Как найти третью сторону в тупоугольном треугольнике

Тупоугольный треугольник

Что такое тупоугольный треугольник

Тупоугольный треугольник — геометрическая фигура на плоскости, которая представляет собой треугольник, один из углов которого является тупым, то есть больше 90º.

Такой треугольник не может быть прямоугольным и равносторонним, но может быть равнобедренным.

Сумма углов треугольника равна 180º. Именно поэтому только один из них может быть больше 90º, два других всегда острые. Это единственная особенность данной фигуры. Подход к решению задач с такой фигурой не отличается от решения задач с треугольниками других типов.

Элементы тупоугольного треугольника

Помимо сторон и углов, тупоугольный треугольник имеет следующие элементы:

1. Внешний угол — тот, который смежен с внутренним, всего их шесть, по два на один внутренний. Внешний угол тупого всегда будет острым, острого — тупым.
2. Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с противолежащей стороной и делит ее пополам. Все медианы пересекаются друг с другом в одной точке (центроиде). Эта точка делит медианы в соотношении 2:1, считая от вершины.
3. Высота — перпендикуляр, который проведен из высоты треугольника на противоположную сторону. В тупоугольном треугольнике может лежать за пределами фигуры.
4. Биссектриса — прямая, делящая угол пополам. Делит противоположную сторону на отрезки, которые пропорциональны прилежащим сторонам фигуры. Точка, которая является пересечением биссектрис, также является центром вписанной окружности.

Формулы площади тупоугольного треугольника

Для нахождения площади, периметра и других показателей тупоугольного треугольника используются те же формулы, что и для вычисления любого произвольного треугольника.

Площадь данной фигуры можно найти при помощи следующих формул:

S = ½ * x * h , где х — сторона;

S = √ p * ( p — x ) * ( p — y ) * ( p — z ) ,

p — полупериметр, p = ( x + y + z ) / 2

S = x * y * z / 4 * R , R — радиус описанной окружности;

S = p * r , p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.

Пример решения задачи

Найти площадь тупоугольного треугольника, у которого стороны равны x=9, y=5, z=6.

Для решения задачи стоит использовать формулу площади с полупериметром.

p = ( x + y + z ) / 2 , p = ( 9 + 5 + 6 ) / 2 = 20 / 2 = 10 .

S = √ p * ( p — x ) * ( p — y ) * ( p — z ) , S = √ 10 * ( 10 — 9 ) * ( 10 — 5 ) * ( 10 — 6 ) = √ 10 * 1 * 5 * 4 = √ 200 = 10 √ 2

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p — a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p — b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

В геометрии первая фигура, которую школьники начинают изучать, это треугольник. Он является одним из самых распространенных и простых замкнутых объектов. Знание свойств фигуры и необходимых теорем позволяет решать разные задачи о том, как найти третью сторону треугольника на плоскости.

Фигура из шести элементов

Под геометрическим элементом полагают какой-либо объект, который имеет определенную меру и является составляющей частью некоторой фигуры. Например, для сферы основными образующими элементами являются радиус и центр.

Как известно, треугольник — это фигура, которая состоит из трех отрезков и такого же количества вершин. При этом все отрезки попарно пересекаются. Из определения фигуры следует, что ее образуют два типа элементов, общее количество которых составляет 6:

• сторона (3);
• вершина (3).

Обычно треугольник обозначают большими латинскими буквами, например, ABC, PQM и так далее. Каждая буква — это название вершины (точка пересечения двух отрезков). AB, BC и CA, которые являются длинами сторон, принято обозначать маленькими латинскими буквами по названию противоположных им вершин, то есть c, a и b, соответственно.

Дополнительные отрезки

Несмотря на всю простоту построения фигуры, она обладает большим количеством дополнительных элементов, которые ее могут определять. Среди них самыми важными являются следующие:

Медиана — отрезок, который соединяет вершину и середину противоположной стороны. Таких отрезков в треугольнике три. Все они пересекаются в одной точке, которая является центром масс фигуры. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, начиная от вершины. Каждый из трех названных отрезков делит треугольник на две аналогичных фигуры равной площади.

Биссектриса — отрезок, который отличается от медианы тем, что он делит пополам соответствующий угол.

Высота — перпендикуляр, который из вершины опускается на сторону фигуры. Его удобно использовать при вычислении площади или при определении его углов через тригонометрические выражения. Для некоторых типов треугольников высота может совпадать со стороной (катет в прямоугольной фигуре).

Радиусы вписанной и описанной окружностей. Эти замкнутые симметричные кривые можно провести для любого треугольника. Указанные радиусы однозначно определяются через стороны и углы фигуры.

Средняя линия — это соединяющий две середины сторон отрезок. Его особенность заключается в том, что он всегда параллелен третьей стороне и равен половине ее длины.

Виды треугольников

Разработана достаточно развитая классификация рассматриваемых фигур. Главными ее пунктами являются значения углов треугольника и взаимоотношение между его отрезками. Так, если в фигуре все углы острые, то она называется остроугольной. Если же один из углов больше 90 °, то треугольник полагается тупоугольным. Чаще всего в задачах рассматривают следующие виды:

Равнобедренный — две стороны имеют одинаковую длину. Как следствие, противолежащие им углы равны между собой.

Равносторонний — три отрезка равны друг другу. Поэтому все углы в таком треугольнике также равны и составляют всегда по 60 °.

Прямоугольный. Из названия следует, что он содержит один внутренний угол, который составляет 90 °. Для этого вида фигуры применима знаменитая теорема Пифагора.

Основные свойства и понятия

Треугольник является одной из самых изученных фигур в геометрии. Для него известны многие теоремы, которые с успехом используются при решении задач. Существует два основных свойства фигуры, которые следуют из характеристик евклидового пространства:

Равенство суммы трех углов 180 °, то есть A + B + C = 180 °. Этот факт доказал еще Евклид в своем знаменитом труде «Элементы». По этой причине треугольник не может содержать больше одного прямого или тупого внутреннего угла.

Если известны три отрезка a, b и c такие, что выполняется равенство a + b = c, то из них составить треугольник невозможно. Это фундаментальное свойство говорит о том, что для всякого типа рассматриваемой фигуры сумма длин ее двух любых сторон всегда больше длины третьей.

Помимо названных свойств, следует знать о треугольнике еще такое понятие, как подобие. Его суть состоит в том, что одна из рассматриваемых фигур является точной копией в миниатюре другой. Для подобных треугольников все углы равны попарно, а все три стороны относятся соответственно попарно друг к другу с одним и тем же коэффициентом подобия.

Еще одной полезной характеристикой рассматриваемой фигуры является ее качество (CT). Вычисляется оно по следующей формуле:

CT = (a + b — c)*(b + c — a)*(c + a — b)/(a*b*c).

Величина CT лежит в пределах от 0 до 1. Она показывает степень близости фигуры к равностороннему, то есть к наиболее симметричному объекту. Если CT < 0,5, то треугольник считается вырожденным (один из его углов будет тупым, причем чем меньше CT, тем больше величина этого угла), если же CT > 0,5, то фигура характеризуется, как имеющая хорошее качество.

Величина CT применяется для алгоритмов, которые разделяют какую-либо изучаемую геометрическую поверхность на сетку треугольников. Если в этой сетке генерируется много низкокачественных фигур, то будет велика ошибка аппроксимации рассматриваемой величины.

Важные теоремы

Знание теорем для рассматриваемой фигуры позволяет понять, как найти сторону, зная 2 стороны треугольника. Прежде всего применяются две базовые теоремы:

Синусов. Как известно, синус — это тригонометрическая функция, которая вводится в прямоугольном треугольнике и определяет отношение противолежащего углу катета к гипотенузе. Теорема синусов для фигуры произвольного типа устанавливает следующее математическое взаимоотношение между отрезками и углами: a/sinA = b/sinB = c/sinC. Это означает, что вычислить длину любой стороны можно, если известен еще какой-нибудь отрезок и два угла.

Косинусов. Как и синус, косинус тоже является тригонометрической функцией, которая определяет отношение катета прилежащего к гипотенузе прямоугольной фигуры. Теорему косинусов удобно записать в виде следующего математического выражения: c ² = a ² + b ² — 2*a*b*cosC. С помощью этого равенства можно найти 3 сторону треугольника по 2 сторонам известным и углу между ними.

К этим двум теоремам следует добавить еще два важных равенства, которые связаны с именами древнегреческих философов.

Первое выражение базируется на знаменитой теореме Пифагора, которая устанавливает связь между длинами двух катетов (меньшие стороны) и гипотенузы (большая сторона) в треугольнике с прямым углом. Если гипотенузу обозначить буквой c, тогда будет выполняться следующее равенство:

c ² = a ² + b ² .

Если известные любые две стороны, то для определения третьей достаточно взять под квадратный корень соответствующую сумму или разницу квадратов.

Вторая из дополнительных теорем носит название философа Аполлония Пергского. Соответствующее ей математическое выражение выглядит так:

a ² + b ² = ½*c ² + 2*Mc ² .

Здесь Mc — это медиана, проведенная к стороне c из вершины C. Это равенство также называют в математике теоремой медианы.

Примеры решения задач

После того как изучены и рассмотрены основные понятия, свойства и теоремы для различного рода треугольников, можно переходить к решению геометрических задач. Поскольку для этого требуется в большинстве случаев знать значения тригонометрических функций, рекомендуется воспользоваться либо соответствующими таблицами, либо инженерным калькулятором.

Задачи школьного курса с треугольниками, как правило, не являются сложными. Они решаются благодаря однократному применению какого-либо свойства или теоремы.

Квадрат и его диагональ

Пусть дан квадрат, сторона которого составляет 11 см. Необходимо определить половину длины его диагонали.

Эту геометрическую задачу проще всего решить, если увидеть, что две смежные стороны исходной фигуры и ее диагональ образуют прямоугольный треугольник, который к тому же является равнобедренным. Каждая из равных сторон в нем имеет длину 11 см и является катетом. Диагональ c — это гипотенуза. Применяя пифагорову теорему, можно получить следующее равенство:

c = (11 ² + 11 ² )^0,5 ≈ 15,556 см.

Поскольку половина диагонали в два раза меньше гипотенузы, то искомым ответом на задачу будет число c/2 ≈ 7,778 см.

Две высоты и угол

Дан треугольник ABC. Известно, что при вершине C угол составляет 37 °. Из вершин A и B проведены высоты к сторонам этого треугольника, их длины составляют h1 = 10 см и h2 = 8 см, соответственно. Необходимо узнать длину стороны фигуры, которая лежит против угла C.

Из условия задачи можно найти длины сторон AC и BC. Для этого следует увидеть, что каждая из высот с двумя другими сторонами треугольника образует прямоугольную фигуру. Воспользовавшись тригонометрическими равенствами, можно получить следующие результаты:

• AC = h1/sinC = 10/sin (37 °) ≈ 16,616 см;
• BC = h2/sinC = 8/sin (37 °) ≈ 13,293 см.

Против угла C лежит сторона AB, которую следует найти. Получается, что известны две стороны треугольника (AC и BC) и угол между ними. Остается применить теорему косинусов, чтобы получить ответ:

AB = (AC ² + BC ² — 2*AC*BC*cosC)^0,5 = (16,616 ² + 13,293 ² — 2* 16,616 * 13,293 *cos (37 °))^0,5 ≈ 10 см.

Полученный результат свидетельствует о том, что высота h1 совпадает со стороной AB с рассчитанной точностью, то есть исходный треугольник являлся прямоугольным.

Таким образом, для нахождения стороны треугольника, если известны две другие его стороны или иные отрезки, следует воспользоваться теоремами. Основными из них являются теорема косинусов и синусов, а также Пифагора и Аполлония.

Предыдущая

ГеометрияТеорема косинусов для треугольника — формулы, доказательство и решение задач

Следующая

ГеометрияВзаимное расположение двух плоскостей в пространстве — способы решения задач

Фигура из шести элементов

Под геометрическим элементом полагают какой-либо объект, который имеет определенную меру и является составляющей частью некоторой фигуры. Например, для сферы основными образующими элементами являются радиус и центр.

Как известно, треугольник — это фигура, которая состоит из трех отрезков и такого же количества вершин. При этом все отрезки попарно пересекаются. Из определения фигуры следует, что ее образуют два типа элементов, общее количество которых составляет 6:

• сторона (3);
• вершина (3).

Обычно треугольник обозначают большими латинскими буквами, например, ABC, PQM и так далее. Каждая буква — это название вершины (точка пересечения двух отрезков). AB, BC и CA, которые являются длинами сторон, принято обозначать маленькими латинскими буквами по названию противоположных им вершин, то есть c, a и b, соответственно.

Дополнительные отрезки

Несмотря на всю простоту построения фигуры, она обладает большим количеством дополнительных элементов, которые ее могут определять. Среди них самыми важными являются следующие:

1. Медиана — отрезок, который соединяет вершину и середину противоположной стороны. Таких отрезков в треугольнике три. Все они пересекаются в одной точке, которая является центром масс фигуры. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, начиная от вершины. Каждый из трех названных отрезков делит треугольник на две аналогичных фигуры равной площади.
2. Биссектриса — отрезок, который отличается от медианы тем, что он делит пополам соответствующий угол.
3. Высота — перпендикуляр, который из вершины опускается на сторону фигуры. Его удобно использовать при вычислении площади или при определении его углов через тригонометрические выражения. Для некоторых типов треугольников высота может совпадать со стороной (катет в прямоугольной фигуре).
4. Радиусы вписанной и описанной окружностей. Эти замкнутые симметричные кривые можно провести для любого треугольника. Указанные радиусы однозначно определяются через стороны и углы фигуры.
5. Средняя линия — это соединяющий две середины сторон отрезок. Его особенность заключается в том, что он всегда параллелен третьей стороне и равен половине ее длины.

Виды треугольников

Разработана достаточно развитая классификация рассматриваемых фигур. Главными ее пунктами являются значения углов треугольника и взаимоотношение между его отрезками. Так, если в фигуре все углы острые, то она называется остроугольной. Если же один из углов больше 90 °, то треугольник полагается тупоугольным. Чаще всего в задачах рассматривают следующие виды:

1. Равнобедренный — две стороны имеют одинаковую длину. Как следствие, противолежащие им углы равны между собой.
2. Равносторонний — три отрезка равны друг другу. Поэтому все углы в таком треугольнике также равны и составляют всегда по 60 °.
3. Прямоугольный. Из названия следует, что он содержит один внутренний угол, который составляет 90 °. Для этого вида фигуры применима знаменитая теорема Пифагора.

Основные свойства и понятия

Треугольник является одной из самых изученных фигур в геометрии. Для него известны многие теоремы, которые с успехом используются при решении задач. Существует два основных свойства фигуры, которые следуют из характеристик евклидового пространства:

1. Равенство суммы трех углов 180 °, то есть A + B + C = 180 °. Этот факт доказал еще Евклид в своем знаменитом труде «Элементы». По этой причине треугольник не может содержать больше одного прямого или тупого внутреннего угла.
2. Если известны три отрезка a, b и c такие, что выполняется равенство a + b = c, то из них составить треугольник невозможно. Это фундаментальное свойство говорит о том, что для всякого типа рассматриваемой фигуры сумма длин ее двух любых сторон всегда больше длины третьей.

Помимо названных свойств, следует знать о треугольнике еще такое понятие, как подобие. Его суть состоит в том, что одна из рассматриваемых фигур является точной копией в миниатюре другой. Для подобных треугольников все углы равны попарно, а все три стороны относятся соответственно попарно друг к другу с одним и тем же коэффициентом подобия.

Еще одной полезной характеристикой рассматриваемой фигуры является ее качество (CT). Вычисляется оно по следующей формуле:

CT = (a + b — c)*(b + c — a)*(c + a — b)/(a*b*c).

Величина CT лежит в пределах от 0 до 1. Она показывает степень близости фигуры к равностороннему, то есть к наиболее симметричному объекту. Если CT < 0,5, то треугольник считается вырожденным (один из его углов будет тупым, причем чем меньше CT, тем больше величина этого угла), если же CT > 0,5, то фигура характеризуется, как имеющая хорошее качество.

Величина CT применяется для алгоритмов, которые разделяют какую-либо изучаемую геометрическую поверхность на сетку треугольников. Если в этой сетке генерируется много низкокачественных фигур, то будет велика ошибка аппроксимации рассматриваемой величины.

Важные теоремы

Знание теорем для рассматриваемой фигуры позволяет понять, как найти сторону, зная 2 стороны треугольника. Прежде всего применяются две базовые теоремы:

1. Синусов. Как известно, синус — это тригонометрическая функция, которая вводится в прямоугольном треугольнике и определяет отношение противолежащего углу катета к гипотенузе. Теорема синусов для фигуры произвольного типа устанавливает следующее математическое взаимоотношение между отрезками и углами: a/sinA = b/sinB = c/sinC. Это означает, что вычислить длину любой стороны можно, если известен еще какой-нибудь отрезок и два угла.
2. Косинусов. Как и синус, косинус тоже является тригонометрической функцией, которая определяет отношение катета прилежащего к гипотенузе прямоугольной фигуры. Теорему косинусов удобно записать в виде следующего математического выражения: c ² = a ² + b ² — 2*a*b*cosC. С помощью этого равенства можно найти 3 сторону треугольника по 2 сторонам известным и углу между ними.

К этим двум теоремам следует добавить еще два важных равенства, которые связаны с именами древнегреческих философов.

Первое выражение базируется на знаменитой теореме Пифагора, которая устанавливает связь между длинами двух катетов (меньшие стороны) и гипотенузы (большая сторона) в треугольнике с прямым углом. Если гипотенузу обозначить буквой c, тогда будет выполняться следующее равенство:

c ² = a ² + b ² .

Если известные любые две стороны, то для определения третьей достаточно взять под квадратный корень соответствующую сумму или разницу квадратов.

Вторая из дополнительных теорем носит название философа Аполлония Пергского. Соответствующее ей математическое выражение выглядит так:

a ² + b ² = ½*c ² + 2*Mc ² .

Здесь Mc — это медиана, проведенная к стороне c из вершины C. Это равенство также называют в математике теоремой медианы.

Примеры решения задач

После того как изучены и рассмотрены основные понятия, свойства и теоремы для различного рода треугольников, можно переходить к решению геометрических задач. Поскольку для этого требуется в большинстве случаев знать значения тригонометрических функций, рекомендуется воспользоваться либо соответствующими таблицами, либо инженерным калькулятором.

Задачи школьного курса с треугольниками, как правило, не являются сложными. Они решаются благодаря однократному применению какого-либо свойства или теоремы.

Квадрат и его диагональ

Пусть дан квадрат, сторона которого составляет 11 см. Необходимо определить половину длины его диагонали.

Эту геометрическую задачу проще всего решить, если увидеть, что две смежные стороны исходной фигуры и ее диагональ образуют прямоугольный треугольник, который к тому же является равнобедренным. Каждая из равных сторон в нем имеет длину 11 см и является катетом. Диагональ c — это гипотенуза. Применяя пифагорову теорему, можно получить следующее равенство:

c = (11 ² + 11 ² )^0,5 ≈ 15,556 см.

Поскольку половина диагонали в два раза меньше гипотенузы, то искомым ответом на задачу будет число c/2 ≈ 7,778 см.

Две высоты и угол

Дан треугольник ABC. Известно, что при вершине C угол составляет 37 °. Из вершин A и B проведены высоты к сторонам этого треугольника, их длины составляют h1 = 10 см и h2 = 8 см, соответственно. Необходимо узнать длину стороны фигуры, которая лежит против угла C.

Из условия задачи можно найти длины сторон AC и BC. Для этого следует увидеть, что каждая из высот с двумя другими сторонами треугольника образует прямоугольную фигуру. Воспользовавшись тригонометрическими равенствами, можно получить следующие результаты:

• AC = h1/sinC = 10/sin (37 °) ≈ 16,616 см;
• BC = h2/sinC = 8/sin (37 °) ≈ 13,293 см.

Против угла C лежит сторона AB, которую следует найти. Получается, что известны две стороны треугольника (AC и BC) и угол между ними. Остается применить теорему косинусов, чтобы получить ответ:

AB = (AC ² + BC ² — 2*AC*BC*cosC)^0,5 = (16,616 ² + 13,293 ² — 2* 16,616 * 13,293 *cos (37 °))^0,5 ≈ 10 см.

Полученный результат свидетельствует о том, что высота h1 совпадает со стороной AB с рассчитанной точностью, то есть исходный треугольник являлся прямоугольным.

Таким образом, для нахождения стороны треугольника, если известны две другие его стороны или иные отрезки, следует воспользоваться теоремами. Основными из них являются теорема косинусов и синусов, а также Пифагора и Аполлония.

Теорема косинусов в произвольном треугольнике гласит, что можно найти сторону в треугольнике, зная другие две стороны и угол между ними. Для того чтобы вычислить третью сторону треугольника нужно извлечь квадратный корень из разности от квадратов известных сторон их удвоенного произведения на косинус угла между ними.
a²=b²+c²-2bc cos⁡γ