Построение ортогональных проекций точек
Положение точки в пространстве может быть задано двумя её ортогональными проекциями, например, горизонтальной и фронтальной, фронтальной и профильной. Сочетание любых двух ортогональных проекций позволяет узнать значение всех координат точки, построить третью проекцию, определить октант, в котором она находится. Рассмотрим несколько типичных задач из курса начертательной геометрии.
По заданному комплексному чертежу точек A и B необходимо:
- Записать их координаты.
- Достроить проекции т. A и B на плоскость П3.
- Определить положение точек в пространстве (октант или плоскость проекций).
- Построить наглядное изображение точек в системе плоскостей П1, П2, П3.
Определение координат точек по их проекциям
Определим сначала координаты т. A, которые можно записать в виде A (x, y, z). Горизонтальная проекция т. A – точка A’, имеющая координаты x, y. Проведем из т. A’ перпендикуляры к осям x, y и найдем соответственно Aх, Aу. Координата х для т. A равна длине отрезка AхO со знаком плюс, так как Aх лежит в области положительных значений оси х. С учетом масштаба чертежа находим х = 10. Координата у равна длине отрезка AуO со знаком минус, так как т. Aу лежит в области отрицательных значений оси у. С учетом масштаба чертежа у = –30. Фронтальная проекция т. A – т. A» имеет координаты х и z. Опустим перпендикуляр из A» на ось z и найдем Az. Координата z точки A равна длине отрезка AzO со знаком минус, так как Az лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа z = –10. Таким образом, координаты т. A (10, –30, –10).
Координаты т. B можно записать в виде B (x, y, z). Рассмотрим горизонтальную проекцию точки B – т. В’. Так как она лежит на оси х, то Bx = B’ и координата Bу = 0. Абсцисса x точки B равна длине отрезка BхO со знаком плюс. С учетом масштаба чертежа x = 30. Фронтальная проекция точки B – т. B˝ имеет координаты х, z. Проведем перпендикуляр из B» к оси z, таким образом найдем Bz. Аппликата z точки B равна длине отрезка BzO со знаком минус, так как Bz лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа определим значение z = –20. Таким образом, координаты B (30, 0, -20). Все необходимые построения представлены на рисунке ниже.
Построение проекций точек
Точки A и B в плоскости П3 имеют следующие координаты: A»’ (y, z); B»’ (y, z). При этом A» и A»’ лежат одном перпендикуляре к оси z, так как координата z у них общая. Точно также на общем перпендикуляре к оси z лежат B» и B»’. Чтобы найти профильную проекцию т. A, отложим по оси у значение соответствующей координаты, найденное ранее. На рисунке это сделано с помощью дуги окружности радиуса AуO. После этого проведем перпендикуляр из Aу до пересечения с перпендикуляром, восстановленным из точки A» к оси z. Точка пересечения этих двух перпендикуляров определяет положение A»’.
Точка B»’ лежит на оси z, так как ордината y этой точки равна нулю. Для нахождения профильной проекции т. B в данной задаче необходимо лишь провести перпендикуляр из B» к оси z. Точка пересечении этого перпендикуляра с осью z есть B»’.
Определение положения точек в пространстве
Наглядно представляя себе пространственный макет, составленный из плоскостей проекций П1, П2 и П3, расположение октантов, а также порядок трансформации макета в эпюр, можно непосредственно определить, что т. A расположена в III октанте, а т. B лежит в плоскости П2.
Другим вариантом решения данной задачи является метод исключений. Например, координаты точки A (10, -30, -10). Положительная абсцисса x позволяет судить о том, что точка расположена в первых четырех октантах. Отрицательная ордината y говорит о том, что точка находится во втором или третьем октантах. Наконец, отрицательная аппликата z указывает на то, что т. A расположена в третьем октанте. Приведенные рассуждения наглядно иллюстрирует следующая таблица.
| Октанты | Знаки координат | ||
| x | y | z | |
| 1 | + | + | + |
| 2 | + | – | + |
| 3 | + | – | – |
| 4 | + | + | – |
| 5 | – | + | + |
| 6 | – | – | + |
| 7 | – | – | – |
| 8 | – | + | – |
Координаты точки B (30, 0, -20). Поскольку ордината т. B равна нулю, эта точка расположена в плоскости проекций П2. Положительная абсцисса и отрицательная аппликата т. B указывают на то, что она расположена на границе третьего и четвертого октантов.
Построение наглядного изображения точек в системе плоскостей П1, П2, П3
Используя фронтальную изометрическую проекцию, мы построили пространственный макет III октанта. Он представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями являются плоскости П1, П2, П3, а угол (-y0x) равен 45 º. В этой системе отрезки по осям x, y, z будут откладываться в натуральную величину без искажений.
Построение наглядного изображения т. A (10, -30, -10) начнем с её горизонтальной проекции A’. Отложив по оси абсцисс и ординат соответствующие координаты, найдем точки Aх и Aу. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из Aх и Aу соответственно к осям x и y определяет положение т. A’. Отложив от A’ параллельно оси z в сторону её отрицательных значений отрезок AA’, длина которого равна 10, находим положение точки A.
Наглядное изображение т. B (30, 0, -20) строится аналогично – в плоскости П2 по осям x и z нужно отложить соответствующие координаты. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из Bх и Bz, определит положение точки B.
Проецирование точки
- Подробности
- Категория: Основы начертательной геометрии
ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ДВЕ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ
Образование отрезка прямой линии АА1 можно представить как результат перемещения точки А в какой-либо плоскости Н (рис. 84, а), а образование плоскости — как перемещение отрезка прямой линии АВ (рис. 84, б).
Точка — основной геометрический элемент линии и поверхности, поэтому изучение прямоугольного проецирования предмета начинается с построения прямоугольных проекций точки.
В пространство двугранного угла, образованного двумя перпендикулярными плоскостями — фронтальной (вертикальной) плоскостью проекций V и горизонтальной плоскостью проекций Н, поместим точку А (рис. 85, а).
Линия пересечения плоскостей проекций — прямая, которая называется осью проекций и обозначается буквой х.
Плоскость V здесь изображена в виде прямоугольника, а плоскость Н — в виде параллелограмма. Наклонную сторону этого параллелограмма обычно проводят под углом 45° к его горизонтальной стороне. Длина наклонной стороны берется равной 0,5 ее действительной длины.
Из точки А опускают перпендикуляры на плоскости V и Н. Точки а’и а пересечения перпендикуляров с плоскостями проекций V и Н являются прямоугольными проекциями точки А. Фигура Аааха’ в пространстве — прямоугольник. Сторона аах этого прямоугольника на наглядном изображении уменьшается в 2 раза.
Совместим плоскости Н с плоскостью V ,вращая V вокруг линии пересечения плоскостей х. В результате получается комплексный чертеж точки А (рис. 85, б)
Для упрощения комплексного чертежа границы плоскостей проекций V и Н не указывают (рис. 85, в).
Перпендикуляры, проведенные из точки А к плоскостям проекций, называются проецирующими линиями, а основания этих проецирующих линий — точки а и а’ — называются проекциями точки А: а’ — фронтальная проекция точки А, а — горизонтальная проекция точки А.
Линия а’ а называется вертикальной линией проекционной связи.
Расположение проекции точки на комплексном чертеже зависит от положения этой точки в пространстве.
Если точка А лежит на горизонтальной плоскости проекций Н (рис. 86, а), то ее горизонтальная проекция а совпадает с заданной точкой, а фронтальная проекция а’ располагается на оси При расположении точки В на фронтальной плоскости проекций V ее фронтальная проекция совпадает с этой точкой , а горизонтальная проекция лежит на оси х. Горизонтальная и фронтальная проекции заданной точки С, лежащей на оси х, совпадают с этой точкой. Комплексный чертеж точек А, В и С показан на рис. 86, б.
ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ТРИ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ
В тех случаях, когда по двум проекциям нельзя представить себе форму предмета, его проецируют на три плоскости проекций. В этом случае вводится профильная плоскость проекций W, перпендикулярная плоскостям V и Н. Наглядное изображение системы из трех плоскостей проекций дано на рис. 87, а.
Ребра трехгранного угла (пересечение плоскостей проекций) называются осями проекций и обозначаются x, у и z. Пересечение осей проекций называется началом осей проекций и обозначается буквой О. Опустим из точки А перпендикуляр на плоскость проекций W и, отметив основание перпендикуляра буквой а», получим профильную проекцию точки А.
Для получения комплексного чертежа точки А плоскости Н и W совмещают с плоскостью V, вращая их вокруг осей Ох и Oz. Комплексный чертеж точки А показан на рис. 87, б и в.
Отрезки проецирующих линий от точки А до плоскостей проекций называются координатами точки А и обозначаются: хА, уА и zA.
Например, координата zA точки А, равная отрезку а’ах (рис. 88, а и б), есть расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций Н. Координата у точки А, равная отрезку аах, есть расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций V. Координата хА, равная отрезку аау — расстояние от точки А до профильной плоскости проекций W.
Таким образом, расстояние между проекцией точки и осью проекции определяют координаты точки и являются ключом к чтению ее комплексного чертежа. По двум проекциям точки можно определить все три координаты точки.
Если заданы координаты точки А (например, хА=20 мм, уА=22мм и zA= 25 мм), то можно построить три проекции этой точки.
Для этого от начала координат О по направлению оси Oz откладывают вверх координату zA и вниз координату уА.Из концов отложенных отрезков — точек az и ау (рис. 88, а) — проводят прямые, параллельные оси Ох, и на них откладывают отрезки, равные координате хА. Полученные точки а’ и а — фронтальная и горизонтальная проекции точки А.
По двум проекциям а’ и а точки А построить ее профильную проекцию можно тремя способами:
1) из начала координат О проводят вспомогательную дугу радиусом Оау, равным координате (рис. 87, б и в), из полученной точки ау1 проводят прямую, параллельную оси Oz, и откладывают отрезок, равный zA;
2) из точки ау проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 88, а), получают точку ау1 и т. д.;
3) из начала координат О проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 88, б), получают точку ау1 и т. д.
Построение третьей проекции точки по двум заданным
В
ряде случаев, для удобства решения задач
необходимо использовать дополнительные
плоскости проекций, перпендикулярные
к уже имеющимся плоскостям проекций.
Если
заданы горизонтальная и фронтальная
проекции точки, то профильная проекция
определяется по следующему алгоритму.
-
Проводим
линию проекционной связи перпендикулярную
оси Oz. -
На
данной линии проекционной связи
откладываем отрезок А1АX
=АZА3.
(КОМПАС)
Используя
данное правило, можно строить проекции
точек на дополнительные плоскости
проекций (метод замен плоскостей).
Пусть
дана точка А(А2,А1)
и новая дополнительная плоскость
проекций П4
П1.
Построить А4
– проекцию точки
А
на П4.
Решение
а)
Строим линию пересечения плоскостей
П1
и
П4
= x1,4;
b)
Через точку А
проводим линию проекционной связи
x1,4.
c)
Строим проекцию А4,
использую равенство отрезков А2АX=А4АX.
-
Две
проекции точки А1
и А4
лежат на одной линии проекционной связи
перпендикулярной к оси X1,4. -
Расстояние
от “новой” проекции точки А4
до “новой” оси x1,4
равно
расстоянию от “старой” проекции точки
А2
до “старой” оси x1,2.
Конкурирующие точки
Конкурирующими
точками
называют пару точек, лежащих на одном
проецирующем луче.
Из
двух конкурирующих точек видимой
является та точка, которая дальше
распологается от плоскости проекций.
Точки
А
и В
называют горизонтально конкурирующими.
Точки
С
и
D
называют фронтально конкурирующими.
Задача:
Ввести
дополнительную плоскость так, чтобы
точки А
и В
стали конкурирующими.
План
решения:
1
Строим ось x1,4
A1,
B1;
2
Строим линию проекционной связи
x1,4;
3
На линии проекционной связи откладываем
отрезки AxA2=A/xA4,
BxB2=B/xB4.
(КОМПАС)
Материал для самостоятельного изучения Моделирование объектов 2d-графики в графической системе компас Запуск системы компас и завершение работы
Система
КОМПАС-3D-V8
запускается
аналогично другим программам. Для
запуска системы необходимо выбрать
меню Пуск
Все
программы
АСКОН
КОМПАС-3D—V8
и
запустить КОМПАС.
Можно выбрать
указателем мыши на поле рабочего стола
ярлык программы
и дважды щелкнуть левой кнопкой мыши.
Чтобы открыть документ, необходимо
нажать кнопку
Открыть
на панели Стандартная.
Чтобы начать новый документ нажмите
кнопку Создать
на панели Стандартная
или выполните команду Файл >
Создать
и в открывшемся диалоговом окне выберите
тип создаваемого документа и нажмите
ОК.
Для
завершения работы выбрать меню ФайлВыход
,
комбинацию клавиш Alt-F4 или щелкнуть на
кнопке
Закрыть.
Основные типы документов графической системы компас
Тип
документа, создаваемого в системе
КОМПАС, зависит от рода информации,
хранящейся в этом документе. Каждому
типу документа соответствует расширение
имени файла и собственная пиктограмма.
1
Чертеж —
основной тип графического документа в
КОМПАС. Чертеж содержит графическое
изображение изделия в одном или нескольких
видах, основную надпись, рамку. Чертеж
КОМПАС всегда содержит один лист
заданного пользователем формата. Файл
чертежа имеет расширение .cdw.
2
Фрагмент —
вспомогательный тип графического
документа в КОМПАС. Фрагмент отличается
от чертежа отсутствием рамки, основной
надписи и других объектов оформления
конструкторского документа. Во фрагментах
хранятся созданные типовые решения для
последующего использования в других
документах. Файл фрагмента имеет
расширение .frw.
3
Текстовый
документ
(расширение файла .kdw);
4
Спецификация
(расширение файла .spw);
5
Сборка
(расширение файла .a3d);
6
Деталь
— Трехмерное моделирование (расширение
файла .m3d);
Соседние файлы в папке Все лекции
- #
15.06.201452.07 Кб301.gif
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Вы здесь
Проецирование точки
СОДЕРЖАНИЕ
- Проецирование точки
- Пример проецирования точки
- Литература
Проецирование точки
Точка относится к основным, неопределяемым понятиям геометрии. Она не может быть определена другими более элементарными понятиями. Точка не имеет размеров.
Положение точки А в пространстве определяется тремя координатами (x, y, z), показывающими величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций.
Чтобы определить эти расстояния достаточно через точку А провести прямые, перпендикулярные к плоскостям, определить точки А′, А″, А′″ пересечения этих прямых с плоскостями проекций и измерить величины отрезков [АA′], [АA″], [АA′″], которые равны значениям аппликаты z, ординаты y и абсциссы x точки А (рис.1).
Рис.1. Проецирование точки
Точки А′, А″, А′″ называют ортогональными проекциями точки А:
Принятые обозначения:
| А1 или А′ | — | горизонтальная проекция точки А; |
| А2 или А″ | — | фронтальная проекция точки А; |
| А3 или А′″ | — | профильная проекция точки А. |
Отрезки:
| [АA′]=[ОАx] | — | абсцисса точки А (определяет расстояние точки от плоскости П3); |
| [АA″]=[ОАy] | — | ордината точки А (определяет расстояние точки от плоскости П2); |
| [АA′″]=[ОАz] | — | аппликата точки А (определяет расстояние точки от плоскости П1). |
Прямые АA′, АA″, АA′″ называют проецирующими прямыми или проецирующими лучами.
| АA′ | — | горизонтально проецирующая прямая; |
| АA″ | — | фронтально проецирующая прямая; |
| АA′″ | — | профильно проецирующая прямая. |
При построении проекций точки А необходимо знать, что горизонтальная проекция определяется абсциссой x и ординатой y, фронтальная проекция – абсциссой x и аппликатой z, а профильная – ординатой y и аппликатой z, т.е.
А′ (x, y)
А″ (x, z)
А′″ (y, z)
Если даны две проекции точки, то по ним можно найти третью проекцию, так как все проекции связаны между собой линиями связи.
Пример проецирования точки
Пример: Даны две проекции точки А (рис.2), необходимо найти третью проекцию точки.
Рис.2. Проецирование точки
Для начала найдем проекции точки А на оси координат, т.е. Аx, АyП1 и Аz (рис.3).
Рис.3. Проецирование точки
При помощи циркуля получаем проекцию точки АyП3 (рис.4).
Рис.4. Проецирование точки
Зная, что проекция точки А′″ имеет координаты (y, z), проводим проецирующие лучи из точки АyП3 и Аz. Точкой пересечения этих лучей будет точка А′″ (рис.5).
Рис.5. Проецирование точки
ЛИТЕРАТУРА
- Начертательная геометрия / С.А. Фролов. – М.: Машиностроение, 1987 – 240 с.
- Черчение / Н.С. Брилинг. – М.: Стройиздат, 1989. – 420 с.
- Краткий справочник по начертательной геометрии и машиностроительному черчению / Н.П. Сберегаев, М.А. Герб. М. – Л., Машиностроение, 1965, 264 с.
- 12488 просмотров
Как построить третью проекцию
Три стандартные проекции – фронтальная, профильная и горизонтальная – содержат необходимую и достаточную информацию о внешнем виде и внутреннем устройстве деталей, имеющих хотя бы одну ось симметрии. Если у детали сложная конфигурация или много внутренних полостей с криволинейной поверхностью, могут потребоваться дополнительные разрезы и проекции.
Вам понадобится
- — набор карандашей для черчения разной твердости;
- — линейка;
- — угольник;
- — циркуль;
- — ластик.
Инструкция
Проекционная связь между элементами детали сохраняется при любом расстоянии между изображениями трех видов этой детали на чертеже. Благодаря такой связи можно по двум проекциям построить третью недостающую. Пусть вам даны вид на деталь спереди (фронтальная проекция) и вид сбоку (профильная проекция). Это предположение допустимо для любых двух проекций, ведь деталь можно повернуть как угодно.
Проведите тонкую вертикальную линию между фронтальной и профильной проекциями. Продлите эту линию вниз до уровня желаемого расположения третьей проекции. Проведите тонкую горизонтальную линию под двумя данными проекциями на произвольном расстоянии. Третья проекция будет построена ниже горизонтальной линии под фронтальной проекцией. Вспомогательные вертикальная и горизонтальная линии служат для построения третьей проекции детали.
Постройте проекции всех вершин двух имеющихся видов детали на вспомогательную горизонталь. Другими словами – опустите перпендикуляры на вспомогательную горизонталь из всех вершин на фронтальной и профильной проекциях. Перпедикуляры, проведенные из точек фронтальной поверхности, продлите ниже вспомогательной горизонтальной линии до желаемого места размещения третьей проекции. Вы получили ширину еще не вычерченной третьей проекции. Перпендикуляры, проведенные из точек профильной проекции, за горизонталь продолжать не нужно.
Поставьте иглу циркуля в точку пересечения вспомогательных вертикали и горизонтали. Карандаш циркуля установите в точку пересечения вспомогательной горизонтали и перпендикуляра, опущенного из точки профильной проекции. Полученным радиусом сделайте отметку на вспомогательной вертикали вниз. Таким же образом с помощью циркуля перенесите проекции всех вершин профильной проекции со вспомогательной горизонтали на вспомогательную вертикаль.
Восстановите перпендикуляры к вертикальной вспомогательной линии из перенесенных на нее проекций вершин профильной проекции детали. Продлите полученные перпендикуляры до пересечения с уже построенными линиями третьей проекции.
Закончите вычерчивание третьей проекции детали. Обведите основной линией контур детали и все видимые части проекции. Штриховой линией выполните невидимые части детали. Места расположения окружностей на выполняемой третьей проекции обозначены квадратами, получившимися при пересечении перпендикуляров к вспомогательным линиям. Впишите в эти квадраты окружности.
Для завершения работы нанесите размерные линии и проставьте размеры.
Источники:
- построение проекции
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.