Мы уже знакомы с понятием определителя матрицы. Также мы рассмотрели правила вычисления детерминантов (определителей) первого и второго порядка. Познакомимся с различными вариантами нахождения определителей третьего порядка.
Вычисление определителей по правилу треугольника
Схематически раскрытие определителя по этому правилу выглядит так:
Согласно рисункам №1 и №2 мы перемножаем элементы, соединенные прямыми. Произведения элементов будут иметь определенные знаки: для рисунка 1 — «+», для рисунка 2 — «-».
| Произведения, которые берутся со знаком «+» | Произведения, которые берутся со знаком «-» |
|---|---|
| a11⋅a22⋅a33a_{11} cdot a_{22} cdot a_{33} | a13⋅a22⋅a31a_{13}cdot a_{22}cdot a_{31} |
| a12⋅a23⋅a31a_{12} cdot a_{23} cdot a_{31} | a12⋅a33⋅a21a_{12}cdot a_{33}cdot a_{21} |
| a13⋅a32⋅a21a_{13} cdot a_{32} cdot a_{21} | a11⋅a23⋅a32a_{11}cdot a_{23}cdot a_{32} |
На рисунке 1 мы видим равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали; на рисунке 2 — равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными второй (побочной) диагонали. Поэтому данное правило имеет такое название.
Определитель может быть вычислен по формуле:
∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}=
=a11⋅a22⋅a33+a12⋅a23⋅a31+a13⋅a32⋅a21−a13⋅a22⋅a31−a12⋅a33⋅a21−a11⋅a23⋅a32=a_{11}cdot a_{22}cdot a_{33}+a_{12}cdot a_{23}cdot a_{31}+a_{13}cdot a_{32}cdot a_{21}-a_{13}cdot a_{22}cdot a_{31}-a_{12}cdot a_{33}cdot a_{21}-a_{11}cdot a_{23}cdot a_{32}.
Примеры
Рассмотрим примеры нахождения определителя по правилу треугольника.
Найти определитель ∣925148637∣begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix} по правилу треугольника.
По правилу треугольника определитель третьего порядка равен:
∣925148637∣=9⋅4⋅7+2⋅8⋅6+5⋅3⋅1−5⋅4⋅6−2⋅7⋅1−9⋅8⋅3=begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix}=9cdot4cdot7+2cdot8cdot6+5cdot3cdot1-5cdot4cdot6-2cdot7cdot1-9cdot8cdot3=
=252+96+15−120−14−216=13=252+96+15-120-14-216=13.
Найти определитель ∣21−46−3510−1∣begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix} по правилу треугольника.
Искомый определитель третьего порядка равен:
∣21−46−3510−1∣=begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix}=
=2⋅(−3)⋅(−1)+1⋅5⋅1+(−4)⋅0⋅6−(−4)⋅(−3)⋅1−1⋅(−1)⋅6−2⋅5⋅0=6+5−12+6=5=2cdot(-3)cdot(-1)+1cdot5cdot1+(-4)cdot0cdot6-(-4)cdot(-3)cdot1-1cdot(-1)cdot6-2cdot5cdot0=6+5-12+6=5.
При вычислении определителей таким способом можно легко совершить ошибку из-за невнимательности. Чтобы избежать таких ошибок существует второй способ, называемый правилом Саррюса, или способом «параллельных полосок».
Вычисление определителей по правилу Саррюса
Правило Саррюса также именуют способом присоединения двух строк/столбцов или правилом параллельных полосок.
Основная идея этого правила состоит в приписывании первого и второго столбца справа от определителя.
Вычисления будем производить по следующей схеме:
Перемножаем элементы, соединенные прямыми. Данные произведения берем со знаком «+», если диагональ, на которой они стоят, является главной или параллельной ей; со знаком «-», если она является второй (побочной) или параллельной ей.
| Произведения, которые берутся со знаком «+» | Произведения, которые берутся со знаком «-» |
|---|---|
| a11⋅a22⋅a33a_{11} cdot a_{22} cdot a_{33} | a13⋅a22⋅a31a_{13}cdot a_{22}cdot a_{31} |
| a12⋅a23⋅a31a_{12} cdot a_{23} cdot a_{31} | a11⋅a23⋅a32a_{11}cdot a_{23}cdot a_{32} |
| a13⋅a21⋅a32a_{13} cdot a_{21} cdot a_{32} | a12⋅a21⋅a33a_{12}cdot a_{21}cdot a_{33} |
В общем виде вычисление по правилу Саррюса можно записать следующим образом:
∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣a11a12a21a22a31a32=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}begin{matrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\a_{31}&a_{32}end{matrix}=
=a11⋅a22⋅a33+a12⋅a23⋅a31+a13⋅a21⋅a32−a13⋅a22⋅a31−a11⋅a23⋅a32−a12⋅a21⋅a33=a_{11}cdot a_{22}cdot a_{33}+a_{12}cdot a_{23}cdot a_{31}+a_{13}cdot a_{21}cdot a_{32}-a_{13}cdot a_{22}cdot a_{31}-a_{11}cdot a_{23}cdot a_{32}-a_{12}cdot a_{21}cdot a_{33}.
Сравнивая эти два способа вычисления определителей, видим одинаковые множители, которые во втором случае немного переставлены местами.
Возможность допустить ошибку, вычисляя определитель по правилу Саррюса, намного меньше.
Примеры
Найти определитель ∣925148637∣begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix} по правилу Саррюса.
Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:
∣925148637∣921463=begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix}begin{matrix}9&2\1&4\6&3end{matrix}=
=9⋅4⋅7+2⋅8⋅6+5⋅1⋅3−5⋅4⋅6−9⋅8⋅3−2⋅1⋅7=252+96+15−120−216−14=13=9cdot4cdot7+2cdot8cdot6+5cdot1cdot3-5cdot4cdot6-9cdot8cdot3-2cdot1cdot7=252+96+15-120-216-14=13.
Найти определитель ∣21−46−3510−1∣begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix} по правилу Саррюса.
Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:
∣21−46−3510−1∣216−310=begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix}begin{matrix}2&1\6&-3\1&0end{matrix}=
=2⋅(−3)⋅(−1)+1⋅5⋅1+(−4)⋅6⋅0−(−4)⋅(−3)⋅1−2⋅5⋅0−1⋅6⋅(−1)=6+5−12+6=5=2cdot(-3)cdot(-1)+1cdot5cdot1+(-4)cdot6cdot0-(-4)cdot(-3)cdot1-2cdot5cdot0-1cdot6cdot(-1)=6+5-12+6=5.
Существует еще одна вариация правила Саррюса. Она состоит в приписывании первой и второй строки снизу от определителя. Вычисления производятся аналогично.
Минор и алгебраическое дополнение
Прежде чем перейти к рассмотрению еще одного способа вычисления определителей 3-го порядка разберем 2 понятия: минор, алгебраическое дополнение.
Минор
Минором MijM_{ij} к элементу aija_{ij} определителя n-го порядка называется определитель (n−1)(n-1)-го порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием ii-той строки и jj-того столбца.
Таким образом, минор — это определитель, который остается после вычеркивания определенной строки и определенного столбца. Например, M11M_{11} получается вычеркиванием 1-й строки и 1-го столбца, M23M_{23} — вычеркиванием 2-й строки и 3-го столбца.
Алгоритм нахождения миноров:
- вычеркиваем ii-ю строку;
- вычеркиваем jj-й столбец;
- записываем определитель, который получили в результате действий 1 и 2.
Примеры
Найти миноры матрицы F=(925148637)F=begin{pmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{pmatrix}.
Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, обозначим зеленым цветом.
M11=∣925148637∣=∣4837∣=4⋅7−3⋅8=28−24=4M_{11}=begin{vmatrix}color{green}9&color{green}2&color{green}5\color{green}1&4&8\color{green}6&3&7end{vmatrix}=begin{vmatrix}4&8\3&7end{vmatrix}=4cdot7-3cdot8=28-24=4,
M12=∣925148637∣=∣1867∣=1⋅7−6⋅8=7−48=−41M_{12}=begin{vmatrix}color{green}9&color{green}2&color{green}5\1&color{green}4&8\6&color{green}3&7end{vmatrix}=begin{vmatrix}1&8\6&7end{vmatrix}=1cdot7-6cdot8=7-48=-41,
M13=∣925148637∣=∣1463∣=1⋅3−6⋅4=3−24=−21M_{13}=begin{vmatrix}color{green}9&color{green}2&color{green}5\1&4&color{green}8\6&3&color{green}7end{vmatrix}=begin{vmatrix}1&4\6&3end{vmatrix}=1cdot3-6cdot4=3-24=-21,
M21=∣925148637∣=∣2537∣=2⋅7−3⋅5=14−15=−1M_{21}=begin{vmatrix}color{green}9&2&5\color{green}1&color{green}4&color{green}8\color{green}6&3&7end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&5\3&7end{vmatrix}=2cdot7-3cdot5=14-15=-1,
M22=∣925148637∣=∣9567∣=9⋅7−6⋅5=63−30=33M_{22}=begin{vmatrix}9&color{green}2&5\color{green}1&color{green}4&color{green}8\6&color{green}3&7end{vmatrix}=begin{vmatrix}9&5\6&7end{vmatrix}=9cdot7-6cdot5=63-30=33,
M23=∣925148637∣=∣9263∣=9⋅3−6⋅2=27−12=15M_{23}=begin{vmatrix}9&2&color{green}5\color{green}1&color{green}4&color{green}8\6&3&color{green}7end{vmatrix}=begin{vmatrix}9&2\6&3end{vmatrix}=9cdot3-6cdot2=27-12=15,
M31=∣925148637∣=∣2548∣=2⋅8−4⋅5=16−20=−4M_{31}=begin{vmatrix}color{green}9&2&5\color{green}1&4&8\color{green}6&color{green}3&color{green}7end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&5\4&8end{vmatrix}=2cdot8-4cdot5=16-20=-4,
M32=∣925148637∣=∣9518∣=9⋅8−1⋅5=72−5=67M_{32}=begin{vmatrix}9&color{green}2&5\1&color{green}4&8\color{green}6&color{green}3&color{green}7end{vmatrix}=begin{vmatrix}9&5\1&8end{vmatrix}=9cdot8-1cdot5=72-5=67,
M33=∣925148637∣=∣9214∣=9⋅4−1⋅2=36−2=34M_{33}=begin{vmatrix}9&2&color{green}5\1&4&color{green}8\color{green}6&color{green}3&color{green}7end{vmatrix}=begin{vmatrix}9&2\1&4end{vmatrix}=9cdot4-1cdot2=36-2=34.
Найти миноры матрицы G=(21−46−3510−1)G=begin{pmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{pmatrix}.
Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, обозначим зеленым цветом.
M11=∣21−46−3510−1∣=∣−350−1∣=(−3)⋅(−1)−0⋅5=3−0=3M_{11}=begin{vmatrix}color{green}2&color{green}1&color{green}-4\color{green}6&-3&5\color{green}1&0&-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}-3&5\0&-1end{vmatrix}=(-3)cdot(-1)-0cdot5=3-0=3,
M12=∣21−46−3510−1∣=∣651−1∣=6⋅(−1)−1⋅5=−6−5=−11M_{12}=begin{vmatrix}color{green}2&color{green}1&color{green}-4\6&color{green}-3&5\1&color{green}0&-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}6&5\1&-1end{vmatrix}=6cdot(-1)-1cdot5=-6-5=-11,
M13=∣21−46−3510−1∣=∣6−310∣=6⋅0−1⋅(−3)=0+3=3M_{13}=begin{vmatrix}color{green}2&color{green}1&color{green}-4\6&-3&color{green}5\1&0&color{green}-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}6&-3\1&0end{vmatrix}=6cdot0-1cdot(-3)=0+3=3,
M21=∣21−46−3510−1∣=∣1−40−1∣=1⋅(−1)−0⋅(−4)=−1−0=−1M_{21}=begin{vmatrix}color{green}2&1&-4\color{green}6&color{green}-3&color{green}5\color{green}1&0&-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}1&-4\0&-1end{vmatrix}=1cdot(-1)-0cdot(-4)=-1-0=-1,
M22=∣21−46−3510−1∣=∣2−41−1∣=2⋅(−1)−1⋅(−4)=−2+4=2M_{22}=begin{vmatrix}2&color{green}1&-4\color{green}6&color{green}-3&color{green}5\1&color{green}0&-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&-4\1&-1end{vmatrix}=2cdot(-1)-1cdot(-4)=-2+4=2,
M23=∣21−46−3510−1∣=∣2110∣=2⋅0−1⋅1=0−1=−1M_{23}=begin{vmatrix}2&1&color{green}-4\color{green}6&color{green}-3&color{green}5\1&0&color{green}-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&1\1&0end{vmatrix}=2cdot0-1cdot1=0-1=-1,
M31=∣21−46−3510−1∣=∣1−4−35∣=1⋅5−(−3)⋅(−4)=5−12=−7M_{31}=begin{vmatrix}color{green}2&1&-4\color{green}6&-3&5\color{green}1&color{green}0&color{green}-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}
1&-4\-3&5end{vmatrix}=1cdot5-(-3)cdot(-4)=5-12=-7,
M32=∣21−46−3510−1∣=∣2−465∣=2⋅5−6⋅(−4)=10+24=34M_{32}=begin{vmatrix}2&color{green}1&-4\6&color{green}-3&5\color{green}1&color{green}0&color{green}-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&-4\6&5end{vmatrix}=2cdot5-6cdot(-4)=10+24=34,
M33=∣21−46−3510−1∣=∣216−3∣=2⋅(−3)−6⋅1=−6−6=−12M_{33}=begin{vmatrix}2&1&color{green}-4\6&-3&color{green}5\color{green}1&color{green}0&color{green}-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&1\6&-3end{vmatrix}=2cdot(-3)-6cdot1=-6-6=-12.
Алгебраическое дополнение
Алгебраическим дополнением AijA_{ij} к элементу aija_{ij} определителя nn-го порядка называется число Aij=(−1)i+j⋅MijA_{ij}=(-1)^{i+j}cdot M_{ij},
где ii, jj — соответствующие строка и столбец,
MijM_{ij} — минор к элементу aija_{ij}.
Алгоритм нахождения алгебраических дополнений:
- найти сумму номеров строки (i)(i) и столбца (j)(j);
- найти минор MijM_{ij} по алгоритму нахождения миноров, который представлен выше;
- подставить значения, полученные на шагах 1 и 2, в формулу Aij=(−1)i+j⋅MijA_{ij}=(-1)^{i+j}cdot M_{ij}.
Примеры
Найти алгебраические дополнения матрицы F=(925148637)F=begin{pmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{pmatrix}.
A11=(−1)1+1⋅M11=(−1)2⋅∣4837∣=4A_{11}=(-1)^{1+1}cdot M_{11}= (-1)^{2}cdotbegin{vmatrix}4&8\3&7end{vmatrix}=4,
A12=(−1)1+2⋅M12=(−1)3⋅∣1867∣=41A_{12}=(-1)^{1+2}cdot M_{12}= (-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}1&8\6&7end{vmatrix}=41,
A13=(−1)1+3⋅M13=(−1)4⋅∣1463∣=−21A_{13}=(-1)^{1+3}cdot M_{13}= (-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}1&4\6&3end{vmatrix}=-21,
A21=(−1)2+1⋅M21=(−1)3⋅∣2537∣=1A_{21}=(-1)^{2+1}cdot M_{21}= (-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}2&5\3&7end{vmatrix}=1,
A22=(−1)2+2⋅M22=(−1)4⋅∣9567∣=33A_{22}=(-1)^{2+2}cdot M_{22}= (-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}9&5\6&7end{vmatrix}=33,
A23=(−1)2+3⋅M23=(−1)5⋅∣9263∣=−15A_{23}=(-1)^{2+3}cdot M_{23}= (-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}9&2\6&3end{vmatrix}=-15,
A31=(−1)3+1⋅M31=(−1)4⋅∣2548∣=−4A_{31}=(-1)^{3+1}cdot M_{31}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}2&5\4&8end{vmatrix}=-4,
A32=(−1)3+2⋅M32=(−1)5⋅∣9518∣=−67A_{32}=(-1)^{3+2}cdot M_{32}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}9&5\1&8end{vmatrix}=-67,
A33=(−1)3+3⋅M33=(−1)6⋅∣9214∣=34A_{33}=(-1)^{3+3}cdot M_{33}=(-1)^{6}cdotbegin{vmatrix}9&2\1&4end{vmatrix}=34.
Найти алгебраические дополнения матрицы G=(21−46−3510−1)G=begin{pmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{pmatrix}.
A11=(−1)1+1⋅M11=(−1)2⋅∣−350−1∣=3A_{11}=(-1)^{1+1}cdot M_{11}=(-1)^{2}cdotbegin{vmatrix}-3&5\0&-1end{vmatrix}=3,
A12=(−1)1+2⋅M12=(−1)3⋅∣651−1∣=11A_{12}=(-1)^{1+2}cdot M_{12}=(-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}6&5\1&-1end{vmatrix}=11,
A13=(−1)1+3⋅M13=(−1)4⋅∣6−310∣=3A_{13}=(-1)^{1+3}cdot M_{13}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}6&-3\1&0end{vmatrix}=3,
A21=(−1)2+1⋅M21=(−1)3⋅∣1−40−1∣=1A_{21}=(-1)^{2+1}cdot M_{21}=(-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}1&-4\0&-1end{vmatrix}=1,
A22=(−1)2+2⋅M22=(−1)4⋅∣2−41−1∣=2A_{22}=(-1)^{2+2}cdot M_{22}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}2&-4\1&-1end{vmatrix}=2,
A23=(−1)2+3⋅M23=(−1)5⋅∣2110∣=1A_{23}=(-1)^{2+3}cdot M_{23}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}2&1\1&0end{vmatrix}=1,
A31=(−1)3+1⋅M31=(−1)4⋅∣1−4−35∣=−7A_{31}=(-1)^{3+1}cdot M_{31}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}1&-4\-3&5end{vmatrix}=-7,
A32=(−1)3+2⋅M32=(−1)5⋅∣2−465∣=−34A_{32}=(-1)^{3+2}cdot M_{32}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}2&-4\6&5end{vmatrix}=-34,
A33=(−1)3+3⋅M33=(−1)6⋅∣216−3∣=−12A_{33}=(-1)^{3+3}cdot M_{33}=(-1)^{6}cdotbegin{vmatrix}2&1\6&-3end{vmatrix}=-12.
Зная, что такое миноры и алгебраические дополнения, рассмотрим вычисление определителя по строке и столбцу.
Вычисление определителя по строке или столбцу
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Алгоритм вычисления определителя по строке или столбцу:
- находим алгебраические дополнения элементов строки или столбца;
- находим произведения элементов на их алгебраические дополнения;
- находим сумму, полученных на шаге 2, произведений.
Примеры
Найти определитель ∣925148637∣begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix} по 2 столбцу.
∣925148637∣=2⋅A12+4⋅A22+3⋅begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix}=2cdot A_{12}+4cdot A_{22}+3cdot
A32=2(−1)3M12+4(−1)4M22+3(−1)5M32=2(−1)3∣1867∣+4(−1)4∣9567∣+3(−1)5∣9518∣=A_{32}=2(-1)^{3}M_{12}+4(-1)^{4}M_{22}+3(-1)^{5}M_{32}=2(-1)^{3}begin{vmatrix}1&8\6&7end{vmatrix}+4(-1)^{4}begin{vmatrix}9&5\6&7end{vmatrix}+3(-1)^{5}begin{vmatrix}9&5\1&8end{vmatrix}=
=−2⋅(−41)+4⋅33−3⋅67=82+132−201=13=-2cdot(-41)+4cdot33-3cdot67=82+132-201=13.
Найти определитель ∣21−46−3510−1∣begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix} по 3 строке.
∣21−46−3510−1∣=1⋅A31+0⋅A32−1⋅A33=1(−1)4M31+0(−1)5M32−1(−1)6M33=begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix}=1cdot A_{31}+0cdot A_{32}-1cdot A_{33}=1(-1)^{4}M_{31}+0(-1)^{5}M_{32}-1(-1)^{6}M_{33}=
=1(−1)4∣1−4−35∣+0(−1)5∣2−465∣−1(−1)6∣216−3∣=−7+0+12=5=1(-1)^{4}begin{vmatrix}1&-4\-3&5end{vmatrix}+0(-1)^{5}begin{vmatrix}2&-4\6&5end{vmatrix}-1(-1)^{6}begin{vmatrix}2&1\6&-3end{vmatrix}=-7+0+12=5.
Любой из рассмотренных способов можно применять при нахождении определителей третьего порядка. В следующий раз мы разберем вычисление определителей матриц высших порядков.
Оформите решение задачи на заказ онлайн, если возникают трудности с выполнением!
Тест по теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка»
Щебетун Виктор
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Существует несколько способов нахождения определителей матриц третьего порядка. Рассмотрим их подробнее.
Перечислим основные способы, используемые для этого:
- Правило Саррюса;
- Правило треугольников;
- Использование специальной формулы для вычисления;
- Использование метода Гаусса или иначе метода перестановок.
Правило Саррюса
Правило Саррюса для вычисления матриц 3-ьего порядка применяется просто: достаточно соответственно рисунку переписать 2 первых столбика справа рядом с матричной таблицей, а затем записать произведения, стоящие по диагоналям со знаками.
Замечание 1
Если диагональ идёт сверху слева вниз направо — то произведение записывается со знаком «+», а если диагональ идёт из правого верхнего угла в нижний левый — то со знаком «-».
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Рисунок 1. Формула третьего порядка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пример 1
Дана матричная таблица $A$. Вычислите детерминант с помощью правила Саррюса.
$A = begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \ 1 & 4 & 2 \ 2 & 5 & 3 \ end{pmatrix}$
Решение:
Рисунок 2. Вычисление определителя 3 порядка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
$Δ = 0 cdot 4 cdot 3 + 3 cdot 2 cdot 2 – 1 cdot 1 cdot 5 – 3 cdot 1 cdot 3 – 0 cdot 2 cdot 5 + 1 cdot 4 cdot 2 = 0 + 12 – 5 — 9 – 0 + 8 = 6$
Правило треугольников
Это правило немного похоже на предыдущее. Суть его в том, что произведения элементов с главной диагонали и двух треугольников, задействующих все остальные элементы как показано на рисунке, записываются со знаком плюс, а произведения элементов с побочной диагонали и двух синих треугольников — с противоположным.
«Найти определитель матрицы третьего порядка» 👇
Рисунок 3. Треугольники. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пример 2
Найдите определитель из прошлого задания, используя метод треугольников.
Решение:
Рисунок 4. Наглядный пример как пользоваться. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
$Δ= 0 cdot 4 3 + 3 cdot 2 cdot 2 – 1 cdot 5 cdot 1 + 1 cdot 4 cdot 2 – 1 cdot 3 cdot 3 – 2 cdot 5 cdot 0 = 0 + 12 – 5 + 8 – 9 – 0 = 6$
Использование формулы разложения по строчке
$A = begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \ end{pmatrix}$
Для матрицы 3 на 3, приведённой выше, определитель можно сосчитать по формуле:
$Δ =begin{array}{|ccc|} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \ end{array}=a_{11} cdot begin{array}{|cc|} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} \ end{array} – a_{12} cdot begin{array}{|cc|} a_{11} & a_{13} \ a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} \ end{array} + a_{13} cdot begin{array}{|cc|} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} \ end{array}= a_{11} cdot a_{22} cdot a_{33} – a_{12} cdot a_{23} cdot a_{31} + a_{13} cdot a_{21} cdot a_{32} — a_{13} cdot a_{22} cdot a_{31}$.
Пример 3
Разложите определитель матрицы из предыдущих примеров по 1-ой строчке и найдите его.
Решение:
$Δ = 0 cdot begin{array}{|cc|} 4 & 2 \ 5 & 3 \ end{array} – 3 cdot begin{array} {|cc|} 1 & 2 \ 2 & 3 \ end{array} + (-1) cdot begin{array}{|cc|} 1 & 4 \ 2 & 5 \ end{array} = 0 – 3 cdot (1 cdot 3 – 2 cdot 2) + (-1) cdot (5 – 
= 0 – 3 cdot(-1) + (-1) cdot (-3) = 3 + 3 = 6$
Метод Гаусса
Чтобы вычислить детерминант этим методом, нужно используя разрешённые преобразования получить треугольную матрицу.
Разрешёнными преобразованиями являются сложение и вычитание строчек и столбцов, в то время как при перестановке строчек и столбцов между собой необходимо помнить о смене знака определителя в конце.
После этого нужно перемножить элементы, стоящие на главной диагонали, их произведение и будет определителем.
Пример 4
Примените метод Гаусса для получения детерминанта матрицы из предыдущих примеров.
Решение:
$A = begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \ 1 & 4 & 2 \ 2 & 5 & 3 \ end{pmatrix}$
Переставим первую строчку со второй, при этом запомним, что знак детерминанта в конце поменяется:
$begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \ 0 & 3 & -1 \ 2 & 5 & 3 \ end{pmatrix}$;
Вычтем из третьей строчки 1-ую, умноженную на 2:
$begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \ 0 & 3 & -1 \ 0 & -3 & -1 \ end{pmatrix}$;
Сложим между собой третью строчку со второй:
$begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \ 0 & 3 & -1 \ 0 & 0 & -2 \ end{pmatrix}$;
Получили искомый вид матрицы. Теперь можно сосчитать определитель, минус появляется из-за перемены строчек местами:
$Δ=-begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \ 0 & 3 & -1 \ 0 & 0 & -2 \ end{pmatrix}= -(1 cdot 3 cdot ( — 2) ) = 6 $
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Числа, подобно единицам, также разделяются на порядки. Так, первые десять чисел называют числами первого порядка. Числа от десяти до ста называют числами второго порядка, от ста до тысячи — числами третьего порядка и т. д.
Названия чисел. При помощи указанных единиц различного порядка мы получаем названия всех остальных чисел. Так, числа, состоящие из одной, двух, трех … единиц второго порядка, или, что то же, одного, двух, трех … десятков, мы называем десять, двадцать (два десять), тридцать, сорок, пятьдесят, шестьдесят, семьдесят, восемьдесят, девяносто. Присоединяя к этим числам девять чисел первого порядка, мы получаем все числа второго порядка. Так, присоединяя к числу десять все числа первого порядка, мы получаем все числа между десятью и двадцатью: одиннадцать, двенадцать (два на десять), тринадцать, четырнадцать, пятнадцать, шестнадцать, семнадцать, восемнадцать, девятнадцать. Присоединяя к двадцати девять чисел первого порядка, получим все числа между двадцатью и тридцатью: двадцать один, двадцать два и т. д. Наибольшее число второго порядка есть девяносто девять.
Десять десятков образуют сотню или сто, единицу третьего порядка. Числа, состоящие из одной или нескольких единиц третьего порядка, мы называем: сто, двести, триста, четыреста, пятьсот, шестьсот, семьсот, восемьсот, девятьсот.
Присоединяя к этим числам все числа первого и второго порядка, мы получаем все числа третьего порядка, например, восемьсот сорок пять, девятьсот четыре. Наибольшее число третьего порядка есть девятьсот девяносто девять.
Десять сот образуют тысячу — единицу четвертого порядка. Повторяя тысячу один, два и т. д. раз, образуем числа: тысяча, две тысячи, три тысячи и т. д. Присоединяя к этим числам все числа первого, второго и третьего порядков, образуем все числа четвертого порядка и т. д.
Десятичная система. Систему счисления, в которой каждые десять единиц низшего образуют единицу следующего высшего порядка, называют десятичною. Она принята в настоящее время всеми образованными народами.
Основание системы. Число десять называется основанием системы. В основе ее лежит число десять.
Полагают, что число десять принято за основание потому, что первоначально люди считают обыкновенно по пальцам.
Пример. Шесть миллионов пятьсот семь тысяч двести семь есть число седьмого порядка. Оно состоит из шести единиц седьмого прядка (шесть миллионов), к которому присоединено число шестого порядка (пятьсот семь тысяч двести семь).
Число шестого порядка состоит из пяти единиц шестого порядка (пятьсот тысяч), к которому присоединено число четвертого порядка (семь тысяч двести семь).
Число четвертого порядка состоит из семи единиц четвертого порядка (семь тысяч), к которому присоединено число третьего порядка (двести семь).
Число третьего порядка состоит из двух единиц третьего порядка (двести), к которому присоединяется число первого порядка (семь).
Число семь состоит из семи простых единиц.
Всякое число содержится между двумя единицами различных порядков. Всякое число более единицы одного порядка и менее единицы следующего высшего порядка. Так, число триста сорок семь более ста и менее тысячи.
Содержание:
- Вычисления определителей второго порядка
- Методы вычисления определителей третьего порядка
- Приведение определителя к треугольному виду
- Правило треугольника
- Правило Саррюса
- Разложение определителя по строке или столбцу
- Разложение определителя по элементам строки или столбца
- Теорема Лапласа
В общем случае правило вычисления определителей
$n$-го порядка
является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.
Вычисления определителей второго порядка
Чтобы вычислить определитель матрицы 
второго порядка, надо от произведения
элементов главной диагонали отнять произведение
элементов побочной диагонали:
$$left| begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \ {a_{21}} & {a_{22}}end{array}right|=a_{11} cdot a_{22}-a_{12} cdot a_{21}$$
Пример
Задание. Вычислить определитель второго порядка
$left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|$
Решение. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=11 cdot 5-(-2) cdot 7=55+14=69$
Ответ. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=69$
Методы вычисления определителей третьего порядка
Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.
Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми,
берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.
$$left| begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}end{array}right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$
$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|$ методом треугольников.
Решение. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=3 cdot 1 cdot(-2)+4 cdot(-2) cdot(-1)+$
$$+3 cdot 3 cdot 1-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot(-2) cdot 3-4 cdot 3 cdot(-2)=54$$
Ответ. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=54$
Правило Саррюса
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей
параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных,
со знаком «минус»:
$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$
Пример
Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|$ с помощью правила Саррюса.
Решение. 
$$+(-1) cdot 4 cdot(-2)-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot 3 cdot(-2)-3 cdot 4 cdot(-2)=54$$
Ответ. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=54$
Разложение определителя по строке или столбцу
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их
алгебраические дополнения. Обычно выбирают
ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.
Пример
Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|$
Решение. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right| leftarrow=a_{11} cdot A_{11}+a_{12} cdot A_{12}+a_{13} cdot A_{13}=$
$1 cdot(-1)^{1+1} cdot left| begin{array}{cc}{5} & {6} \ {8} & {9}end{array}right|+2 cdot(-1)^{1+2} cdot left| begin{array}{cc}{4} & {6} \ {7} & {9}end{array}right|+3 cdot(-1)^{1+3} cdot left| begin{array}{cc}{4} & {5} \ {7} & {8}end{array}right|=-3+12-9=0$
Ответ. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=0$
Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.
Пример
Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|$
Решение. Выполним следующие
преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре
первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель,
равный данному.
$$left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {4-4 cdot 1} & {5-4 cdot 2} & {6-4 cdot 3} \ {7-7 cdot 1} & {8-7 cdot 2} & {9-7 cdot 3}end{array}right|=$$
$$=left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {-6} & {-12}end{array}right|=left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {2 cdot(-3)} & {2 cdot(-6)}end{array}right|=0$$
Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.
Ответ. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=0$
Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение
к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.
Разложение определителя по элементам строки или столбца
Пример
Задание. Вычислить определитель
$left| begin{array}{llll}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.
Решение. Предварительно выполним
элементарные преобразования над строками определителя, сделав
как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих,
от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:
$$left| begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|=left| begin{array}{cccc}{9-1} & {8-0} & {7-9} & {6-18} \ {5-5} & {4-0} & {3-5} & {2-10} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|=left| begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \ {0} & {4} & {-2} & {-8} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|$$
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:
$$left| begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \ {0} & {4} & {-2} & {-8} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|=0+0+1 cdot(-1)^{3+1} cdot left| begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \ {4} & {-2} & {-8} \ {4} & {2} & {0}end{array}right|+0$$
Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули,
например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:
$$left| begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \ {4} & {-2} & {-8} \ {4} & {2} & {0}end{array}right|=left| begin{array}{rrr}{0} & {2} & {4} \ {4} & {-2} & {-8} \ {0} & {4} & {8}end{array}right|=4 cdot(-1)^{2+2} cdot left| begin{array}{ll}{2} & {4} \ {4} & {8}end{array}right|=$$
$$=4 cdot(2 cdot 8-4 cdot 4)=0$$
Ответ. $left| begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|=0$
Замечание
Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять,
а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.
Приведение определителя к треугольному виду
С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его
значение, согласно свойствам определителя, равно произведению
элементов стоящих на главной диагонали.
Пример
Задание. Вычислить определитель
$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|$ приведением его к треугольному виду.
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования
будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет
равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя,
приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {2} & {-5} & {3} & {0} \ {-1} & {4} & {2} & {-3}end{array}right|$$
Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_{11}$ ,
для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:
$$Delta=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$$
Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если
диагональный элемент будет равен $pm 1$ , то
вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на
противоположный знак определителя):
$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$$
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом:
к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:
$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {-10} & {-10} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|$$
Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под
главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:
$$Delta=-10 left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|=$$
$$=-10 cdot left| begin{array}{cccc}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {-8}end{array}right|=(-10) cdot 1 cdot(-1) cdot 1 cdot(-8)=-80$$
Ответ. $Delta=-80$
Теорема Лапласа
Теорема
Пусть $Delta$ — определитель
$n$-го порядка. Выберем в нем произвольные
$k$ строк (или столбцов), причем
$k leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех
миноров
$k$-го порядка, которые содержатся в выбранных
$k$ строках (столбцах), на их
алгебраические дополнения равна определителю.
Пример
Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель
$left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|$
Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки —
вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):
$$left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|=left| begin{array}{cc}{1} & {-1} \ {4} & {-5}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+2+4} cdot left| begin{array}{ccc}{2} & {0} & {5} \ {3} & {1} & {1} \ {1} & {2} & {1}end{array}right|+$$
$$+left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {4} & {0}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+2+5} cdot left| begin{array}{rrr}{2} & {0} & {4} \ {3} & {1} & {0} \ {1} & {2} & {-2}end{array}right|+left| begin{array}{cc}{-1} & {2} \ {-5} & {0}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+5} cdot left| begin{array}{ccc}{2} & {3} & {0} \ {3} & {2} & {1} \ {1} & {1} & {2}end{array}right|=$$
$$=-23+128+90=195$$
Ответ. $left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|=195$
Читать дальше: обратная матрица.
Стандартная, она же научная форма записи числа. Порядок величины. Разница на порядок. Зачем это придумали.
Пример 1: Число 7984 в стандартной форме записывается как 7,984*10 3 , где 7,984 — мантисса а 10 3 — порядок.
Пример 2 : Величины 890 и 45932, записанные в стандартной форме выглядят как: 8,9*10 2 и 4,5932*10 4 и отличаются на 2 порядка = имеют разницу в 2 порядка. Числа 7,5 и 75 различаются на порядок ( на 1 порядок) = имеют разницу в 1 порядок, что бы там в телевизоре не думали. И так далее.
Очевидно, что при сложении и вычитании чисел записанных в стандартной форме и имеющих один порядок, достаточно сложить или вычесть мантиссы.
Пример 3: 7,2*10 34 + 1,2*10 34 = (7,2+ 1,2)*10 34 =8,4*10 34
Единственный способ корректно сложить или вычесть числа разных порядков — это выразить одно из них в нестандартной форме:
Пример 4: 9,9*10 13 + 9,9*10 12 =9,9*10 13 + 0,99*10 13 = (9,9+ 0,99)*10 13 =10,89*10 13 =1,089*10 14
Очень удобно проводить операции умножения и деления с числами, записанными в стандартной форме, пользуясь правилами действий со степенями:
Пример 5: 4,0*10 3 x 2,25*10 2 =(4,0×2,25)x(10 3+2 )= 9,0*10 5
Пример 6: 5,0*10 6 /2,5*10 3 =(5,0/2,5)x(10 6-3 )= 2,0*10 3
И теперь, если уж Вы дочитали до этого места, самое главное — зачем это придумано: попробуйте сравнить на глаз числа 970984567234109879 и 1211121111211121112125? Впечатляет? А попробуйте их же в стандартном виде: 9,70984567234109879*10 17 и 1,211121111211121112125*10 21 . Понятно, что первое на 4 порядка меньше? Понятно, что величина первого по отношению ко второму ниже, чем точность большинства расчетных моделей? Понятно, что в большинстве практических случаев первую величину вообще не следует брать в расчет, если вклад величин в процесс пропорционален? Понятно, что изменение второй величины на 10% значительно превосходит изменение первой в 3 раза? и т.д. Просто, оказывается, инженеры их жены и дети так устроены, что с этими числами очень удобно работать.
Числовая последовательность
Например, правило «все положительные четные числа по возрастанию начиная с двойки» задает последовательность: (2; 4; 6; 8; 10. ) А правило «первое число равно (3), а каждое следующее число в два раза больше предыдущего» формирует последовательность: (3; 6; 12; 24; 48. )
Ниже разобраны несколько разных способов задания числовых последовательностей.
Числа, образующие последовательность, называются ее членами (или элементами). И каждое из этих чисел имеет свой порядковый номер.
Например, в последовательности (3; 6; 12; 24; 48…) тройка является первым членом (порядковый номер – один), шестерка – вторым (ее номер по порядку равен двум), двенадцать – третьим и т.д.
В математике последовательность обозначают маленькой латинской буквой, а каждый отдельный ее элемент – той же буквой с числовым индексом равным порядковому номеру этого элемента.
То есть, если последовательность (3; 6; 12; 24; 48…) обозначить как (a_n), то можно записать, что (a_1=3), (a_2=6), (a_3=12), (a_4=24) и так далее.
порядковый номер элемента
Отметим, что членами последовательности необязательно должны быть различные числа. Она может состоять из одних и тех же чисел, например, выглядеть вот так: (1; : 1; : 1; : 1…) .
Способы задания числовых последовательностей
Все способы формирования числовых последовательностей можно разделить на три большие группы:
— I способ: словесный. Здесь все просто – в буквальном смысле словами описывается каким образом можно вычислить элементы искомой последовательности.
Пример: Напишите первые пять членов последовательности квадратов натуральных чисел .
Решение: Натуральными называют числа, возникающие естественным образом при счете количества предметов, то есть: (1; : 2; : 3; : 4; : 5) и т.д. Нашу же последовательность формируют квадраты этих чисел, то есть (1^2;: 2^2; : 3^2; : 4^2; : 5^2…) . Таким образом, имеем ответ: (1; : 4; : 9; : 16; : 25…)
Ответ: (1; : 4; : 9; : 16; : 25…)
Отметим, что последовательности в начале статьи заданы именно словесным способом.
— II способ: аналитический (формулой энного члена). Тут значение каждого элемента последовательности вычисляется по некоторой формуле, в которую подставляется порядковый номер этого элемента.
Пример: Последовательность задана формулой: (b_n=frac). Вычислите первые пять членов этой последовательности.
Решение: Вычислим (b_1). Это первый член последовательности, то есть его порядковый номер (n) равен единице. Тогда его значение равно (b_1=frac =frac=0).
У второго члена (n=2), то есть его значение равно (b_2=frac =frac).
Третий ((n=3)): (b_3=frac =frac).
Четвертый ((n=4)): (b_4=frac =frac).
Пятый ((n=5)): (b_5=frac =frac) .
Готово. Можно писать ответ.
Обратите внимание, что при таком задании последовательности, значение каждого элемента зависит только от его порядкового номера. И поэтому, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, мы можем это сделать сразу, не вычисляя предыдущие четырнадцать.
Пример: Последовательность задана формулой: (a_n=8+5n-n^2). Вычислите (a_9).
Решение: Нужно вычислить значение девятого элемента, то есть порядковый номер (n=9). Подставляем в формулу: (a_9=8+5·9-9^2=8+45-81=-28).
III способ: рекуррентное соотношение. Звучит страшно, но суть проста – здесь дается начало последовательности (один или несколько первых элементов) и правило, по которому из предыдущего (или нескольких предыдущих) членов последовательности можно вычислить следующий.
Пример: Последовательность задана условиями: (c_1=4), (c_=c_n+3). Вычислите первые пять членов этой последовательности.
Решение: Первый член нам известен: (c_1=4).
Второй мы получим, подставив в формулу вместо (n) единицу: (c_=c_1+3)
(c_2=c_1+3=4+3=7)
Третий ((n=2)): (c_=c_2+3 )
(c_3=c_2+3=7+3=10).
Нужные пять элементов вычислены. Теперь можно записывать ответ.
В этом примере мы по сути получали следующий элемент из предыдущего путем прибавления к предыдущему тройки. Логично, ведь формула (c_=c_n+3) требовала именно этого. В ней (c_n) – это предыдущий элемент, а (c_) – следующий за ним (ведь его номер на единицу больше).
На практике могут встречаться более сложные формулы, в которых следующий элемент вычисляется из двух, трех или даже большего количества предыдущих.
Пример: У последовательности известны первые два элемента (z_1=2;) (z_2=5). Так же известна формула следующего элемента (z_=3z_-z_n). Вычислите значения третьего, четвертого и пятого членов.
Решение: Слева будем писать текущую последовательность, а справа вести вычисления очередного элемента.
Последовательность на данный момент:
Так как формула дана для элемента с номером (n+2), то чтобы найти (z_3) нужно подставлять вместо (n) единицу:
(z_=3z_-z_1)
(z_3=3z_2-z_1=3·5-2=13)
Важное отличие рекуррентного способа задания последовательности от аналитического – при рекуррентном мы не можем посчитать следующий элемент, не зная предыдущих. То есть, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, придется сначала вычислить все, что идут до него.
Как определить является ли число элементом последовательности?
Во всех предыдущих примерах мы находили значения элементов последовательности – чему равен третий, пятый или девятый член. Иначе говоря, выясняли какое именно число стоит в последовательности на таком-то месте.
Но в практике встречается также обратная задача – значение известно и надо выяснить, есть ли оно среди элементов некоторой последовательности? А если есть, то на каком месте?
Пример (ОГЭ): Какое из чисел ниже есть среди членов последовательности (a_n=n^2-n):
Решение: Из условия задачи понятно, что одно из этих чисел точно является элементом последовательности. Поэтому мы можем просто вычислять элементы по очереди, пока не найдем нужный:
(a_2=2^2-2=2) – тоже не то.
Нужный элемент найден.
Такой метод решения годится только если заранее известно, что элемент точно в последовательности есть. Потому что если его вдруг там нет – это можно проверять вечность, последовательность ведь бесконечна!
Поэтому в такой ситуации пользуются следующим алгоритмом:
Подставляют заданное число в формулу (n) -го члена вместо (a_n);
Решая полученное уравнение , находят неизвестное (n);
Если (n) – натуральное , то данное число — член последовательности.
Пример: Выяснить, является ли число (3) членом последовательности (a_n=) (frac) ?
Если число (3) – член последовательности, то значит при некотором значении (n), формула (frac) должна дать нам тройку. Найдем это (n) по алгоритму выше.
Подставляем тройку вместо (a_n).
Решаем это уравнение. Умножаем левую и правую части на знаменатель ((n+4)).
Порядок величины
Порядок величины — класс эквивалентности 
при условии что некоторый класс 
, чаще всего принимают 
и 
совпадает с количеством цифр в числе, если его записать в позиционной системе счисления.
Например для десятичной системы счисления в этом случае каждая декада положительных чисел будет принадлежать только одному порядку:
Порядок чисел в естественном языке
В естественных языках встречаются выражения вроде «на порядок больше», «на много порядков больше», «на пару порядков меньше». В большинстве случаев подразумеваются десятичные порядки, то есть эти выражения можно прочитать как «примерно в десять раз больше», «примерно в 
раз больше, где 
— достаточно велика», «примерно в 100 раз меньше».
Порядок чисел и логарифмическая функция
Соответствующие числа, принадлежащие смежным порядкам 
, где 
. В то же время числа 
и 
в данном порядке выполняется соотношение 
и 
принадлежат данному порядку и принадлежат порядкам 
иногда называют разностью порядков этих этих чисел.
Для двух чисел 
и разность их порядков может быть найдена как 
.
Выберем число 
из порядка 
, что 
и 
является целым, а значит 
разность порядков иногда берут с отрицательным знаком 
.
Равенство разности порядков нулю является необходимым и достаточным условием того, что числа принадлежат к одному порядку.
Обобщение разности порядков
Иногда понятие разности порядков обобщают, снимая требование принадлежности к классу целых чисел и определяя её через выражение 
и различаются не более чем на пол порядка» то есть 