Содержание:
- Формула
- Примеры нахождения орта вектора
Формула
Чтобы найти орт $bar{e}$ вектора
$bar{a}$, нужно вектор
$bar{a}$ поделить на его
длину:
$$bar{e}=frac{bar{a}}{|bar{a}|}$$
Если вектор задан на плоскости своими координатами
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$, то его орт вычисляется по формуле:
$$bar{e}=frac{bar{a}}{|bar{a}|}=frac{a_{x} cdot bar{i}+a_{y} cdot bar{j}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}=left(frac{a_{x}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}} ; frac{a_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}right)$$
Если вектор задан в пространстве и имеет координаты
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$, то его орт вычисляется по формуле:
$$bar{e}=frac{bar{a}}{|bar{a}|}=frac{a_{x} cdot bar{i}+a_{y} cdot bar{j}+a_{z} cdot bar{k}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}=$$
$$=left(frac{a_{x}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} ; frac{a_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} ; frac{a_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}right)$$
Примеры нахождения орта вектора
Пример
Задание. На плоскости задан вектор
$bar{a}=(-2 ; 2)$ . Найти его орт.
Решение. Для нахождения орта заданного вектора воспользуемся формулой:
$$bar{e}=frac{bar{a}}{|bar{a}|}=frac{a_{x} cdot bar{i}+a_{y} cdot bar{j}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}$$
Подставляя заданные координаты, получим:
$$bar{e}=frac{-2 cdot bar{i}+2 cdot bar{j}}{sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}}=frac{-2 cdot bar{i}+2 cdot bar{j}}{sqrt{4+4}}=frac{-2 cdot bar{i}+2 cdot bar{j}}{sqrt{8}}=$$
$$=frac{-2 cdot bar{i}+2 cdot bar{j}}{2 sqrt{2}}=-frac{1}{sqrt{2}} cdot bar{i}+frac{1}{sqrt{2}} cdot bar{j}$$
Таким образом, искомый орт вектора $bar{a}$
имеет координаты $bar{e}=left(-frac{1}{sqrt{2}} ; frac{1}{sqrt{2}}right)$
Ответ. $bar{e}=left(-frac{1}{sqrt{2}} ; frac{1}{sqrt{2}}right)$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Даны точки
$A(3 ;-1 ; 4)$ и $B(2 ; 0 ; 2)$ . Найти орт вектора
$overline{A B}$
Решение. Найдем координаты вектора
$overline{A B}$, для этого из координат конца вектора (точки
$B$ ) вычтем соответствующие координаты начала (точки
$A$ ):
$$overline{A B}=(2-3 ; 0-(-1) ; 2-4)=(-1 ; 1 ;-2)$$
Для нахождения орта полученного вектора воспользуемся формулой
$$bar{e}=frac{a_{x} cdot bar{i}+a_{y} cdot bar{j}+a_{z} cdot bar{k}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}$$
Подставим в неё координаты вектора $overline{A B}$, будем иметь:
$$bar{e}=frac{-1 cdot bar{i}+1 cdot bar{j}-2 cdot bar{k}}{sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}}=frac{-1 cdot bar{i}+1 cdot bar{j}-2 cdot bar{k}}{sqrt{1+1+4}}=$$
$$=frac{-1 cdot bar{i}+1 cdot bar{j}-2 cdot bar{k}}{sqrt{6}}=-frac{1}{sqrt{6}} cdot bar{i}+frac{1}{sqrt{6}} cdot bar{j}-frac{2}{sqrt{6}} cdot bar{k}$$
Таким образом, орт вектора $overline{A B}$ имеет координаты $bar{e}=left(-frac{1}{sqrt{6}} ; frac{1}{sqrt{6}} ;-frac{2}{sqrt{6}}right)$
Ответ. $bar{e}=left(-frac{1}{sqrt{6}} ; frac{1}{sqrt{6}} ;-frac{2}{sqrt{6}}right)$
Читать дальше: как найти вектор по точкам.
Единичный вектор
Единичный вектор (орты координатных осей) — это вектор, длина которого равна единице.
i — единичный вектор оси абсцисс;
j — единичный вектор оси ординат;
k — единичный вектор оси аппликат.
i⊥j⊥k, i=j=k=1
В прямоугольной системе координат в пространстве координаты векторов равны:
i(1;0;0), j(0;1;0), k(0;0;1)
Единичные векторы являются некомпланарными.
Любой вектор можно разложить в виде вектора по ортам координатных осей, формула ниже.
a=xi+уj+zk
где x, y, z — координаты вектора проекции на соответствующие координатные оси.
Эта формула называется разложением вектора по ортам координатных осей.
Единичный вектор определяется по формуле:
Дан вектор а = (1; 2; -2)
Требуется найти длину (модуль) и единичный вектор e направления вектора а
Находим длину вектора a
затем вычисляем единичный вектор e
Векторное произведения единичных векторов
Если направление кратчайшего пути от первого вектора ко второму вектору совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, а если не совпадает, то третий вектор берется со знаком «минус» . Смотрите схему 1.
На основании схемы получаем таблицу векторного произведения единичных векторов
Пример 1
Найти векторное произведение iхj, где i, j — единичные векторы (орты) правой системы координат.
Решение
1) Так как длины основных векторов равны единице масштаба, то площадь параллелограмма MOKT численно равна единице. Значит, модуль векторного произведения равен единице.
2) Так как перпендикуляр к плоскости MOKT есть ось OZ, то искомое векторное произведение есть вектор, коллинеарный с вектором k; а так как оба они имеют модуль 1, то искомое векторное произведение равно либо k, либо -k.
3) Из этих двух возможных векторов надо выбрать первый, так как векторы i, j, k образуют правую систему (а векторы i, j, -k — левую).
iхj=k
Пример 2
Найти векторное произведение jхi.
Решение
Как в примере 1, заключаем, что вектор jхi равен либо k, либо —k. Но теперь надо выбрать -k, ибо векторы j, i, —k образуют правую систему (а векторы i, j, —k -левую).
jхi = −k
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 3.5 / 5. Количество оценок: 4
Как найти орт вектора
Формула
Примеры нахождения орта вектора
Задание. На плоскости задан вектор $bar=(-2 ; 2)$ . Найти его орт.
Решение. Для нахождения орта заданного вектора воспользуемся формулой:
Подставляя заданные координаты, получим:
Задание. Даны точки $A(3 ;-1 ; 4)$ и $B(2 ; 0 ; 2)$ . Найти орт вектора $overline$
Решение. Найдем координаты вектора $overline$, для этого из координат конца вектора (точки $B$ ) вычтем соответствующие координаты начала (точки $A$ ):
Для нахождения орта полученного вектора воспользуемся формулой
Подставим в неё координаты вектора $overline$, будем иметь:
Таким образом, орт вектора $overline$ имеет координаты $bar=left(-frac<1><sqrt<6>> ; frac<1><sqrt<6>> ;-frac<2><sqrt<6>>right)$
Что такое орты
Орт:
- это вектор,
- он лежит на оси,
- направлен туда же, куда направлена ось,
- его длина равна единице.
На рисунке 1 изображены орты для двумерного а) и трехмерного б) случаев.
Орты сонаправлены с осями, на которых они лежат:
- Орт ( vec ) направлен вдоль оси Ox;
- Орт ( vec ) направлен вдоль оси Oy;
- Орт ( vec ) направлен вдоль оси Oz;
Орты обладают единичной длиной:
Все три орта взаимно перпендикулярны. Перпендикулярные векторы часто называют ортогональными.
Любые два орта из трех, лежат в одной плоскости:
- Орты ( vec ) и ( vec ) лежат в плоскости xOy;
- Орты ( vec ) и ( vec ) лежат в плоскости xOz;
- Орты ( vec ) и ( vec ) лежат в плоскости yOz;
Векторы, лежащие в одной плоскости, называют компланарными. Об этом подробно написано «здесь» (откроется в новой вкладке).
Координаты вектора можно указать двумя способами. Либо, перечислив эти координаты в скобках, либо, с помощью разложения вектора по ортам.
и 
построитькаждый из следующих векторов: 1).
, 2). 
, 3). 
, 4).
.
=13, 
=19 и 
=24. Вычислить
.
=11, 
=23 и 
=30. Определить
.
и 
взаимноперпендикулярны, причем
=5, 
=12. Определить 
и 
.
и 
образуютугол
=600, причем
=5 и 
=8. Определить 
и 
.
и 
образуютугол
=1200, причем 
=3 и 
=5. Определить 
и 
.должны удовлетворять векторы
и 
, чтобыимели место следующие соотношения:
;
;
.должны удовлетворять векторы
и 
, чтобывектор
делил пополам угол между векторами 
и 
.
и 
построить каждый из следующих
векторов:
;
;
;
.вектор
и вектор
. Построить каждый изследующих векторов. Принимая в качестве
масштабной единицы
, построить также векторы:
;
;
;
;
;
.центром масс треугольника АВС. Доказать, что
.пятиугольнике ABCDE заданы векторы, совпадающие с
его ребрами:
, 
, 
, 
, 
. Построить векторы:
;
;
.ABCDA’B’C’D’ (рис.) заданы векторы, совпадающие с
его ребрами:
, 
, 
. Построитькаждый из следующих векторов:
;
;
;
;
.
, 
, 
, приложенные к однойточке, имеют взаимно перпендикулярные
направления. Определить величину их
равнодействующей
, если известно, что 
=2Н, 
=10Н, 
=11Н.
={3; -2; 6}, 
={-2; 1; 0}. Определить проекции на координатныеоси следующих векторов:
;
;
;
;
;
.коллинеарность векторов
={2; -1; 3} и 
={-6;3; -9}. Установить, какой из них
длиннее другого и во сколько раз, как они
направлены – в одну или в противоположные
стороны.
каких значениях
, 
векторы 
и 
коллинеарны.четыре точки A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C(2; 2; -7), D(3; -5; 3) служат
вершинами трапеции.
B(5; -7; 8), C(2; 2; -7), D(5; -4; 2). Проверить, что векторы
и 
коллинеарны, установить, какой из
них длиннее другого и во сколько раз, как они
направлены – в одну или в противоположные
стороны.
={6; -2; -3}.
={3; 4; -12}.суммы и разности векторов
={3; -5; 8} и 
={-1;1; -4}.
вектора
по базису 
, 
, 
: 
. Определитьразложение по этому же базису вектора
, параллельноговектору
и противоположного с нимнаправления, при условии, что
=75.
={2; -3; 6} и 
={-1;2; -2} приложены к одной точке.
Определить координаты вектора
направленногопо биссектрисе угла между векторами
и 
, приусловии, что
.
={2; 6; -4} и 
={4;2; -2} совпадают со сторонами
теругольника АВС. Определить координаты
векторов, приложенных к вершинам треугольника и
совпадающими с его медианами AM, BN, CP.
и 
— какие угодно неколлинеарные
векторы, то всякий вектор, лежащих в их плоскости,
может быть представлен в виде
. Доказать,что числа
и 
однозначно определяются векторами 
, 
и 
.два вектора
={2; -3}, 
={1; 2}. Найи разложение вектора 
={9; 4} побазису
, 
.три вектора
={3; -2}, 
={-2; 1}, 
={7; -4}. Определитьразложение каждого из этих трех векторов,
принимая в качестве базиса два других.
={3; -1}, 
={1; -2}, 
={-1; 7}. Определитьразложение вектора
по базису 
, 
.базиса векторы
и 
, совпадающиесо сторонами треугольника АВС, опреедлить
разложение векторов, приложенных в вершинах
треугольника и совпадающие с его медианами.
етыре точки A(1; -2), B(2; 1), C(3; 2), D(-2; 3). Определить
разложение векторов
, 
, 
и 
,принимая в качестве базиса
векторы
и 
.
, 
, 
— какие угоднонекомпланарные векторы, то всякий вектор
пространстваможет быть представлен в виде
. Доказать,что числа
, 
, 
однознчноопределяются векторами
, 
, 
, 
. (Представлениевектора
в виде 
называется разложениемего по базису
, 
, 
. Числа 
, 
, 
называются коэффициентами этогоразложения.
={3; -2; 1}, 
={-1; 1; -2}, 
={2; 1; -3}. Найти разложение вектора 
={11; -6; 5} по базису 
, 
, 
.
={2; 1; 0}, 
={1; -2; 2}, 
={2; 2; -1}, 
={3; 7; -7}. Определить разложение каждого изэтих четырех векторов, принимая в качестве
базиса три остальных.
Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, то есть отрезок, имеющий
определенную длину и определенное направление. Пусть точка А – начало вектора, а точка B – его конец, тогда вектор обозначается символом 
или 
. Вектор 
называется противоположным
вектору и может быть
обозначен 
.
Сформулируем ряд базовых определений.
Длиной
или модулем
вектора называется
длина отрезка и обозначается 
. Вектор нулевой длины (его суть — точка) называется нулевым 
и направления
не имеет. Вектор 
единичной длины, называется единичным. Единичный вектор,
направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора .
Векторы
называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых, записывают
. Коллинеарные векторы могут иметь совпадающие или
противоположные направления. Нулевой вектор считают коллинеарным любому
вектору.
Векторы
называются равными 
, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют
одинаковые длины.
Три вектора в пространстве называются компланарными,
если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Если среди
трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы
компланарны.
Рассмотрим в
пространстве прямоугольную систему координат 0xyz. Выделим на осях координат 0x, 0y, 0z единичные векторы (орты) и
обозначим их через 
соответственно.
Выберем произвольный вектор
пространства и совместим его начало с началом
координат. Спроектируем вектор
на координатные
оси и обозначим проекции через ax, ay, az
соответственно. Тогда нетрудно показать, что
. (2.25)
Эта
формула является основной в векторном исчислении и называется разложением
вектора по ортам координатных осей. Числа ax, ay, az называются координатами вектора . Таким образом, координаты вектора являются его
проекциями на оси координат. Векторное равенство (2.25) часто записывают в
виде
. Мы будем использовать обозначение вектора в фигурных
скобках, чтобы визуально легче различать координаты вектора и координаты точки.
С использованием формулы длины отрезка, известной из школьной геометрии, можно
найти выражение для вычисления модуля вектора
:
, (2.26)
то
есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.
Обозначим углы между вектором
и осями
координат через α, β, γ соответственно. Косинусы этих углов называются
для вектора направляющими, и для них выполняется соотношение:
Верность данного равенства можно показать с помощью
свойства проекции вектора на ось, которое будет рассмотрено в нижеследующем
пункте 4.
Пусть в трехмерном пространстве заданы векторы 
своими
координатами. Имеют место следующие
операции над ними: линейные (сложение, вычитание, умножение на число и
проектирование вектора на ось или другой вектор); не линейные – различные
произведения векторов (скалярное, векторное, смешанное).
1. Сложение двух векторов производится покоординатно, то
есть если
.
Данная
формула имеет место для произвольного конечного числа слагаемых.
Геометрически
два вектора складываются по двум правилам:
а) правило треугольника –
результирующий вектор суммы двух векторов соединяет начало первого из них с
концом второго при условии, что начало второго совпадает с концом первого
вектора; для суммы векторов –
результирующий вектор суммы соединяет начало первого из них с концом последнего
вектора-слагаемого при условии, что начало последующего слагаемого совпадает с
концом предыдущего;
б)
правило
параллелограмма (для двух
векторов) – параллелограмм строится на векторах-слагаемых как на сторонах,
приведенных к одному началу; диагональ параллелограмма исходящая из их общего начала, является суммой
векторов.
2. Вычитание двух векторов производится
покоординатно, аналогично сложению, то есть если 
, то
.
Геометрически два
вектора складываются по уже упомянутому правилу параллелограмма с учетом того, что разностью векторов
является диагональ, соединяющая концы векторов, причем результирующий вектор
направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.
Важным следствием
вычитания векторов является тот факт, что если известны координаты начала и
конца вектора, то для вычисления координат вектора необходимо из координат его конца
вычесть координаты его начала. Действительно, любой вектор пространства может быть
представлен в виде разности двух векторов, исходящих из начала координат: 
. Координаты векторов
и
совпадают с
координатами точек А и В, так как начало координат О(0;0;0). Таким образом, по правилу
вычитания векторов следует произвести вычитание координат точки А из координат точки В.
3. Умножение вектора на число λ покоординатно:
.
При λ>0
– вектор
сонаправлен ; λ<0 – вектор противоположно направлен ; |λ|>1 – длина вектора увеличивается в λ раз; |λ|<1 – длина вектора уменьшается в λ раз.
4. Пусть в пространстве задана
направленная прямая (ось l), вектор 
задан
координатами конца и начала. Обозначим проекции точек A и B на ось l
соответственно через A’ и B’.
Проекцией 
вектора на ось l называется длина вектора 
, взятая со
знаком «+», если вектор и ось l сонаправлены, и со
знаком «–», если и l противоположно направлены.
Если
в качестве оси l взять некоторый другой вектор 
, то получим проекцию вектора на вектор .
Рассмотрим некоторые
основные свойства проекций:
1) проекция вектора на ось l равна произведению модуля
вектора на косинус угла
между вектором и осью, то есть 
;
2.) проекция вектора на ось
положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и
равна нулю, если этот угол – прямой;
3) проекция суммы нескольких
векторов на одну и ту же ось равна сумме проекций на эту ось.
Сформулируем определения и
теоремы о произведениях векторов, представляющих нелинейные операции над
векторами.
5. Скалярным произведением 
векторов и называется
число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между
ними, то есть
. (2.27)
Очевидно, что скалярный квадрат любого ненулевого вектора равен квадрату его длины, так как в этом случае угол 
, поэтому его косинус (в 2.27) равен 1.
Теорема 2.2. Необходимым и достаточным условием
перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного
произведения 
Следствие. Попарные скалярные произведения единичных орт равны нулю, то есть 
Теорема 2.3. Скалярное произведение двух векторов 
,
заданных своими координатами, равно сумме произведений их одноименных координат, то есть
(2.28)
С помощью скалярного произведения векторов можно
вычислить угол между ними.
Если заданы два ненулевых вектора
своими координатами , то косинус угла φ между ними:
(2.29)
Отсюда
следует условие перпендикулярности ненулевых векторов
и :
(2.30)
Нахождение проекции вектора на направление,
заданное вектором , может осуществляться по формуле
(2.31)
С помощью скалярного произведения векторов находят
работу постоянной силы 
на
прямолинейном участке пути.
Предположим, что под действием постоянной силы материальная точка перемещается прямолинейно из
положения А в положение B. Вектор силы образует угол φ с вектором перемещения 
(рис. 2.14). Физика утверждает, что работа силы при перемещении 
равна 
.
Следовательно, работа постоянной силы
при прямолинейном перемещении точки ее приложения равна скалярному произведению
вектора силы на вектор перемещения.
Пример
2.9. С
помощью скалярного произведения векторов найти угол при вершине A параллелограмма ABCD, построенного на векторах 
Решение. Вычислим модули векторов и их скалярное произведение
по теореме (2.3):
Отсюда согласно формуле (2.29) получим косинус
искомого угла
Пример 2.10. Затраты сырьевых и материальных ресурсов, используемых
на производство одной тонны творога, заданы в таблице 2.2 (руб.).
Какова общая цена этих ресурсов, затрачиваемых на изготовление одной
тонны творога?
Таблица 2.2
Решение. Введем в рассмотрение два вектора: вектор затрат
ресурсов на тонну продукции 
и вектор цены единицы
соответствующего ресурса 
.
Тогда 
. Общая цена
ресурсов 
, что представляет собой скалярное произведение
векторов 
. Вычислим его по формуле (2.28) согласно теореме 2.3:
Таким образом, общая цена затрат на производство одной
тонны творога составляет 279 541,5 рублей
Примечание. Действия с векторами, осуществленные в примере 2.10,
можно выполнить на персональном компьютере. Для нахождения скалярного
произведения векторов в MS Excel используют функцию СУММПРОИЗВ( ), где в качестве
аргументов указываются адреса диапазонов элементов матриц, сумму произведений
которых необходимо найти. В MathCAD
скалярное произведение двух векторов выполняется при помощи соответствующего
оператора панели инструментов Matrix
Пример 2.11. Вычислить работу, произведенную силой 
, если точка ее приложения перемещается прямолинейно
из положения A(2;4;6) в положение A(4;2;7). Под каким углом к AB направлена сила ?
Решение. Находим вектор перемещения, вычитая из координат его конца координаты
начала
. По формуле (2.28) 
(единиц работы).
Угол φ между и
находим по
формуле (2.29), то есть
6. Три некомпланарных вектора 
, взятые в указанном порядке, образуют правую
тройку, если при наблюдении из конца третьего вектора 
кратчайший
поворот от первого вектора ко второму
вектору совершается против часовой стрелки, и левую,
если по часовой стрелке.
Векторным
произведением 
вектора на вектор называется
вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
– перпендикулярен векторам и ;
– имеет длину, равную 
, где φ – угол, образованный векторами
и ;
– векторы образуют правую
тройку (рис. 2.15).
Теорема 2.4. Необходимым и достаточным
условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного
произведения
Теорема 2.5. Векторное произведение векторов 
, заданных своими координатами, равно определителю
третьего порядка вида
(2.32)
Примечание. Определитель (2.25)
раскладывается по свойству 7 определителей
Следствие 1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух
векторов является пропорциональность их соответствующих координат
Следствие 2. Векторные произведения единичных орт равны 
Следствие 3. Векторный квадрат любого вектора равен нулю
Геометрическая
интерпретация векторного произведения состоит в том, что длина результирующего
вектора численно равна площади S
параллелограмма, построенного на векторах–сомножителях как на сторонах,
приведенных к одному началу. Действительно, согласно определению, модуль
векторного произведения векторов равен 
. С другой стороны, площадь параллелограмма,
построенного на векторах и , также равна 
. Следовательно,
. (2.33)
Также с помощью векторного произведения можно
определить момент силы относительно точки и линейную скорость вращения.
Пусть в точке A приложена
сила 
и пусть O –
некоторая точка пространства (рис. 2.16). Из курса физики известно, что моментом
силы относительно
точки O называется вектор 
, который проходит через точку O и удовлетворяет следующим условиям:
— перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O, A, B;
— его модуль численно равен произведению силы на плечо 
.
— образует правую тройку с векторами и .
Следовательно,
момент силы относительно
точки O представляет собой векторное произведение
. (2.34)
Линейная скорость 
точки М твердого тела, вращающегося с
угловой скоростью 
вокруг
неподвижной оси, определяется формулой Эйлера 
, O – некоторая неподвижная
точка оси (рис. 2.17).
Пример 2.12. С помощью
векторного произведения найти площадь треугольника ABC, построенного на векторах
, приведенных к одному началу.
Решение. Найдем векторное произведение заданных векторов по
формуле (2.32).
. Согласно формуле (2.33) модуль векторного
произведения двух неколлинеарных векторов численно равен площади
параллелограмма, построенного на данных векторах как на сторонах, приведенных к
общему началу, то есть 
. Тогда площадь треугольника 
. Следовательно, искомая площадь равна 
(единиц
площади)
7. Рассмотрим произведение трех векторов , составленное следующим образом: 
. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а
результирующий вектор – скалярно на третий. Такое произведение 
называется смешанным
произведением трех векторов
(векторно–скалярным произведением).
Теорема 2.6. Необходимым и достаточным условием компланарности
трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения
Теорема 2.7. Если три вектора 
заданы своими координатами, то их смешанное
произведение представляет собой определитель третьего порядка, составленный из
координат векторов- сомножителей соответственно, то есть
(2.35)
Нетрудно показать, что объем параллелепипеда,
построенного на векторах как на
сторонах, приведенных к общему началу, численно равен модулю смешенного
произведения этих векторов 
.
Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же
векторах, равен
(2.36)
Пример 2.13. Вершинами пирамиды служат точки 
. Вычислить объем пирамиды.
Решение. Найдем
координаты векторов
. Вычислим смешанное произведение этих векторов: 
По формуле (2.36) объем пирамиды, построенной на
векторах 
равен
(единиц объема)
Рассмотрим очень важный вопрос о
разложении вектора по базису. Приведем
следующие определения.
Система векторов 
называется
линейно зависимой, если существуют такие числа 
, хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет
место равенство
(2.37)
Отсюда всегда можно один из линейно
зависимых векторов выразить через линейную комбинацию остальных. Действительно,
допустим для определенности, что 
. Тогда на это число разделим равенство (2.37), имеем:
получим выражение вектора 
через
остальные векторы 
Линейно независимыми называют векторы, если равенство
(2.37) выполняется только тогда, когда
все
В системе векторов число линейно
независимых векторов равняется рангу матрицы, которая составлена из координат
этих векторов (смотри раздел I.5).
Базисом n – мерного
пространства En называют любую совокупность линейно независимых векторов n – мерного пространства.
Произвольный вектор 
n
– мерного пространства можно представить
в виде линейной комбинации векторов базиса
таким образом:
Числа
называются координатами
вектора в базисе
векторов .
Линейное пространство называется
конечномерным и имеет размерность n, если в этом
пространстве существует система из n линейно независимых векторов (базис) такая,
что каждое ее расширение приводит к линейной зависимости системы.
Например, в трехмерном пространстве
существует базис единичных орт такой, что любое расширение этой системы
линейно независимых векторов, то есть каждый вектор трехмерного
пространства, приводит к линейной зависимости векторов (является линейной
комбинацией орт ):
Коэффициенты {x1, x2, x3} такого разложения вектора
по ортам являются координатами вектора в трехмерном
пространстве.
Вопросы для самопроверки
Единичный вектор (орты координатных осей) — это вектор, длина которого равна единице.
i — единичный вектор оси абсцисс;
j — единичный вектор оси ординат;
k — единичный вектор оси аппликат.
i⊥j⊥k, i=j=k=1
В прямоугольной системе координат в пространстве координаты векторов равны:
i(1;0;0);j(0;1;0); k(0;0;1);
Замечание 1
Единичные векторы являются некомпланарными.
Замечание 2
Любой вектор можно разложить в виде вектора по ортам координатных осей, формула ниже.
a=xi+уj+zk
где x, y, z — координаты вектора проекции на соответствующие координатные оси.
Эта формула называется разложением вектора по ортам координатных осей.
Единичный вектор определяется по формуле:
Пример
Дан вектор а = (1; 2; -2)
Требуется найти длину (модуль) и единичный вектор e направления вектора а
Решение
Находим длину вектора a
$left| {vec a} right| = sqrt {{1^2} + {2^2} + {{left( { — 2} right)}^2}} = 3$
затем вычисляем единичный вектор e
$vec e = left( {frac{1}{3};frac{2}{3}; — frac{2}{3}} right)$
Векторное произведения единичных векторов
Если направление кратчайшего пути от первого вектора ко второму вектору совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, а если не совпадает, то третий вектор берется со знаком «минус». Смотрите схему 1.
Схема 1
На основании схемы получаем таблицу векторного произведения единичных векторов
i×i=0 i×j=k i×k=-j
j×i=-k j×j=0 j×k=i
k×i=j k×j=-i k×k=0
Пример 1
Найти векторное произведение iхj, где i, j — единичные векторы (орты) правой системы координат.
Решение
1) Так как длины основных векторов равны единице масштаба, то площадь параллелограмма MOKT численно равна единице. Значит, модуль векторного произведения равен единице.
2) Так как перпендикуляр к плоскости MOKT есть ось OZ, то искомое векторное произведение есть вектор, коллинеарный с вектором k; а так как оба они имеют модуль 1, то искомое векторное произведение равно либо k, либо -k.
3) Из этих двух возможных векторов надо выбрать первый, так как векторы i, j, k образуют правую систему (а векторы i, j, -k — левую).
iхj=k
Пример 2
Найти векторное произведение jхi.
Решение
Как в примере 1, заключаем, что вектор jхi равен либо k, либо —k. Но теперь надо выбрать -k, ибо векторы j, i, —k образуют правую систему (а векторы i, j, —k -левую).
jхi = −k
20965