Как найти третий угол трехгранного угла

§ 13. Трёхгранные и многогранные углы

13.1. Понятие о многогранном угле. Трёхгранный угол

Пусть A1A2A3 … An — плоский выпуклый многоугольник и P — точка, лежащая вне плоскости этого многоугольника (рис. 91).

Определение. Множество всех точек, принадлежащих лучам РМ, где точка М «пробегает» многоугольник А1A2A3…Аn, называется многогранным углом и обозначается PA1A2A3…An.

Точка Р называется вершиной многогранного угла, лучи PA1, PA2, PA3, …, PAn — рёбрами многогранного угла, углы A1PA2, A2PA3, …, AnPA1 — гранями (или плоскими углами) многогранного угла PA1A2A3…An.

Объединение всех граней многогранного угла является его границей. Точки многогранного угла, не принадлежащие его границе, образуют внутреннюю область многогранного угла.

Вследствие выпуклости многоугольника A1A2A3…An, многогранный угол PA1A2…An является выпуклой фигурой (внутренняя область этого угла расположена по одну сторону от плоскости каждой его грани).

В дальнейшем будем рассматривать только выпуклые многогранные углы.

Каждые две грани многогранного угла, имеющие общее ребро, образуют двугранный угол. На рисунке 91 изображены линейные углы таких двугранных углов.

В зависимости от числа граней (рёбер) многогранные углы могут быть трёхгранными, четырёхгранными, пятигранными и т. д.

Трёхгранный угол обладает следующим замечательным свойством.

Теорема 17. В трёхгранном угле величина каждого плоского угла меньше суммы величин двух других его плоских углов.

Доказательство. Пусть угол АМС — наибольший из плоских углов трёхгранного угла МАВС (рис. 92).

В грани АМС проведём такой луч MK, что ∠ AMK = ∠ AMB. Затем на лучах MB, MK отложим равные отрезки соответственно MF, MD (MF = MD); через точки D и F проведём произвольную плоскость, пересекающую рёбра МА и MC соответственно в некоторых точках Р и Е. Тогда △ PMF = △ PMD (по двум сторонам и углу между ними), откуда PF = PD.

В △ РЕF имеем PE < PF + FE или PD + DE < РF + FE. Но так как PF = PD, то получаем DE < EF. Сравнив △ DEM и △ FEМ, учитывая, что у них отрезок МE — общая сторона, MD = MF и DЕ < EF, приходим к выводу:

∠ FMЕ > ∠ DME. Тогда ∠ FME > ∠ DMЕ ⇒ ⇒ ∠ FME + ∠ AMB > ∠ DME + ∠ AMB ⇒ 

⇒ ∠ 

BMC + ∠ AMB > ∠ KMC + ∠ AMK ⇒ ⇒ ∠ AMB + ∠ BMC > ∠ AMC,

что и требовалось доказать. ▼

Выпуклый многогранный угол обладает следующим свойством.

Теорема. Сумма величин всех плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

Пусть MA1A2…An — произвольный выпуклый многогранный угол, заданный выпуклым многоугольником A1A2…An (рис. 93).

Рассмотрим n трёхгранных углов с вершинами в точках Ai (i = 1, 2, …, n). Для каждого из них запишем свойство трёхгранного угла: ∠ Ai < αi1 + αi2, где ∠ Ai — величина внутреннего угла выпуклого многоугольника A1A2…An, а αi1 и αi2 — величины углов тех треугольников, которые имеют точку Ai своей общей вершиной и лежат в гранях этого трёхгранного угла, являющихся гранями данного многогранного угла. Суммируя все эти неравенства, получим: сумма 180°(n – 2) всех внутренних углов многоугольника A1A2 … An меньше 180°n – (α1 + α2 + … + αn), где (α1 + α2 + … + αn) — сумма всех плоских углов при вершине М данного многогранного угла МA1A2 … An, которые являются внутренними углами всех п треугольников, лежащих в его гранях, т. е.

180°(n – 2) < 180°n – (α1 + α2 + … + αn),

откуда α1 + α2 + … + αn < 360°. Теорема доказана. ▼

13.2. Теорема косинусов и теорема синусов для трёхгранного угла

Пусть дан трёхгранный угол МАВС, в котором ∠ AMB = α, ∠ AMC = β, ∠ BMC = ϕ — плоские углы (рис. 94); ϕдв — величина его двугранного угла В(АМ)С при ребре AM, противолежащем плоскому углу ϕ.

Выберем на рёбрах данного трёхгранного угла точки В и C так, что | МВ | = | MС | = 1, и рассмотрим двугранный угол В(АМ)С с ребром AM.

Опустим из точек В и С перпендикуляры ВB1 и CC1 на ребро AM. Тогда BB1 = sin α, CC1 = sin β, а B1С1 = | cos α – cos β |. Используя пространственную теорему косинусов для двугранного угла В(АМ)С, получим:

BC2 =  + – 2BB1•CC1•cos ϕдв + B1

или

откуда

BC2 = 2 – 2sin α•sin β•cos ϕдв – 2cos α•cos β. (*)

С другой стороны, в треугольнике BМС по теореме косинусов имеем:

ВC2 = МB2 + MC2 – 2MВ•MС•соs ϕ = 2 – 2соs ϕ. (**)

Из (*) и (**) получаем:

cos φ = cos α•cos β + sin α•sin β•cos φдв. (1)

Данное соотношение между величинами плоских углов α, β и ϕ трёхгранного угла и величиной его двугранного угла ϕдв при ребре, противолежащем плоскому углу ϕ, часто называют теоремой косинусов для трёхгранного угла. Используя это соотношение, можно ещё раз убедиться, что в трёхгранном угле величина каждого плоского угла меньше суммы величин двух других его плоских углов. Действительно,

Из теоремы косинусов для трёхгранного угла (на основании соотношения (1)) имеем:

cos ϕдв = ,

аналогично

cos βдв = .

Путём несложных, но довольно громоздких, преобразований мы получим:

Тогда

 = .

Аналогично,

 = ,

 = .

Следовательно, для данного трёхгранного угла отношение синуса двугранного угла к синусу противолежащего ему плоского угла есть величина постоянная, т. е.

 =  = .

Это соотношение называют теоремой синусов для трёхгранного угла.

Геометрия, 10 класс

Урок №12. Многогранные углы

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.

• Понятия трехгранного и многогранного углов;
• Теорема о сумме плоских углов многогранного угла.

Глоссарий по теме

Три луча с общим началом в точке O — OA, OB и OC, которые не лежат в одной плоскости образуют трехгранный угол ОАВС.

Свойство трехгранного угла: каждый плоский угол трехгранного угла меньше сумму двух других плоских углов.

Утверждение: для любого выпуклого многогранного угла существует плоскость, пересекающая все его ребра.

Теорема: Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.

Дополнительная литература:

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим три луча с общим началом в точке O — OA, OB и OC, которые не лежат в одной плоскости (рис. 1). Каждая пара лучей образует плоский угол. Три угла АОВ, ВОС, СОА образуют трехгранный угол ОАВС. Каждый из углов АОВ, ВОС, АОС является плоским углом этого трехгранного угла. Каждый плоский угол трехгранного угла меньше сумму двух других плоских углов.

(Рис. 1)

Рассмотрим фигуру, составленную из углов А₁ОА₂, А₂ОА₃, и так далее до А_пОА₁ и их внутренних областей так, что смежные углы не лежат в одной плоскости, а несмежные углы не имеют общих точек (рис. 2). Такая фигура называется многогранным углом. Такой угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждого из своих плоских углов.

(Рис. 2)

Теорема.

Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360 градусов.

Доказательство.

Рассмотрим выпуклый многогранный угол с вершиной О и проведем плоскость, пересекающую все его ребра в некоторых точках А₁, А₂, …, А_n. Многоугольник А₁А₂…А_n — выпуклый (рис. 2).

Найдем сумму плоских углов. Каждый плоский угол можно выразить через сумму углов треугольника, который образуется парой ребер и плоскостью, пересекающей все ребра многогранного угла. Далее вынесем из под скобок 180 градусов и перегруппируем в скобках углы так, чтобы в скобках была сумма плоских углов трехгранного угла, образованного тремя соседними лучами.

Сумма плоских углов трехгранного угла больше третьего плоского угла, поэтому каждая сумма углов в скобках не больше, чем соответствующий им третий плоский угол. Поэтому искомая сумма не превышает 360 градусов.

Что и требовалось доказать.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1

Дан тетраэдр ABCD (рис. 3). В этом тетраэдре углы DAB, DAC и ACB прямые. Ребра AC и CB равны 10 сантиметрам, отрезок DB равен 10 сантиметров. Необходимо найти двугранный угол ABCD.

Решение

По условию прямая DA перпендикулярно прямым AB и AC. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая DA перпендикулярна ABC.

(Рис. 3)

Тогда прямая DA – перпендикуляр к плоскости ABC. Прямая DC – наклонная, а AC – проекция. По условию прямая AC перпендикулярна прямой BC. Тогда по теореме о трех перпендикулярах наклонная DC перпендикулярна прямой BC. Это означает, что угол ACD является линейным углом искомого двугранного угла. Из прямоугольного треугольника DCB найдем DC по теореме Пифагора.

Из прямоугольного треугольника ACD теперь можно выразить косинус угла ACD.

= 60°.

Ответ: 60 градусов.

Пример 2

В трехгранном угле два плоских угла равны 115.8º и 97º. Если величина третьего плоского угла задается целым числом градусов, то ее наибольшее значение равно?

Решение

Обозначим величину третьего плоского угла за X. Воспользуемся теоремой о сумме плоских углов многогранного угла: сумма плоских углов многогранного угла меньше 360º. Следовательно, можно записать неравенство:

X + 115.8+ 97 < 360

X < 147.2

Получаем, что наибольшее целое значение X может принимать 147º. Осталось проверить не нарушает ли такое значение свойство трехгранного угла: каждый плоский трехгранный угол меньше суммы других плоских углов. Это свойство можно записать в следующие неравенства:

97 < 147 + 115.8

115.8 < 147 + 97

147 < 97 + 115.8

Все неравенства выполняются.

Ответ: 147º

Пример 3

Все плоские углы трёхгранного угла равны 90º. Выберите значение углов между биссектрисами плоских углов. 

Решение

Нарисуем куб ABCDA₁B₁C₁D₁ (см. рисунок).

Следовательно, все плоские углы трёхгранного угла ABDA₁ с вершиной A прямые, а все грани равные между собой квадраты. Проведем биссектрисы плоских углов трёхгранного угла AC (для ∠DAB) и AB₁ (для ∠A₁AB). Нам необходимо найти угол между AC и AB₁, для этого рассмотрим треугольник AB₁C. Его стороны – диагонали равных квадратов, следовательно, этот треугольник равносторонний, поэтому B₁AC = 60º

Ответ 60º.

Предложите, как улучшить StudyLib

(Для жалоб на нарушения авторских прав, используйте

другую форму
)