сложное движение точки в теоретической механике

Подставляя эти значения в написанные выше уравнения, найдем проекции относительной скорости:

Сложное движение точки в теоретической механике

По проекциям находим модуль:

Сложное движение точки в теоретической механике

и направляющие косинусы относительной скорости:

Сложное движение точки в теоретической механике

Следовательно, относительная скорость второго корабля составляет углы по 45о C положительным направлением оси Oy и с отрицательным направлением оси Ох, т. е. направлена на северо-восток.
Ответ, υr = 30 км/ч н направлена на северо-восток.

Пример №5

Ширина АВ реки (рис. 119,а) равна 900 м, и берега ее параллельны. Моторная лодка, выйдя из пункта В, держала курс перпендикулярно берегам и достигла противоположного берега через 5 мин, но не в пункте А, находящемся против В, а в пункте С, лежащем на 300 м ниже по течению. Во втором рейсе та же моторная лодка, выйдя из того же пункта В, взяла курс под углом О к BA (начальное направление на пункт D, лежащий на 300 м выше пункта А по течению) и сохраняла свое направление (угол δ), но подошла к правому берегу в пункте Е, лежащем ниже А.

Считая скорость лодки относительно воды постоянной и пренебрегая изменением течения воды у берегов, определить расстояние AE, скорость течения, скорость лодки относительно воды и скорости υ1 и υ2 лодки относительно беретов в обоих рейсах.

Решение. Возьмем начало основной системы координат в точке В, направив ось абсцисс перпендикулярно к берегу по BA, а ось ординат — вниз по течению реки (для решения задачи пользуемся формулами 103). Скорость лодки относительно этой системы является абсолютной. Подвижная система координат движется поступательно вместе с водой и скорость течения реки является переносной скоростью лодки.
Тогда, имея в виду, что АC = 300 м = DA, для первого рейса (рис. 119,6)

υ1 cos δ = υr, υ1 sin δ = υe

и для второго рейса (рис. 119, в)

υ2 cos δ’ =υr cos δ, υ2 sin δ, e—vr sin δ.

В первом рейсе лодка держала курс перпендикулярно берегам и в относительном движении проплыла 900 я за 5 мин = 300 сек. Следовательно, υr=3 м/сек.

За то же время ее снесло течением на 300 м, а потому υe=l м/сек.
Подставляя эти значения в уравнения, составленные для первого рейса, и деля второе из этих уравнений на первое, найдем

Сложное движение точки в теоретической механике откуда Сложное движение точки в теоретической механике

Из тех же уравнений найдем скорость лодки относительно берегов (т. е. абсолютную скорость) в первом рейсе:

Сложное движение точки в теоретической механике

Величина относительной скорости лодки, определенная по ‘данным первого рейса, не изменится и во втором, так как по условию задачи скорость лодки относительно воды постоянна. Также не изменится и переносная скорость лодки — скорость течения реки. Подставляя найденные значения в уравнения, составленные для второго рейса, получим

Сложное движение точки в теоретической механике

Из этих уравнении найдем: υ2 = 2,85 м/сек и sin δ’ = 0,018.

Умножая АB = 900 м на tg δ’, найдем AE.

Ответ. υe=l м/сек-, υr=3 м/сек-, υ1 = 3,16 м/сек;
v2 = 2,85 м/сек, АЕ=16 м.

Если переносное движение поступательное, то вектор абсолютного ускорения точки равен сумме векторов ее относительного и переносного ускорений
Сложное движение точки в теоретической механике

Параллелограмм ускорений

В отличие от теоремы параллелограмма скоростей, применимой при всяком переносном движении, аналогичная теорема параллелограмма ускорений справедлива только в том случае, если переносное движение поступательное.

Пусть точка совершает составное движение, причем подвижная система отсчета x’Ey’z’ движется поступательно по отношению к основной системе хОуz. Пусть соответствующие оси обеих координатных систем параллельны друг другу, это упростит доказательство.

Проекции относительной скорости точки нами уже определены. Продифференцировав эти равенства по времени, найдем проекции относительного ускорения точки:

arx = χ’; ary=y,; arz=z’.

Величину и направление полного относительного ускорения можно определить по формулам (66) и (67).

Продифференцировав по времени равенства (78), найдем проекции ускорения точки в переносном поступательном движении:

Сложное движение точки в теоретической механике

Величину и направление полного переносного ускорения можно определить по формулам (66) и (67), применимым для всякого ускорения точки, независимо от того, является это ускорение абсолютным, относительным или переносным.

Чтобы определить проекции абсолютного ускорения точки (в рассматриваемом случае переносного поступательного движения), надо продифференцировать по времени равенства (103). Получим

Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике      (104)

Из этих равенств видно, что если переносное движение поступательное, то проекция абсолютного ускорения точки на ось состоит из суммы проекций на ту же ось относительного и переносного ускорений точки. Следовательно, вектор абсолютного ускорения точки в этом случае равен геометрической сумме двух векторов—относительного и переносного ускорений:
Сложное движение точки в теоретической механике      (104′)

В этом заключается теорема параллелограмма ускорений.

Равенства (104) и (104′) выражают связь между абсолютным, относительным и переносным ускорениями точки в случае, если переносное движение поступательное, и позволяют определить какое-либо одно из этих ускорений по двум другим.

Если относительное и переносное движения заданы в естественной форме, то для определения ускорений приходится сначала определять их нормальную и касательную составляющие. Так, для определения относительного ускорения надо определить относительное касательное и относительное нормальное ускорения, а уж потом по формулам (75) и (76)—полное относительное ускорение. Аналогично для определения переносного ускорения определяют переносные касательное и нормальное ускорения, а затем полное переносное ускорение. Для получения полного абсолютного ускорения нужно взять геометрическую сумму полного относительного и полного переносного ускорений, которые составляют между собой, вообще говоря, угол, отличный от прямого.

Приводим схему разложения полного абсолютного ускорения точки для случая переносного поступательного движения. При решении задач на параллелограмм ускорений бывает полезно написать эту схему и заполнять ее справа налево:

Сложное движение точки в теоретической механике

Часто определяют абсолютное ускорение по его проекциям ах, ay, az на оси основной системы координат и, получив проекции результирующего вектора Сложное движение точки в теоретической механике как алгебраические суммы проекций составляющих Сложное движение точки в теоретической механике и Сложное движение точки в теоретической механике, на те же оси:

Сложное движение точки в теоретической механике      (106)

Эти равенства являются лишь некоторым видоизменением равенств (104).

Если переносное движение не поступательное, то абсолютное ускорение точки состоит из суммы трех векторов: относительного ускорения, переносного ускорения и ускорения Кориолиса. Доказательство теоремы Кориолиса дано в § 31.

Пример №6

Кривошипио-кулнсный механизм приводного молота (рис. 120, а) состоит из прямолинейной поступательно движущейся кулисы АВ, в прорези которой скользит звено C (камень), соединенный шарнирно с кривошипом ОС длины e, вращающимся с постоянной угловой скоростью ω. Найти скорость и ускорение кулисы как функции угла поворота кривошипа.

Решение. Будем рассматривать движение камня C как составное, состоящее из относительного движения по прорези кулисы и переносного движения вместе с кулисой. Для решения воспользуемся формулами (103) и (104). Примем неподвижный шарнир О за начало основной системы координат, направив ось Ox вправо и ось Oy вверх (рис. 120,6). Подвижную систему координат неизменно соединим с кулисой, взяв начало в точке E и направив ось Ex’ по прорези вправо, a Ey’- вверх. Движение подвижной системы координат, как и движение кулисы, поступательное. Ось Ex’ передвигается к неподвижной оси Ох, а ось Ey’ скользит по оси Оу.

Абсолютное движение камня есть круговое поступательное движение по отношению к основной системе координат. Для определения абсолютных скорости и ускорения обратим внимание на то, что точка C (шарнир) принадлежит не только камню, но и кривошипу, а потому абсолютная скорость точки C равна ωr. (см. рис. 120, б), а ее проекции:

υx = ωr cos ωt и υy= ωr sin ωt.

Абсолютное ускорение точки C равно ω2r, а его проекции (рис. 120, в):

ах = — ω2r sin ωt и ay = ω2r cos ωt.

Эти равенства можно было бы получить, продифференцировав предыдущие.

Относительное движение камня — это возвратно-поступательное движение по прорези вправо и влево. Такое движение камня мы видели бы, если бы сами двигались вместе с кулисой, не замечая ее движения. Камень движется по горизонтальной оси Ex’, а потому

υrx= ± υr, υry = 0.

Проекции относительного ускорения:

αrx=±ar, αry = 0.

Переносное движение камня (движение подвижной системы отсчета относительно основной) —возвратно-поступательное движение кулисы вверх и вниз. Поэтому проекции переносных скорости и ускорения на вертикальную ось Oy равны модулям скорости и ускорения со знаком «-(-» или «—», а на горизонтальную ось Ох—равны нулю. Имеем

υex = 0, υey= ± υe и αex = 0, αey=± αe.

Из трех движений камня нас интересует переносное движение (движение кулисы). Определив проекции переносной скорости

υex = υx — υrx ,  υey= υy — υry

и подставив найденные значения, получим переносную скорость из уравнений

0 = ωr cos ωt — υr, υe = ωr sin ωt.

Таким образом, переносная скорость камня (скорость кулисы) определена.

Для определения переносного ускорения мы могли бы продифференцировать по времени выражение, полученное для переносной скорости (так как переносное движение прямолинейно-поступательное). Но мы применим более общий метод — определим из (104) проекции переносного ускорения:

αex = ax—arx,  aey=ay — ary

подставим в эти уравнения найденные нами значения проекций переносного и абсолютного ускорений камня:

0 = — ω2r sin ωt-ar, ae = ω2r cos ωt.

Таким образом, переносное ускорение ае камня равно ω2r cos ωt. Оно же является ускорением кулисы.

Ответ. υ = ωr sιnωt;  a = ω2r cos ωt.

Теорема сложения ускорений точки при переносном вращательном движении (теорема Кориолиса)

При составном движении точки в случае непоступательиого переносного движения возникает добавочное ускорение, называемое ускорением Кориолиса:
Сложное движение точки в теоретической механике

Величина ускорения Кориолиса

Теорема параллелограмма ускорений пригодна только в частном случае, если подвижная система отсчета движется поступательно. Если же переносное движение не поступательное, то у абсолютного ускорения появляется еще одна составляющая, называемая ускорением Кориолиса, или поворотным ускорением. Выведем формулы, позволяющие определить абсолютное ускорение при всяком составном движении точки.

Пусть точка M (рис. 121) движется относительно подвижной системы x’0y’z’ и это движение определяется какими-либо уравнениями

x’=x'(t), y’=y'(t), z’ = z’ (t).

Сложное движение точки в теоретической механике
Рис. 121

Пусть подвижная система отсчета вращается вокруг оси Oz основной системы согласно уравнению T==T (О-
Сохраним и в этом параграфе расположение осей координат (см. рис. 101, стр. 165), при котором оси Oz’ и Oz подвижной и неподвижной систем совпадают между собой и с осью вращения, а плоскость х’Оу’ находится в плоскости хОу. Тогда координаты точки M в основной системе определятся соотношениями

Сложное движение точки в теоретической механике      (107)

Эти равенства (107) отличаются от уже известных нам равенств (88) тем, что здесь координаты х’, у’ и z’ переменны, тогда как в равенствах (88) они были постоянны.

Если мы мысленно остановим точку M в ее относительном движении, т. е. будем считать ее координаты х’, у’ и z’ постоянными, но сохраним переносное вращение, то, дифференцируя равенства (88) по времени, найдем знакомые нам выражения (89) проекций вращательной скорости, которая в данном случае явится переносной скоростью точки М:
Сложное движение точки в теоретической механике

Дифференцируя вторично, найдем проекции переносного ускорения, которые выражаются также известными нам формулами (95):

Сложное движение точки в теоретической механике

Чтобы определить относительное движение, мысленно остановим переносное, т. е. будем считать Сложное движение точки в теоретической механике постоянной, a’, x’, у’ и z’ — переменными. Дифференцируя при таких условиях (107) по времени, определим проекции относительной скорости:
Сложное движение точки в теоретической механике

Заметим попутно, что, возводя каждое из этих равенств в квадрат, складывая и извлекая квадратный корень, мы определили бы величину относительной скорости (рис. 122). Если же мы возведем в квадрат и сложим лишь два первых равенства, то, извлекая корень, мы получим, очевидно, величину проекции относительной скорости на плоскость хОу:
Сложное движение точки в теоретической механике

Напомним, что вектор угловой скорости Сложное движение точки в теоретической механике направлен по оси вращения, а потому угол γr есть угол между векторами относительной и угловой скоростей, и последнее равенство можно записать так:

Сложное движение точки в теоретической механике

Это соотношение скоро нам понадобится.

Чтобы получить проекции относительного ускорения, надо продифференцировать по времени выражения, полученные для проекций относительной скорости, по-прежнему считая φ постоянной. Имеем
Сложное движение точки в теоретической механике

Чтобы определить проекции абсолютной скорости точки М, надо продифференцировать уравнения (107) по времени, считая все величины переменными. Имеем
Сложное движение точки в теоретической механике

или 

Сложное движение точки в теоретической механике  (103)

Мы получили теорему параллелограмма скоростей, которая, следовательно, остается в силе и при вращательном переносном движении.

Чтобы определить проекции абсолютного ускорения, возьмем вторые производные, опять-таки считая все величины переменными. Имеем:

Сложное движение точки в теоретической механике

или 

Сложное движение точки в теоретической механике

Таким образом, в выражениях проекций абсолютного ускорения, вдобавок к проекциям относительного и переносного ускорений, появляется еще одно слагаемое, выражающее проекции добавочного ускорения ac:

Сложное движение точки в теоретической механике     (108)

Это добавочное ускорение называют ускорением Кориолиса.
Определим величину ускорения Кориолиса:

Сложное движение точки в теоретической механике

или, заменив корень полученным выше значением, находим окончательно

Сложное движение точки в теоретической механике     (109)

Мы вывели формулу (109) в предположении, что переносное движение вращательное. Она остается без изменений и при всяком ином непоступательном переносном движении.

Итак, если переносное движение не поступательное, то абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех составляющих: относительного ускорения, переносного ускорения и ускорения Кориолиса:
Сложное движение точки в теоретической механике     (110)

В случае, если переносное движение непоступательное, необходимо дополнить ускорением Кориолиса и схему (105), которая принимает следующий вид:

Сложное движение точки в теоретической механике    (110/)
Пользоваться этой схемой при решении задач надо так же, как и схемой (105), заполняя ее справа и геометрически складывая составляющие.

Ускорение Кориолиса существует только при составном движении, если переносное движение непоступательное

При каком движении бывает ускорение Кориолиса

В выражение (109) ускорения Кориолиса входят множителями относительная скорость точки, угловая скорость подвижной системы отсчета и синус угла между векторами этих скоростей. Но относительная скорость бывает только при составном движении. Поэтому и ускорение Кориолиса может быть только при составном движении. Если нет относительной скорости точки, т. е. если υr = 0, то не может быть и ускорения Кориолиса. Однако ускорение Кориолиса бывает не при всяком составном движении точки. Так, если переносное движение поступательное и ω = 0, то нет и ускорения Кориолиса. Из формулы (109) видно, что и в составном движении точки, и при переносном вращательном движении ускорение Кориолиса равно нулю, если относительная скорость параллельна оси вращения. Так, например, корабль, плывущий по меридиану, имеет ускорение Кориолиса, если рассматривать его движение как составное из относительного движения корабля и переносного движения Земли. Это ускорение равно удвоенному произведению скорости корабля на угловую скорость Земли и на синус географической широты (рис. 123) и равнялось нулю в то время, когда корабль пересекал экватор и его относительная скорость была параллельна вектору угловой скорости Земли.

Сложное движение точки в теоретической механике
Рис. 123

Физическая причина ускорения Кориолиса заключается в изменении вектора переносной скорости от относительного движения и вектора относительной скорости от переносного движения

Физическая причина ускорения Кориолиса

Постараемся уяснить физические причины, вызывающие ускорение Кориолиса, для чего представим себе два прямолинейных отрезка O1A1 и O2A2 (рис. 124), рис. 123 по которым движутся точки B1 и B2. Штрихами отмечены положения этих отрезков и точек через промежуток времени Δ t. Первый из отрезков движется поступательно, второй вращается вокруг O2.

Сложное движение точки в теоретической механике
Рис. 124

Существуют две физические причины ускорения Кориолиса:
1.    Переносная скорость точки B1 не зависит от положения ее на отрезке O1A1, так как, по свойству поступательного движения, скорости всех точек прямой O1X1 между собой равны. Напротив, величина переносной скорости точки B2 равна ω.O2B2 и всецело зависит от ее положения. Переносная скорость точки B2 меняется от ее относительного движения. Чем быстрее движется точка B2 по прямой O2A2 и чем быстрее вращается эта прямая, тем значительнее изменяется переносная скорость точки B2. Таким образом, изменение скорости точки в данное мгновение (т. е. ускорение точки), вызванное указанной причиной, пропорционально величине агносительной и угловой скоростей. В этом заключается один из факторов, порождающих ускорение Кориолиса.

2.    Направление относительной скорости точки B1 не меняется, так как, по свойству поступательного движения, прямая O1A1 передвигается параллельно самой себе. Напротив, направление относительной скорости точки B2 непрерывно изменяется по мере вращения O2А2. Даже при прямолинейном относительном движении направление относительной скорости изменяется (вследствие переносного вращения). Изменение вектора скорости точки в данное мгновение (ускорение), вызванное этой причиной, тоже пропорционально величине относительной и угловой скоростей, В этом заключается другой фактор, порождающий ускорение Кориолиса. Ускорение Кориолиса как бы поворачивает вектор относительной скорости в направлении переносного вращения. По этой причине его иногда называют поворотным ускорением.

Вектор ускорения Кориолиса перпендикулярен векторам угловой и относительной скоростей

Направление ускорения Кориолиса

При выводе формулы ускорения Кориолиса мы убедились, что проекция этого ускорения на Oz равна нулю. Отсюда следует, что вектор ускорения Кориолиса лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, или, иными словами, к вектору угловой скорости, который направлен по оси вращения Oz.

Уточним теперь направление ускорения Кориолиса в плоскости, перпендикулярной к осп вращения, и обозначим углы, составляемые им с осью Ox и Оу, через αc и βc. Направляющими косинусами являются:

Сложное движение точки в теоретической механике

Углы, составляемые относительной скоростью точки с теми же осями, обозначим через ar и βr:

Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике

Сравнивая направляющие косинусы ускорения Кориолиса с направляющими косинусами относительной скорости, находим, что удовлетворяется известное из аналитической геометрии условие перпендикулярности двух направлений—сумма произведений соответствующих направляющих косинусов равна нулю:

cos ac cos ar + cos βc cos βr = 0,

следовательно, ускорение Кориолиса перпендикулярно не только к угловой, но и к относительной скорости точки М.

Отсюда вытекает следующее правило: для определения направления ускорения Кориолиса надо спроецировать вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную Oz (оси вращения), и затем повернуть эту проекцию вокруг оси вращения на 90° в сторону переносного вращения. Следовательно, если переносное вращение происходит в положительном направлении, то проекцию υrxy относительной скорости надо повернуть на 90° против хода стрелки часов, а если переносное вращение происходит в отрицательном направлении, то по ходу стрелки. Это определяется самой сущностью поворотного ускорения, поворачивающего вектор относительной скорости в направлении переносного вращения. К тому же результату мы пришли бы, сравнивая знаки направляющих косинусов ускорения Кориолиса и относительной скорости.

Таким образом, ускорение Кориолиса по величине и направлению можно выразить удвоенным векторным произведением угловой скорости и относительной скорости:

Сложное движение точки в теоретической механике      (109/)

Если относительное движение точки происходит в плоскости, перпендикулярной оси переносного вращения, то угол между векторами угловой и относительной скоростей равен 90°, его синус равен единице и выражение ускорения Кориолиса упрощается:

Сложное движение точки в теоретической механике      (109//)

В этом частном, но очень распространенном в технике случае для определения направления ускорения Кориолиса не нужно проецировать вектор относительной скорости точки, а достаточно повернуть его на 90° в плоскости движения точки в сторону переносного вращения. Поясним это следующей задачей.

Пример №7

Стержень OA вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. 125) в точке О. Вдоль стержня движется ползун В. Указать направление ускорения Кориолиса.

Сложное движение точки в теоретической механике
Рис. 125

Решение. Ускорение Кориолиса всегда перпендикулярно к угловой скорости к оси вращения и к относительной скорости. Следовательно, ускорение Кориолиса лежит в плоскости чертежа и перпендикулярно к стержню. Четыре возможных случая изображены на рис. 125, а, б, в, г.

Пример №8

Прямая трубка (рис. 126) равномерно вращается с угловой скоростью ω = π рад/сек вокруг осн Oz, перпендикулярной к плоскости чертежа в точке О. Шарик M совершает гармонические колебания вдоль трубки по закону x’ = ОM = A sin πt. Определить ускорение шарика при t=4 сек.

Решение. Будем рассматривать движение шарика как составное, состоящее из движения относительно трубки и движения вместе с трубкой (рис. 126, а). Для решения задачи воспользуемся схемой (110′) (см. стр. 206).

Чтобы определить относительное движение, мысленно остановим переносное вращение трубки. Уравнение относительного движения шарика есть

x’=A sin πt.

Относительная скорость

υr =x’= Aπ2 cos πt.

В относительном движении шарик имеет касательное ускорение

arT =x’=- Aπ2 sin πt.

Относительное движение в данном случае прямолинейное, поэтому относительное нормальное ускорение αrN=0.

Переносное движение обусловлено вращением трубки. Мысленно остановим шарик, предоставив трубке вращаться. Напишем уравнение равномерного вращения трубки, положив φo = 0:

φ=πt.

Переносной скоростью шарика является вращательная скорость той точки среды (трубки), в которой в это мгновение находится шарик:

υe = ωr = Aπ sin πt,

причем в этом выражении время t соответствует тому мгновению, в которое мысленно остановлен шарик, а потому t здесь нельзя рассматривать как переменную величину.

Переносное вращение равномерное, и переносное касательное ускорение равно нулю:
aeT = εr = 0.

Переносное центростремительное ускорение

aeN = ω2r — Aπ2 sin πt,

где t имеет заданное значение, соответствующее данному мгновению, в которое мысленно остановлено относительное движение.

Кроме этих составляющих абсолютного ускорения, имеется ускорение Кориолиса, так как переносное движение вращательное:

ас = 2ωυr = 2Aπ2 cos πt.

Эти составляющие абсолютного ускорения вносим в схему (110′):
Сложное движение точки в теоретической механике

В мгновение t = 4 сек имеем:

Сложное движение точки в теоретической механике
 

Таким образом, абсолютное ускорение в это мгновение состоит из ускорения Кориолиса a = ac = 22.

При t = 4 сек точка M совпадала с точкой О (x’ = A sin 4π = 0) и имела относительную скорость + Аπ, направленную в положительном направлении Ox’. Чтобы определить направление ускорения Кориолиса, надо повернуть вектор относительной скорости на 90° в сторону вращения трубки, т. е. против хода часовой стрелки.

При t = 4 сек угол поворота трубки φ = 4π и ось Ox’ совпадала с осью Ох. Следовательно, в это мгновение ускорение Кориолиса направлено по положительной оси Оу.

Если мы не станем рассматривать движение шарика как составное, а изучим его непосредственно по отношению к основной системе отсчета, то получим, разумеется, тот же результат.

Составим уравнения движения шарика в основной системе координат (рис. 126, б):

Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике

Дифференцируя эти уравнения по времени, найдем проекции скорости:

Сложное движение точки в теоретической механике

Дифференцируя по времени второй раз, найдем проекции ускорения:

Сложное движение точки в теоретической механике

При t = 4 сек

Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике

Мы получили те же значения ускорения точки, не пользуясь ускорением Кориолиса. Из этого примера видно, что ускорение Кориолиса бывает лишь при составном движении точки.

Для определения траектории шарика в основной системе отсчета исключим время из уравнений движения. Из второго уравнения находим Сложное движение точки в теоретической механике , подставляем в первое уравнение и возводим в квадрат (рис. 126, в):

Сложное движение точки в теоретической механике

Это уравнение окружности с центром в точке x = 0, Сложное движение точки в теоретической механике . Чтобы убедиться, достаточно перенести в эту точку начало основной системы , положив Сложное движение точки в теоретической механике, тогда уравнение траектории примет вид:

Сложное движение точки в теоретической механике

Найдем уравнение движения шарика M по этой окружности:

dx = Аπ cos 2πt dt; dy = Аπ sin 2πt dt;

Сложное движение точки в теоретической механике

и, интегрируя,

s = Аπt + С = Аπt .

Следовательно, шарик движется по своей траектории равномерно со скоростью υ= Аπ; при t = 4 сек он находится в наинизшей точке окружности, а нормальное ускорение Сложное движение точки в теоретической механикенаправлено вертикально вверх.

Резюмируя, убеждаемся, что движение шарика (как и движение всякого тела) можно представить различными способами и ускорение шарика в заданное мгновение (t = 4 сек) можно выразить различными формулами.

Можно представить его как составное, состоящее из колебаний шарика вдоль трубки и одновременного вращения трубки. Тогда ускорение 2Аπt2 шарика в заданное мгновение является ускорением Кориолиса.

Можно представить то же движение шарика уравнениями в декартовых координатах, а ускорение 2Аπt2— проекциями на оси координат.

Можно, наконец, это движение шарика определить как равномерное движение со скоростью υ = Аπ по окружности радиуса Сложное движение точки в теоретической механике и ускорение 2Аπt2 представить как нормальное ускорение Сложное движение точки в теоретической механике.

Различные способы лишь выражают объективно существующее движение и позволяют определить его характеристики.
Ответ. a = 2Аπt2.

Задача №1

Окружность радиуса г равномерно вращается по ходу стрелки часов с угловой скоростью ω вокруг оси, перпендикулярной к ней в одной из ее точек C (рис. 127, а). По окружности движется точка M со скоростью υr = ωr, обходя окружность против вращения часовой стрелки. Определить ускорение точки М.

Решение. Движение точки будем рассматривать как составное, состоящее из относительного равномерного движения по окружности и переносного равномерного вращения самой окружности.
Напишем схему (110′) и будем заполнять ее справа (см. стр. 208).

Чтобы определить относительное движение точки М, мысленно остановим вращение окружности. Относительная скорость равна υr = ωr и направлена по касательной к окружности. Относительное касательное ускорение αrT = 0, а относительное нормальное направлено к центру О окружности и равно

Сложное движение точки в теоретической механике

Чтобы определить переносное движение, мысленно закрепим точку M на окружности. Проведем хорду MC (рис. 127, б) и обозначим через δ угол, составляемый ею с диаметром, проходящим через С. Так как окружность вращается равномерно, то αeT  = 0 и

αeN = ω2CM = ω22r cos δ

и направлено по хорде MC к точке С.

Величина ускорения Кориолиса в нашем случае равна

ac = 2ωυr-2ω2r.

Переносное вращение происходит по ходу стрелки часов, следовательно, для определения направления ускорения Кориолиса повернем вектор относительной скорости на 90° по ходу стрелки часов.

Сложное движение точки в теоретической механике
Рис. 127

Скорости и ускорения точки изображены на рис. 127, б, а ускорения записаны по схеме (110′):

Сложное движение точки в теоретической механике

Чтобы определить абсолютное ускорение точки М, надо сложить его составляющие. Сложив ускорение Кориолиса с противоположным ему по направлению нормальным относительным ускорением, найдем, что результирующий вектор этих двух ускорений равен ω2r и направлен в сторону ускорения Кориолиса:

2r-ω2r = ω2r.

Чтобы сложить этот результирующий вектор с вектором переносного ускорения, воспользуемся теоремой косинусов (рис. 127, в). Имеем

a2 = (ω2r)2+ (2ω2r cos δ)2 — 2 (ω2r) (2ω2r cos δ) cos δ = (ω2r)2.

Как видно из чертежа (рис. 127, в), абсолютное ускорение направлено параллельно ОС независимо от угла δ, т. е. независимо от положения точки M на окружности. Иными словами, независимо от положения точки M на окружности вектор ее абсолютного ускорения равен вектору ускорения центра окружности в его движении вокруг оси С.

Ответ. a = ω2r.

Задача №2

В ручке молочного сепаратора по ее длине просверлен цилиндрический канал, закрытый с одной стороны металлической пластинкой (звонком) (рис. 128). В канале помещен металлический шарик. Если вращать ручку с недостаточной скоростью (менее 45 об/мин), то шарик ударится о звонок и даст соответствующий сигнал. Определить ускорение Кориолиса сигнального шарика, если ручка сепаратора наклонена к своей оси вращения под углом 75°, рабочий вращает ручку, делая 45 об/мин, а шарик движется по каналу по закону х’= 220 sin φ + 357e мм.

Решение. Вектор угловой скорости ручки направлен по оси вращения, а относительная скорость шарика —вдоль канала, составляя с ним угол 75°. Ускорение Кориолиса определяем по формуле (105). Угловая скорость Сложное движение точки в теоретической механике Синус 75° берем из таблиц или подсчитываем как sin (45°+30°) = 0,966.

Чтобы определить относительную скорость, надо продифференцировать по времени уравнение движения, в котором φ=ωt=1,5πt.

Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике
Рис. 128

Таким образом, имеем

αс = 2 • 1, 5π (330π cos φ—535πe — φ) 0,966.

Ответ. Ускорение Кориолиса равно 9420 cos φ—15300e мм/сек2 и направлено перпендикулярно к ручке и к ее оси.

Сложное движение точки и тела

При решении задач, в которых рассматривается сложное движение точки или тела, необходимо уметь правильно расчленить сложное (составное), или так называемое абсолютное движение, на переносное и относительное.

При расчленении сложного движения рекомендуется учитывать следующее. Абсолютное (составное) движение происходит относительно неподвижной системы координат. Обычно эту систему координат связывают с Землей или с неподвижными относительно Земли предметами: зданием, деревом, полотном дороги и т. д.

Переносное движение точки или тела происходит вместе с некоторой материальной средой (телом), внутри или на поверхности которой находится рассматриваемое в задаче тело или рассматриваемая точка. Таким образом, переносное движение — это движение

материальной среды вместе с точкой также относительно неподвижной системы координат.

Относительное движение точки или тела — это перемещение их внутри материальной среды, или по ее поверхности, независящее от движения самой материальной среды.

В тех случаях когда заданы движения двух (или более) тел (точек) относительно неподвижной системы координат и необходимо определить движение одного из этих тел относительно другого, удобно пользоваться теми же приведенными выше соображениями.

Тело, относительно которого требуется рассмотреть движение, мысленно остановим, а неподвижную систему координат заставим двигаться по его закону, но в обратном направлении. Тогда для второго тела это движение станет переносным, а движение второго тела — относительным. После этого очень просто понять, как будет двигаться второе тело по отношению к первому.

Этот последний прием использован при решении задач 177-36 и 184-37 и обычно его используют при рассмотрении планетарных механизмов (см. ниже § 40-9).

Решение всех задач на сложное движение необходимо иллюстрировать рисунком.

Сложение движений точки, когда переносное и относительное движения направлены вдоль одной прямой

При изучении сложного движения точки будем рассматривать только перемещение и скорость.

Если переносное и относительное движения направлены вдоль одной прямой, то:

  • перемещение точки в абсолютном движении равно алгебраической сумме перемещений в переносном и относительном движениях;
  • скорость точки в абсолютном движении равна алгебраической сумме переносной и относительной скоростей.

Условимся направление переносного перемещения и соответственно направление переносной скорости считать положительными. Тогда относительное перемещение и соответственно относительная скорость будут также положительными, если они направлены в ту же сторону, что и переносное. Если же относительное перемещение (и скорость) имеют направление, противоположное переносному, то будем считать их отрицательными.

Таким образом, при совпадении направлений переносного и относительного движений

Сложное движение точки в теоретической механике

При противоположных друг другу направлениях переносного и относительного движений

Сложное движение точки в теоретической механике

Задача №3

Вниз по течению реки равномерно плывет лодка, приводимая в движение гребным винтом от мотора. Скорость течения реки 4 км/ч, скорость лодки, сообщаемая ей гребным винтом по отношению к воде, составляет 8 км/ч. Определить скорость лодки относительно берегов и расстояние, которое проходит лодка вдоль берегов за 20 мин.

Решение иллюстрировать рисунком, считая берега реки на данном участке прямолинейными и параллельными.

Решение.

1.    Лодку принимаем за материальную точку, а водную массу реки —за материальную среду.

Движение лодки относительно берегов или, иначе говоря, движение лодки, наблюдаемое с берега, — это абсолютное движение.

Переносное движение лодки—ее перемещение вместе с рекой; скорость Сложное движение точки в теоретической механике = 4 км/ч, которую сообщает лодке река, — ее переносная скорость.

Относительное движение— перемещение лодки по поверхности воды, создаваемое гребным винтом; скорость относительного движения Сложное движение точки в теоретической механике = 8 км/ч.

Сложное движение точки в теоретической механике

2.    Так как в данном случае переносное и относительное движения направлены в одну и ту же сторону, то скорость лодки относительно берегов (абсолютная скорость)

Сложное движение точки в теоретической механике

3.    За время Сложное движение точки в теоретической механикелодка вдоль берегов проходит расстояние

Сложное движение точки в теоретической механике
4.    Иллюстрируем решение задачи следующим образом (рис. 211).

Изобразим на рисунке тот участок водного пространства, который проходит лодка независимо от того, перемещается этот участок воды или нет. За 20 Сложное движение точки в теоретической механикелодка успевает пройти по этому пространству из положения Сложное движение точки в теоретической механикев положениеСложное движение точки в теоретической механике расстояниеСложное движение точки в теоретической механике
За эти же 20 мин, или

Сложное движение точки в теоретической механике показанное водное пространство
переместится на расстояние

Сложное движение точки в теоретической механике

Таким образом, лодка, находившаяся в начале рассматриваемого движения относительно берегов в точке Сложное движение точки в теоретической механикечерез 20 сек оказывается в точке Сложное движение точки в теоретической механикет. е. проходит расстояние

Сложное движение точки в теоретической механике

Следовательно, скорость абсолютного движенияСложное движение точки в теоретической механике

Задача №4

Два автомобиля 1 и 2 движутся параллельно друг другу в одну и ту же сторону со скоростями Сложное движение точки в теоретической механике(рис. 212, а). С какой скоростью второй автомобиль двигается относительно первого? Решение.

Сложное движение точки в теоретической механике

1.    Ответ «по соображению» получается мгновенно: Сложное движение точки в теоретической механике т. е. относительно первого второй автомобиль двигается со скоростью 20 км/ч, но в обратную сторону.

2.    Объясним это решение с точки зрения теории сложного движения точки. Условно остановим первый автомобиль. Но тогда, чтобы не изменились условия движения, необходимо мысленно представить, что полотно дороги под вторым автомобилем и вместе с ним получает движение в обратную сторону со скоростью Сложное движение точки в теоретической механике(рис. 212, б).

Находясь в условном переносном движении со скоростью Сложное движение точки в теоретической механике второй автомобиль относительно дороги движется со скоростью Сложное движение точки в теоретической механике

Поэтому результирующая обеих скоростей Сложное движение точки в теоретической механике численно равна их разности:

Сложное движение точки в теоретической механике

Как видно на рис. 212, а, результирующая направлена в сторону, противоположную скорости Сложное движение точки в теоретической механике

Задача №5

Расстояние s = 90 км между двумя пристанями, расположенными на роке, теплоход проходит без остановки в одном направлении (по течению) заСложное движение точки в теоретической механике = 3 ч и в обратном направлении (против течения) заСложное движение точки в теоретической механике= 5 ч. Определить скорость течения реки и собственную скорость теплохода.

Решение.

1. Теплоход, который принимаем за материальную точку, двигаясь по течению, имеет абсолютную скорость (скорость относительно берегов):

Сложное движение точки в теоретической механике
где Сложное движение точки в теоретической механике — искомая собственная скорость теплохода (относительная скорость);

Сложное движение точки в теоретической механике— скорость течения реки (переносная скорость).

При движении против течения абсолютная скорость теплохода
Сложное движение точки в теоретической механике
2. Движение теплохода по течению описывается уравнением (рис. 213, а)Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике

Движение теплохода против течения происходит по уравнению (рис. 213, б)

Сложное движение точки в теоретической механике
2. Решаем полученную систему уравнения. Из (а) и (б)
Сложное движение точки в теоретической механике
Сложим правые и левые части этих уравнений:
Сложное движение точки в теоретической механике
Вычитаем из верхнего равенства нижнее:
Сложное движение точки в теоретической механике
Таким образом, собственная скорость теплохода составляет 24 км/ч и скорость течения реки равна 6 км/ч.

Следующую задачу рекомендуется решить самостоятельно.

Задача №6

Расстояние между двумя пристанями, расположенными на реке, теплоход, двигаясь равномерно без остановки, проходит по течению реки заСложное движение точки в теоретической механике а против течения (двигаясь в обратном направлении) —Сложное движение точки в теоретической механике За какое время Сложное движение точки в теоретической механике проплывает это же расстояние плот, передвигаемый только течением реки?

Задачу надо решить в общем виде, а потом подставить числовые значения.

Ответ.Сложное движение точки в теоретической механике
 

Сложение движений точки, когда переносное и относительное движения направлены под углом друг к другу

Когда переносное и относительное движения направлены под углом друг к другу, то перемещения и скорости складываются геометрически.

Таким образом, абсолютная скорость точки Сложное движение точки в теоретической механикеопределяется как геометрическая сумма переносной Сложное движение точки в теоретической механике и относительной оог„ скоростей;

Сложное движение точки в теоретической механике

т. е. либо как диагональ параллелограмма, построенного на переносной и относительной скоростях (рис. 214, а), либо как замыкающий вектор треугольника скоростей (рис. 214, б).

Сложное движение точки в теоретической механике
При решении задач на определение скоростей наиболее удобно применять графо-аналитический способ (см. § 3-1 настоящего пособия).

Если применяется правило параллелограмма, то модуль абсолютной скорости определяется по формуле, выведенной из теоремы косинусов

Сложное движение точки в теоретической механике

Если применяется правило треугольника, то модуль абсолютной скорости определяется по теореме синусов.

Направление абсолютной скорости по отношению кСложное движение точки в теоретической механике можно найти также при помощи теоремы синусов.

В частном случае, когда параллелограмм скоростей превра шается в прямоугольник или когда треугольник скоростей получается прямоугольным, для решения задачи используются тригонометрические функции и теорема Пифагора (см. ниже задачи 181-37, 182-37, 185-37).

Бели в частном случае Сложное движение точки в теоретической механике то при геометрическом сложении таких скоростей образуется ромб (рис. 215, а) или равнобедренный треугольник (рис. 215, б), тогда
Сложное движение точки в теоретической механике
 

Задача №7

Вертикально падающие капли дождя оставляют на боковых стеклах автомобиля полосы под углом Сложное движение точки в теоретической механике к вертикали. Скорость движения автомобиля 40 км’ч. Определить, с какой скоростью надают капли дождя.

Сложное движение точки в теоретической механике

Решение.

1.    Изобразим движение капли дождя на рисунке (рис. 216). Капли падают вертикально, следовательно, скорость ик какой-либо капли К относительно Земли является скоростью абсолютного (составного) движения. И эту скорость Сложное движение точки в теоретической механике можно представить в виде геометрической суммы горизонтально направленной переносной скорости автомобиля Сложное движение точки в теоретической механике — относительно скорости капли при ее движении по стеклу автомобиля.

2.    Получившийся параллелограмм скоростей диагональ делит на два прямоугольных треугольника. Рассмотрев любой из этих треугольников, найдем

Сложное движение точки в теоретической механике
Переводим полученную скорость падения капель в м/сек:
Сложное движение точки в теоретической механике

Задача №8

От одного берега реки к другому плывет лодка, держа курс перпендикулярно к берегам. Ширина реки 800 м лодка достигает противоположного берега через 12 мин после начала переправы. За это время лодку сносит вниз по течению на расстояние 600 м. Определить скорость течения реки; собственную скорость лодки: скорость лодки относительно берегов. Скорость течения у берегов и на середине реки считать одинаковой.

Решение.

1.    Изобразим на рисунке движение лодки (рис. 217). Представим, что лодка отплывает из точки А на правом берегу. Если бы

не было течения, она достигла бы противоположного берега в точке В; известно, что ширина реки Сложное движение точки в теоретической механике Но лодку сносит вниз по течению (переносное движение) на расстояние Сложное движение точки в теоретической механике0,6 км и поэтому движение лодки относительно берегов (абсолютное движение) происходит но прямой АС.

Обозначим точкой L положение лодки через некоторое время после начала движения. Скорость лодки относительно берегов — абсолютная скорость Сложное движение точки в теоретической механике — направлена вдоль прямой АС и складывается из собственной скорости Сложное движение точки в теоретической механике сообщаемой гребным винтом или веслами, и из переносной скорости течения реки Сложное движение точки в теоретической механике

2.    Допустим, что нет течения реки, тогда лодка будет перемещаться относительно берегов так же, как и относительно воды, по прямой АВ и ее движение опишется уравнением

Сложное движение точки в теоретической механике

где t — время переправы (t=12 мин =0,2 ч).

Отсюда находим собственную скорость лодки (скорость лодки относительно воды — относительную скорость)

Сложное движение точки в теоретической механике

3.    Если лодка будет плыть, подчиняясь только течению реки, ее движение опишется уравнением

Сложное движение точки в теоретической механике

Из этого уравнения найдем скорость течения реки:

Сложное движение точки в теоретической механике
Сложное движение точки в теоретической механике

4.    Теперь из прямоугольного треугольника скоростей (см. рис. 217) легко найти скорость лодки относительно берегов — абсолютную скорость:

Сложное движение точки в теоретической механике

Задача №9

Трассы двух воздушных лайнеров пересекаются над поселком А. Первый лайнер летит точно на север, второй лайнер — на юго-восток. Скорости Сложное движение точки в теоретической механикеобоих лайнеров численно равны (Сложное движение точки в теоретической механике). Определить, чему равна и как направлена в этот момент скорость второго лайнера относительно первого.

Решение 1—методом «остановки» одного из тел.

1. Обозначим точкой А поселок, над которым» в определенный момент находятся оба лайнера. Покажем страны света: С —север, Ю — юг, В —восток и 3 —запад. Изобразим скорости лайнеров относительно Земли: Сложное движение точки в теоретической механике—скорость первого лайнера и Сложное движение точки в теоретической механике— скорость второго (рис. 218, а).
Сложное движение точки в теоретической механике

2.    Так как нужно определить скорость второго лайнера относительно первого, то мысленно первый лайнер остановим над пунктом А, а воздушной среде вместе со вторым лайнером сообщим скорость Сложное движение точки в теоретической механике но в обратную сторону по отношению к скорости Сложное движение точки в теоретической механикерис. 218, б). Тогда скорость Сложное движение точки в теоретической механикевторого лайнера приобретет значение относительной скорости (скорости относительно перемещающейся воздушной среды).

3.    Сложив по правилу параллелограмма скорости Сложное движение точки в теоретической механике (см. рис. 218, б), получим скорость Сложное движение точки в теоретической механике( изображающую скорость второго лайнера по отношению к первому.

4.    Так как скорости лайнеров Сложное движение точки в теоретической механикечисленно равны Сложное движение точки в теоретической механикеСложное движение точки в теоретической механике то параллелограмм скоростей на рис. 218, б — ромб и, следовательно [см. формулу (3) в начале этого параграфа], числовое значение Сложное движение точки в теоретической механикеравно:
Сложное движение точки в теоретической механике
Таким образом, второй лайнер движется относительно первого со скоростью, численно равной и, как видно из рис. 218, б, удаляется от него на юго-юго-запад, т. е. под углом 157°30′ (903 + 45° + 22‘30′) к направлению скорости первого лайнера.

* Когда будет определен этот угол, его нужно сравнить с углом между векторами Сложное движение точки в теоретической механике из предыдущей задачи.

Решение 2 —методом разности скоростей.

1. Из выражения геометрической суммы скоростей

Сложное движение точки в теоретической механике
следует, что
Сложное движение точки в теоретической механике
2. Для определения скорости второго лайнера относительно первого примем за абсолютную скорость Сложное движение точки в теоретической механике— скорость первого лайнера и за переносную скорость Сложное движение точки в теоретической механике — скорость второго лайнера; тогда искомую относительную скорость Сложное движение точки в теоретической механике получим как разность (см. рис. 3)Сложное движение точки в теоретической механике

3.    Чтобы произвести вычитания векторов, необходимо конец вычитаемого вектора Сложное движение точки в теоретической механикесоединить с концом уменьшаемого вектора Сложное движение точки в теоретической механикев направлении от первого ко второму искомым вектором Сложное движение точки в теоретической механике (рис. 218, в).

4.    В результате построения имеем равнобедренный треугольник скоростейСложное движение точки в теоретической механикеиз которого легко найти, что числовое значение

Сложное движение точки в теоретической механике
Угол Сложное движение точки в теоретической механике определяющий в данный момент направление вектора Сложное движение точки в теоретической механикеотносительноСложное движение точки в теоретической механике определяется непосредственно по рис. 218, в.

Задача №10

В кривошипно-кулисном механизме с поступательно движущейся кулисой ВС кривошип ОА (расположенный позади кулисы) длиной l= 400 мм вращается с постоянной угловой скоростью Сложное движение точки в теоретической механике=10 рад/сек. Концом А, соединенным шарнирно с камнем, скользящим в прорези кулисы, кривошип сообщает кулисе ВС возвратно-поступательное движение. Определить скорость кулисы в момент, когда кривошип образует с осью кулисы угол Сложное движение точки в теоретической механике(рис. 219, а).

Решение.

1.    В данном случае движение точки А вместе с кривошипом можно считать сложным, т. е. получающимся в результате сложения:

а) движения точки А вместе с кулисой в ее возвратно-поступательном (переносном) движении вдоль оси х;

б) относительного движения точки А вместе с камнем, движущимся возвратно-поступательно в прорези кулисы в направлении, перпендикулярном к оси х.

2.    Абсолютная скорость точки А, модуль которой легко определяется по формуле Сложное движение точки в теоретической механикенаправлена перпендикулярно к кривошипу ОА. Переносная скорость точки А равна поступательной скорости кулисы Сложное движение точки в теоретической механикенаправлена по прямой АО (рис. 219, б). Относительная скорость Сложное движение точки в теоретической механике точки А, равная скорости камня в прорези кулисы, направлена по прямой Ас.

3.    Изобразим скорость Сложное движение точки в теоретической механикеСложное движение точки в теоретической механике вектором, перпендикулярным к ОА. Разложим ее на составляющие уоти и Сложное движение точки в теоретической механике как показано на рис. 219, б. Вектор Сложное движение точки в теоретической механикеизображает искомую скорость кулисы.

Сложное движение точки в теоретической механике

4.    Сложное движение точки в теоретической механике(как углы с взаимно перпендикулярными сторонами) и, следовательно,Сложное движение точки в теоретической механике

Таким образом, в данный момент кулиса перемещается вниз со скоростью 2 м,сек.

Чтобы лучше проанализировать движение кулисы, необходимо знать, когда кулиса двигается ускоренно, когда замедленно, при каких положениях кривошипа кулиса имеет максимальную скорость и чему равна эта скорость, при каких положениях кривошипа скорость кулисы равна нулю?

Следующие задачи рекомендуется решить самостоятельно.

Задача №11

Кривошип 0С=30 см вращается равномерно с угловой скоростью Сложное движение точки в теоретической механике и приводит в возвратно-поступательное движение кулису АВ при помощи ползуна С, передвигающегося в прорези кулисы. Определить скорость Сложное движение точки в теоретической механикеползуна в прорези кулисы и скорость Сложное движение точки в теоретической механикесамой кулисы в тот момент, когда кривошип составляет с горизонталью угол а = 35° (рис. 220). Ответ. Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике

Задача 187-37. Кривошип ОС = 20 см вращается равномерно с угловой скоростью n = 180 об/мин и приводит в движение качающуюся кулису АВ при помощи ползуна С, двигающегося в прорези кулисы. Определить скорость Сложное движение точки в теоретической механике ползуна в прорези кулисы и угловую скорость Сложное движение точки в теоретической механике кулисы в тот момент, когда кривошип составляет с вертикалью угол а=40°. Расстояние /40 = 40 см (рис. 221).

Ответ. Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в плоскости

постановка задачи. Геометрическая фигура вращается вокруг оси, перпендикулярной ее плоскости по известному законуСложное движение точки в теоретической механике. В канале, расположенном на фигуре, движется точка М по закону Сложное движение точки в теоретической механике Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки в заданный момент времени Сложное движение точки в теоретической механике

План решения:

Сложное движение точки М представляется в виде суммы относительного и переносного. Характерной особенностью этой задачи является то, что траектории относительного, переносного и абсолютного движения лежат в одной плоскости. Ось z, на которую проектируются векторы переносной угловой скорости и переносного углового ускорения, перпендикулярна этой плоскости и направлена на наблюдателя. Угол поворота считается положительным, если со стороны оси Сложное движение точки в теоретической механикеон виден против часовой стрелки.

Искомые величины получаем из векторных равенств:

Сложное движение точки в теоретической механике

где Сложное движение точки в теоретической механике — соответственно относительные и переносные скорости и ускорения: Сложное движение точки в теоретической механике — ускорение Кориолиса .

1.    Вычисляем значение дуговой координаты Сложное движение точки в теоретической механикепри Сложное движение точки в теоретической механике и определяем положение точки в подвижной системе координат.

2.    Дифференцируя Сложное движение точки в теоретической механикепо времени, находим относительную скорость (скорость точки относительно фигуры):

Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике Кориолис Гаспар Гюстав (1792-1843) французский механик и математик.

Вектор Сложное движение точки в теоретической механике направляем по касательной к относительной траектории в сторону увеличенияСложное движение точки в теоретической механике, еслиСложное движение точки в теоретической механике и в обратную сторону в противном случае; Сложное движение точки в теоретической механике

3.    Вычисляем радиус траектории переносного движения Сложное движение точки в теоретической механике — расстояние от точки М в положении Сложное движение точки в теоретической механикедо оси переносного вращения.

4.    Находим переносную скоростьСложное движение точки в теоретической механике где переносная угловая скорость

Сложное движение точки в теоретической механике

Вектор Сложное движение точки в теоретической механике направляем перпендикулярно Сложное движение точки в теоретической механике в сторону переносного вращения.

5.    Определяем вектор абсолютной скорости, вычисляя компоненты Сложное движение точки в теоретической механике векторной суммы (1) на произвольно выбранные оси, и модуль

Сложное движение точки в теоретической механике

6.    Вычисляем относительное ускорение. В случае криволинейной относительной траектории

где Сложное движение точки в теоретической механике

 R — радиус кривизны относительной траектории в точке М. Для прямолинейной траектории относительного движенияСложное движение точки в теоретической механике Вектор Сложное движение точки в теоретической механике направляем по касательной к относительной траектории, вектор Сложное движение точки в теоретической механике — к центру кривизны этой же кривой.

7.    Вычисляем переносное ускорение:

Сложное движение точки в теоретической механике

Вектор Сложное движение точки в теоретической механике направляем перпендикулярно Сложное движение точки в теоретической механике, векторСложное движение точки в теоретической механике — к оси переносного вращения (вдоль Сложное движение точки в теоретической механике).

8. Находим ускорение Кориолиса Сложное движение точки в теоретической механике Так как в задачах этого типа вектор переносной угловой скорости перпендикулярен вектору относительной скорости, то Сложное движение точки в теоретической механике

Направление вектора ускорения Кориолиса можно определить по правилу Жуковского Сложное движение точки в теоретической механике поворотом на 90° вектора относительной скорости по направлению переносного вращения. В результате вектор ускорения Кориолиса в таких задачах будет лежать на одной прямой с Сложное движение точки в теоретической механике при криволинейном относительном движении, а в случае прямолинейного относительного движения Сложное движение точки в теоретической механике перпендикулярен относительной траектории.

9. Вычисляем абсолютное ускорение по формуле (2) в проекциях на оси координат. Модуль абсолютного ускорения Сложное движение точки в теоретической механике

Задача №12

Прямоугольник ABCD вращается вокруг оси, проходящей через вершину А, по законСложное движение точки в теоретической механике Ось вращения перпендикулярна плоскости прямоугольника (рис. 109). По круговому каналу радиуса R = 10 см с центром в точке С, расположенному на прямоугольнике, движется точка М. Дуговая координата точки меняется по закону Сложное движение точки в теоретической механике Дано: АВ = 12 см, ВС = 15 Сложное движение точки в теоретической механике
Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М при Сложное движение точки в теоретической механике

Решение

Движение точки М представим в виде относительного движения по круговому каналу и переносного движения вместе с вращающимся прямоугольником.

1. Вычисляем значение дуговой координаты Сложное движение точки в теоретической механике при
Сложное движение точки в теоретической механике Жуковский Николай Егорович (1847-1921) русский ученый, основоположник гидроаэродинамики. Преподавал теоретическую механику в МГУ. Правило Жуковского для общего случая см. с. 204

Гл.9.Сложное движение точки

Сложное движение точки в теоретической механике и определяем положение точки в подвижной системе координат. За время Сложное движение точки в теоретической механикеточка проходит по дуге окружности путь Сложное движение точки в теоретической механике Сложное движение точки в теоретической механике Центральный угол, соответствующий этой дуге, Сложное движение точки в теоретической механике Изображаем точку в этом положении (рис.110).

2.    Дифференцируя Сложное движение точки в теоретической механике по времени, находим относительную скорость. Находим ее значение при t = 1с:

Сложное движение точки в теоретической механике

Вектор Сложное движение точки в теоретической механике направлен по касательной к окружности.

3.    Вычисляем радиус траектории переносного движения Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике

4.    Находим переносную скорость Сложное движение точки в теоретической механике Переносной скоростью точки является скорость точки прямоугольника, совпадающей в данный момент с М Сложное движение точки в теоретической механике.Угловая скорость фигуры, при t =1с,

Сложное движение точки в теоретической механике

Отсюда Сложное движение точки в теоретической механике

5.    Определяем вектор абсолютной скорости по формуле (1). Модуль абсолютной скорости Сложное движение точки в теоретической механике находим, проецируя

это равенство на неподвижные оси координат х, у (можно воспользоваться также теоремой косинусов):

Сложное движение точки в теоретической механике

Тригонометрические функции угла Сложное движение точки в теоретической механике вычисляем по формулам

Сложное движение точки в теоретической механике

Модуль абсолютной скорости Сложное движение точки в теоретической механике
Сложное движение точки в теоретической механикеИногда переносная скорость обозначается Сложное движение точки в теоретической механике (от французского слова emporter), реже Сложное движение точки в теоретической механике (от английского слова transport), а относительная — Сложное движение точки в теоретической механике (от английского слова relativ). Эти же индексы используются и для других компонентов сложного движения.

6.    Вычисляем относительное ускорение. Ускорение точки, движущейся относительно прямоугольника по окружности, имеет нормальную и тангенциальную составляющую:

Сложное движение точки в теоретической механике

Модуль относительного ускорения

Сложное движение точки в теоретической механике

Вектор ускорения Сложное движение точки в теоретической механике направляем по радиусу окружности к точке Сложное движение точки в теоретической механике — по касательной, в сторону увеличения дуги КМ, так как Сложное движение точки в теоретической механике(рис.11)

7.    Вычисляем переносное ускорение Сложное движение точки в теоретической механике Траектория переносного движения точки — окружность радиуса Сложное движение точки в теоретической механике с центром А. Прямоугольник вращается с угловой скоростью Сложное движение точки в теоретической механике и угловым ускорением

Сложное движение точки в теоретической механике

Отсюда получаем

Сложное движение точки в теоретической механике

Вектор Сложное движение точки в теоретической механике направлен против часовой стрелки перпендикулярно радиусуСложное движение точки в теоретической механике Вектор Сложное движение точки в теоретической механике — к центру А. Модуль переносного ускорения

Сложное движение точки в теоретической механике

8.    Находим ускорение Кориолиса Сложное движение точки в теоретической механике. Модуль вектора ускорения Сложное движение точки в теоретической механике определяем по формулеСложное движение точки в теоретической механике где Сложное движение точки в теоретической механике — угол междуСложное движение точки в теоретической механикеВектор Сложное движение точки в теоретической механике перпендикулярен плоскости чертежа, следовательно, угол Сложное движение точки в теоретической механике равен 90°. Имеем

Сложное движение точки в теоретической механике

Направление вектора ускорения Кориолиса получаем по правилу Жуковского — поворотом на 90° вектора относительной скорости
Сложное движение точки в теоретической механикеЭто ускорение называют иногда поворотным, а в англоязычной литературе — supplementary (дополнительным).

по направлению переносного вращения, т.е. против часовой стрелки (рис. 112).

Сложное движение точки в теоретической механике

9. Вычисляем абсолютное ускорение по формуле (2) в проекциях на оси координат (рис. 111):

Сложное движение точки в теоретической механике

Находим модуль ускорения: Сложное движение точки в теоретической механике

Ответы заносим в таблицу. Радиус траектории переносного движения — в см, скорости — в см/с, ускорения — в Сложное движение точки в теоретической механикеСложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в пространстве

Постановка Задачи. Геометрическая фигура вращается по заданному закону вокруг неподвижной оси, лежащей в ее плоскости. По каналу, расположенному на фигуре, движется точка М по известному закону Сложное движение точки в теоретической механике Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки.

План решения:

Искомые величины получаем из векторных равенств

Сложное движение точки в теоретической механике

где Сложное движение точки в теоретической механике — соответственно относительные и переносные скорости и ускорения; Сложное движение точки в теоретической механике — ускорение Кориолиса. Решение задачи о сложном движении точки в пространстве отличается от аналогичной задачи, где точка движется в плоскости (с. 195) тем, что векторные суммы для абсолютных величин вычисляются по трем компонентам, а ускорение Кориолиса содержит синус угла между вектором переносной угловой скорости и относительной скоростью. Относительная скорость в этих задачах всегда перпендикулярна переносной, что упрощает вычисление модуля их суммы.

1.    Вычисляем значение дуговой координаты Сложное движение точки в теоретической механике приСложное движение точки в теоретической механике и определяем положение точки в подвижной системе координат.

2.    Дифференцируя Сложное движение точки в теоретической механике по времени, находим величину относительной скорости Сложное движение точки в теоретической механикеВектор Сложное движение точки в теоретической механике направляем по касательной к относительной траектории в сторону увеличения Сложное движение точки в теоретической механике если Сложное движение точки в теоретической механике и в обратную сторону в противном случае; Сложное движение точки в теоретической механике

3.    Вычисляем радиус траектории переносного движения Сложное движение точки в теоретической механике — расстояние от точки М в расчетном положении до оси переносного вращения.

4.    Находим модуль переносной скорости Сложное движение точки в теоретической механике где переносная угловая скорость Сложное движение точки в теоретической механике Вектор Сложное движение точки в теоретической механике располагается в плоскости перпендикулярной оси вращения и направлен перпендикулярно Сложное движение точки в теоретической механике в сторону переносного вращения.

5.    Определяем величину абсолютной скорости Сложное движение точки в теоретической механике

6.    Вычисляем относительное ускорение. В случае криволинейной относительной траектории

Сложное движение точки в теоретической механике

где Сложное движение точки в теоретической механике — радиус кривизны относительной траектории в точке М. Для прямолинейной траектории относительного движения Сложное движение точки в теоретической механике Вектор Сложное движение точки в теоретической механике направляем по касательной к относительной траектории, вектор Сложное движение точки в теоретической механике — к центру кривизны этой же кривой.

7.    Вычисляем переносное ускорение:

Сложное движение точки в теоретической механике

Вектор Сложное движение точки в теоретической механикенаправляем перпендикулярно Сложное движение точки в теоретической механике вектор Сложное движение точки в теоретической механике — к оси переносного вращения (вдоль Сложное движение точки в теоретической механике).

8.    Величину вектора ускорения Кориолиса определяем по формуле

Сложное движение точки в теоретической механике

Направление вектора ускорения Кориолиса можно определить по правилу Н.Е. Жуковского поворотом на 90° проекции вектора относительной скорости на плоскость, перпендикулярную Сложное движение точки в теоретической механикепо направлению переносного вращения.

9. Вычисляем абсолютное ускорение по формуле (2) в проекциях на оси координат. Ось Сложное движение точки в теоретической механике направляем по оси вращения. Модуль абсолютного ускорения

Сложное движение точки в теоретической механике

  • Заказать решение задач по теоретической механике

Задача №13

Прямоугольник ABCD вращается вокруг неподвижной оси, проходящей по стороне DC (рис. 113). По круговому каналу радиуса R = 12 см с центром в точке О, расположенному на прямоугольнике, движется точка М по законуСложное движение точки в теоретической механикеНайти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки при Сложное движение точки в теоретической механике Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике

Решение

1. Вычисляем значение дуговой координаты Сложное движение точки в теоретической механике при Сложное движение точки в теоретической механике и определяем положение точки в подвижной системе координат:

Сложное движение точки в теоретической механике

Находим центральный угол, соответствующий дуге ВМ:

Сложное движение точки в теоретической механике

Изображаем точку в этом положении (рис. 114).
9.2.Сложное движение точки в пространстве

2.    Дифференцируя Сложное движение точки в теоретической механике по времени, находим относительную скорость:

Сложное движение точки в теоретической механике

3.    Траекторией переносного движения является окружность с центром N. Относительна скорость точки М направлена по касательной к этой окружности. Траектория лежит в плоскости ху, перпендикулярной к оси вращения Сложное движение точки в теоретической механике Находим радиус окружности:

Сложное движение точки в теоретической механике

4.    Находим переносную скорость. Вычисляем угловую скорость вращения прямоугольника ABCD:

Сложное движение точки в теоретической механике

Вычисляем переносную скорость

Сложное движение точки в теоретической механике

5.    Определяем величину абсолютной скорости. Вектор Сложное движение точки в теоретической механике лежит в плоскости Сложное движение точки в теоретической механике направлен по оси х, следовательно, они перпендикулярны. Модуль скорости

Сложное движение точки в теоретической механике

6.    Вычисляем относительное ускорение. Находим нормальную составляющую ускорения точки, движущейся по окружности радиуса R:

Сложное движение точки в теоретической механике

Тангенциальная составляющая

Сложное движение точки в теоретической механике

Оба вектора лежат в плоскости Сложное движение точки в теоретической механике(рис.115.),Сложное движение точки в теоретической механике

7.    Вычисляем компоненты переносного ускорения. Прямоугольник вращается с угловой скоростью Сложное движение точки в теоретической механике и угловым ускорением

Сложное движение точки в теоретической механике

Получаем

Сложное движение точки в теоретической механике

Вектор Сложное движение точки в теоретической механике направлен по оси х, вектор Сложное движение точки в теоретической механике— к оси вращения вдоль оси у.

8. Величину вектора ускорения Кориолиса определяем по формуле Сложное движение точки в теоретической механикеВектор Сложное движение точки в теоретической механике всегда направлен по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно против часовой стрелки. В нашем случае — вверх.
Сложное движение точки в теоретической механике
Угол Сложное движение точки в теоретической механике между Сложное движение точки в теоретической механике равен 150°. Определяем

Сложное движение точки в теоретической механике

Для того, чтобы найти направление вектора ускорения Кориолиса, воспользуемся правилом Жуковского (рис. 116). Проецируем вектор относительной скорости Сложное движение точки в теоретической механике на плоскость перпендикулярную оси вращения, т.е. на плоскость ху. Повернув проекцию Сложное движение точки в теоретической механике  по направлению переносного вращения на 90°, получаем направление вектора ускорения Кориолиса. Вектор Сложное движение точки в теоретической механике лежит на оси х и направлен в сторону отрицательных значений.

9. Вычисляем абсолютное ускорение по формуле (2) в проекциях на оси координат:

Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике

 Окончательно, абсолютное ускорение точки М

Сложное движение точки в теоретической механике

Ответы заносим в таблицу. Радиус траектории переносного движения — в см, скорости — в см/с, ускорения — в Сложное движение точки в теоретической механикеСложное движение точки в теоретической механике

Движение точки по звену механизма

Постановка Задачи. Плоский шарнирно-стержневой механизм приводится в движение кривошипом, который вращается с заданной угловой скоростью. Вдоль одного из стержней по известному закону движется тючка М. Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

План решения:

Представляем движение точки в виде суммы относительного движения по звену механизма и переносного движения вместе со звеном.

1.    Вводим неподвижную систему координат ху, совмещая се начало с положением одного из шарниров механизма в заданный момент времени. Вдоль стержня, по которому движется точка, располагаем подвижную ось Сложное движение точки в теоретической механике направляя ее в сторону движения точки. Зная закон относительного движенияСложное движение точки в теоретической механике (он задан в условии), определяем положение точки относительно звена и неподвижных осей ху в расчетный момент. Определяем координаты х и у шарниров.

2.    Дифференцируя Сложное движение точки в теоретической механике по времени, находим проекции относительной скорости и относительного ускорения на ось и:

Сложное движение точки в теоретической механике

Зная угол между осями Сложное движение точки в теоретической механике находим проекции векторов Сложное движение точки в теоретической механике на оси ху.

3.    Решаем задачу о скоростях точек многозвенного механизма, используя аналитические методы (§ 8.3, с. 179, § 8.5, с. 188). Вычисляем вектор скорости той точки механизма, в которой в данный момент находится подвижная точка М. Эта скорость является переносной скоростью для точки М.

4.    Определяем вектор абсолютной скорости, Сложное движение точки в теоретической механике и его модуль,Сложное движение точки в теоретической механике

5.    Решаем задачу об ускорениях точек многозвенного механизма, используя аналитические методы (§ 8.4, с. 183, § 8.5, с. 188). Вычисляем вектор ускорения той точки механизма, в которой в данный момент находится подвижная точка М. Это ускорение является переносным для точки М.

6.    Находим ускорение Кориолиса:

Сложное движение точки в теоретической механике

где Сложное движение точки в теоретической механике — вектор угловой скорости звена, по которому движется точка.

7. Находим абсолютное ускорение, Сложное движение точки в теоретической механике и его модуль: Сложное движение точки в теоретической механике

Задача №14

Плоский шарнирно-стержневой механизм ОABC приводится в движение кривошипом OA =60 см, который вращается с постоянной угловой скоростью Сложное движение точки в теоретической механикеВдоль стержня АВ движется точка М по закону Сложное движение точки в теоретической механике
Сложное движение точки в теоретической механике
Положение механизма при Сложное движение точки в теоретической механике с указано на рис. 117; АВ =120 см, ВС =80 см, Сложное движение точки в теоретической механике Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в этот момент.

Решение

Абсолютное движение точки представляем в виде суммы относительного движения по звену АВ и переносного движения вместе с ним. Переносные скорость и ускорение являются соответственно скоростью и ускорением той точки звена, в которой в данный момент располагается точка М.

1. Вводим неподвижную систему координат ху, совмещая ее начало с положением шарнира А механизма в заданный момент времени. Вдоль стержня АВ, по которому движется точка, располагаем подвижную ось Сложное движение точки в теоретической механике направляя ее в сторону движения точки (рис. 118). Зная закон относительного движенияСложное движение точки в теоретической механикеопределяем положение точки относительно звена при t = 2 с: Сложное движение точки в теоретической механике т.е. точка находится в центре звена АВ. Определяем координаты шарниров в неподвижных осях координат:

Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике Проекция угловой скорости на ось Сложное движение точки в теоретической механике перпендикулярную плоскости чертежа, Сложное движение точки в теоретической механике следовательно, кривошип вращается против часовой стрелки.

2.    Дифференцируя Сложное движение точки в теоретической механике по времени, находим проекции относительной скорости и относительного ускорения на ось Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике

Угол между осями Сложное движение точки в теоретической механике равен Сложное движение точки в теоретической механике Находим проекции:Сложное движение точки в теоретической механике 

Сложное движение точки в теоретической механике

3.    Решаем задачу о скоростях точек многозвенного механизма, используя уравнения трех угловых скоростей (§ 8.3, с. 179):

Сложное движение точки в теоретической механике

где по условию Сложное движение точки в теоретической механике Решаем систему двух уравнений относительно Сложное движение точки в теоретической механике Подставляя численные значения, получаем Сложное движение точки в теоретической механикеСкорость Сложное движение точки в теоретической механике определяем из

равенства Сложное движение точки в теоретической механике

Переписываем это равенство в виде
Сложное движение точки в теоретической механике
Получаем

Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике
Модуль переносной скорости Сложное движение точки в теоретической механике

4. Определяем проекции.

Сложное движение точки в теоретической механике

и модуль абсолютной скорости: Сложное движение точки в теоретической механике

5. Решаем задачу об ускорениях точек многозвенного механизма, используя уравнения трех угловых ускорений (уравнение (2), с. 184), где Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике

Находим Сложное движение точки в теоретической механике Вычисляем вектор ускорения той точки механизма, в которой в данный момент находится подвижная точка М. Это ускорение является переносным для точки М. Учитывая, что Сложное движение точки в теоретической механике записываем векторное равенство

Сложное движение точки в теоретической механике

Раскрывая векторные произведения по аналогии с (1), вычисляем

Сложное движение точки в теоретической механикеЭто ускорение является переносным для точки М:

Модуль переносного ускорения Сложное движение точки в теоретической механике

6. Находим ускорение Кориолиса Сложное движение точки в теоретической механике — вектор угловой скорости звена АВ, по которому движется точка:

Сложное движение точки в теоретической механике

Вычисляем

Сложное движение точки в теоретической механике

Модуль ускорения КориолисаСложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике

7. Вычисляем абсолютное ускорение Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике

и его модуль Сложное движение точки в теоретической механике

Результаты заносим в таблицу. Скорости в м/с, ускорения — в Сложное движение точки в теоретической механике угловая скорость — в рад/с, угловое ускорение — в Сложное движение точки в теоретической механикеСложное движение точки в теоретической механике

Механизм с муфтой

Постановка Задами. Плоский механизм с одной степенью свободы состоит из шарнирно соединенных стержней и муфты, скользящей по направляющему стержню и шарнирно закрепленной на другом стержне или на неподвижном шарнире. Задана угловая скорость ведущего звена механизма. Найти скорость муфты относительно направляющего стержня.

План решения:

1.    Представляем движение муфты М в виде суммы относительного движения по направляющему стержню механизма и переносного движения вместе с этим стержнем. Траекторией относительного движения муфты является прямая. Задачу решаем, используя координатную запись векторных соотношений для скоростей при плоском движении. Выбираем систему координат и определяем координаты всех шарниров механизма и муфты.

2.    Мысленно снимаем муфту с механизма и находим скорости шарниров и угловые скорости звеньев получившегося механизма (§ 8.1, с. 158, § 8.3, с. 179, § 8.5, с. 188).

3.    Записываем уравнение сложения скоростей:Сложное движение точки в теоретической механике где абсолютная скорость Сложное движение точки в теоретической механике или относительная скорость Сложное движение точки в теоретической механике выражается через скорости шарниров механизма. Составляем уравнение

Сложное движение точки в теоретической механике

Это векторное уравнение содержит две неизвестные величины. Одна из них — искомый модуль вектора относительной скорости Сложное движение точки в теоретической механике Направление этого вектора всегда известно и задается направлением стержня, по которому скользит муфта Сложное движение точки в теоретической механике . В зависимости от варианта задачи второй неизвестной может быть угловая скорость Сложное движение точки в теоретической механике или Сложное движение точки в теоретической механике где N и К — точки механизма с известными скоростями.

Если муфта скользит по стержню КМ, угловая скорость Сложное движение точки в теоретической механике которого известна, то неизвестной величиной будет угловая скорость Сложное движение точки в теоретической механике звена, шарнирно соединяющего муфту с неподвижной точкой Сложное движение точки в теоретической механике или с шарниром N механизма с известной скоростью.

Если муфта шарнирно закреплена на стержне NM с известной угловой скоростью Сложное движение точки в теоретической механике то неизвестной величиной будет угловая скорость Сложное движение точки в теоретической механике звена, по которому скользит муфта, где точка К неподвижна или является шарниром с известной скоростью.

Если муфта закреплена на неподвижном шарнире, то абсолютная скорость равна нулю Сложное движение точки в теоретической механике

3. Решаем векторное уравнение (1). Определяем Сложное движение точки в теоретической механике

Задача №15

Плоский механизм с одной степенью свободы состоит из шарнирно соединенных стержней и муфты D, скользящей по направляющему стержню (кривошипу) OA. Муфта шарнирно закреплена на стержне BD. Кривошип вращается против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью Сложное движение точки в теоретической механике Даны длины: OA = 40 см, АВ = 111 см, ВС = 43 см, ОС = 62 см. Найти скорость муфты относительно направляющего стержня в тот момент, когда Сложное движение точки в теоретической механикеа муфта находится на середине кривошипа: OD = ОА/2 (рис. 119).

Сложное движение точки в теоретической механике
Сложное движение точки в теоретической механике Направляющий стержень.

Решение

1. Представляем движение муфты М в виде суммы относительного движения по направляющему стержню OA и переносного движения вместе с .этим стержнем. Выбираем систему координат и определяем координаты всех шарниров механизма и муфты. Помещаем начато координат в точку С (рис. 120) и вычисляем координаты:

Сложное движение точки в теоретической механике

Координаты точки В найдем из системы уравнений

Сложное движение точки в теоретической механике

Система имеет два решения (задача о точках пересечения двух окружностей с радиусами АВ и ВС). Выбираем то решение, у которого Сложное движение точки в теоретической механике

Нелинейную систему уравнений удобно решать на компьютере, например, в системе Maple V. Программа решения имеет вид

Сложное движение точки в теоретической механике

Числа заносятся в десятичной форме: АВ: =111.0 и т.д.

2. Мысленно снимаем муфту с механизма (рис. 120) и находим скорости шарниров и угловые скорости звеньев получившегося механизма. Записываем уравнения трех угловых скоростей четырехзвенника ОABC (§8.3, с. 179):

Сложное движение точки в теоретической механике

При Сложное движение точки в теоретической механике

Сложное движение точки в теоретической механике

Получаем решение: Сложное движение точки в теоретической механикеЗная Сложное движение точки в теоретической механикенаходим

Сложное движение точки в теоретической механике

Компоненты скорости имеют следующие значения:

Сложное движение точки в теоретической механике

3. Записываем уравнение сложения скоростей Сложное движение точки в теоретической механике где абсолютная скорость Сложное движение точки в теоретической механике выражается через известную скорость шарнира В. Составляем векторное уравнение

Сложное движение точки в теоретической механике

Это уравнение содержит две неизвестные величины. Одна из них — искомый модуль вектора относительной скорости Сложное движение точки в теоретической механике Направление этого вектора известно и задается направлением стержня OA, по которому скользит муфта. Вторая неизвестная — угловая скорость Сложное движение точки в теоретической механике Подставляем численные значения. Уравнение (2) принимает вид

Сложное движение точки в теоретической механике

где Сложное движение точки в теоретической механике — проекция относительной скорости муфты на ось, направленную от О к А. Находим решение системы: Сложное движение точки в теоретической механике Сложное движение точки в теоретической механике Таким образом, в указанный момент муфта движется по стержню OA вверх со скоростью Сложное движение точки в теоретической механике

Замечание. Эту задачу можно решить по крайней мере ещё двумя способами. Во-первых, методами аналитической геометрии можно найти расстояние Сложное движение точки в теоретической механике от шарнира О до муфты D как функцию времени. Дифференцируя Сложное движение точки в теоретической механике найдем относительную скорость. Во-вторых, можно найти скорость стержня OA относительно муфты. Подвижная система координат будет связана с муфтой. В этом случае абсолютная скорость точки стержня OA под муфтой — это скорость точки тела при вращательном движении с угловой скоростью  Сложное движение точки в теоретической механике переносная — скорость муфты, выраженная через скорость шарнира В.
Замечание. В ответах, помимо искомой относительной скорости, даны промежуточные результаты — скорости точек А, Б и D. Причем в вариантах 1,2,7,8 Сложное движение точки в теоретической механике — это скорость той точки направляющего стержня, в которой в этот момент находится муфта.

  • Сложение движение твердого тела
  • Кинематика сплошной среды
  • Аксиомы классической механики
  • Дифференциальные уравнения движения материальной точки
  • Мгновенный центр скоростей
  • Мгновенный центр ускорений
  • Мгновенный центр вращения
  • Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки

Когда мы только начинали изучать движение, то уже говорили о его относительности

Механическое движение — это изменение положение тела с течением времени относительно других тел.

Например, мы неподвижны относительно стула, на котором сидим, но находимся в движении относительно Солнца. Ведь наша планета беспрестанно вращается вокруг него.

Поэтому, рассматривая любое движение, нам необходимо выбирать систему отсчета (рисунок 1), относительно которой мы и будем его рассматривать.

Система отсчета — это совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета, относительно которого рассматривается движение.

Рисунок 1. Система отсчета и ее составляющие

Например, рассматривая движение пассажира в салоне голубого автомобиля, мы можем выбрать систему отсчета, связанную с деревом, стоящим на обочине дороги. А можем выбрать и систему отсчета, связанную с пассажирским сидением. В последнем случае пассажир будет находиться в состоянии покоя. Если же мы должны оценить время обгона, то придется связать систему отсчета с другим движущимся автомобилем (рисунок 2).

Рисунок 2. Разные системы отсчета

На данном уроке мы более подробно рассмотрим это свойство движения, и вы узнаете, какие именно физические величины и понятия зависят от выбора системы отсчета.

Относительность координат или положения тела

Это очевидно, что в разных, не совпадающих друг с другом, системах отсчета движущееся тело будет иметь разные координаты.

На рисунке 3 наглядно показано, как некоторая точка A, описывающая положение тела в пространстве, будет иметь разные координаты в разных системах отсчета.

В системе отсчета с координатными осями OX и OY точка A будет иметь координаты (x, y), а в системе отсчета с координатными осями O’X’ и O’Y’ эта же самая точка A будет иметь другие координаты (x’, y’).

Рисунок 3. Относительность координат

Относительность скорости

Начнем с рассмотрения примера. Пусть Образавр идет по вагону против движения поезда (рисунок 4). При этом скорость движения поезда относительно поверхности земли равна $20 frac{м}{с}$, а сам Образавр движется со скоростью $1 frac{м}{с}$ относительно вагона.

Рисунок 4. Относительность скорости

Давайте определим, с какой скоростью и в каком направлении Образавр будет двигаться относительно поверхности земли.

Итак, если бы Образавр сидел на одном месте, то за $1 space с$ он бы переместился вместе с поездом на расстояние, равное $20 space м$. Но Образавр за эту же $1 space с$ прошел $1 space м$ против направления движения поезда. В итоге получается, что Образавр сместился относительно поверхности земли не на $20 space м$, как сам поезд, а на $19 space м$. Значит, скорость Образавра относительно поверхности земли равна $19 frac{м}{с}$ и направлена в ту же сторону, что и скорость движения поезда.

Что мы получили? Скорость Образавра в системе отсчета, связанной с поездом, равна $1 frac{м}{с}$, а в системе отсчета, связанной с каким-либо другим телом на поверхности земли, равна $19 frac{м}{с}$. Эти скорости будут направлены в противоположные стороны.

Скорость относительна, то есть скорость одного и того же тела в разных системах отсчета может быть различной как по числовому значению, так и по направлению.

Относительность траектории движения

Перейдем к следующему примеру. Пусть вертолет вертикально опускается на землю. Рассмотрим траекторию точки A, находящейся на винте вертолета, в разных системах отсчета.

Для пилота, сидящего в кабине вертолета (или относительно самого вертолета), точка A будет постоянно двигаться по окружности — совершать круговое движение (рисунок 5).

Рисунок 5. Траектория движения точки на винте вертолета относительно кабины

А в системе отсчета, связанной с наблюдателем, стоящим на земле, эта же точка A будет двигаться по винтовой траектории (рисунок 6).

Рисунок 6. Траектория движения точки на винте вертолета относительно наблюдателя на земле

Траектория движения относительна, то есть траектория движения одного и того же тела может быть различной в разных системах отсчета.

Относительность пути и перемещения

Если относительна траектория движения, то относителен и путь. Ведь он является суммой длин всех участков траектории, пройденных телом за рассматриваемый промежуток времени.

Перемещение тела тоже будет относительным. Рассмотрим наглядный пример. Автомобиль и велосипедист начали двигаться одновременно из одной точки и в одном направлении. Через какое-то время мы хотим оценить перемещение автомобиля. Мы можем рассматривать его в неподвижной системе отсчета, связанной с деревом, а можем — в подвижной, связанной с движущимся велосипедистом (рисунок 7).

Рисунок 7. Относительность перемещения

Перемещение автомобиля относительно неподвижного тела (дерева) называют абсолютным, а относительно движущегося тела (велосипедиста) – относительным. Перемещение движущейся системы отсчета (велосипедиста) относительно неподвижного тела (дерева) называют переносным.

Одинаковы ли перемещения автомобиля в двух системах отсчета: относительно дерева и относительно велосипедиста? Очевидно, что нет. На данном опыте мы наглядно убедились, что перемещение относительно.

В чем проявляется относительность движения?

Относительность движения проявляется в том, что скорость, траектория, путь и перемещение и некоторые другие характеристики движения относительны, то есть они могут быть различны в разных системах отсчета.

Принцип независимости движения

Получается, что траектория, путь, перемещение и скорость являются относительными величинами. То есть они зависят от выбора системы отсчета. Про время мы такого сказать не можем. В рамках классической механики время — это абсолютная величина. Оно протекает во всех системах отсчета одинаково.

Как найти перемещение в одной системе отсчета, если оно нам известно в другой? Рассмотрим наглядный опыт.
Заполним лабораторную пробирку густым сахарным сиропом и опустим в нее металлический шарик. Будем двигать ее вдоль школьной доски, не наклоняя, не поднимая и не опуская. Остановим пробирку в момент времени, когда медленно тонущий в сиропе шарик окажется на дне.

Теперь определим, как связано перемещение металлического шарика относительно неподвижной системы отсчета XOY, связанной с доской, с перемещением относительно подвижной системы отсчета X’O’Y’, связанной с пробиркой (рисунок 8).

Рисунок 8. Перемещение металлического шарика в разных системах отсчета

Перемещение шарика в неподвижной системе отсчета мы обозначили $vec s$ (абсолютное перемещение), его же перемещение относительно движущейся пробирки — $vec s’$ (относительное перемещение) и перемещение пробирки относительно неподвижной доски — $vec s_0$ (переносное перемещение).

Зная правило сложения векторов (правило треугольника) из рисунка 8 следует равенство, получившее название принципа независимости движения (или принципа суперпозиции):
$vec s = vec s’ space + space vec s_0$.

Перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета равно векторной сумме его перемещения относительно движущейся системы и перемещения движущейся системы отсчета относительно неподвижной:
$vec s = vec s’ space + space vec s_0$.

Закон сложения скоростей

Теперь перейдем к скоростям. Разделим каждое слагаемое из предыдущего равенства на время:
$frac{vec s}{t} = frac{vec s’}{t} space + space frac{vec s_0}{t}$.

В нашем представлении и пробирка, и шарик двигались прямолинейно и равномерно. По определению скорость равномерного прямолинейного движения: $vec upsilon = frac{vec s}{t}$.

Теперь мы можем записать закон сложения скоростей.

$vec upsilon = vec upsilon’ space + space vec upsilon_0$. 

Здесь $vec upsilon$ — это скорость, с которой шарик двигался относительно неподвижной доски, $vec upsilon’$ — это скорость шарика относительно пробирки, $vec upsilon_0$ — скорость движения пробирки.

Обратите внимание, что данные правила сложения перемещений и скоростей имеют свое ограничение. Они работают только в том случае, если рассматриваемые скорости тел очень малы по сравнению со скоростью света.

Геоцентрическая система мира

Рассмотрение движения в разных системах отсчета позволило значительно развиться взглядам человечества на строение Вселенной.

С самых давних времен люди наблюдали за движением небесных тел. Они видели, что ночью звезды движутся по небу с востока на запад, подобно Солнцу днем. По этой причине очень долгое время люди считали, что в центре всего мира находится наша планета Земля, а вокруг нее вращаются все остальные небесные тела. Такая система устройства мира получила название геоцентрической (от греческого слова «гео» — «земля»).

Геоцентрическая система мира — это представление об устройстве Вселенной, согласно которому центральное положение занимает неподвижная Земля, вокруг которой вращаются Солнце, Луна и другие небесные тела.

Большой вклад в становление и изучение геоцентрической системы (рисунок 9) внес александрийский ученый Клавдий Птолемей. Еще во II веке он составил довольно точные таблицы, позволяющие определять положение небесных тел в прошлом и будущем, предсказывать наступление солнечных и лунных затмений.

Рисунок 9. Геоцентрическая система мира Клавдия Птолемея

Гелиоцентрическая система мира

В ходе истории люди продолжали вести астрономические наблюдения. Их точность постепенно возрастала. Так, ученые стали обнаруживать расхождения между вычисляемыми и наблюдаемыми положениями небесных тел. Теория Птолемея становилась все более сложной и запутанной. Это создало свои предпосылки для создания другой системы мира.

В XVI веке польский ученый Николай Коперник предложил гелиоцентрическую систему мира (рисунок 10). Земля и другие планеты движутся вокруг Солнца, при этом вращаясь вокруг собственных осей. Теперь центром Вселенной стали считать Солнце (по-гречески «гелиос»), а не Землю.

Рисунок 10. Гелиоцентрическая система мира Николая Коперника

Гелиоцентрическая система мира — это представление об устройстве Вселенной, согласно которому центральное положение занимает Солнце, вокруг которого вращаются Земля и другие планеты.

В чем основное отличие гелиоцентрической системы мира от геоцентрической?
Разные системы отсчета: в геоцентрической системе движение всех небесных тел рассматривалось относительно Земли, а в гелиоцентрической системе — относительно Солнца.

Смены дня и ночи на Земле в гелиоцентрической системе мира

Как объяснить смену дня и ночи на Земле в гелиоцентрической системе?

Воспользуемся для этого рисунком 11. На нем схематично изображен земной шар, освещенный с одной стороны солнечными лучами, и наблюдатель, положение которого на Земле в течение суток не изменяется. Наблюдатель вращается вместе с Землей и наблюдает за перемещением небесных тел.

Воображаемая ось, вокруг которой вращается Земля, проходит через Северный (N) и Южный (S) географические полюсы. Стрелочка указывает направление вращения Земли — с запада на восток.

Рисунок 11. Объяснение смены дня и ночи в гелиоцентрической системе мира

На рисунке 11, а Земля показана в утреннее время. Наблюдатель, вращаясь вместе с Землей,  постепенно переходит с темной ночной стороны на дневную освещенную Солнцем сторону.

Получается, что наблюдатель, вращается вместе с Землей относительно ее оси со скоростью, приблизительно равной $200 frac{м}{с}$. Но он не ощущает этого движения с огромной скоростью, как и мы с вами. 

Скорость вращения точек поверхности Земли относительно ее оси зависит от широты местности: она возрастает от нуля (на полюсах) до $465 frac{м}{с}$ (на экваторе).

Из-за этого складывается ощущение, что Солнце обращается вокруг Земли, поднимаясь из-за горизонта, перемещается в течение дня (рисунок 11, б) с востока на запад, а вечером уходит за горизонт (рисунок 11, в). Затем наблюдатель видит перемещение звезд с востока на запад в течение ночи (рисунок 11, г).

Сделаем вывод.

По системе мира Коперника смена дня и ночи объясняется вращением Земли вокруг своей оси.

Получается, что знания об относительности движения в какой-то период истории позволили ученым по-новому взглянуть на строение Вселенной. Новые представления дали возможность вывести новые физические законы, описывающие движение тел в Солнечной системе и объясняющие причины такого движения.

Упражнения

Упражнение №1

Вода в реке движется со скоростью $2 frac{м}{с}$ относительно берега. По реке плывет плот. Какова скорость плота относительно берега; относительно воды в реке?

Посмотреть ответ

Скрыть

Ответ:

Относительно берега плот движется с той же скоростью, что и вода в реке. Она составляет $2 frac{м}{с}$.

Относительно воды в реке плот находится в состоянии покоя. В этом случае мы говорим, что его скорость равна нулю.

Упражнение №2

В некоторых случаях скорость тела может быть одинаковой в разных системах отсчета. Например, поезд движется с одной и той же скоростью в системе отсчета, связанной со зданием вокзала, и в системе отсчета, связанной с растущим у дороги деревом. Не противоречит ли это утверждению о том, что скорость относительна? Ответ поясните.

Посмотреть ответ

Скрыть

Ответ:

В этом случае противоречия нет, ведь система отсчета, связанная со зданием вокзала, не движется относительно системы отсчета, связанной с деревом.

Упражнение №3

При каком условии скорость движущегося тела будет одинакова относительно двух систем отсчета?

Посмотреть ответ

Скрыть

Ответ:

Скорость движущегося тела будет одинакова относительно двух систем отсчета, если эти системы остаются неподвижными относительно друг друга.

Упражнение №4

Благодаря суточному вращению Земли человек, сидящий на стуле в своем доме в Москве, движется относительно земной оси со скоростью примерно $900frac {км}{ч}$. Сравните эту скорость с начальной скоростью пули относительно пистолета, которая равна $250 frac{м}{с}$.

Дано:
$upsilon_1 = 900 frac {км}{ч}$
$upsilon_2 = 250 frac{м}{с}$

СИ:
$upsilon_1 = 250 frac{м}{с}$

$frac{upsilon_1}{upsilon_2} — ?$

Как перевести скорость, выраженную в $frac{км}{ч}$, в $frac{м}{с}$?
$upsilon_1 = 900 frac{км}{ч} = 900 cdot frac{1000 space м}{3600 space с} = 900 cdot frac{1000}{3600} cdot frac{м}{с} = 250 frac{м}{с}$.

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Решение:

Сравним скорость человека, сидящего дома, относительно земной оси со скоростью пули относительно пистолета.
$frac{upsilon_1}{upsilon_2} = frac{250 frac{м}{с}}{250 frac{м}{с}} = 1$.

Эти скорости равны друг другу. Получается, что неподвижно сидящий человек движется относительно земной оси с той же скоростью, что и пуля, вылетающая из дула пистолета.

Ответ: $frac{upsilon_1}{upsilon_2} = 1$.

Упражнение №5

Катер идет вдоль шестидесятой параллели южной широты со скоростью $90 frac{км}{ч}$ по отношению к суше. Скорость суточного вращения Земли на этой широте равна $223 frac{м}{с}$. Чему равна (в СИ) и куда направлена скорость катера относительно земной оси, если он движется на восток; на запад?

Дано:
$upsilon_к = 90 frac{км}{ч}$
$upsilon_з = 223 frac{м}{с}$

СИ:
$upsilon_к = 25 frac{м}{с}$

$upsilon_{зап} — ?$
$upsilon_{вос} — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Решение:

Земля вращается с запада на восток, то есть движение идет в восточном направлении.

Значит, если катер движется на запад, то его скорость направлена противоположно скорости вращения Земли:
$upsilon_{зап} = upsilon_з space − space upsilon_к$,
$upsilon_{зап} = 223 frac{м}{с} space − space 25 frac{м}{с} = 198 frac{м}{с}$.

Если катер движется на восток, то его скорость сонаправлена скорости вращения Земли:
$upsilon_{вос} = upsilon_з space + space upsilon_к$,
$upsilon_{вос} = 223 frac{м}{с} space + space 25 frac{м}{с} = 248 frac{м}{с}$.

Ответ: $upsilon_{зап} = 198 frac{м}{с}$, $upsilon_{вос} = 248 frac{м}{с}$.

Часто задаваемые вопросы

В чем проявляется относительность движения?

Относительность движения проявляется в том, что скорость, траектория, путь и перемещение и некоторые другие характеристики движения относительны, то есть они могут быть различны в разных системах отсчета.

В чем основное отличие гелиоцентрической системы мира от геоцентрической?

Разные системы отсчета: в геоцентрической системе движение всех небесных тел рассматривалось относительно Земли, а в гелиоцентрической системе — относительно Солнца.

Как объяснить смену дня и ночи на Земле в гелиоцентрической системе?

Смена дня и ночи объясняется вращением нашей планеты вокруг собственной оси.

Содержание:

  1. Сложное движение точки
  2. Абсолютный, относительный и переносной движения точки
  3. Теорема о сложении скоростей в сложном движении точки
  4. Теорема о сложении ускоренного в сложном движении точки (Теорема Кориолиса *)
  5. Кориолисово ускорения
  6. Правило Жуковского
  7. Примеры решения задач на сложное движение точки
  8. Сложное движение точки и решение задач
  9. Порядок решения задач на сложное движение точки
  10. Примеры решения задач
  11. Задание темы К4 (сложное движение точки)
  12. Пример решения задания темы К4
  13. Сложное движение точки образцы и примеры
  14. Относительное, переносное и абсолютное движение точки
  15. Относительные, переносные и абсолютные скорости и ускорение
  16. Сложение скоростей и ускорений при сложном движении точки
  17. Примеры решения задач
  18. Абсолютное, относительное и переносное движение точки
  19. Центральная операция кинематики и динамики. Абсолютная и относительная производные по времени от вектора функции
  20. Теорема о сложении скоростей
  21. Теорема о сложении ускорений
  22. Вращательное и осевое ускорение в случае вращения тела вокруг неподвижной оси
  23. Ускорение Кориолиса
  24. Случаи превращения в ноль ускорения Кориолиса
  25. Физические причины возникновения ускорения Кориолиса
  26. Сложное движение материальной точки. Относительное, переносное и абсолютное движение материальной точки
  27. Теорема о сложении скоростей в сложном движении материальной точки
  28. Теорема Кориолиса
  29. Модуль, направление и физические причины возникновения  ускорения Кориолиса
  30. Методика решения задач на сложное движение материальной точки

Сложное движение точки — это такое движение, при котором точка (тело) одновременно участвует в двух или нескольких движениях. Примером сложного движения могут служить: движение пассажира. перемещающегося в вагоне движущегося поезда; движение человека, перемещающегося по лестнице движущегося эскалатора.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Сложное движение точки

Сложное движение точки – это такое движение, при котором точка участвует одновременно в двух или нескольких движениях. Примеры сложного движения точки (тела): лодка, переплывающая реку; человек, идущий по движущемуся эскалатору; камень подвижной кулисы, поршень качающегося цилиндра; шары центробежного регулятора Уатта. Для описания сложного движения точки или для представления движения в виде сложного используются неподвижная система отсчета, связанная с каким-либо условно неподвижным телом, например, с Землей, и подвижная система отсчета, связанная с каким-либо движущимся телом.

Абсолютный, относительный и переносной движения точки

В разделе 2 изучалось движение точки по отношению к системе координат (системы отсчета), которую считали условно неподвижной. В то же время, рассматривая многие задачи механики, целесообразнее, а в некоторых случаях просто необходимо, проводить исследования движения точки одновременно по отношению в двух (или более) систем отсчета, из которых одна считается неподвижной, а другая (другие) движется определенным образом по отношению к ней.

Движение точки по отношению к нескольким системам отсчета называется сложным.

Например, в сложном движении находятся поршень двигателя движущегося автомобиля; груз, который поднимается краном, одновременно перемещается вдоль направляющих и поворачивается вокруг своей вертикальной оси; движение человека по вагону подвижного состава.
В этом разделе будем рассматривать движение точки относительно двух систем отсчета.
Рассмотрим движущееся тело А, которое в отдельных случаях будем называть переносной средой, в отношении которого движется точка М, которая не принадлежит телу (рис. 7.1). С телом А неизменно свяжем систему координат Сложное движение точки которая движется относительно другой системы Сложное движение точки которую условно считаем неподвижной.

Сложное движение точки

Система координат Сложное движение точкиназывается подвижной системой отсчета, а система Сложное движение точкинеподвижной системе отсчета. Заметим, что неподвижную систему отсчета очень часто связывают с поверхностью Земли или неподвижными объектами на ней.
Поскольку точка М движется относительно двух систем отсчета, то ее движение, по определению, будет сложным. Введем основные понятия и обозначения в случае сложного движения точки.
Движение точки М по отношению к неподвижной системе отсчета называется абсолютным движением. Уравнения абсолютного движения точки можно записать в виде:

Сложное движение точки

Траектория, скорость и ускорение точки в абсолютном движении называются абсолютной траекторией, скоростью и ускорением точки. Абсолютные скорость и ускорение будем обозначать Сложное движение точкииСложное движение точки
Движение точки М относительно подвижной системы отсчета Сложное движение точки называется
относительным движением точки, а траектория, скорость и ускорение — относительной траекторией, скоростью и ускорением. Относительные скорость и ускорение обозначают Сложное движение точки и Сложное движение точки(от латинского relativus — относительный). Уравнения относительного движения точки имеют вид:

Сложное движение точки

Движение подвижной системы отсчета (а значит и тела А) относительно неподвижной
является для точки М переносным движением. Скорость и ускорение той точки тела А, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, называется соответственно переносной скоростью и переносным ускорением точки в этот момент. Переносная скорость и ускорение обозначаются Сложное движение точки и Сложное движение точки (от латинского emporter — переносить).

В приведенном выше примере о человеке, что перемещается в вагоне подвижного состава, с вагоном можно связать подвижную систему координат, а с поверхностью Земли — неподвижную. Тогда движение вагона будет переносным, движение человека относительно вагона — относительным, а движение человека относительно поверхности
Земли — абсолютным. Переносной скоростью и переносным ускорением человека будет скорость и ускорение той точки вагона, в которой в заданный момент находится человек.
Основная задача кинематики сложного движения точки заключается в том, чтобы, зная кинематические характеристики относительного и переносного движений, найти соответствующие им характеристики абсолютного движения.

Теорема о сложении скоростей в сложном движении точки

Теорема. В сложном движении точки ее абсолютная скорость равна векторной сумме относительной и переносной скоростей.

Доказательство. Для доказательства рассмотрим движение точки М (рис. 7.1) относительно подвижной системы отсчета Сложное движение точки связанной с телом А. Для общего случая, движение тела А рассмотрим как движение свободного твердого тела. Следовательно, точка М находится одновременно в двух движениях: относительном — относительно тела А и переносном — вместе с телом. Абсолютным движением точки М будет ее движение относительно неподвижной системы отсчета Сложное движение точки Напомним, что поскольку переносным движением является свободное движение твердого тела, то его можно рассматривать, согласно § 6.1 раздела 6, как совокупность поступательного движения вместе с полюсом (Точка Сложное движение точки ) и сферического вокруг полюса. Сферическую составляющую в каждый момент времени можно заменить (§ 5.1) вращением тела, а значит и подвижной системы координат Сложное движение точки вокруг мгновенной оси Сложное движение точкипроходящей через
точку Сложное движение точкис угловой скоростью переносного движения Сложное движение точки
Положение точки М в подвижной системе координат Сложное движение точки определяется радиусом-вектором Сложное движение точки в неподвижной — радиусом-вектором Сложное движение точкиа положение начала подвижной системы координат (точка Сложное движение точки) относительно начала О неподвижной — радиусом-вектором Сложное движение точкиВо время движения точки М между радиусами-векторами Сложное движение точкии Сложное движение точкисогласно рис. 7.1 справедлива зависимость

Сложное движение точки

Если координаты точки М в подвижной системе отсчета обозначить через Сложное движение точки а орты осей этой системы — Сложное движение точки то

Сложное движение точки

и тогда 

Сложное движение точки

Абсолютная скорость точки М равна производной по времени от радиусавектораСложное движение точкичто определяет ее положение в абсолютном движении. дифференцируя зависимость (7.5) и учитывая, что ортыСложное движение точкименяют свое направление в пространстве, получим

Сложное движение точки

Изменение направлений ортов Сложное движение точки происходит от вращения осей подвижной системы отсчета вокруг мгновенной оси Сложное движение точки с угловой скоростью Сложное движение точкиПоэтому производные по времени от единичных ортов можно рассматривать как скорости концов этих ортов от этого вращения. Согласно формуле (3.17) раздела 3 запишем

Сложное движение точки

После подстановки (7,7) в (7.6) и преобразований с учетом зависимости (7.7), получимСложное движение точки

гдеСложное движение точкискорость точки Сложное движение точки начала подвижной системы координат.

Зависимость (7.8) определяет вектор абсолютной скорости точки М. Проведем ее анализ.
Поскольку в последних трех слагаемых зависимости (7.8) являются производные по времени от соответствующих уравнений относительного движения точки М (7.2), то согласно с (2.18) они являются проекциями вектора относительной скорости точки на оси
подвижной системы координат

Сложное движение точкиа сумма трех слагаемых выражает вектор относительной скорости точки М

Сложное движение точки

Покажем, что первые две слагаемых зависимости (7.8) определяют вектор переносной скорости точки М. Действительно, переносная скорость точки, по определению, это скорость точки, неизменно связанной с подвижной системой отсчета, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М. Такой точкой в нашем случае является точка М тела А, находящегося в свободном движении. А по формуле (6.3) скорость этой точки равна сумме скорости полюса Сложное движение точкии вращательной скорости вокруг мгновенной
оси Сложное движение точкито есть

Сложное движение точки

Учитывая (7.9) и (7.10), зависимость (7.8) перепишем в виде

Сложное движение точки

то есть абсолютная скорость точки равна векторной сумме переносной и относительной скоростей. Теорема доказана.
Следует заметить, что в случае, когда переносным движением является движение свободного твердого тела, то переносная скорость сама определяется диагональю
параллелограмма, построенного на векторах скорости полюсаСложное движение точки и скорости точки от вращения вокруг него Сложное движение точки Если же переносное движение поступательное, то зависимость (7.10) принимает вид

Сложное движение точки

В случае вращательного переносного движения Сложное движение точкигде Сложное движение точки— вектор, проведенный из любой точки на оси вращения к точке М.
Исходя из того, что в общем случае абсолютная скорость точки М определяется диагональю параллелограмма, построенного на векторах Сложное движение точкии Сложное движение точкимодуль абсолютной скорости точки можно получить по формуле

Сложное движение точки

Замечания. Если точка М находится в n движениях, то абсолютная скорость точки М равна векторной сумме векторов скоростей составляющих движенийСложное движение точки

Теорема о сложении ускоренного в сложном движении точки (Теорема Кориолиса *)

Теорема. В сложном движении точки ее абсолютное ускорение равно векторной сумме переносного, относительного и кориолисового ускоренний.

Доказательство. Вектор абсолютного ускорения точки М равна

Сложное движение точки

и для его определения продифференцируем зависимость (7.6) по времени.
После возведения соответствующих членов, получимСложное движение точки

Учитывая формулы (7.7),Сложное движение точки

Превратим зависимость (7.14), используя зависимости (7.5), (7.7), (7.9) и (7.15). Получим формулу, выражающую вектор абсолютного ускорения точки МСложное движение точки

где Сложное движение точкиускорения начала подвижной системы координат.

Проведем анализ зависимости (7.16).
Учитывая, что переносным движением в нашем случае является движение свободного твердого тела, то соответственно формуле (6.10) первые три слагаемых формулы (7.16) является вектором переносного ускорения точки

Сложное движение точки

Поскольку в выраженииСложное движение точкиесть вторые производные по времени от соответствующих уравнений относительного движения (7.2), то согласно (2.34) это выражение является вектором относительного ускорения точкиСложное движение точки

Итак, мы установили механический смысл первых шести слагаемых зависимостях (7.16). Но, как видим, в формулу для вектора абсолютного ускорения точки М входит еще одно слагаемое.

Выражение Сложное движение точки

называется вектором кориолисового или поворотного ускорения точки М.
Подставляя формулы (7.17), (7.18) и (7.19) в (7.16), получим

Сложное движение точки

Теорема доказана.
В случае поступательного переносного движенияСложное движение точки а потому переносное ускорение точки М равна ускорению начала подвижной системы отсчета, то есть Сложное движение точки
И одинаковое для всех точек переносного среды. Кроме этого, кориолисово ускорения в этом
случае также равна нулюСложное движение точки и зависимость (7.20) принимает вид

Сложное движение точки

Замечания. Относительные скорость и ускорение определяются в относительной системе отсчета по правилам кинематики точки: по координатного способа — через проекции на оси декартовой системы координат, как вторые производные от уравнений относительного движения точки (7.2) при натуральном способа — через проекции на оси натурального трехгранника относительной траектории.
Переносная скорость и ускорение определяются методами кинематики твердого тела. Если система Сложное движение точки движется поступательно или вращается вокруг неподвижной оси, то используются методы раздела 3. В случае плоского движения переносного среды следует применить правила раздела 4, а для более сложных движений (сферический движение, движение свободного твердого тела) необходимо использовать методы, изложенные в
разделах 5 и 6. Методы определения кориолисового ускорения рассмотрены ниже.

Кориолисово ускорения

Кориолисовым ускорением называется составляющая абсолютного ускорения точки в ее сложном движении, равна удвоенному векторном произведения вектора переносной угловой скорости на вектор относительной скорости этой точки.
В начале выясним физические причины появления кориолисового ускорения. Как известно, вектор ускорения характеризует изменение вектора скорости как по величине, так и по направлению. Так, переносное ускорение характеризует изменение переносной скорости, а относительное -относительной скорости в соответствующих движениях точки М. Какие же изменения и которых кинематических характеристик движения точки, при ее сложном движении, характеризует кориолисово ускорения? Для ответа на этот вопрос рассмотрим движение точки М, равномерно перемещается вдоль радиуса платформы, которая равномерно вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости платформы (рис. 7.2).

В этом случае переносным движением будет вращения платформы с Сложное движение точкиСложное движение точки
относительным движением — прямолинейное движение точки вдоль радиуса
с Сложное движение точки

Сложное движение точки

Пусть в момент времени Сложное движение точки точка занимала положение М, для которого векторы
переносной и относительной скоростей Сложное движение точкии Сложное движение точкиЗа промежуток времени Сложное движение точки платформа вернулась на некоторый уголСложное движение точки а точка переместилась из положенияСложное движение точкии в
момент времениСложное движение точки векторы переносной и относительной скоростей будут соответственно Сложное движение точки

Поскольку относительное движение равномерное прямолинейный, то относительное ускорение Сложное движение точки то есть за промежуток времени Сложное движение точкивектор Сложное движение точки должен не измениться, а быть постоянным. Однако, как видно из рисунка, за время Сложное движение точки вектор относительной
скорости Сложное движение точки изменил свое направление от Сложное движение точкиЭто изменение вектора относительной
скорости состоялась за счет переносного движения.
Учитывая, что переносное движение — равномерное вращениеСложное движение точкии Сложное движение точкито за промежуток времени Сложное движение точки не должна состояться изменение величины переносной скорости (это изменение характеризует вращательное ускорение, которое в нашем случае равна нулю 0). Сложное движение точки Но, как видно из рис. 7.2, величина переносной скорости меняется от Сложное движение точкиСложное движение точкиОчевидно, что изменение вызвано перемещением точки с положения Сложное движение точки которое произошло за счет относительного движения точки.
Итак, появление кориолисового ускорения обусловлена ​​взаимным влиянием переносного и относительных движений.

Ускорение Кориолиса характеризует изменение направления относительной скорости, обусловленной переносным движением, и величины переносной скорости за счет относительного движения.
Модуль кориолисового ускорения, исходя из (7.19), равна

Сложное движение точки

Рассмотрим случаи отсутствия кориолисового ускорения точки.
Из формулы (7.22) следует, что Сложное движение точкиесли:
1) Сложное движение точки то есть, когда переносное движение поступательное или угловая скорость переносного вращения равна нулю (в моменты, когда направление вращательного движения меняется на противоположный)
2) Сложное движение точкито есть в те моменты времени, когда относительная скорость равна нулю (например, в моменты времени, когда вектор Сложное движение точкименяет свое направление на противоположный).

3)Сложное движение точкиесть, когда векторы Сложное движение точкии Сложное движение точкиколлинеарны (параллельные).
Направление вектора кориолисового ускорения определяется согласно правилу векторного произведения двух векторов Сложное движение точкиВо время практического решения задач целесообразно применять правило Жуковского.
 

Правило Жуковского

Чтобы найти направление кориолисового ускорения, необходимо спроектировать вектор относительной скорости Сложное движение точки на плоскость П, перпендикулярную оси переносного вращения, и вернуть эту проекцию Сложное движение точки на угол Сложное движение точки в сторону переносного вращения (рис. 7.3).
Наличием кориолисового ускорения объясняются различные явления, которые происходят на поверхности Земли вследствие ее вращения. так замечено, что для рек, текущих в
северном полушарии, даже на прямолинейных участках, подмываются больше правы, чем левые берега; при аналогичных условиях на железнодорожных дорогах происходит интенсивнее износ правых рельсов колеи по сравнению с левыми. Все эти явления объясняются появлением кориолисова силы инерции, направленной в сторону, противоположную кориолисового ускорению, о чем пойдет речь в части «Динамика».

Сложное движение точки

Примеры решения задач на сложное движение точки

Задача 1. Тележка А мостового крана, перемещает груз С в горизонтальной плоскости, движется по закону Сложное движение точки в метрах, Сложное движение точки -в секундах). Груз С при этом колеблется на подвесе Сложное движение точкидлиной Сложное движение точкипо закону Сложное движение точки Сложное движение точки — в радианах, Сложное движение точки — в секундах). Найти абсолютные скорость и ускорение груза С в момент времени
Сложное движение точки

Сложное движение точки

Решение. Рассмотрим движение груза С, как материальной точки, находится в сложном движении. выберем неподвижную Сложное движение точкии подвижную Сложное движение точкисистемы координат, причем последнюю свяжем с подвижным тележкой (рис. 7.5). Тогда абсолютным движением груза С будет его движение относительно системы Сложное движение точкипереносным — движение подвижной системы Сложное движение точкиотносительно неподвижной Сложное движение точкиили, что одно и тоже, поступательное движение тележки, а относительным движением — колебания груза на подвесе (криволинейное движение
точки С по кругу).

Сложное движение точки

Для определения абсолютной скорости груза используем зависимость (7.11)

Сложное движение точки

Чтобы определить переносную скорость, условно остановим относительное движение груза.
Тогда движение системы тележка-груз на подвесе рассматриваем как поступательное движение одного тела, происходит по закону Сложное движение точки
Переносная скорость определится

Сложное движение точки

Если Сложное движение точки ВекторСложное движение точкинаправленный параллельно оси Сложное движение точки

Чтобы найти относительную скорость груза, условно остановим переносное движение и тогда относительную скорость подсчитаем как скорость точки С при вращении вокруг точки Сложное движение точки (криволинейное движение точки по окружности).

Сложное движение точки

где Сложное движение точки — относительная угловая скорость, в нашем случае

Сложное движение точки

При Сложное движение точки

Знак минус показывает, что вращение в данный момент времени происходит против положительного направления отсчета угла φ, то есть по часовой стрелки.

Итак,Сложное движение точки

Вектор Сложное движение точки напрямлений перпендикулярно до Сложное движение точки в сторону напрямку кутової швидкості.

Модуль абсолютной скорости груза С определим по зависимости (7.12)Сложное движение точки

где α — угол между векторамиСложное движение точки и Сложное движение точки

При Сложное движение точки

Сложное движение точки

Тогда Сложное движение точки

Для определения абсолютного ускорения груза С используем зависимость (7.20)

Сложное движение точки

Определим составляющие абсолютного ускорения груза. Методика определение переносного и относительного ускоренного аналогична определения переносной и относительной скоростей. переносное ускорение

Сложное движение точки

Знаки Сложное движение точки и Сложное движение точки одинаковые, поэтому вектор Сложное движение точки совпадает по направлению с Сложное движение точки
Относительное ускорение точки, при ее движении по кругу, равна

Сложное движение точки

Касательное ускорение

Сложное движение точки

где Сложное движение точкиотносительное угловое ускорение.

При Сложное движение точки

Поскольку знаки Сложное движение точкииСложное движение точки одинаковые, то вращение ускоренное, иСложное движение точки
совпадает по направлению с Сложное движение точки
Тогда

Сложное движение точки

Вектор Сложное движение точкисовпадает по направлению с вектором Сложное движение точки
Нормальное ускорение точки в относительном движении определится зависимостью

Сложное движение точки

и при Сложное движение точки

Вектор Сложное движение точкинаправленный по Сложное движение точки от точки С до точки Сложное движение точки
В этой задаче переносное движение является поступательным, так кориолисово ускорения равна нулю Сложное движение точкиВеличину абсолютного ускорения груза найдем по его проекциями на оси неподвижной системы координат, учитывая, что при

Сложное движение точки

Проекции абсолютного ускорения груза будут такими

Сложное движение точки

Тогда модуль абсолютного ускорения груза С будет равняться

Сложное движение точки

Задача 2. Прямоугольный треугольник АВС вращается вокруг своего катета АС ривносповильнено с угловым ускорением Сложное движение точки при начальной угловой скорости Сложное движение точкиПо гипотенузе АВ движется точка М по закону Сложное движение точки в сантиметрах, t — в секундах). Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени Сложное движение точки (рис. 7.6).

Сложное движение точки

Сложное движение точки

Решение. Поскольку точка М одновременно находится в двух движениях, то
ее движение рассматриваем как сложный.
Выберем неподвижную Сложное движение точкии подвижнуюСложное движение точкисистемы координат (рис. 7.7).
Подвижная система связана с треугольником, вращающийся (на рис. 7.7 показана только ось Сложное движение точкитогда переносним рухом буде обертання трикутника навколо катета АС, відносним — прямолінійний рух точки вздовж катета АВ за законом

Сложное движение точки

Абсолютная скорость точки М определится согласно (7.11)

Сложное движение точки

Переносную скорость точки М определим как скорость той точки гипотенузы АВ треугольника, вращающийся с которой в данный момент времени совпадает подвижная точка М. Определим положение точки М на гипотенузе АВ при Сложное движение точки

Сложное движение точки

Переносная скорость равна

Сложное движение точки

где DM — короткая расстояние от точки М до оси вращения АС; Сложное движение точкиугловая скорость вращения треугольника АВС.

Сложное движение точки

Тогда Сложное движение точки

Поскольку траектории переносного движения точки М в данный момент времени
является окружность радиуса DM, то вектор Сложное движение точки будет направлен по касательной к
круга в сторону вращения. Если плоскость треугольника АВС приСложное движение точки совместить с плоскостьюСложное движение точки то вектор Сложное движение точкиОтносительная скорость точки М определится методами кинематики точки и будет равняться

Сложное движение точки

и при Сложное движение точки

ВекторСложное движение точки направлен по гипотенузе АВ в сторону увеличения S.
Поскольку угол между векторами Сложное движение точкии Сложное движение точки равна Сложное движение точки То модуль абсолютной
скорости будет равняться

Сложное движение точки

В случае непоступального переносного движения абсолютное ускорение точки М в сложном движении по формуле (7.20) будет равняться

Сложное движение точки

Переносное движение является вращательным, так переносное ускорение точки М в соответствии с (3.15) определится по формулеСложное движение точки

Вектор Сложное движение точкинаправлен к оси вращения треугольника вдоль радиуса MD, а вектор Сложное движение точки — перпендикулярно к Сложное движение точкив сторону дуговой стрелки углового ускорения Сложное движение точки которое противоположное Сложное движение точки поскольку вращение замедлено.
При прямолинейном относительном движении относительно ускорения точки М имеет только касательную составляющую, равную

Сложное движение точки

Сложное движение точки

векторыСложное движение точки и Сложное движение точки приСложное движение точкисовпадают по направлению.
Модуль кориолисового ускорения определится по зависимости (7.23)

Сложное движение точки

Согласно принятому направлением вращения вектор Сложное движение точкибудет направлен по оси вращения в сторону положительного направления оси Сложное движение точки Поэтому угол между Сложное движение точкии Сложное движение точки равнаСложное движение точки и при Сложное движение точкикориолисово ускорения будет равняться

Сложное движение точки

Вектор Сложное движение точкисогласно правилу Жуковского, совпадает по направлению с вектором Сложное движение точки
Для нахождения модуля абсолютного ускорения точки М воспользуемся методом проекций. Для этого введем вспомогательную систему координат Сложное движение точки оси которой направлены соответственно по касательной к переносной траектории, по радиусу MD и параллельно оси вращения (Рис. 7.7).

тогда:

Сложное движение точки

Модуль абсолютного ускорения точки М

Сложное движение точки

Сложное движение точки и решение задач

Краткие сведения по теории:

Характер движения существенно зависит от того, в какой системе отсчета (подвижной или неподвижной) рассматривается это движение.

Движение точки относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным.
 

Движение точки по отношению к подвижной системе отсчета называется относительным.

Движение, которое имеет подвижная система отсчета со всеми неизменно связанными с ней точками пространства по отношению к условно неподвижной системы отсчета,
называется переносным.

Каждое из этих движений характеризуется своими скоростями и ускорениями.
В соответствии с законами сложения скоростей:

Сложное движение точки

и ускорений:
Сложное движение точки
где Сложное движение точкиабсолютные скорость и ускорение подвижной точки;
Сложное движение точки переносные скорость и ускорение подвижной точки;
Сложное движение точки относительные скорость и ускорение подвижной точки;
Сложное движение точки Кориолисовое ускорение.

Величина Корриолисового ускорения определяется по формуле:
Сложное движение точки
где Сложное движение точки угловая скорость переносного движения;
Сложное движение точки угол между векторами Сложное движение точки и Сложное движение точки

Вектор Корриолисового ускорения Сложное движение точки направлен перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы угловой скорости Сложное движение точки и относительной скорости Сложное движение точки в ту сторону, откуда наблюдатель видит наименьший поворот вектора Сложное движение точки к вектору Сложное движение точкипротив движения часовой стрелки.

Поскольку в случае плоского движения тела угол между векторами Сложное движение точки и Сложное движение точкиравняется Сложное движение точки то:
Сложное движение точки
При плоском движении направление Сложное движение точки можно определить по правилу Жуковского Н.Е.: на направление Кориолисового ускорения укажет вектор относительной скорости Сложное движение точкиесли его повернуть в плоскости расположения на Сложное движение точки в сторону переносной угловой скорости Сложное движение точки
 

В случае, если переносное движение является поступательным Сложное движение точки

Если переносные и относительные движения являются криволинейными, переносными и относительными ускорениями можно изобразить в виде геометрических сумм соответствующих нормальных и касательных ускорений:
Сложное движение точки

Порядок решения задач на сложное движение точки

При решении задач на сложное движение точки рекомендуется придерживаться такой последовательности:

1. Разложить движение точки на составляющие, определить абсолютное, относительное и переносное движения.

2. Выбрать две системы координат: абсолютную (неподвижную) и относительную (подвижную).

3. Мысленно остановить переносное движение, определить скорость и ускорение точки в относительном движении.

4. Мысленно остановить относительное движение, определить угловую скорость переносного движения, скорость и ускорение точки в переносном движении.

5. По известным угловым скоростям переносного движения и скоростью точки в относительном движении найти величину и направление кориолисового ускорения точки.

6. Используя метод проекций, определить проекции абсолютного ускорения и абсолютной скорости на оси неподвижной системы координат.

7. По определенным проекциям, найти модули и направления абсолютной скорости и абсолютного ускорения.

Примеры решения задач

Задача 1

Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной к его плоскости, против хода часовой стрелки с угловой скоростью Сложное движение точки в/c. По хорде диска от точки K к L движется точка M.
Определить модуль и направление корриолисового ускорения точки M в изображенном на рис. 1 положении, если относительная скорость Сложное движение точки

Сложное движение точки

Решение. Точка M движется в плоскости диска которая перпендикулярна к оси вращения, то есть угол между векторами Сложное движение точки и Сложное движение точки составляет Сложное движение точки

Учитывая Сложное движение точки модуль ускорения Кориолиса равняется:
Сложное движение точки

Поскольку вектор относительной скорости находится в плоскости перпендикулярной к оси вращения, то для определения направления ускорения Кориолиса согласно правилу
Жуковского надо повернуть вектор Сложное движение точки по направлению  угловой скорости Сложное движение точки переносного движения на угол Сложное движение точки (Рисс.1).

Задача 2

Определить модуль и направление корриолисового ускорения точки M, которая движется по производной ВN кругового конуса от вершины В к точке N. Конус вращается вокруг своей оси с угловой скоростью Сложное движение точки в/с.  в направлении. показанном на рисунке, угол наклона производной к оси конуса Сложное движение точки относительная скорость точки Сложное движение точки

Сложное движение точки

Решение. Отложим вектор угловой скорости Сложное движение точки переносного вращательного движения по оси вращения в сторону, с которой вращение видно против хода часовой стрелки. Относительную скорость Сложное движение точкинаправим от точки M до точки N. Тогда угол между
векторами Сложное движение точки и Сложное движение точки(Рис.1) составит:
Сложное движение точки

Модуль ускорения Кориолиса точки M равен:
Сложное движение точки

Сложное движение точки

Чтобы найти направление ускорения Кориолиса (рис.1), спроектируем вектор относительной скорости Сложное движение точки на плоскость S, перпендикулярную оси вращения конуса.

Проекция относительной скорости Сложное движение точки направленная по прямой МК, которая является продолжением радиуса СМ.
Повернув проекцию Сложное движение точки в направлении вращения конуса на угол Сложное движение точки устанавливаем, что вектор Сложное движение точки кориолисового ускорения направлен по касательной к кругу радиусом СМ в сторону вращения конуса.

Задача 3

По хорде АВ диска, что вращается от точки А до точки В (рис.1) движется точка М, согласно уравнению Сложное движение точкиугол поворота диска изменяется по закону Сложное движение точки

Определить абсолютные скорости и ускорение точки М в момент времени, когда она находится на расстоянии Сложное движение точки от оси вращения диска (рис.1).

Сложное движение точки

Решение. В данной задачи переносным движением будет вращение диска по закону
Сложное движение точки и относительным — движение точки по хорде АВ по закону Сложное движение точки

Запишем уравнение для определения абсолютной скорости точки М:
Сложное движение точки

Для определения относительной скорости остановим переносное вращение диска и будем рассматривать движение точки по отношению к неподвижному диску.

Поскольку закон относительного движения Сложное движение точки величина относительной скорости определяется как первая производная от пути по времени:
Сложное движение точки

Вектор Сложное движение точки относительной скорости направлен по хорде АВ (рис. 1) от точки А до точки В.

Переносной скоростью Сложное движение точки точки М будет скорость той точки диска, с которой в данный момент совпадает точка М.

Из условия задачи следует, что точка М в данный момент времени находится посередине хорды АВ на расстоянии Сложное движение точки от оси вращения диска.

Переносная скорость вращающегося движения определяется по формуле:
Сложное движение точки
где Сложное движение точки— угловая скорость переносного вращательного движения.

Угловую скорость переносного вращательного движения найдем как первую производную от угла поворота Сложное движение точки по времени:
Сложное движение точки в/с.
Таким образом, переносная скорость вращательного движения равна:
Сложное движение точки

Вектор переносной скорости направлен перпендикулярно радиусу OM в сторону вращения диска.

Поскольку векторы Сложное движение точки и Сложное движение точки направленны вдоль одной прямой в разные стороны (рис. 1), то для определения абсолютной скорости от операции векторного сложения скоростей можно перейти к их алгебраическому сложению.

Тогда:
Сложное движение точки

В зависимости от абсолютных значений скоростей Сложное движение точки и Сложное движение точкивектор Сложное движение точки будет направлен или в сторону Сложное движение точки или в сторона Сложное движение точки

Определить абсолютное ускорение точки M. Поскольку переносное движение является вращательным, то абсолютное ускорение точки равно:
Сложное движение точки

Модуль относительного ускорения определим как производную от относительной скорости по времени:
Сложное движение точки
Направленный вектор Сложное движение точки вдоль хорды AB от точки A до точки B (рис.2).
Переносное ускорение Сложное движение точки точки диска, которая совпадает с точкой M, учитывая, что она движется по кругу радиусом h, состоит из переносного тангенциального (касательного) ускорения Сложное движение точки и переносного нормального ускорения Сложное движение точки

Сложное движение точки

Вычислим модули нормального Сложное движение точкии тангенциального Сложное движение точки ускорений:
Сложное движение точки
где Сложное движение точки угловое ускорение переносного вращательного движения.

Переносное нормальное ускорение направлено вдоль радиуса к центру вращения O (рис.2).

Сложное движение точки

Поскольку движение точки M происходит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то ускорение Кориолиса определяется из формулы:
Сложное движение точки

Для определения направления ускорения Кориолиса (рис.2) необходимо вектор относительной скорости Сложное движение точки повернуть на Сложное движение точки в сторону угловой скорости Сложное движение точки
переносного вращательного движения, то есть против хода часовой стрелки.

Для определения величины и направления абсолютного ускорения Сложное движение точки сначала добавим векторы Сложное движение точки и Сложное движение точки которые направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.

Найдена векторная сумма Сложное движение точкинаправлена перпендикулярно к вектору Сложное движение точки и по модулю равняется
Сложное движение точки
Таким образом, абсолютное ускорение точки M равняется сумме векторов:
Сложное движение точки
Поскольку вектор Сложное движение точки перпендикулярный к вектору Сложное движение точки вектор Сложное движение точки будет изображаться диагональю прямоугольника со сторонами Сложное движение точкии Сложное движение точки (рис.2).

Модуль абсолютного ускорения равняется:
Сложное движение точки

Ответ:  Сложное движение точки

Задание темы К4 (сложное движение точки)

Вдоль стороны AB (см. задачу К3 и рис. К4.1) движется ползун 2, шарнирно
соединённый со стержнем EK, который движется в неподвижных направляющих параллельно оси Сложное движение точки Точка E разделяет сторону AB в пропорции, которую указано в таблице К5 коэффициентом пропорциональности Сложное движение точки

Определить путем построения планов скоростей и ускорений по известным из задачи К3 кинематическим характеристикам движения фигуры АВС абсолютные скорости и
ускорение точек Е и К.

Сложное движение точки

Сложное движение точки

Пример решения задания темы К4

Изобразим на стороне AB тела 1 (рис.К4.2, а) ползун 2, который соединен шарниром Е со стержнем 3. Ползун 2 может двигаться поступательно по стороне AB, а стержень
3 — поступательно в вертикальных направляющих. Положение шарнира Е на стороне AB определяем по заданному коэффициенту пропорциональности Сложное движение точки
Сложное движение точки
 

1. Анализ движения стержня ЕК

Рассмотрим точку Сложное движение точки принадлежащую одновременно ползуну 2 и стержню 3. Эта точка осуществляет сложное движение, двигаясь как по направляющей AB, так и вместе с фигурой ABC .

Очевидно, скорость и ускорение точки Сложное движение точки в ее поступательном движении вместе со стержнем ЕК относительно неподвижной опоры (которое видит неподвижный наблюдатель) следует считать абсолютным. Обозначим их соответственно Сложное движение точкии Сложное движение точки

Тогда движение точки Сложное движение точки ползуна 2 вдоль направляющей AB будет относительным. Скорость Сложное движение точки и ускорение Сложное движение точки точки Сложное движение точки в относительном движении направлены вдоль стороны AB, поскольку ползун движется относительно стержня поступательно.

Одновременно ползун 2 движется вместе с фигурой ABC . Это движение для точки Сложное движение точки
является переносным. Переносные скорость и ускорение Сложное движение точки следует определить как скорость и ускорение той точки Сложное движение точки фигуры ABC, с которой в данный момент времени совпадает точка Сложное движение точки ползуна 2.

2. Определение переносной, абсолютной и относительной скорости точки Е2

Приняв точку A тела 1, осуществляющую плоское движение, за полюс (рис. К4.2, б), определим скорость точки Сложное движение точки стороны AB используя свойство сходства фигур
ABС тела 1 и abc плана скоростей, в соответствии с какой:

Сложное движение точки

Из этой пропорции определим отрезок Сложное движение точки
Сложное движение точки
Отрезок откладываем на стороне ab фигуры abc плана скоростей (рис.К4.2, б) в направлении от точки «a» до точки «b». Величине переносной скорости ползуна 2 на
плане будет соответствовать отрезок Сложное движение точки
Сложное движение точки
Запишем уравнение для абсолютной скорости точки Сложное движение точки ползуна 2:
Сложное движение точки
В этом уравнении нам известны:

Для решения уравнения (2) воспользуемся планом скоростей (рис.К4.2, б). Поскольку согласно уравнению до вектора Сложное движение точки необходимо добавить вектор Сложное движение точкито с точки Сложное движение точки
проведем прямую Сложное движение точки параллельную к AB, а с полюса Сложное движение точки проведем направление абсолютной скорости Сложное движение точки вертикальную прямую. Точка пересечения этих прямых «к» и будет решением уравнения (2), а отрезок Сложное движение точки будет изображать
в масштабе Сложное движение точки абсолютную скорость точек Сложное движение точки и К:
Сложное движение точки

3. Определение переносного и абсолютного ускорения точки Е2

Определить переносное ускорение точки Сложное движение точки ползуна 2.

Из условия сходства фигур ABС тела 1 и abc плана ускорений (рис.К4.2,в) следует, что точка Сложное движение точки(конец вектора ускорения Сложное движение точки) на плане ускорений будет лежать на отрезке ab. При этом расстояние Сложное движение точки может быть найдено из пропорции (1). Поскольку на плане
ускорений Сложное движение точки то:
Сложное движение точки

Сложное движение точки

Тогда отрезок Сложное движение точки будет изображать переносное ускорение точки Сложное движение точки
в масштабе плана ускорений Сложное движение точки
Сложное движение точки
Запишем векторное уравнение для абсолютного ускорения для точки Сложное движение точки ползуна 2:
Сложное движение точки
Определим сначала величину и направление Кориолисового ускорения.

Поскольку движение происходит в плоскости Сложное движение точки то есть угол между векторами относительной скорости Сложное движение точки и угол переносной скорости Сложное движение точки равняется Сложное движение точки то для определения величины Сложное движение точки воспользуемся формулой (4.4): 

Сложное движение точки

Угловая переносная скорость Сложное движение точки равняется угловой скорости тела 1, то есть Сложное движение точки
Величину относительной скорости Сложное движение точки определим из плана скоростей. (рис. К4.2, б). Измерение отрезка Сложное движение точки который на плане скоростей в масштабе Сложное движение точки
изображает Сложное движение точки находим:
Сложное движение точки
Тогда:
Сложное движение точки

Направление Кориолисового ускорения определим по правилу Жуковского Н.Е., для этого вектор относительной скорости  Сложное движение точки что на плане скоростей (рис. К4.2, б) изображается вектором Сложное движение точкиповернем в сторону угловой переносной скорости Сложное движение точки направление которой показано на рис. К4.2,а, на Сложное движение точки (рис. К4.2, г).

Таким образом, в уравнении (3) нам известны:

Все это позволяет нам построить многоугольник ускорений в соответствии с уравнением (3) на плане ускорений, или отдельным чертежом. Учитывая, что величины отрезков, которые будут изображать некоторые ускорения, слишком большие и выходят за пределы чертежа, для нахождения абсолютного ускорения точки Сложное движение точки построим отдельный план ускорений с масштабным коэффициентом:

Сложное движение точки

Сначала из произвольной точки Сложное движение точки (рис. К4.2, д) за направлением  Сложное движение точки(рис. К4.2, в) отложим вектор Сложное движение точки который в масштабе Сложное движение точки будет изображать Сложное движение точки

Сложное движение точки
До этого вектора в направлении Кориолисового ускорения (рис. К4.2, г) добавим вектор Сложное движение точки который в масштабе Сложное движение точки будет изображать Сложное движение точки

Сложное движение точки
Через конец вектора Сложное движение точки параллельно AB проведем направление относительного ускорения Сложное движение точки (перпендикулярно Сложное движение точки или параллельно AB), а через полюс Сложное движение точки направление абсолютного ускорения Сложное движение точки (параллельно ЕК). Точка пересечения «к» этих двух направлений и будет решением уравнения (3), а вектор Сложное движение точкив масштабе Сложное движение точки
будет изображать абсолютное ускорение точек К и Сложное движение точки

Замерив отрезок Сложное движение точки получим:
Сложное движение точки
 

Примечание. Поскольку все построения расчетные графических работ по кинематике К1, К3 и К4 рекомендуется выполнять на бумаге форматом А3, то после выполнения данной курсовой работы ее графическая часть будет иметь вид подобный изображенному на с. 188.

Сложное движение точки

Сложное движение точки образцы и примеры

Сложное или составное движение точки – это движение в подвижной системе координат. То есть движение точки описывается в системе координат, которая сама совершает движение относительно неподвижной системы координат.

Относительное, переносное и абсолютное движение точки

При исследовании движения точки выбирают некоторую систему отсчета (темы 1 и 2), относительно которой рассматривают движение точки.

В некоторых случаях приходится рассматривать движение точки относительно двух различных систем отсчета. Например, движение пассажира в поезде можно рассматривать как по отношению к поезду, так и по отношению к Земле.

При этом движение одной и той же точки относительно двух различных систем отсчета будет разным. Например, точка обода колеса движущегося железнодорожного вагона относительно Земли пишет циклоиду, а относительно вагона — окружение.

При рассмотрении движения точки по отношению к двум системам отсчета и система, которая в данной задаче условно принята за неподвижную, называется основной системой отсчета (неподвижной), а система, которая движется относительно основной, называется подвижной системой отсчета.

Движение точки относительно основной системы отсчета называется абсолютным движением, а ее движение относительно подвижной системы отсчета – относительным движением.

Пусть есть две системы координат Сложное движение точки и Сложное движение точки и некоторая подвижная точка Сложное движение точки (рис.3.1).

Сложное движение точки

Выберем систему координат Сложное движение точки за основную. Тогда движение системы Сложное движение точки  относительно системы Сложное движение точки будет переносным. Движение точки Сложное движение точки относительно системы Сложное движение точки будет относительным, а движение точки Сложное движение точки относительно системы Сложное движение точки будет абсолютным.

Надо заметить, что переносным движением является движение не самой точки Сложное движение точки, а того тела, с которым связана подвижная система координат Сложное движение точки, тогда как относительное и абсолютное движение является движением самой точки Сложное движение точки, которое рассматривается соответственно относительно подвижной и основной систем отсчета. В переносном движении подвижная система координат может иметь любой вид движения.

Основная задача этого раздела состоит в том, чтобы по известным относительным и переносным движениям определить абсолютное движение точки (движение точки Сложное движение точки относительно системы отсчета Сложное движение точки).

Выбор основной и подвижной систем отсчета, а соответственно, и разделение движения точки на абсолютное и относительное зависит от постановки конкретной задачи. В большинстве случаев за основную систему отсчета принимают систему, которую связано с Землей.

Относительные, переносные и абсолютные скорости и ускорение

Относительной скоростью Сложное движение точки точки называется ее скорость в относительном движении, то есть по отношению к подвижной системе отсчета.

Абсолютной скоростью Сложное движение точки точки называется ее скорость в абсолютном движении, то есть по отношению к основной системе отсчета.

Переносной скоростью Сложное движение точки называется скорость относительно основной системы отсчета той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка.

Аналогично введем понятие относительного, абсолютного и переносного ускорения точки.

Относительным ускорением Сложное движение точкиточки называется ее ускорение в относительном движении, то есть по отношению к подвижной системе отсчета.

Абсолютным ускорением Сложное движение точки точки называется ее ускорение в абсолютном движении, то есть по отношению к основной системе отсчета.

Переносным ускорением Сложное движение точки называется ускорение относительно основной системы отсчета той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка.

Обратим внимание на то, что переносное движение – это движение всей подвижной системы отсчета, то есть некоторого тела, с которым связана подвижная система координат, а переносная скорость и переносное ускорение – это скорость и ускорение конкретной точки этого тела.

Сложение скоростей и ускорений при сложном движении точки

Зависимость между абсолютной, переносной и относительной скоростями точки определяется теоремой сложения скоростей, согласно которой абсолютная скорость точки равна векторной сумме переносной и относительной скоростей:

Сложное движение точки                          (3.1)

где Сложное движение точки — абсолютная скорость точки;

Сложное движение точки — относительная скорость точки;

Сложное движение точки — переносная скорость.

Для определения относительной скорости точки достаточно мысленно остановить переносное движение и найти по правилам кинематики скорость точки относительно системы отсчета, которая была подвижной.

Для определения переносной скорости – достаточно мысленно остановить относительное движение и найти переносную скорость как скорость той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка.

Зависимость между абсолютным, относительным и переносным ускорением точки при поступательном движении подвижной системы отсчета выражается векторным уравнением:

Сложное движение точки                     (3.2)

где Сложное движение точки – абсолютное ускорение точки;

Сложное движение точки – относительное ускорение точки;

Сложное движение точки – переносное ускорение точки.

Если переносным движением является вращательный, или сложный, то теорема о сложении ускорений приобретает вид:

Сложное движение точки,      (3.3)

где Сложное движение точки — ускорение Кориолиса (поворотное ускорение точки).

3.4. Ускорение Кориолиса

Сложное движение точки.

Модуль ускорения Кориолиса равен:

Сложное движение точки

где Сложное движение точки — угол между векторами Сложное движение точки и Сложное движение точки.

Ускорение Кориолиса характеризует:

  • изменение модуля и направления переносной скорости точки вследствие ее относительного движения;
  • изменение направления относительной скорости точки вследствие вращательного переносного движения.

Ускорение Кориолиса равно нулю в трех случаях:

Направление ускорения Кориолиса определяется как направление вектора векторного произведения Сложное движение точки Сложное движение точкиСложное движение точки.

Пусть точка Сложное движение точки (рис.3.2) движется со скоростью Сложное движение точки относительно тела, которое вращается вокруг оси Сложное движение точки с угловой скоростью Сложное движение точки. Если построить в точке Сложное движение точки кроме Сложное движение точки вектор Сложное движение точки, то вектор векторного произведения Сложное движение точки Сложное движение точкиСложное движение точки, то есть вектор ускорения Кориолиса Сложное движение точки, будет направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы Сложное движение точки и Сложное движение точки в ту сторону, откуда поворот вектора Сложное движение точки к вектору относительной скорости Сложное движение точки на наименьший угол виден против хода часовой стрелки.

Сложное движение точки

Для определения направления ускорения Кориолиса удобно пользоваться правилом Жуковского: чтобы найти направление ускорения Кориолиса надо спроектировать относительную скорость точки Сложное движение точки на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения, и вернуть в этой плоскости полученную проекцию на Сложное движение точки в сторону переносного вращения (рис.3.3).

Сложное движение точки

Действительно, полученное направление Сложное движение точки (рис.3.3) перпендикулярное плоскости треугольника, который образован относительной скоростью Сложное движение точки и ее проекцией Сложное движение точки‘отн, а эта плоскость совпадает с плоскостью векторов Сложное движение точки и Сложное движение точки, которой должен быть перпендикулярным вектор ускорения Кориолиса.

Если вектор Сложное движение точки перпендикулярен Сложное движение точки, то есть Сложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точки и соответственно
Сложное движение точки Сложное движение точкиСложное движение точки Сложное движение точки, то величина ускорения Кориолиса будет равна:

Сложное движение точкиСложное движение точки.               (3.5)

Такой случай возможен, если относительное движение точки происходит в плоскости перпендикулярной оси переносного вращения. В этом случае векторы Сложное движение точки, Сложное движение точки и Сложное движение точки  взаимно перпендикулярны (рис. 3.4).

Сложное движение точки

Рассмотрим два примера определения модуля и направления ускорения Кориолиса .

Пример 1. Диск вращается вокруг оси, которая перпендикулярна его плоскости, против хода часовой стрелки с угловой скоростью Сложное движение точки. По хорде диска от точки Сложное движение точки к Сложное движение точки движется точка Сложное движение точки.

Определить модуль и направление ускорения Кориолиса точки Сложное движение точки в изображенном на рис. 3.5 положении, если относительная скорость Сложное движение точкиСложное движение точки.

Точка Сложное движение точки движется в плоскости диска которая перпендикулярна оси вращения, то есть угол между векторами Сложное движение точки и Сложное движение точки составляет Сложное движение точки. Учитывая, что Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки Сложное движение точки, модуль ускорения Кориолиса равен:

Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки

Поскольку вектор относительной скорости лежит в плоскости перпендикулярной оси вращения, то для определения направления ускорение Кориолиса согласно правилу Жуковского надо повернуть вектор Сложное движение точки по направлению угловой скорости Сложное движение точки переносного движения на угол Сложное движение точки(рис.3.5).

Сложное движение точки

Пример 2. Определить модуль и направление ускорение Кориолиса точки Сложное движение точки, которая движется по образующей Сложное движение точки кругового конуса от вершины Сложное движение точки к точке Сложное движение точки. Конус вращается вокруг своей оси с угловой скоростью Сложное движение точки в направлении, показанном на рис.3.6, угол наклона образующей к оси конуса Сложное движение точки, относительная скорость точки Сложное движение точкиСложное движение точки.

Отложим вектор угловой скорости Сложное движение точки переносного вращательного движения по оси вращения в сторону, из которой вращения видно против хода часовой стрелки. Относительную скорость Сложное движение точки направим от точки Сложное движение точки к точке Сложное движение точки. Тогда угол между векторами Сложное движение точки и Сложное движение точки (рис 3.6) составит:

Сложное движение точкиСложное движение точки Сложное движение точкиСложное движение точки Сложное движение точки

Модуль ускорения Кориолиса точки Сложное движение точки равен:

Сложное движение точкиСложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точкиСложное движение точки  Сложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точкиСложное движение точки

Чтобы найти направление ускорения Кориолиса (рис.3.6), спроектируем вектор относительной скорости Сложное движение точки на плоскость Сложное движение точки, которая перпендикулярна оси вращения конуса.

Сложное движение точки

Проекция относительной скорости Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки направлена по прямой Сложное движение точки, которая является продолжением радиуса Сложное движение точки.

Если повернуть проекцию Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки в направлении вращения конуса на угол Сложное движение точки, устанавливаем, что вектор Сложное движение точки ускорения Кориолиса направлен по касательной к окружности радиусом Сложное движение точки в сторону вращения конуса.

Примеры решения задач

Задача №1

Клин Сложное движение точки (рис.3.7) с углом наклона рабочей поверхности Сложное движение точки, который движется поступательно по горизонтальной поверхности со скоростью Сложное движение точки, поднимает стержень Сложное движение точки, который движется в вертикальном направлении.

Сложное движение точки

Найти абсолютную скорость стержня Сложное движение точки.

Решение. Учитывая, что стержень Сложное движение точки в вертикальном направлении будет двигаться прямолинейно поступательно, то достаточно определить скорость любой его точки.

Рассмотрим движение точки Сложное движение точки стержня.

Поскольку точка Сложное движение точки стержня должна все время касаться клина Сложное движение точки, то рассмотрим ее движение как сложное — относительным будет движение точки Сложное движение точки по отношению к клину, а переносным — движение точки Сложное движение точки вместе с клином.

По отношению к клину точка Сложное движение точки стержня может двигаться только вдоль рабочей поверхности Сложное движение точки. Таким образом, относительная скорость Сложное движение точки будет направлена вдоль Сложное движение точки.

Клин Сложное движение точки движется поступательно горизонтальной поверхностью, то есть скорости всех его точек одинаковы. Таким образом, переносная скорость Сложное движение точки точки Сложное движение точки стержня, которая совпадает с точкой Сложное движение точки клина будет равна Сложное движение точки.

Абсолютную скорость точки Сложное движение точки стержня определим из векторного уравнения:

Сложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точки                 (1)

Для решения векторного уравнения (1) построим параллелограмм на векторах Сложное движение точки и Сложное движение точки (рис.3.7). При построении надо учесть, что Сложное движение точки, как диагональ параллелограмма, должна быть направлена вертикально.

Поскольку угол между векторами Сложное движение точки и Сложное движение точки прямой, то получим:

Сложное движение точки

Ответ: Сложное движение точки

Задача № 2

Круг радиусом Сложное движение точки (рис.3.8) равномерно вращается в своей плоскости вокруг центра Сложное движение точки по ходу часовой стрелки и делает Сложное движение точки оборотов в минуту. По кругу равномерно в противоположном направлении движется точка Сложное движение точки и делает Сложное движение точки оборотов в минуту.

Сложное движение точки

Найти абсолютное ускорение точки Сложное движение точки.

Решение. Движение точки Сложное движение точки рассмотрим как сложное. Переносным движением будет вращение круга вместе с точкой Сложное движение точки вокруг центра Сложное движение точки, а относительным — движение точки Сложное движение точки по кругу.

Абсолютное ускорение точки Сложное движение точки, учитывая, что переносным будет вращательное движение, равно:

Сложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точки

Поскольку переносное движение вращательное, то переносное ускорение точки круга с которой совпадает точка Сложное движение точки, будет иметь нормальную Сложное движение точки и тангенциальную Сложное движение точки  составляющую.

Учитывая, что при равномерном вращении угловое ускорение Сложное движение точки, тангенциальная составляющая переносного ускорения

Сложное движение точки

Величина переносного нормального ускорения Сложное движение точки определим из формулы:

Сложное движение точки

где Сложное движение точки — угловая скорость круга.

Направлено это ускорение вдоль радиуса от точки Сложное движение точки к точке Сложное движение точки (рис.3.8).

Учитывая то, что точка Сложное движение точки по кругу радиуса Сложное движение точки движется равномерно, модуль относительного ускорения будет иметь тоже только одну нормальную составляющую Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки:

Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки Сложное движение точки

где Сложное движение точки – угловая скорость вращения точки Сложное движение точки по кругу.

Направлено это ускорение от точки Сложное движение точки к точке Сложное движение точки (рис.3.8).

Поскольку точка Сложное движение точки движется в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то ускорение Кориолиса определяется по формуле:

Сложное движение точки Сложное движение точки.

Учитывая, что Сложное движение точки Сложное движение точки, достанем:

Сложное движение точки

Для определения направления ускорения Кориолиса повернем вектор относительной скорости Сложное движение точки, который направлен по касательной к кругу, в направлении переносной угловой Сложное движение точки на Сложное движение точки (рис.3.8). Таким образом, это ускорение направлено вдоль радиуса от центра вращения Сложное движение точки.

Поскольку все ускорения направлены вдоль одной прямой, то их можно сложить алгебраически:

Сложное движение точки Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки Сложное движение точки,

или с учетом выражений для Сложное движение точки, Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки и Сложное движение точки:

Сложное движение точки

Подставив зависимости для угловых скоростей Сложное движение точки и Сложное движение точки, получим:

Сложное движение точки

Ответ: Сложное движение точки

Задача №3

По хорде Сложное движение точки вращающегося диска от точки Сложное движение точки к точке Сложное движение точки движется точка Сложное движение точки согласно уравнению Сложное движение точки, угол поворота диска изменяется по закону Сложное движение точки.

Определить абсолютные скорости и ускорения точки Сложное движение точки в момент времени, когда она находится на расстоянии Сложное движение точки от оси вращения диска (рис.3.9).

Решение. В данной задаче переносным движением будет вращение диска по закону Сложное движение точки, а относительным — движение точки по хорде Сложное движение точки по закону Сложное движение точки.

Запишем уравнение для определения абсолютной скорости точки Сложное движение точки:

Сложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точки

Для определения относительной скорости остановим переносное вращение диска и будем рассматривать движение точки по отношению к неподвижному диску. Поскольку закон относительного движения Сложное движение точки, то величина относительной скорости определяется как первая производная от пути по времени:

Сложное движение точки Сложное движение точки

Вектор относительной скорости направлен по хорде Сложное движение точки (рис. 3.9) от точки Сложное движение точки к точке Сложное движение точки.

Сложное движение точки

Переносной скоростью Сложное движение точки точки Сложное движение точки будет скорость той точки диска, с которой в данный момент совпадает точка Сложное движение точки.

Из условия задачи вытекает, что точка Сложное движение точки в данный момент времени находится посередине хорды Сложное движение точки на расстоянии Сложное движение точки от оси вращения диска.

Переносная скорость вращательного движения определяется по формулой:

Сложное движение точки

где Сложное движение точки — угловая скорость переносного вращательного движения.

Угловую скорость переносного вращательного движения найдем как первую производную от угла поворота Сложное движение точки по времени:

Сложное движение точки

Таким образом, переносная скорость вращательного движения равна: 

Сложное движение точки

Вектор переносной скорости направлен перпендикулярно радиусу Сложное движение точки в сторону вращения диска.

Поскольку векторы Сложное движение точки и Сложное движение точки направлены вдоль одной прямой в разные стороны (рис. 3.9), то для определения абсолютной скорости от операции векторного сложения скоростей можно перейти к их алгебраическому сложению.

Тогда:

Сложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точки

В зависимости от абсолютных значений скоростей Сложное движение точки и Сложное движение точки, вектор Сложное движение точки будет направлен либо в сторону Сложное движение точки, либо в сторону Сложное движение точки.

Определим абсолютное ускорение точки Сложное движение точки. Поскольку переносное движение является вращательным, то абсолютное ускорение точки равно:

Сложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точки

Модуль относительного ускорения определим как производную от относительной скорости по времени:

Сложное движение точки Сложное движение точки

Направлен вектор Сложное движение точки вдоль хорды Сложное движение точки от точки Сложное движение точки к точке Сложное движение точки (рис.3.10).

Сложное движение точки

Переносное ускорение Сложное движение точки точки диска, которая совпадает с точкой Сложное движение точки, учитывая, что она движется по окружности радиусом Сложное движение точки, состоит из переносного тангенциального (касательного) ускорения Сложное движение точки и переносного нормального ускорения Сложное движение точки:

Сложное движение точки

Вычислим модули нормального Сложное движение точки и тангенциального Сложное движение точки ускорений:

Сложное движение точки

где Сложное движение точки — угловое ускорение переносного вращательного движения.

Переносное нормальное ускорение направлено вдоль радиуса к центру вращения Сложное движение точки (рис.3.10).

Поскольку движение точки Сложное движение точки происходит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то ускорение Кориолиса определяется из формулы:

Сложное движение точки Сложное движение точки Сложное движение точки

Для определения направления ускорения Кориолиса (рис.3.10) необходимо вектор относительной скорости Сложное движение точки повернуть на Сложное движение точки в бок угловой скорости Сложное движение точки переносного вращательного движения, то есть против хода часовой стрелки.

Для определения величины и направления абсолютного ускорения Сложное движение точки сначала сложим векторы Сложное движение точки и Сложное движение точки, которые направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Найденная векторная сумма Сложное движение точки направлена перпендикулярно вектору Сложное движение точки и по модулю равнa Сложное движение точки

Таким образом, абсолютное ускорение точки Сложное движение точки равно сумме векторов:

Сложное движение точки Сложное движение точки.

Поскольку вектор от Сложное движение точки перпендикулярен вектору Сложное движение точки, то вектор Сложное движение точки будет изображаться диагональю прямоугольника со сторонами Сложное движение точки и Сложное движение точки (рис.3.10).

Модуль абсолютного ускорения будет равен:

Сложное движение точки

Ответ: Сложное движение точки

Задача №4

В состав механизма Витворта (рис.3.11) входит: кривошип 1, ползун 2 и кулиса 3. Кривошип Сложное движение точки механизма вращается с постоянной угловой скоростью Сложное движение точки

Сложное движение точки

Определить скорость и ускорение точки Сложное движение точки и угловую скорость и угловое ускорение кулисы 3 механизма в положении,

когда: Сложное движение точки

Решение. Особенность этого механизма заключается в том, что в точке Сложное движение точки между собой соединяются кривошип 1, ползун 2 и кулиса 3 (рис.3.12).

Пересечение Сложное движение точки

Сложное движение точки 

Кривошип 1 и ползун 2 между собой соединены цилиндрическим шарниром, что позволяет ползуну относительно кривошипа возвращаться, а на кулисе 3 параллельно ее оси сделаны направляющие, по которым ползун 2 может двигаться поступательно.

При повороте кривошипа 1 ползун 2 скользит по кулисе 3 и заставляет ее поворачиваться вокруг точки Сложное движение точки. Расстояние от точки Сложное движение точки к точке Сложное движение точки на кулисе 3 с поворотом кривошипа 1 меняется.

Такой механизм позволяет преобразовать вращательное движение кривошипа в колебательное движение кулисы, если Сложное движение точки, или в вращательное, с другим законом изменения угловой скорости чем у кривошипа, движение кулисы, если Сложное движение точки.

Таким образом, в точке Сложное движение точки механизма (рис.3.12) будем рассматривать три разные точки: Сложное движение точки, принадлежащая кривошипу 1; Сложное движение точки — ползуну 2 и Сложное движение точки — кулисе 3. Все эти точки лежат одна под второй на рис.3.11.

Перед решением задачи в произвольном масштабе построим схему механизма (рис.3.13,а) для заданного положения кривошипа.

Первой определим скорость точки Сложное движение точки, принадлежащей кривошипу 1, который вращается вокруг точки Сложное движение точки с угловой скоростью Сложное движение точки:

Сложное движение точки

Направлена скорость Сложное движение точки перпендикулярно Сложное движение точки в сторону вращения кривошипа 1 (рис.3.13, а).

Скорость точки Сложное движение точки, принадлежащей ползуну 2, который соединен с кривошипом 1 шарниром, равна скорости точки Сложное движение точки:

Сложное движение точки

Для определения скорости точки Сложное движение точки кулисы 3, примем движение ползуна 2 за переносное. Тогда кулиса 3 относительно ползуна 2 может двигаться поступательно и скорость точки Сложное движение точки кулисы 3 относительно точки Сложное движение точки ползуна 2 будет направлена вдоль направляющих, то есть вдоль Сложное движение точки.

Сложное движение точки

Запишем уравнение для скоростей при сложном движении точки Сложное движение точки относительно Сложное движение точки:

Сложное движение точки

где Сложное движение точки — переносная скорость точки Сложное движение точки ползуна, которая в настоящий момент времени совпадает с точкой Сложное движение точки кулисы. Эта скорость уже определена;

Сложное движение точки — относительная скорость точки Сложное движение точки относительно Сложное движение точки. Направлена эта скорость вдоль Сложное движение точки;

Сложное движение точки — абсолютная скорость точки Сложное движение точки кулисы 3. Учитывая, что кулиса 3 вращается вокруг неподвижной точки Сложное движение точки, то эта скорость будет направлена перпендикулярно Сложное движение точки.

Векторное уравнение (1) решим путем построения плана скоростей.

Поскольку направления скорости в правой и в левой части уравнения (1) известны, то из полюса плана скоростей сначала построим правую часть уравнения, а затем левую.

Согласно правой части уравнения (1) с полюса Сложное движение точки (рис.3.13,б) откладываем вектор Сложное движение точки по направлению Сложное движение точки (рис.3.13, а), который в масштабе будет изображать эту скорость. (Поскольку Сложное движение точки, то скорости этих точек на плане будут изображаться одним вектором, то есть на плане скоростей точки Сложное движение точки и Сложное движение точки совпадают). Через точку Сложное движение точки проведем линию Сложное движение точки параллельно Сложное движение точки, вдоль которой от точки Сложное движение точки будет направлен вектор, что будет изображать относительную скорость Сложное движение точки (величина и направление этой скорости неизвестны).

Теперь построим левую часть уравнения (1). Поскольку абсолютная скорость Сложное движение точки направлена перпендикулярно Сложное движение точки, то с полюса Сложное движение точки по этому направлению проводим линию к пересечению в точке Сложное движение точки  с линией Сложное движение точки. Точка пересечения Сложное движение точки будет решением векторного уравнения (1).

Вектор Сложное движение точки на плане скоростей в масштабе изображает абсолютную скорость Сложное движение точки, а вектор Сложное движение точки — относительную скорость Сложное движение точки.

Поскольку на плане скоростей вектор Сложное движение точки перпендикулярен Сложное движение точки, а Сложное движение точки перпендикулярен Сложное движение точки, то угол между этими векторами равен углу между Сложное движение точки и Сложное движение точки на схеме механизма, то есть Сложное движение точки.

Угол при вершине Сложное движение точки плана скоростей будет прямым, поскольку линия Сложное движение точки перпендикулярна Сложное движение точки, а линия Сложное движение точки параллельна Сложное движение точки.

Таким образом треугольник Сложное движение точки на плане скоростей прямоугольный, с углами при вершинах: Сложное движение точки и Сложное движение точки.

Из плана скоростей определяем:

Сложное движение точки или Сложное движение точки

Сложное движение точки или Сложное движение точки

Учитывая, что кулиса 3 вращается вокруг точки Сложное движение точки, то для угловой скорости кулисы Сложное движение точки получим:

Сложное движение точки

где Сложное движение точки — длина кулисы для этого положения механизма. С Сложное движение точки (рис.13.3,а): Сложное движение точки

Поскольку ползун 2 относительно кулисы 3 движется поступательно, то Сложное движение точки.

Для определения направления угловой скорости Сложное движение точки предварительно перенесем вектор Сложное движение точки в точку Сложное движение точки механизма (рис.3.13, а). Угловая скорость Сложное движение точки направлена против хода часовой стрелки.

Определим ускорение точек механизма.

Поскольку кривошип 1 вращается вокруг центра Сложное движение точки с постоянной угловой скоростью Сложное движение точки, то ускорение точки Сложное движение точки имеет только нормальную составляющую:

Сложное движение точки

Направлено ускорение точки Сложное движение точки вдоль кривошипа к центру вращения Сложное движение точки (рис.3.14, а).

Ускорение точки Сложное движение точки ползуна 2, учитывая, что кривошип и ползун соединены шарниром, равно ускорению точки Сложное движение точки:

Сложное движение точки

Сложное движение точки

Для ускорения точки Сложное движение точки кулисы 3 запишем векторное уравнение для сложного движения точки, учтя при этом, что движение ползуна 2 принято за переносное

Сложное движение точки

где Сложное движение точки — абсолютное ускорение точки Сложное движение точки;

Сложное движение точки — переносное ускорение точки Сложное движение точки ползуна, которая в настоящий момент времени совпадает с точкой Сложное движение точки кулисы;

Сложное движение точки — ускорение точки Сложное движение точки относительно Сложное движение точки, направлено по оси кулисы Сложное движение точки;

Сложное движение точки — ускорение Кориолиса точки Сложное движение точки.

Поскольку относительное движение происходит в плоскости, перпендикулярной оси вращения ползуна 2, то ускорения Кориолиса определим из формулы:

Сложное движение точки

где Сложное движение точки — угловая скорость вращательного переносного движения ползуна 2, Сложное движение точки

Сложное движение точки — относительная скорость точки Сложное движение точки относительно Сложное движение точки,

Сложное движение точки

Для определения направления ускорения Кориолиса необходимо вектор относительной скорости Сложное движение точки вернуть на Сложное движение точки в сторону переносного вращательного движения, то есть в направлении угловой скорости Сложное движение точки. Направление повернутого вектора (рис.3.13,в), который будет перпендикулярен оси кулисы Сложное движение точки, соответствует направлению ускорения Кориолиса.

С другой стороны, точка Сложное движение точки принадлежит кулисе 3, которая вращается вокруг центра Сложное движение точки. Таким образом, ускорение Сложное движение точки будет иметь две составляющие:

Сложное движение точки

где Сложное движение точки – нормальное ускорение точки Сложное движение точки при ее вращении вокруг точки Сложное движение точки направлено по оси кулисы от точки Сложное движение точки к точке Сложное движение точки (рис.3.14,а) и по модулю равно: Сложное движение точки

Сложное движение точки – тангенциальное ускорение точки Сложное движение точки при ее вращении вокруг точки Сложное движение точки, направлено перпендикулярно оси кулисы Сложное движение точки и по модулю равно: Сложное движение точки.

Решим систему векторных уравнений (2, 3) графически, путем построения плана ускорений.

Первым построим векторное уравнение (2). Из произвольного полюса Сложное движение точки (рис.3.14,б) отложим направленный отрезок Сложное движение точки, изображающий ускорение Сложное движение точки и направлен параллельно линии Сложное движение точки от точки Сложное движение точки к точке Сложное движение точки.

Длину отрезка Сложное движение точки выберем Сложное движение точки. Тогда масштабный коэффициент плана ускорений будет равен:

Сложное движение точки

От точки Сложное движение точки отложим вектор Сложное движение точки, который изображает ускорение Кориолиса Сложное движение точки. Направлен этот вектор перпендикулярно оси кулисы Сложное движение точки по определенному ранее направлению (рис.3.13, в).

Длина вектора Сложное движение точки равна:

Сложное движение точки

Через конец вектора Сложное движение точки проводим линию Сложное движение точки, вдоль которой будет направлен вектор Сложное движение точки, который будет изображать относительное ускорение Сложное движение точки. Направление и длина этого вектора неизвестны.

Следующим построим векторное уравнение (3). С полюса Сложное движение точки отложим вектор Сложное движение точки, изображающий нормальное ускорение Сложное движение точки. Направлен этот вектор параллельно оси кулисы Сложное движение точки от точки Сложное движение точки к точке Сложное движение точки и имеет длину:

Сложное движение точки

Через конец вектора Сложное движение точки проводим линию Сложное движение точки, вдоль которой будет направлен вектор Сложное движение точки, который будет изображать тангенциальное ускорение Сложное движение точки.

Решением системы (2, 3) будет точка пересечения линий Сложное движение точки и Сложное движение точки, а вектор Сложное движение точки будет изображать ускорение Сложное движение точки.

Из плана ускорений определяем:

Сложное движение точки

Угловое ускорение кулисы 3 и ползуна 2 определим через известное тангенциальное ускорение Сложное движение точки:

Сложное движение точки

Для определения направления углового ускорения Сложное движение точки надо перенести в точку Сложное движение точки механизма тангенциальное ускорение Сложное движение точки (рис.3.14, а). Угловое ускорение Сложное движение точки направлено против хода часовой стрелки.

Ответ: Сложное движение точки Сложное движение точки

Абсолютное, относительное и переносное движение точки

В кинематике точки, рассматривается движение точки относительно неподвижной системы координат (прямоугольной декартовой или относительно осей натурального трехгранника). Однако часто приходится исследовать движение точки в отношении двух и более систем координат (тел отсчета), из которых одна система координат осуществляет движение относительно другой, условно берется за неподвижную. Например, при изучении роботов-манипуляторов следует вводить несколько систем координат.  Итак, предположим, что система координат Сложное движение точки, неизменно связана с некоторым телом, движется относительно другой системы координат Сложное движение точки, которая условно взята за неподвижную (рис. 9.1).

Движение точки М относительно неподвижной системы координат называется абсолютным, а относительно подвижной системы координат — относительным. Скорости и ускорения точки, рассматриваемые в отношении данных систем, соответственно называются абсолютными и относительными.

Движение подвижной системы координат Сложное движение точки (или неизменно связанного с ней тела G) относительно неподвижной системы отсчета Сложное движение точки, является для подвижной точки переносным движением, то есть это движение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент времени совпадает подвижная точка М. Соответственно скорости и ускорения точки, неизменно связанной с подвижной системой координат, в которой в данный момент времени находится подвижная точка, называются переносными.

Основной задачей сложного движения точки является установление зависимости между кинематическими характеристиками абсолютного, переносного и относительного движений. Уравнениями абсолютного движения точки есть, например, зависимости координат точки М, заданных в неподвижной системе координат, как функции времени:

Сложное движение точки                                                                                                           (9.1)

Аналогично для уравнения относительного движения:
Сложное движение точки                                                                                                                (9.2)

Уравнения (9.1) и (9.2) определяют в параметрической форме в соответствии абсолютную и
относительную траектории. Если уравнение (9.1) и (9.2) известны, то проекции абсолютной и относительной скоростей определяются соответственно как первые производные по времени приведенных функций; тогда вторые производные по времени от этих функций
определяют проекции абсолютного и относительного ускорений. В дальнейшем введем такие обозначения: Сложное движение точки — абсолютная, относительная и переносная скорости, Сложное движение точки — абсолютное, относительное и переносное ускорение.

Сложное движение точки

Сложное движение точки

Пример 1. Пусть стержень ОА вращается вокруг неподвижной оси Сложное движение точки, (рис. 9.2). Вдоль
стержня движется гладкое кольцо, рассматриваемое как материальная точка М. Выясните характер относительного и переносного движений.

Решение. Выберем в точке О начало неподвижной системы координат Сложное движение точки. Движение точки М в этой системе координат называется абсолютным. Подвижная система координат Oxyz, связана со стержнем, приведена на рис. 9.2. Абсолютное движение точки М происходит в плоскости Сложное движение точки а относительное  вдоль подвижной оси Сложное движение точки. Для установления характера переносного движения выясним, какое движение, подвижная система координат Oxyz осуществляет по отношению к неподвижной. Согласно условию задачи, ось Сложное движение точки вращается вокруг оси Сложное движение точки. Итак, переносным движением здесь является  вращательное движение стержня вокруг оси Сложное движение точки.

Итак, сложное движение точки М (кольца) можно рассматривать как совокупность прямолинейного относительного (вдоль стержня ОА) и вращательного переносного вокруг неподвижной оси Oz вместе со стержнем. Установив характер абсолютного, относительного и переносного движений, можно решать, например, такие задачи:
 а) по заданным относительным и переносным движениями определять сложное (абсолютное) движение точки;
 б) по заданным сложным движениям точки определить составляющие простых движений.

Центральная операция кинематики и динамики. Абсолютная и относительная
производные по времени от вектора функции

Пусть Сложное движение точки — система координат, взятая
за неподвижную, a Сложное движение точки — подвижная система координат, орты которой Сложное движение точки (рис. 9.3, а).
 Рассмотрим произвольную точку М, которая движется относительно как подвижной, так и неподвижной систем координат. Пусть положение этой точки в подвижной системе координат определяется радиусом-вектором Сложное движение точки в виде:

Сложное движение точки                                                                                                          (9.3)

Установим связь между производными от функции, вычисленными в подвижной и неподвижной системах координат. Для этого сначала найдем производную по времени от вектора Сложное движение точки в неподвижной системе, которая называется абсолютной производной от вектора Сложное движение точки. по времени и:

Сложное движение точкиСложное движение точки                                                                                 (9.4)

Первые три члена этого выражения представляют собой производную от вектора Сложное движение точки,  вычисленную по предположениям, что орты подвижной системы координат по направлению не меняются, что соответствует вычислению производной в подвижной системе координат. Это выражение называется локальной (относительной) производной и обозначается Сложное движение точки

Сложное движение точки                                                                                                    (9.5)

Рассмотрим теперь последние три слагаемых в (9.4), которые обозначим через: 

Сложное движение точки                                                                                                           (9.6)

Сложное движение точки

Умножив обе части  (9.6) скалярно на  Сложное движение точки получим:

Сложное движение точки                                                                                              (9.7)

Правые части этих выражений являются проекциями вектора Сложное движение точки на оси подвижной системы координат. Обозначим их через Сложное движение точкиВоспользуемся очевидными соотношениями (рис. 9.3, б):

Сложное движение точки                                                                                                      (9.8)

Продифференцировав их по времени, получим:

Сложное движение точки                                                                                                     (9.9)

Введем обозначения:

Сложное движение точки                                                                                                    (9.10)

Тогда выражения (9.7) с учетом соотношений (9.8)-(9.10) можно записать в форме:

Сложное движение точки                                                                                                     (9.11)

Если ввести на рассмотрение вектор:

Сложное движение точки                                                                                                            (9.12)

то выражение (9.6) можно подать в виде:

Сложное движение точки                                                                                                           (9.13)

Подставив (9.13) и (9.5) в выражение (9.4) получим формулу, которая устанавливает связь между производной не только вектора Сложное движение точки но и произвольного вектора Сложное движение точки по времени, вычисленного в неподвижной и подвижной системах координат:

Сложное движение точки                                                                                                     (9.14)

Отметим, что во второй формуле (9.14) указана система координат, в которой  вычисляется соответствующая производная.

Здесь вектор to можно рассматривать как угловую скорость вращения подвижной системы координат Oxyz относительно неподвижной Сложное движение точкиФормулу (9.14) называют формулой
Бура. Она имеет следующее содержание: абсолютная производная произвольного вектора Сложное движение точки по времени:

Сложное движение точки равна сумме локальной производной иСложное движение точки векторному произведению вектора Сложное движение точкивращения подвижной системы координат на дифференцируемый вектор Сложное движение точки 

Поскольку формула (9.14) может быть распространена на любой вектор, то в дальнейшем будем широко пользоваться ею не только в кинематике, но и в динамике.
 Рассмотрим теперь частные случаи.
 1. Если система Oxyz неподвижная, то 
Сложное движение точки следовательно, Сложное движение точки то есть 

Сложное движение точки                                                                                                                (9.15)

2.  Если вектор Сложное движение точкинеподвижный относительно неподвижных осей координат Сложное движение точки то

Сложное движение точки                                                                                                           (9.16)

3. Если вектор Сложное движение точки неизменно связанный с  системой координат Сложное движение точки то 

Сложное движение точки                                                                                                        (9.17)

Отметим, что в формуле (9.14) не раскрыто пока физического смысла вектора Сложное движение точки
Полностью он будет установлен в кинематике в разделе «Движение свободного твердого тела». Сейчас ограничимся рассмотрением некоторых случаев, которые частично отвечают на этот вопрос.
4. Рассмотрим движение подвижной системы координат, считая, что последняя неизменно связана с телом, которое вращается вокруг неподвижной оси, например Сложное движение точки Тогда Сложное движение точки и Сложное движение точки
являются скоростями точек, которые совпадают с концами векторов Сложное движение точки и Сложное движение точки и вычисленные относительно неподвижной системы координат, то есть являются скоростями точек неизменной системы, которой является система координат Oxyz. Причем эти скорости имеют направления в соответствии ортовСложное движение точки и Сложное движение точки (рис. 9.3, б). Итак, выражение для скоростей
точек, которые совпадают с концами единичных векторов Сложное движение точки и Сложное движение точки, можно записать в виде:

Сложное движение точки                                                                                                        (9.18)

Сравнив эти выражения полученной ранее формуле Эйлера, делаем вывод, что вектор Сложное движение точки имеет реальный физический смысл.
А именно — это вектор угловой скорости тела, которое вращается вокруг неподвижной оси.
Этот вывод легко обобщается на случай произвольной точки М, положение которой
в подвижной системе координат определяется радиусом-вектором Сложное движение точки Тогда вектор Сложное движение точкив выражении (9.14) имеет смысл скорости точки, неизменно связанной с телом, которое вращается в неподвижной системе координат, то есть:

Сложное движение точки                                                                                                     (9.19)

что соответствует формуле (8.23)

5. Если скалярно умножить обе части выражения (9.18) соответственно на Сложное движение точкии Сложное движение точки, то
получим:

Сложное движение точки                                                                                                               (9.20)

Левые части этих выражений являются соответственно проекциями вектора Сложное движение точки на ортСложное движение точки и Сложное движение точки на орт Сложное движение точки, а правые части имеют значения соответственно Сложное движение точки и Сложное движение точки, поскольку Сложное движение точки
Сложное движение точки. Итак, проекциями скоростей единичных векторов Сложное движение точки и Сложное движение точки являются  Сложное движение точки и Сложное движение точки
(рис. 9.3, б).
 6. Рассмотрим подвижную систему координат и предположим, что она совершает вращательное движение как твердое тело вокруг неподвижной оси Сложное движение точки, которое  определяется углом поворота Сложное движение точки, который задается относительно положения Сложное движение точки
(Рис. 9.4). тогда:

Сложное движение точки                                                                                                    (9.21)

где Сложное движение точки — орты осей Сложное движение точки

Отсюда получим соотношение, с которыми уже встречались в полярной системе
координат:

Сложное движение точки                                                                                                         (9.22)

Умножив теперь скалярно обе части полученных выражений соответственно на j и
и, будем иметь:

Сложное движение точки                                                                                                               (9.23)

Как видим, производная от угла поворота является ничем иным, как угловой скоростью вращения подвижной системы координат. Таким образом, для одной из компонентов в (9.10) также установлено физический смысл.
 7. Пусть подвижная система отсчета осуществляет поступательное движение. Тогда:Сложное движение точки

Сложное движение точки

Следовательно, Сложное движение точки и формула (9.14)  имеет такую ​​физическую интерпретацию: все точки тела движутся с равными по величине и направлением скоростями, что было установлено нами ранее при изучении поступательного движения тела.  Таким образом, для отдельных случаев движения подвижной системы координат Oxyz установлен физический смысл вектора Сложное движение точки — это вектор угловой скорости тела, или подвижной системы координат Oxyz. Далее будут приведены соответствующее обоснования и для общего случая движений подвижной системы отсчета, неизменно связанной с движением твердого тела.

Теорема о сложении скоростей

Теорема. Абсолютная скоростьСложное движение точки точки при сложном движении равна векторной сумме относительной Сложное движение точки и переносной Сложное движение точки скоростей.
 Доказательство. Рассмотрим движение точки М относительно некоторого тела G (рис. 9.1), с которым неизменно связана подвижная система координат Oxyz, которая, в свою очередь, движется относительно условно неподвижной системы координат.  Пусть положение точки М в подвижной системе координат определяется радиусом-вектором Сложное движение точки, в неподвижной — радиусом-вектором Сложное движение точки, а положение начала О подвижной системы координат относительно неподвижной Сложное движение точки, — радиусом-вектором Сложное движение точки. Тогда:

Сложное движение точки                                                                                                             (9.24)

Продифференцировав это выражение в соответствии формуле (9.14):

Сложное движение точки                                                                                                               (9.25)

Здесь индекс Сложное движение точки отражает то, что вектор Сложное движение точки характеризует переносное движение. На основании определения абсолютной, относительной и переносной скоростей получим:

Сложное движение точки                                                                                                   (9.26)

С учетом этих обозначений, выражение (9.25) будет иметь следующий вид:

Сложное движение точки                                                                                                                  (9.27)

который отражает теорему о распределении скоростей точек при сложном движении. Очевидно, что формула (9.27) отражает правило параллелограмма для сложения скоростей.
 Модуль абсолютной скорости Сложное движение точкина основании теоремы косинусов определяется в виде:

Сложное движение точки                                                                                                   (9.28)

Пример 2. Вдоль хорды АВ (рис. 95) вращающегося диска движется точка М от точки
А к точке В  в соответствии с уравнением Сложное движение точки. Закон вращения диска Сложное движение точки. Определить абсолютную скорость точки в момент, когда она находится от оси вращения диска на расстоянии Сложное движение точки

Сложное движение точки
 Решение. Движение точки М вдоль хорды подвижного диска относительно. Поэтому относительная скорость и направлена ​​по хорде АВ

Сложное движение точки

Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной к его плоскости. Итак, переносное движение диска будет вращательным, поэтому переносная скорость точки М направлена ​​перпендикулярно к ОМ в сторону вращения диска. По теореме о сложении скоростей абсолютная скорость Сложное движение точки Поскольку Сложное движение точкиСложное движение точки

В некоторых задачах кинематики сложного движения точки нужно определить относительную скорость Сложное движение точки. С формулы (9.27) видно, что:

Сложное движение точки

Итак, чтобы построить вектор относительной скорости, следует добавить вектор абсолютная скорости к вектору, направленному противоположно переносной скорости.

Теорема о сложении ускорений

Теорема Кориолиса. Абсолютное ускорение точки при сложном движении равно
векторной сумме относительного, переносного ускорений и ускорения Кориолиса.

 Доказательство. По определению ускорения точки, с учетом (9.27), имеем:

Сложное движение точки                                                                                                    (9.29)

где

Сложное движение точки                                                                                                                    (9.30)

С помощью формулы (9.14) для абсолютной производной, определим каждое слагаемое ускорения отдельно, учитывая, что векторы Сложное движение точки и Сложное движение точки заданные в подвижной системе
координат Oxyz и поэтому именно на них распространяются формулы (9.14):

Сложное движение точки                                                                                                                      (9.31)

Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки                         )9.32)

Введем обозначения:

Сложное движение точки                                                                                                                   (9.33)

Тогда (9.32) перепишем в виде:

Сложное движение точкиСложное движение точки                                                                                                 (9.34)

где Сложное движение точки

Введем обозначения в соответствии с определениями абсолютного, относительного и переносного ускорений:

Сложное движение точки                                                                                                       (9.35)

Подставив (9.31) и (9.34) в выражение  (9.29), с учетом (9.35), получим:

Сложное движение точки                                                                                                         (9.36)

Последнее слагаемое в этой формуле, который не входит ни в относительное, ни в переносное ускорения, называется поворотным или кориолисовым ускорением Сложное движение точки:

Сложное движение точки                                                                                                           (9.37)

Окончательно получим:

Сложное движение точки                                                                                                                 (9.38)

Теорема доказана.
 Заметим, что в ряде случаев может стать полезной формула для определения ускорения, которая  непосредственно следует из (9.14):

Сложное движение точки                                                                                                         (9.39)

Отметим, что когда переносное движение подвижной системы координат Oxyz является поступательным Сложное движение точки, ускорение Кориолиса обращается в ноль. Тогда формула (9.38)
принимает вид:

Сложное движение точки                                                                                                                  (9.40)

то есть при поступательном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической
сумме относительного и переносного ускорений.
Следовательно, эта формула отражает правило параллелограмма для сложения ускорений в данном случае. В следующих разделах проанализируем выражения для каждой составляющей ускорения более детально.

Вращательное и осевое ускорение в случае вращения тела вокруг неподвижной оси

Проанализируем две составляющие переносного ускорение точки в выражении (9.35) Сложное движение точки и  Сложное движение точки, обусловленные движением тела относительно полюса О.

Сложное движение точки

Поскольку кинематическое содержание векторов  Сложное движение точки и Сложное движение точки в общем случае движения тела, а следовательно, подвижной системы координат еще до конца не раскрыто , пока ограничимся рассмотрением только частного случая вращения тела вокруг неподвижной оси Сложное движение точки (рис. 9.6), для которого физический смысл векторов Сложное движение точки и Сложное движение точкиполностью определен.
Введем следующие обозначения:

Сложное движение точки                                                                                                       (9.41)

и будем называть ускорение Сложное движение точки вращательным, а  Сложное движение точки осевым.

Рассмотрим ускорения произвольной точки М, неизменно связанной с телом, вращения вокруг неподвижной оси (рис. 9.6).
В этом случае Сложное движение точкиСложное движение точки поэтому ускорения точки М согласно
 (9.38), запишем в виде, опустив индекс Сложное движение точкипри Сложное движение точки и Сложное движение точки:

Сложное движение точкиСложное движение точки                                                                                                 (9.42)

Кроме того, ускорение этой же точки, согласно п. 8.3, можно представить в виде векторной суммы нормального и тангенциально ускорений:

Сложное движение точки                                                                                                                 (9.43)

Установим связь между составляющими ускорения точки М которые есть в выражениях (9.42) и (9.43). Прежде всего покажем, что составляющая ускорения точки Сложное движение точки направлена ​​вдоль перпендикуляра MN, который опущен с точки М на ось вращения Сложное движение точки. Для того чтоб
подчеркнуть это обстоятельство, его называют осевым ускорением. Действительно, если Сложное движение точки (рис. 9.6) — это радиус-вектор точки М то вектор ее скорости Сложное движение точки направленный по касательной к траектории (круга) точки, перпендикулярно к плоскости треугольника OMN. Тогда вектор осевого ускорения

Сложное движение точки                                                                                                               (9.44)

будет направлен перпендикулярно к плоскости KLM, которая содержит прямую МК, параллельную оси вращения Сложное движение точки(рис. 9.6). Итак, вектор Сложное движение точки направленный вдоль MN. Учитывая, что

Сложное движение точкиСложное движение точки                                                                                            (9.45)

получим:

Сложное движение точки                                                                                                         (9.46)

Сравнив последнее выражение с соответствующим выражением (8.27) для нормального ускорения точки, которое всегда направлено по главной нормали к абсолютной траектории с центром кривизны в точке N,  которая лежит на оси вращения, получим:

Сложное движение точки                                                                                                                 (9.47)

Рассмотрим теперь вторую составляющую ускорения Сложное движение точки, которую называют вращательным ускорением.  Поскольку выполняется равенство (9.47), то  с учетом (9.42) и (9.43), получим:

Сложное движение точки                                                                                                                            (9.48)

Далее будет показано, что в общем случае движение твердого тела  Сложное движение точкиСложное движение точки Если учесть, что при вращении тела вокруг неподвижной оси направления векторов Сложное движение точки и Сложное движение точки всегда совпадают (и совпадают с осью вращения), то в каждой точке вектора скорости и касательного ускорения направлены вдоль одной прямой — касательной к траектории. Модуль вращательного ускорения запишем в виде:

Сложное движение точкиСложное движение точки                                                                                                        (9.49)

Ускорение Кориолиса

По формуле (9.37) ускорение Кориолиса появляется тогда, когда переносное движение является вращательным:

Сложное движение точки                                                                                                                   (9.50)

Как видно из приведенной формулы, ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению вектора Сложное движение точки на относительную скорость точки Сложное движение точки Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу векторного произведения. Оно направлено вдоль
нормали к плоскости, в которой расположены векторы Сложное движение точкии Сложное движение точки, в той части пространства, с
которой, если смотреть с конца вектора Сложное движение точки, видно поворот на наименьший угол от вектора Сложное движение точки к вектору Сложное движение точки против хода часовой стрелки (в правой системе координат).
 Модуль ускорения Кориолиса находим по формуле:

Сложное движение точки                                                                                                     (9.51)

Спроектировав обе части равенства  (9.50) на подвижные оси координат, получим такие выражения для проекций ускорения Кориолиса :

Сложное движение точки                                                                                                        (9.52)

где Сложное движение точки— проекции угловой скорости на оси подвижной системы координат Сложное движение точкиСложное движение точки — проекции относительной скорости на эти самые оси.

Тогда модуль  ускорения Кориолиса :

Сложное движение точки                                                                                                             (9.53)

Направление Сложное движение точки определяется направляющими косинусами углов, которые вектор Сложное движение точки образует соответственно с ортами Сложное движение точкиподвижных осей:

Сложное движение точки                                                                                                     (9.54)

Случаи превращения в ноль ускорения Кориолиса

Как следует из (9.51),  ускорение Кориолиса  равно нулю в те моменты (или на тех промежутках времени), когда:
 1) вектор Сложное движение точки равен нулю, то есть переносное движение является поступательным; 

2) относительная скорость Сложное движение точки равна нулю, то есть нет относительного движения;

3) Сложное движение точкито есть вектор Сложное движение точки и Сложное движение точки — коллинеарные.

Следует отметить, что в те моменты времени, когда ускорения Кориолиса превращается в ноль, абсолютное ускорение точки определяется по правилу параллелограмма.
тогда:

Сложное движение точки                                                                                                          (9.55)

а модуль этого ускорения определяется по теореме косинусов:

Сложное движение точки                                                                                                 (9.56)

Физические причины возникновения ускорения Кориолиса

Покажем, что ускорение Кориолиса возникает вследствие таких двух причин:
 1. Представим себе два прямолинейных отрезка Сложное движение точки, и Сложное движение точки, по которым движутся
точки Сложное движение точки и Сложное движение точки (рис. 9.7). Отрезок Сложное движение точки движется поступательно, а отрезок Сложное движение точки вращается вокруг точки Сложное движение точки Обозначим через Сложное движение точки и Сложное движение точки соответственно относительную и переносную скорости точки М. Переносным движением точки (рис. 9.7, а) является поступательное движение, обусловленное движением отрезка Сложное движение точки. Через элементарный промежуток времени отрезок Сложное движение точки

Сложное движение точки

займет положение Сложное движение точки Поскольку переносное движение — поступательное, то переносные
скорости точки Сложное движение точки и Сложное движение точки одинаковы.
 Переносным движением точки Сложное движение точки (рис. 9.7, б) является вращательное движение, вызванное вращением отрезка Сложное движение точки вокруг точки Сложное движение точки. Поэтому переносные скорости точки М2 на отрезке Сложное движение точки и Сложное движение точки разные: Сложное движение точкиСложное движение точки

Итак, переносная скорость точки Сложное движение точки меняется в зависимости от ее относительного движения вдоль отрезка Сложное движение точки. При этом скорость изменения переносной скорости Сложное движение точки точки Сложное движение точки  во времени, которая создает дополнительное ускорение, пропорциональна относительной скорости Сложное движение точки и  угловой скорости переносного движения Сложное движение точки В этом суть первой физической причины возникновения ускорения Кориолиса.
 2. Вторая физическая причина возникновения  ускорения Кориолиса такова:
относительная скорость точки Сложное движение точки, то есть Сложное движение точки, зависит от переносного вращательного движения, поскольку при вращении отрезка Сложное движение точки меняется направление относительной скорости Сложное движение точки (Рис. 9.7, б).

Следовательно, скорость изменение во времени относительной скорости точки (т.е. ускорение точки, которое зависит от приведенной выше причины) также будет пропорционально относительной скорости Сложное движение точки и угловой скорости Сложное движение точки переносного движения.
 А. И. Сомов обратил внимание на то, что ускорения Кориолиса как будто вращает вектор относительной скорости в направлении переносного вращательного движения, из-за чего назвал ускорение Кориолиса поворотным.
 Подводя итог изложенного и обращаясь к формуле (9.34), видим, что  изменение во времени переносной скорости при условии, что переносное движение является непоступательным, вызывается не только переносным, но и относительным движением точки. Дополнительное ускорение равно векторному произведению Сложное движение точки. Так же из формулы (9.31) следует, что изменение относительной скорости во времени вызвано не только относительным, но и переносным движением точки. Дополнительное ускорение и в этом случае равна Сложное движение точки

Ускорение Кориолиса  Сложное движение точки, таким образом, равно удвоенному векторному произведению
векторов Сложное движение точки и Сложное движение точки, то есть Сложное движение точки и характеризует изменение во времени относительной скорости через переносное непоступательное движение и переносной скорости — через относительное движение точки.

Пример 3. Определить абсолютное ускорение точки в примере 2, приведенном в п. 9.3.
 Решение. Поскольку переносное движение является  вращательным, то абсолютное ускорение точки М (Рис. 9.5) определим по теореме Кориолиса:

Сложное движение точки

Поскольку Сложное движение точки и переносная угловая скорость- постоянная Сложное движение точкито Сложное движение точки и Сложное движение точки Следовательно, 

Сложное движение точки

Сложное движение точкиСложное движение точки

Относительное движение точки М происходит вдоль прямой АВ, поэтому относительное ускорение Сложное движение точки направлено вдоль АВ, ускорение Сложное движение точки— вдоль ОМ к центру вращения. Направление ускорения Кориолиса определяем по правилу векторного произведения Сложное движение точки . Вектор Сложное движение точки направленный перпендикулярно к диску , а Сложное движение точки -вдоль хорды. Итак,  ускорения Кориолиса  Сложное движение точки также направлено по ОМ от центра О вращения диска. Вектор абсолютного ускорения направлен по диагонали прямоугольника со сторонами Сложное движение точки  (рис. 9.8), и 

Сложное движение точки

Сложное движение точки

Пример 4. На подвижных объектах (самолетах, кораблях и т.д.) используются гироскопические приборы маятникового типа для определения отклонения объектов от горизонтали. При движении относительно Земли в этих приборах возникают так называемые скоростные и баллистические девиации (погрешности), обусловленные тем, что эти объекты, двигаясь горизонтально по поверхности Земли (или по сфере радиусом Сложное движение точки , где h — высота полета), на самом деле вращаются в инерциальном пространстве и поэтому они движутся с ускорением в инерциальной системе координат, если даже их скорость относительно Земли является постоянной. Поэтому необходимо найти
угловую скорость вращения подвижного объекта и его ускорение в географической системе координат, если составляющая относительной скорости объекта к северу Сложное движение точки, на восток — Сложное движение точки (рис. 9.9), а угловая скорость суточного вращения Земли — Сложное движение точки.

Решение. Движение объекта (точку О) задано в сферической системе координат: Сложное движение точки — географическая долгота, что отсчитывается от меридиана Гринвича; Сложное движение точки — географическая широта, что отсчитывается от экватора; Сложное движение точки — радиус сферы, по которой движется объект: Сложное движение точки где Сложное движение точки — средний радиус Земли. Отметим, что линейная скорость точки на земной поверхности, расположенной на экваторе равна 1852 км/ч относительно неподвижной системы координат.

Ось  Сложное движение точки направлена ​​на север (N) по касательной к меридиану, Сложное движение точки — на восток ) по касательной к параллели, а Сложное движение точки — по вертикали вверх.

Очевидно, что движение объекта с составляющей скорости Сложное движение точки вызванной изменением угла Сложное движение точки— географической широты, а движение по составляющей скорости на восток Сложное движение точки — географической долготы Сложное движение точки.  Итак, угловая скорость Сложное движение точки направлена ​​перпендикулярно к плоскости параллели и параллельная угловой скорости вращения Земли Сложное движение точки, а угловая скорость Сложное движение точки направлена ​​в сторону, противоположную направлению оси Сложное движение точки.

С учетом этого, очевидно, что:

Сложное движение точки                                                                                                              (1)

Если теперь учесть и угловую скорость вращения Земли Сложное движение точки, то проекции угловой скорости на оси географической системы координат будут:

Сложное движение точкиСложное движение точки

Сложное движение точкиСложное движение точки                                                                             (2)

Сложное движение точки

В данном случае вращательное движение Земли является переносным, а движение объекта по поверхности относительным. С учетом этого и формул (2) приведем формулы для абсолютной скорости объекта в проекциях на оси географической системы координат:

Сложное движение точки                                                                                                           (3)

Используя уравнение (3) выражение (2) можно переписать в форме:

Сложное движение точки

Сложное движение точкиСложное движение точки                                                                                                 (4)

Сложное движение точки

Найдем теперь абсолютное ускорение подвижного объекта, воспользовавшись формулой
 (9.39):

Сложное движение точки                                                                                                               (5)

тут Сложное движение точки— угловая скорость вращения системы координат Сложное движение точки относительно неподвижной системы координат, которая определяется выражениями (2) или (4)

Сложное движение точки

Проектируя  (5) на оси Сложное движение точки будем иметь:

Сложное движение точки                                                                                                     (6)

Подставив  в (6) выражения (3) и (4), получим:

Сложное движение точки                                                                                       (7)

При горизонтальном движении объекта Сложное движение точки то есть Сложное движение точки поэтому формулы (7) немного упрощаются:

Сложное движение точки

Сложное движение точки                                                                                                                         (8)

Сложное движение точкиСложное движение точки

В выражениях (8) не видно явно ускорения Кориолиса, хотя понятно, что оно должно было иметь место, потому что переносное движение Земли является вращательным.

Для того, чтобы выделить явно ускорение Кориолиса, осевое ускорение, вращательное и относительное, нужно формулы (8) записать в развернутом виде:

Сложное движение точкиСложное движение точки

Сложное движение точкиСложное движение точки                                                                                                (9)

Сложное движение точкиСложное движение точки

Перепишем в конечном итоге формулы (9) так, чтобы на первом месте было переносное, дальше относительное и в конце  ускорения  Кориолиса (таблица).
 Таким образом, задача решена.

Пример 5. Точка М неравномерно движется по ободу колеса радиусом R с относительной
скоростью  вращается с переменной угловой скоростью Сложное движение точки Найти двумя методами ускорения точки:
 1) задавая движение точки в натуральной системе координат;
 2) используя понятие сложного движения точки.
 Решение. 1.  При заданном движения точки в натуральной системе координат нужно учесть, что ускорение в данном случае имеет две составляющие  — тангенциальноеСложное движение точки и нормальное  Сложное движение точкиускорения:

Сложное движение точки                                                                                                             (1)

Следовательно, для определения ускорений по формулам (1) нужно найти Сложное движение точки.
 Очевидно, что Сложное движение точки — это по сути абсолютная скорость точки, поэтому:

Сложное движение точки                                                                                                       (2)

Подставив (2) в (1), получим:

Сложное движение точки                                                                                               (3)

Если спроектировать эти ускорения на оси ортогональной системы координат Сложное движение точки то получим:

Сложное движение точки                                                                                                  (4)

При Сложное движение точкии Сложное движение точки соответственно получим:

Сложное движение точки                                                                                                                           (5)

Сложное движение точки

2. Использование понятия сложного движения точки. В этом случае (рис. 9.10,б)

Сложное движение точки                                                                                                                 (6)

Переносное ускорение имеет две составляющие Сложное движение точки и Сложное движение точкиВращающаяся составляющая ускорения Сложное движение точки направленная в данном случае по оси Сложное движение точки и равна: 

             Сложное движение точкиСложное движение точки                                                                                                                                          (7)

Осевое ускорения будет направлено к оси вращения, проходящей через точку О (рис. 9.10, б) и равно:

Сложное движение точки                                                                                                                                           (8)

Ускорение Кориолиса в этом случае направлено по оси Оу и равно:

Сложное движение точки                                                                                                                    (9)

Относительное ускорение в этом случае определяется по формуле (9.31), в которой нужно учесть только ту составляющую угловой скорости Сложное движение точки, которая обусловлена ​​только относительным движением, потому что взаимодействие вращательного переносного движения и относительной скорости учтено в ускорении Кориолиса:

Сложное движение точки                                                                                                             (10)

Очевидно, что 

Сложное движение точки                                                                                                                           (11)

Спроектировав выражение (10) на оси Сложное движение точки и Сложное движение точки и учитывая (11), получим:

Сложное движение точки                                                                                                                     (12)

Найдем теперь проекции абсолютных ускорений на осях  Сложное движение точкии Сложное движение точки

Сложное движение точки                                                                                                        (13)

Сравнивая выражения (3), (4) и (13), видим, что проекции ускорения на оси Сложное движение точки и Сложное движение точки совпадают. Причем в этом случае при любой Сложное движение точки

Сложное движение точки                                                                                                            (14)

Для сравнения найдем ускорение по формуле (9.39)

Сложное движение точки                                                                                                          (15)

Отметим, что в данном случае в формуле (15) нужно задать полную угловую скорость
вращения подвижной системы координат:

Сложное движение точки                                                                                                            (16)

В нашем случае Сложное движение точки определяется по формуле (6), Сложное движение точки Из формулы (15) с учетом (6) и (16), получим:

Сложное движение точки                                                                                                              (17)

или

Сложное движение точки                                                                                                       (18)

Нетрудно заметить, что выражения (3), (13) и (18) одинаковые, то есть приведенный способ решения задачи оказался достаточно эффективным.  Задача решена.

Сложное движение материальной точки. Относительное, переносное и абсолютное движение материальной точки

Сложное движение материальной точки — это такое движение, при котором точка может одновременно участвовать в двух и более движениях.

Для представления о сложном движение приведем такой пример. Если человека принять за материальную точку, то ее движение по палубе корабля будет сложным, когда это движение рассматривать относительно палубы и относительно берега (поверхности Земли). Движение человека относительно палубы является относительным, вместе с кораблем — переносным, а относительно поверхности Земли — абсолютным.

При сложном движении можно рассматривать точку, тело переноса или подвижное переносное пространство, с которым связана подвижная система координат, и неподвижную систему координат, которая скреплена с поверхностью Земли.

Движение точки относительно тела переноса или подвижной системы отсчета называется относительным, а скорость и ускорение точки в этом движении — относительными скоростью и ускорением, они обозначаются Сложное движение точки, Сложное движение точки (relative — относительный).

Движение точки вместе с подвижным пространством, а точнее вместе с той точкой подвижного пространства, с которой в данный момент совпадает заданная точка, называется переносным движением, а скорость и ускорение точки в этом движении — переносными скоростью и ускорением, они обозначаются Сложное движение точки, Сложное движение точки (exporter — захватить).

Движение материальной точки относительно неподвижной системы координат называется абсолютным, а скорость и ускорение — абсолютными, они   обозначаются Сложное движение точки, Сложное движение точки.

Теорема о сложении скоростей в сложном движении материальной точки

Сформулируем эту теорему.  

Абсолютная скорость материальной точки при сложном ее движении равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей:

Сложное движение точки .

Докажем это. Выберем материальную точку М (рис. 2.45), что движется независимо по своему закону относительно подвижной системы отсчета Oxyz, которая жестко связана с телом S, и вместе с ним перемещается относительно неподвижной системы координат Сложное движение точки. Начало подвижной системы координат Oxyz (центр O) выбрано в теле S произвольно, на соответствующих осях координат показаны единичные векторы (орты) Сложное движение точки, Сложное движение точки и Сложное движение точки.

Определим положение материальной точки М относительно выбранных осей координат. Так, относительно подвижной системы координат Oxyz ее положение определяется радиус-вектором Сложное движение точки. Положение точки М относительно неподвижной системы координат Сложное движение точки определяется радиус-вектором Сложное движение точки.

Положение начала (центр O) подвижной системы координат Oxyz относительно неподвижной системы координат Сложное движение точки будет определяться радиус-вектором Сложное движение точки.

Как видно из образованного на рис. 2.46 векторного треугольника Сложное движение точки, всегда сохраняется векторное соотношение:

Сложное движение точки  ,

или, если представить радиус-вектор Сложное движение точки в проекциях на оси координат Oxyz с учетом единичных векторов Сложное движение точки, Сложное движение точки и Сложное движение точки :

Сложное движение точки  .

Сложное движение точки

Используя выражение определим абсолютную скорость Сложное движение точки  материальной точки М.

При произвольном переносном движении тела орты Сложное движение точки, Сложное движение точки и Сложное движение точки меняют свое направление и поэтому являются переменными векторами. Тогда все члены, входящие в выражение выше, считаются переменными величинами. На основании формулы искомая скорость будет равна:

Сложное движение точки.  

Перегруппируем правую часть выражения и перепишем его:

Сложное движение точки 

Рассмотрим подробно выражение. Так, в последней скобке в этом выражении можно сделать следующие обозначения:

Сложное движение точки ,

Сложное движение точки ,

Сложное движение точки .

Тогда она представляет собой

Сложное движение точки — относительную скорость точки.

Рассмотрим далее первую скобку в выражении, где

Сложное движение точки — скорость начала подвижной системы координат Oxyz или скорость полюса O.

По формулам Пуассона другие составляющие первой скобки выражения можно представить так:

Сложное движение точки ,

 Сложное движение точки,

Сложное движение точки ,

где Сложное движение точки— угловая скорость переносного движения, или скорость вращения подвижных осей координат и неизменно связанных с ними ортов Сложное движение точки, Сложное движение точки и Сложное движение точки.

Подставим в первую скобку выражения:

Сложное движение точки

                                    Сложное движение точки .

Тогда выражение окончательно будет иметь следующий вид:

Сложное движение точки .

Сумма Сложное движение точки является скоростью переносного движения, где Сложное движение точки0 — скорость полюса или начала отсчета подвижной системы координат.

Поскольку переносное движение в общем случае является сложным, то он разделяется на поступательное вместе с полюсом (точкой О) и вращательное вокруг полюса

Окончательно имеем:

Сложное движение точки .

Что и необходимо было доказать.

Выражение называют параллелограммом скоростей.

Когда угол Сложное движение точки , тогда модуль абсолютной скорости равен:

Сложное движение точки,

Если  Сложное движение точки, так модуль абсолютной скорости Сложное движение точки движения материальной точки определяется по теореме косинусов:

Сложное движение точки.

Теорема Кориолиса

Сформулируем эту теорему.

Абсолютное ускорение материальной точки при произвольном переносном движении равно геометрической сумме трех ускорений: переносного, относительного и дополнительного ускорения, которое называется поворотным ускорением или ускорением Кориолиса.

Итак:

Сложное движение точки ,

где Сложное движение точки — абсолютное ускорение материальной точки; Сложное движение точки — переносное ускорение; Сложное движение точки — относительное ускорение; Сложное движение точки  — ускорение Кориолиса.

Предположим, что материальная точка М имеет сложное движение. Считаем, что она движется относительно подвижной системы координат Oxyz, которая сама произвольным образом перемещается относительно другой — неподвижной системы Сложное движение точки(рис. 2.46). Покажем Сложное движение точки, Сложное движение точкиСложное движение точки — орты подвижной системы координат Oxyz. Координаты точки M в подвижной системе отсчета — x, y, z.

Как и в предыдущем случае, определим положение материальной точки М. Так, положение точки М в подвижной системе координат Oxyz определяется радиус-вектором Сложное движение точки. Ее положения относительно неподвижной системы координат Сложное движение точки определяется радиус-вектором Сложное движение точки. Положение точки О (начала отсчета подвижной системы координат Oxyz) в неподвижной системе координат Сложное движение точки определяется радиус-вектором Сложное движение точки.

Абсолютное ускорение материальной точки М равна производной по времени от абсолютной скорости:

Сложное движение точкиСложное движение точки.

Проведем преобразование и анализ выражения. В первой скобке составляющая

Сложное движение точки — ускорение полюса O.

Превратим дальше выражение первой скобки, пользуясь формулами Пуассона:

Сложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точкиСложное движение точки

Сложное движение точки — ускорение точки в переносном сферическом движении тела вокруг полюса.

Во второй скобке

  Сложное движение точки — относительное ускорение точки.

В уравнении есть еще такие два выражения, которые также надо превратить:

Сложное движение точки

Сложное движение точки

Сложное движение точки — ускорение Кориолиса или поворотное ускорение.

Учитывая сделанные преобразования, окончательно запишем:

Сложное движение точки . 

Что и требовалось доказать.

Сложное движение точки ,

где Сложное движение точки — ускорение начала подвижной системы координат (полюса О) и независимого сферического движения тела вокруг полюса, что выражается составляющей ускорения  Сложное движение точки.

Модуль, направление и физические причины возникновения  ускорения Кориолиса

Рассмотрим подробно ускорения Кориолиса и его свойства. Оно, согласно формуле, имеет следующий вид:

Сложное движение точки .

Ускорение Кориолиса равна двойному векторном произведения векторов переносной угловой скорости и относительной скорости точки.

Как известно, модуль векторного произведения равен:

Сложное движение точки

Из выражения видно, что модуль ускорения Кориолиса равен нулю Сложное движение точки в следующих случаях:

1. Сложное движение точки переносное движение не является вращательным, поэтому ускорение Кориолиса называют также поворотным ускорением;

2. Сложное движение точки движение точки в данный момент времени не является сложным;

3. Сложное движение точки ,или  Сложное движение точки — векторы переносной угловой скорости и относительной скорости параллельны.

Модуль ускорения Кориолиса будет максимальным, если угол между векторами Сложное движение точки и Сложное движение точкисоставляет 90º или 270º, в этом случае:

Сложное движение точки              

Направление ускорения Кориолиса можно найти по двум методами: математическим — по определению векторного произведения двух векторов и физическим — по способу Жуковского.

Рассмотрим первый способ.

Предположим, что тело S вращается вокруг оси z против направления хода часовой стрелки.

Это тело переноса и вектор Сложное движение точки направлен вверх вдоль оси z (рис. 2.47). Независимо по телу S по своей траектории движется точка М со скоростью Сложное движение точки (вектор АМ). Перенесем условно вектор Сложное движение точки в точку М. Вектор ускорения Кориолиса Сложное движение точки, как итоговый вектор векторного произведения, перпендикулярный плоскости, которую образуют эти векторы (параллелограмм МАВС). Остается определить, к нам этот вектор направлен, или от нас. В данном случае (рис. 2.47) вектор Сложное движение точки направлен к нам, потому что кратчайший переход от вектора Сложное движение точки к вектору Сложное движение точки  происходит против направления хода часовой стрелки.

Сложное движение точки

Таким образом, вектор ускорения Кориолиса перпендикулярен плоскости, которую образуют векторы переносной угловой скорости и относительной скорости, и направлен в ту сторону, откуда видим, что кратчайший переход от вектора угловой скорости к вектору относительной скорости происходит против часовой стрелки.

Переходим к рассмотрению определения направления вектора ускорения Кориолиса по методу Жуковского.

Для определения направления вектора ускорения Кориолиса этим методом необходимо вектор относительной скорости Сложное движение точки спроецировать на плоскость π, перпендикулярной оси переносного вращения Сложное движение точки, затем вернуть проекцию Сложное движение точки в плоскости π на угол 90º в направлении переносного вращения (рис. 2.48).

Нетрудно понять, что в плоских механизмах, которые являются объектом курсового проекта по теории механизмов и машин, вектор Сложное движение точки всегда будет расположен в плоскости движения механизма. Поэтому для определения направления ускорения Кориолиса достаточно повернуть вектор  Сложное движение точки на 90º в направлении переносного поворота ωе.

Сложное движение точки

Рассмотрим далее физические причины возникновения поворотного ускорения или ускорение Кориолиса.

Пусть по пластине, расположенной в плоскости рисунка и равномерно вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью Сложное движение точки (направление вращения показано стрелкой), движется прямолинейно вдоль ее радиуса материальная точка М с постоянной относительной скоростью Сложное движение точки (рис. 2.49). Через некоторое время пластина повернется на угол 𝞿 и точка М окажется в положении M1 на большем расстоянии от оси вращения А. В результате этого вернется вектор  Сложное движение точки результате переносного вращения, увеличится по модулю и вернется вектор переносной скорости  Сложное движение точки.

Сложное движение точки

Из выше приведенного можно сформулировать две физические причины возникновения ускорения Кориолиса:

— изменение направления вектора относительной скорости материальной точки в результате переносного вращения;

— изменение модуля и направления вектора переносной скорости точки в результате ее относительного движения; это видно из следующих выражений переносной скорости движения для различных ее положений M и M1 (расстояние Сложное движение точки):

Сложное движение точки,

Сложное движение точки .

Следовательно, ускорение Кориолиса — это новый кинематический эффект, который возникает в результате взаимодействия, взаимовлияния векторов относительной и переносной скоростей при вращательном переносном движении.

Влияние ускорения Кориолиса наблюдается в природе и технике.

Так, за счет сил инерции масс воды, которые формируются этим ускорением, размываются правые берега рек, текущих вдоль меридиана. Поэтому правые берега в северном полушарии всегда являются крутыми. В южном полушарии — наоборот, левые берега являются крутыми.

В технике ускорения Кориолиса возникает в так называемых кулисных механизмах (кулиса — это подвижная направляющая). Относительно кулисы движется кулисный камень, а переносным движением является поворот кулисы относительно недвижимого центра.

Методика решения задач на сложное движение материальной точки

1. Выяснить, движение точки является относительным, какое является переносным, проанализировать законы движения и условие задачи.

2. Для определения характеристик относительного движения необходимо условно остановить переносное движение. Найти положение точки в заданный момент времени на траектории относительного движения.

3. Для определения характеристик переносного движения необходимо условно остановить относительное движение и рассмотреть движение точки, принадлежащей телу переноса, которая совпадает в данный момент с этой точкой.

4. Для определения параметров абсолютного движения точки необходимо выбрать систему координат с началом в самой точке, затем методом проекций определить проекции абсолютных скорости и ускорения и, наконец, полные скорости и ускорения

Пример.

Кольцевая трубка (рис. 2.50) радиуса 16 см вращается вокруг горизонтальной диаметра ОА по закону Сложное движение точки  рад. Внутри трубки движется жидкость согласно уравнению Сложное движение точкисм. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение частицы М жидкости в момент времениСложное движение точки , если в начальный момент частица была в точке А.

Решение

Определяем положение точки М в момент времени t1. Положение точки M удобно определить углом α. Определим его с помощью такого выражения:

Сложное движение точки   рад,

Сложное движение точки .

Сложное движение точки

 Точка М в заданный момент времени изображена на рис. 2.50. Выберем подвижную систему координат, жестко связанную с кольцевой трубкой.

Выделяем переносное движение точки M. Для этого скрепляем точку М с подвижной системой координат. В этом случае точка M будет описывать круг в плоскости, перпендикулярной к диаметру ОА, радиус которого будет равен:

Сложное движение точки ,

Вычислим переносную скорость точки М как скорость вращения данной точки вокруг оси ОА. Она равна:

Сложное движение точки

Определим угловую скорость вращения трубки.

Сложное движение точки Сложное движение точки . 

Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения.

Переносная скорость Сложное движение точки точки M равна:

Сложное движение точки.

Для момента времени Сложное движение точки имеем такое значение переносной скорости точки M:

Сложное движение точки .

Вектор переносной скорости направлен перпендикулярно к плоскости чертежа в направлении вращения.

Относительное движение точки М — это движение жидкости относительно трубки. В этом случае точка М будет двигаться по кругу диаметром ОА.

Вычисляем относительную скорость точки М. Она равна:

Сложное движение точки.

Для момента времени Сложное движение точки находим значение относительной скорости движения Сложное движение точки:

Сложное движение точки

Направляем вектор относительной скорости Сложное движение точки по касательной к упомянутой окружности в точке M.

Векторы переносной Сложное движение точки и относительно Сложное движение точки скоростей изображены на рис. 2.50.

Учитывая, что векторы Сложное движение точки и Сложное движение точки взаимно перпендикулярны, находим абсолютную скорость точки M. Она равна:

Сложное движение точки.

Абсолютное ускорение точки M будет равно:

Сложное движение точки .

Находим переносное нормальное ускорение точки M:

Сложное движение точки.

При Сложное движение точки значение переносного нормального ускорения равно:

Сложное движение точки.

Направленный вектор переносного нормального ускорения  Сложное движение точки по перпендикуляру к оси вращения OA.

Переносное касательное ускорение Сложное движение точки точки М равно:

Сложное движение точки .

Определим угловое ускорение трубки. Оно будет равно:

Сложное движение точки.

Угловое ускорение Сложное движение точки положительное, следовательно, вращения трубки являются ускоренными.

Вычисляем переносное касательное ускорение Сложное движение точки точки M. Оно будет равно:

Сложное движение точки.

Для Сложное движение точки  имеем значение этого ускорения:

Сложное движение точки.

Направленное переносное касательное ускорение Сложное движение точки точки M так же, как и переносная скорость Сложное движение точки, перпендикулярна к плоскости трубки.

Находим относительное касательное ускорение Сложное движение точки  точки М. Оно равно:

Сложное движение точки .

Вектор относительного касательного ускорения  Сложное движение точки  совпадает с направлением вектора относительной скорости Сложное движение точки , потому что относительное движение ускоренно, о чем говорит положительный знак в касательном ускорении Сложное движение точки .

Вычислим относительное нормальное ускорение Сложное движение точки :

Сложное движение точки .

Для момента времени Сложное движение точки  имеем такое значение этого ускорения:

Сложное движение точки .

Направленный вектор нормального относительного ускорения  Сложное движение точки  по радиусу к центру кольца трубки.

Находим ускорение Кориолиса Сложное движение точки . Оно будет равно:

Сложное движение точки .

Направлено ускорение Кориолиса перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы

Сложное движение точки и Сложное движение точки, таким образом, что если посмотреть с положительного конца этого вектора, то поворот от Сложное движение точки к Сложное движение точки  на наименьший угол происходит против направления хода часовой стрелки. Таким образом, вектор ускорения Кориолиса Сложное движение точки  направлен по одной прямой с вектором переносного касательного ускорения Сложное движение точки , но имеет направление в противоположную сторону.

Находим относительное касательное ускорение Сложное движение точки  точки М. Оно равно:

Сложное движение точки .

Вектор относительного касательного ускорения  Сложное движение точки  совпадает с направлением вектора относительной скорости Сложное движение точки, потому что относительное движение ускоренно, о чем говорит положительный знак в касательном ускорении Сложное движение точки .

Вычислим относительное нормальное ускорение Сложное движение точки :

Сложное движение точки .

Для момента времени Сложное движение точки  имеем такое значение этого ускорения:

Сложное движение точки .

Направленный вектор нормального относительного ускорения  Сложное движение точки по радиусу к центру кольца трубки.

Находим ускорение Кориолиса Сложное движение точки . Оно будет равно:

Сложное движение точки .

     Направлено ускорение Кориолиса перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы Сложное движение точки и Сложное движение точки, таким образом, что если посмотреть с положительного конца этого вектора, то поворот о т Сложное движение точки к Сложное движение точки на наименьший угол происходит против направления хода часовой стрелки. Таким образом, вектор ускорения Кориолиса Сложное движение точки направлен по одной прямой с вектором переносного касательного ускорения Сложное движение точки , но имеет направление в противоположную сторону.

Векторы относительного, переносного и ускорение Кориолиса изображены на рис. 2.51.

Сложное движение точки

Для нахождения абсолютного ускорения Сложное движение точки выберем систему координат, как показано на рис. 2.51, и спроектируем векторное равенство, которое определяет абсолютное ускорение точки М, на оси данной системы координат:

Сложное движение точки/Сложное движение точки

Сложное движение точки/Сложное движение точки

Сложное движение точки .

Модуль абсолютного ускорения Сложное движение точки равен:

Сложное движение точки .

Услуги по теоретической механике:

  1. Заказать теоретическую механику
  2. Помощь по теоретической механике
  3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

  1. Статика
  2. Система сходящихся сил
  3. Момент силы
  4. Пара сил
  5. Произвольная система сил
  6. Плоская произвольная система сил
  7. Трение
  8. Расчет ферм
  9. Расчет усилий в стержнях фермы
  10. Пространственная система сил
  11. Произвольная пространственная система сил
  12. Плоская система сходящихся сил
  13. Пространственная система сходящихся сил
  14. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
  15. Естественный способ задания движения точки
  16. Центр параллельных сил
  17. Параллельные силы
  18. Система произвольно расположенных сил
  19. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
  20. Кинематика
  21. Кинематика твердого тела
  22. Движения твердого тела
  23. Динамика материальной точки
  24. Динамика механической системы
  25. Динамика плоского движения твердого тела
  26. Динамика относительного движения материальной точки
  27. Динамика твердого тела
  28. Кинематика простейших движений твердого тела
  29. Общее уравнение динамики
  30. Работа и мощность силы
  31. Обратная задача динамики
  32. Поступательное и вращательное движение твердого тела
  33. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
  34. Сферическое движение твёрдого тела
  35. Движение свободного твердого тела
  36. Сложное движение твердого тела
  37. Плоское движение тела
  38. Статика твердого тела
  39. Равновесие составной конструкции
  40. Равновесие с учетом сил трения
  41. Центр масс
  42. Колебания материальной точки
  43. Относительное движение материальной точки
  44. Статические инварианты
  45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
  46. Динамика системы материальных точек
  47. Общие теоремы динамики
  48. Теорема об изменении кинетической энергии
  49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
  50. Потенциальное силовое поле
  51. Метод кинетостатики
  52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

Механическое движение. Траектория. Путь. Перемещение

1. Механическим движением называют изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Существуют различные виды механического движения. Если все точки тела движутся одинаково и любая прямая, проведённая в теле, при его движении остаётся параллельной самой себе, то такое движение называется поступательным (рис. 1).

Точки вращающегося колеса описывают окружности относительно оси этого колеса. Колесо как целое и все его точки совершают вращательное движение (рис. 2).

Если тело, например шарик, подвешенный на нити, отклоняется от вертикального положения то в одну, то в другую сторону, то его движение является колебательным (рис. 3).

2. В определение понятия механического движения входят слова «относительно других тел». Они означают, что данное тело может покоиться относительно одних тел и двигаться относительно других тел. Так, пассажир, сидящий в автобусе, движущемся относительно зданий, тоже движется относительно них, но покоится относительно автобуса. Плот, плывущий по течению реки, неподвижен относительно воды, но движется относительно берега (рис. 4). Таким образом, говоря о механическом движении тела, необходимо указывать тело, относительно которого данное тело движется или покоится. Такое тело называют телом отсчёта. В приведённом примере с движущимся автобусом в качестве тела отсчёта может быть выбран какой-либо дом, или дерево, или столб около автобусной остановки.

Для определения положения тела в пространстве вводят систему координат, которую связывают с телом отсчёта. При рассмотрении движения тела вдоль прямой линии используют одномерную систему координат, т.е. с телом отсчёта связывают одну координатную ось, например ось ОХ (рис. 5).

Если тело движется по криволинейной траектории, то система координат будет уже двухмерной, поскольку положение тела характеризуют две координаты X и Y (рис. 6). Таким движением является, например, движение мяча от удара футболиста или стрелы, выпущенной из лука.

Если рассматривается движение тела в пространстве, например движение летящего самолёта, то система координат, связанная с телом отсчёта, будет состоять из трёх взаимно перпендикулярных координатных осей (OX, OY и OZ) (рис. 7).

Поскольку при движении тела его положение в пространстве, т.е. его координаты, изменяются с течением времени, то необходим прибор (часы), который позволяет измерять время и определить, какому моменту времени соответствует та или иная координата.

Таким образом, для определения положения тела в пространстве и изменения этого положения с течением времени необходимы тело отсчёта, связанная с ним система координат и способ измерения времени, т.е. часы, которые все вместе представляют собой систему отсчёта (рис. 7).

3. Изучить движение тела — это значит определить, как изменяется его положение, т.е. координата, с течением времени.

Если известно, как изменяется координата со временем, можно определить положение (координату) тела в любой момент времени.

Основная задача механики состоит в определении положения (координаты) тела в любой момент времени.

Чтобы указать, как изменяется положение тела с течением времени, нужно установить связь между величинами, характеризующими это движение, т.е. найти математическое описание движения или, иными словами, записать уравнение движения тела.

Раздел механики, изучающий способы описания движения тел, называют кинематикой.

4. Любое движущееся тело имеет определённые размеры, и его различные части занимают разные положения в пространстве. Возникает вопрос, как в таком случае определить положение тела в пространстве. В делом ряде случаев нет необходимости указывать положение каждой точки тела и для каждой точки записывать уравнение движения.

Так, поскольку при поступательном движении все точки тела движутся одинаково, то нет необходимости описывать движение каждой точки тела.

Движение каждой точки тела не нужно описывать и при решении таких задач, когда размерами тела можно пренебречь. Например, если нас интересует, с какой скоростью пловец проплывает свою дистанцию, то рассматривать движение каждой точки пловца нет необходимости. Если же необходимо определить действующую на мяч выталкивающую силу, то пренебречь размерами пловца уже нельзя. Если мы хотим вычислить время движения космического корабля от Земли до космической станции, то корабль можно считать единым целым и представить в виде некоторой точки. Если же рассчитывается режим стыковки корабля со станцией, то, представив корабль в виде точки, решить эту задачу невозможно.

Таким образом, для решения ряда задач, связанных с движением тел, вводят понятие материальной точки.

Материальной точкой называют тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

В приведённых выше примерах материальной точкой можно считать пловца при расчёте скорости его движения, космический корабль при определении времени его движения.

Материальная точка — это модель реальных объектов, реальных тел. Считая тело материальной точкой, мы отвлекаемся от несущественных для решения конкретной задачи признаков, в частности, от размеров тела.

5. При перемещении тело последовательно проходит точки пространства, соединив которые, можно получить линию. Эта линия, вдоль которой движется тело, называется траекторией. Траектория может быть видимой или невидимой. Видимую траекторию описывают трамвай при движении по рельсам, лыжник, скользя по лыжне, мел, которым пишут на доске. Траектория летящего самолёта в большинстве случаев невидима, невидимой является траектория ползущего насекомого.

Траектория движения тела относительна: её форма зависит от выбора системы отсчёта. Так, траекторией точек обода колеса велосипеда, движущегося по прямой дороге, относительно оси колеса является окружность, а относительно Земли — винтовая линия (рис. 8 а, б).

6. Одной из характеристик механического движения является путь, пройденный телом. Путём называют физическую величину, равную расстоянию, пройденному телом вдоль траектории.

Если известны траектория тела, его начальное положение и пройденный им путь за время ​( t )​, то можно найти положение тела в момент времени ​( t )​. (рис. 9)

Путь обозначают буквой ​( l )​ (иногда ​( s )​), основная единица пути 1 м: ( [,mathrm{l},] )= 1 м. Кратная единица пути — километр (1 км = 1000 м); дольные единицы — дециметр (1 дм = 0,1 м), сантиметр (1 см = 0,01 м) и миллиметр (1 мм = 0,001 м).

Путь — величина относительная, значение пути зависит от выбора системы отсчёта. Так, путь пассажира, переходящего из конца движущегося автобуса к его передней двери, равен длине автобуса в системе отсчёта, связанной с автобусом. В системе отсчёта, связанной с Землёй, он равен сумме длины автобуса и пути, который проехал автобус относительно Земли.

7. Если траектория движения тела неизвестна, то значение пути не позволит установить его положение в любой момент времени, поскольку направление движения тела не определено. В этом случае используют другую характеристику механического движения — перемещение.

Перемещение — вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением (рис. 10)

Перемещение — векторная физическая величина, имеет направление и числовое значение, обозначается ​( overrightarrow{s} )​. Единица перемещения ( [,mathrm{s},] ) = 1 м.

Зная начальное положение тела, его перемещение (направление и модуль) за некоторый промежуток времени, можно определить положение тела в конце этого промежутка времени.

Следует иметь в виду, что перемещение в общем случае не совпадает с траекторией, а модуль перемещения — с пройденным путём. Это совпадение имеет место лишь при движении тела по прямолинейной траектории в одну сторону. Например, если пловец проплыл 100-метровую дистанцию в бассейне, длина дорожки которого 50 м, то его путь равен 100 м, а модуль перемещения равен нулю.

Перемещение, так же как и путь, величина относительная, зависит от выбора системы отсчёта.

При решении задач пользуются проекциями вектора перемещения. На рисунке 10 изображены система координат и вектор перемещения в этой системе координат.

Координаты начала перемещения — ( x_0, y_0 ); координаты конца перемещения — ( x_1, y_1 ). Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна: ​( s_x=x_1-x_0 )​. Проекция вектора перемещения на ось OY равна: ( s_y=y_1-y_0 ).

Модуль вектора перемещения равен: ​( s=sqrt{s^2_x-s^2_y} )​.

Содержание

  • ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ
    • Часть 1
    • Часть 2
  • Ответы

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ

Часть 1

1. В состав системы отсчёта входят

1) только тело отсчёта
2) только тело отсчёта и система координат
3) только тело отсчёта и часы
4) тело отсчёта, система координат, часы

2. Относительной величиной является: А. Путь; Б. Перемещение. Правильный ответ

1) только А
2) только Б
3) и А, и Б
4) ни А, ни Б

3. Пассажир метро стоит на движущемся вверх эскалаторе. Он неподвижен относительно

1) пассажиров, стоящих на другом эскалаторе, движущемся вниз
2) других пассажиров, стоящих на этом же эскалаторе
3) пассажиров, шагающих вверх по этому же эскалатору
4) светильников на баллюстраде эскалатора

4. Относительно какого тела покоится автомобиль, движущийся по автостраде?

1) относительно другого автомобиля, движущегося с такой же скоростью в противоположную сторону
2) относительно другого автомобиля, движущегося с такой же скоростью в ту же сторону
3) относительно светофора
4) относительно идущего вдоль дороги пешехода

5. Два автомобиля движутся с одинаковой скоростью 20 м/с относительно Земли в одном направлении. Чему равна скорость одного автомобиля в системе отсчёта, связанной с другим автомобилем?

1) 0
2) 20 м/с
3) 40 м/с
4) -20 м/с

6. Два автомобиля движутся с одинаковой скоростью 15 м/с относительно Земли навстречу друг другу. Чему равна скорость одного автомобиля в системе отсчёта, связанной с другим автомобилем?

1) 0
2) 15 м/с
3) 30 м/с
4) -15 м/с

7. Какова относительно Земли траектория точки лопасти винта летящего вертолёта?

1) прямая
2) окружность
3) дуга
4) винтовая линия

8. Мяч падает с высоты 2 м и после удара о пол поднимается на высоту 1,3 м. Чему равны путь ​( l )​ и модуль перемещения ​( s )​ мяча за всё время движения?

1) ( l )= 3,3 м, ​( s )​ = 3,3 м
2) ( l ) = 3,3 м, ( s ) = 0,7 м
3) ( l )= 0,7 м, ( s ) = 0,7 м
4) ( l )= 0,7 м, ( s ) = 3,3 м

9. Решают две задачи. 1. Рассчитывают скорость движения поезда между двумя станциями. 2. Определяют силу трения, действующую на поезд. При решении какой задачи поезд можно считать материальной точкой?

1) только первой
2) только второй
3) и первой, и второй
4) ни первой, ни второй

10. Точка обода колеса при движении велосипеда описывает половину окружности радиуса ​( R )​. Чему равны при этом путь ​( l )​ и модуль перемещения ​( s )​ точки обода?

1)( l=2R ), ​( s=2R )
2)( l=pi R ),( s=2R )
3)( l=2R ),( s=pi R )
4) ( l=pi R ), ( s=pi R ).

11. Установите соответствие между элементами знаний в левом столбце и понятиями в правом столбце. В таблице под номером элемента знаний левого столбца запишите соответствующий номер выбранного вами понятия правого столбца.

ЭЛЕМЕНТ ЗНАНИЙ
A) физическая величина
Б) единица величины
B) измерительный прибор

ПОНЯТИЕ
1) траектория
2) путь
3) секундомер
4) километр
5) система отсчёта

12. Установите соответствие между величинами в левом столбце и характером величины в правом столбце. В таблице под номером элемента знаний левого столбца запишите соответствующий номер выбранного вами понятия правого столбца.

ВЕЛИЧИНА
A) путь
Б) перемещение
B) проекция перемещения

ХАРАКТЕР ВЕЛИЧИНЫ
1) скалярная
2) векторная

Часть 2

13. Автомобиль свернул на дорогу, составляющую угол 30° с главной дорогой, и совершил по ней перемещение, модуль которого равен 20 м. Определите проекцию перемещения автомобиля на главную дорогу и на дорогу, перпендикулярную главной дороге.

Ответы

Механическое движение. Траектория. Путь. Перемещение

2.8 (56.85%) 216 votes

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как не бояться найти другую работу
  • Как составить жалобу в росприроднадзор
  • Как найти груз для камаза
  • Как найти скорость движения спутника по орбите
  • Как найти программа ставки